第一章 直角三角形的边角关系（A卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记.巧练（北师大版，贵州专用）

第一章 直角三角形的边角关系（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 2．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，，则AC的长为（　　） A．6 B．7.5 C．8 D．12.5 3．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，滑雪场有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（　　）米． A． B． C．200cos20° D．200sin20° 5．如图，一艘货轮向正北方航行，在点A处测得灯塔M在北偏西40°方向，货轮以每小时20海里速度航行48分钟后正好到达灯塔M的正东方向B处，问此时货轮高灯塔M的距离（　　）海里． A．960tan40° B．960cot40° C．16tan40° D．16cot40° 6．喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟，小亮在龙舟竞渡中心广场点P处观看400米直道竞速赛，如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB＝400米，求点P到赛道AB的距离（　　）（结果保留整数，参考数据：） A． B． C．87 D．173 7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，若AB＝6，AC＝8，点D是AC上一点，且，则sin∠DBC的值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径作弧交AB于点D，再分别以点C、D为圆心，BC长为半径作弧交于点E，若BC＝5，，则CF的长为（　　） A． B．3 C． D． 9．如图，沿AB方向架桥BD，以桥两端B、D出发，修公路BC和DC，测得点C在点B的南偏东60°方向，在点D的西南方向，BC＝1800m，则公路DC的长为（　　） A．900m B． C． D．1800m 10．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量铁塔顶端到地面的高度 测量目标示意图 相关数据 CD＝10m，α＝45°，β＝50° 设铁塔顶端到地面的高度FE为xm，根据以上条件，可以列出的方程为（　　） A．x＝（x﹣10）tan 50° B．x＝（x﹣10）cos50° C．x﹣10＝x tan 50° D．x＝（x+10）sin 50° 11．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos∠OAB＝（　　） A． B． C． D． 12．勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为：1，则sin∠DGE等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．在△ABC中，已知∠B＝55°，∠C＝95°，那么∠A的正弦值等于 　 　． 14．如图，在平面直角坐标系中，点P（m，8）在第二象限内．若OP与x轴负半轴的夹角α的正切值为，则m的值为　 　． 15．如图，在“镖形”ABCD中，，BC＝16，∠A＝∠B＝∠C＝30°，则点D到AB的距离为 　 　． 16．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图1，若任意△ABC内一点D满足∠1＝∠2＝∠3，则点D叫做△ABC的布洛卡点．如图2，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D为△ABC的布洛卡点，AD＝9，，则DB+DC的值为 　 　． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（6分）计算：． 18．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD是边BC上的中线，sin∠DAB＝，BD＝3．求： （1）AB的长； （2）∠CAB的余切值． 19．（10分）如图，小河岸边有一棵大树，大树的一边为河面，一边为河堤．为了测量小河岸边大树AB的高度，小明从树根部点A沿河堤向上走了10m到达点C处，测得大树顶端B的仰角为45°，再继续向上走了20m到达点D处，此时点D和大树顶端B在一条水平线上，试求大树AB的高度和河堤的坡比．（结果保留根号） 20．（12分）定义：在△ABC中，我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thiA，即thiA＝＝．请解答下列问题： 已知：在△ABC中，∠C＝30°． （1）若∠A＝45°，求thiA的值； （2）若thiA＝，则∠A＝　 　°； （3）若∠A是锐角，探究thiA与sinA的数量关系． 21．（10分）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长1米，点C与点N重合．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至∠ADC＝36°时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73） 22．