压轴专题04 空间向量与立体几何中角与距离问题（5类压轴题型）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020选择性必修第一册）

压轴专题04 空间向量与立体几何中角与距离问题 目录 1 2 一．异面直线所成的角 2 二．直线与平面所称的角 3 三．平面与平面的夹角 4 四．点到直线的距离 5 五．点到平面的距离 7 8 一．异面直线所成的角 【例1】（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知在三棱柱中，侧棱底面，点分别是，的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·四川雅安·期中）如图，平行六面体的所有棱长均相等，且，则异面直线AC与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【方法总结】求异面直线所成角的步骤 (1)确定两条异面直线的方向向量． (2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值． (3)得出两条异面直线所成的角． 对点训练 1.直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为（    ） A．1 B． C． D． 2.（2024·广东·鹤山市第一中学高二月考）直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为___________. 二．直线与平面所成的角 【例1】（24-25高二上·重庆·期中）、、是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成的夹角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·四川甘孜·期中）在平行四边形中，，，，将沿折起，使得平面平面，如图． (1)求证：； (2)若为中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【方法总结】向量法求线面角的基本步骤 对点训练 1.（24-25高二上·全国·课后作业）已知多面体，底面是边长为2的正方形，平面平面，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面面ABCD，M是PD的中点. (1)求证：平面平面PCD (2)求BM与平面所成角的正弦值 三．平面与平面的夹角 【例5】（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例6】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接. (1)求证：平面平面； (2)若是的中点，连接，当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【方法总结】向量法求两平面的夹角(或其某个三角函数值)的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系，写出相应点的坐标； (2)求出两个平面的法向量n1，n2； (3)设两平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|. 【注意】若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，再用法向量求解． 对点训练 1．（24-25高二上·山西·期中）如图，长方体的底面是正方形，分别为的中点，.    (1)证明：平面. (2)求二面角的余弦值. 2.（24-25高二上·浙江宁波·期中）如图，为圆柱的轴截面，为底面半圆周上一点，为中点， (1)若，求的长 (2)若，求平面与平面所成夹角的余弦值 四．点到直线的距离 【例7】（24-25高二上·辽宁抚顺·期中）如图，在四棱台中，底面是菱形，平面，，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【例8】（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）已知四棱锥平面BCDE，底面EBCD是为直角，的直角梯形，如图所示，且，点为AD的中点，则到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 【方法总结】用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的单位方向向量u； (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a； (4)利用公式PQ＝计算点到直线的距离． 对点训练 1.（2024·辽宁建平县实验中学高二月考）如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·广东·顺德市李兆基中学高二期中）如图，在正三棱柱中，若，，则点到直线的距离为___________. 五．点到平面的距离 【例9】（24-25高二上·山西晋城·期中）如图，在直三棱柱中，，，，且，，，则点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【例10】（24-25高二上·安徽·期中）在平行六面体中，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【方法总结】利用向量法求点到平面的距离的步骤 对点训练 1.（2022·吉林·洮南市第一中学高二期中）已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，E为的中点，则点到平面BDE的距离为（    ） A． B．2 C． D． 2.在四棱锥P­ABCD中，设向量＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，则顶点P到底面ABCD的距离为________． 1．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知平面的一个法向量，内有一点，外有一点，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京·期中）如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，已知，，垂足，为两个不同的点，且，设直线与所成的角为，二面角的大小为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高二上·湖南·期中）在长方体中，已知，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·四川绵阳·开学考试）在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，，，，若直线与直线所成角为，则(    ) A．​ B．2 C．​ D．​ 5．