第2章 第4讲 方程(组)的概念及其解法（课件PPT）-【中考通】2025年中考数学分层学案（河南专用）

2025河南 数学 02 核心考点·分层讲练 01 知识梳理·查漏补缺 03 聚焦河南·感知中招 第二章　方程(组)与不等式(组) 第4讲　方程(组)的概念及其解法(3～5分) 第一部分　教材考点　分层复习 知识点1　等式的基本性质 性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．如果a＝b，那么a±c＝①______． 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．如果a＝b，那么ac＝②____ ；如果a＝b，那么 ＝③__(c≠0)． b±c bc 知识梳理·查漏补缺 知识点2　方程的有关概念 1．方程：含有④________的等式叫作方程． 2．方程的解：使方程中等号左右两边相等的⑤____________叫作方程的解． 一般地，二元一次方程组的两个方程的⑥________，叫作二元一次方程组的解． 未知数 未知数的值 公共解 知识梳理·查漏补缺 知识点3　一次方程(组)的概念及解法 1．一次方程(组)的有关概念 (1)一元一次方程：只含有⑦ 个未知数(元)，未知数的次数都是⑧___，等号两边都是⑨______. 一般形式为ax＋b＝0 (a，b是常数，且a≠0)． (2)二元一次方程：含有⑩____个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1. (3)二元一次方程组：方程组中有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程． 一 1 整式 两 知识梳理·查漏补缺 2．解一元一次方程的步骤： 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1. 温馨提示　利用等式的性质及去括号、合并同类项法则将方程转化为ax＝b(a≠0)的形式，再将系数化为1，得到x＝ .核心思想是转化思想. 知识梳理·查漏补缺 3．解二元一次方程组的基本思路是消元 两种消元方法：⑪______消元法和⑫______消元法． 代入 加减 知识梳理·查漏补缺 知识点4　一元二次方程的概念及解法 1．概念：等号两边都是整式，只含有⑬____个未知数，并且未知数的最高次数是⑭___的方程，叫作一元二次方程．一般形式为ax2＋bx＋ c＝0(a≠0)． 一 2 知识梳理·查漏补缺 2．解一元二次方程的基本思路是降次 解法 适用情况 示例 直接开 平方法 能变形为x2＝p或(x＋n)2＝p(p≥0)的方程 x2＝9⇒x＝±3； (x－1)2＝9⇒x－1＝3或x－1＝－3 配方法 二次项系数化为1后，一次项系数为偶数且各项系数比较小便于配方，配方成(x＋h)2＝k(k≥0)的形式 x2－4x＋1＝0⇒x2－4x＋4－3＝0 ⇒(x－2)2－3＝0⇒(x－2)2＝3 知识梳理·查漏补缺 解法 适用情况 示例 公式法 适用于所有一元二次方程，化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0且b2－ 4ac≥0)，则x＝ ⑰______________ (求根公式) 2x2－3x＝2⇒2x2－3x－2＝0 ⇒a＝2，b＝－3，c＝－2 ⇒x＝ 因式分 解法 方程一边为0，另一边可以分解为两个一次因式的乘积，即化成(x－a)(x－b)＝0的形式，则x1＝⑮___，x2＝⑯___ x2－2x－3＝0⇒(x－3)(x＋1)＝0 ⇒x－3＝0或x＋1＝0 a b 知识梳理·查漏补缺 温馨提示 1．用公式法解一元二次方程时应注意：(1)要把方程化为一元二次方程的一般形式．(2)将a，b，c代入公式时应注意其符号．(3)若b2－4ac≥0，则代入求根公式，若b2－4ac＜0，则原方程无解． 2．方程两边不能随便约去含有未知数的因式．如－2(x＋4)2＝3(x＋4)中，不能随便约去(x＋4)． 3．当方程有等根时不能出现书写错误．如(x＋1)2＝0，它的两个根可以写成x1＝x2＝－1，不能写成x＝－1. 知识梳理·查漏补缺 3．根的判别式与方程的根的关系 根的判别式为b2－4ac，用“Δ”表示，Δ＝b2－4ac. Δ＞0 方程有⑱____________的实数根； Δ＝0 方程有⑲__________的实数根； Δ＜0 方程⑳______实数根． 两个不相等 两个相等 没有 知识梳理·查漏补缺 4．根与系数的关系 若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝ ㉑___，x1x2＝㉒__. 知识梳理·查漏补缺 知识点5　分式方程的概念及解法 1．概念：分母中含有㉓________的方程． 2．解分式方程的基本思路是去分母，将分式方程化为㉔__________． 