5.1.1 任意角（教学设计）-【上好课】-2024-2025学年 高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

5.1.1 任意角 教学设计 1、 教学目标 1.了解任意角的概念； 2.掌握正角、负角、零角及象限角的定义，理解任意角的概念； 3.掌握终边相同的角的表示方法； 4.会判断角所在的象限。 2、 重点难点 教学重点：1.任意角的概念，象限角的表示；2.掌握终边相同角的含义及表示方法． 教学难点：1.用集合符号表示终边相同的角；2.终边相同角的表示，区间角的集合书写。 3、 学情分析&教材分析 学生在初中时已接触到角的概念(角的范围仅限于 ,在前面又学习了集合内容,具备了一定的基础 知识, 同时具备了一定的观察能力和数形结合能力. 由于刚刚将角的概念推广,学生还不是很适应终边 相同的角的“周而复始”这个现象的本质,在理解终边相 同的角的表示方法上,学生会出现障碍,另外,学生在用 集合和数学符号语言正确地表示象限角时也可能会出现 障碍. 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第五章《三角函数》，本节课是第1课时，本节主要介绍推广角的概念,引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示法。树立运动变化的观点,并由此进一步理解推广后的角的概念。教学方法可以选用讨论法,通过实际问题，如时针与分针、体操等等都能形成角的流念,给学生以直观的印象,形成正角、负角、零角的概念,明确规定角的概念，通过具体问题让学生从不同角度理解终边相同的角,从特殊到一般归纳出终边相同的角的表示方法。 4、 学习目标 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角. 2.了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合. 3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题． 5、 导入新知 同学们，钟表是帮助我们掌握时间的好帮手，生活中我们经常听到时钟慢了5分钟，或时钟快了30分钟，应该如何校准？再比如在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们也常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题中的角不仅有超出0°～360°范围的角，而且旋转的方向也不相同．为了准确地描述这些问题，我们需要扩大角的范围． 一、任意角的概念 问题1　在初中是如何定义角的？角的范围是多少？ 提示　角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围是0°～360°. 圆周运动是一种常见的周期性变化现象．如图5.1-1，上的点以为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点的位置变化呢？ 我们知道，角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．在图5. 5-1中，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线，分别是角的始边和终边．当角确定时，终边的位置就确定了．这时，射线与的交点也就确定了．由此想到，可以借助角的大小变化刻画点的位置变化． 由初中知识可知，射线绕端点按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到范围内的角．如果继续旋转，那么所得到的角就超出这个范围了．所以，为了借助角的大小变化刻画圆周运动，需要先扩大角的范围． 现实生活中随处可见超出范围的角．例如，体操中有“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”这样的动作名称，这里不仅有超出范围的角，而且旋转的方向也不相同；又如，图5.1-2是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．这样，绕点旋转所成的角与绕点旋转所成的角就会有不同的方向．因此，要准确地描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要对角的概念进行推广． 我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．这样，零角的始边与终边重合．如果是零角，那么．图5.1-3(1)中的角是一个正角，它等于；图5.1-3(2)中，正角，负角，．正常情况下，如果以零时为起始位置，那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是负角． 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记成“” 这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle），包括正角、负角和零角．设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称． 设，是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是． 类似于实数的相反数是，我们引入任意角的相反角的概念．如图5.1-4，我们把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为．于是，像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有 这样，角的减法可以转化为角的加法． 二、象限角 问题2　现在，我们把角的概念推广到了任意角，如何更形象地表示一个角？ 提示　我们通常在直角坐标系内讨论角，为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角． 注意点： (1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限． (2)每一个象限都有正角和负角． (3)无法比较两个象限角的大小． 我们通常在直角坐标系内讨论角．为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．例如，图5.1-5中的角、角分别是第一象限角和第三象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限． 你能说说在直角坐标系内讨论角的好处吗？ 三、终边相同的角 问题3　给定一个角，它的终边是否唯一？若两个角的终边相同，那么这两个角相等吗？ 提示　给定一个角，它的终边唯一；两个角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°角的终边和390°角的终边相同，它们正好相差了360°. 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 探究 将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应．反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB（图5.1-6），以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？ 不难发现，在图5.1-6中，如果角的终边是，那么，，…角的终边都是，并且与角终边相同的这些角都可以表示成的角与个（）周角的和，如 （这里____）， （这里____）． 