5.1.1 任意角（教学课件）-【上好课】-2024-2025学年 高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第 5 章 三角函数 人教A版2019必修第一册 5.1 任意角和弧度制 学习目标 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角. 2.了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合. 3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题． 目录 CATALOG 01. 角的相关概念 03.题型强化训练 02.平面直角坐标系中的任意角 04.小结及随堂练习 01 角的相关概念 5.1 任意角和弧度制 导入新知 体操是力与美的结合，也充满了角的概念．2002年11月22日，在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦标赛中，“李小鹏跳”——“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体180度、 转体900度就是一个角的概念. 应用新知 学习新知 学习新知 学习新知 我们规定， 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角． 如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角． 这样，零角的始边与终边重合． 学习新知 学习新知 这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle），包括正角、负角和零角． 学习新知 学习新知 我们通常在直角坐标系内讨论角．为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角． 你能说说在直角坐标系内讨论角的好处吗？ 学习新知 x y O 始边　 终边 终边 终边 终边 （1）置角的顶点于原点 终边落在第几象限就是第几象限角 （2）始边重合于x轴的正半轴 终边　 02 平面直角坐标 系中的任意角 5.1 任意角和弧度制 学习新知 学习新知 反思感悟　终边相同的角的表示 (1)与角α终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式． (2)终边相同的角相差360°的整数倍． (3)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． 学习新知 例2 写出终边在y轴上的角的集合． 学习新知 反思感悟　终边相同的角的表示 (1)与角α终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式． (2)终边相同的角相差360°的整数倍． (3)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． 学习新知 学习新知 学习新知 反思感悟　正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系，需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 03 题型强化训练 5.1 任意角和弧度制 能力提升 题型一　任意角的概念 能力提升 题型一　任意角的概念 判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念． (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可． 能力提升 题型二 求与已知角终边相同的角 能力提升 题型二 求与已知角终边相同的角 【感悟提升】在某范围内寻求终边相同的角的方法 (1)将所求的角表示成k·360°＋α(α是已知角，k∈Z)的形式，然后采用赋值法求解，确定k的值，从而求出满足条件的角． (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止． 能力提升 题型二 求与已知角终边相同的角 写出终边相同的角的集合的关键是找到0°～360°范围内，终边落在已知直线的角，再利用终边相同的角的关系写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简． 能力提升 题型三 求终边在给定直线上的角的集合 能力提升 题型三 求终边在给定直线上的角的集合 【感悟提升】 1．求终边落在直线上的角的集合的三个步骤 (1)写出在0°～360°范围内相应的角； (2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合； (3)根据条件能合并的一定要合并，并使结果简洁． 2．终边相同的角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍； (2)终边在同一条直线上的角之间相差180°的整数倍； (3)终边在相互垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍． 能力提升 题型四　区域角的表示 能力提升 题型四　区域角的表示 能力提升 题型五　象限角的判定 能力提升 题型五　象限角的判定 能力提升 题型五　象限角的判定 04 小结及随堂练习 5.1 任意角和弧度制 课堂总结1 课堂总结2 1．知识清单： (1)正角、负角、零角的概念． (2)终边相同的角的表示． (3)象限角、区域角的表示． 2．方法归纳：数形结合、分类讨论． 3．常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同的角的表示中漏掉k∈Z. 课堂总结3 1．象限角的概念是以“角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合”为前提的，否则不能从终边位置来判断某角是第几象限角(体现了逻辑推理核心素养)． 2．“锐角”“0°～90°的角”“小于90°的角”“第一象限角”这几个概念注意区分：锐角是0°＜α＜90°；0°～90°的角是0°≤α≤90°；小于90°的角为α＜90°；第一象限的角是{α|k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z}． 课堂总结4 3．关于终边相同角的认识(体现了数学运算核心素养)． 一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 注意：(1)α为任意角；(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；(4)k∈Z这一条件不能少． 作业 教材第 171 页练习第 3 5̃ 题. 5.1 任意角和弧度制 练习（第171页） 1．（口答）锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个问题． 直角不属于任何一个象限，直角的终边在第一象限与第二象限的分界线上（y轴的非负半轴上），但是在第一象限与第二象限的分界线上的角不一定是直角， 练习（第171页） 练习（第171页） 3．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角. （1）第一象限角．