专题12 二次函数-备战2025年中考数学真题题源解密（浙江专用）

专题12 二次函数 课标要求 考点 考向 1．理解二次函数的有关概念． 2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质． 3．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题． 4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题． 5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 二次函数 考向一 二次函数图像性质 考向二 二次函数最值范围问题 考向三 二次函数综合应用 考向四 二次函数与几何 考点 二次函数 ►考向一 二次函数图像性质 1．（2023•杭州）设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（　　） A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a 2．（2023•台州）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＜0，则直线y＝ax+k一定经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 3．（2023•宁波）已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列说法正确的是（　　） A．点（1，2）在该函数的图象上 B．当a＝1且﹣1≤x≤3时，0≤y≤8 C．该函数的图象与x轴一定有交点 D．当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线x＝的左侧 4．（2022•宁波）点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（　　） A．m＞2 B．m＞ C．m＜1 D．＜m＜2 5．（2022•杭州）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（　　） A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④ 6．（2020•衢州）二次函数y＝x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（　　） A．向左平移2个单位，向下平移2个单位 B．向左平移1个单位，向上平移2个单位 C．向右平移1个单位，向下平移1个单位 D．向右平移2个单位，向上平移1个单位 7．（2020•杭州）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（　　） A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0 C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0 8．（2023•丽水）已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上． （1）当m＝﹣1时，求a和b的值； （2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围； （3）求证：b2+4a＝0． 9．（2023•杭州）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … （1）若m＝4， ①求二次函数的表达式； ②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小． （2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围． 10．（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点． （1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴． （2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值． （3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值． ►考向二 二次函数最值范围问题 1．（2023•衢州）已知二次函数y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点．若点A，B都在直线y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m＞2 2．（2022•衢州）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（　　） A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4 3．（2024•浙江）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 4．（2023•浙江）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中． （1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？ （2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值； （3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围． 5．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）． （1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标； （2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由． （3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6． ►考向三 二次函数综合应用 1．（2023•丽水）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（　　） A．5 B．10 C．1 D．2 2．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（　　） A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0 C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0 3．（2023•绍兴）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b＝ 　　． 4．（2021•台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝　　． 5．（2023•湖州）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（30≤x＜60）存在一次函数关系，部分数据如表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 （1）试求出y关于x的函数表达式． （2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 6．（2023•温州）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ ►考向四 二次函数与几何综合 1．（2021•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则的值是 　　． 2．（2023•金华）如图，直线y＝与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线的顶点P在直线AB上，与x轴的交点为C，D，其中点C的坐标为（2，0），直线BC与直线PD相交于点E． （1）如图2，若抛物线经过原点O． ①求该抛物线的函数表达式； ②求的值． （2）连结PC，∠CPE与∠BAO能否相等？若能，求符合条件的点P的横坐标；若不能，试说明理由． 3．（2022•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D． （1）①求点A，B，C的坐标； ②求b，c的值． （2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值． 4．（2017•宁波）如图，抛物线y＝x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D． （1）求c的值及直线AC的函数表达式； （2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连接PQ与直线AC交于点M，连接MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点． ①求证：△APM∽△AON； ②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）． 1．（2022•温州）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高． 素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 2．（2022•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标． （1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）． （2）当a＝时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标． （3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3． ①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证． ②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：≈1.73，≈2.24） 3．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）． （1）若h＝1.5，EF＝0.5m． ①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC； ②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围． （2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值． 1．（2024•滨江区校级三模）抛物线y＝x2﹣4x+3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移方法正确的是（　　） A．先向左平移2个单位，再向上平移7个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C．先向右平移2个单位，再向上平移7个单位 D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 2．（2024•浙江模拟）已知n为实数，点P（p，q）在二次函数y＝nx2+nx的图象上．若n＜0，q＞0，则（　　） A．p＞0 B．p＜﹣1 C．p＞0或p＜﹣1 D．﹣1＜p＜0 3．（2024•镇海区校级模拟）已知二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），则（　　） A．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＜0 B．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＞0 C．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＜0 D．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＞0 4．（2024•拱墅区二模）二次函数a，b为实数，a＜0）的图象对称轴为直线x＝2，且经过点（m，n）．若二次函数的图象经过点（m﹣2，n），则关于x的方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）＝n的解是（　　） A．x1＝2，x2＝4 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝2，x2＝6 5．（2024•瓯海区校级三模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表所示： x ﹣3 ﹣2 3 4 y ﹣12 m 0 m 则当y＜0时，x的取值范围为（　　） A．﹣1＜x＜3 B．﹣2＜x＜4 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣2或x＞4 6．（2024•浙江模拟）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）和直线y＝kx+b（k≠0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中x1＜0＜x2，且满足|x1|＜|x2|，则直线y＝ax+k一定经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 7．（2024•下城区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+4ax+c（a≠0，c为常数）图象与一次函数y＝kx+b（k＞0，b为常数）的图象交于两个不同的点A（x1，y1），点B（x2，y2），则下列说法正确的是（　　） A．若x1+x2＞﹣4，则a＞0 B．若x1+x2＞﹣4，则a＜0 C．若x1x2＞0，则c＞b D．若x1x2＜0，则c＞b 8．（2024•浙江模拟）已知抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）经过点A（1，p），B（7，p），C（8，p﹣1），其中m、n、p为互不相等的实数，则下面判断不正确的是（　　） A．a＜0 B．对称轴为直线x＝4 C．m+n＝8 D．p＜0 9．（2024•西湖区校级二模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（t﹣1，﹣3），（t+1，﹣3）两点，若﹣6≤y≤﹣2时，总有p≤x≤q，则q﹣p的取值范围是（　　） A．1≤q﹣p≤3 B．2≤q﹣p≤3 C．2≤q﹣p≤4 D．1≤q﹣p≤4 10．（2024•瑞安市二模）已知y＝2x﹣8，S＝xy，当﹣1≤x≤3时，则S的最大值为 　 　． 11．（2024•滨江区校级三模）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x﹣3的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 　 　． 12．（2024•海宁市校级模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数且b＞0，c＜0），当﹣5≤x≤0时，﹣11≤y≤5，则c的值为 　 　． 13．（2024•浙江校级模拟）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣6ax+9a+5（a＜0），该函数的最大值为 　 　． 14．（2024•滨江区二模）如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度OA＝0.2米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度AB＝1米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是 　 　米． 15．（2024•上城区校级模拟）把一块含30°角的三角尺放在平面直角坐标系中，使斜边与x轴重合，直角顶点落在y轴上，若三角尺的最短边长为2，则经过该三角尺三个顶点的抛物线的解析式为 　 　． 16．（2024•拱墅区模拟）已知点A（x1，t），B（x2，t）在二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象上，设该二次函数的最小值为k．