专题02 整式与因式分解-备战2025年中考数学真题题源解密（浙江专用）

专题02 整式乘除与因式分解 课标要求 考点 考向 1.能求代数式的值；能根据特定问题找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算． 2．了解整数指数幂的意义和基本性质；了解整式的概念和有关法则，会进行简单的整式加、减、乘、除运算． 3．会推导平方差公式和完全平方公式，会进行简单的计算；会用提公因式法、公式法、十字相乘进行因式分解. 整式乘除 考向一 整式运算 考向二 整式乘除化简求值 考向三 整式乘除综合 因式分解 考向一 乘法公式 考向二 分解因式 考点一 整式乘除 ►考向一 整式乘除运算 1．（2023•丽水）计算a2+2a2的正确结果是（　　） A．2a2 B．2a4 C．3a2 D．3a4 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则进行计算即可． 【解答】解：a2+2a2 ＝（1+2）a2 ＝3a2， 故选：C． 【点评】本题考查了合并同类项法则，能熟记合并同类项法则是解此题的关键，把同类项的系数相加作为系数，字母和字母的指数不变． 2．（2022•宁波）下列计算正确的是（　　） A．a3+a＝a4 B．a6÷a2＝a3 C．（a2）3＝a5 D．a3•a＝a4 【答案】D 【分析】根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的除法判断B选项；根据幂的乘方判断C选项；根据同底数幂的乘法判断D选项． 【解答】解：A选项，a3与a不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B选项，原式＝a4，故该选项不符合题意； C选项，原式＝a6，故该选项不符合题意； D选项，原式＝a4，故该选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握am•an＝am+n是解题的关键． 3．（2022•金华）计算a3•a2的结果是（　　） A．a B．a6 C．6a D．a5 【答案】D 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【解答】解：a3•a2＝a5． 故选：D． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4．（2022•温州）化简（﹣a）3•（﹣b）的结果是（　　） A．﹣3ab B．3ab C．﹣a3b D．a3b 【答案】D 【分析】先化简乘方，再根据单项式乘单项式的法则计算即可． 【解答】解：原式＝﹣a3•（﹣b） ＝a3b． 故选：D． 【点评】本题考查单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键． 5．（2022•台州）下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝a5 B．（a2）3＝a8 C．（a2b）3＝a2b3 D．a6÷a3＝a2 【答案】A 【分析】根据同底数的幂的乘除，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断． 【解答】解：a2•a3＝a5，故A正确，符合题意； （a2）3＝a6，故B错误，不符合题意； （a2b）3＝a6b3，故C错误，不符合题意； a6÷a3＝a3，故D错误，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查同底数的幂的乘除，幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握相关运算的法则． 6．（2024•浙江）下列式子运算正确的是（　　） A．x3+x2＝x5 B．x3•x2＝x6 C．（x3）2＝x9 D．x6÷x2＝x4 【答案】D 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法及幂的乘方与积的乘方进行计算，逐一判断即可． 【解答】解：A．x3+x2不能合并同类项，故本选项不符合题意； B．x3•x2＝x5，故本选项不符合题意； C．（x3）2＝x6，故本选项不符合题意； D．x6÷x2＝x4，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查合并同类项、同底数幂的乘除法及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． ►考向二 整式乘除化简求值 1．（2022•丽水）先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2），其中x． 【答案】1+2x；2． 【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再把x代入计算即可． 【解答】解：（1+x）（1﹣x）+x（x+2） ＝1﹣x2+x2+2x ＝1+2x， 当x时，原式＝11+1＝2． 【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键． 2．（2023•金华）已知，求（2x+1）（2x﹣1）+x（3﹣4x）的值． 【答案】0． 【分析】先根据单项式乘以多项式的法则和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可 【解答】解：原式＝4x2﹣1+3x﹣4x2 ＝3x﹣1 当时，原式＝31＝0． 【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键． 