专题11 反比例函数-备战2025年中考数学真题题源解密（浙江专用）

专题11 反比例函数 课标要求 考点 考向 1．理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式． 2．会画反比例函数图象，根据图象和解析式探索并理解其基本性质． 3．能用反比例函数解决简单实际问题． 反比例函数 考向一 反比例函数图像性质 考向二 反比例函数应用 考向三 反比例函数与几何综合 考点 反比例函数 ►考向一 反比例函数图像性质 1．（2024•浙江）反比例函数的图象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）两点．下列正确的选项是（　　） A．当t＜﹣4时，y2＜y1＜0 B．当﹣4＜t＜0时，y2＜y1＜0 C．当﹣4＜t＜0时，0＜y1＜y2 D．当t＞0时，0＜y1＜y2 2．（2023•浙江）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 3．（2023•金华）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式ax+b的解集是（　　） A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3 4．（2023•宁波）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1＞0）的图象与反比例函数y2＝（k2＞0）的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 5．（2023•杭州）在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数y1＝与函数y2＝k2（x﹣2）+5的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是﹣4． （1）求k1，k2的值． （2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点． 6．（2022•杭州）设函数y1＝，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）． （1）若函数y1和函数y2的图象交于点A（1，m），点B（3，1）， ①求函数y1，y2的表达式； ②当2＜x＜3时，比较y1与y2的大小（直接写出结果）． （2）若点C（2，n）在函数y1的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求n的值． 7．（2020•杭州）设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）． （1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值． （2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？ 8．（2018•杭州）设一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（﹣1，﹣1）两点． （1）求该一次函数的表达式； （2）若点（2a+2，a2）在该一次函数图象上，求a的值． （3）已知点C（x1，y1）和点D（x2，y2）在该一次函数图象上，设m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），判断反比例函数y＝的图象所在的象限，说明理由． ►考向二 反比例函数应用 1．（2023•丽水）如果100N的压力F作用于物体上，产生的压强p要大于1000Pa，则下列关于物体受力面积S（m2）的说法正确的是（　　） A．S小于0.1m2 B．S大于0.1m2 C．S小于10m2 D．S大于10m2 2．（2021•杭州）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（　　） A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝﹣和y2＝﹣x+1 3．（2023•温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 　　mL． 4．（2023•台州）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm． （1）求h关于ρ的函数解析式； （2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ． ►考向三 反比例函数与几何综合 1．（2023•衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 　　． 2．（2023•宁波）如图，点A，B分别在函数y＝（a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x轴于点C．点D，E在函数y＝（b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为 　　，a的值为 　　． 3．（2023•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是 　　． 4．（2022•宁波）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y＝（x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为9时，的值为 　　，点F的坐标为 　　． 