压轴专题05 空间向量与立体几何中折叠与探索问题（4类压轴题型）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020选择性必修第一册）

压轴专题05 空间向量与立体几何中折叠与探索问题 目录 1 2 一．线、面位置关系的探索性问题 2 二．与空间角有关的探索性问题 4 三．与空间距离有关的探索性问题 8 四．折叠问题 12 15 1.折叠问题解题策略 (1)确定折叠前后变与不变的关系 画好折叠前后的平面图形与立体图形，分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决． (2)确定折叠后关键点的位置 所谓的关键点，是指折叠过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的点、线、面的关系变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算． 2.利用空间向量解决探索性问题的策略 探索性问题通常分为两类：一类是已知点存在，求点的位置；一类是判断点的“存在性”问题．其中，在点的“存在性”问题中，先假设所求点存在，将其作为已知条件，得出点的位置或与题设条件矛盾的结论，从而得到结果，在设参数求解点的坐标时，若出现多解的情况，则应分析不同解的含义，判断哪些解是符合题设条件的，再做出取舍．求解点、平面是否存在等探索性问题时，常常先利用特殊的位置关系或极端情形确定点或平面，再利用直线与平面的位置关系去证明结论． 一．线面位置关系的探索性问题 【例1】如图，正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为. (1)求侧面与底面所成的二面角（锐角）的余弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得？若存在，确定点的位置；若不存在说明理由. 【解】（1）设为底面的中心，以点为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示． 由题意知，. 设，其中，则，向量是平面的法向量. 由题意得，，解得. 设平面的法向量为. 因为，， 所以，即，令，则， 则. 则， 故侧面与底面所成的二面角（锐角）的余弦值为. （2）由（1）知， ， 设，则. 因为， 若，则. 即，解得， 故在线段上存在点，点满足，使得 【方法总结】对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 对点训练 1．如图，直三棱柱中，，，M为棱AB的中点，是的中点. (1)证明：平面； (2)棱AC上是否存在点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【解】（1） 证明：连接，，由于，，故， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）如图，取中点，连接MQ，由于平面，， 因此平面，又因为，所以， 故MB，MC，MQ两两垂直，以为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，. ，， 设平面的法向量为， 则，即，可取，则， 设，则， 若点在平面内，则， 因此，解得， 故棱AC上存在点，使得点在平面内，此时. 二．与空间角有关的探索性问题 【例2】如图，三棱柱中，侧面底面，△是边长为的正三角形，，与平面所成角为45°． (1)证明：平面； (2)若点为中点，点为棱上一点，且满足，是否存在使得平面与平面夹角余弦为，若存在求出值，存不存在请说明理由． 【解】（1）取中点，连结， ∵△为正三角形，∴， ∵侧面底面, 平面，平面平面， ∴面， ∵与平面所成角为45°， ∴即为与平面所成角，即°， ∵ ∴，∴即， ∵侧面底面，平面，平面平面， ∴平面. （2）由（1）可得、且， 连接，则由题，所以，， 所以两两垂直，故可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 设，则，， ∴，，,， 设平面法向量，平面法向量， 则，即，令，解得，即， ，即，令，解得，即， ∴， 即，解得或， ∴存在或使得平面与平面夹角余弦为. 【方法总结】探索性问题的解题策略 (1)条件探索性问题 ①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明． ②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性． ③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． (2)结论探索性问题 首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设． 对点训练 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，，，，分别是，，，的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度：若不存在，说明理由. 【解】（1）因为是正三角形，是的中点，所以， 又因为平面，平面，所以， ，平面， 所以面； （2） 如图，以点为原点，分别以， ，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，， 则，， 设平面的法向量为， 因为，所以， 令，则， 又平面的法向量， 设平面与平面所成锐二面角为， 所以，则， 所以平面与平面所成锐二面角为； （3）假设存在点，使得直线与平面所成角为， 设，， 则， 由（2）知平面的一个法向量为， 则， 整理得， 因为，所以方程无解，假设不成立. 所以不存在点，使得直线与平面所成角为. 三．与空间距离有关的探索性问题 如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点. (1)求证：平面； (2)求：平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由. 【解】（1）取中点D，连接DN、， 因为D、N分别为、，所以且， 因为与平行且相等，M为中点， 所以与平行且相等， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为直三棱柱 所以平面ABC，又CB，平面ABC，所以、， 因为，即，所以，A两两垂直， 分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 则，， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则， 设二面角的平面角为， 则， 所以平面M与平面M夹角的余弦值为. （3）设，， 因为，所以， 所以，，， 设平面MBC的法向量为，则， 即，令，则 所以P点到平面MBC的距离为， 解得，又，所以. 