3．（2023•浙江）（1）解不等式：2x﹣3＞x+1． （2）已知a2+3ab＝5，求（a+b）（a+2b）﹣2b2的值． 【答案】（1）x＞4； （2）5． 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤进行计算即可； （2）将原代数式化简整理后结合已知条件即可求得答案． 【解答】解：（1）2x﹣3＞x+1， 移项得：2x﹣x＞1+3， 合并同类项得：x＞4； （2）∵a2+3ab＝5， ∴（a+b）（a+2b）﹣2b2 ＝a2+2ab+ab+2b2﹣2b2 ＝a2+3ab ＝5． 【点评】本题考查解一元一次不等式和整式的化简求值，解不等式的步骤及整式的运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握． ►考向三 整式乘除综合 1．（2022•金华）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形． （1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长． （2）当a＝3时，该小正方形的面积是多少？ 【答案】（1）a+3； （2）36． 【分析】（1）观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边即可； （2）根据正方形的面积＝边长的平方列出代数式，把a＝3代入求值即可． 【解答】解：（1）∵直角三角形较短的直角边2a＝a， 较长的直角边＝2a+3， ∴小正方形的边长＝2a+3﹣a＝a+3； （2）小正方形的面积＝（a+3）2， 当a＝3时，面积＝（3+3）2＝36． 【点评】本题考查了列代数式，代数式求值，观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边求出小正方形的边长是解题的关键． 2．（2023•金华）如图是一块矩形菜地ABCD，AB＝a（m），AD＝b（m），面积为s（m2），现将边AB增加1m． （1）如图1，若a＝5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是 　6　． （2）如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s（m2），则s的值是 　6+4　． 【答案】（1）6； （2）6+4． 【分析】（1）根据边AD减少1m，得到的矩形面积不变，得5b＝（5+1）×（b﹣1），可解得答案； （2）由边AB增加1m，边AD增加2m，得到的矩形面积为2s（m2），知（a+1）（b+2）＝2s，故（a+1）（2）＝2s，2a2+（2﹣s）a+s＝0，又有且只有一个a的值使得到的矩形面积为2s，可得（2﹣s）2﹣8s＝0，可解得答案． 【解答】解：（1）∵边AD减少1m，得到的矩形面积不变， ∴5b＝（5+1）×（b﹣1）， 解得：b＝6， 故答案为：6； （2）根据题意知b， ∵边AB增加1m，边AD增加2m，得到的矩形面积为2s（m2）， ∴（a+1）（b+2）＝2s， ∴（a+1）（2）＝2s， 整理得：2a2﹣s＝0， ∴2a2+（2﹣s）a+s＝0， ∵有且只有一个a的值使得到的矩形面积为2s， ∴Δ＝0，即（2﹣s）2﹣8s＝0， 解得s＝6﹣4（不符合题意，舍去）或s＝6+4， 故答案为：6+4． 【点评】本题考查整式的混合运算，涉及矩形面积，一元二次方程的判别式等，解题的关键是由有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s列出关于s的方程． 3．（2023•丽水）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am﹣bn＝2，an+bm＝4． （1）若a＝3，b＝4，则图1阴影部分的面积是 　25　； （2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 　　． 【答案】（1）25； （2）． 【分析】（1）根据正方形的面积公式列得代数式，然后代入数值计算即可； （2）结合已知条件可得a2+b2＝3，利用梯形面积公式可得（m+n）2＝10，然后将题干中的两个等式分别平方再相加并整理可得（a2+b2）（m2+n2）＝20，继而求得m2+n2，再结合（m+n）2＝10可求得mn，根据正方形性质可得图2中阴影部分是一个直角三角形，利用勾股定理求得其两直角边长，再根据三角形面积公式可得其面积为mn． 【解答】解：（1）由题意可得图1阴影部分面积为：a2+b2， ∵a＝3，b＝4， ∴a2+b2＝32+42＝25， 故答案为：25； （2）由题意可得a2+b2＝3，图2中四边形ABCD是直角梯形， ∵AB＝m，CD＝n，它的高为：（m+n）， ∴（m+n）（m+n）＝5， ∴（m+n）2＝10， ∵am﹣bn＝2，an+bm＝4， ∴将两式分别平方并整理可得：a2m2﹣2abmn+b2n2＝4①，a2n2+2abmn+b2m2＝16②， ①+②整理得：（a2+b2）（m2+n2）＝20， ∵a2+b2＝3， ∴m2+n2， ∵（m+n）2＝10， ∴（m+n）2﹣（m2+n2）＝10， 整理得：2mn， 即mn， ∵图2中阴影部分的三角形的其中两边是两正方形的对角线， ∴这两边构成的角为：45°+45°＝90°， 那么阴影部分的三角形为直角三角形，其两直角边的长分别为：m，n， 故阴影部分的面积为：mn＝mn， 故答案为：． 【点评】本题考查整式运算的实际应用，（2）中将题干中的两个等式分别平方再相加并整理后得出（a2+b2）（m2+n2）＝20是解题的关键． 4．