4.5.3 函数模型的应用（教学设计）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

4.5 函数的应用（二）4.5.3函数模型的应用 教学设计 1、 教学目标 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》的第五章的4.5.3函数模型的应用。函数模型及其应用是中学重要内容之一，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数模型的应用实质是揭示了客观世界中量的相互依存有互有制约的关系，因而函数模型的应用举例有着不可替代的重要位置，又有重要的现实意义。 本节课要求学生利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价,发展学生数学建模、数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心素养。 本节通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题。 2、 重点难点 教学重点：建立函数模型刻画实际问题． 教学难点：函数模型的建立． 3、 学情分析&教材分析 4、 学习目标 1.能利用已知函数模型求解实际问题． 2.能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题． 5、 导入新知 阅读课本148-150页，思考并完成以下问题 1. 常见的数学模型有哪些？其中待定系数有哪些限制条件？ 2. 解决实际问题的基本过程是什么？ 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画，面临一个实验问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 问题1　应用函数模型解决问题的基本过程是什么？ 提示　(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． (2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型． (3)求模——求解数学模型，得出数学模型． (4)还原——将数学结论还原为实际问题． 常见的几种函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 例3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T．R．Malthus，1766-1834）就提出了自然状态下的人口增长模型 ， 其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年平均增长率． 尽管对马尔萨新人口理论存在一些争议，但它对人口学和经济学的发展都产生了一定的影响．上网了解，还有哪些人口模型，它们与我们所学的函数有怎样的关系？ 表4.5-4是1950~1959年我国的人口数据资料： 表4.5-4 年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人口数/万 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 （1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； （2）如果按表4.5-4的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？ 分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量和年平均增长率． 解：（1）设1951~1959年我国各年的人口增长率分别为．由 ， 可得1951年的人口增长率． 同理可得，，，，，，，，． 于是，1951~1959年期间，我国人口的年平均增长率为 ． 令，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为 ． 根据表4.5-4中的数据画出散点图，并画出函数的图象（图4.5-6）． 由图4.5-6可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合． （2）将代入 ， 由计算工具得． 所以，如果按表4.5-4的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿． 思考 事实上，我国1989年的人口数为11.27亿，直到2005年才突破13亿．对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？ 因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策．因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况． 在用已知的函教模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件． 【变式1】中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度随时间变化的规律（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象的变化可直接判断. 【详解】由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且. 故选：B. 下面来解决章引言中的问题． 例4 2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？ 分析：因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数（，且；，且）建立数学模型． 解：设样本中碳14的初始量为，衰减率为，经过年后，残余量为．