压轴专题02 直线与圆的位置关系（4类压轴题型）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020选择性必修第一册）

压轴专题02 直线与圆的位置关系 目录 1 2 一．直线与圆的位置关系 2 二．切线问题 4 三．弦长问题 6 四．直线与圆的实际应用 7 8 1.直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 判断方法 代数法：由方程组 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 2.直线与圆相切 如图，直线l与圆C相切，切点为P，半径为r.则①CP⊥l；②点C到直线l的距离d＝|CP|＝r；③切点P在直线l上，也在圆上． 3.圆的弦长问题 如图，直线l与圆C相交于A，B，半径为r，弦AB中点为D， 则①点C到直线l的距离d＝|CD|，称为弦心距；②CD⊥l；③|AD|2＋d2＝r2，|AB|＝2 1． 直线与圆的位置关系 【例1】（2024·全国·模拟预测）若直线与圆有交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 依题意，圆心到直线的距离小于等于圆的半径， 所以，即. 故选：A. 【例2】已知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，判断直线l与圆C的位置关系． 【解】　方法一(代数法)： 由方程组消去y并整理，得5x2－50x＋61＝0. 因为Δ＝(－50)2－4×5×61＝1 280＞0， 所以该方程组有两组不同的实数解， 即直线l与圆C相交． 方法二(几何法)： 圆C的圆心坐标为(7，1)，半径r＝6. 圆心(7，1)到直线l的距离d＝＝2. 因为d＜r，所以直线l与圆C相交． 【解题技法】直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 对点训练 1.已知圆C: x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则(　　) A．l与圆C相交 B．l与圆C相切 C．l与圆C相离 D．以上三个选项均有可能 【答案】A 【解析】将点P(3,0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3,0)在圆内． ∴过点P的直线l必与圆C相交． 2.若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是(　　) A．(0,2] B．(1,2] C．(0,2) D．(1,2) 【答案】C 【解析】由题意得，圆心到直线的距离d＝>，∴m<2，∵m>0，∴0<m<2. 3.（2024·安徽·三模）直线：与圆：的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【解析】由直线，可得直线过定点， 又由圆：，可得点在圆C上， 因为直线的斜率显然存在，所以公共点的个数为2. 故选：C. 2． 切线问题 【例3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知 过坐标原点O作的两条切线，切点为A、B，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】 由题意得⊙C圆心为，半径，， 则， 则四边形的面积. 故选：B. 【例4】（2025·江苏苏州·模拟预测）过原点的圆的圆心为，则原点处与圆相切的直线的倾斜角为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆心为，则， 依题意，所以， 又，所以直线的倾斜角为3．. 故选：A 对点训练 【解题技法】(1)求过已知点的圆的切线的方法 ①如果已知点在圆上，那么圆心和已知点的连线和切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得切线方程． ②如果已知点在圆外，过这点的切线将有两条，但在设斜率解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在． (2)圆的切线长的求法 过圆外一点的圆的切线长的求解要抓住圆心到切线的距离等于半径这一几何性质．设切线长为l，点到圆心的距离为d，半径为r，运用勾股定理可得l＝. 1．（2024高三·全国·专题练习）设P为直线上的动点，PA，PB为圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形的周长的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】依题意，圆的圆心，半径， ，， 因此四边形的周长， 而，当且仅当垂直于直线时取等号， 所以四边形的周长的最小值为4. 故选：C 2．（2024·新疆·二模）从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】圆化为，圆心为，半径为1， 直线上的点向圆引切线，设切点为， 则， 要使切线长的最小，则最小，即直线上的点与圆心的距离最小， 由点到直线的距离公式可得，. 所以切线长的最小值为. 故选：B. 3． 弦长问题 【例5】（2024·青海·一模）已知直线与圆交于两点，且，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由题意可得圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离．因为， 所以，即，解得. 故选：D. 【例6】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线l：， 令，解得，所以直线l恒过定点， 圆C：的圆心为，半径为， 且，即P在圆内， 当时，圆心C到直线l的距离最大为， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为． 故选：A． 【解题技法】(1)求直线与圆的弦长的两种方法：代数法、几何法． (2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况． 对点训练 1.已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】圆的圆心为点，半径为，圆心到直线的距离为. ①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意； ②若直线的斜率存在，可设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，解得. 