第2章 知识整合1 方程(组)、不等式与一次函数的应用（课件PPT）-【中考通】2025年中考数学分层学案（河南专用）

2025河南 数学 第二章　方程(组)与不等式(组) 知识整合1　方程(组)、不等式与一次函数的应用 第一部分　教材考点　分层复习 典例　端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克.根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ 解：设该商场节后每千克A粽子的进价为x元． 经检验，x＝10是原分式方程的根，且符合题意． 答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元． 第一步：读题，设未知数(通常情况下，问什么设什么) 第二步：找等量关系列方程(组)或找不等关系列不等式． 第三步：解方程(组)或解不等式． 第四步：检验、作答． 第(1)问 设节后每千克A粽子的进价为x元，则节前的进价为_______元. 等量关系： 节后购进数量－4＝节前购进数量．   节前 节后 数量 (x＋2) (2)如果该商场在节前购进A粽子250 千克，预计能销售80%，剩余部分在节后销售，并在节后又回购了100 千克，那么在全部售完的情况下，节前销售A粽子获得的利润恰好是节后获得利润的2倍.已知A粽子节前每千克的售价比节后多4元，求该商场节后每千克A粽子的售价． 解：设节后A粽子每千克的售价为a元，则节前每千克的售价为(a＋4)元． 由(1)，可知节前的进价为10＋2＝12(元)． 节前销售了250×80%＝200(千克)． 根据题意，得(a＋4－12)×200＝2[(a－12)×(250－200)＋(a－10)×100]，解得a＝16. 答：该商场节后每千克A粽子的售价为16元． 第(2)问 设节后每千克A粽子的售价为a元. w1＝_________________， w2＝_____________， w3＝______________． 等量关系：w1＝2(w2＋w3)． 数量 200 50 100 售价 a＋4 a a 利润 w1 w2 w3 (a＋4－12)×200 (a－12)×50 (a－10)×100 (3)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过 4 600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元的售价全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 解：设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元． 根据题意，得12m＋10(400－m)≤4 600， 解得m≤300. w＝(20－12)m＋(16－10)(400－m)＝2m＋2 400. ∵2＞0，∴w随着m的增大而增大． 当m＝300时，w取得最大值，最大值为2×300＋2 400＝3 000. 答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3 000元． 第(3)问 设节前购进m千克A粽子，总利润为w元． 不等关系：节前费用＋节后费用≤4 600. 列函数关系式：总利润＝节前利润＋节后利润． 根据函数增减性，结合取值范围求最值．   节前 节后 费用 利润 12m 10(400－m) 8m 6(400－m) 1．(2024·河南T21)为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下． (1)若要从这两种食品中摄入4 600kJ热量和70g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 解：设选用A种食品x包，B种食品y包． 答：应选用A种食品4包，B种食品2包． (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 解：设选用A种食品m包，则选用B种食品(7－m)包， 根据题意，得10m＋15(7－m)≥90， 解得m≤3. 设每份午餐的总热量为w kJ， 则w＝700m＋900(7－m)， 即w＝－200m＋6 300. ∵－200＜0， ∴w随m的增大而减小． ∴当m＝3时，w取得最小值． 此时7－m＝7－3＝4. 答：应选用A种食品3包，B种食品4包． 2．(2023·河南T21)某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满300元减80元．(如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元) (1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由． 解：选择活动一更合算． 理由如下： 选择活动一需付款：450×0.8＝360(元)； 选择活动二需付款：450－80＝370(元)． ∵370＞360，∴选择活动一更合算． (2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价． 解：设一件这种健身器材的原价为x元． 由题意，得0.8x＝x－80，解得x＝400. 答：一件这种健身器材的原价是400元． (3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围． 解：300≤a＜400或600≤a＜800. 【提示】记付款金额为y元， 则活动一：y＝0.8x； 活动二：y＝ 当0＜a＜300时，无论a为何值，活动一更合算，不符合题意；当300≤a＜600时，令a－80＜0.8a，解得a＜400.∴300≤a＜400；当600≤a＜900时，令a－160＜0.8a，解得a＜800.∴600≤a＜800.综上所述，当300≤a＜400或600≤a＜800时，选择活动二比选择活动一更合算． 3．(2022·河南T20)近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准(2022年版)，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的 倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． 解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元． 经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意． 答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元． (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 解：设购买A种菜苗a捆，则购买B种菜苗(100－a)捆． 根据题意，得a≤100－a，解得a≤50. 设本次购买花费w元， 则w＝20×0.9a＋30×0.9(100－a)＝－9a＋2 700. ∵－9＜0， ∴w随a的增大而减小． ∴当a＝50时，w有最小值，w最小＝－9×50＋2 700＝2 250. 答：本次购买最少花费2 250元． 4．(2021·河南T21)猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中A，B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： 类别 价格 A款玩偶 B款玩偶 进货价(元/个) 40 30 销售价(元/个) 56 45 (1)第一次小李用1 100元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个． 解：设A款玩偶购进x个，B款玩偶购进y个． 答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个． (2)第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 解：设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进(30－a)个． 根据题意，得a≤ (30－a)， 解得a≤10. 设利润为w元，则w＝(56－40)a＋(45－30)(30－a)＝a＋450. ∵1＞0， ∴w随a的增大而增大． ∴当a＝10时，w有最大值，w最大＝10＋450＝460，此时30－a＝20. 答：应购进A款玩偶10个，B款玩偶20个才能获得最大利润，最大利润为460元． 根据题意，得＝＋3，解得x＝20. $$