5．（2022•衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC＝6，则k＝　　． 6．（2020•温州）点P，Q，R在反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝27，则S2的值为　　． 1．（2024•杭州四模）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（2024•瑞安市校级模拟）若反比例函数的图象经过点（﹣3，4），则该反比例函数图象一定经过点（　　） A．（3，﹣4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（﹣2，﹣6） 3．（2024•温州模拟）如图，在反比例函数的图象上有点A，B，C，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3，已知点A，B，C的横坐标分别为2，3，4，S1+S2+S3＝8，则k的值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 4．（2024•富阳区一模）若点A（﹣4，a），B（1，b），C（3，c）都在反比例为实数）的图象上，则a，b，c大小关系正确的是（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 5．（2024•钱塘区三模）已知点P（a，m）、Q（b，n）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定成立的是（　　） A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n 6．（2024•浙江一模）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AB∥x轴，点C在x轴上，△ABC的面积为3，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 7．（2024•金华三模）如图，一次函数y1＝﹣x+b与反比例函数的图象相交于点A（a，3）和点B（3，﹣1）．当y1＞y2时，x的取值范围为（　　） A．x＜﹣1 B．x＜﹣1或x＞3 C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．x＜﹣1或0＜x＜3 8．（2024•西湖区校级二模）某小组在研究了函数y1＝x与性质的基础上，进一步探究函数y＝y1﹣y2的性质，以下几个结论： ①函数y＝y1﹣y2的图象与x轴有交点； ②函数y＝y1﹣y2的图象与y轴没有交点； ③若点（a，b）在函数y＝y1﹣y2的图象上，则点（﹣a，﹣b）也在函数y＝y1﹣y2的图象上． 以上结论正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．（2024•温州二模）已知两个反比例函数y1＝，y2＝﹣（m≠0）．当1≤x≤2时，y1的最大值和最小值分别为a1，b1，y2的最大值和最小值分别为a2，b2．若a1﹣a2＝4，则b1﹣b2的值为（　　） A．﹣5 B． C． D．5 10．（2024•钱塘区二模）若正比例函数y＝kx的图象与反比例函数的图象交于点A（a，4），B（﹣2，b），则k1+k2的值为 　 　． 11．（2024•绍兴一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（1，5），动点C在线段AB上（不与端点重合），点B绕点C顺时针旋转90°得到点D，若点D在反比例函数的图象上，则k的取值范围是 　 　． 12．（2021•西湖区校级二模）如图，在直角坐标系中，第一象限内的点A、B都在反比例函数的图象上，横坐标分别是3和1，点C在x轴的正半轴上，满足AC⊥BC，且BC＝AC，则k的值是 　 　． 13．（2024•上城区一模）如图，在△OAB中，边OA在y轴上．反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点B，与边AB交于点C．若BC＝3AC，S△OAB＝10．则k的值为 　 　． 14．（2024•鄞州区模拟）如图，过原点的线段AB的两端点A，B分别在反比例函数和的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为C．若△BOC的面积为1，则k的值为 　 　． 15．（2024•拱墅区二模）如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是2，则k的值为 　 　． 16．（2024•鄞州区模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数y＝图象于A（，4），B（3，m）两点． （1）求m，n的值； （2）点E是y轴上一点，且S△AOB＝S△EOB，求E点的坐标； （3）请你根据图象直接写出不等式kx+b＞的解集． 17．（2024•临安区二模）如图，已知一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数的图象交于点A（1，6），B（﹣3，m）． （1）求k1，k2，m，b的值． （2）求△AOB的面积． （3）观察函数图象，当y1≤y2时，直接写出x的取值范围． 18．（2024•钱塘区三模）在平面直角坐标系中，设函数y1＝kx﹣k+6与函数的图象交于点A（1，6）． （1）求k的值，并写出y1，y2的解析式． （2）设图象的另一个交点为B，求B的坐标，并写出当y1≤y2时x的取值范围． （3）设函数y1的图象与x轴的交点为C，将点C先向右平移m的单位，再向上平移3个单位后，恰好落在函数y2的图象上，求m的值． 