（23-24高二上·山东济南·阶段练习）正三棱锥的侧面都是直角三角形，分别是的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·广东江门·期中）在三棱锥中，，，，两两垂直，为的中点，为上更靠近点的三等分点，为的重心，则到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（    ）    A．CC1⊥BD B． C．夹角是60° D．直线与直线的距离是 8．（24-25高二上·新疆阿克苏·期末）已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线为异面直线 C．直线与直线所成的角为 D．平面 9．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，边长均为1的两个正方形和正方形所在的平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且，则下列说法正确的是（    ） A．，使 B．线段存在最小值，最小值为 C．直线与平面所成的角恒为 D．，都有，，共面 10．（24-25高二上·山东·期中）如图，内接于圆O，为圆O的直径，，，平面，E为的中点，若三棱锥的体积为2，则下列结论正确的有（   ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成的角的余弦值为 C．点A到平面的距离为 D．平面与平面所成的角的大小为 11．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知//面，平面的一个法向量，平面内一点的坐标为，点的坐标为，则直线到平面的距离为 ． 12．（24-25高二上·安徽·期中）在矩形中，，为的中点，将沿直线翻折至的位置，则翻折过程中，直线与所成角的余弦值最大值为 . 13．（24-25高二上·上海·期中）在三棱柱中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱底面，点在棱上，且，则与平面所成的角的余弦值为 ． 14．（24-25高二上·四川内江·期中）如图，平行六面体中，，． (1)求的长； (2)求直线与所成角的余弦值． 15．（24-25高二上·北京顺义·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，． (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求点到平面的距离． 16．（24-25高二上·青海西宁·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且.    (1)求证：平面. (2)求二面角的平面角的余弦值. 17．（24-25高二上·四川南充·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，是AD的中点，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值. 18．（2024·甘肃白银·一模）如图，在四棱台中，底面和均为正方形，平面平面为线段上一点. (1)若为线段的中点，证明：平面平面. (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求. 19．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面，，分别是，的中点． (1)证明：； (2)设为侧棱上的动点，若直线与平面所成角的最大值为，试求平面与平面的夹角的余弦值． 20．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴专题04 空间向量与立体几何中角与距离问题 目录 1 2 一．异面直线所成的角 2 二．直线与平面所称的角 4 三．平面与平面的夹角 9 四．点到直线的距离 13 五．点到平面的距离 17 20 一．异面直线所成的角 【例1】（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知在三棱柱中，侧棱底面，点分别是，的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，建立空间直角坐标系，如图，设，    则， 故， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 【例2】（24-25高二上·四川雅安·期中）如图，平行六面体的所有棱长均相等，且，则异面直线AC与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设棱长为， 以为基底，则， ， ， 所以异面直线AC与所成角的余弦值为：. 故选：A 【方法总结】求异面直线所成角的步骤 (1)确定两条异面直线的方向向量． (2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值． (3)得出两条异面直线所成的角． 对点训练 1.直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】以A为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 设，则， 所以，解得(负值舍去). 故选：A． 2.（2024·广东·鹤山市第一中学高二月考）直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为___________. 【答案】 【解析】分别以为建立空间直角坐标系，如图，设，则，，，，，因为，，所以分别是的中点， 所以，，， ， 所以与所成的角的余弦值为． 二．直线与平面所成的角 【例1】（24-25高二上·重庆·期中）、、是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成的夹角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，把、、放在正方体中，使得这三条线成为正方体的三条面对角线，则、、的夹角均为． 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为， 则、、、， 所以，，， 设平面的法向量，则 令，则，，所以， 所以． 设直线与平面所成角为，所以， 所以． 故选：B． 【例2】（24-25高二上·四川甘孜·期中）在平行四边形中，，，，将沿折起，使得平面平面，如图． (1)求证：； (2)若为中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【解】（1）因为平面，平面平面，平面， ，所以平面. 又平面，所以． （2）由（1）知，平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 依题意，、、、、， 则，，， 设平面的法向量． 则．                                        取，则， 所以为平面的一个法向量． 