根据问题的实际意义，可选择如下模型： （，且；，）． 由碳14的半衰期为5730年，得 ． 于是 ， 所以 ． 由样本中碳14的残余量约为初始量的55.2%可知， ， 即 ． 解得 ． 由计算工具得 ． 因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此水坝大概是公元前2902年建成的． 【变式2】著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为℃，空气温度为℃，则分钟后物体的温度（单位：℃，满足：)若常数，空气温度为℃，某物体的温度从℃下降到℃，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．39分钟 B．41分钟 C．43分钟 D．45分钟 【答案】B 【分析】将已知数据代入模型，解之可得答案. 【详解】由题知，，， ， ， ， ， . 故选：B. 6、 应用新知 在实际问题中，有的能应用已知的函数模型解决，有的需要根据问题的条件建立函数模型加以解决． 例5 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？ 分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据． 1 问题中涉及哪些数量关系？ 投资天数、回报金额 2 如何用函数描述这些数量关系？ 分析 ： 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型 ， 再通过比较它们的增长情况 ， 为选择投资方案提供依据 解：设第天所得回报是元，则方案一可以用函数进行描述；方案二可以用函数进行描述；方案三可以用函数 进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析． 我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况（表4.5-5）． 表4.5-5 方案一 方案二 方案三 增加量/元 增加量/元 增加量/元 1 40 10 0.4 2 40 0 20 10 0.8 0.4 3 40 0 30 10 1.6 0.8 4 40 0 40 10 3.2 1.6 5 40 0 50 10 6.4 3.2 6 40 0 60 10 12.8 6.4 7 40 0 70 10 25.6 12.8 8 40 0 80 10 51.2 25.6 9 40 0 90 10 102.4 51.2 10 40 0 100 10 204.8 102.4 …… …… …… …… …… …… …… 30 40 0 300 10 214748364.8 107374182.4 再画出三个函数的图象(图4．5-7）． 函数图像是分析问题的好帮手．为了便于观察，用虚线连接离散的点． 由表4.5-5和图4.5-7可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元． 下面再看累计的回报数．通过信息技术列表如下（表4.5-6）． 表4.5-6 方案 天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8 因此，投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三． 上述例子只是一种假想情况，但从中可以看到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异． 根据这里的分析，是否应作这样的选择：投资5天以下选方案一，投资5~8天选方案二，投资8天以上选方案三？ 【变式3】某打车平台欲对收费标准进行改革，现制订了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y（单位：元）与打车里程x（单位：km）的函数关系大致如图所示，则（ ） A．当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱 B．当打车里程为10km时，乘客选择甲、乙方案均可 C．打车里程在3km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多 D．甲方案3km内（含3km）付费5元，打车里程大于3km时每增加1km费用增加0.7元 【答案】ABC 【分析】根据题意，结合给定的函数关系的图象，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当时，甲对应的函数值小于乙对应的函数值， 故当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱，所以A正确； 对于B中，当打车里程为10km时，甲、乙方案的费用均为12元， 故乘客选择甲、乙方案均可，所以B正确； 对于C中，打车3km以上时，甲方案每千米增加的费用为（元）， 乙方案每千米增加的费用为（元）， 故每千米增加的费用甲方案比乙方案多，所以C正确； 对于D中，由图可知，甲方案3km内（含3km）付费5元，3km以上时，甲方案每千米增加的费用为1（元），所以D错误. 故选：ABC. 例6 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：，，，其中哪个模型能符合公司的要求？ 分析：本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润目标为1000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需在区间上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即． 不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果． 解：借助信息技术画出函数，，，的图象（图4.5-8）．