此时直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或.故选D. 2.如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程． 【解】圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8， 所以弦心距d＝＝＝3. 因为圆心O(0,0)到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x＝－3是符合题意的一条直线． 设直线y＋＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线kx－y＋＝0的距离等于3， 于是＝3，解得k＝－，故直线的方程为3x＋4y＋15＝0. 综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3和3x＋4y＋15＝0. 4． 直线与圆的实际应用 【例7】一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 【解】以台风中心为原点，以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)，则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，即4x＋7y－28＝0，圆心(0，0)到l：4x＋7y－28＝0的距离d＝＝，因为＞3，所以直线与圆相离．故轮船不会受到台风的影响． 【解题技法】直线与圆方程的实际应用问题的解题步骤 对点训练 一辆货车宽2米，要经过一个半径为米的半圆形隧道，则这辆货车的车顶(平顶)距离地面的高度不得超过(　　) A.2.4米　　　　　　　　 B．3米 C.3.6米 D．2米 【答案】B 【解析】以半圆直径所在直线为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的坐标系．由半圆的半径为可知，半圆所在圆的方程为x2＋y2＝10.由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车顶可达到最高．此时x＝1或x＝－1，代入x2＋y2＝10，得y＝3(负值舍去). 1．(2024·贵州高二期末)圆心为(3,0)且与直线x＋y＝0相切的圆的方程为(　　) A．(x－)2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝3 C．(x－)2＋y2＝3 D．(x－3)2＋y2＝9 【答案】B 【解析】由题意知所求圆的半径r＝＝， 故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝3，故选B. 2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　) A.[－3，－1] B.[－1，3] C.[－3，1] D.(－∞，－1]∪[1，＋∞) 【答案】C 【解析】因为圆心到直线的距离d＝＝，且直线与圆有公共点， 所以d＝≤，解得－3≤a≤1，故选C. 3．(2024·天津高二期中)直线x＋y＝0被圆x2＋y2－6x＋2y＋4＝0截得的弦长等于(　　) A.4 B．2 C.2 D． 【答案】A 【解析】方法一：因为x2＋y2－6x＋2y＋4＝0，所以(x－3)2＋(y＋1)2＝6，圆心(3，－1)到直线x＋y＝0的距离d＝＝，直线x＋y＝0被圆x2＋y2－6x＋2y＋4＝0截得的弦长l＝2＝4.故选A. 方法二：设直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由 消去y，得x2－4x＋2＝0，所以x1＋x2＝4，x1x2＝2，所以弦长|AB|＝×＝4. 4.直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个交点，则b满足(　　) A．|b|＝ B．－1＜b≤1或b＝－ C．－1≤b＜1 D．非以上答案 【答案】B 【解析】曲线x＝含有限制条件，即x≥0， 故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分． 在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝(即x2＋y2＝1，x≥0)的图象，如图所示． 当直线与曲线相切时，b＝－，其他位置符合条件时需－1＜b≤1. 5．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）已知为圆上两点，且，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设线段的中点为，圆：的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为，所以， 故点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 设点的轨迹为圆，圆上的点到直线的最短距离为． 所以． 故选:A.      6．（23-24高二上·江苏扬州·开学考试）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以小岛中心为原点O，东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系，则设轮船所在位置为点B，港口所在位置为点A，如图所示，    则，（），暗礁分布的圆形区域的边界的方程为， 所以轮船沿直线返港时直线的方程为，即， 又因为轮船沿直线返港不会有触礁危险， 所以直线与相离， 即圆心O到直线的距离（），解得. 故选：A. 7．（24-25高二上·江西·阶段练习）台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则， 以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 当台风进入圆内，则城市处于危险区， 又台风的运动轨迹为， 设直线与圆的交点为，， 圆心到直线的距离， 则， 所以时间， 故选：C. 8．（多选题）给定直线和圆，则（    ） A．m的取值范围为 B．当l与圆C相切时， C．当时，l与圆C相离 D．当l与圆C相交时， 【答案】BC 【解析】的标准方程为， 圆C圆心为，半径， 对于A：由，解得，故A错误； 对于B：因为到直线的距离为， 所以当l与圆C相切时，，解得，故B正确； 对于C：当时，，所以l与圆C相离，故C正确； 对于D：当l与圆C相交时，，解得，故D错误； 故选：BC 9．（多选题）与圆：相切，且在，轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】圆：化为标准方程为，即圆是圆心为，半径为的圆. 