19．（2024•浙江一模）在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数与函数y2＝k2（x﹣2）+5的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是﹣4． （1）求k1，k2的值． （2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点． 20．（2024•滨江区二模）设函数，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．若函数y和函数y2的图象交于点A（2，n+1），点B（4，n﹣2）． （1）求点A，B的坐标． （2）求函数y1，y2的表达式． （3）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围． 21．（2024•浙江模拟）如图所示，直线与双曲线交于A（2，n），B两点，与y轴交于点D． （1）求k，n的值； （2）求△AOB的面积； （3）请结合上述两个函数的图象，请直接写出的解集． 22．（2024•西湖区校级二模）某种新药在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退，衰退时y与x成反比例函数关系．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图所示， （1）求血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数表达式． （2）如果每毫升血液中含药量不低于5微克时是有效的，一次服药后的有效时间能超过130分钟吗？ 23．（2024•杭州四模）如图，一次函数y1＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，已知点A的纵坐标为3． （1）求一次函数的表达式和B点坐标； （2）已知点C（x1，m）在一次函数y1＝kx+2上，点D（x2，m）在反比例函数上，若x1＜x2，观察图象，直接写出m的取值范围． 24．（2024•拱墅区校级二模）（1）解分式方程：； （2）已知y＝y1+y2，y1与（x﹣1）成反比例，y2与x成正比例，且当x＝2时，y1＝4，y＝2．求y关于x的函数解析式． 25．（2024•上城区一模）如图，反比例函数的图象与直线y＝ax交于点D（1，4），点A是线段OD上的一个动点，过点A作y轴的垂线分别交反比例函数图象和y轴于点B和点C． （1）求k和a的值； （2）根据图象直接写出的自变量x的取值范围； （3）当AB长为时，求点A的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 反比例函数 课标要求 考点 考向 1．理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式． 2．会画反比例函数图象，根据图象和解析式探索并理解其基本性质． 3．能用反比例函数解决简单实际问题． 反比例函数 考向一 反比例函数图像性质 考向二 反比例函数应用 考向三 反比例函数与几何综合 考点 反比例函数 ►考向一 反比例函数图像性质 1．（2024•浙江）反比例函数的图象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）两点．下列正确的选项是（　　） A．当t＜﹣4时，y2＜y1＜0 B．当﹣4＜t＜0时，y2＜y1＜0 C．当﹣4＜t＜0时，0＜y1＜y2 D．当t＞0时，0＜y1＜y2 【答案】A 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：∵反比例函数中，k＝4＞0， ∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小， A、当t＜﹣4时，t+4＜0， ∵t＜t+4， ∴y2＜y1＜0，正确，符合题意； B、当﹣4＜t＜0时，点P（t，y1）在第三象限，点Q（t+4，y2）在第一象限， ∴y1＜0，y2＞0， ∴y1＜0＜y2，原结论错误，不符合题意； C、由B知，当﹣4＜t＜0时，y1＜0＜y2，原结论错误，不符合题意； D、当t＞0时，t+4＞0， ∴P（t，y1），Q（t+4，y2）在第一象限， ∵t＜t+4， ∴y1＞y2＞0，原结论错误，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 2．（2023•浙江）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质，可以判断出y1，y2，y3的大小关系． 【解答】解：∵反比例函数y＝， ∴该函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， ∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函数y＝的图象上， ∴y2＜y1＜y3， 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 3．（2023•金华）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式ax+b的解集是（　　） A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3 【答案】A 【分析】依据题意，首先求出B点的横坐标，再直观得出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【解答】解：∵A（2，3）在反比例函数上， ∴k＝6． 