（2018•宁波）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB＝2时，S2﹣S1的值为（　　） A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b 【答案】B 【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【解答】解：S1＝（AB﹣a）•a+（CD﹣b）（AD﹣a）＝（AB﹣a）•a+（AB﹣b）（AD﹣a）， S2＝AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）， ∴S2﹣S1＝AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）•a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）＝（AD﹣a）（AB﹣AB+b）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a）＝b•AD﹣ab﹣b•AB+ab＝b（AD﹣AB）＝2b． 故选：B． 【点评】本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质． 考点二 因式分解 ►考向一 乘法公式 1．（2023•杭州）分解因式：4a2﹣1＝（　　） A．（2a﹣1）（2a+1） B．（a﹣2）（a+2） C．（a﹣4）（a+1） D．（4a﹣1）（a+1） 【答案】A 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：4a2﹣1＝（2a）2﹣12 ＝（2a﹣1）（2a+1）． 故选：A． 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键． 2．（2023•丽水）分解因式：x2﹣9＝　（x+3）（x﹣3）　． 【答案】（x+3）（x﹣3）． 【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式． 【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）． 故答案为：（x+3）（x﹣3）． 【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法． 3．（2023•宁波）分解因式：x2﹣y2＝　（x+y）（x﹣y）　． 【答案】（x+y）（x﹣y） 【分析】因为是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解即可． 【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）． 故答案为：（x+y）（x﹣y）． 【点评】本题考查了平方差公式因式分解，熟记平方差公式的特点：两项平方项，符号相反，是解题的关键． 4．（2022•嘉兴）分解因式：m2﹣1＝　（m+1）（m﹣1）　． 【答案】（m+1）（m﹣1）． 【分析】本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【解答】解：m2﹣1＝（m+1）（m﹣1）． 【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反． 5．（2022•金华）因式分解：x2﹣9＝　（x+3）（x﹣3）　． 【答案】（x+3）（x﹣3）． 【分析】原式利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3）， 故答案为：（x+3）（x﹣3）． 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． ►考向二 因式分解 因式分解的一般步骤： (1)“一提”：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式； (2)“二套”：再考虑能否运用公式法分解因式．一般根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式； (3)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止． 1．（2024•浙江）因式分解：a2﹣7a＝　a（a﹣7）　． 【答案】a（a﹣7）． 【分析】用提取公因式法分解因式即可． 【解答】解：a2﹣7a＝a（a﹣7）． 故答案为：a（a﹣7）． 【点评】本题考查了分解因式，能选择适当的方法分解因式是解此题的关键，注意：因式分解的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法等． 2．（2023•金华）因式分解：x2+x＝　x（x+1）　． 【答案】x（x+1） 【分析】根据观察可知原式公因式为x，直接提取可得． 【解答】解：x2+x＝x（x+1）． 【点评】本题考查了提公因式法分解因式，通过观察可直接得出公因式，直接观察法是解此类题目的常用的方法． 3．（2023•台州）因式分解：x2﹣3x＝　x（x﹣3）　． 【答案】x（x﹣3）． 【分析】提取公因式x即可． 【解答】解：原式＝x•x﹣x•3 ＝x（x﹣3）， 故答案为：x（x﹣3）． 【点评】本题考查提公因式法因式分解，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 4．（2023•浙江）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为（x+1），请你写出一个符合条件的多项式：　x2﹣1（答案不唯一）．　