一般步骤： 未知数 整式方程 知识梳理·查漏补缺 温馨提示　增根与无解的区别：分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根；分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 知识梳理·查漏补缺 考点1　解方程 解：去分母，得5(x－1)＝20－2(x＋2)． 去括号，得5x－5＝20－2x－4. 移项，得5x＋2x＝20－4＋5. 合并同类项，得7x＝21. 系数化为1，得x＝3. 核心考点·分层讲练 解法一：加减消元法 ①×3＋②，得10x＝5. 解得y＝－4. 核心考点·分层讲练 解法二：代入消元法 由①，可得y＝2x－5③. 把③代入②，得4x＋3(2x－5)＝－10， 核心考点·分层讲练 解：原方程两边都乘(x＋2)(x－2)， 得3(x－2)＋(x＋2)(x－2)＝x(x＋2)． 整理，得3x－10＝2x.解得x＝10. 检验：当x＝10时，(x＋2)(x－2)≠0， 故原方程的解为x＝10. 核心考点·分层讲练 4．用适当的方法解下列方程． (1)7(2x－3)2＝28. 解：(2x－3)2＝4. ∴2x－3＝2或2x－3＝－2. 核心考点·分层讲练 (2)y2－2y－99＝0. 解：移项，得y2－2y＝99. 配方，得(y－1)2＝100. ∴y－1＝10或y－1＝－10. ∴y1＝11，y2＝－9. 核心考点·分层讲练 (3)3x2＋1＝4x. 解：化为一般式：3x2－4x＋1＝0. 则a＝3，b＝－4，c＝1. 核心考点·分层讲练 (4)4x(2x－3)＝3(2x－3)． 解：(2x－3)(4x－3)＝0. ∴2x－3＝0或4x－3＝0. 核心考点·分层讲练 5．下面是小聪同学用配方法解方程2x2＋4x－1＝0的过程，请仔细阅读后解答问题． 解：移项，得2x2＋4x＝1①. 二次项系数化为1，得x2＋2x＝ ②. 配方，得x2＋2x＋12＝ ，(x＋1)2＝ ③. 由此可得 x＋1＝± ④. x1＝－1＋ ，x2＝－1－ ⑤. 核心考点·分层讲练 (1)以上解答过程从第____步开始出现错误，错误的原因是__________ ________． (2)该方程正确的解是_____________________________. ③ 等号右边没 有加上1 核心考点·分层讲练 考点2　方程的解 7．(2024·凉山州)若关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，则a的值为(　　) A．2 B．－2 C．2或－2 D． －1 A 核心考点·分层讲练 核心考点·分层讲练 9．一题串考法 已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k－1＝0. (1)若该方程有两个实数根，则k的取值范围是______． (2)若该方程有两个相等的实数根，则k的值是___． (3)若该方程没有实数根，则k的取值范围是______． (4)已知x＝3是该方程的一个根，则方程的另一个根是________，k的值是_____． (5)若方程两实根x1，x2满足x1＋x2＝x1·x2，则k的值是___． k≤2 2 k＞2 x＝－1 －2 3 核心考点·分层讲练 (1)若该方程的解为x＝1，则m的值为_____. (2)若该方程有增根，则m的值为_____． (3)若该方程的解为负数，则m的取值范围是________． －3 －1 m＜－5 核心考点·分层讲练 命题点1　解一次方程(组)6年1考 聚焦河南·感知中招 命题点2　一元二次方程根的判别式6年6考 2．(2024·河南T13)若关于x的方程 x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为___. 聚焦河南·感知中招 3．(2023·河南T7)关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的根的情况是 (　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 A 聚焦河南·感知中招 4．(2021·河南T7)若方程x2－2x＋m＝0没有实数根，则m的值可以是(　　) A．－1 B．0 C．1 D． D 聚焦河南·感知中招 5．(2020·河南T7)定义运算：m☆n＝mn2－mn－1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7.则方程1☆x＝0的根的情况为(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 A 聚焦河南·感知中招 - x1＝－1＋，x2＝－1－ 8．(2024·眉山)已知方程x2＋x－2＝0的两根分别为x1，x2，则＋的值为___. $$