若x2﹣x1＝6，则t﹣k的值为 　 　． 17．（2024•浙江一模）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在二次函数y＝3（x+1）2﹣7的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　.（用“＞”连接） 18．（2024•嘉兴一模）已知二次函数y＝（x﹣1）（x+3），当﹣2≤x≤1时，则y的取值范围是 　 　． 19．（2024•绍兴市二模）已知二次函数y＝ax2﹣2（a+1）x+4（a≠0）． （1）若二次函数过点（1，1） ①求二次函数的表达式； ②当y随x的增大而减小时，求x的取值范围． （2）若点和点在该二次函数图象上，求的值． 20．（2024•义乌市模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m），点B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）当t＝2时， ①直接写出b与a满足的等量关系； ②比较m，n的大小，并说明理由； （2）已知点C（x0，p）在该抛物线上，若对于3＜x0＜4，都有m＞p＞n，求t的取值范围． 21．（2024•温州二模）问题：如何设计击球路线？情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，击球点P在y轴上． 击球方案： 扣球 羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系C1：y＝﹣0.4x+b，当羽毛球的水平距离为1m时，飞行高度为2.4m． 吊球 羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系C2，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度3.2米． 高远球 羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系C3：y＝a（x﹣n）2+h，且飞行的最大高度在4.8m和5.8m之间． 探究： （1）求扣球和吊球时，求羽毛球飞行满足的函数表达式； （2）①若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网AB的高度为多少； ②若选择吊球的方式，求羽毛球落地点到球网的距离； （3）通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置P保持不变，接球人站在离球网4m处，他可前后移动各1m，接球的高度为2.8m，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式a的取值范围． 22．（2023•西湖区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t． （1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； （2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t． ①若y1的最小值是﹣2，求y1的最大值； ②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求出t的取值范围． 23．（2024•金华三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象经过点（﹣1，2）． （1）若抛物线的顶点为（1，﹣2），求函数的表达式． （2）在（1）的条件下，若函数图象过点A（k，p），B（﹣4﹣k，q），求证：p+q≥14． （3）若函数图象经过点（m，0），（n，0），其中m＞2，且关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2x有两个相等的实数根，求n的取值范围． 24．（2024•西湖区校级二模） 制作简易水流装置 设计方案 如图，CD是进水通道，AB是出水通道，OE是圆柱形容器的底面直径，从CD将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，EO所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy，水流最终落到x轴上的点M处． 示意图 已知 AB∥x轴，AB＝5cm，OM＝15cm，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+15（a≠0） 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为3cm，高为11cm的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出OP长的取值范围． 请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三． 25．（2024•瓯海区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a≠0）． （1）若a＜0，当﹣4≤x≤2时，y的最小值为﹣21，y的最大值为4，求a+b的值； （2）若该二次函数的图象经过点A（1，0）和B（2，3），当m﹣2≤x≤m时，y的最大值与最小值的差8，求m的值． 26．（2024•长兴县模拟）根据以下素材，探索完成任务． 运用二次函数研究电缆架设问题 素材1 电缆在空中架设时．两端挂起的电缆下垂都可以近似的看成抛物线的形状．如图，在一个斜坡BD上按水平距离间隔90米架设两个塔柱．每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为20米（AB＝CD＝20米），按如图建立坐标系（x轴在水平方向上）．点A、O、E在同一水平线上，经测量，AO＝60米，斜坡BD的坡比为1：10（即DM：BM＝1：10）. 素材2 若电缆下垂的安全高度是13.5米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5米时，符合安全要求，否则存在安全隐患．（说明：直线GH⊥x轴分别交直线BD和抛物线于点H、G．点G距离坡面的铅直高度为GH的长） 任务1 明确山坡位置 求点D的坐标. 任务2 确定电缆形状 求出下垂电缆的抛物线表达式. 任务3 判断电缆安全 上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由. 27．（2024•杭州二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a≠0）的图象经过点（﹣2，0）． （1）求a和b的关系式； （2）当﹣3≤x≤2时，函数y有最小值﹣3，求a的值； （3）若a＝﹣1时，将函数图象向下平移m（m＞0）个单位长度，图象与x轴相交于点A，B（点A在y轴的左侧）．当时，求m的值． 28．（2024•西湖区一模）在平面直角坐标系中，点（1，m）和（3，n）都在二次函数y＝ax2+bx（a≠0，a，b是常数）的图象上． （1）若m＝n＝﹣6，求该二次函数的表达式和函数图象的对称轴． （2）若a＝﹣1，m＜n，求b的取值范围． （3）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）也都在该二次函数图象上，若mn＜0且a＜0，试比较y1，y2，y3的大小，并说明理由． 29．（2024•义乌市二模） 草莓种植大棚的设计 生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光． 建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线OPN，其中点P为抛物线的顶点，大棚高PE＝4m，宽ON＝12m．现以点O为坐标原点，ON所在直线为x轴，过点O且垂直于ON的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式． 解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中AB＝BE＝EC＝CD．求门高AB的值． （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段OQ，求此时OQ的长． 30．（2024•镇海区校级三模）【背景介绍】 烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火． 【问题情境】 距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d（单位：m）．距地面的竖直高度为h（单位：m），获得数据如表： d/m 0 10 20 30 40 50 60 70 h/m 0.5 9.5 16.5 21.5 24.5 25.5 24.5 k 【探究过程】 小勇根据学习函数的经验，对函数h随自变量d的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整； （1）k的值为 　 　， （2）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结． （3）请结合函数图象分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？ （4）烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离米改变这只箭的飞行轨迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 二次函数 课标要求 考点 考向 1．理解二次函数的有关概念． 2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质． 3．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题． 4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题． 5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 二次函数 考向一 二次函数图像性质 考向二 二次函数最值范围问题 考向三 二次函数综合应用 考向四 二次函数与几何 考点 二次函数 ►考向一 二次函数图像性质 1．（2023•杭州）设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（　　） A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a 【答案】A 【分析】令y＝0，求出二次函数与x轴的交点坐标，继而求出二次函数的对称轴，再代入二次函数解析式即可求出顶点的纵坐标，最后代入k的值进行判断即可． 【解答】解：令y＝0，则（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0， ∴x1＝m，x2＝m+k， ∴二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）与x轴的交点坐标是（m，0），（m+k，0）， ∴二次函数的对称轴是：直线， ∵a＞0， ∴y有最小值， 当时，y最小， 即， 当k＝2时，函数y的最小值为； 当k＝4时，函数y的最小值为， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握求二次函数的顶点坐标是解题的关键． 2．（2023•台州）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＜0，则直线y＝ax+k一定经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】D 【分析】根据已知条件可得出ax2﹣kx﹣a＝0，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点， ∴kx＝ax2﹣a， ∴ax2﹣kx﹣a＝0， ∴， ∴， 当a＞0，k＜0时，直线y＝ax+k经过第一、三、四象限， 当a＜0，k＞0时，直线y＝ax+k经过第一、二、四象限， 综上，直线y＝ax+k一定经过一、四象限． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系． 3．（2023•宁波）已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列说法正确的是（　　） A．点（1，2）在该函数的图象上 B．当a＝1且﹣1≤x≤3时，0≤y≤8 C．该函数的图象与x轴一定有交点 D．当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线x＝的左侧 【答案】C 【分析】将点（1，2）代入抛物线的解析式即可对选项A进行判断；将a＝1代入抛物线的解析式求出顶点坐标为（2，﹣1），据此可对选项B进行判断；令y＝0，则ax2﹣（3a+1）x+3＝0，然后判断该方程判别式的符号即可对选项C进行判断；求出抛物线的解析式为：，然后根据a＞0得，据此可对选项C进行判断． 【解答】解：①对于y＝ax2﹣（3a+1）x+3，当x＝1时，y＝a×12﹣（3a+1）×1+3＝2﹣2a ∵a≠0， ∴y＝2﹣2a≠2， ∴点A（1，2）不在该函数的图象上， 故选项A不正确； ②当a＝1时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）， 即当x＝2时，y＝﹣1＜0， 故得选项B不正确； ③令y＝0，则ax2﹣（3a+1）x+3＝0， ∵Δ＝[﹣（3a+1）]2﹣4a×3＝（3a﹣1）2≥0， ∴该函数的图象与x轴一定有交点， 故选项C正确； ④∵该抛物线的对称轴为直线：， 又∵a＞0， ∴， ∴该抛物线的对称轴一定在直线的右侧， 故选项D不正确． 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，解答此题的关键是熟练掌握求二次函数的顶点、对称轴以及判定与x轴有无交点的方法． 4．（2022•宁波）点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（　　） A．m＞2 B．m＞ C．m＜1 D．＜m＜2 【答案】B 【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案． 【解答】解：∵点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上， ∴y1＝（m﹣1﹣1）2+n＝（m﹣2）2+n， y2＝（m﹣1）2+n， ∵y1＜y2， ∴（m﹣2）2+n＜（m﹣1）2+n， ∴（m﹣2）2﹣（m﹣1）2＜0， 即﹣2m+3＜0， ∴m＞， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．本题属于基础题，难度不大． 5．（2022•杭州）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（　　） A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④ 【答案】A 【分析】命题④②③可以同时成立，由此即可判断． 【解答】解：假设抛物线的对称轴为直线x＝1， 则﹣＝1， 解得a＝﹣2， ∵函数的图象经过点（3，0）， ∴3a+b+9＝0， 解得b＝﹣3， 故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， 当y＝0时，得x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝3或x＝﹣1， 故抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0）， 函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧； 故命题②③④都是正确，①错误， 故选：A． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质以及对称轴公式的求法． 6．（2020•衢州）二次函数y＝x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（　　） A．向左平移2个单位，向下平移2个单位 B．向左平移1个单位，向上平移2个单位 C．向右平移1个单位，向下平移1个单位 D．向右平移2个单位，向上平移1个单位 【答案】C 【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可． 