又B（m，﹣2）在反比例函数上， ∴m＝﹣3． ∴B（﹣3，﹣2）． 结合图象， ∴当ax+b＞时，﹣3＜x＜0或x＞2． 故选：A． 【点评】本题主要考查反比例函数、一次函数的图象和性质，通过图象直接得出一次函数的值大于反比例函数值时自变量x的取值范围． 4．（2023•宁波）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1＞0）的图象与反比例函数y2＝（k2＞0）的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 【答案】B 【分析】根据图象即可． 【解答】解：由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1， 故选：B． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，不等式的解集就是其所对应的函数图象上满足条件的所有点的横坐标的集合． 5．（2023•杭州）在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数y1＝与函数y2＝k2（x﹣2）+5的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是﹣4． （1）求k1，k2的值． （2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点． 【答案】（1）k1＝10，k2＝2；（2）答案见解析． 【分析】（1）首先将点A的横坐标代入y2＝k2（x﹣2）+5 求出点A的坐标，然后代入 求出k1＝10 然后将点B的纵坐标代入 求出，然后代入y2＝k2（x﹣2）+5，即可求出k2＝2； （2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出CD所在直线的表达式，进而求解即可． 【解答】（1）解：∵点A的横坐标是2， ∴将x＝2代入y2＝k2（x﹣2）+5＝5， ∴A（2，5）， ∴将A（2，5）代入 得：k1＝10， ∴， ∵点B的纵坐标是﹣4， ∴将y＝﹣4代入 得，， ∴B（﹣，﹣4）． ∴将B（﹣，﹣4）代入y2＝k2（x﹣2）+5得：， 解得：k2＝2． ∴y2＝2（x﹣2）+5＝2x+1． （2）证明：如图所示， 由题意可得：C（，5），D（2，﹣4）， 设CD所在直线的表达式为y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴CD所在直线的表达式为y＝﹣2x， ∴当x＝0时，y＝0， ∴直线CD经过原点． 【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特点，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键． 6．（2022•杭州）设函数y1＝，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）． （1）若函数y1和函数y2的图象交于点A（1，m），点B（3，1）， ①求函数y1，y2的表达式； ②当2＜x＜3时，比较y1与y2的大小（直接写出结果）． （2）若点C（2，n）在函数y1的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求n的值． 【答案】（1）①y1＝，y2＝﹣x+4；②y1＜y2；（2）1． 【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式； ②利用函数图象分析比较； （2）根据平移确定点D的坐标，然后利用函数图象上点的坐标特征代入求解． 【解答】解：（1）①把点B（3，1）代入y1＝， 1＝， 解得：k1＝3， ∴函数y1的表达式为y1＝， 把点A（1，m）代入y1＝，解得m＝3， 把点A（1，3），点B（3，1）代入y2＝k2x+b， ， 解得， ∴函数y2的表达式为y2＝﹣x+4； ②如图， 当2＜x＜3时，y1＜y2； （2）由平移，可得点D坐标为（﹣2，n﹣2）， ∴﹣2（n﹣2）＝2n， 解得：n＝1， ∴n的值为1． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数，理解反比例函数和一次函数的图象性质，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想解题是关键． 7．（2020•杭州）设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）． （1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值． （2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由反比例函数的性质可得，①；﹣＝a﹣4，②；可求a的值和k的值； （2）设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，将x＝m0，x＝m0+1，代入解析式，可求p和q，即可判断． 【解答】解：（1）∵k＞0，2≤x≤3， ∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大， ∴当x＝2时，y1最大值为，①； 当x＝2时，y2最小值为﹣＝a﹣4，②； 由①，②得：a＝2，k＝4； （2）圆圆的说法不正确， 理由如下：设m＝m0，且﹣1＜m0＜0， 则m0＜0，m0+1＞0， ∴当x＝m0时，p＝y1＝， 当x＝m0+1时，q＝y1＝＞0， ∴p＜0＜q， ∴圆圆的说法不正确． 