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 【方法总结】向量法求线面角的基本步骤 对点训练 1.（24-25高二上·全国·课后作业）已知多面体，底面是边长为2的正方形，平面平面，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以A为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 所以，， 则，， 设平面的法向量为，则即 令，则，得， 则，故直线与平面所成的角为． 故选：B. 2.（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面面ABCD，M是PD的中点. (1)求证：平面平面PCD (2)求BM与平面所成角的正弦值 【解】（1）由平面平面，平面平面， 底面ABCD是边长为2的正方形，则，平面， 可知面，平面，， 为正三角形，为中点， 可得，平面，平面， 平面，平面平面. （2）取AD的中点为O，连接，侧面PAD是正三角形， 则，平面平面，平面平面， 平面，可知面， 设BC中点为N，连接ON， 以O为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系： 则，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，则， 设BM与平面所成角为，则. 三．平面与平面的夹角 【例5】（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于，，根据台体的性质可知, 由于平面，平面，所以， 由于，由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 平面的一个法向量为， ，即， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设二面角为，由图可知为锐角， 所以. 故选：B 【例6】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接. (1)求证：平面平面； (2)若是的中点，连接，当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【解】（1）因为是圆的直径，与圆切于点，所以， 又底面圆，底面圆， ，又，平面， 平面，又平面，， 在中，，，则，， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （2）因为底面圆，如图以为原点，在底面圆内过点作的垂线为轴，分别为轴，轴建立空间直角坐标系， 易得，，，，，， 由（1）知，为平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， 因为，， 由，得到，令，得，， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【方法总结】向量法求两平面的夹角(或其某个三角函数值)的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系，写出相应点的坐标； (2)求出两个平面的法向量n1，n2； (3)设两平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|. 【注意】若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，再用法向量求解． 对点训练 1．（24-25高二上·山西·期中）如图，长方体的底面是正方形，分别为的中点，.    (1)证明：平面. (2)求二面角的余弦值. 【解】（1）    设，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则即 令，则. 证明：. 因为，所以， 平面，所以平面. （2）易知为平面的一个法向量，且. . 易得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 2.（24-25高二上·浙江宁波·期中）如图，为圆柱的轴截面，为底面半圆周上一点，为中点， (1)若，求的长 (2)若，求平面与平面所成夹角的余弦值 【解】（1）因为为圆柱的轴截面， 所以平面，平面，所以， 又因为，平面, 所以平面，平面，所以， 又因为，，平面, 所以平面，所以， 因为为中点，所以三角形为等腰三角形，即； （2）如图，以为坐标原点，以，为，轴建立空间直角坐标系，设， 则,0,，,0,，,2,，,2,，,0,，可得,1,， 设平面的法向量为， 可得，设平面的法向量为， 则，即，不妨令， 可得,2,为平面的一个法向量， 所以， 平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 四．点到直线的距离 【例7】（24-25高二上·辽宁抚顺·期中）如图，在四棱台中，底面是菱形，平面，，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以为原点，分别以，过垂直于，方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示， 因为且四边形是菱形， 所以，且，即， 所以， 设点到直线的距离为， 所以， 故选：D. 【例8】（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）已知四棱锥平面BCDE，底面EBCD是为直角，的直角梯形，如图所示，且，点为AD的中点，则到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，平面，平面， 所以，又， 故以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则，得 所以，， 记， 则， 所以F到直线BC的距离为. 故选：A 【方法总结】用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的单位方向向量u； (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a； (4)利用公式PQ＝计算点到直线的距离． 对点训练 1.（2024·辽宁建平县实验中学高二月考）如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题】由题意知，， 取AC的中点O，则， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 所以在上的投影的长度为， 故点C到直线的距离为：.故选：D 2.（2024·广东·顺德市李兆基中学高二期中）如图，在正三棱柱中，若，，则点到直线的距离为___________. 【答案】 【解析】设的中点为，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 所以到直线的距离为. . 五．点到平面的距离 【例9】（24-25高二上·山西晋城·期中）如图，在直三棱柱中，，，，且，，，则点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设为平面的一个法向量， 则可取， 则点到平面的距离为． 