设，则，角都是的元素，角也是的元素（此时_____）．因此，所有与角终边相同的角，连同角在内，都是集合的元素；反过来，集合的任一元素显然与角的终边相同． 在直角坐标系中，角的终边绕原点旋转后回到原来的位置。因此，在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律。 一般地，我们有： 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合， 即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 6、 应用新知 例1 在范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限的角． 解：，所以在范围内，与角终边相同的角是，它是第二象限角． 【变式】若角2α与240°角的终边相同，则角α可以表示为(　　) A．120°＋k·360°，k∈Z B．120°＋k·180°，k∈Z C．240°＋k·360°，k∈Z D．240°＋k·180°，k∈Z 【答案】　B 【解析】　因为角2α与240°角的终边相同， 所以2α＝240°＋k·360°，k∈Z， 所以α＝120°＋k·180°，k∈Z. 延伸探究　完成下表． 终边落在x轴非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z} 终边落在x轴非正半轴上 {α|α＝180°＋k·360°，k∈Z} 终边落在y轴非负半轴上 {α|α＝90°＋k·360°，k∈Z} 终边落在y轴非正半轴上 {α|α＝270°＋k·360°，k∈Z} 终边落在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z} 终边落在y轴上 {α|α＝90°＋k·180°，k∈Z} 终边落在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z} 反思感悟　终边相同的角的表示 (1)与角α终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式． (2)终边相同的角相差360°的整数倍． (3)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． 例2 写出终边在轴上的角的集合． 【解析】在范围内，终边在轴上的角有两个，即，角（图5.1-7）．因此，所有与角终边相同的角构成集合 ， 而所有与角终边相同的角构成集合， 于是，终边在轴上的角的集合 【变式】写出终边落在直线y＝－x上的角β的集合S. 【解析】由于直线y＝－x是第二、四象限的平分线，故角α的集合在0°～360°范围内所对应的两个角分别为135°及315°，从而角α的集合为S＝{α|α＝135°＋k·360°或α＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋2k·180°或α＝135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}．所以S＝{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}． 若角α的终边在直线y＝－x上，试写出角α的集合． 反思感悟　终边相同的角的表示 终边落在x轴非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z} 终边落在x轴非正半轴上 {α|α＝180°＋k·360°，k∈Z} 终边落在y轴非负半轴上 {α|α＝90°＋k·360°，k∈Z} 终边落在y轴非正半轴上 {α|α＝270°＋k·360°，k∈Z} 终边落在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z} 终边落在y轴上 {α|α＝90°＋k·180°，k∈Z} 终边落在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z} 例3 写出终边在直线上的角的集合．中满足不等式的元素有哪些？ 解：如图5.1-8，在直角坐标系中画出直线，可以发现它与轴的夹角是，在范围内，终边在直线上的角有两个：，．因此，终边在直线上的角的集合 中适合不等式的元素有 ， ， ， ， ， 【变式】　(多选)下列四个角中，属于第二象限角的是(　　) A．160° B．480° C．－960° D．1 530° 答案　ABC 解析　A中，160°很显然是第二象限角； B中，480°＝120°＋360°，是第二象限角； C中，－960°＝－3×360°＋120°，是第二象限角； D中，1 530°＝4×360°＋90°，不是第二象限角． 反思感悟　正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系，需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 7、 能力提升 题型一　任意角的概念 【练习1】 经过2个小时，钟表上的时针旋转形成的角为(　　) A．60° B．－60° C．30° D．－30° 【答案】 B 【解析】 钟表的时针旋转一周形成的角是－360°，其中每小时旋转形成的角是－＝－30°，所以经过2个小时旋转形成的角是－60°.故选B. 【感悟提升】判断角的概念问题的策略 (1)正确理解任意角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别． (2)弄清角的始边与终边及旋转方向与大小，“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”． (3)判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可． 题型二 求与已知角终边相同的角 【练习2】与－463°终边相同的角可以表示为(　　) A．k·360°＋463°(k∈Z) B．k·360°＋103°(k∈Z) C．k·360°＋257°(k∈Z) D．k·360°－257°(k∈Z) 【答案】C 【解析】∵－463°＝257°－2×360°，∴与－463°终边相同的角可以表示为k·360°＋257°(k∈Z)．故选C. 【感悟提升】在某范围内寻求终边相同的角的方法 (1)将所求的角表示成k·360°＋α(α是已知角，k∈Z)的形式，然后采用赋值法求解，确定k的值，从而求出满足条件的角． (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止． 题型三 求终边在给定直线上的角的集合 【练习3】 写出与60°角的终边在一条直线上的角的集合． 【解析】在0°～360°范围内，与60°角的终边在一条直线上的角是60°与240°，故与60°角的终边在一条直线上的角的集合是S＝{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋240°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋60°，k∈Z}∪{α|α＝2k·180°＋180°＋60°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋60°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋60°，n∈Z}． 【感悟提升】 1．