（11分）在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距80海里． （1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离； （2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达． 23．（11分）如图1，晓嘉在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点M． （1）在图1中，过点A画出水平线，并标记观测M的仰角α．若铅垂线在量角器上的读数为53°，求α的值； （2）如图2，已知晓嘉眼睛离地1.5米，站在B处观测M的仰角为（1）中的α，向前走1.25米到达D处，此时观测点M的仰角为45°，求树MN的高度．（注：tan37°≈，sin37°≈，cos37°≈） 24．（13分）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下： 对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如M{1，2，9}＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1．请结合上述材料，解决下列问题： （1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝　 　， ②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝　 　； （2）如果M{2，1+x，2x}＝min{2，1+x，2x}，求x的值． 25．（15分）实际应用 材料 太阳高度：太阳高度指太阳光线与地平面的夹角，记作H，当地地方时12时的太阳高度称为正午太阳高度．一天中正午时太阳高度最大，日出和日落时太阳高度为0°． H的计算公式：H＝90°﹣|纬差|（纬差是指某地的地理纬度与当日太阳直射点所在纬度的差值，特别地，南纬北纬地区的纬差为其数值之和） 例如，如图所示，C地的纬度为60°N，求C地夏至日（太阳直射北回归线23.5°N）的正午太阳高度？ 解：夏至日太阳直射的纬度为∠AOB＝23.5°N，与C地的纬度差∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝60°﹣23.5°＝36.5°， 那么H＝∠DCE＝90°﹣36.5°＝53.5°． 应用 （1）深圳纬度约为22.5°N，一年中会有两次太阳直射，一般在每年的6月18日和6月26日两天，则当天正午太阳高度H＝　 　（填角度）；冬至太阳直射南回归线23.5°S，则当天正午深圳的太阳高度H＝　 　（填角度） （2）如图，小明家住在河南焦作（35°N），一年中正午太阳光线与地平面夹角最小在冬至，约为31.5°，即α＝31.5°，夹角最大在夏至，约为78.5°，即β＝78.5°，测得他家窗高约为2.3m，即AB＝2.3m．如图所示的直角遮阳篷，在冬至能最大限度地使阳光射入室内，在夏至又能最大限度地遮挡炎热的阳光，请求出此遮阳篷两直角边BC，CD的长度．（精确到0.1m，参考数据：sin31.5°≈0.52，cos31.5°≈0.85，tan31.5°≈0.61，sin78.5°≈0.98，cos78.5°≈0.20，tan78.5°≈4.92） 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 直角三角形的边角关系（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【解答】解：∵cosB＝， ∴∠B＝30°， ∵sinA＝， ∴∠A＝30°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴△ABC是钝角三角形， 故选：B． 2．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，，则AC的长为（　　） A．6 B．7.5 C．8 D．12.5 【解答】解：在Rt△ACB中， ∵cosA＝＝， ∴AC＝6． 故选：A． 3．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接DC， 由网格可得：CD⊥AB， 则DC＝，AC＝， 故sinA＝． 故选：D． 4．如图，滑雪场有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（　　）米． A． B． C．200cos20° D．200sin20° 【解答】解：∵， ∴AB＝AC•sin∠C＝200sin20°， 故选：D． 5．如图，一艘货轮向正北方航行，在点A处测得灯塔M在北偏西40°方向，货轮以每小时20海里速度航行48分钟后正好到达灯塔M的正东方向B处，问此时货轮高灯塔M的距离（　　）海里． A．960tan40° B．960cot40° C．16tan40° D．16cot40° 【解答】解：根据题意得，∠ABM＝90°，∠A＝40°，AB＝20×＝16（海里）， ∴BM＝AB•tan40°＝16tan40°（海里）， 答：此时货轮高灯塔M的距离是16tan40°海里， 故选：C． 6．喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟，小亮在龙舟竞渡中心广场点P处观看400米直道竞速赛，如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB＝400米，求点P到赛道AB的距离（　　）（结果保留整数，参考数据：） A． B． C．