（2）第四象限角． （3）第二象限角．（4）第三象限角． 练习（第171页） 练习（第171页） 练习（第171页） 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【变式】若角2α与240°角的终边相同，则角α可以表示为(　　) A．120°＋k·360°，k∈Z B．120°＋k·180°，k∈Z C．240°＋k·360°，k∈Z D．240°＋k·180°，k∈Z 【答案】　B 【解析】　因为角2α与240°角的终边相同，所以2α＝240°＋k·360°，k∈Z， 所以α＝120°＋k·180°，k∈Z. 【变式】写出终边落在直线y＝－x上的角β的集合S. 【解析】由于直线y＝－x是第二、四象限的平分线， 故角α的集合在0°～360°范围内所对应的两个角分别为135°及315°， 从而角α的集合为S＝{α|α＝135°＋k·360°或α＝315°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝135°＋2k·180°或α＝135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}． 所以S＝{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}． 若角α的终边在直线y＝－x上，试写出角α的集合． 【变式】(多选)下列四个角中，属于第二象限角的是(　　) A．160° B．480° C．－960° D．1 530° 答案　ABC 解析　A中，160°很显然是第二象限角； B中，480°＝120°＋360°，是第二象限角； C中，－960°＝－3×360°＋120°，是第二象限角； D中，1 530°＝4×360°＋90°，不是第二象限角． 【练习1】 经过2个小时，钟表上的时针旋转形成的角为(　　) A．60° B．－60° C．30° D．－30° 【答案】 B 【解析】 钟表的时针旋转一周形成的角是－360°， 其中每小时旋转形成的角是－eq \f(360°,12)＝－30°， 所以经过2个小时旋转形成的角是－60°.故选B. 【感悟提升】判断角的概念问题的策略 (1)正确理解任意角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别． (2)弄清角的始边与终边及旋转方向与大小，“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”． (3)判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可． 【练习2】与－463°终边相同的角可以表示为(　　) A．k·360°＋463°(k∈Z) B．k·360°＋103°(k∈Z) C．k·360°＋257°(k∈Z) D．k·360°－257°(k∈Z) 【答案】C 【解析】∵－463°＝257°－2×360°， ∴与－463°终边相同的角可以表示为k·360°＋257°(k∈Z)．故选C. 【练习3】 写出与60°角的终边在一条直线上的角的集合． 【解析】在0°～360°范围内，与60°角的终边在一条直线上的角是60°与240°， 故与60°角的终边在一条直线上的角的集合是 S＝{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋240°，k∈Z} ＝{α|α＝2k·180°＋60°，k∈Z}∪{α|α＝2k·180°＋180°＋60°，k∈Z} ＝{α|α＝2k·180°＋60°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z} ＝{α|α＝n·180°＋60°，n∈Z}． 【练习4】 写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角的集合． 【解析】(1)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角， 得{α|k·360°＋135°<α<k·360°＋300°，k∈Z}． {α|k·360°－60°<α<k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|k·360°＋120°<α<k·360°＋225°，k∈Z} ＝{α|n·180°－60°<α<n·180°＋45°，n∈Z}． 【感悟提升】表示区域角的三个步骤 (1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； (2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的－360°～360°范围内的角α，β， 写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°； (3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整倍数，即得区域角的集合． 【练习5】 若α为第四象限角，试判断eq \f(α,2)的终边所在的象限． 【解析】解法一：因为α为第四象限角， 所以－90°＋k·360°<α<k·360°，k∈Z， 所以－45°＋k·180°<eq \f(α,2)<k·180°，k∈Z. 当k＝2n，n∈Z时，－45°＋n·360°<eq \f(α,2)<n·360°，n∈Z，eq \f(α,2)是第四象限角； 当k＝2n＋1，n∈Z时，135°＋n·360°<eq \f(α,2)<180°＋n·360°，n∈Z，eq \f(α,2)是第二象限角． 综上，eq \f(α,2)的终边所在的象限是第二或第四象限． 解法二：如图，将每个象限二等分，再从x轴的非负半轴的上方起， 依次将各区域标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，则标号为Ⅳ的区域即为eq \f(α,2)的终边所在的区域， 可知eq \f(α,2)的终边所在的象限是第二或第四象限． 【感悟提升】象限角的判定方法 (1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为在0°≤α<360°范围内的角α的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系，故可将角转化到0°≤α<360°范围内进行判断． (2)nα所在象限的判断方法:确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可． (3已知角α所在象限，要确定角eq \f(α,n)所在象限，有两种方法： ①用不等式表示出角eq \f(α,n)的范围，然后对k的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论； ②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1，2，3，4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是eq \f(α,n)的终边所落在的区域．如此，eq \f(α,n)所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出． $$