． 【答案】x2﹣1 【分析】根据题意，可以写出分解因式中含有（x+1）的一个多项式，本题答案不唯一，符合题意即可． 【解答】解：∵x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）， ∴符合条件的一个多项式是x2﹣1， 故答案为：x2﹣1（答案不唯一）． 【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，写出符合题意的一个多项式． 5．（2023•温州）分解因式：2a2﹣2a＝　2a（a﹣1）　． 【答案】2a（a﹣1）． 【分析】直接提取公因式2a，进而分解因式即可． 【解答】解：2a2﹣2a＝2a（a﹣1）． 故答案为：2a（a﹣1）． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 6．（2023•绍兴）因式分解：m2﹣3m＝　m（m﹣3）　． 【答案】m（m﹣3）． 【分析】直接提取公因式m，进而分解因式即可． 【解答】解：m2﹣3m＝m（m﹣3）． 故答案为：m（m﹣3）． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 7．（2022•丽水）分解因式：a2﹣2a＝　a（a﹣2）　． 【答案】a（a﹣2）． 【分析】观察原式，找到公因式a，提出即可得出答案． 【解答】解：a2﹣2a＝a（a﹣2）． 故答案为：a（a﹣2）． 【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式的方法，此题属于基础性质的题．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解． 8．（2022•舟山）分解因式：m2+m＝　m（m+1）　． 权所有 【答案】m（m+1）． 【分析】根据多项式的特征选择提取公因式法进行因式分解． 【解答】解：m2+m＝m（m+1）． 故答案为：m（m+1）． 【点评】本题主要考查了运用提取公因式法进行因式分解，运用提取公因式法进行因式分解的关键是确定公因式． 9．（2022•绍兴）分解因式：x2+x＝　x（x+1）　． 【答案】x（x+1）． 【分析】直接提取公因式x，进而分解因式得出即可． 【解答】解：x2+x＝x（x+1）． 故答案为：x（x+1）． 【点评】此题主要考查了提取公因式分解因式，正确提取公因式是解题关键． 1．（2024•浙江模拟）计算（﹣4x3）2的正确结果是（　　） A．8x6 B．16x6 C．﹣16x6 D．16x5 【答案】B 【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可． 【解答】解：（﹣4x3）2 ＝（4x3）2 ＝16x6． 故选：B． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握其运算法则是解题的关键． 2．（2024•绍兴一模）下列运算正确的是（　　） A．x3﹣x2＝x B．x3•x2＝x5 C．x3÷x2＝1 D．（x3）2＝x5 【答案】B 【分析】A．先判断x3，x2是不是同类项，能否合并，然后判断即可； B．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可； C．根据同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可； D．根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可． 【解答】解：A．∵x3，x2不是同类项，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； B．∵x3•x2＝x5，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； C．∵x3÷x2＝x，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； D．∵（x3）2＝x6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘除法则、幂的乘方法则和同类项的定义． 3．（2024•温州模拟）计算（﹣a）3•a2的结果是（　　） A．﹣a6 B．a6 C．﹣a5 D．a5 【答案】C 【分析】利用同底数幂的乘法的法则对式子进行运算即可． 【解答】解：（﹣a）3•a2 ＝﹣a3•a2 ＝﹣a5， 故选：C． 【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是熟记同底数幂的乘法的法则． 4．（2024•舟山市二模）下列计算正确的是（　　） A．x3×x2＝x6 B．（﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2 C． D．（2a﹣b）2＝4a2﹣b2 【答案】B 【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：x3•x2＝x5，故选项A错误，不符合题意； （﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2，故选项B正确，符合题意； 3x3÷（x2）＝6x，故选项C错误，不符合题意； （2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 5．（2024•宁波模拟）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．