【方法总结】对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等 对点训练 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【解】（1）取的中点，连接，，如图所示：为棱的中点， ，， ，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面. （2），，， ，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又，平面， ，，又， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图：则，，，， 为棱的中点， ， （i），， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， ， 平面的一个法向量为， ， 根据图形得二面角为钝角， 则二面角的余弦值为 （ii）假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是， 设，， 则，， 由（2）知平面的一个法向量为， ， 点到平面的距离是 , ，， . 四．折叠问题 【例4】如图，四边形中，，，，，，，分别在，上，.现将四边形沿折起，使得平面平面.    (1)若，求直线与平面所成角的正弦值； (2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的正切值. 【解】（1），，，， 又平面平面，平面平面， 平面，平面， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，则，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，，即. 取，则，，， 设直线与平面所成的角为， 则.    （2）设，， 由（1）可得，三棱锥的底面积，高， 即时，三棱锥的体积最大， 在直角梯形中，，，， ，，，， ，， 是二面角的平面角. . 【方法总结】翻折问题的解题关键点 对点训练 图1是边长为的正方形ABCD，将沿AC折起得到如图2所示的三棱锥，且．    (1)证明：平面平面ABC； (2)点M是棱PA上的点，且，求平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值． 【解】（1）由于正方形ABCD的边长为，所以， 取AC的中点O，连接PO，BO， 由题意，得，再由，可得，即． 由题易知，又，面，所以平面ABC， 又平面PAC，所以平面平面ABC． （2）由（1）可知，，且， 故以OC，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．    则，，，． 所以，，， 由题意知，则．可得． 设平面MBC的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 则， 所以平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值. 1．如图，直三棱柱中，，，M为棱AB的中点，是的中点. (1)证明：平面； (2)棱AC上是否存在点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【解】（1） 证明：连接，，由于，，故， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）如图，取中点，连接MQ，由于平面，， 因此平面，又因为，所以， 故MB，MC，MQ两两垂直，以为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，. ，， 设平面的法向量为， 则，即，可取，则， 设，则， 若点在平面内，则， 因此，解得， 故棱AC上存在点，使得点在平面内，此时. 2．如图，三棱柱中，侧面底面，△是边长为的正三角形，，与平面所成角为45°． (1)证明：平面； (2)若点为中点，点为棱上一点，且满足，是否存在使得平面与平面夹角余弦为，若存在求出值，存不存在请说明理由． 【解】（1）取中点，连结， ∵△为正三角形，∴， ∵侧面底面, 平面，平面平面， ∴面， ∵与平面所成角为45°， ∴即为与平面所成角，即°， ∵ ∴，∴即， ∵侧面底面，平面，平面平面， ∴平面. （2）由（1）可得、且， 连接，则由题，所以，， 所以两两垂直，故可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 设，则，， ∴，，,， 设平面法向量，平面法向量， 则，即，令，解得，即， ，即，令，解得，即， ∴， 即，解得或， ∴存在或使得平面与平面夹角余弦为. 3．如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点. (1)求证：平面； (2)求：平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由. 【解】（1）取中点D，连接DN、， 因为D、N分别为、，所以且， 因为与平行且相等，M为中点， 所以与平行且相等， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为直三棱柱 所以平面ABC，又CB，平面ABC，所以、， 因为，即，所以，A两两垂直， 分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 则，， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则， 设二面角的平面角为， 则， 所以平面M与平面M夹角的余弦值为. （3）设，， 因为，所以， 所以，，， 设平面MBC的法向量为，则， 即，令，则 所以P点到平面MBC的距离为， 解得，又，所以. 4．如图，正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为. (1)求侧面与底面所成的二面角（锐角）的余弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得？若存在，确定点的位置；若不存在说明理由. 