【解答】解：A、平移后的解析式为y＝（x+2）2﹣2，当x＝2时，y＝14，本选项不符合题意． B、平移后的解析式为y＝（x+1）2+2，当x＝2时，y＝11，本选项不符合题意． C、平移后的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1，当x＝2时，y＝0，函数图象经过（2，0），本选项符合题意． D、平移后的解析式为y＝（x﹣2）2+1，当x＝2时，y＝1，本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的特征，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7．（2020•杭州）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（　　） A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0 C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0 【答案】C 【分析】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式整理得a（9﹣2h）＝1，将h的值分别代入即可得出结果． 【解答】解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：， ∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7， 整理得：a（9﹣2h）＝1， 若h＝4，则a＝1，故A错误； 若h＝5，则a＝﹣1，故B错误； 若h＝6，则a＝﹣，故C正确； 若h＝7，则a＝﹣，故D错误； 故选：C． 【点评】本题考查了待定系数法、二次函数的性质等知识；熟练掌握待定系数法是解题的关键． 8．（2023•丽水）已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上． （1）当m＝﹣1时，求a和b的值； （2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围； （3）求证：b2+4a＝0． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），用待定系数法可得a的值是﹣1，b的值是﹣2； （2）y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），可知抛物线的对称轴为直线x＝m，而y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，可得m＝，根据﹣2＜m＜﹣1，即得﹣4＜n＜﹣2； （3）由抛物线过（﹣m，0），（3m，0），可得﹣＝m，b＝﹣2am，把 （﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3变形可得am2+1＝0，故b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0． 【解答】（1）解：当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0）， ∴， ∴解得， ∴a的值是﹣1，b的值是﹣2； （2）解：∵y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝m， ∵y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上， ∴由图象的对称性得n＝2m， ∴m＝， ∵﹣2＜m＜﹣1， ∴﹣2＜＜﹣1， ∴﹣4＜n＜﹣2； （3）证明：∵抛物线过（﹣m，0），（3m，0）， ∴抛物线对称轴为直线x＝＝m， ∴﹣＝m， ∴b＝﹣2am， 把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3得： ， ①×3+②得：12am2+12＝0， ∴am2+1＝0， ∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0． 【点评】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，涉及待定系数法，不等式，方程组等知识，解题的关键是整体思想的应用． 9．（2023•杭州）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … （1）若m＝4， ①求二次函数的表达式； ②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小． （2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）①利用待定系数法即可求得； ②利用二次函数的性质得出结论； （2）根据题意m≤0，由﹣＝1，得出b＝﹣2a，则二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，得出m＝a+2a+1≤0，解得a≤﹣． 【解答】解：（1）①由题意得， 解得， ∴二次函数的表达式是y＝x2﹣2x+1； ②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小； （2）∵x＝0和x＝2时的函数值都是1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1， ∴（1，n）是顶点，（﹣1，m）和（3，p）关于对称轴对称， 若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且m≤0， ∵﹣＝1， ∴b＝﹣2a， ∴二次函数为y＝ax2﹣2ax+1， ∴m＝a+2a+1≤0， ∴a≤﹣． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够明确题意得出m＝a+2a+1＜0是解题的关键． 10．（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点． （1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴． （2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值． （3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标； （2）把函数y1＝2（x﹣h）2﹣2，化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子的特点求出其最小值； （3）把y1，y2代入y＝y1﹣y2求出y关于x的函数表达式，再根据其图象过点（x0，0），把（x0，0）代入其表达式，形成关于x0的一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0）， ∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4． ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝． （2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得， y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2． ∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2． ∴b+c＝2h2﹣4h﹣2 ＝2（h﹣1）2﹣4． 把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值， ∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4． （3）由题意得，y＝y1﹣y2 ＝2（x﹣m） （x﹣m﹣2）﹣（x﹣m） ＝ （x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]． ∵函数y的图象经过点 （x0，0）， ∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0． ∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0． 即x0﹣m＝0或x0﹣m＝． 【点评】本题考查了二次函数表达式的三种形式，即一般式：y＝ax2+bx+c，顶点式：y＝a（x﹣h）2+k，交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． ►考向二 二次函数最值范围问题 1．（2023•衢州）已知二次函数y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点．若点A，B都在直线y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m＞2 【答案】C 【分析】根据已知条件列不等式即可得到结论． 【解答】解：∵a＜0， ∴y＝﹣3a＞0， ∵A（m，y1）和B（2m，y2）两点都在直线y＝﹣3a的上方，且y1＞y2， ∴4am2﹣8am＞﹣3a， ∴4m2﹣8m+3＜0， ∴＜m＜①， ∵二次函数y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点． ∴am2﹣4am＞4am2﹣8am， ∴3am2＜4am， ∵a＜0，m＞0， ∴am＜0， ∴m＞②， 由①②得＜m＜． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确地列出不等式是解题的关键． 2．（2022•衢州）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（　　） A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4 【答案】D 【分析】分两种情况讨论：当a＞0时，﹣a＝﹣4，解得a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣4，解得a＝﹣． 【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1， 顶点坐标为（1，﹣a）， 当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a， ∵y的最小值为﹣4， ∴﹣a＝﹣4， ∴a＝4； 当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值， ∴9a﹣a＝﹣4， 解得a＝﹣； 综上所述：a的值为4或﹣， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键． 3．（2024•浙江）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1）y＝x2+x+3；（2）m＝4；（3）﹣≤n≤1． 【分析】（1）依据题意，由二次函数为y＝x2+bx+c，可得抛物线为直线x＝﹣＝﹣，可得b的值，再由图象经过点A（﹣2，5），求出c的值，进而可以得解； （2）依据题意，由点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0），进而可得平移后的点为（1﹣m，9），结合（1﹣m，9）在y＝x2+x+3图象上，可得9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3，进而计算可以得解； （3）依据题意，由y＝x2+x+3＝（x+）2+，可得当x＝﹣时，y取最小值，最小值为，再根据n＜﹣、﹣≤n≤1和n＞1进行分类讨论，即可计算得解． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝x2+bx+c， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣． ∴b＝1． ∴抛物线为y＝x2+x+c． 又图象经过点A（﹣2，5）， ∴4﹣2+c＝5． ∴c＝3． ∴抛物线为y＝x2+x+3． （2）由题意，∵点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0）， ∴平移后的点为（1﹣m，9）． 又（1﹣m，9）在y＝x2+x+3， ∴9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3． ∴m＝4或m＝﹣1（舍去）． ∴m＝4． （3）由题意，当 时， ∴最大值与最小值的差为． ∴，不符合题意，舍去． 当﹣≤n≤1 时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意． 当n＞1时，最大值与最小值的差为 ，解得 n1＝1 或 n2＝﹣2，不符合题意． 综上所述，n的取值范围为﹣≤n≤1． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、坐标与图形变化﹣平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 4．（2023•浙江）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中． （1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？ （2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值； （3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围． 【答案】（1）t＝； （2）t的值为； （3）3＜m＜4或m＞6． 【分析】（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3即可得t＝； （2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为 x＝t．若0＜t≤3，有t2﹣2t2+3＝﹣2，若t＞3，有9﹣6t+3＝﹣2，解方程并检验可得t的值为； （3）根据A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，可得二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1，由t＞0，得m＞1，因m﹣2＜m，知A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），其关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），由b＜3，知4＜2m﹣2，m＞3；①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，有4＜m﹣2，可得m满足的条件为m＞6；②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，故4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），得：m＜4，m满足的条件是3＜m＜4． 【解答】解：（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3得： 1＝4﹣4t+3， 解得：t＝； （2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为 x＝t． 若0＜t≤3，当x＝t时函数取最小值， ∴t2﹣2t2+3＝﹣2， 解得t＝； 若t＞3，当x＝3时函数取最小值， ∴9﹣6t+3＝﹣2， 解得 （不符合题意，舍去）； 综上所述，t的值为； （3）∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上， ∴二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1， ∴t＝m﹣1， ∵t＞0， ∴m﹣1＞0， 解得m＞1， ∵m﹣2＜m， ∴A在对称轴左侧，C在对称轴右侧， 在y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0得y＝3， ∴抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3）， ∴（0，3）关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3）， ∵b＜3， ∴4＜2m﹣2， 解得m＞3； ①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时， ∵y随x的增大而减小，且a＜b， ∴4＜m﹣2， 解得m＞6， 此时m满足的条件为m＞6； ②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时， ∵a＜b， ∴B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离， ∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2）， 解得：m＜4， 此时m满足的条件是3＜m＜4， 综上所述，3＜m＜4或m＞6． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，解题的关键是分类讨论思想的应用． 5．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）． （1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标； （2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由． （3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6． 【答案】（1）y＝x2﹣2x+1，顶点坐标（1，0）； （2）例如a＝1，b＝3，此时y＝x2+3x+1，该图象与x轴有两个不同的交点； （3）证明P+Q＞6． 【分析】（1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可； （2）写出一组a，b，使得b2﹣4ac＞0即可； （3）已知a＝b＝1，则y＝x2+x+1．容易得到P+Q＝p2+p+1+q2+q+1，利用p+q＝2，即p＝2﹣q代入对代数式P+Q进行化简，并配方得出P+Q＝2（q﹣1）2+6≥6．最后注意利用p≠q条件判断q≠1，得证． 【解答】解：（1）由题意，得， 解得， 所以，该函数表达式为y＝x2﹣2x+1． 并且该函数图象的顶点坐标为（1，0）． （2）例如a＝1，b＝3，此时y＝x2+3x+1， ∵b2﹣4ac＝5＞0， ∴函数y＝x2+3x+1的图象与x轴有两个不同的交点． （3）由题意，得P＝p2+p+1，Q＝q2+q+1， 所以 P+Q＝p2+p+1+q2+q+1 ＝p2+q2+4 ＝（2﹣q）2+q2+4 ＝2（q﹣1）2+6≥6， 由条件p≠q，知q≠1．所以 P+Q＞6，得证． 【点评】本题主要考查了待定系数法求解二次函数表达式，以及二次函数图象的顶点坐标，代数式的化简，并利用配方法判断代数式的取值范围，以及利用b2﹣4ac判断二次函数图象与x轴交点个数的方法．第（3）小问的关键是利用p+q＝2，首先对代数式P+Q化简，然后配方说明P+Q的范围，另外注意q≠1． ►考向三 二次函数综合应用 1．（2023•丽水）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（　　） A．5 B．10 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：令h＝0，得：10t﹣5t2＝0， 解得：t＝2或t＝0（不合题意舍去）， ∴那么球弹起后又回到地面所花的时间是2秒； 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 2．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（　　） A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0 C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0 【答案】B 【分析】选项B正确，利用判别式的性质证明即可． 【解答】解：A、错误．由M1＝2，M2＝2， 可得a2﹣4＞0，b2﹣8＞0，取a＝3，b2＝15，则c＝＝5，此时c2﹣16＞0．故A错误． B、正确． 理由：∵M1＝1，M2＝0， ∴a2﹣4＝0，b2﹣8＜0， ∵a，b，c是正实数， ∴a＝2， ∵b2＝ac， ∴c＝b2， 对于y3＝x2+cx+4， 则有Δ＝c2﹣16＝b4﹣16＝（b4﹣64）＝（b2+8）（b2﹣8）＜0， ∴M3＝0， ∴选项B正确， C、错误．由M1＝0，M2＝2， 可得a2﹣4＜0，b2﹣8＞0，取a＝1，b2＝18，则c＝＝18，此时c2﹣16＞0．故C错误． D、由M1＝0，M2＝0， 可得a2﹣4＜0，b2﹣8＜0，取a＝1，b2＝4，则c＝＝4，此时c2﹣16＝0．故D错误． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．（2023•绍兴）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b＝ 　或﹣　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意求得点A（3，0），B（3，4），C（0，4），然后分两种情况，利用待定系数法求出解析式即可． 【解答】解：由y＝（x﹣2）2（0≤x≤3），当x＝0时，y＝4， ∴C（0，4）， ∵A（3，0），四边形ABCO是矩形， ∴B（3，4）， ①当抛物线经过O、B时，将点O（0，0），B（3，4）代入y＝x2+bx+c（0≤x≤3）得 ， 解得b＝； ②当抛物线经过A、C时，将点A（3，0），C（0，4）代入y＝x2+bx+c（0≤x≤3）得 ， 解得b＝﹣， 综上所述，b＝或b＝﹣， 故答案为：或﹣． 【点评】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，能够理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键． 4．（2021•台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝　：1　． 【答案】：1． 【分析】利用h＝vt﹣4.9t2，求出t1，t2，再根据h1＝2h2，求出v1＝v2，可得结论． 【解答】解：由题意，t1＝，t2＝，h1＝＝，h2＝＝， ∵h1＝2h2， ∴v1＝v2， ∴t1：t2＝v1：v2＝：1， 故答案为：：1． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是求出t1，t2，证明v1＝v2即可． 5．（2023•湖州）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（30≤x＜60）存在一次函数关系，部分数据如表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 （1）试求出y关于x的函数表达式． （2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由表中数据即可得出结论； （2）根据每日总利润＝每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）． 将x＝50，y＝100和x＝40，y＝200分别代入，得：， 解得：， ∴y关于x的函数表达式是：y＝﹣10x+600． （2）W＝（x﹣30）（﹣10x+600）＝﹣10x2+900x﹣18000． 当x＝﹣＝45时，在30≤x＜60的范围内，W取到最大值，最大值是2250． 答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元． 【点评】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式． 6．（2023•温州）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为 y＝a（x﹣2）2+3，用待定系数法可得y＝﹣（x﹣2）2+3；当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44，知球不能射进球门． （2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得 m＝﹣5（舍去）或m＝1，即知当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处． 【解答】解：（1）∵8﹣6＝2， ∴抛物线的顶点坐标为（2，3）， 设抛物线为 y＝a（x﹣2）2+3， 把点A（8，0）代入得：36a+3＝0， 解得a＝﹣， ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣2）2+3； 当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44， ∴球不能射进球门． （2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3， 把点（0，2.25）代入得：2.25＝﹣（0﹣2﹣m）2+3， 解得 m＝﹣5（舍去）或m＝1， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． ►考向四 二次函数与几何综合 1．（2021•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则的值是 　2或﹣8　． 【答案】2或﹣8． 【分析】由题意△AOM是直角三角形，当对称轴x≠0或x≠3时，可知一定存在两个以A，O为直角顶点的直角三角形，当对称轴x＝0或x＝3时，不存在满足条件的点M，当以OA为直径的圆与抛物线的对称轴x＝﹣相切时，对称轴上存在1个以点M为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，利用图象法求解即可． 【解答】解：∵△AOM是直角三角形， ∴当对称轴x≠0或x≠3时，一定存在两个以A，O为直角顶点的直角三角形，且点M在对称轴上的直角三角形， 当对称轴x＝0或x＝3时，不存在满足条件的点M， ∴当以OA为直径的圆与抛物线的对称轴x＝﹣相切时，对称轴上存在1个以M为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形（如图所示）． 观察图象可知，﹣＝﹣1或4， ∴＝2或﹣8， 故答案为：2或﹣8． 【点评】本题考查二次函数的性质，直角三角形的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是判断出对称轴的位置，属于中考填空题中的压轴题． 2．（2023•金华）如图，直线y＝与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线的顶点P在直线AB上，与x轴的交点为C，D，其中点C的坐标为（2，0），直线BC与直线PD相交于点E． （1）如图2，若抛物线经过原点O． ①求该抛物线的函数表达式； ②求的值． （2）连结PC，∠CPE与∠BAO能否相等？若能，求符合条件的点P的横坐标；若不能，试说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）①由抛物线经过原点O（0，0）、C（2，0），可得抛物线的顶点P（1，），利用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+3x； ②先求出A（﹣2，0），B（0，），运用待定系数法可得直线OP的解析式为y＝x，过点B作BF∥x轴交OP于点F，F（，），可得BF＝，再由BF∥OC，得出△BEF∽△CEO，进而可得＝＝＝； （2）分四种情形，分别作出图形求解即可． 【解答】解：（1）①∵抛物线经过原点O（0，0）、C（2，0）， ∴对称轴为直线x＝1， 当x＝1时，y＝×1+＝， ∴抛物线的顶点P（1，）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+，把C（2，0）代入，得a+＝0， 解得：a＝﹣， ∴y＝﹣（x﹣1）2+＝﹣x2+3x， ∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+3x； ②∵直线y＝与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴A（﹣2，0），B（0，）， 设直线OP的解析式为y＝kx，把P（1，）代入，得：k＝， ∴直线OP的解析式为y＝x， 如图，过点B作BF∥x轴交OP于点F，则点F的纵坐标与点B的纵坐标相同， ∴＝x， 解得：x＝， ∴F（，）， ∴BF＝， ∵BF∥OC， ∴△BEF∽△CEO， ∴＝＝＝， ∴的值为． （2）设点P的横坐标为t， ①如图2﹣1，当t＞2，存在∠CPE＝∠BAO， 设∠CPE＝∠BAO＝α，∠APC＝β，则∠APD＝α+β， ∵∠PCD＝∠PAO+∠APC＝α+β， ∵PC＝PD， ∴∠PDC＝∠PCD＝∠APD， ∴AP＝AD＝2t， 过点P作PF⊥x轴于点F，则AF＝t+2， 在Rt△APF中，cos∠BAO＝＝， ∴＝， ∴t＝6． ②如图2﹣2中，当0＜t≤2时，存在∠CPE＝∠BAO． 过点P作PF⊥x轴于点F， 同法cos∠BAO＝＝， ∴＝， ∴t＝． ③如图2﹣3中，当﹣2＜t≤0时，存在∠CPE＝∠BAO＝α， ∵PC＝PD， ∴∠CPE＝α， ∴∠BAO﹣∠PDC＝α， ∴∠APD＝∠PDA， ∴AD＝AP＝﹣2t， 同法cos∠BAO＝＝， ∴＝， ∴t＝﹣． ④当t≤﹣2时，同法cos∠BAO＝＝， ＝， ∴t＝﹣ 综上所述．点P的横坐标为6或﹣或或﹣． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数综合运用，勾股定理，等腰三角形性质，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键． 3．（2022•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D． （1）①求点A，B，C的坐标； ②求b，c的值． （2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值． 【答案】（1）①A（3，0），B（3，3），C（0，3）； ②b＝2，c＝3； （2）n＝﹣m2+m（0≤m≤3），m的最大值是． 【分析】（1）①根据正方形的性质得出点A，B，C的坐标； ②利用待定系数法求函数解析式解答； （2）根据两角相等证明△MCP∽△PBA，列比例式可得n与m的关系式，配方后可得结论． 【解答】解：（1）①四边形OABC是边长为3的正方形， ∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）； ②把A（3，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：， 解得：； （2）∵AP⊥PM， ∴∠APM＝90°， ∴∠APB+∠CPM＝90°， ∵∠B＝∠APB+∠BAP＝90°， ∴∠BAP＝∠CPM， ∵∠B＝∠PCM＝90°， ∴△MCP∽△PBA， ∴＝，即＝， ∴3n＝m（3﹣m）， ∴n＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+（0≤m≤3）， ∵﹣＜0， ∴当m＝时，n的值最大，最大值是． 【点评】本题综合考查了二次函数，正方形的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，根据正方形的性质求出点A、B、C的坐标是解题的关键，也是本题的突破口． 4．（2017•宁波）如图，抛物线y＝x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D． （1）求c的值及直线AC的函数表达式； （2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连接PQ与直线AC交于点M，连接MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点． ①求证：△APM∽△AON； ②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把C点坐标代入抛物线解析式可求得c的值，令y＝0可求得A点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的函数表达式； （2）①在Rt△AOB和Rt△AOD中可求得∠OAB＝∠OAD，在Rt△OPQ中可求得MP＝MO，可求得∠MPO＝∠MOP＝∠AON，则可证得△APM∽△AON； ②过M作ME⊥x轴于点E，用m可表示出AE和AP，进一步可表示出AM，利用△APM∽△AON可表示出AN． 