x2﹣2y+1 D．﹣x2﹣4y2 【答案】B 【分析】能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差． 【解答】解：A．x2+4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式； B．﹣x2+4y2是2y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式； C．x2﹣2y+1是三项不能用平方差公式分解因式； D．﹣x2﹣4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式． 故选：B． 【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键． 6．（2024•杭州钱塘区一模）下列因式分解正确的是（　　） A．4a2﹣1＝（4a+1）（4a﹣1） B．﹣a2+25＝（5+a）（5﹣a） C．a2﹣6ab﹣9b2＝（a﹣3b）2 D．a2﹣8a+16＝（a﹣8）2 【答案】B 【分析】根据平方差公式和完全平方公式逐个判断即可． 【解答】解：A．4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1），故本选项不符合题意； B．﹣a2+25＝（5+a）（5﹣a），故本选项符合题意； C．a2﹣6ab+9b2＝（a﹣3b）2，故本选项不符合题意； D．a2﹣8a+16＝（a﹣4）2，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了利用公式法分解因式，能熟记平方差公式和完全平方公式是解本题的关键． 7．（2024•杭州西湖区二模）把a2﹣2a+1分解因式，正确的是（　　） A．a（a﹣2）+1 B．（a+1）2 C．（a+1）（a﹣1） D．（a﹣1）2 【答案】D 【分析】根据完全平方公式分解即可． 【解答】解：a2﹣2a+1＝（a﹣1）2． 故选：D． 【点评】本题主要考查因式分解﹣运用公式法，熟记公式结构是解题的关键． 8．（2024•浙江模拟）下列多项式中，属于4x2﹣1的一个因式的是（　　） A．4x﹣1 B．4x+1 C．2x﹣1 D．4x2 【答案】C 【分析】先根据平方差公式分解因式，再找出选项即可． 【解答】解：4x2﹣1 ＝（2x）2﹣12 ＝（2x+1）（2x﹣1）， 所以4x2﹣1的因式是2x﹣1或2x+1． 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，能正确根据平方差公式分解因式是解此题的关键． 9．（2023•嘉兴一模）已知实数a，b满足4a2b＝n，b2+2a＝n，b≠2a．其中n为自然数，则n的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由原式知，（4a2b）﹣（b2+2a）＝0，进一步变形得（2a﹣b） （2a+b）＝0，因为b≠2a，所以2a+b0，得b2a，代入b2+2a＝n得，（2a）+2a＝n，配方法求极值． 【解答】解：由原式知，（4a2b）﹣（b2+2a）＝0， ∴（4a2﹣b2）﹣（2ab）＝0 ∴（2a﹣b）（2a+b）（2a﹣b）＝0 ∴（2a﹣b） （2a+b）＝0 ∵b≠2a ∴2a+b0， ∴b2a， 代入b2+2a＝n得，（2a）2+2a＝n， 整理，得n＝4a2﹣2a+7＝（2a ）25≥5， ∴自然数n的最小值为6 故选C． 【点评】本题考查等式的基本性质，平方差公式、完全平方公式、配方法求极值；根据式子的具体特征，结合乘法公式对代数式作恒等变形是解题的关键． 10．（2023•宁波海曙区模拟）已知x3﹣y3+3xy+1＝0，x﹣y的值有（　　） A．1个 B．2个 C．大于2个但有限 D．无数个 【答案】B 【分析】先把已知等式的常数项移到等号右侧得①，然后求（x﹣y）3得②，再把①②相加，进行分解因式，再利用平方数的非负性进行解答即可． 【解答】解：∵x3﹣y3+3xy+1＝0， ∴x3﹣y3+3xy＝﹣1①， ∵（x﹣y）3＝x3﹣y3﹣3x2y+3xy2②， ②﹣①得：﹣3x2y﹣3xy+3xy2＝（x﹣y）3+1， ∴﹣3xy（x﹣y+1）＝[（x﹣y）2﹣（x﹣y）+1]（x﹣y+1）， [（x﹣y）2﹣（x﹣y）+1]（x﹣y+1）+3xy（x﹣y+1）＝0， （x﹣y+1）[（x﹣y）2﹣（x﹣y）+1+3xy]＝0， （x﹣y+1）（x2﹣2xy+y2﹣x+y+1+3xy）＝0， （x﹣y+1）（x2+y2+xy﹣x+y+1）＝0， ∴， ， ， ∴x﹣y+1＝0，（x﹣y）2+（x﹣1）2+（y+1）2＝0， ∴x﹣y＝﹣1， ∵（x+y）2≥0，（x﹣1）2≥0，（y+1）2≥0， ∴x﹣1＝0，y+1＝0， ∴x＝1，y＝﹣1， ∴x﹣y＝1﹣（﹣1）＝1+1＝2， 综上可知：x﹣y的值有2个，为﹣1或2， 故选：B． 【点评】本题主要考查了因式分解，解题关键是根据已知条件，找出解题的基本思路． 11．（2022•金华东阳市模拟）分解因式：a3﹣9a＝　a（a+3）（a﹣3）　． 【答案】a（a+3）（a﹣3） 【分析】本题应先提出公因式a，再运用平方差公式分解． 【解答】解：a3﹣9a＝a（a2﹣32）＝a（a+3）（a﹣3）． 【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 12．（2024•温州模拟）分解因式：3m2﹣6m+3＝　3（m﹣1）2　． 【答案】3（m﹣1）2 【分析】首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案． 