【解】（1）设为底面的中心，以点为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示． 由题意知，. 设，其中，则，向量是平面的法向量. 由题意得，，解得. 设平面的法向量为. 因为，， 所以，即，令，则， 则. 则， 故侧面与底面所成的二面角（锐角）的余弦值为. （2）由（1）知， ， 设，则. 因为， 若，则. 即，解得， 故在线段上存在点，点满足，使得 5．如图1，在直角中，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为. (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）由题意，，平面， 所以平面， 又因为图1中，分别是中点，所以， 所以平面，而平面， 所以平面平面； （2）由题意，所以是二面角的平面角， 二面角的大小为. 则，又由已知，所以等边三角形， 取中点，连接，则， 由（1）知平面，而平面，所以， ，平面，所以平面， 以为原点，为轴，过平行的直线为，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，, ，，，， ，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 设， ，， 与平面所成角的正弦值为， 则，解得或． 所以的值为或． 6．如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点． (1)平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在一点，使∥平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值． 【解】（1）因为，为中点，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得 由题意可知：平面的法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）线段上是否存在一点，使平面. 设，则， 若平面，则， 可得，解得， 即，可知， 所以存在点，使平面，此时. 7．如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为. (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【解】（1）连接，， 为等边三角形，为中点，； 由题意知：平面，又平面，， ，平面，平面， 平面，； 四边形为平行四边形，， 四边形为菱形，， 分别为中点，，， 又，平面，平面. （2）方法一：由（1）知：平面，； 则以为坐标原点，正方向为轴正方向，建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 点到平面的距离； 方法二：取的中点，连接，过作交于， 过作分别交的延长线于，则分别是的中点， ，平面，平面，平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离； 由（1）得：，平面， 平面，是直角三角形， 在菱形中，易得，，， ，， 即点到平面的距离为. （3）方法一：，，， 设，，， ； 由（2）知：平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； ，解得：（舍）或， 此时， 在棱上存在点，使得平面与平面所成的角为，此时； 方法二：假设存在点满足题意，取的中点，连接， 过作交于，连接， ，平面， 又由（1）得：，， 二面角的平面角为，； 在菱形中，作， ，， ， 为直角三角形，，， 在棱上存在点，使得平面与平面所成的角为，此时. 8．如图，在三棱锥中，，，，. (1)求，并说明异面直线与所成的角的大小在棱长度增大时是怎样变化的； (2)判断点在平面上的射影是否可能在直线上，给出你的结论并加以证明. 【解】（1） ； ， 所以，因为，在上单调递减， 所以随长度增大，减少，故增大； （2）不可能，证明如下， 假设点在平面上的射影点在直线上，即平面， 且平面，由平面平面， 所以平面平面， 在中由余弦定理可得， 所以，所以，即， 由平面，平面平面， 所以平面，平面，所以， 从而，这与矛盾， 所以点在平面上的射影不可能在直线上. 9．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，，，，分别是，，，的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度：若不存在，说明理由. 【解】（1）因为是正三角形，是的中点，所以， 又因为平面，平面，所以， ，平面， 所以面； （2） 如图，以点为原点，分别以， ，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，， 则，， 设平面的法向量为， 因为，所以， 令，则， 又平面的法向量， 设平面与平面所成锐二面角为， 所以，则， 所以平面与平面所成锐二面角为； （3）假设存在点，使得直线与平面所成角为， 设，， 则， 由（2）知平面的一个法向量为， 则， 整理得， 因为，所以方程无解，假设不成立. 所以不存在点，使得直线与平面所成角为. 10．如图，四棱锥的底面为菱形且，底面ABCD，，，E为PC的中点. (1)求二面角平面角的正切值； (2)在线段PC上是否存在一点M，使平面MBD成立如果存在，求出MC的长；如果不存在，请说明理由. 【解】（1）连接对角线AC、BD相交于点O，连接DE、OE，则为的中点，又E为PC的中点， 所以， 平面，平面，， 底面是菱形，即， 以O为原点，OA、OB、OE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，，，，，， 则，，， 设二面角的平面角为，由图可知是锐角， 等于法向量夹角余弦的绝对值，平面ADC的法向量为， 设平面EAD的法向量为， ，，取，得到， ， 即，，，故二面角的平面角正切值是2. （2）设PC上存在点M使得平面，又平面，则有， ，设， ， ， ， ，， 此时，而平面，平面，， 又，平面，所以平面， 故当时，能使得平面. 11．图1是直角梯形，， ，以为折痕将折起，使点到达的位置．且如图2． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值． 