观察图象发现，在区间上，模型，的图象都有一部分在直线的上方，只有模型的图象始终在的下方，这说明只有按模型进行奖励时才符合公司的要求． 下面通过计算确认上述判断． 先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元． 对于模型，它在区间上单调递增，而且当时，，因此，当时，，所以该模型不符合要求； 对于模型，由函数图象，并利用信息技术，可知在区间内有一个点满足，由于它在区间上单调递增，因此当时，，所以该模型也不符合要求； 对于模型，它在区间上单调递增，而且当时，，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求． 再计算按模型奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当时，是否有，即成立． 令，，利用信息技术画出它的图象（图4.5-9）． 由图象可知函数在区间上单调递减，因此 ， 即 ． 所以，当时，，说明按模型奖励，奖金不会超过利润的25%． 综上所述，模型确实能符合公司要求． 【变式4】有一组实验数据如表所示： 则下列所给函数模型较不适合的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】坐标系中画出试验数据的对应点，根据点的变化趋势及各选项函数的变化趋势判断不合适的模型即可. 【详解】由实验数据可得如下图，    ∴根据点的变化趋势：随着x的增大y的增速变快，结合各选项的函数性质知：A、B、D不合适，只有C合适. 故选：ABD. 归纳 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题．在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等． 7、 能力提升 题型一 应用已知函数模型解决实际问题 例1　2004年中国探月工程正式立项，从嫦娥一号升空，到嫦娥五号携月壤返回，中国人一步一步将“上九天揽月”的神话变为现实．月球距离地球约38万千米，有人说，在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次，其厚度就可以超过月球距离地球的距离．那么至少对折的次数n是(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3.8≈0.6)(　　) A．40 B．41 C．42 D．43 答案　C 解析　设对折n次时，纸的厚度为y(单位：毫米)， 由题意可知若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次，则y＝0.1×2n. 令y＝0.1×2n≥38×104×106，即2n≥3.8×1012， 所以lg 2n≥lg 3.8＋12，即n≥＝42， 所以至少对折的次数n是42. 反思感悟　利用已知函数模型解决实际问题 (1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数； (2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题； (3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算． 题型二　指数型函数模型的应用 【练习1】加快县域范围内农业转移人口市名化，是“十四五”期间我国城镇化和城市化战略的实践重点．某高二数学兴趣小组，通过查找历年数据，发现本县城区常住人口每年大约以的增长率递增，若要据此预测该县城区若干年后的常住人口，则在建立模型阶段，该小组可以选择的函数模型为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】由题意可得该县区城区常住人口与年份的函数关系为指数型函数，即可得解. 【详解】由题意可知，该县城区常住人口每年大约以的增长率递增， 则该县区城区常住人口与年份的函数关系为指数型函数. 故选：B. 【感悟提升】指数型函数模型的特点及应用 (1)特点：形如y＝abx＋c(a≠0，b>0，b≠1)的函数，其特点为当a>0，b>1时，y随自变量x的增大而增大，且函数值增大的速度越来越快． (2)应用：指数型函数模型是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出的指数型函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数． （3）在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 题型二　对数型函数模型的应用 【练习2】某工厂现有职工320人，平均每人每年可创利20万元．该工厂打算购进一批智能机器人(每购进一台机器人，需要有一名职工下岗)．据测算，如果购进智能机器人不超过100台，每购进一台机器人，所有留岗职工(机器人视为机器，不作为职工看待)在机器人的帮助下，每人每年多创利0.2万元，每台机器人购置费及日常维护费折合后平均每年2万元，工厂为体现对职工的关心，给予下岗职工每人每年4万元补贴．如果购进智能机器人的数量超过100台，则工厂的年利润y＝8202＋lg x(万元)(x为机器人台数，且x<320)． (1)写出工厂的年利润y与购进智能机器人台数x的函数关系式； (2)为使工厂获得最大经济效益，应购进多少台智能机器人？此时工厂的最大年利润是多少(参考数据：lg 2≈0.3010)? 【解析】(1)当购进智能机器人台数x≤100时，工厂的年利润y＝(320－x)(20＋0.2x)－4x－2x＝－0.2x2＋38x＋6400， 所以y＝ (2)由(1)知，当0≤x≤100时，y＝－(x－95)2＋8205， 则当x＝95时，ymax＝8205， 当100<x<320时，y＝8202＋lg x为增函数， 所以8202＋lg x<8202＋lg 320＝8202＋1＋5lg 2≈8204.505<8205. 综上可知，购进95台智能机器人可使工厂获得最大经济效益，此时工厂的最大年利润是8205万元． 