【解答】解：3m2﹣6m+3 ＝3（m2﹣2m+1） ＝3（m﹣1）2． 故答案为：3（m﹣1）2． 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键． 13．（2024•宁波定海区三模）若关于x，y的方程组的解满足x+y＝﹣4，则4m÷2n的值为 　　． 【答案】． 【分析】方程组中的两个方程相减与x+y＝4结合先求出2m﹣n的值，再利用同底数幂的除法法则和整体代入的思想得结论． 【解答】解：， ①﹣②，得x+y＝2m﹣1﹣n． 由于x+y＝﹣4， ∴2m﹣1﹣n＝﹣4即2m﹣n＝﹣3． ∴4m÷2n＝22m÷2n ＝22m﹣n ＝2﹣3 ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了方程组和整式的相关运算，掌握二元一次方程组的解法、幂的运算法则、整体代入的思想方法是解决本题的关键． 14．（2024•湖州市一模）已知a﹣b+c＝0，a+b+c＞1，S＝4a+2b+c，当b2﹣4ac取最小值时，S的取值范围是 　S　． 【答案】S 【分析】由a﹣b+c＝0和a+b+c＞1，推出a，b，c三者关系，再由b2﹣4ac取最小值得到a＝c，这是解题的关键，最终得出a，最后求出S的范围． 【解答】∵a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c， ∴a+b+c＝2（a+c）＞1，即a+c． ∵b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0， ∴当a＝c时，b2﹣4ac取最小值． ∴a+c＝2a， ∴a， ∴S＝4a+2b+c＝4a+2（a+c）+c＝6a+3c＝9a． 故答案为：S． 【点评】本题考查不等式的性质及完全平方公式，解决本题的关键是熟练掌握运用不等式的性质解决问题． 15．（2024•宁波镇海区校级二模）多项式M与多项式x2﹣3x+1的乘积为2x4+ax3+bx2+cx﹣3，则2a+b+c＝　﹣4　． 【答案】﹣4． 【分析】根据多项式乘多项式和单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【解答】解：∵多项式M与多项式x2﹣3x+1的乘积为2x4+ax3+bx2+cx﹣3， ∴设多项式M＝2x2+mx﹣3， 由题意得： （2x2+mx﹣3）×（x2﹣3x+1） ＝2x4﹣6x3+2x2+mx3﹣3mx2+mx﹣3x2+9x﹣3 ＝2x4+（m﹣6）x3﹣（3m+1）x2+（m+9）x﹣3， ∴m﹣6＝a，﹣3m﹣1＝b，c＝m+9， ∴2a+b+c＝2m﹣12﹣3m﹣1+m+9＝﹣4， 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查的是多项式乘多项式和单项式乘单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 16． （2024•宁波普陀区二模）小聪同学在学习了七年级下册“多项式的乘法”、“乘法公式”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的代数式，感受这种特殊化的学习过程． 【答案】﹣y． 【分析】直接利用完全平方公式得结论． 【解答】解：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab， 当a＝y，b＝﹣y时， （x+a）（x+b）＝（x+y）（x﹣y） ＝x2+（y﹣y）x﹣y2 ＝x2﹣y2． 故答案为：﹣y． 【点评】本题考查了整式的乘法公式，掌握乘法的完全平方公式和平方差公式是解决本题的关键． 17．（2024•余姚市一模）小明在计算a（2+a）﹣（a﹣2）2时，解答过程如下： a（2+a）﹣（a﹣2）2 ＝2a+a2﹣（a2﹣4）…第一步 ＝2a+a2﹣a2﹣4…第二步 ＝2a﹣4…第三步 小明的解答从第 　一　步开始出错，请写出正确的解答过程． 【答案】一 【分析】根据完全平方公式进行判断，然后改正即可． 【解答】解：从第一步开始出错， 改正：a（2+a）﹣（a﹣2）2 ＝2a+a2﹣（a2﹣4a+4） ＝2a+a2﹣a2+4a﹣4 ＝6a﹣4． 故答案为：一． 【点评】本题考查了完全平方公式、单项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 18．（2024•杭州下城区模拟）如图，在矩形ABCD的内部挖掉一个正方形EFHG，已知矩形的长和宽分别为a+3b，3a﹣b（a＞b），正方形边长为a﹣b，求挖掉正方形EFHG后剩余部分的面积（用含有a，b的代数式表示）． 【答案】2a2+10ab﹣4b2． 【分析】根据S阴影部分＝S长方形﹣S正方形进行计算即可． 【解答】解：S阴影部分＝S长方形﹣S正方形 ＝（a+3b）（3a﹣b）﹣（a﹣b）2 ＝3a2﹣ab+9ab﹣3b2﹣a2+2ab﹣b2 ＝2a2+10ab﹣4b2． 【点评】本题考查列代数式，完全平方公式，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征，多项式乘多项式的计算方法以及长方形、正方形面积的计算方法是正确解答的关键． 19．（2024•浙江模拟）对于实数a，b，定义新运算“⊕”，规定如下：a⊕b＝（a+b﹣1）2﹣2ab，如1⊕2＝（1+2﹣1）2﹣2×1×2＝0． （1）求3⊕5的值； （2）若x为某一个实数，记x⊕3的值为m，1⊕（2﹣x）的值为n，请你判断m﹣n的值是否与x的取值有关？并给出证明． 【答案】（1）3⊕5的值是19； （2）m﹣n的值是否与x的取值无关（证明略）． 【分析】（1）按照题目运算定义进行代入、求解； （2）先运用运算定义表示出m，n的值，再通过计算m﹣n进行辨别． 