若所求直线过原点，可设所求直线为，因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得，所以； 若所求直线不过原点，因为该直线在两坐标轴上的截距相等，所以可设该直线方程为，因为该直线与圆相切，所以，解得或（舍），所以. 综上，满足条件的直线的方程为，，. 故选：ABD. 10．(多选)(2024·河北武邑中学期中)已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝4与直线x＋my－m－2＝0，下列选项正确的是(　　) A.直线与圆必相交 B.直线与圆不一定相交 C.直线与圆相交且所截最短弦长为2 D.直线与圆可以相切 【答案】AC 【解析】由题意，圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的圆心C(1，1)，半径r＝2. 直线x＋my－m－2＝0，化为x－2＋m(y－1)＝0，则直线过定点A(2，1). 因为|CA|＝＝1＜2， 所以直线与圆必相交，故A正确，B，D错误． 由平面几何知识可知，当直线与直线AC垂直时，弦长最小， 此时弦长为2＝2，故C正确． 故选AC. 11．若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________． 【答案】x＋2y－5＝0 【解析】设切线斜率为k，则由已知得k·kOP＝－1. 所以k＝－.所以切线方程为y－2＝－(x－1)，整理得x＋2y－5＝0. 12．已知圆的方程为x2＋y2＋2x－8y＋8＝0，过点P(1，0)作该圆的一条切线，切点为A，那么线段PA的长度为________． 【答案】 【解析】圆x2＋y2＋2x－8y＋8＝0，即(x＋1)2＋(y－4)2＝9， 设点C(－1，4)为圆心，半径r＝3，由切线长定理可得切线长|PA|＝＝＝. 13．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0的圆心到直线x＋y＋1＝0的距离为________，圆上到直线的距离为的点共有________个． 【答案】　3 【解析】圆的方程变形得(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，则圆心为(－1，－2)，半径r＝2， 而圆心到直线的距离d＝＝，故圆上有3个点满足题意． 14．（21-22高二上·北京·期中）已知圆C：，直线m的倾斜角为且与圆C相切，则切线m的方程为 ． 【答案】或 【解析】由直线m的倾斜角为，设直线m的方程为，即， 而圆C：的圆心，半径， 由直线m与圆C相切，得，解得或， 所以切线m的方程为或. 15．（2024·天津滨海新·三模）已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与相交于两点，且，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【解析】依题意可知抛物线的焦点为， 圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称， ∴圆心坐标为， 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d， 则， 又∵，∴ 则圆的标准方程为． 16．（22-23高二上·北京·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是 ． 【答案】/ 【解析】如下图，圆弧的圆心O在直线MN上，过B作，交圆弧于点G，作于点H，连接OE、OG. 由题可知，，， 设，则 在中，有 即，解得 故车辆通过隧道的限制高度是. 17.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________． 【答案】10 【解析】圆的方程化为标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，易知点E在圆内，由圆的性质可知最长弦|AC|＝2，最短弦BD恰以E(0,1)为中点，且与AC垂直， 设点F(1,3)为其圆心． 故|EF|＝，所以|BD|＝2＝2， 则S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝10. 18．过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·的值为________． 【答案】 【解析】依题意作出图象． 由题意可知，PA⊥OA，因为点A在圆O上， 所以PA是圆O的一条切线．作出另一条切线PB，PA＝PB＝，如图所示． 因为tan ∠POA＝＝，且∠POA∈， 所以∠POA＝.因为A，B均是切点， 所以∠PBO＝∠PAO＝，∠POB＝∠POA＝， 所以∠BPA＝. ·＝|PA|·|PB|·cos ∠BPA＝××＝. 19．已知曲线C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0. (1)当m为何值时，曲线C表示圆； (2)若直线l：y＝x－m与圆C相切，求m的值． 【解】(1)由C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0， 得(x＋1)2＋(y＋2)2＝5－m， 由5－m＞0时，得m＜5， 所以当m＜5时，曲线C表示圆． (2)由(1)知圆C的圆心坐标为(－1，－2)，半径为. 因为直线l：y＝x－m与圆C相切， 所以＝， 解得m＝±3，满足m＜5. 所以m＝±3. 20．已知圆C的圆心为(1，1)，直线x＋y－4＝0与圆C相切． (1)求圆C的标准方程； (2)若另一条直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求此直线的方程． 【解】(1)半径r＝＝， 所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. (2)由弦长为2得圆心到直线的距离为＝1. 当直线斜率不存在时，x＝2，满足题意；当直线斜率存在时设直线y－3＝k(x－2)， 即kx－y＋3－2k＝0，由＝1，解得k＝，直线方程3x－4y＋6＝0. 综上，所求直线的方程为x＝2或3x－4y＋6＝0. 21．(2024·长沙联考)已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋3＝0和直线l：ax＋y－1－a＝0. (1)判断直线l和圆C的位置关系； (2)求直线l被圆C截得的最短的弦长及此时直线l的方程． 【解】(1)直线l：ax＋y－1－a＝0可化为l：a(x－1)＋y－1＝0，故直线l过定点P(1，1)；圆C：x2＋y2－2x－4y＋3＝0的圆心C(1，2)，半径为. 