压轴专题01 对称问题（3类压轴题型）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020选择性必修第一册）

压轴专题01 对称问题 目录 1 2 一．点、线对称问题 2 二．光的反射问题 3 三．利用对称解决最值问题 4 4 一.两条直线垂直的判定 图示 对应 关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 二．直线一般式判定法 三 点到直线的距离 1．定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足． 2．公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝． 四 两条平行直线间的距离 1．定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝ 一．点、线对称问题 【例1】点关于点的对称点为（    ） A． B． C． D． 【例2】已知点，，则线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例3】已知直线l：. (1)求点关于直线l的对称点坐标； (2)直线关于直线l对称的直线的方程． 【解题技法】对称问题的解决方法 (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式． 点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x,2b－y)． (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求． 设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0，y0)， 则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0. (3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”． 设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得． (4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题． 对点训练 1．直线x－2y＋1＝0 关于直线x＝1对称的直线方程是(　　) A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0 2.已知直线l：，点.求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线l关于点A对称的直线l′的方程. 二．光的反射问题 【例4】一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例5】已知点和圆，一束光线从点P出发，经过直线反射后到达圆C上一点的最短路程是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【解题技法】根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解． 对点训练 1.已知A(3,0)，B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为 2.一束光线从原点出发，经过直线反射后通过点，则反射光线方程为 ． 三．利用对称解决最值问题 【例6】直线上一点P到与的距离之差的绝对值最大，则P的坐标为 . 【解题技法】利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解． 对点训练 1.已知两点、，动点在直线上运动，则的最小值为 . 2.已知直线经过直线的交点，且､两点到直线的距离相等. (1)求直线的一般式方程； (2)若点在直线的同侧，且为直线上一个动点，求的最小值. 1．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　) A．4 B. C. D. 2．点P(a，b)关于直线l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，则a＋b等于(　　) A．－1 B．1 C．2 D．0 3．点P(2,5)关于直线l：x＋y＋1＝0的对称点的坐标为(　　) A．(6，－3) B．(3，－6) C．(－6，－3) D．(－6,3) 4．已知直线l：ax＋by＋c＝0与直线l′关于直线x＋y＝0对称，则l′的方程为(　　) A．bx＋ay－c＝0 B．bx－ay＋c＝0 C．bx＋ay＋c＝0 D．bx－ay－c＝0 5．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　) A．2x＋3y＋7＝0 B．3x－2y＋2＝0 C．2x＋3y＋8＝0 D．3x－2y－12＝0 6.已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 7．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B的路程为(　　) A．5 B．2 C．5 D．10 若直线与直线关于直线对称，则直线一定过定点（   ） A． B． C． D． 8.已知圆M：，求圆M关于直线l：的对称圆方程（   ） A． B． C． D． 9．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为(　　) A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0 C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0 10．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)间的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为(　　) A．2 B．5 C．4 D．8 11．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(－1，－4)，若将军从点A(－1,2)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3.则“将军饮马”的最短总路程为(　　) A. B. C．2 D．10 12．已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________． 13.台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中．如图，现有一目标球从点A(－2,3)无旋转射入，经过x轴(桌边)上的点P反弹后，经过点B(5,7)，则点P的坐标为________． 