【解答】解：（1）由题意得， 3⊕5＝（3+5﹣1）2﹣2×3×5 ＝72﹣30 ＝49﹣30 ＝19， 即3⊕5的值是19； （2）m﹣n的值是否与x的取值无关， 证明：由题意得， m＝x⊕3 ＝（x+3﹣1）2﹣2×x×3 ＝（x+2）2﹣6x ＝x2+4x+4﹣6x ＝x2﹣2x+4； n＝1⊕（2﹣x） ＝（1+2﹣x﹣1）2﹣2×1×（2﹣x） ＝（2﹣x）2﹣（4﹣2x） ＝x2﹣4x+4+2x﹣4 ＝x2﹣2x， ∴m﹣n＝（x2﹣2x+4）﹣（x2﹣2x） ＝x2﹣2x+4﹣x2+2x ＝4， ∴m﹣n的值是否与x的取值无关． 【点评】此题考查了整式加减方面新定义问题的解决能力，关键是能准确理解并运用运算定义进行计算、辨别． 20．（2023•宁波海曙区模拟）已知正数a、b满足a+b＝4． （1）求的最小值； （2）若xy＝6，bx+ay＝9，x+y＝11﹣2ab，求a，b，x，y的值． 【答案】（1）； （2）a＝1，b＝3，x＝2，y＝3或a＝3，b＝1，x＝3，y＝2． 【分析】（1）将已知式子化为，再由b＝4﹣a得原式转化为求的最小值，只要分母最大时即可得解； （2）将b＝4﹣a分别代入x+y＝11﹣2ab，bx+ay＝9，整理得x﹣y＝4（a﹣2），x+y＝2（a﹣2）2+3，令a﹣2＝t，则（2t2+3）2﹣（4t）2＝24，解得t＝±1，即可求a＝1，b＝3，x＝2，y＝3或a＝3，b＝1，x＝3，y＝2． 【解答】解：（1）， ∵， ∴的最小值为．此时a，b＝4﹣a＝4． （2）∵a+b＝4， ∴b＝4﹣a， ∴x+y＝11﹣2ab＝2a2﹣8a+11，bx+ay＝（4﹣a）x+ay＝9， ∴（2﹣a）（x﹣y）＝﹣4a2+16a﹣13＝﹣4（a﹣2）2+3， ∴x﹣y＝4（a﹣2），x+y＝2（a﹣2）2+3， 令a﹣2＝t， 则（2t2+3）2﹣（4t）2＝24， 解得t＝±1， ∴a＝1，b＝3，x＝2，y＝3或a＝3，b＝1，x＝3，y＝2． 【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握配方法，利用换元法求出a﹣2的值是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式乘除与因式分解 课标要求 考点 考向 1.能求代数式的值；能根据特定问题找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算． 2．了解整数指数幂的意义和基本性质；了解整式的概念和有关法则，会进行简单的整式加、减、乘、除运算． 3．会推导平方差公式和完全平方公式，会进行简单的计算；会用提公因式法、公式法、十字相乘进行因式分解. 整式乘除 考向一 整式运算 考向二 整式乘除化简求值 考向三 整式乘除综合 因式分解 考向一 乘法公式 考向二 分解因式 考点一 整式乘除 ►考向一 整式乘除运算 1．（2023•丽水）计算a2+2a2的正确结果是（　　） A．2a2 B．2a4 C．3a2 D．3a4 2．（2022•宁波）下列计算正确的是（　　） A．a3+a＝a4 B．a6÷a2＝a3 C．（a2）3＝a5 D．a3•a＝a4 3．（2022•金华）计算a3•a2的结果是（　　） A．a B．a6 C．6a D．a5 4．（2022•温州）化简（﹣a）3•（﹣b）的结果是（　　） A．﹣3ab B．3ab C．﹣a3b D．a3b 5．（2022•台州）下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝a5 B．（a2）3＝a8 C．（a2b）3＝a2b3 D．a6÷a3＝a2 6．（2024•浙江）下列式子运算正确的是（　　） A．x3+x2＝x5 B．x3•x2＝x6 C．（x3）2＝x9 D．x6÷x2＝x4 ►考向二 整式乘除化简求值 1．（2022•丽水）先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2），其中x． 2．（2023•金华）已知，求（2x+1）（2x﹣1）+x（3﹣4x）的值． 3．（2023•浙江）（1）解不等式：2x﹣3＞x+1． （2）已知a2+3ab＝5，求（a+b）（a+2b）﹣2b2的值． ►考向三 整式乘除综合 1．（2022•金华）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形． （1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长． （2）当a＝3时，该小正方形的面积是多少？ 2．（2023•金华）如图是一块矩形菜地ABCD，AB＝a（m），AD＝b（m），面积为s（m2），现将边AB增加1m． （1）如图1，若a＝5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是 　　． （2）如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s（m2），则s的值是 　　． 3．（2023•丽水）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am﹣bn＝2，an+bm＝4． （1）若a＝3，b＝4，则图1阴影部分的面积是 　　； （2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 　　． 4．（2018•宁波）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB＝2时，S2﹣S1的值为（　　） A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b 考点二 因式分解 ►考向一 乘法公式 1．