因为|PC|＝＝1＜，所以定点P(1，1)在圆内，因此直线l与圆C相交． (2)要使直线l被圆C截得的弦最短，只需l⊥PC，此时弦长为2＝2. 因为直线PC的斜率不存在， 所以直线l的斜率为0， 即a＝0，此时直线l的方程为y－1＝0. 22．已知圆圆心在直线上，且经过点和. (1)求圆的标准方程； (2)自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程． 【解】（1）设圆的方程为， 可得   解得 所以圆的方程为，即圆的标准方程为； （2）圆关于轴的对称方程是， 设的方程为，即， 因为反射光线所在的直线与圆相切，故对称圆与入射光线相切， 所以对称圆心到的距离为圆的半径1， 则， 从而可得， 故光线所在直线的方程是或． 23．已知圆C经过，且圆心在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)已知斜率为直线l经过第三象限，且与圆C交于点M，N，求的面积的取值范围. 【解】（1）设圆的方程为， 因为点在圆上，圆心在直线上， 所以，解得，，， 所以圆的方程为，即． （2）设所求直线方程为，且,即，    由圆心到直线的距离为，所以 由垂径定理有， 由于，且直线与圆交于两点，因此，又，即， 所以， 由于，则，因此， 所以的取值范围为． 24．已知圆过三点． (1)求圆的标准方程； (2)已知直线与圆相交于两点，且，求的最小值． 【解】（1）设圆的方程为， 由题意可得，解得， 则圆的方程为， 整理可得标准方程为. （2）由圆的方程，则圆心，半径， 由，即，则直线过定点， 由圆心到定点的距离， 则定点在圆内，易知当时，最短， . 25．已知圆． (1)过点作圆C的切线l，求l的方程； (2)若直线AB方程为与圆C相交于A、B两点，求． (3)在（2）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值． 【解】（1）圆方程可化为，则圆心，半径为1， 由，可得点在圆外， 当过点的直线斜率存在时，设l的方程为，即， 则圆心到直线l的距离为，解得， 此时的方程为，即， 当过点的直线斜率不存在时，的方程为，此时与圆相切， 所以直线的方程为或. （2）直线方程为， 则圆心到直线的距离，直线与圆相交， . （3）圆的圆心，半径， 点到直线：的距离， 点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 26．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中，，且. (1)求点的轨迹方程； (2)过作（1）的切线，求切线方程； (3)若点在（1）的轨迹上运动，另有定点，求的取值范围. 【解】（1）设，由， 得， 整理得，，即， 则点的轨迹方程为. （2）由（1）知，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 当切线斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 所以切线方程为，即. 综上所述，切线方程为或. （3）点到圆心的距离为， 所以，即， 即的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴专题02 直线与圆的位置关系 目录 1 2 一．直线与圆的位置关系 2 二．切线问题 3 三．弦长问题 3 四．直线与圆的实际应用 4 4 1.直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 判断方法 代数法：由方程组 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 2.直线与圆相切 如图，直线l与圆C相切，切点为P，半径为r.则①CP⊥l；②点C到直线l的距离d＝|CP|＝r；③切点P在直线l上，也在圆上． 3.圆的弦长问题 如图，直线l与圆C相交于A，B，半径为r，弦AB中点为D， 则①点C到直线l的距离d＝|CD|，称为弦心距；②CD⊥l；③|AD|2＋d2＝r2，|AB|＝2 1． 直线与圆的位置关系 【例1】（2024·全国·模拟预测）若直线与圆有交点，则（    ） A． B． C． D． 【例2】已知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，判断直线l与圆C的位置关系． 【解题技法】直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 对点训练 1.已知圆C: x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则(　　) A．l与圆C相交 B．l与圆C相切 C．l与圆C相离 D．以上三个选项均有可能 2.若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是(　　) A．(0,2] B．(1,2] C．(0,2) D．(1,2) 3.（2024·安徽·三模）直线：与圆：的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 2． 切线问题 【例3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知 过坐标原点O作的两条切线，切点为A、B，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【例4】（2025·江苏苏州·模拟预测）过原点的圆的圆心为，则原点处与圆相切的直线的倾斜角为（    ） A．3 B． C． D． 对点训练 【解题技法】(1)求过已知点的圆的切线的方法 ①如果已知点在圆上，那么圆心和已知点的连线和切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得切线方程． ②如果已知点在圆外，过这点的切线将有两条，但在设斜率解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在． (2)圆的切线长的求法 过圆外一点的圆的切线长的求解要抓住圆心到切线的距离等于半径这一几何性质．设切线长为l，点到圆心的距离为d，半径为r，运用勾股定理可得l＝. 1．（2024高三·全国·专题练习）设P为直线上的动点，PA，PB为圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形的周长的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 2．（2024·新疆·二模）从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 3． 