【解】（1）取的中点F，连接， 因为， 所以， 则均为等边三角形，所以， 则折叠后有， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以； （2）设在底面的投影为O，由上易知O在直线上，且， 所以，即， 所以， 过O作，如图所示建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令， 即， 而底面的一个法向量为， 易知二面角的一个平面角为锐角，设其为， 所以. 12．在梯形ABCD中，，，F为AB中点，，，，如图，以EF为轴将平面ADEF折起，使得平面平面BCEF. (1)若M为EC的中点，证明：∥平面ABC； (2)证明：平面平面BCD； (3)若N是线段DC上一动点，平面BNE与平面ABF夹角的余弦值为，求DN的长. 【解】（1） 由，，得，. 因为M为EC的中点，F为AB中点，，所以，且. 所以四边形BCMF为平行四边形，所以. 又平面ABC，平面ABC，所以∥平面ABC. （2） 因为平面平面BCEF，平面平面，，所以平面BCEF. 又平面BCEF，所以. 由，，，得. 又，所以平面DEB. 又平面BCD， 所以平面平面BCD. （3）由（2），得EF，EC，ED两两垂直，则可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 则. 设（），则. 设平面BNE的法向量为. 由， 令，得. 易知平面ABF的法向量为. 所以， 解得，此时， 所以，即DN的长为. 13．如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面ABCD，E为AD的中点. (1)证明：平面PAB. (2)证明：. (3)试问在线段PE上是否存在点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面PAB. （2） 作交于， 因为，所以，又，所以， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为，即，所以， 又E为AD的中点，所以， 在中，由余弦定理可得， 即， 所以，所以， 又平面平面ABCD，且平面平面ABCD，平面， 所以平面， 平面，所以. （3）设存在， 作交与， 由（2）可得两两垂直，所以以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设，则， ，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 设直线CM与平面PBC所成角的为， 则， 解得，所以在线段PE上存在点，此时. 14．在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为,若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【解】（1）因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面，所以平面， 平面， 所以， 又已知，且都在面内， 所以平面. （2）由（1）知，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ， 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为， ，，， 设，则， ， 设平面的法向量为，则有，即 不妨令，则，， 故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则有，即 不妨令，则，，所以平面的一个法向量为， 若平面与平面成角余弦值为， 则满足， 化简得， 解得或， 即或， 故在线段上存在这样的点， 使平面与平面成角余弦值为，此时的长度为或． 15．如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面，为的中点. (1)证明：. (2)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）因为平面平面，且相交于，又且平面， 故平面，又平面，故. 在上取使得，连接，因为，可得四边形为矩形，且，又，故为等腰直角三角形，故. 因为为的中点，故，又，， 则，故，故. 又，，，平面，故平面. 又平面，故，即得证. （2）由（1）可得平面，故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系. 则，，，设， 则，，. 设平面的法向量，则，即， 令有，，故. 故直线与平面所成角的正弦值为， 即，即， 故，则，化简可得. 即，解得或（舍）. 故. 16．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【解】（1）取的中点，连接，，如图所示：为棱的中点， ，， ，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面. （2），，， ，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又，平面， ，，又， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图：则，，，， 为棱的中点， ， （i），， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， ， 平面的一个法向量为， ， 根据图形得二面角为钝角， 则二面角的余弦值为 （ii）假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是， 设，， 则，， 由（2）知平面的一个法向量为， ， 点到平面的距离是 , ，， . 17．如图在斜三棱柱中，，，，平面平面ABC，E是棱上一点，D，F分别是AC，AB的中点. (1)当，证明：平面BED； (2)判断当的值为多少时，锐二面角的余弦值为 【解】（1）连接，D，F分别是CA，BA中点，则且， ，是平行四边形，因此且， 所以与平行且相等，是平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面. （2）当时锐二面角的余弦值为，理由如下： 取中点，连接，， 因为，则，，， 则是正三角形，所以，， 平面平面，平面平面，平面， 所以平面，， 以OA，OC，为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，， 设平面的一个法向量是，则， 取，则，，即， 平面的一个法向量是， 设锐二面角的大小为， 则．且，解得，， 所以. 18．