【感悟提升】1.对数型函数模型的特点及应用 (1)特点：形如y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)的函数，其特点为当a>1，m>0时，y随自变量x的增大而增大，且函数值增大的速度越来越慢． (2)应用：根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． 2.对数型函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数型函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解． (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． 题型三　建立拟合函数模型解决实际问题 【练习3】某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y(单位：万元)随年产值x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%. (1)若某企业年产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y＝lg x＋kx＋5(k为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因(已知lg 2≈0.3，lg 5≈0.7)； (2)若采用函数f(x)＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值． 【解析】(1)对于函数模型y＝lg x＋kx＋5(k为常数)， 当x＝100时，y＝9，代入解得k＝， 所以y＝lg x＋＋5. 当x∈[50，500]时，y＝lg x＋＋5是增函数，当x＝50时，y＝lg 50＋6＝lg 5＋7>7.5，即奖金不超过年产值的15%不成立，故该函数模型不符合要求． (2)对于函数模型f(x)＝＝15－， a为正整数，函数在[50，500]上单调递增， f(x)min＝f(50)≥7，解得a≤344. 要使f(x)≤0.15x对x∈[50，500]恒成立， 则a≥－0.15x2＋13.8x对x∈[50，500]恒成立， 所以a≥315. 综上所述，315≤a≤344， 所以满足条件的最小的正整数a的值为315. 【感悟提升】建立拟合函数与预测的基本步骤 解题技巧：（分段函数模型注意事项） 1.分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏. 2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. 3.分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论. 8、 课堂总结 (1)建立数学模型解决实际问题的基本过程； (2)几类基本初等函数模型的增长特性及其性质. 1．知识清单： (1)应用已知函数模型解决实际问题． (2)指数型函数模型． (3)对数型函数模型． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：实际应用题易忘记定义域和结论． 9、 作业设计 作业：课本P154的1−−2题，P156习题4.5的11、12、14题. 设计意图巩固利用已知函数模型解决实际问题的求解方法. 10、 板书设计 4.5.3 函数模型的应用 1. 常见模型 例1 例2 例3 2. 实际问题解题步骤 练习（第150页） 1．已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%． （1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2 倍？ （2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达到72亿．你对同样的模型得出的两个结果有何看法？ 1．解析：（1）根据马尔萨斯人口增长模型，对于 1650 年，亿，，． 要使世界人口是 1650 年的2倍， 则亿，，解得 年， ∴1881年的世界人口是 1650 年的2倍． 同理，对于1970 年，亿，，．令亿，则， 解得年， 约 2003 年的世界人口是 1970 年的 2 倍． （2）根据实际情况,对1650年得到的结论，公式中的增长速度要小于实际的增长速度，而对于1970年得到的结论，公式中的增长速度要大于实际的增长速度．可见近几十年，各国为控制人口增长而采取了一定的措施，已经有了一定成效，或者此模型不太适宜估计时间跨度非常大的人口增长情况． 2．在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野免总只数的倍增期为21个月，那么1万只野免增长到1亿只 野兔大约需要多少年？ 2．解析：设野兔基数为，增长率为，则，，， 设1万只野兔增长到1亿只野兔需要 个月，依题意，有， 解得， （年）．所以1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要24年． 3．1959年，考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出了一批古建筑群，从其中的某样本中检测出碳 14的残余量约为初始量的62.76%，能否以此推断二里头遗址大概是什么年代的？ 3．解析：能．设样本中碳14的初始量为，衰减量为，经过年后，残余量为， 根据问题的实际意义，可选择如下模型： ，且，，， 由碳14 的半衰期为 5730 年，得，于是 ，所以 ，由样本中碳 14 的残余量约为初始量的，可知， 即， 解得，由计算工具得． 因为1959年之前的3 851年是公元前1892年，所以推理二里头遗址大概是公元前1892年建成的． 练习（第154页） 1．某地今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68．