方法二、当x＝m时，p＝y1＝，当x＝m+1时，q＝y1＝， ∴p﹣q＝﹣＝， ∴当m＜﹣1时，则p﹣q＝＞0， ∴p＞q， 当﹣1＜m＜0时，则p﹣q＝＜0， ∴p＜q， 当m＞0时，则p﹣q＝＞0， ∴p＞q， ∴圆圆的说法不正确． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是本题的关键． 8．（2018•杭州）设一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（﹣1，﹣1）两点． （1）求该一次函数的表达式； （2）若点（2a+2，a2）在该一次函数图象上，求a的值． （3）已知点C（x1，y1）和点D（x2，y2）在该一次函数图象上，设m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），判断反比例函数y＝的图象所在的象限，说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（﹣1，﹣1）两点，可以求得该函数的表达式； （2）根据（1）中的解析式可以求得a的值； （3）根据题意可以判断m的正负，从而可以解答本题． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（﹣1，﹣1）两点， ∴，得， 即该一次函数的表达式是y＝2x+1； （2）点（2a+2，a2）在该一次函数y＝2x+1的图象上， ∴a2＝2（2a+2）+1， 解得，a＝﹣1或a＝5， 即a的值是﹣1或5； （3）反比例函数y＝的图象在第一、三象限， 理由：∵点C（x1，y1）和点D（x2，y2）在该一次函数y＝2x+1的图象上，m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2）， ∴m＝（x1﹣x2）（2x1+1﹣2x2﹣1）＝2（x1﹣x2）2， ∴m+1＝2（x1﹣x2）2+1＞0， ∴反比例函数y＝的图象在第一、三象限． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答． ►考向二 反比例函数应用 1．（2023•丽水）如果100N的压力F作用于物体上，产生的压强p要大于1000Pa，则下列关于物体受力面积S（m2）的说法正确的是（　　） A．S小于0.1m2 B．S大于0.1m2 C．S小于10m2 D．S大于10m2 【答案】A 【分析】根据已知条件利用压强公式推导即可得到答案． 【解答】解：∵，F＝100， ∴， ∵产生的压强p要大于1000Pa， ∴， ∴S＜0.1， 故选：A． 【点评】本题考查了反比例的应用等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 2．（2021•杭州）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（　　） A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝﹣和y2＝﹣x+1 【答案】A 【分析】根据题干信息可知，直接令y1+y2＝0，若方程有解，则具有性质P，若无解，则不具有性质P． 【解答】解：A．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x﹣1＝0，解得x＝或x＝，即函数y1和y2具有性质P，符合题意； B．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x+1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意； C．令y1+y2＝0，则﹣﹣x﹣1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意； D．令y1+y2＝0，则﹣﹣x+1＝0，整理得，x2﹣x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题属于新定义类问题，根据给出定义构造方程，利用方程思想解决问题是常见思路，本题也可利用函数图象快速解答． 3．（2023•温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 　20　mL． 【答案】见试题解答内容 【分析】设这个反比例函数的解析式为V＝，求得V＝，当p＝75kPa时，求得V＝＝80，当p＝100kPa时求得，V＝＝60于是得到结论． 【解答】解：设这个反比例函数的解析式为V＝， ∵V＝100ml时，p＝60kpa， ∴k＝pV＝100ml×60kpa＝6000， ∴V＝， 当p＝75kPa时，V＝＝80， 当p＝100kPa时，V＝＝60， ∴80﹣60＝20（mL）， ∴气体体积压缩了20mL， 故答案为：20． 【点评】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解本题的关键． 4．（2023•台州）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm． （1）求h关于ρ的函数解析式； （2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设h关于ρ的函数解析式为 ，把ρ＝1，h＝20代入解析式，解方程即可得到结论； （2）把 h＝25 代入 ，求得ρ＝0.8，于是得到结论． 【解答】解：（1）设h关于ρ的函数解析式为 ， 把ρ＝1，h＝20代入解析式，得k＝1×20＝20， ∴h关于ρ的函数解析式为 ； （2）把 h＝25 代入 ，得 ， 解得：ρ＝0.8， 答：该液体的密度ρ为 0.8g/cm3． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． ►考向三 反比例函数与几何综合 1．（2023•衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 　24　． 【答案】见试题解答内容 【分析】设OA＝4a，因为OA＝2AB，所以AB＝2a，则A（4a，0），B（6a，0），由于正方形OACD，ABEF，则C（4a，4a），因为CD⊥y轴，P在CD上，所以P点纵坐标为4a，则P点横坐标为：x＝k4a，由于Q为BE中点，切BE⊥x轴，所以BQ＝AB＝a，则Q（6a，a），由于Q在反比例函数y＝（k＞0）上，所以k＝6a2，根据已知阴影为矩形，长为，宽为：a，面积为6，所以可得12×k4a×a＝6，即可解决． 【解答】解：设OA＝4a， ∵AO＝2AB， ∴AB＝2a， ∴OB＝AB+OA＝6a，则B（6a，0）， 由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a， ∵Q为BE中点， ∴BQ＝AB＝a， ∴Q（6a，a）， ∵Q在反比例函数y＝（k＞0））上， ∴k＝6a×a＝6a2， ∵四边形OACD是正方形， ∴C（4a，4a）， ∵P在CD上， ∴P点纵坐标为4a， ∵P在反比例函数y＝（k＞0）上， ∴P点横坐标为：x＝， ∴P（，4a）， ∵作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N， ∴四边形OMNH是矩形， ∴NH＝，MH＝a， ∴S矩形OMHN＝NH×MH＝×a＝6， 则k＝24， 故答案为：24． 【点评】本题考查反比例函数图象的性质以及正方形的性质和长方形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解决问题的关键． 2．（2023•宁波）如图，点A，B分别在函数y＝（a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x轴于点C．点D，E在函数y＝（b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为 　12　，a的值为 　9　． 【答案】12，9． 【分析】依据题意，设A（m，），再由AE∥x轴，BD∥y轴，AC＝2BC，可得B（﹣2m，﹣），D（﹣2m，﹣），E（，），再结合△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，即可得解． 【解答】解：设A（m，）， ∵AE∥x轴，且点E在函数y＝上， ∴E（，）． ∵AC＝2BC，且点B在函数y＝上， ∴B（﹣2m，﹣）． ∵BD∥y轴，点D在函数y＝上， ∴D（﹣2m，﹣）． ∵△ABE的面积为9， ∴S△ABE＝AE×（+）＝（m﹣）（+）＝m••＝＝9． ∴a﹣b＝12． ∵△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14， ∴S△BDE＝DB•（+2m）＝（﹣+）（）m＝（a﹣b）••（）•m＝3（）＝5． ∴a＝﹣3b． 又a﹣b＝12． ∴a＝9． 故答案为：12，9． 【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题时需要熟练掌握并能灵活运用方程思想是关键． 3．（2023•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是 　2　． 【答案】2． 【分析】证明出点A、B为矩形边的中点，根据三角形OAB的面积求出矩形面积，再求出三角形ABC面积即可． 【解答】解：如图，延长CA交y轴于E，延长CB交x轴于点F， ∴CE⊥y轴，CF⊥x轴， ∴四边形OECF为矩形， ∵x2＝2x1， ∴点A为CE的中点， 由几何意义得，S△OAE＝S△OBF， ∴点B为CF的中点， ∴S△OAB＝S矩形OECF＝6， ∴S矩形OECF＝16， ∴S△ABC＝×16＝2． 故答案为：2． 2 【点评】本题考查了反比例函数的性质的应用，几何意义的应用及矩形特性是解题关键． 4．（2022•宁波）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y＝（x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为9时，的值为 　　，点F的坐标为 　（，0）　． 【答案】，（，0）． 【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B（b，），D（a，），根据矩形的面积得出三角形BOD的面积，将三角形BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形BOD中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果． 