如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，D，E分别是线段AC，的中点，在平面ABC内的射影为D. (1)求证：平面BDE； (2)若点F为棱的中点，求点F到平面BDE的距离； (3)若点F为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 【解】（1）连接，由为等边三角形，为中点，得， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，而平面，则， 由四边形为菱形，得，又分别为中点，则， 于是，且，平面， 所以平面. （2）由在平面内的射影为线段的中点，得平面， 由平面，平面，得，， 由四边形为菱形，得为正三角形，在正中，， 则以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则 ， 得， 设平面的法向量为，则，令，得， 所以点到平面的距离为. （3）由（2）知，，， 由点F为线段上的动点，令， 则， 平面的法向量， 设平面的法向量，则，令，得， 设锐二面角的大小为，则， 令，则，， 由，得，则， 所以锐二面角的余弦值的取值范围为. 19．在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）∵面面，面面， ，面， ∴面， ∵面， ∴， 又，，面，面 ∴面， （2）取中点为，连结， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵面面，面面， 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 易知，，，， 则，，，， 设为面的法向量，令. 则 假设存在点使得面， 设，， 又，，，， 有∴ ∵面，为的法向量， ∴，即，得 综上，存在点，即当时，点即为所求. 20．如图，在三棱台中，平面，，，，是棱的中点，为棱上一动点. (1)若，证明：平面； (2)是否存在，使平面平面？若存在，求此时与平面所成角的正弦值；若不存在，说明理由. 【解】（1）因为平面， 如图，以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则、、、、、，. 因为，设点，则， 则，解得，则， 设平面的法向量为，因为，， 所以，令，得. 因为，所以， 因为平面，所以，平面. （2）设平面的法向量为， 因为，， 所以，令，得. 设，则， 设平面的法向量为， 因为，， 所以，令，可得， 假设平面平面，则. 由，解得，所以. 设与平面所成的角为， 则， 所以存在，使平面平面，此时与平面所成角的正弦值为. 21．如图，在长方体中，，点在上，且. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)若点在侧面上，且点到直线和的距离相等，求点到直线距离的最小值. 【解】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示： , 则, 设平面的一个法向量为， 因为，所以，即， 令，则， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2）设，根据题意有，即，， 则点到的距离 ， 当时，取得最小值. 所以点到的距离最小值为. 22．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是的中点． (1)求证：平面． (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)在棱上是否存在一点，使直线平面？若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由． 【解】（1）证明：连接，交于点，连接． 因为是的中点，是的中点， 所以，又平面平面， 所以平面． （2）如图，以的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 即，则． 设平面的法向量为，则 令，得，所以可取． 易知平面的一个法向量为． 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面夹角的余弦值为． （3）由（2）知， 则， ． 由（2）知平面的一个法向量可为， 根据题意可得：，即，解得， 又当时，，，则BF的长为． 综上所述，棱上存在一点，使直线平面，且BF的长为. 23．如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面 (1)证明：平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由. 【解】（1）因为底面ABCD是正方形，所以 又因为平面ABCD，平面ABCD，所以 因为，且，平面， 所以平面 （2）因为平面，平面， 所以，， 又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，两两垂直， 以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则， 故 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为 （3）若存在点P满足题意，则可设点，其中， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故 易得平面的一个法向量为， 所以，解得或舍去， 故棱BC上存在一点P，当时，二面角的余弦值为 24．如图，四边形中，，，，，，，分别在，上，.现将四边形沿折起，使得平面平面.    (1)若，求直线与平面所成角的正弦值； (2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的正切值. 【解】（1），，，， 又平面平面，平面平面， 平面，平面， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，则，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，，即. 取，则，，， 设直线与平面所成的角为， 则.    （2）设，， 由（1）可得，三棱锥的底面积，高， 即时，三棱锥的体积最大， 在直角梯形中，，，， ，，，， ，， 是二面角的平面角. . 25．图1是边长为的正方形ABCD，将沿AC折起得到如图2所示的三棱锥，且．    (1)证明：平面平面ABC； (2)点M是棱PA上的点，且，求平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值． 【解】（1）由于正方形ABCD的边长为，所以， 取AC的中点O，连接PO，BO， 由题意，得，再由，可得，即． 