87 D．173 【解答】解：过点P作PC⊥AB，垂足为C， 设PC＝x米， 在Rt△APC中，∠APC＝30°， ∴（米）， 在Rt△CBP中，∠CPB＝60°， ∴（米）， ∵AB＝400米， ∴AC+BC＝400， ∴， ∴， ∴PC＝173米， ∴点P到赛道AB的距离约为173米， 故选：D． 7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，若AB＝6，AC＝8，点D是AC上一点，且，则sin∠DBC的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图：过D作DE⊥BC，垂足为E， ∵， ∴AD＝3CD， ∵AC＝AD+CD， ∴8＝3CD+CD，即CD＝2， ∴AD＝6， ∵AB＝6，∠BAC＝90°， ∴， ∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故选：B． 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径作弧交AB于点D，再分别以点C、D为圆心，BC长为半径作弧交于点E，若BC＝5，，则CF的长为（　　） A． B．3 C． D． 【解答】解：由题知， BF平分∠ABC， 过点F作AB的垂线，垂足为M， 在Rt△ABC中， cosA＝， 令AC＝12x，AB＝13x， 则（12x）2+52＝（13x）2， 解得x＝1（舍负）， 所以AC＝12，BC＝13． 因为BF平分∠ABC，∠C＝90°，FM⊥AB， 所以CF＝MF， 则S△ABC＝S△ABF+S△BCF， 即， 所以CF＝． 故选：A． 9．如图，沿AB方向架桥BD，以桥两端B、D出发，修公路BC和DC，测得点C在点B的南偏东60°方向，在点D的西南方向，BC＝1800m，则公路DC的长为（　　） A．900m B． C． D．1800m 【解答】解：如图，过点C作CE⊥BD，垂足为E， 由题意得：∠EBF＝90°，∠CDE＝45°，∠CBF＝60°， ∴∠CBE＝∠EBF﹣∠CBF＝30°， 在Rt△BCE中，BC＝1800m， ∴CE＝BC＝900（m）， 在Rt△CDE中，∠DCE＝45°， ∴CD＝＝＝900（m）， ∴公路DC的长为900m， 故选：B． 10．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量铁塔顶端到地面的高度 测量目标示意图 相关数据 CD＝10m，α＝45°，β＝50° 设铁塔顶端到地面的高度FE为xm，根据以上条件，可以列出的方程为（　　） A．x＝（x﹣10）tan 50° B．x＝（x﹣10）cos50° C．x﹣10＝x tan 50° D．x＝（x+10）sin 50° 【解答】解：过D作DH⊥EF于H， 则四边形DCEH是矩形， ∴HE＝CD＝10，CE＝DH， ∴FH＝x﹣10， ∵∠FDH＝α＝45°， ∴DH＝FH＝x﹣10， ∴CE＝x﹣10， ∵tanβ＝tan50°＝＝， ∴x＝（x﹣10）tan 50°， 故选：A． 11．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos∠OAB＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，作OH⊥AB于H． 由题意：AB＝8，OA﹣OH＝3， ∵OH⊥AB， ∴AH＝BH＝4， ∵AH2+OH2＝OA2， ∴42＝（OA+OH）（OA﹣OH）， ∴OA+OH＝， ∴OA＝，OH＝， ∴cos∠OAB＝＝＝， 故选：B． 12．勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为：1，则sin∠DGE等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点D作ND⊥GE交GE的延长线于点N， 由题意知，两个正方形之间是4个相等的三角形， 设△ABG的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为x，小正方形的边长为x， 即ED＝BG＝HC＝AF＝b，AG＝BH＝CE＝DF＝a，EG＝b， 由题意得：，解得：， 在△GDE中，EG＝GH＝b，则NE＝ND＝ED＝b＝x，EG＝GH＝（a﹣b）＝x， 则tan∠DGE＝＝， 则sin∠DGE＝， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．在△ABC中，已知∠B＝55°，∠C＝95°，那么∠A的正弦值等于 　　． 【解答】解：∵∠B＝55°，∠C＝95°， ∴∠A＝180°﹣55°﹣95°＝30°， ∴sinA＝sin30°＝． 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，点P（m，8）在第二象限内．若OP与x轴负半轴的夹角α的正切值为，则m的值为　﹣6　． 【解答】解：过点P作PA⊥x，交x轴于点A， 由题意可得：PA＝8，OA＝|m|＝﹣m， ∵α的正切值为， ∴tana＝＝， ∴m＝﹣6， 故答案为：﹣6． 15．如图，在“镖形”ABCD中，，BC＝16，∠A＝∠B＝∠C＝30°，则点D到AB的距离为 　2　． 【解答】解：延长CD交AB于点E，过点E作EG⊥BC于点G，过点D作DF⊥BA于点F，如图． ∵∠B＝∠C＝30°， ∴∠CEA＝∠B+∠C＝60°，BE＝CE． 又EG⊥BC， ∴BG＝CG＝8， ∴BE＝＝＝， ∴AE＝AB﹣BE＝8＝． 又∠EDA＝90°，∠A＝30°， ∴AD＝cos30°×AE＝×＝4． ∴DF＝AD＝＝2． 