为了预测以后各月的患病人数，甲 选择了模型，乙选择了模型，其中为患病人数，为月份数， 都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为74，78，83，你认为谁选择的模型更符合实际？ 1．解析：乙选择的模型更符合实际． 对于甲选择的模型，代入数据， 得，解得，． 检验： 当时，，当时，，当时，．当时，偏差较大． 对于乙选择的模型，代入数据 有，，， 检验 : 当时，，当时，，当时，， 与实际数据相差都不算太大，所以乙选择的模型更符合实际． 2．由于提高了养殖技术并扩大了养殖规模，某地的肉鸡产量在不断增加．2008~2018年的11年，上市的肉鸡数量如下： 时间/年 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 肉鸡数量/吨 7690 7850 8000 8150 8310 8460 8620 8770 8920 9080 9230 同期该地的人口数如下： 时间/年 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 人口数/万 100.0 101.2 102.4 103.6 104.9 106.1 107.4 108.7 110.0 111.3 112.7 （1）分别求出能近似地反映上述两组数据变化规律的函数； （2）如果2017年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求，那么2018年是否能满足市场的需求？ （3）按上述两表的变化趋势，你对该地2018年后肉鸡市场的发展有何建议？ 2．解析：（1）记2008年为第一年，设第年的肉鸡数量为吨，由题中第一个表中的数据可知，每一年的肉鸡数量比上一年平均增长155 吨，则， 设第年的人口数为万人，由同期该地人口数表中的数据可知 ． （2）设人均消费肉鸡，由题意，得， 2018 年的肉鸡需求量为吨，小于2018年的产量9230吨，故 2018 年能滿足市场要水． （3）由题中两表的变化超势，可知 2018 年后可先减少增加量，而后再增大增加量． 教参答案：2. (1) 用年份代码1～11分别代表年份2005～2015根据已知表格中的数据，分别作出2005 年至 2015 年肉鸡数量和人口数量随年份代码变化的散点图： 由于上述两个图象基本上都是呈直线增长，所以可以选择两个一次函数和分别刻画肉鸡数量和人口数量的变化．根据已知表格中的数据，可近似地得到． （2）因为，，即2014年和2015年每万人平均可有肉鸡数量分别为81.45吨和81.90吨，而2014年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求，2015年每万人平均可有肉鸡数量又大于2014年的，所以 2015 年能满足市场的需求． （3）因为每万人平均拥有肉鸡数量的函数是增函数，且当 时， ，所以如果按已知两表的变化趋势，该地每万人平均可有肉鸡数数量在逐渐缓慢增加，上市的肉鸡能满足本地的需求．考虑到随着生活水平的提高，对肉鸡的需求会有所增加，所以该地2015年后的肉鸡市场只需基本按照目前的趋势发展即可． 习题4.5(第155-156页） 复习巩固 1．下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是 ．（填写上所有符合条件的图号） 1．答案：①③ 解析：题图①③中不存在区间，使． 2．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 1 2 3 4 5 6 136.136 15.552 -3.92 10.88 -52.488 -232.064 函数在哪几个区间内一定有零点？为什么？ 2．解析：函数在区间内有零点．理由如下：由的对应值表可得 ，结合函数零点存在定理可知函数分别在区间内有零点． 3．已知函数，求证：方程在内至少有两个实数解． 3．证明： ．令，， ，，， 由函数零点存在定理知，在内至少存在一个零点，在内至少存在一个零点， 综上在内至少有两个实数解． 4．利用信息技术，用二分法求函数的零点（精确度为0.1）． 4．解析：由题设有，，于是， 下面用二分法求函数在区间内的近似解． 取区间的中点，用计算器可算得， 因为，所以．再取区间的中点， 用计算器可算得．因为，所以． 同理可得，，由于， 所以函数在区间内的零点可取为． 5．利用信息技术，用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）． 5．解析：原方程可化为，令，没有意义， 用计算器算得，于是 ， 所以这个方程在区间内存在实数解． 下面用二分法求方程 在区间内的近似解．取区间的中点， 用计算器可算得．因为，所以， 再取区间的中点，用计算器可算得． 因为，所以．同理可得． 由于，所以原方程的近似解可取为． 6．一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍．那么开机后多少分，该病毒会占据64MB内存（1MB=1024KB）？ 6．解析：设复制次数为，则，（分） 开机后45分，该病毒会占据 64 MB 内存． 综合运用 7．设函数，且，求证：函数在内至少有一个零点． 7．证明：， ，即，， ， 当时，，在内至少存在一个零点． 当时，，在内至少存在一个零点． 综上所述，函数在内至少有一个零点． 8．已知函数，， （1）求函数的解析式； （2）利用信息技术，画出函数的图象； （3）求函数的零点（精确度为0.1）． 8．解析：（1）由题设有 ， （2）函数图象如图所示． (3) 由图象可知，函数分别在区间和区间内各有一个零点． 取区间的中点，用计算器可算得， 因为，所以，再取区间的中点， 用计算器可算得，因为，所以， 同理可得， 由于 ， 所以函数在区间内的零点约为．同样可求得函数在区间内的零点约为． 所以函数的零点约为． 9．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为．