（2023•杭州）分解因式：4a2﹣1＝（　　） A．（2a﹣1）（2a+1） B．（a﹣2）（a+2） C．（a﹣4）（a+1） D．（4a﹣1）（a+1） 2．（2023•丽水）分解因式：x2﹣9＝　 　． 3．（2023•宁波）分解因式：x2﹣y2＝　 　． 4．（2022•嘉兴）分解因式：m2﹣1＝　 　． 5．（2022•金华）因式分解：x2﹣9＝　 　． ►考向二 因式分解 因式分解的一般步骤： (1)“一提”：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式； (2)“二套”：再考虑能否运用公式法分解因式．一般根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式； (3)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止． 1．（2024•浙江）因式分解：a2﹣7a＝　 　． 2．（2023•金华）因式分解：x2+x＝　 　． 3．（2023•台州）因式分解：x2﹣3x＝　 　． 4．（2023•浙江）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为（x+1），请你写出一个符合条件的多项式：　 　． 5．（2023•温州）分解因式：2a2﹣2a＝　 　． 6．（2023•绍兴）因式分解：m2﹣3m＝　 　． 7．（2022•丽水）分解因式：a2﹣2a＝　 ． 8．（2022•舟山）分解因式：m2+m＝　 　． 权所有 9．（2022•绍兴）分解因式：x2+x＝　 　． 1．（2024•浙江模拟）计算（﹣4x3）2的正确结果是（　　） A．8x6 B．16x6 C．﹣16x6 D．16x5 2．（2024•绍兴一模）下列运算正确的是（　　） A．x3﹣x2＝x B．x3•x2＝x5 C．x3÷x2＝1 D．（x3）2＝x5 3．（2024•温州模拟）计算（﹣a）3•a2的结果是（　　） A．﹣a6 B．a6 C．﹣a5 D．a5 4．（2024•舟山市二模）下列计算正确的是（　　） A．x3×x2＝x6 B．（﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2 C． D．（2a﹣b）2＝4a2﹣b2 5．（2024•宁波模拟）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．x2﹣2y+1 D．﹣x2﹣4y2 6．（2024•杭州钱塘区一模）下列因式分解正确的是（　　） A．4a2﹣1＝（4a+1）（4a﹣1） B．﹣a2+25＝（5+a）（5﹣a） C．a2﹣6ab﹣9b2＝（a﹣3b）2 D．a2﹣8a+16＝（a﹣8）2 7．（2024•杭州西湖区二模）把a2﹣2a+1分解因式，正确的是（　　） A．a（a﹣2）+1 B．（a+1）2 C．（a+1）（a﹣1） D．（a﹣1）2 8．（2024•浙江模拟）下列多项式中，属于4x2﹣1的一个因式的是（　　） A．4x﹣1 B．4x+1 C．2x﹣1 D．4x2 9．（2023•嘉兴一模）已知实数a，b满足4a2b＝n，b2+2a＝n，b≠2a．其中n为自然数，则n的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 10．（2023•宁波海曙区模拟）已知x3﹣y3+3xy+1＝0，x﹣y的值有（　　） A．1个 B．2个 C．大于2个但有限 D．无数个 11．（2022•金华东阳市模拟）分解因式：a3﹣9a＝　 　． 12．（2024•温州模拟）分解因式：3m2﹣6m+3＝　 　． 13．（2024•宁波定海区三模）若关于x，y的方程组的解满足x+y＝﹣4，则4m÷2n的值为 　　． 14．（2024•湖州市一模）已知a﹣b+c＝0，a+b+c＞1，S＝4a+2b+c，当b2﹣4ac取最小值时，S的取值范围是 　 ． 15．（2024•宁波镇海区校级二模）多项式M与多项式x2﹣3x+1的乘积为2x4+ax3+bx2+cx﹣3，则2a+b+c＝　 　． 16．（2024•宁波普陀区二模）小聪同学在学习了七年级下册“多项式的乘法”、“乘法公式”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的代数式，感受这种特殊化的学习过程． 17．（2024•余姚市一模）小明在计算a（2+a）﹣（a﹣2）2时，解答过程如下： a（2+a）﹣（a﹣2）2 ＝2a+a2﹣（a2﹣4）…第一步 ＝2a+a2﹣a2﹣4…第二步 ＝2a﹣4…第三步 小明的解答从第 　 　步开始出错，请写出正确的解答过程． 18．（2024•杭州下城区模拟）如图，在矩形ABCD的内部挖掉一个正方形EFHG，已知矩形的长和宽分别为a+3b，3a﹣b（a＞b），正方形边长为a﹣b，求挖掉正方形EFHG后剩余部分的面积（用含有a，b的代数式表示）． 19．（2024•浙江模拟）对于实数a，b，定义新运算“⊕”，规定如下：a⊕b＝（a+b﹣1）2﹣2ab，如1⊕2＝（1+2﹣1）2﹣2×1×2＝0． （1）求3⊕5的值； （2）若x为某一个实数，记x⊕3的值为m，1⊕（2﹣x）的值为n，请你判断m﹣n的值是否与x的取值有关？并给出证明． 20．（2023•宁波海曙区模拟）已知正数a、b满足a+b＝4． （1）求的最小值； （2）若xy＝6，bx+ay＝9，x+y＝11﹣2ab，求a，b，x，y的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$