故选：B. 【例10】（24-25高二上·安徽·期中）在平行六面体中，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以点为坐标原点，方向为轴非负方向，方向为轴非负方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 设，则，，， 由，得， 由，得， ，由，可得，解得， ， 取平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为 . 故选：C. 【方法总结】利用向量法求点到平面的距离的步骤 对点训练 1.（2022·吉林·洮南市第一中学高二期中）已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，E为的中点，则点到平面BDE的距离为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，,,, 所以，，， 设平面BDE的法向量为， 则，令，则，即， 则点到平面BDE的距离，故：D 2.在四棱锥P­ABCD中，设向量＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，则顶点P到底面ABCD的距离为________． 【答案】2 【解析】设平面ABCD的法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝3，得n＝(3，12，4)， 所以点P到底面ABCD的距离d＝＝＝2. 1．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知平面的一个法向量，内有一点，外有一点，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知， 点到平面的距离为， 故选：C． 2．（24-25高二上·北京·期中）如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，已知，，垂足，为两个不同的点，且，设直线与所成的角为，二面角的大小为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】由题意可知，， . 且由图可知二面角为锐角，. 故选：A 3．（24-25高二上·湖南·期中）在长方体中，已知，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在长方体中, 以 点为原点, 分别为 , , 轴建立空间直角坐标系， 因为，，则，，，， 可得 , 则， 则直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 4．（24-25高二上·四川绵阳·开学考试）在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，，，，若直线与直线所成角为，则(    ) A．​ B．2 C．​ D．​ 【答案】B 【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，设， 则，， ， 解得，故． 故选：B． 5．（23-24高二上·山东济南·阶段练习）正三棱锥的侧面都是直角三角形，分别是的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为正三棱锥的侧面都是直角三角形， 所以可以以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 设， 因为分别是的中点， 所以， ， 设平面的法向量为， 则有， 所以与平面所成角的正弦值为：， 故选：C    6．（23-24高二上·广东江门·期中）在三棱锥中，，，，两两垂直，为的中点，为上更靠近点的三等分点，为的重心，则到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 得，， 取，， 则，， 所以点到直线的距离为． 故选：C. 7．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（    ）    A．CC1⊥BD B． C．夹角是60° D．直线与直线的距离是 【答案】ABD 【解析】   如图，设， 则 对于A，因， 则，故A正确； 对于B，因，， 则，故B正确； 对于C，，则， 且 设夹角为，则，因，则，即C错误； 对于D,在平行六面体中，易得, 则得,故,故点到直线的距离即直线与直线的距离. 因， 且， 则，故D正确. 故选：ABD. 8．（24-25高二上·新疆阿克苏·期末）已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线为异面直线 C．直线与直线所成的角为 D．平面 【答案】AD 【解析】对A，连接，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对BC，由A知，则两直线共面，则直线与直线不是异面直线，且直线与直线所成的角不是故BC错误； 对D，以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 则， 则， 则， 则，又因为平面，所以平面. 故选：AD. 9．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，边长均为1的两个正方形和正方形所在的平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且，则下列说法正确的是（    ） A．，使 B．线段存在最小值，最小值为 C．直线与平面所成的角恒为 D．，都有，，共面 【答案】AD 【解析】由已知平面，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 在坐标平面上，直线的方程为，，则， 在坐标平面上，直线的方程为，，则, ，， 易知，当时，，A正确； ，所以时，，B错； 平面的一个法向量是，， 所以与平面所成角的正弦值为，这个值不是恒为，因此角的大小不可能恒为，C错； ，， 所以，，共面，D正确， 故选：AD． 10．（24-25高二上·山东·期中）如图，内接于圆O，为圆O的直径，，，平面，E为的中点，若三棱锥的体积为2，则下列结论正确的有（   ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成的角的余弦值为 C．点A到平面的距离为 D．平面与平面所成的角的大小为 【答案】AC 【解析】∵为圆O的直径，且，，∴为直角三角形，， 设， 由E为的中点可得， 解得， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系如下图所示： ，，，，， 则，，，， 对于A，易知， 所以异面直线与所成角的余弦值为，选项A正确； 对于B，设平面的法向量为，，即， 取，， 设与平面所成的角为，则，选项B不正确； 对于C，点A到平面的距离为，选项C正确. 对于D，设平面的法向量为，， 则，即，取， ，， 所以平面与平面的夹角大小为90°，选项D不正确. 