关于下列说法： ① 浮萍每月的增长率为1； ② 第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2； ③ 浮萍每月增加的面积都相等； ④ 若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则． 其中正确的说法是（ ） （A）①② （B）①②③ （C）①②④ （D）①②③④ 9．答案：C 解析：设．由，得，，（1）正确； ， 故②正确； ，，（3）错误； 浮萍每月增加的面积不断增长，，， 成立，（4）正确．故选 C． 10．一种药在病人血液中的量保持在1 500mg以上时才有疗效，而低于500 mg时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药2 500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么应在什么时间范围再向病人的血液补充这种药（精确到0.1 h）？ 10．解析：设应在病人注射这种药h后再向病人的血液补充这种药． 依题意，可得，整理得 ， ， 应在用药后2.3h至7.2 h再向病人的血液补充这种药． 11．人类已进入大数据时代．目前，数据量已经从TB（1TB＝1024GB）级别跃升到PB（1PB＝1024TB）， EB（1EB＝1024PB）乃至ZB（1ZB＝1024EB）级别．国际数据公司（IDC）的研究结果表面，2008年全球产生的数据量为0.49 ZB，2009年的数据量为0.8 ZB，2010年增长到1.2 ZB，2011年的数量更是高达1.2 ZB，而到了2020年，预计全世界所产生的数据规模将达到2011年的44倍． 为了较好地描述2008年起全球产生的数据量与时间x（单位：年）的关系，根据上述数据信息，从函数和中选择一个，并求出解析式． 11．解析： 年份 2008 2009 2010 2011 … 2020 y/ZB 0.49 0.8 1.2 1.82 … 1.82×44 根据表格中数据可选模型．则，解得，． 11．教参答案：从第二年起，计算每一年数据量与前一年数据量的比值，列表如下． 时间/年 2008 2009 2010 2011 … 2020 数据量/ZB 0.49 0.8 1.2 1.82 … 1.82×44 增长比例 1.63 1.50 1.52 … 从数据变化的散点图（图（1））和前4年的增长比例看，可选择指数型函数进行描述． 可以前4年增长比例的平均值作为函数的增长比例，则， 而初始量，所以每一年全球产生的数据量可以表示为． 画出函数的图象（图（2)），与散点图吻合程度较好． 12．某地不同身高的未成年男性的体重平均值如下表： 身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 平均体重/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 （1）根据表中提供的数据建立恰当的函数模型，使它能近似地反映这个地区未成年男性平均体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）的函数关系，并写出这个函数的解析式． （2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？ 12．解析：（1）以身高为横坐标，平均体重为纵坐标，画出散点图如图所示．根据点的分布特征．可考虑以作为刻画这个地区未成年男性平均体重与身高的函数模型． 如果取其中的两组数据代人得， 用计算器算得．这样，就得到了一个函数模型． （2）将代入，得 ，由计算器算得． 由于，所以这个男生偏胖． 12．教参解析：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图（图（1））． 根据散点图的特征，可考虑以作为刻画该地未成年男性的体重与身高关系的函数模型． 不妨取其中的三组数据，代入． 解得，则所求函数为． 将已知数据代人上述函数解析式，或作出上述函数的图象（图（2）），可以发现，这个函数与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系． (2) 将代入，可得．由于，所以，这名男生偏胖． 拓广探索 13．有一道题“若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围”，某同学给出了如下解答： 由，解得． 所以，实数的取值范围是． 上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答． 13．解析：不正确，理由如下： 仅说明变号零点的性质，还应讨论不变号零点的情况． 由 ，得 ， 此时，零点为，符合题意． 所以实数的取值范围是 ． 14．从甲地到乙地的距离约为240 km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度v（单位：km/h）（）的下列数据： v 0 40 60 80 120 Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种模型供选择： ． （1）选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式； （2）从甲地到乙地，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？ 14．解析：（1）由题意可知，符合题意的函数模型必须满足 2 个条件：定义域为； 在上为增函数．而 在为减函数，故不符合题意． 又的定义域为．也不满足题意，故选 代人已知数据，得 ，解得 ， ． 14．教参解析：（1）依题意，所选函数必须满足以下两个条件：定义域为，且在上为增函数．而函数中的，即定义域不可能是，函数 在为减函数．所以，应该选择函数 ． 不妨取数据代入， 可得 ． （2）设甲地到乙地该汽车行驶总栏油量为，行驶时间为，依题意有． 因为 所以 ． 易知，当时，有最小值30．故从甲地到乙地该车以的速度行驶能使总耗油量最少． 