求终边落在直线上的角的集合的三个步骤 (1)写出在0°～360°范围内相应的角； (2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合； (3)根据条件能合并的一定要合并，并使结果简洁． 2．终边相同的角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍； (2)终边在同一条直线上的角之间相差180°的整数倍； (3)终边在相互垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍． 题型四　区域角的表示 【练习4】 写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角的集合． 【解析】(1)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|k·360°＋135°<α<k·360°＋300°，k∈Z}． (2){α|k·360°－60°<α<k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|k·360°＋120°<α<k·360°＋225°，k∈Z}＝{α|n·180°－60°<α<n·180°＋45°，n∈Z}． 【感悟提升】表示区域角的三个步骤 (1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； (2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的－360°～360°范围内的角α，β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°； (3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整倍数，即得区域角的集合． 题型五　象限角的判定 【练习5】 若α为第四象限角，试判断的终边所在的象限． 【解析】解法一：因为α为第四象限角， 所以－90°＋k·360°<α<k·360°，k∈Z， 所以－45°＋k·180°<<k·180°，k∈Z. 当k＝2n，n∈Z时，－45°＋n·360°<<n·360°，n∈Z，是第四象限角； 当k＝2n＋1，n∈Z时，135°＋n·360°<<180°＋n·360°，n∈Z，是第二象限角． 综上，的终边所在的象限是第二或第四象限． 解法二：如图，将每个象限二等分，再从x轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，则标号为Ⅳ的区域即为的终边所在的区域，可知的终边所在的象限是第二或第四象限． 【感悟提升】象限角的判定方法 (1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为在0°≤α<360°范围内的角α的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系，故可将角转化到0°≤α<360°范围内进行判断． (2)nα所在象限的判断方法 确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可． (3)所在象限的判断方法 (4)已知角α所在象限，要确定角所在象限，有两种方法： ①用不等式表示出角的范围，然后对k的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论； ②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1，2，3，4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是的终边所落在的区域．如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出． 8、 课堂总结 1．知识清单： (1)正角、负角、零角的概念． (2)终边相同的角的表示． (3)象限角、区域角的表示． 2．方法归纳：数形结合、分类讨论． 3．常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同的角的表示中漏掉k∈Z. 具体知识点如下： 1．角的概念及其表示 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．如图， (1)始边：射线的起始位置OA； 终边：射线的终止位置OB； 顶点：射线的端点O. (2)记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”． 2．任意角：我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角． 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 3.角的相等 如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β. 4．角的加法 设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β. 5． 相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β)． 9、 作业设计 教材第 171 页练习第 3 5̃ 题. 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。 练习（第171页） 1．（口答）锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个问题． 1．解析：锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角，例如角的终边与角的终边相同，都是第一象限角，但角不是锐角．直角不属于任何一个象限，直角的终边在第一象限与第二象限的分界线上（轴的非负半轴上），但是在第一象限与第二象限的分界线上的角不一定是直角，例如，等角的终边都在第一象限与第二象限的分界线上，但它们都不是直角．钝角是第二象限角，但第二象限角不一定是钝角，例如，角是第二象限角，但它们都不是钝角． 2．（口答）今天是星期三，那么天后的那一天是星期几？天前的那一天是星期几？100天后的那一天是星期几？ 2．解析：今天是星期三，那么天后的那一天是星期三，天前的那一天也是星期三，100天后的那一天是星期五．可以先把天换为7天，14天来判断，由可知，100天后的那一天相当于天后的两天后，故为星期五． 3．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角 （1） （2） （3） （4） 3．解析：（1）第一象限角．（2）第四象限角．（3）第二象限角．（4）第三象限角． 如图中的①~④ 4．在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角： （1） （2） （3） 4．解析：（1），在范围内，与角终边相同的角是，是第四象限角． （2），在范围内，与角终边相同的角是，是第一象限角． （3）， 在范围内，与角终边相同的角是，是第三象限角． 5．写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式的元素： （1） （2） 5．解析：（1）（或） 由得， 解得，又，所以，，． 当时，； 当时，； 当时，． 所以适合不等式的元素是，， （2）． 由得， 解得，又，所以，0，1． 当时，； 当时，； 当时，． 所以适合不等式的元素是，，． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$