5.1.2 弧度制（教学课件）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第 5 章 三角函数 人教A版2019必修第一册 5.1.2 弧度制 学习目标 1.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的相互转化． 2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式． 3. 体会引入弧度制的必要性． 目录 CATALOG 01. 度量角的两种单位制 03.题型强化训练 02.弧度数的计算及弧度与角度互化 04.小结及随堂练习 01 5.1.2 弧度制 度量角的两种单位制 导入新知 度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制．不同的单位制能给解决问题带来方便．角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？ 下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制——弧度制． 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 应用新知 学习新知 学习新知 学习新知 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度（radian）的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 学习新知 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． 学习新知 02 弧度数的计算及 弧度与角度互化 5.1.2 弧度制 学习新知 探究 角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算．如何换算呢？ 学习新知 一般地，只需根据 就可以进行弧度与角度的换算了． 学习新知 （2）利用计算器有 学习新知 学习新知 解题方法（角度制与弧度制转化） 角度制与弧度制换算的要点： 提醒：度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把度化成弧度． 学习新知 解：利用计算器有 学习新知 填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表： 度 0° 30 ° 45 ° 120 ° 弧度 度 135 ° 150 ° 360 ° 弧度 学习新知 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数（等于这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应（图5.1-12）． 学习新知 学习新知 学习新知 显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式形式简单了．在今后的学习中，我们还将进一步看到弧度制带来的使得． 学习新知 学习新知 03 题型强化训练 5.1.2 弧度制 能力提升 题型一　 角度与弧度的互化 能力提升 题型一　 角度与弧度的互化 能力提升 题型二　利用弧度制表示角 能力提升 题型二　利用弧度制表示角 1. 弧度制下与角a终边相同的角的表示. 在弧度制下，与角a的终边相同的角可以表示为{β|β=2kπ+a，K∈Z}，即与角a终边相同的角可以表示成a加上2π的整数倍. 2. 根据已知图形写出区域角的集合的步骤. （1）仔细观察图形. （2）写出区域边界作为终边时角的表示. （3）用不等式表示区域范围内的角. 提醒：角度制与弧度制不能混用. 能力提升 题型三　扇形的弧长公式与面积公式的应用 能力提升 题型三　扇形的弧长公式与面积公式的应用 04 小结及随堂练习 5.1.2 弧度制 课堂总结 课堂总结 1．什么叫1弧度角? 2.“角度制”与“弧度制”的联系与区别. 3．弧长公式与扇形面积公式． 作业 习题 5.1（第175页） 5.（2）（4）6.（1）9题 5.1.2 弧度制 练习（第175页） 练习（第175页） 练习（第175页） 3．用弧度表示： （1）终边在x轴上的角的集合； （2）终边在y轴上的角的集合． 练习（第175页） 练习（第175页） 练习（第175页） 6．已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，求该弧所对的圆心角（正角）的弧度数． 习题 5.1（第175页） 习题 5.1（第175页） 习题 5.1（第175页） 习题 5.1（第175页） 3．分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合． 习题 5.1（第175页） 4．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？ 不等于1弧度．这是因为长度等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度的角，而等于半径长的弦所对的弧比半径长，所以等于半径长的弦所对的圆心角大于1弧度． O B A 习题 5.1（第175页） 习题 5.1（第175页） 习题 5.1（第175页） C 习题 5.1（第175页） 习题 5.1（第175页） 习题 5.1（第175页） 10．每人准备一把扇形的扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算工具算出它的面积S1． （1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下来的，而剩余部分的面积为S2 ，求S1与S2的比值； （2）要使S1与S2的比值为0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到1°）？ 习题 5.1（第175页） 11.（1）时间经过4 h（时），时针分针各转了多少度？各等于多少弧度？ （2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次．你认为这种说法是否正确？请说明理由． （提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min会与时针重合，一天内分针和时针会重合n次，建立t 关于n的函数解析式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间．） 习题 5.1（第175页） 习题 5.1（第175页） 12．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿． （1）当大轮转动一周时，求小轮转动的角度； （2）如果大轮的转速为 180 r/min （转/分），小轮的半径为10.5 cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是多少？ 习题 5.1（第175页） 12．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿． （1）当大轮转动一周时，求小轮转动的角度； （2）如果大轮的转速为 180 r/min （转/分），小轮的半径为10.5 cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是多少？ 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【变式】 化为弧度为（    ） A．– B． C．– D．– 【答案】A 【分析】根据弧度与角度的互化公式求解即可. 【详解】由 ， 即 化为弧度为 弧度， 故选：A 【变式】下列转化结果正确的是（    ） A．60°化成弧度是 B．－ π化成度是－660° －150°化成弧度是－ π D． 化成度是15° 【答案】AD 【分析】根据角度制和弧度制互化公式进行逐一判断即可. 【详解】因为 ，所以选项A正确；因为 ，所以选项B不正确； 因为 ，所以选项C不正确；因为 ，所以选项D正确， 故选：AD 反思感悟　角度与弧度的互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键， 由它可以得到：度数×eq \f(π,180)＝弧度数，弧度数×eq \f(180,π)＝度数． 一般情况下，省略弧度单位rad. 【变式】已知某扇形的半径为 ，圆心角为 ，则此扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形的面积公式，即可求得此扇形的面积，得到答案. 【详解】由题意，某扇形的半径为 ，圆心角为 ， 根据扇形的面积公式，可得 所以此扇形的面积为 . 故选：B. 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式及其应用，其中解答中熟记扇形的面积 公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 反思感悟　扇形的弧长和面积的求解策略 （1）记公式：面积公式：S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)αR2，弧长公式：l＝αR (其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)． （2）找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题， 关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的 面积公式直接求解或列方程(组)求解． 【详解】 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 故： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 【例题1】 将下列各角度与弧度互化： 将下表中的角度和弧度互化： 角度 0° 30° 45° 120° 135° 150° 360° 弧度 反思感悟　角度与弧度的互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键， 由它可以得到：度数×eq \f(π,180)＝弧度数，弧度数×eq \f(180,π)＝度数． 一般情况下，省略弧度单位rad. 【例题2】把 化为 的形式是（    ） B． C． D． 【答案】A 【分析】先将角度化为弧度，运算即可得解. 【详解】由题意， . 故选：A. 【例题3】已知扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝75°，R＝12 cm，求扇形的弧长l和面积； (2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解：(1)因为α＝75°＝eq \f(5π,12)，所以l＝αR＝12×eq \f(5π,12)＝5π(cm)，S＝eq \f(1,2)lR＝30π(cm2)． (2)由已知，得l＋2R＝20，则l＝20－2R，0<R<10. 所以S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25. 此时l＝10 cm，α＝2 rad. 反思感悟　扇形的弧长和面积的求解策略 （1）记公式：面积公式：S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)αR2， 弧长公式：l＝αR(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)． （2）找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题， 关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解 或列方程(组)求解． $$