复习参考题4（第159页） 复习巩固 1．选择题 （1）函数与的图象（ ） （A）关于轴对称 （B）关于轴对称 （C）关于原点对称 （D）关于直线对称 （2）如图（1），①②③④中不属于函数，，的一个是（ ） （A）① （B）② （C）③ （D）④ （3）如图（2），①②③④中不属于函数，，的一个是（ ） （A）① （B）② （C）③ （D）④ 1．答案：（1）C （2）B （3）C 解析：（1）中用代替，用代替，则得到 ， 所以函数与的图象关于原点对称． （2）都是指数函数，它们的图象都过定点．而②的图象不过点，故选 B． （3）①②③④分别为函数，故选C． 2．用“＜”“＞”“＝”填空： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 2．答案：（1）＞ （2）＜ （3）＞ （4）＞ （5）＞ （6）＜ 3．借助信息技术，用二分法求： （1）方程的最大的根（精确度为0.01）； （2）函数和交点的横坐标（精确度为0.1）． 3．解析：( 1 ) 令，函数图象如图所示： 函数分别在区间和区间内各有一个零点，所以方程的最大的根应在区间内． 取区间的中点，用计算器可算得，因为， 所以，再取的中点，用计算器可算得． 因为，所以， 同理可得，， ， 由于，所以方程的最大根约为． （2）令，即，， 用二分法求得交点的横坐标约为． 4．已知函数，求使方程的实数解个数分别为1，2，3时k的相应取值范围． 4．解析：画出的图象与直线，如图． 由图象可知，当时，有1个解， 当或时， 有2个解，当时， 有3个解． 综合运用 5．（1）已知集合，则（ ） （A） （B） （C） （D） （2）已知，若，则（ ） （A） （B） （C） （D） （3）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ） （A） （B） （C） （D） 5．答案：（1）A （2）D （3）B 解析：( 1 ) ，， 所以 ．故选A． （2）的图象如图所示，由图象知在上单调递减， ，， 即，故选D． （3）在同一直角坐标系中分别作出函数 及的图象，如图所示． 由图象可知，故选B． 6．设，求证： （1）； （2）； （3）． 6．证明：（1）因为， 所以 ； （2）因为，而． 所以． （3）因为 ，又 ， 所以． 7．指数函数的图象如图所示，求二次函数图象顶点的横坐标的取值范围． 7．解析： 由指数函数图象可知，，， 二次函数图象顶点的横坐标的取值范围是． 8．1986年4月26日，乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染．主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%．专家估计，要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时多有的锶90还剩百分之几？ 8．解析：， 所以800年后原有的锶90还剩0.000 000 204% ． 9．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）间的关系为 ， 其中，是正的常数．如果在前5h消除了10%的污染物，那么 （1）10 h后还剩百分之几的污染物？ （2）污染物减少50%需要花多少时间（精确到1h）？ （3）画出关于变化的函数图象． 9．解析：当时，． 当时，由题意得 ，即，则． （1）当时，，所以10 h后还剩81%的污染物． （2）设污染物减少需经过，则有 ， 两边取以为底的对数，得．所以 ， 所以经过33 h污染物减少50%． （3）函数图象如图所示 10．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，那么 min后物体的温度（单位：℃）可由公式 求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有62℃的物体，放在15℃的空气中冷却，1 min以后物体的温度是52℃． （1）求k的值（精确到0.01）； （2）若要将物体的温度降为42℃，32℃，要求分别需要冷却的时间． 10．解析：（1）将代入 中， 得 所以 ， 两边取以为底的对数，得 ，所以． （2）把 两边同时取以10为底的对数，得， 所以，把代入上式，得 ，当时，， ． 当时，， . 所以冷却2 min 19 s后，物体温度为42℃；冷却4 min 15 s后，物体温度为32℃． （2）教参答案：由(1) 知，所以当时，； 当时，． 所以要将物体的温度降为42℃和32℃，需要冷却的时问分别约为和． 拓广探索 11．已知函数，（，且）， （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由． 11．解析：（1），且． 要使该函数有意义，应满足，所以，故所求函数的定义域为． (2) 由 ( 1 ) 易得函数的定义域关于原点对称．令， 则， 则 故为偶函数，即为偶函数． 12．对于函数， （1）探索函数的单调性； （2）是否存在实数使函数为奇函数？ 12．解析：（1）易知函数的定义域为，而为增函数， 所以为减函数，故 是增函数．证明如下： 且， 则， 因为，所以，又，所以， 所以，故在上是增函数． （2) 存在．假设存在实数，使，则， 即 ，所以．故存在实数，使函数为奇函数． 13．如图，函数的图象由曲线段和直线段构成． （1）写出函数的一个解析式； （2）提出一个能满足函数图象变化规律的实际问题． 13．解析：（1）当时，令． 由，得 ，，， 当时，令．由， 得，，，． （1）教参答案：若曲线段是二次函数图象的一部分，该函数的解析式是， 若曲线段是三次函数图象的一部分，则解析式可为 ， 若曲线段是指数型函数图象的一部分，则解析式可为． （2）比如，可将看作是汽车行驶速度 (单位： 与时间(单位：） 的关系．汽车从静止加速行驶到第 2 s，然后匀减速行驶到第 5 s 停下来． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$