弦长问题 【例5】（2024·青海·一模）已知直线与圆交于两点，且，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【例6】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题技法】(1)求直线与圆的弦长的两种方法：代数法、几何法． (2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况． 对点训练 1.已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 2.如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程． 4． 直线与圆的实际应用 【例7】一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 【解题技法】直线与圆方程的实际应用问题的解题步骤 对点训练 一辆货车宽2米，要经过一个半径为米的半圆形隧道，则这辆货车的车顶(平顶)距离地面的高度不得超过(　　) A.2.4米　　　　　　　　 B．3米 C.3.6米 D．2米 1．(2024·贵州高二期末)圆心为(3,0)且与直线x＋y＝0相切的圆的方程为(　　) A．(x－)2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝3 C．(x－)2＋y2＝3 D．(x－3)2＋y2＝9 2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　) A.[－3，－1] B.[－1，3] C.[－3，1] D.(－∞，－1]∪[1，＋∞) 3．(2024·天津高二期中)直线x＋y＝0被圆x2＋y2－6x＋2y＋4＝0截得的弦长等于(　　) A.4 B．2 C.2 D． 4.直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个交点，则b满足(　　) A．|b|＝ B．－1＜b≤1或b＝－ C．－1≤b＜1 D．非以上答案 5．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）已知为圆上两点，且，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江苏扬州·开学考试）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江西·阶段练习）台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）给定直线和圆，则（    ） A．m的取值范围为 B．当l与圆C相切时， C．当时，l与圆C相离 D．当l与圆C相交时， 9．（多选题）与圆：相切，且在，轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 10．(多选)(2024·河北武邑中学期中)已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝4与直线x＋my－m－2＝0，下列选项正确的是(　　) A.直线与圆必相交 B.直线与圆不一定相交 C.直线与圆相交且所截最短弦长为2 D.直线与圆可以相切 11．若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________． 12．已知圆的方程为x2＋y2＋2x－8y＋8＝0，过点P(1，0)作该圆的一条切线，切点为A，那么线段PA的长度为________． 13．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0的圆心到直线x＋y＋1＝0的距离为________，圆上到直线的距离为的点共有________个． 14．（21-22高二上·北京·期中）已知圆C：，直线m的倾斜角为且与圆C相切，则切线m的方程为 ． 15．（2024·天津滨海新·三模）已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与相交于两点，且，则圆的标准方程为 ． 16．（22-23高二上·北京·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是 ． 17.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________． 18．过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·的值为________． 19．已知曲线C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0. (1)当m为何值时，曲线C表示圆； (2)若直线l：y＝x－m与圆C相切，求m的值． 20．已知圆C的圆心为(1，1)，直线x＋y－4＝0与圆C相切． (1)求圆C的标准方程； (2)若另一条直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求此直线的方程． 21．(2024·长沙联考)已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋3＝0和直线l：ax＋y－1－a＝0. (1)判断直线l和圆C的位置关系； (2)求直线l被圆C截得的最短的弦长及此时直线l的方程． 22．已知圆圆心在直线上，且经过点和. (1)求圆的标准方程； (2)自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程． 23．已知圆C经过，且圆心在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)已知斜率为直线l经过第三象限，且与圆C交于点M，N，求的面积的取值范围. 24．已知圆过三点． (1)求圆的标准方程； (2)已知直线与圆相交于两点，且，求的最小值． 25．已知圆． (1)过点作圆C的切线l，求l的方程； (2)若直线AB方程为与圆C相交于A、B两点，求． (3)在（2）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值． 26．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中，，且. (1)求点的轨迹方程； (2)过作（1）的切线，求切线方程； (3)若点在（1）的轨迹上运动，另有定点，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$