即D到AB距离为2． 故答案为：2． 16．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图1，若任意△ABC内一点D满足∠1＝∠2＝∠3，则点D叫做△ABC的布洛卡点．如图2，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D为△ABC的布洛卡点，AD＝9，，则DB+DC的值为 　10　． 【解答】解：过点A作AE⊥BC，如图所示： ∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴， ∵， ∴， ∴设BE＝m，则，BC＝2m， ∴根据勾股定理得：， ∵点D是△ABC的布洛卡点， ∴∠1＝∠2＝∠3， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠2+∠ABD＝∠3+∠BCD， ∴∠ABD＝∠BCD， ∴△ABD∽△BCD， ∴， ∴， 解得：BD＝6，CD＝4， ∴BD+CD＝6+4＝10． 故答案为：10． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．计算：． 【解答】解：|2﹣|+2﹣2﹣（）0+tan60° ＝ ＝． 18．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD是边BC上的中线，sin∠DAB＝，BD＝3．求： （1）AB的长； （2）∠CAB的余切值． 【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB于点E， 在Rt△BDE中，DE⊥AB，，∠B＝45°， ∴， 在Rt△ADE中，，DE＝3， ∴，则AD＝5， ∴， ∴AB＝AE+BE＝4+3＝7． （2）作CH⊥AB，垂足为H． ∴BC＝2BD＝6， ∵∠ABC＝45°， ∴， ∴AH＝7﹣6＝1， 即在Rt△CHA中，． 19．如图，小河岸边有一棵大树，大树的一边为河面，一边为河堤．为了测量小河岸边大树AB的高度，小明从树根部点A沿河堤向上走了10m到达点C处，测得大树顶端B的仰角为45°，再继续向上走了20m到达点D处，此时点D和大树顶端B在一条水平线上，试求大树AB的高度和河堤的坡比．（结果保留根号） 【解答】解：如图，连接BD，过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，则CF＝AE，AF＝CE， 根据题意得：CE∥BD，AC＝10m，CD＝20m，∠BCE＝45°， ∴， 即BE＝2AE， 在Rt△BCE中，∠BCE＝45°， ∴△BCE是等腰直角三角形， ∴CE＝BE＝2AE， ∴， 即河堤的坡比为； 设AE＝x m，则CE＝2AE＝2x m， 在Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2， ∴102＝x2+（2x）2， 解得：x＝2， 即AE＝2， ∴AB＝AE+CE＝6． 20．定义：在△ABC中，我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thiA，即thiA＝＝．请解答下列问题： 已知：在△ABC中，∠C＝30°． （1）若∠A＝45°，求thiA的值； （2）若thiA＝，则∠A＝　60或120　°； （3）若∠A是锐角，探究thiA与sinA的数量关系． 【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H． （1）在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH． 在Rt△BHA中，sinA＝＝，即AB＝BH． ∴thiA＝＝； （2）∵thi A＝， ∴＝， ∵∠C＝30°， ∴tan30°＝＝， ∴∠ABC＝90°， ∴∠A＝60°， 如图，根据对称性，△A′BC是钝角三角形时，∠B′AC＝120° 故答案为：60或120； （3）在△ABC中，thiA＝． 在Rt△BHA中，sinA＝． 在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH． ∴thiA＝2sinA． 21．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长1米，点C与点N重合．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至∠ADC＝36°时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73） 【解答】解：由题意得：AD⊥DE，PE⊥DE， ∴AD∥PE，∠PED＝90°， ∵∠ADC＝36°， ∴∠DPE＝36°， ∵PE＝1.6米， ∴DE＝PE•tan∠DPE≈1.6×0.73＝1.168（米）， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝3米， ∴CD＝3（米）， ∴DN＝3（米）， ∴EN＝3﹣1.168＝1.832（米）， ∵1.832＞1.8， ∴轿车能驶入小区． 22．在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距80海里． （1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离； （2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达． 