由题易知，又，面，所以平面ABC， 又平面PAC，所以平面平面ABC． （2）由（1）可知，，且， 故以OC，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．    则，，，． 所以，，， 由题意知，则．可得． 设平面MBC的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 则， 所以平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值. 26．如图，已知四边形为等腰梯形，且，，，．为中点，将沿进行翻折，使点与点重合．取中点，连接、．    (1)证明：平面； (2)当时，求与平面所成角的正弦值． 【解】（1）证明：连接，因为四边形为等腰梯形， 所以，, 又为中点，，， 所以四边形为平行四边形，则，，即， 因为，所以为等边三角形，即为等边三角形， 又为的中点，所以，则， 又，所以，即， 因为，且平面， 所以平面. （2）由（1）知，为等边三角形，， 所以，则， 在中，，则， 又，所以，则， 因为平面，， 所以平面， 以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则， 设与平面所成角为， 则， 即与平面所成角的正弦值为． 27．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，为中点，点在上，且．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面，说明理由？ 【解】（1）∵，， ∴， ∴，即 又∵，且，且两直线在平面内， ∴平面. （2）∵平面平面，平面平面 ，平面， ∴平面,又因为面， ∴. 由（1）已证，且已知，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，    则，，，，， ∴，，， ∵E为PD的中点，∴ 又∵，∴ 设平面FAE的法向量为，则， 令，则，，∴ 由（1）可知，平面， ∴平面的法向量为, ∴ ∴平面与平面夹角的余弦值为． （3）线段上存在点，使得平面， 设，则 由（2）可知，平面的法向量， 则， 解得 ∴当是中点时，则平面. 28．等边三角形的边长为3，，分别是边和上的点，且，如图1.将沿折起到的位置，连结，.点满足，且点到平面的距离为，如图2.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求四面体的体积. 【解】（1）∵，点到平面的距离为， ∴点到平面的距离为1， ∵，， ∴，， 则平面，，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，所以， 又平面的法向量，所以， 因为直线平面，所以平面.    （2）平面的一个法向量为，设平面的法向量为， ，，由，得 令，则，，即. 设平面与平面夹角大小为，所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. （3） 29．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，，，，Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B、Q两点的截面，且平面 (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)是否存在点Q，使得平面平面？若存在，求出点Q的位置；若不存在，说明理由． 【解】（1）因为平面，平面，平面平面，故 （2）假设，则在中，，， 根据余弦定理得， 解得， 故 又，，平面，平面，故平面 取中点H，连接 ，可知， 又因是等边三角形，则， 因为，、平面 故平面 如图，以A为原点，分别以，为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，，， 设是平面的法向量， 则， 令,则，所以 因为平面，所以取平面的一个法向量为， ， 所以此时平面与平面夹角的余弦值为， （3）假设存在点Q，使得平面平面 设，其中 则， 连接，由（1）知，则取与同向的单位向量 设是平面的法向量， 则， 取 由平面平面，知， 有，解得 故在侧棱PD上存在点Q且当时，使得平面平面 30．如图，在等腰梯形中，，，，为中点，点，分别为，的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面（如图）．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【解】（1）证明：因，且，则四边形是平行四边形.， 则，又四边形为等腰梯形，则， 结合可得是等边三角形.又为中点，则； 如图连接，注意到，，则四边形是平行四边形. 结合是等边三角形，可得四边形是菱形， 则是等边三角形，又为中点，则. 因为平面，，所以； （2）因平面平面，平面平面， 平面，，则平面. 又由（1）可得，则如图建立以为原点的空间直角坐标系. 则. 则. 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则； （3）假设存在满足条件的点，设，则. 又，得，则. 又由题可得，结合， 为的中点，可得. 则， 设平面的法向量为， 则， 取，则，， 所以为平面的一个法向量. 要使平面，则，又， 则.故在侧棱上存在点，使得平面，且.    31．如图，在四棱锥中，直线平面.，，，，，平面平面，F为线段的中点，E为线段上一点.    (1)证明：； (2)证明：； (3)是否存在点E，使得点E到平面的距离是，若存在求出的值，若不存在请说明理由. 【解】（1）证明：因为平面，平面，平面平面， 所以； （2）因为，F为线段的中点， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以； （3）取的中点，连接，过作‖，交于， 因为F为线段的中点，，所以‖， 因为，所以，所以， 由（2）可知平面，平面， 所以， 所以两两垂直，所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为‖，，， 所以四边形为矩形， 所以， 因为，所以, 因为，所以， 所以， 因为，，所以为等边三角形， 所以，， 设，则， 因为， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 若点E到平面的距离是，则， 所以，解得， 所以， 所以.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴专题05 空间向量与立体几何中折叠与探索问题 目录 1 2 一．