【解答】解： （1）把C点坐标代入抛物线解析式可得＝9++c，解得c＝﹣3， ∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣3， 令y＝0可得x2+x﹣3＝0，解得x＝﹣4或x＝3， ∴A（﹣4，0）， 设直线AC的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 把A、C坐标代入可得，解得， ∴直线AC的函数表达式为y＝x+3； （2）①∵在Rt△AOB中，tan∠OAB＝＝，在RtAOD中，tan∠OAD＝＝， ∴∠OAB＝∠OAD， ∵在Rt△POQ中，M为PQ的中点， ∴OM＝MP， ∴∠MOP＝∠MPO，且∠MOP＝∠AON， ∴∠APM＝∠AON， ∴△APM∽△AON； ②如图，过点M作ME⊥x轴于点E，则OE＝EP， ∵点M的横坐标为m， ∴AE＝m+4，AP＝2m+4， ∵tan∠OAD＝， ∴cos∠EAM＝cos∠OAD＝， ∴＝， ∴AM＝AE＝， ∵△APM∽△AON， ∴＝，即＝， ∴AN＝． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及方程思想等知识．在（1）中注意函数图象上的点的坐标满足函数解析式，以及待定系数法的应用，在（2）①中确定出两对对应角相等是解题的关键，在（2）②中用m表示出AP的长是解题的关键，注意利用相似三角形的性质．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． 1．（2022•温州）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高． 素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 【答案】见试题解答内容 【分析】任务1：利用待定系数法可得抛物线的函数表达式； 任务2：根据该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面至少1m，灯笼长0.4m，计算悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m； 任务3：介绍两种方案：分别挂7盏和8盏． 【解答】解：任务1： 以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为（0，0），且过点B（10，﹣5）， 设抛物线的解析式为：y＝ax2， 把点B（10，﹣5）代入得：100a＝﹣5， ∴a＝﹣， ∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2； 任务2： ∵该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m， ∴当悬挂点的纵坐标y≥﹣5+1.8+1+0.4＝﹣1.8， 即悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m， 当y＝﹣1.8时，﹣x2＝﹣1.8， ∴x＝±6， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣6≤x≤6； 任务3： 方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼， ∵﹣6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m， ∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4＞6， 若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3＜6， ∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂7盏灯笼， ∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣1.6×3＝﹣4.8； 方案二：如图3， ∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8+1.6×（5﹣1）＞6， 若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8+1.6×（4﹣1）＜6， ∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂8盏灯笼， ∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣0.8﹣1.6×3＝﹣5.6． 【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握不同坐标系中求解析式，能把实际问题转化为抛物线是解题的关键． 2．（2022•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标． （1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）． （2）当a＝时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标． （3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3． ①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证． ②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：≈1.73，≈2.24） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由图2可知：C（8，16），E（40，0），利用待定系数法可得出结论； （2）当时，，联立，可得出点P的横坐标，比较即可得出结论； （3）①猜想a与v2成反比例函数关系．将（100，0.250）代入表达式，求出m的值即可．将（150，0.167）代入进行验证即可得出结论； ②由K在线段上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得．由得v2＝320，比较即可． 【解答】解：（1）由图2可知：C（8，16），E（40，0）， 设CE：y＝kx+b（k≠0）， 将C（8，16），E（40，0）代入得：，解得， ∴线段CE的函数表达式为（8≤x≤40）． （2）当时，， 由题意得， 解得x1＝0（舍去），x2＝22.5． ∴P的横坐标为22.5． ∵22.5＜32， ∴成绩未达标． （3）①猜想a与v2成反比例函数关系． ∴设， 将（100，0.250）代入得，解得m＝25， ∴． 将（150，0.167）代入验证：， ∴能相当精确地反映a与v2的关系，即为所求的函数表达式． ②由K在线段上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得． 由得v2＝320， 又∵v＞0， ∴． ∴当v≈18m/s时，运动员的成绩恰能达标． 【点评】本题属于函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，反比例函数的应用及二次函数综合应用，熟知待定系数法求函数解析式是解题关键． 3．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）． （1）若h＝1.5，EF＝0.5m． ①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC； ②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围． （2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值． 【答案】（1）①y＝﹣（x﹣2）2+2，OC为6m； ②（2，0）； ③2≤d≤2﹣1； （2）． 【分析】（1）①由顶点A（2，2）得，设y＝a（x﹣2）2+2，再根据抛物线过点（0，1.5），可得a的值，从而解决问题； ②由对称轴知点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标； ③根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案； （2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，故设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣（m+3﹣2）2+h+0.5），则有﹣[（m+3﹣2）2+h+0.5]﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，从而得出答案． 【解答】解：（1）①如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点， 设y＝a（x﹣2）2+2， 又∵抛物线过点（0，1.5）， ∴1.5＝4a+2， ∴a＝﹣， ∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2， 当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2， 解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去）， ∴喷出水的最大射程OC为6m； ②∵对称轴为直线x＝2， ∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5）， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的， ∴点B的坐标为（2，0）； ③∵EF＝0.5， ∴点F的纵坐标为0.5， ∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2， 解得x＝2±2， ∵x＞0， ∴x＝2+2， 当x＞2时，y随x的增大而减小， ∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5， 则x≤2+2， ∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5， ∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2， ∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴d的最大值为2+2﹣3＝2﹣1， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB， ∴d的最小值为2， 综上所述，d的取值范围是2≤d≤2﹣1； （2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上， 设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣（m+3﹣2）2+h+0.5）， 则有﹣（m+3﹣2）2+h+0.5﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1， 解得m＝2.5， ∴点D的纵坐标为h﹣， ∴h﹣＝0， ∴h的最小值为． 【点评】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． 1．（2024•滨江区校级三模）抛物线y＝x2﹣4x+3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移方法正确的是（　　） A．先向左平移2个单位，再向上平移7个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C．先向右平移2个单位，再向上平移7个单位 D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 【答案】D 【分析】先将抛物线y＝x2﹣4x+3化为y＝（x﹣2）2﹣1的形式，再根据函数图象平移的法则进行解答． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+3化为y＝（x﹣2）2﹣1， ∴把抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向下平移1个单位即可得到抛物线y＝（x﹣2）2﹣1． 故选：D． 【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 2．（2024•浙江模拟）已知n为实数，点P（p，q）在二次函数y＝nx2+nx的图象上．若n＜0，q＞0，则（　　） A．p＞0 B．p＜﹣1 C．p＞0或p＜﹣1 D．﹣1＜p＜0 【答案】D 【分析】依据题意，由二次函数为y＝nx2+nx＝nx（x+1），又n＜0，从而令y＝0，则nx（x+1）＝0，故x＝0或x＝﹣1，又二次函数y＝nx2+nx的图象开口向下，故当q＞0时，对应的点在函数y＝nx2+nx的图象上的x轴上方的部分，进而可以得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝nx2+nx＝nx（x+1）， 又n＜0， ∴令y＝0，则nx（x+1）＝0． ∴x＝0或x＝﹣1． 又二次函数y＝nx2+nx的图象开口向下， ∴当q＞0时，对应的点在函数y＝nx2+nx的图象上的x轴上方的部分． ∴﹣1＜p＜0． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 3．（2024•镇海区校级模拟）已知二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），则（　　） A．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＜0 B．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＞0 C．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＜0 D．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＞0 【答案】B 【分析】由二次函数的解析式求得对称轴为直线x＝，然后判断y1与y2的大小，即可判断每个选项正误． 【解答】解：∵二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）， ∴y＝0时，x1＝1﹣m，x2＝m， ∴二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）的对称轴为直线x＝＝， 当a＞0时，当x1+x2＜1时， ∴＜， ∴y1＞y2， ∴y1﹣y2＞0， ∴a（y1﹣y2）＞0； 当a＜0时，当x1+x2＞﹣1时， ∴， ∴当﹣＜时，y1＜y2， 则a（y1﹣y2）＞0； 当＞时，y1＞y2， 则a（y1﹣y2）＜0； 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，判断出y1与y2的大小是解题的关键． 4．（2024•拱墅区二模）二次函数a，b为实数，a＜0）的图象对称轴为直线x＝2，且经过点（m，n）．若二次函数的图象经过点（m﹣2，n），则关于x的方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）＝n的解是（　　） A．x1＝2，x2＝4 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝2，x2＝6 【答案】D 【分析】依据题意，二次函数的图象是由二次函数a，b为实数，a＜0）的图象向右平移2个单位得到，从而可得当点（m，n）在y1上时，有（m+2，n）在y2上，且平移后对称轴是直线x＝4，又点（m﹣2，n）在y2上，则的对称轴是直线＝m＝4，故点（2，n），（6，n）在的图象，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，二次函数的图象是由二次函数a，b为实数，a＜0）的图象向右平移2个单位得到， ∴当点（m，n）在y1上时，有（m+2，n）在y2上，且平移后对称轴是直线x＝4． ∵点（m﹣2，n）在y2上， ∴的对称轴是直线＝m＝4． ∴点（2，n），（6，n）在的图象上． ∴方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）＝n的解是x1＝2，x2＝6． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 5．（2024•瓯海区校级三模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表所示： x ﹣3 ﹣2 3 4 y ﹣12 m 0 m 则当y＜0时，x的取值范围为（　　） A．﹣1＜x＜3 B．