14．若x，y满足x＋y＋1＝0，则x2＋y2－2x－2y＋2的最小值为 A．2 B. C．3 D．4 15．若函数y＝的图象上存在两点P，Q关于点(1,0)对称，则直线PQ的方程是________． 16.设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 17．已知直线：与直线：的交点为. (1)求点关于直线的对称点； (2)求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程. 18．已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A. (1)试判断由此得到的△ABC的个数； (2)求直线BC的方程． 19．已知点，，点A关于直线的对称点为C. (1)求的外接圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆E截得的弦长为2，求直线l的方程. 20．已知点，直线：. (1)求过点，且与直线平行的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 21．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)． (1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小； (2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴专题01 对称问题 目录 1 2 一．点、线对称问题 2 二．光的反射问题 5 三．利用对称解决最值问题 6 9 一.两条直线垂直的判定 图示 对应 关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 二．直线一般式判定法 三 点到直线的距离 1．定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足． 2．公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝． 四 两条平行直线间的距离 1．定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝ 一．点、线对称问题 【例1】点关于点的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，，∴，， ∴点，故选：D. 【例2】已知点，，则线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由点，，则线段的中点为， 因为，所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为， 整理可得.故选：B 【例3】已知直线l：. (1)求点关于直线l的对称点坐标； (2)直线关于直线l对称的直线的方程． 【解】（1）设点关于直线：的对称点的坐标为， 则由题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由，解得， 即直线与的交点坐标为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 又由，所以直线的方程为， 整理得， 即直线关于直线l对称的直线的方程为. 【解题技法】对称问题的解决方法 (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式． 点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x,2b－y)． (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求． 设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0，y0)， 则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0. (3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”． 设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得． (4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题． 对点训练 1．直线x－2y＋1＝0 关于直线x＝1对称的直线方程是(　　) A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0 【答案】D 【解析】在直线 x－2y＋1＝0上任取两点，不妨取点(1,1)，， 这两点关于直线x＝1对称的点分别为 (1,1)，， 两对称点所在直线的方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋2y－3＝0. 2.已知直线l：，点.求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线l关于点A对称的直线l′的方程. 【解】（1）设，由l：得， 则，解得，故. （2）法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上. 由中点坐标公式可得，故 所以l′的方程为，即. 法二：设为l′上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为Q′在直线l上，所以， 即直线l′的方程为 二．光的反射问题 【例4】一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点关于轴的对称点为， 故，在反射光线所在的直线上，故， 直线方程为，即， 故选：C 【例5】已知点和圆，一束光线从点P出发，经过直线反射后到达圆C上一点的最短路程是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以点关于直线的对称点为， 由题可知圆的圆心为，半径， 最短路程即为． 故选：B． 【解题技法】根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解． 对点训练 1.已知A(3,0)，B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为 【答案】 【解析】由题意知直线AB的方程为x＋y＝3，点P(0，2)关于x轴的对称点为P1(0，－2)，设点P(0,2)关于直线AB的对称点为P2(a，b)，如图， ∴解得∴P2(1,3)， ∴光线所经过的路程为|PQ|＋|QM|＋|MP|＝|P1P2|＝＝. 2.一束光线从原点出发，经过直线反射后通过点，则反射光线方程为 ． 【答案】 【解析】设关于直线对称的点为，由， 解得，所以反射光线方程斜率为，所以方程为. 三．