【解答】解：如图， 方法一：作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I， 设点B（b，），D（a，）， 由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC， ∴∠OBC＝∠BOD，BC＝OD， ∴OI＝BI， ∴DI＝CI， ∴＝， ∵∠CID＝∠BIO， ∴△CDI∽△BOI， ∴∠CDI＝∠BOI， ∴CD∥OB， ∴S△BOD＝S△AOB＝S矩形AOCB＝， ∵S△BOE＝S△DOG＝＝3，S四边形BOGD＝S△BOD+S△DOG＝S梯形BEGD+S△BOE， ∴S梯形BEGD＝S△BOD＝， ∴•（a﹣b）＝， ∴2a2﹣3ab﹣2b2＝0， ∴（a﹣2b）•（2a+b）＝0， ∴a＝2b，a＝﹣（舍去）， ∴D（2b，）， 即：（2b，）， 在Rt△BOD中，由勾股定理得， OD2+BD2＝OB2， ∴[（2b）2+（）2]+[（2b﹣b）2+（﹣）2]＝b2+（）2， ∴b＝， ∴B（，2），D（2，）， ∵直线OB的解析式为：y＝2x， ∴直线DF的解析式为：y＝2x﹣3， 当y＝0时，2﹣3＝0， ∴x＝， ∴F（，0）， ∵OE＝，OF＝， ∴EF＝OF﹣OE＝， ∴＝， 方法二：如图，连接OD，连接BF，BD，作DG⊥x轴于G，直线BD交x轴于H， 由上知：DF∥OB， ∴S△BOF＝S△BOD＝， ∵S△BOE＝|k|＝3， ∴＝＝， 设EF＝a，FG＝b，则OE＝2a， ∴BE＝，OG＝3a+b，DG＝， ∵△BOE∽△DFG， ∴＝， ∴＝， ∴a＝b，a＝﹣（舍去）， ∴D（4a，）， ∵B（2a，）， ∴＝＝， ∴GH＝EG＝2a， ∵∠ODH＝90°，DG⊥OH， ∴△ODG∽△DHG， ∴， ∴， ∴a＝， ∴3a＝， ∴F（，0） 故答案为：，（，0）． 【点评】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式． 5．（2022•衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC＝6，则k＝　　． 【答案】． 【分析】作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，设C（m，），则OM＝m，CM＝，根据平行线分线段成比例求出DN，BN，OA，MN，再根据面积公式即可求出k的值． 【解答】解：如图，作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N， 设C（m，）， 则OM＝m，CM＝， ∵OE∥CM，AE＝CE， ∴＝＝1， ∴AO＝m， ∵DN∥CM，CD＝2BD， ∴＝＝＝， ∴DN＝， ∴D的纵坐标为， ∴＝， ∴x＝3m， 即ON＝3m， ∴MN＝2m， ∴BN＝m， ∴AB＝5m， ∵S△ABC＝6， ∴5m•＝6， ∴k＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k． 6．（2020•温州）点P，Q，R在反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝27，则S2的值为　　． 【答案】见试题解答内容 【分析】设CD＝DE＝OE＝a，则P（，3a），Q（，2a），R（，a），推出CP＝，DQ＝，ER＝，推出OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，推出S1＝S3＝2S2，根据S1+S3＝27，求出S1，S3，S2即可． 【解答】解：∵CD＝DE＝OE， ∴可以假设CD＝DE＝OE＝a， 则P（，3a），Q（，2a），R（，a）， ∴CP＝，DQ＝，ER＝， ∴OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA， ∴S1＝S3＝2S2， ∵S1+S3＝27， ∴S3＝，S1＝，S2＝， 解法二：∵CD＝DE＝OE， ∴S1＝，S四边形OGQD＝k， ∴S2＝（k﹣×2）＝， S3＝k﹣k﹣k＝k， ∴k+k＝27， ∴k＝， ∴S2＝＝． 故答案为． 【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 1．（2024•杭州四模）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据题意可知xy的值即为该级部的优秀人数，再根据图象即可确定丙学校的优秀人数最多，甲学校的优秀人数最少，乙、丁两学校的优秀人数相同． 【解答】解：根据题意，可知xy的值即为该校的优秀人数， ∵描述乙、丁两学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两学校的优秀人数相同， ∵点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面， ∴丙学校的xy的值最大，即优秀人数最多，甲学校的xy的值最小，即优秀人数最少， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键． 2．（2024•瑞安市校级模拟）若反比例函数的图象经过点（﹣3，4），则该反比例函数图象一定经过点（　　） A．（3，﹣4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（﹣2，﹣6） 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可． 【解答】解：反比例函数的图象经过点（﹣3，4），故k＝﹣12， A、坐标之积满足﹣12，符合题意； B、坐标之积为12，不在反比例函数y＝﹣图象上，不符合题意； C、坐标之积为12，不在反比例函数y＝﹣图象上，不符合题意； D、坐标之积为12，不在反比例函数y＝﹣图象上，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 3．（2024•温州模拟）如图，在反比例函数的图象上有点A，B，C，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3，已知点A，B，C的横坐标分别为2，3，4，S1+S2+S3＝8，则k的值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．由题意可分别得三点的坐标，则可表示三个阴影部分的面积，再由面积和为8建立关于k的方程，解方程即可求得k的值． 