﹣2＜x＜4 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣2或x＞4 【答案】C 【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性可判断二次函数的对称轴，开口方向以及与x轴的交点坐标；当y＜0时，函数图象在x轴下方，据此求出x的取值范围． 【解答】解：由表可知，二次函数图象的对称轴为直线x＝＝1， ∴（﹣1，0），（3，0）在此二次函数的图象上， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴二次函数的图象开口向下，且与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）， ∴当y＜0时，x的取值范围为x＜﹣1或x＞3． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数图象的性质，抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是掌握二次函数的对称性质和增减性． 6．（2024•浙江模拟）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）和直线y＝kx+b（k≠0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中x1＜0＜x2，且满足|x1|＜|x2|，则直线y＝ax+k一定经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【分析】根据已知条件可得出ax2+（b﹣k）x﹣b＝0，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）与直线y＝kx+b交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点， ∴kx+b＝ax2+bx， ∴ax2+（b﹣k）x﹣b＝0， ∴x1+x2＝，x1x2＝﹣， ∵x1＜0＜x2，且满足|x1|＜|x2|， ∴＞0，＞0， ∴＞0， 当a＞0，k＞0时，直线y＝ax+k经过第一、二、三象限， 当a＜0，k＜0时，直线y＝ax+k经过第二、三、四象限， 综上，直线y＝ax+k一定经过二、三象限． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系． 7．（2024•下城区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+4ax+c（a≠0，c为常数）图象与一次函数y＝kx+b（k＞0，b为常数）的图象交于两个不同的点A（x1，y1），点B（x2，y2），则下列说法正确的是（　　） A．若x1+x2＞﹣4，则a＞0 B．若x1+x2＞﹣4，则a＜0 C．若x1x2＞0，则c＞b D．若x1x2＜0，则c＞b 【答案】A 【分析】根据二次函数与一次函数的性质逐一判断即可． 【解答】解：由题意可知，二次函数y＝ax2+4ax+c（a≠0，c为常数）图象的对称轴为直线x＝﹣2， ∵二次函数y＝ax2+4ax+c（a≠0，c为常数）图象与一次函数y＝kx+b（k＞0，b为常数）的图象交于两个不同的点A（x1，y1），点B（x2，y2）， ∴当x1+x2＞﹣4时，二次函数y＝ax2+4ax+c（a≠0，c为常数）图象与一次函数y＝kx+b（k＞0，b为常数）的图象交点的横坐标大于对称轴直线x＝﹣2，只有抛物线开口向上时才可以， ∴a＞0 故选项A正确，选项B错误； 当x1x2＞0时，二次函数y＝ax2+4ax+c（a≠0，c为常数）图象与一次函数y＝kx+b（k＞0，b为常数）联立得ax2+（4a﹣k）x+（c﹣b）＝0，x1x2＞0，即＞0， 当a＞0时，c＞b，当a＜0时，c＜b， 故选项C错误； 当x1x2＜0时，二次函数y＝ax2+4ax+c（a≠0，c为常数）图象与一次函数y＝kx+b（k＞0，b为常数）联立得ax2+（4a﹣k）x+（c﹣b）＝0，x1x2＜0，即＜0， 当a＞0时，c＜b，当a＜0时，c＞b， 故选D错误． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数图象的性质是解题的关键． 8．（2024•浙江模拟）已知抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）经过点A（1，p），B（7，p），C（8，p﹣1），其中m、n、p为互不相等的实数，则下面判断不正确的是（　　） A．a＜0 B．对称轴为直线x＝4 C．m+n＝8 D．p＜0 【答案】D 【分析】利用二次函数的对称性即可判断B、C；根据二次函数的增减性即可判断A；无法判断p的符号，即可判断D． 【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）经过点A（1，p），B（7，p），C（8，p﹣1）， ∴A、B关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线x＝＝4，故B正确，不合题意； ∵B（7，p），C（8，p﹣1）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向下，a＜0，故A正确，不合题意； ∵抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点为（m，0），（n，0）， ∴＝4， ∴m+n＝8，故C正确，不合题意； 无法确定P的符号，故D不正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键． 9．（2024•西湖区校级二模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（t﹣1，﹣3），（t+1，﹣3）两点，若﹣6≤y≤﹣2时，总有p≤x≤q，则q﹣p的取值范围是（　　） A．1≤q﹣p≤3 B．2≤q﹣p≤3 C．2≤q﹣p≤4 D．1≤q﹣p≤4 【答案】C 【分析】根据题意将两点坐标代入解析式得到y＝﹣x2+2tx﹣t2﹣2，再令y＝﹣6将函数解析式转化为方程，关键一元二次方程两个根的关系，求出抛物线与直线两个交点的横坐标之差为4，再根据抛物线的对称性和增减性得出结论． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（t﹣1，﹣3），（t+1，﹣3）两点，﹣1＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝＝t， ，整理得， ∴抛物线解析式可表示为：y＝﹣x2+2tx﹣t2﹣2， ∵y＝﹣x2+2tx﹣t2﹣2＝﹣（x﹣t）2﹣2， ∴抛物线顶点坐标（t，﹣2）， ∵关于x的方程﹣x2+2tx﹣t2﹣2＝﹣6，即﹣x2+2tx﹣t2+4＝0，两个根满足： x1+x2＝﹣＝2t，x1x2＝t2﹣4， ∴丨x1﹣x2丨＝＝＝4， 即抛物线与直线y＝﹣6的两个交点的横坐标之差为4， ∴若﹣6≤y≤﹣2时，总有p≤x≤q，则q﹣p的最大值是丨x1﹣x2丨＝4， p＝t或q＝t时，q﹣p取得最小值：丨x1﹣x2丨＝2， ∴q﹣p的取值范围是：2≤q﹣p≤4． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是关键． 10．（2024•瑞安市二模）已知y＝2x﹣8，S＝xy，当﹣1≤x≤3时，则S的最大值为 　10　． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先求出S的函数解析式，然后由﹣1≤x≤3进一步得出S的取值范围即可． 【解答】解：∵y＝2x﹣8， ∴S＝xy＝2x2﹣8x＝2（x﹣2）2﹣8， ∵﹣1≤x≤3， ∴当x＝2时，函数S有最小值，等于﹣8，当x＝﹣1时，由最大值2×（﹣1﹣2）2﹣8＝10； 故答案为：10． 【点评】此题考查二次函数的最值，利用配方法求得二次函数最值是常用的基本方法． 11．（2024•滨江区校级三模）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x﹣3的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 　﹣4≤n＜5　． 【答案】﹣4≤n＜5． 【分析】由题意可知﹣2＜m＜2，根据m的范围即可确定n的范围． 【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴二次函数y＝x2+2x﹣3的图象开口向上，顶点为（﹣1，﹣4），对称轴是直线x＝﹣1， ∵P（m，n）到y轴的距离小于2， ∴﹣2＜m＜2， 而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1）， 当m＝2，n＝（2+1）2﹣4＝5， 当m＝﹣1时，n＝﹣4， ∴n的取值范围是﹣4≤n＜5， 故答案为：﹣4≤n＜5． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质． 12．（2024•海宁市校级模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数且b＞0，c＜0），当﹣5≤x≤0时，﹣11≤y≤5，则c的值为 　﹣10　． 【答案】﹣10． 【分析】先把一般式配成顶点得到当x＝﹣时，y有最小值c﹣，利用a＞0，b＞0，c＜0可判断抛物线的顶点在第三象限，利用二从函数的性质得到x＝﹣5时，y＝5；x＝﹣时，y有最小值﹣11，即25﹣5b+c＝5，c﹣＝﹣11，然后解方程组得到满足条件的c的值． 【解答】解：∵y＝x2+bx+c＝（x+）2+c﹣， ∴当x＝﹣时，y有最小值c﹣， ∵a＞0，b＞0，c＜0， ∴抛物线的顶点在第三象限， ∵当﹣5≤x≤0时，﹣11≤y≤5， ∴x＝﹣5时，y＝5；x＝﹣时，y有最小值﹣11， 即25﹣5b+c＝5，c﹣＝﹣11， 解得b＝2，c＝﹣10或b＝18，c＝70（舍去）， 即c的值为﹣10． 故答案为：﹣10． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键． 13．（2024•浙江校级模拟）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣6ax+9a+5（a＜0），该函数的最大值为 　5　． 【答案】见试题解答内容 【分析】把解析式化成顶点式，即可根据二次函数的性质求得该函数的最大值． 【解答】解：∵a＜0， ∴抛物线y＝ax2﹣6ax+9a+5开口向下， ∵y＝ax2﹣6ax+9a+5＝a（x﹣3）2+5， ∴当x＝3时，函数有最大值为5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是是解题的关键． 14．（2024•滨江区二模）如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度OA＝0.2米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度AB＝1米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是 　2.2　米． 【答案】2.2． 【分析】依据题意，令y＝﹣1，则y＝﹣x2＝﹣1，求出x后即可判断得解． 【解答】解：由题意，∵令y＝﹣1，则y＝﹣x2＝﹣1， ∴x2＝4． ∴x＝﹣2或x＝2（舍去）． ∴水池宽至少是2+0.2＝2.2（米）． 故答案为：2.2． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 15．（2024•上城区校级模拟）把一块含30°角的三角尺放在平面直角坐标系中，使斜边与x轴重合，直角顶点落在y轴上，若三角尺的最短边长为2，则经过该三角尺三个顶点的抛物线的解析式为 　y＝﹣x2+x+或y＝x2﹣x﹣或y＝﹣x2﹣x+或y＝x2+x﹣　． 【答案】y＝﹣x2+x+或y＝x2﹣x﹣或y＝﹣x2﹣x+或y＝x2+x﹣． 【分析】设AC＝2，∠B＝30°，∠ACB＝90°，分点A在x轴负半轴，点A在x轴正半轴，直角顶点C在y轴正半轴和直角顶点C在y轴负半轴四种情况讨论即可． 【解答】解：①设AC＝2，∠B＝30°，∠ACB＝90°，点A在x轴负半轴， 当直角顶点C在y轴正半轴时，如图所示： ∴AB＝4，BC＝2， ∵OC⊥AB，∠B＝30°， ∴OC＝，OB＝3， ∴OA＝1， ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，）， 设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把C点坐标代入抛物线解析式得：﹣3a＝， 解得a＝﹣， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+x+； 当点C在y轴负半轴时，此时的抛物线与y＝﹣x2+x+关于x轴对称， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣； ②设AC＝2，∠B＝30°，∠ACB＝90°，点A在x轴正半轴， 当直角顶点C在y轴正半轴时，如图所示： 同①得，A（1，0），B（﹣3，0），C（0，）， 设抛物线解析式为y＝m（x﹣1）（x+3）， 把C点坐标代入抛物线解析式得：﹣3m＝， 解得m＝﹣， 抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣x+； 当点C在y轴负半轴时，此时的抛物线与y＝﹣x2﹣x+关于x轴对称， ∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣； 综上抛物线解析式为y＝﹣x2+x+或y＝x2﹣x﹣或y＝﹣x2﹣x+或y＝x2+x﹣， 故答案为：y＝﹣x2+x+或y＝x2﹣x﹣或y＝﹣x2﹣x+或y＝x2+x﹣． 【点评】本题考查了定点系数法求函数解析式和含30度角的三角形，关键是分情况讨论，求出A，B，C坐标． 16．（2024•拱墅区模拟）已知点A（x1，t），B（x2，t）在二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象上，设该二次函数的最小值为k．若x2﹣x1＝6，则t﹣k的值为 　9　． 【答案】9． 【分析】点A（x1，t），B（x2，t）在二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象上，x1，x2是方程x2+bx+c＝t的两个解，根据根与系数的关系求出t，再求出二次函数的最小值k，就能求出t﹣k的值． 【解答】解：∵x2+bx+c＝t， ∴x2+bx+c﹣t＝0， ∴x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c﹣t． ∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2， ∴b2﹣4（c﹣t）＝36， ∴t＝， ∵k＝﹣， ∴t﹣k＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了二次函数的最值，根与系数的关系，二次函数图象上点的特征．关键是用b，c表示t和k． 17．（2024•浙江一模）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在二次函数y＝3（x+1）2﹣7的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 　y3＞y1＞y2　.（用“＞”连接） 【答案】y3＞y1＞y2． 【分析】先确定抛物线的开口向上和对称轴x＝﹣1，再根据距离对称轴越大函数值就越大比较即可． 【解答】解：二次函数y＝3（x+1）2﹣7的图象开口向上，对称轴是直线x＝﹣1， 点B（﹣1，y2）在对称轴上， ∴y2最小， 点A（﹣2，y1）距离对称轴有﹣1﹣（﹣2）＝1个单位， C（1，y3）距离对称轴有1﹣（﹣1）＝2个单位， ∴y3＞y1＞y2． 故答案为：y3＞y1＞y2． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，开口向上距离对称轴越大函数值就越大． 18．（2024•嘉兴一模）已知二次函数y＝（x﹣1）（x+3），当﹣2≤x≤1时，则y的取值范围是 　﹣4≤y≤0　． 【答案】﹣4≤y≤0． 【分析】依据题意，由二次函数为y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，进而结合二次函数的性质即可判断得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴当x＝﹣1时，y取最小值为﹣4． 又当x＝﹣2时，y＝﹣3；当x＝1时，y＝0， ∴当﹣2≤x≤1时，﹣4≤y≤0． 故答案为：﹣4≤y≤0． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并将将解析式变形为顶点式是关键． 