利用对称解决最值问题 【例6】直线上一点P到与的距离之差的绝对值最大，则P的坐标为 . 【答案】 【解析】设点B关于l的对称点的坐标为，连接，    则，即，所以①． 因为的中点在直线l上， 所以，即②． 由①②得，所以点的坐标为． 于是所在直线的方程为，即． 又， 当且仅当三点共线时，最大． 所以联立直线l与的方程即，解得， 即l与的交点坐标为， 故点P的坐标为 【解题技法】利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解． 对点训练 1.已知两点、，动点在直线上运动，则的最小值为 . 【答案】 【解析】根据题意画出图形，如图所示：    设点A关于直线的对称点为， 所以有，解之得，即， 连接，则即为的最小值，. 2.已知直线经过直线的交点，且､两点到直线的距离相等. (1)求直线的一般式方程； (2)若点在直线的同侧，且为直线上一个动点，求的最小值. 【解】（1）由，解得，所以交点 ①当所求直线与直线平行时，直线的斜率为， 则所求直线的方程为，即； ②当所求直线过的中点时，线段的中点坐标为， 则所求直线垂直于轴，故所求直线方程为，即； 综上所述，所求直线方程为或. （2）因为点在直线的同侧，所以直线的方程为， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即点， 因为， 当三点共线时等号取到， 故的最小值为. 1．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　) A．4 B. C. D. 【答案】D 【解析】根据中点坐标公式得解得 所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝＝. 2．点P(a，b)关于直线l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，则a＋b等于(　　) A．－1 B．1 C．2 D．0 【答案】A 【解析】∵点P(a，b)关于直线l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上， ∴点P(a，b)在直线l上，∴a＋b＋1＝0，即a＋b＝－1. 3．点P(2,5)关于直线l：x＋y＋1＝0的对称点的坐标为(　　) A．(6，－3) B．(3，－6) C．(－6，－3) D．(－6,3) 【答案】C 【解析】设点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(x，y)， 则解得 故点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(－6，－3)． 4．已知直线l：ax＋by＋c＝0与直线l′关于直线x＋y＝0对称，则l′的方程为(　　) A．bx＋ay－c＝0 B．bx－ay＋c＝0 C．bx＋ay＋c＝0 D．bx－ay－c＝0 【答案】A 【解析】在l的方程中以－x代替y，以－y代替x，即得l′的方程，则l′：a(－y)＋b(－x)＋c＝0， 即bx＋ay－c＝0. 5．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　) A．2x＋3y＋7＝0 B．3x－2y＋2＝0 C．2x＋3y＋8＝0 D．3x－2y－12＝0 【答案】C 【解析】∵直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线斜率不变， ∴设对称后的直线方程l′为2x＋3y＋c＝0， 又点(1，－1)到两直线的距离相等，∴＝， 化简得|c－1|＝7，解得c＝－6 或c＝8， ∴l′的方程为2x＋3y－6＝0(舍)或 2x＋3y＋8＝0， 即直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是2x＋3y＋8＝0. 6.已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点关于直线的对称点为，则，解得， 因此反射光线所在直线过点，方程为，即. 故选：A 7．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B的路程为(　　) A．5 B．2 C．5 D．10 【答案】C 【解析】点A(－3,5)关于x轴的对称点A′(－3，－5)，则光线从A到B的路程即|A′B|的长， |A′B|＝＝5. 即光线从A到B的路程为5. 若直线与直线关于直线对称，则直线一定过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知直线恒过点，所以可得直线一定过关于直线的对称点； 设对称点坐标为，可得，解得， 即直线一定过定点. 故选：C 8.已知圆M：，求圆M关于直线l：的对称圆方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，设对称圆的圆心为， 依题意得，解得， 又圆的半径与对称圆的半径相等， 所以对称圆的方程为. 故选：D. 9．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为(　　) A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0 C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0 【答案】B 【解析】设A(a，b)，则解得所以A(－1,1)． 设点B(2，－1)到直线l2的距离为d， 当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB， 又＝－＝－＝， 所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即3x－2y＋5＝0. 10．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)间的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为(　　) A．2 B．5 C．4 D．8 【答案】B 【解析】∵f(x)＝＋＝＋， ∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和， 设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′， 则A′(－2，－4)．要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|＋|MB|的最小值， 利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝＝5，当且仅当A′，M，B三点共线时等号成立， 即f(x)＝＋的最小值为5. 11．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(－1，－4)，若将军从点A(－1,2)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3.