线、面位置关系的探索性问题 2 二．与空间角有关的探索性问题 3 三．与空间距离有关的探索性问题 4 四．折叠问题 5 6 1.折叠问题解题策略 (1)确定折叠前后变与不变的关系 画好折叠前后的平面图形与立体图形，分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决． (2)确定折叠后关键点的位置 所谓的关键点，是指折叠过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的点、线、面的关系变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算． 2.利用空间向量解决探索性问题的策略 探索性问题通常分为两类：一类是已知点存在，求点的位置；一类是判断点的“存在性”问题．其中，在点的“存在性”问题中，先假设所求点存在，将其作为已知条件，得出点的位置或与题设条件矛盾的结论，从而得到结果，在设参数求解点的坐标时，若出现多解的情况，则应分析不同解的含义，判断哪些解是符合题设条件的，再做出取舍．求解点、平面是否存在等探索性问题时，常常先利用特殊的位置关系或极端情形确定点或平面，再利用直线与平面的位置关系去证明结论． 一．线面位置关系的探索性问题 【例1】如图，正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为. (1)求侧面与底面所成的二面角（锐角）的余弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得？若存在，确定点的位置；若不存在说明理由. 【方法总结】对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 对点训练 1．如图，直三棱柱中，，，M为棱AB的中点，是的中点. (1)证明：平面； (2)棱AC上是否存在点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 二．与空间角有关的探索性问题 【例2】如图，三棱柱中，侧面底面，△是边长为的正三角形，，与平面所成角为45°． (1)证明：平面； (2)若点为中点，点为棱上一点，且满足，是否存在使得平面与平面夹角余弦为，若存在求出值，存不存在请说明理由． 【方法总结】探索性问题的解题策略 (1)条件探索性问题 ①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明． ②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性． ③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． (2)结论探索性问题 首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设． 对点训练 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，，，，分别是，，，的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度：若不存在，说明理由. 三．与空间距离有关的探索性问题 如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点. (1)求证：平面； (2)求：平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由. 【方法总结】对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等 对点训练 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 四．折叠问题 【例4】如图，四边形中，，，，，，，分别在，上，.现将四边形沿折起，使得平面平面.    (1)若，求直线与平面所成角的正弦值； (2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的正切值. 【方法总结】翻折问题的解题关键点 对点训练 图1是边长为的正方形ABCD，将沿AC折起得到如图2所示的三棱锥，且．    (1)证明：平面平面ABC； (2)点M是棱PA上的点，且，求平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值． 1．如图，直三棱柱中，，，M为棱AB的中点，是的中点. (1)证明：平面； (2)棱AC上是否存在点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 2．如图，三棱柱中，侧面底面，△是边长为的正三角形，，与平面所成角为45°． (1)证明：平面； (2)若点为中点，点为棱上一点，且满足，是否存在使得平面与平面夹角余弦为，若存在求出值，存不存在请说明理由． 3．如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点. (1)求证：平面； (2)求：平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由. 4．如图，正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为. (1)求侧面与底面所成的二面角（锐角）的余弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得？若存在，确定点的位置；若不存在说明理由. 5．如图1，在直角中，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为. (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 6．如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点． (1)平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在一点，使∥平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值． 7．如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为. (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 8．