19．（2024•绍兴市二模）已知二次函数y＝ax2﹣2（a+1）x+4（a≠0）． （1）若二次函数过点（1，1） ①求二次函数的表达式； ②当y随x的增大而减小时，求x的取值范围． （2）若点和点在该二次函数图象上，求的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）①依据题意，由二次函数过点（1，1），从而可得1＝a﹣2（a+1）+4，求出a后即可得解； ②依据题意，由①y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，结合二次函数的性质可以判断得解； （2）依据题意，先求出抛物线对称轴，在根据P，Q关于对称轴对称求出n＝2，再把点P坐标代入抛物线求出b＝2﹣，再求出（+b）2+n2的值； 【解答】解：（1）①∵二次函数过点（1，1）， ∴1＝a﹣2（a+1）+4． ∴a＝1． ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+4． ②由①y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2， ∴当x＜2时，y随x的增大而减小． ∴当y随x的增大而减小时，x＜2． （2）∵y＝ax2﹣2（a+1）x+4（a≠0）， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1+． ∵点P（，b）和点Q（+n，b）关于对称轴对称， ∴＝1+． ∴n＝2． 把P（，b）代入函数解析式得：a×﹣2（a+1）×+4＝b， 解得b＝2﹣． ∴（+b）2+n2＝（+2﹣）2+22＝8． 【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质． 20．（2024•义乌市模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m），点B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）当t＝2时， ①直接写出b与a满足的等量关系； ②比较m，n的大小，并说明理由； （2）已知点C（x0，p）在该抛物线上，若对于3＜x0＜4，都有m＞p＞n，求t的取值范围． 【答案】（1）①b＝﹣4a；②m＞n； （2）t的取值范围是≤t≤3． 【分析】（1）①利用对称轴公式求得即可； ②利用二次函数的性质判断即可； （2）由题意可知点A（﹣1，m）在对称轴的左侧，点B（3，n），C（x0，p）在对称轴的右侧，点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，据此即可得到，解得≤t≤3． 【解答】解：（1）①∵t＝﹣＝2， ∴b＝﹣4a； ②∵抛物线y＝ax2+bx+c中，a＞0， ∴抛物线开口向上， ∵点A（﹣1，m），点B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，对称轴为直线x＝2， ∴点A（﹣1，m）到对称轴的距离大于点B（3，n）到对称轴的距离， ∴m＞n； （2）由题意可知，点A（﹣1，m）在对称轴的左侧，点B（3，n），C（x0，p）在对称轴的右侧， ∵3＜x0＜4，都有m＞p＞n， ∴点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离， ∴，解得≤t≤3， ∴t的取值范围是≤t≤3． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． 21．（2024•温州二模）问题：如何设计击球路线？情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，击球点P在y轴上． 击球方案： 扣球 羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系C1：y＝﹣0.4x+b，当羽毛球的水平距离为1m时，飞行高度为2.4m． 吊球 羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系C2，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度3.2米． 高远球 羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系C3：y＝a（x﹣n）2+h，且飞行的最大高度在4.8m和5.8m之间． 探究： （1）求扣球和吊球时，求羽毛球飞行满足的函数表达式； （2）①若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网AB的高度为多少； ②若选择吊球的方式，求羽毛球落地点到球网的距离； （3）通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置P保持不变，接球人站在离球网4m处，他可前后移动各1m，接球的高度为2.8m，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式a的取值范围． 【答案】（1）扣球时，羽毛球飞行满足的函数表达式为：y＝﹣0.4x+2.8；吊球时，羽毛球飞行满足的函数表达式为：y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2． （2）①球网AB的高度为1.6米． ②羽毛球落地点到球网的距离为（2﹣2）米． （3）a的取值范围为：﹣≤a≤﹣． 【分析】（1）扣球时，函数解析式经过点（1，2.4），代入扣球的函数解析式即可求得b的值，也就求得了扣球的函数解析式和点P的坐标；吊球时，易得抛物线的顶点坐标，用顶点式设出吊球时的函数解析式，把点P的坐标代入可得二次项的系数，即可求得吊球时的函数解析式； （2）①取x＝3，求得y的值即为球网AB的高度； ②吊球时，羽毛球落地，则y＝0，求得相应的x的值，减去OA的长度即为距离球网的距离； （3）易得接球点为（6，2.8），（8，2.8），根据高远球也经过点P（0，2.8），那么可得此时抛物线的对称轴为直线x＝3和x＝4，根据最高点为5.8和4.8分别求得相应的a的值，即可求得a的取值范围． 【解答】解：（1）∵y＝﹣0.4x+b，直线经过点（1，2.4）， ∴﹣0.4+b＝2.4． 解得：b＝2.8． ∴扣球时，羽毛球飞行满足的函数表达式为：y＝﹣0.4x+2.8． ∴点P的坐标为（0，2.8）． 吊球时，设y＝a（x﹣1）2+3.2． ∵抛物线经过点（0，2.8）， ∴2.8＝a（0﹣1）2+3.2． 解得：a＝﹣0.4． ∴吊球时，羽毛球飞行满足的函数表达式为：y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2． （2）①当x＝3时，y＝﹣0.4×3+2.8＝1.6． 答：球网AB的高度为1.6米． ②当y＝0时，0＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2． 解得：x1＝1+2，x2＝1﹣2（不合题意，舍去）． ∴羽毛球落地点到球网的距离为1+2﹣3＝（2﹣2）米． （3）①接球点为（6，2.8）． 若最大高度为5.8，那么a的值最小． ∵点P的坐标为（0，2.8）， ∴n＝3． ∴y＝a（x﹣3）2+5.8． ∴2.8＝a（6﹣3）2+5.8． 解得：a＝﹣． ②接球点为（8，2.8）． 若最大高度为4.8，那么a的值最大． ∵点P的坐标为（0，2.8）， ∴n＝4． ∴y＝a（x﹣4）2+4.8． ∴2.8＝a（8﹣4）2+4.8． 解得：a＝﹣． ∴a的取值范围为：﹣≤a≤﹣． 【点评】本题考查二次函数的应用．理解本题中的三个函数都经过点P是解决本题的关键，用到的知识点为：抛物线上有两点（x1，y），（x2，y），则抛物线的对称轴为：直线x＝． 22．（2023•西湖区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t． （1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； （2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t． ①若y1的最小值是﹣2，求y1的最大值； ②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求出t的取值范围． 【答案】（1）（t，﹣t）； （2）①2；②t＜﹣或t＞． 【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案； （2）①先确定出当x＝t时，y1的最小值为t，进而求出t，再判断出当x＝t+2时，y1取最大值，即可求出答案； ②先由y1＜y2得出（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0，进而得出或，最后分两种情况，利用t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，即可求出答案． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t， ∴抛物线的顶点坐标为（t，﹣t）； （2）①∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t， ∴抛物线的对称轴为x＝t， ∵1＞0， ∴抛物线开口向上， ∵t﹣1≤x1≤t+2， ∴当x＝t时，y1的最小值为﹣t， ∵y1的最小值是﹣2， ∴t＝2， ∵|t﹣1﹣t|＝1，|t+2﹣t|＝2， ∴当x＝t+2时，y1最大＝（t+2﹣t）2﹣t＝4﹣t＝4﹣2＝2， 即y1的最大值为2； ②∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线y＝（x﹣t）2﹣t上， ∴y1＝（x1﹣t）2﹣t，y2＝（x2﹣t）2﹣t， ∵对于x1，x2，都有y1＜y2， ∴y2﹣y1＝（x2﹣t）2﹣t﹣（x1﹣t）2+t＝（x2﹣t）2﹣（x1﹣t）2＝（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0， ∴或， Ⅰ、当时， 由①知，x2＞x1， ∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t， ∴1﹣t＞t+2， ∴t＜﹣， 由②知，x2+x1＞2t， ∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t， ∴0≤x2+x1≤3， ∴2t＜0， ∴t＜0， 即t＜﹣； Ⅱ、当时， 由③知，x2＜x1， ∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t， ∴1﹣t＜t﹣1， ∴t＞1， 由④知，x2+x1＜2t， ∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t， ∴0≤x2+x1≤3， ∴2t＞3， ∴t＞， 即t＞； 即满足条件的t的取值范围为t＜﹣或t＞． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，函数极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 23．（2024•金华三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象经过点（﹣1，2）． （1）若抛物线的顶点为（1，﹣2），求函数的表达式． （2）在（1）的条件下，若函数图象过点A（k，p），B（﹣4﹣k，q），求证：p+q≥14． （3）若函数图象经过点（m，0），（n，0），其中m＞2，且关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2x有两个相等的实数根，求n的取值范围． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣1； （2）见详解； ． 【分析】（1）设该抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意，函数图象过点A（k，p），B（﹣4﹣k，q），易得p＝k2﹣2k﹣1，q＝k2+10k+23，进而可得p+q＝2（k+2）2+14，结合（k+2）≥0，即可得解； （3）根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，2），易得b+2＝a+c，结合方程ax2+bx+c＝﹣2有两个相等的实数根，根据一元二次方程的根的判别式可得a＝c，进而可得2a﹣b＝2①；m＝2时，即该二次函数图象经过点（2，0）时，易知5a+2b＝0②，联立①②并求解，可得函数解析式为，令y＝0，得，求解可知此时 ；当m逐渐增大时，该函数图象与x轴的另一交点逐渐向左运动，函数图象与y轴的交点逐渐向下运动，结合a＝c＞0，结合图象即可得解． 【解答】（1）解：由题意，∵抛物线的顶点为（1，﹣2）， ∴可设抛物线为y＝a（x﹣1）2﹣2． 又图象经过点（﹣1，2）， ∴2＝a（﹣1﹣1）2﹣2． ∴a＝1． ∴函数表达式为y＝（x﹣1）2﹣2＝x2﹣2x﹣1． （2）证明：根据题意，函数图象过点A（k，p），B（﹣4﹣k，q）， 分别将点A（k，p），B（﹣4﹣k，q）代入函数解析式y＝x2﹣2x﹣1， 可得p＝k2﹣2k﹣1，q＝（﹣4﹣k）2﹣2（﹣4﹣k）﹣1＝k2+10k+23， ∴p+q＝k2﹣2k﹣1+k2+10k+23＝2k2+8k+22＝2（k+2）2+14， ∵（k+2）≥0， ∴p+q≥14； （3）解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，2）， ∴2＝a﹣b+c， ∴b+2＝a+c， 将方程ax2+bx+c＝﹣2x整理可得，ax2+（b+2）x+c＝0， ∵该方程有两个相等的实数根， ∵Δ＝（b+2）2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0， ∴a＝c， ∴可有b+2＝2a，即有2a﹣b＝2①， 该二次函数解析式为y＝ax2+bx+a， 当m＝2时，即该二次函数图象经过点（2，0）时， 若a＜0，即该函数图象开口向下，如图， 此时该函数图象与y轴交点在y轴的正半轴上，此时a＞0，故不符合题意； 若a＞0，即该函数图象开口向上，如图， 则有4a+2b+a＝0，即5a+2b＝0②，联立①②，可得， 解得， ∴该函数解析式为， 令y＝0，得， 解得x1＝2，， ∴此时； 当m逐渐增大时，该函数图象与x轴的另一交点逐渐向左运动，函数图象与y轴的交点逐渐向下运动， ∵该函数图象开口向上，a＝c＞0， ∴函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴函数图象与x轴的交点在x轴的正半轴上， ∴当m逐渐增大时，有n＞0． 综上所述，n的取值范围为． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析、二次函数综合应用、非负数的性质、一元二次方程的应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 24．（2024•西湖区校级二模） 制作简易水流装置 设计方案 如图，CD是进水通道，AB是出水通道，OE是圆柱形容器的底面直径，从CD将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，EO所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy，水流最终落到x轴上的点M处． 示意图 已知 AB∥x轴，AB＝5cm，OM＝15cm，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+15（a≠0） 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为3cm，高为11cm的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出OP长的取值范围． 请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三． 【答案】任务一：水流抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+15． 任务二：水流不能流到圆柱形水杯内； 任务三：2+3． 【分析】任务一：易得点B的横坐标为5，那么抛物线的对称轴为：直线x＝5，即可得到﹣＝5，那么b＝﹣10a，根据OM的长度可得点M的坐标，代入抛物线解析式后可得a和b的关系式，与b＝﹣10a联立可得a和b的值，即可求得抛物线的解析式； 任务二：根据题意可得杯子的最左端距离原点12cm，取x＝12代入抛物线解析式，计算出y的值．