则“将军饮马”的最短总路程为(　　) A. B. C．2 D．10 【答案】C 【解析】如图所示， 设点B关于直线x＋y＝3的对称点为C(a，b)， 由题意可得解得即C(7,4)， 在直线x＋y＝3上取点P， 由对称性可得|PB|＝|PC|， 所以|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PC|≥|AC|＝＝2， 当且仅当A，P，C三点共线时，等号成立， 因此，“将军饮马”的最短总路程为2. 12．已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________． 【答案】6x－y－6＝0 【解析】设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)， 则反射光线所在直线过点M′， 所以 解得即M′(1,0)， 又反射光线经过点N(2,6)， 所以所求直线的方程为＝， 即6x－y－6＝0. 13.台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中．如图，现有一目标球从点A(－2,3)无旋转射入，经过x轴(桌边)上的点P反弹后，经过点B(5,7)，则点P的坐标为________． 【答案】 【解析】设P(x,0)，A点关于x轴对称的点为A′(－2，－3)， 则kA′P＝＝，kA′B＝＝， 由题意知A′，B，P三点共线， ∴kA′P＝kA′B，即＝，解得x＝， 故P点的坐标为 14．若x，y满足x＋y＋1＝0，则x2＋y2－2x－2y＋2的最小值为 A．2 B. C．3 D．4 【答案】 【解析】原多项式可化为(x－1)2＋(y－1)2，其几何意义为点P(x，y)和点Q(1,1)间距离的平方， 且点P(x，y)在直线x＋y＋1＝0上．设d为点Q到直线x＋y＋1＝0的距离，由|PQ|≥d， 得≥，即x2＋y2－2x－2y＋2≥.故所求的最小值为. 15．若函数y＝的图象上存在两点P，Q关于点(1,0)对称，则直线PQ的方程是________． 【答案】x－4y－1＝0 【解析】根据题意，设P，Q， 又线段PQ的中点是(1,0)， 所以 整理得 所以p，q为方程x2－2x－1＝0的根， 解得x＝1±， 所以P，Q或P，Q. 由两点式得直线PQ的方程为x－4y－1＝0. 16.设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 【解析】（1）由得交点， 由直线与直线垂直，则可设直线的方程为， 又直线过点，代入得，则， 所以直线的方程为； （2）法一：由题意可得直线与直线平行， 则可设直线方程为：， 由直线与直线关于点对称，得到两条直线的距离相等， 即，得（舍）或，所以直线的方程为. 法二：设直线上任意一点，则点关于点对称的点为， 且点在直线上，得， 化简得直线的方程为. 17．已知直线：与直线：的交点为. (1)求点关于直线的对称点； (2)求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程. 【解】（1）联立方程 ,解得 所以两直线，的交点为. 设，则的中点为. 联立方程，解得 所以. （2）因为， 所以点到经过点的直线距离的最大值为. 由题意，与垂直，则，故的斜率为. 所以直线的方程为，即 所以当距离最大时，直线的方程为. 18．已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A. (1)试判断由此得到的△ABC的个数； (2)求直线BC的方程． 【解】(1)如图，设B(m,0)，点A关于x轴的对称点为A′(1，－2)，点B关于直线x－y＋3＝0的对称点为B′(－3，m＋3)． 根据光学知识，知点C在直线A′B上，点C又在直线B′A上，且直线A′B的方程为y＝(x－m)． 由得x＝. 又直线AB′的方程为y－2＝(x－1)， 由得x＝. 所以＝，即3m2＋8m－3＝0， 解得m＝或－3. 当m＝时，符合题意； 当m＝－3时，点B在直线x－y＋3＝0上，不能构成三角形．综上，符合题意的△ABC只有1个． (2)由(1)得m＝， 则直线A′B的方程为3x＋y－1＝0， 即直线BC的方程为3x＋y－1＝0. 19．已知点，，点A关于直线的对称点为C. (1)求的外接圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆E截得的弦长为2，求直线l的方程. 【解】（1）依题意，设点， 因为点与点关于直线对称， 所以，解得，故， 设的外接圆的一般方程为， 则，解得， 则圆的一般方程为， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）知，圆的圆心为，半径为， 因为直线被圆截得的弦长为2， 所以圆心到直线的距离为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，易知满足题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 此时的方程为，即 综上，所求直线的方程为或. 20．已知点，直线：. (1)求过点，且与直线平行的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 【解】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为， 故可设直线的方程为， 因为点在直线上， 所以， 所以， 所以直线的方程为； （2）设点关于直线的对称点为． 由题意得， 解得，所以点的坐标为， 所以反射光线所在直线方程为，即．    21．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)． (1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小； (2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大． 【解】(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)， 则解得 故A′(－2,8)． 因为P为直线l上的一点， 则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|， 当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点， 则得 故所求的点P的坐标为(－2,3)． (2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点， 则||PB|－|PA||≤|AB|， 当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，则得 故所求的点P的坐标为(12,10)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$