如图，在三棱锥中，，，，. (1)求，并说明异面直线与所成的角的大小在棱长度增大时是怎样变化的； (2)判断点在平面上的射影是否可能在直线上，给出你的结论并加以证明. 9．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，，，，分别是，，，的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度：若不存在，说明理由. 10．如图，四棱锥的底面为菱形且，底面ABCD，，，E为PC的中点. (1)求二面角平面角的正切值； (2)在线段PC上是否存在一点M，使平面MBD成立如果存在，求出MC的长；如果不存在，请说明理由. 11．图1是直角梯形，， ，以为折痕将折起，使点到达的位置．且如图2． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值． 12．在梯形ABCD中，，，F为AB中点，，，，如图，以EF为轴将平面ADEF折起，使得平面平面BCEF. (1)若M为EC的中点，证明：∥平面ABC； (2)证明：平面平面BCD； (3)若N是线段DC上一动点，平面BNE与平面ABF夹角的余弦值为，求DN的长. 13．如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面ABCD，E为AD的中点. (1)证明：平面PAB. (2)证明：. (3)试问在线段PE上是否存在点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 14．在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为,若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 15．如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面，为的中点. (1)证明：. (2)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 16．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 17．如图在斜三棱柱中，，，，平面平面ABC，E是棱上一点，D，F分别是AC，AB的中点. (1)当，证明：平面BED； (2)判断当的值为多少时，锐二面角的余弦值为 18．如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，D，E分别是线段AC，的中点，在平面ABC内的射影为D. (1)求证：平面BDE； (2)若点F为棱的中点，求点F到平面BDE的距离； (3)若点F为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 19．在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 20．如图，在三棱台中，平面，，，，是棱的中点，为棱上一动点. (1)若，证明：平面； (2)是否存在，使平面平面？若存在，求此时与平面所成角的正弦值；若不存在，说明理由. 21．如图，在长方体中，，点在上，且. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)若点在侧面上，且点到直线和的距离相等，求点到直线距离的最小值. 22．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是的中点． (1)求证：平面． (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)在棱上是否存在一点，使直线平面？若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由． 23．如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面 (1)证明：平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由. 24．如图，四边形中，，，，，，，分别在，上，.现将四边形沿折起，使得平面平面.    (1)若，求直线与平面所成角的正弦值； (2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的正切值. 25．图1是边长为的正方形ABCD，将沿AC折起得到如图2所示的三棱锥，且．    (1)证明：平面平面ABC； (2)点M是棱PA上的点，且，求平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值． 26．如图，已知四边形为等腰梯形，且，，，．为中点，将沿进行翻折，使点与点重合．取中点，连接、．    (1)证明：平面； (2)当时，求与平面所成角的正弦值． 27．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，为中点，点在上，且．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面，说明理由？ 28．等边三角形的边长为3，，分别是边和上的点，且，如图1.将沿折起到的位置，连结，.点满足，且点到平面的距离为，如图2.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求四面体的体积. 29．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，，，，Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B、Q两点的截面，且平面 (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)是否存在点Q，使得平面平面？若存在，求出点Q的位置；若不存在，说明理由． 30．如图，在等腰梯形中，，，，为中点，点，分别为，的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面（如图）．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 31．如图，在四棱锥中，直线平面.，，，，，平面平面，F为线段的中点，E为线段上一点.    (1)证明：； (2)证明：； (3)是否存在点E，使得点E到平面的距离是，若存在求出的值，若不存在请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$