若圆柱形水杯的高小于y的值，则水流能流到圆柱形水杯内； 任务三：计算出P点刚能使水流进入和离开的时刻即可． 【解答】解：任务一： ∵AB∥x轴，AB＝5cm，点B为水流抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为：x＝5． ∴﹣＝5． ∴b＝﹣10a． 把点M（15，0）代入抛物线 y＝ax2+bx+15得： 15a+b+1＝0， 把b＝﹣10a代入15a+b+1＝0 得： 15a﹣10a+1＝0， 解得：a＝﹣， ∴b＝2， ∴水流抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+15． 任务二： 圆柱形水杯最左端到点O的距离是15﹣3＝12， 当x＝12时，y＝﹣×122+2×12+15＝10.2， ∵11＞10.2， ∴水流不能流到圆柱形水杯内． 任务三：2+3． 【点评】本题考查二次函数的应用．根据题意判断出函数图象的对称轴和关键点的坐标是解决本题的关键． 25．（2024•瓯海区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a≠0）． （1）若a＜0，当﹣4≤x≤2时，y的最小值为﹣21，y的最大值为4，求a+b的值； （2）若该二次函数的图象经过点A（1，0）和B（2，3），当m﹣2≤x≤m时，y的最大值与最小值的差8，求m的值． 【答案】（1）2；（2）m的值为3﹣或1+． 【分析】（1）先求出对称轴，再根据图象的性质即可列出方程式； （2）用待定系数法求出二次函数的表达式，根据m﹣2≤x≤m在对称轴的同侧和异侧进行分类讨论． 【解答】解：（1）∵a＜0，对称轴x＝﹣＝1，﹣4≤x≤2， ∴当x＝﹣4时，y有最小值， 当x＝1时，y有最大值， 即， 解得：， ∴a+b＝﹣1+3＝2； （2）由题意可知， ， 解得：， 则二次函数的表达式为y＝3x2﹣6x+3＝3（x﹣1）2， 则对称轴x＝1，顶点坐标为（1，0）， ∵m﹣2≤x≤m， ∴①当m﹣2≤x≤m在对称轴的左侧时，即m＜1时， ∵y的最大值与最小值的差8， ∴3（m﹣2﹣1）2﹣3（m﹣1）2＝8， 解得：m＝（舍去）， ②当m﹣2≤x≤m在对称轴的右侧时，即m＞3时， ∵y的最大值与最小值的差8， ∴3（m﹣1）2﹣3（m﹣2﹣1）2＝8， 解得：m＝（舍去）， ③当m﹣2≤x≤m在对称轴的两侧时，即1＜m＜3时， ∵y的最大值与最小值的差8， ∴3（m﹣2﹣1）2﹣0＝8，或3（m﹣1）2﹣0＝8， 解得：m1＝3﹣，m2＝3+，（舍去），或m3＝1+，m4＝1﹣（舍去）， 综上所述，m的值为3﹣或1+． 【点评】本题主要考查二次函数的性质、二次函数图象的点的坐标特征及二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 26．（2024•长兴县模拟）根据以下素材，探索完成任务． 运用二次函数研究电缆架设问题 素材1 电缆在空中架设时．两端挂起的电缆下垂都可以近似的看成抛物线的形状．如图，在一个斜坡BD上按水平距离间隔90米架设两个塔柱．每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为20米（AB＝CD＝20米），按如图建立坐标系（x轴在水平方向上）．点A、O、E在同一水平线上，经测量，AO＝60米，斜坡BD的坡比为1：10（即DM：BM＝1：10）. 素材2 若电缆下垂的安全高度是13.5米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5米时，符合安全要求，否则存在安全隐患．（说明：直线GH⊥x轴分别交直线BD和抛物线于点H、G．点G距离坡面的铅直高度为GH的长） 任务1 明确山坡位置 求点D的坐标. 任务2 确定电缆形状 求出下垂电缆的抛物线表达式. 任务3 判断电缆安全 上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由. 【答案】任务1．点D的坐标为（30，﹣11）； 任务2．下垂电缆的抛物线表达式为：y＝x2+x； 任务3．这种电缆的架设不符合安全要求．理由见解答部分． 【分析】任务1．易得四边形ABME是矩形，BM＝90米，那么可得矩形各边的长，根据OA的长度可得OE的长度；根据斜坡BD的坡比为1：10可得DM的长，进而可得DE的长，即可求得点D的坐标； 任务2．易得CE的长度，即可求得点C的坐标，根据抛物线经过点O、A、C可得抛物线的解析式； 任务3．求得直线BD的解析式，设电缆与坡面的铅直高度为h，表示出h的函数关系式，求得h的最小值与13.5比较即可判断这种电缆的架设是否符合安全要求． 【解答】解：任务1． 由题意得：四边形ABME是矩形，BM＝90米， ∴EM＝AB＝20米，AE＝BM＝90米． ∵DM：BM＝1：10，AO＝60米， ∴DM＝9米，OE＝30米． ∴DE＝EM﹣DM＝20﹣9＝11米． ∴点D的坐标为（30，﹣11）． 任务2． ∵OA＝60米， ∴点A的坐标为（﹣60，0）． ∵CE＝CD+DM﹣EM＝9，OE＝30米， ∴点C的坐标为（30，9）． ∵抛物线经过点O、A、C， ∴设下垂电缆的抛物线表达式为：y＝a（x+60）（x﹣0）． ∴9＝a（30+60）（30﹣0）． 解得：a＝． ∴下垂电缆的抛物线表达式为：y＝（x+60）（x﹣0）＝x2+x． 任务3． 这种电缆的架设不符合安全要求． 理由如下： 由题意得：点B的坐标为（﹣60，﹣20）． 设直线BD的解析式为：y＝mx+n（m≠0）． ∴． 解得：． ∴直线BD的解析式为：y＝x﹣14． 设电缆与坡面的铅直高度为h． ∴h＝（x2+x）﹣（x﹣14） ＝x2+x+14 ＝（x2+30x+225）+14﹣ ＝（x+15）2+13.25． ∴电缆距离坡面铅直高度的最小值为13.25米． ∵13.25＜13.5， ∴这种电缆的架设不符合安全要求． 【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：抛物线上经过x轴上两点（x1，0），（x2，0），抛物线的解析式可设为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），计算比较简便． 27．（2024•杭州二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a≠0）的图象经过点（﹣2，0）． （1）求a和b的关系式； （2）当﹣3≤x≤2时，函数y有最小值﹣3，求a的值； （3）若a＝﹣1时，将函数图象向下平移m（m＞0）个单位长度，图象与x轴相交于点A，B（点A在y轴的左侧）．当时，求m的值． 【答案】（1）b＝﹣8a； （2）a＝或﹣； （3）m＝5． 【分析】（1）将（﹣2，0）代入函数表达式得：0＝4a+4a+b，即可求解； （2）当a＞0时，当﹣3≤x≤2时，函数在顶点时取得最小值，即可求解；当a＜0时，同理可解； （3）由题意得：y＝﹣（x﹣3t）（x+t）＝﹣（x2﹣2tx﹣3t2）＝﹣x2+2x+8﹣m，则2t＝2且3t2＝8﹣m，即可求解． 【解答】解：（1）将（﹣2，0）代入函数表达式得：0＝4a+4a+b， 则b＝﹣8a； （2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2ax﹣8a， 当a＞0时， 当﹣3≤x≤2时，函数在顶点时取得最小值， 当x＝1时，y有最小值﹣3， 即y＝ax2﹣2ax﹣8a＝a﹣2a﹣8a＝﹣3， 解得：a＝； 当a＜0时， 则x＝﹣3时，y取得最小值， 即y＝a（9+6﹣8）＝﹣3， 解得：a＝﹣； 综上，a＝或﹣； （3）由题意得，平移后的抛物线表达式为：y＝﹣x2+2x+8﹣m， 设点B（3t，0），则点A（﹣t，0）， 则y＝﹣（x﹣3t）（x+t）＝﹣（x2﹣2tx﹣3t2）＝﹣x2+2x+8﹣m， 则2t＝2且3t2＝8﹣m， 解得：m＝5． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象和性质、图形的平移等，熟悉函数的性质和分类求解是解题的关键． 28．（2024•西湖区一模）在平面直角坐标系中，点（1，m）和（3，n）都在二次函数y＝ax2+bx（a≠0，a，b是常数）的图象上． （1）若m＝n＝﹣6，求该二次函数的表达式和函数图象的对称轴． （2）若a＝﹣1，m＜n，求b的取值范围． （3）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）也都在该二次函数图象上，若mn＜0且a＜0，试比较y1，y2，y3的大小，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）当m＝n＝﹣6时，用待定系数法可得二次函数的表达式为y＝2x2﹣8x；即可得函数图象的对称轴为直线x＝2； （2）当a＝﹣1时，可得，又m＜n，故﹣1+b＜﹣9+3b，得b＞4； （3）由mn＜0，可得（a+b）（9a+3b）＜0，又a＜0，即可知a+b＞0且3a+b＜0；求出y1＝a﹣b，y2＝4a+2b，y3＝16a+4b，用作差的方法可得到答案． 【解答】解：（1）当m＝n＝﹣6时，把（1，﹣6）和（3，﹣6）代入y＝ax2+bx得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为y＝2x2﹣8x； ∵y＝2x2﹣8x＝2（x﹣2）2﹣8， ∴函数图象的对称轴为直线x＝2； （2）当a＝﹣1时，y＝﹣x2+bx， 把（1，m）和（3，n）代入得： ， ∵m＜n， ∴﹣1+b＜﹣9+3b， 解得b＞4， ∴b的取值范围是b＞4； （3）把（1，m）和（3，n）代入y＝ax2+bx得： ， ∵mn＜0， ∴（a+b）（9a+3b）＜0， ∴或， ∵a＜0， ∴，即无解； ∴a+b＞0且3a+b＜0； 把（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）代入y＝ax2+bx得： y1＝a﹣b，y2＝4a+2b，y3＝16a+4b， ∴y1﹣y2＝a﹣b﹣（4a+2b）＝﹣3（a+b）＜0，y1﹣y3＝a﹣b﹣（16a+4b）＝﹣5（3a+b）＞0， ∴y1＜y2，y1＞y3， ∴y3＜y1＜y2． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，作差法比较大小等，解题的关键是掌握二次函数图象上点坐标的特征和不等式的基本性质． 29．（2024•义乌市二模） 草莓种植大棚的设计 生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光． 建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线OPN，其中点P为抛物线的顶点，大棚高PE＝4m，宽ON＝12m．现以点O为坐标原点，ON所在直线为x轴，过点O且垂直于ON的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式． 解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中AB＝BE＝EC＝CD．求门高AB的值． （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段OQ，求此时OQ的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）依据题意得，抛物线的顶点为（6，4），从而可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+4，又抛物线过（0，0），求出a即可得解； （2）依据题意，设AB＝BE＝EC＝CD＝x，又A（6﹣m，m）在抛物线，求出m后即可得解； （3）依据题意，由A（3，3），N（12，0），可得直线AN为，再结合PQ∥AN，可设PQ为，进而可得，根据直线与抛物线相切Δ＝225﹣36b＝0，求出b后即可得直线PQ，最后可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意得，抛物线的顶点为（6，4）， ∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+4． 又抛物线过（0，0）， ∴0＝36a+4． ∴． ∴抛物线的解析式为； （2）由题意，设AB＝BE＝EC＝CD＝m， ∴A（6﹣m，m）． 又A在抛物线， ∴． ∴m＝3或m＝﹣12（舍去）． ∴AB＝3； 答：门高AB为3m； （3）由题意，∵A（3，3），N（12，0）， ∴直线AN为． 又∵PQ∥AN， ∴可设PQ为． ∴． ∴x2﹣15x+9b＝0． ∴Δ＝225﹣36b＝0． ∴． ∴直线PQ为． 令y＝0， ∴．即， 答：此时OQ的长为． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 30．（2024•镇海区校级三模）【背景介绍】 烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火． 【问题情境】 距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d（单位：m）．距地面的竖直高度为h（单位：m），获得数据如表： d/m 0 10 20 30 40 50 60 70 h/m 0.5 9.5 16.5 21.5 24.5 25.5 24.5 k 【探究过程】 小勇根据学习函数的经验，对函数h随自变量d的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整； （1）k的值为 　21.5　， （2）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结． （3）请结合函数图象分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？ （4）烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离米改变这只箭的飞行轨迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？ 【答案】（1）21.5； （2）作图见解析； （3）士兵射出的箭没有掉进圣火台里； （4）射手向后移动的最大距离为，向前移动的最大距离为． 【分析】（1）根据抛物线的对称性结合表格数据可知当d＝70与d＝30时的函数值相等，据此即可求解； （2）先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接即可； （3）先求得抛物线的解析式，再求出当d＝70.5时所对应的h的值，再和20作比较即可； （4）利用已求得抛物线的解析式，根据题意，先求得正方形左下角的点A的坐标和右上角的点B的坐标，再根据抛物线的平移列出方程，求得平移的距离，即可求解． 【解答】解：（1）∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分， 根据表格数据和二次函数图象的对称的性质可得：对称轴为直线d＝50， ∴d＝70与d＝30时的函数值相等， ∵当d＝30时，h＝21.5， ∴当d＝70时，k＝21.5． 故答案为：21.5； （2）先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接如图： ； （3）设二次函数的解析式为：h＝a（d﹣50）2+25.5， 当d＝40时，h＝24.5， ∴a（40﹣50）2+25.5＝24.5， 解得：a＝﹣0.01， ∴二次函数的解析式为h＝﹣0.01（d﹣50）2+25.5， 当d＝70.5时， h＝﹣0.01×（70.5﹣50）2+25.5＝﹣4.2025+25.5＝21.2975＞20， ∴士兵射出的箭没有掉进圣火台里； （4）由（3）可知：二次函数的解析式为h＝﹣0.01（d﹣50）2+25.5， ∵圣火台上方高4米的范围内，都可以顺利点燃主火炬，且射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手可以通过调整与火炬塔的距离来改变这只箭的飞行轨迹，即相当于将图象左右平移可以保证圣火被点燃， 依题意，正方形左下角的点A的坐标为（69.5，20），右上角的点B的坐标为（70.5，24）， 设后退m（m＞0）米，即抛物线向左平移m米，当抛物线经过正方形的左下角的点A（69.5，20）时， ∴20＝﹣0.01（69.5﹣50+m）2+25.5， 解得：，（不合题意，舍去）； 设前进n（n＞0）米，即抛物线向右平移n米，当抛物线经过正方形的右上角的点（70.5，24）时， ∴24＝﹣0.01（70.5﹣50﹣n）2+25.5， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴射手向后移动的最大距离为，向前移动的最大距离为． 【点评】本题考查二次函数的实际应用，考查抛物线的对称性，描点法画函数图象，二次函数图象的平移．根据函数图象获取信息解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$