【解答】（1）解：如图，过点P作 PC⊥AB 于C， 则∠PCA＝∠PCB＝90°， 由题意得：PA＝80海里，∠A＝30°，∠CBP＝45°， 海里，△BCP是等腰直角三角形， ∴BC＝PC＝40海里，海里， 答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为海里； （2）∵PA＝80海里，海里，救助船A，B分别以40海里/小时、海里/小时的速度同时出发， ∴救助船A所用的时间为 （小时）， 救助船B所用的时间为 （小时）， ， ∴救助B船先到达． 23．如图1，晓嘉在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点M． （1）在图1中，过点A画出水平线，并标记观测M的仰角α．若铅垂线在量角器上的读数为53°，求α的值； （2）如图2，已知晓嘉眼睛离地1.5米，站在B处观测M的仰角为（1）中的α，向前走1.25米到达D处，此时观测点M的仰角为45°，求树MN的高度．（注：tan37°≈，sin37°≈，cos37°≈） 【解答】解：（1）如图1，α＝90°﹣53°＝37°； （2）如图，过点A作AP⊥MN，垂足为P，则PN＝AB＝1.5米．设MN＝x米． 在Rt△APM中，（米）， 在Rt△MCP中，CP＝MP＝x﹣1.5（米）， ∴（米）， 解得x＝5.25． 答：树MN的高度为5.25米． 24．某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下： 对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如M{1，2，9}＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1．请结合上述材料，解决下列问题： （1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝　　， ②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝　　； （2）如果M{2，1+x，2x}＝min{2，1+x，2x}，求x的值． 【解答】解：（1）①∵（﹣2）2＝4，22＝4，﹣22＝﹣4，而＝， ∴M{（﹣2）2，22，﹣22}＝， 故答案为：； ②∵sin30°＝，cos60°＝，tan45°＝1，而＜1， ∴min{sin30°，cos60°，tan45°}＝， 故答案为：； （2）由于M{2，1+x，2x}＝min{2，1+x，2x}， 当2最小时，有＝2， 解得x＝1， 此时这三个数分别为2，2，2； 当1+x最小时，有＝1+x， 此时x的值为任意实数， 所以不符合题意； 当2x最小时，有＝2x， 解得x＝1， 此时这三个数分别为2，2，2； 综上所述，x＝1． 25．实际应用 材料 太阳高度：太阳高度指太阳光线与地平面的夹角，记作H，当地地方时12时的太阳高度称为正午太阳高度．一天中正午时太阳高度最大，日出和日落时太阳高度为0°． H的计算公式：H＝90°﹣|纬差|（纬差是指某地的地理纬度与当日太阳直射点所在纬度的差值，特别地，南纬北纬地区的纬差为其数值之和） 例如，如图所示，C地的纬度为60°N，求C地夏至日（太阳直射北回归线23.5°N）的正午太阳高度？ 解：夏至日太阳直射的纬度为∠AOB＝23.5°N，与C地的纬度差∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝60°﹣23.5°＝36.5°， 那么H＝∠DCE＝90°﹣36.5°＝53.5°． 应用 （1）深圳纬度约为22.5°N，一年中会有两次太阳直射，一般在每年的6月18日和6月26日两天，则当天正午太阳高度H＝　90°　（填角度）；冬至太阳直射南回归线23.5°S，则当天正午深圳的太阳高度H＝　44°　（填角度） （2）如图，小明家住在河南焦作（35°N），一年中正午太阳光线与地平面夹角最小在冬至，约为31.5°，即α＝31.5°，夹角最大在夏至，约为78.5°，即β＝78.5°，测得他家窗高约为2.3m，即AB＝2.3m．如图所示的直角遮阳篷，在冬至能最大限度地使阳光射入室内，在夏至又能最大限度地遮挡炎热的阳光，请求出此遮阳篷两直角边BC，CD的长度．（精确到0.1m，参考数据：sin31.5°≈0.52，cos31.5°≈0.85，tan31.5°≈0.61，sin78.5°≈0.98，cos78.5°≈0.20，tan78.5°≈4.92） 【解答】解：（1）∵正午太阳光线垂直照射到地面， ∴太阳照射点的纬度和深圳的纬度相同，都是22.5°N． ∴纬度差为0°． ∴H＝90°﹣0°＝0°； ∵冬至太阳直射南回归线23.5°S，深圳纬度约为22.5°N， ∴纬度差为：23.5+22.5＝46°． ∴H＝90°﹣46°＝44°． 故答案为：90°，44°； （2） 由题意得：CD∥AE，BD∥AF，∠C＝90°． ∴∠CDA＝β＝78.5°，∠BDA＝∠FAD． ∴∠CDA﹣∠BDA＝∠β﹣FAD． 即∠CDB＝α＝31.5°． 设CD长x m． ∴BC＝CD•tan31.5°≈0.61x m． ∵AB＝2.3m， ∴AC＝（2.3+0.61x）m． ∵tan∠ADC＝， ∴≈4.92． 解得：x＝0.5． ∴CD＝0.5 m． ∴BC≈0.3 m． 答：BC约为0.3 m，CD约为0.5 m． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/22 13:46:44；用户：赵玉琴；邮箱：13721589064；学号：37201216 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$