故选：AC. 11．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知//面，平面的一个法向量，平面内一点的坐标为，点的坐标为，则直线到平面的距离为 ． 【答案】/ 【解析】因为//面，所以直线到平面的距离可转化为点到平面的距离， 又，则点到平面的距离. 12．（24-25高二上·安徽·期中）在矩形中，，为的中点，将沿直线翻折至的位置，则翻折过程中，直线与所成角的余弦值最大值为 . 【答案】 【解析】在矩形中，取中点，连接与交于点， ，，，且， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，过与平面垂直的直线为轴， 建立空间直角坐标系如上图，则，，， 为中点，， 将沿直线翻折至的位置的过程中，在以为圆心，直径为的圆弧上， 在平面内，设，且，， ，即， ，，， 所以 ， 设直线与所成角为，则 ， 易知，当时，单调递增， 当时，. 13．（24-25高二上·上海·期中）在三棱柱中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱底面，点在棱上，且，则与平面所成的角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】取的中点，连接，过点作， 依题意可得，底面，所以底面， 如图建立空间直角坐标系，则，， 所以，又平面的法向量可以为， 设与平面所成的角为，所以， 与平面所成的角的余弦值为． 14．（24-25高二上·四川内江·期中）如图，平行六面体中，，． (1)求的长； (2)求直线与所成角的余弦值． 【解】（1）如图所示：以，，为基底．则由题意得：． 又∵， ∴． 又因为，则 （2），． ； ； 即． 由题意可知直线与所成角为锐角． 故直线与所成角的余弦值为． 15．（24-25高二上·北京顺义·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，． (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求点到平面的距离． 【解】（1）以点为原点，以向量为轴的方向向量，建立空间直角坐标系， ，，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，可取法向量 设直线与平面所成角为， 所以,则， 所以直线与平面所成角的大小为； （2）因为，则， 由（2）可知，直线与平面所成角的大小为， 所以点到平面的距离为. 16．（24-25高二上·青海西宁·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且.    (1)求证：平面. (2)求二面角的平面角的余弦值. 【解】（1）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，取， 由得，平面. （2）由题意得，，， 设平面的法向量为， 则，取， ∴， 由图知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 17．（24-25高二上·四川南充·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，是AD的中点，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值. 【解】（1）    因为平面，平面， 所以， 由，知，， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，是的中点，所以， 又，平面， 所以平面. （2）    以C为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，则， 故，，， 设平面的法向量， 则，即，取， 由（1）可知为平面ADE的法向量 则， 即平面ADE与平面所成夹角的余弦值. 18．（2024·甘肃白银·一模）如图，在四棱台中，底面和均为正方形，平面平面为线段上一点. (1)若为线段的中点，证明：平面平面. (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求. 【解】（1）证明：是正方形，. 平面平面平面. 平面平面，平面平面，平面平面. 由题意得为的中点，， 四边形为平行四边形， 平面平面平面 平面平面 （2）分别取的中点，连接.易证. 平面平面，平面平面 平面. 设为2个单位长度，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则.设， 得. 设平面的法向量为， 则, 取，得，则. 由直线与平面所成角的正弦值为 ， 解得.所以又因为, 所以, 故. 19．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面，，分别是，的中点． (1)证明：； (2)设为侧棱上的动点，若直线与平面所成角的最大值为，试求平面与平面的夹角的余弦值． 【解】（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形. 为的中点,， 又，， 平面，平面，， 而平面，平面，且，平面， 又平面，. （2）法一：由平面，平面可得， 又由（1）可得，，故建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，设， 则，由，，三点共线可设， 设，则，则， 故，从而， 又平面的一个法向量，设与平面所成角为， 则． 令， 故当时，， 故，即，， 则，，因为，故， 所以点坐标为，则，. 设平面的一个法向量为 则有 取，可得； 同理可得平面的一个法向量， ， 故平面与平面的夹角余弦值为. 法二：为上任意一点，连接，， 由（1）知平面，所以为与平面所成的角， 在中，，且， 所以当最短时，最大， 即当时，最大. 因为，所以， 又，所以，所以， 由（1）知，，两两垂直，故可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 又，分别为，的中点， 所以，，，， ，，， 所以，，， 设平面的一法向量为， 则，故， 取，则， 又由平面可得， 因为，平面，平面，，所以平面， 故为平面的一法向量， 所以. 故平面与平面的夹角的余弦值为. 20．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【解】（1）连接BD，交AC于点O，由P，O分别为DF和DB的中点，得， 而平面APC，平面APC，所以平面APC.    （2）由直线平面ABCD，平面ABCD，得， 由矩形ABCD，得，以A为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    则， ， 设平面BCF的法向量，则，令，得， 设平面APC的法向量为，则，令，得， 所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为. （3）由（2）知，平面APC的法向量，而， 所以点F到平面ACP的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$