【解答】解：∵点A，B，C在反比例函数的图象上，且它们的横坐标依次为2，3，4， ∴，，， ∴，，， ∵S1+S2+S3＝8， ∴， 解得：k＝12， 故选：B． 【点评】本题主要考查了反比例函k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 4．（2024•富阳区一模）若点A（﹣4，a），B（1，b），C（3，c）都在反比例为实数）的图象上，则a，b，c大小关系正确的是（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 【答案】B 【分析】因为k2+1＞0＞0时，双曲线在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．根据这个判定则可． 【解答】解：∵k2+1＞0， ∴反比例为实数）的图象在一、三，在每个象限y随着x的增大而减小， ∵点A（﹣4，a），B（1，b），C（3，c）都在反比例为实数）的图象上， ∴点A（﹣4，a）在第三象限，B（1，b），C（3，c）在第一象限， ∵﹣4＜0＜1＜3， ∴a＜0，b＞c＞0， ∴a＜c＜b． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的性质和反比例函数图象的增减性是解题的关键． 5．（2024•钱塘区三模）已知点P（a，m）、Q（b，n）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定成立的是（　　） A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n 【答案】D 【分析】将点P，点Q坐标代入解析式可求m，n的值，由a＜0＜b，k＜0，可判断m，n的大小关系． 【解答】解：∵点P（a，m）、Q（b，n）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上， ∴am＝bn＝k， ∵a＜0＜b，k＜0 ∴m＞0，n＜0， ∴m＞n 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上点的坐标满足图象解析式是本题的关键． 6．（2024•浙江一模）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AB∥x轴，点C在x轴上，△ABC的面积为3，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】D 【分析】连接OA，OB、如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到+|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【解答】解：连接OA，OB，如图， ∵AB⊥y轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB＝S△ABC＝3， ∴+|k|＝3， ∵k＜0， ∴k＝﹣2． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 7．（2024•金华三模）如图，一次函数y1＝﹣x+b与反比例函数的图象相交于点A（a，3）和点B（3，﹣1）．当y1＞y2时，x的取值范围为（　　） A．x＜﹣1 B．x＜﹣1或x＞3 C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．x＜﹣1或0＜x＜3 【答案】D 【分析】把点B（3，﹣1）代入反比例函数中，求出k＝﹣3，进而求出A（﹣1，3）即可解答． 【解答】解：B（3，﹣1）代入反比例函数中， 得＝﹣1， ∴k＝﹣3， 把A（a，3）代入y＝﹣中得a＝﹣1， ∴当y1＞y2时，x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜3． 故选：D． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，熟练掌握待定系数法与数形结合思想是解题的关键． 8．（2024•西湖区校级二模）某小组在研究了函数y1＝x与性质的基础上，进一步探究函数y＝y1﹣y2的性质，以下几个结论： ①函数y＝y1﹣y2的图象与x轴有交点； ②函数y＝y1﹣y2的图象与y轴没有交点； ③若点（a，b）在函数y＝y1﹣y2的图象上，则点（﹣a，﹣b）也在函数y＝y1﹣y2的图象上． 以上结论正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据x轴、y轴上点的坐标特征判断①②，根据图象上点的纵横坐标的关系判断③即可． 【解答】解：∵y1＝x，， ∴y＝y1﹣y2＝x﹣， ①当y＝0时，x﹣＝0，解得x＝，故图象与x轴有交点；①正确； ②当x＝0时，分式无意义，故图象与y轴没有交点；②正确； ③当点（a，b）在函数y＝y1﹣y2的图象上，则b＝a﹣，当x＝﹣a时，﹣b＝﹣a﹣＝﹣（a﹣），即b＝a﹣，故③正确， 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数与正比例函数的性质，熟练掌握图象上点的坐标特征是关键． 9．（2024•温州二模）已知两个反比例函数y1＝，y2＝﹣（m≠0）．当1≤x≤2时，y1的最大值和最小值分别为a1，b1，y2的最大值和最小值分别为a2，b2．若a1﹣a2＝4，则b1﹣b2的值为（　　） A．﹣5 B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据反比例函数y＝中，当x＞0，k＞0时，图象在第一象限，y＞0，y随x的增大而减小；当x＞0，k＜0时，图象在第四象限，y随x的增大而增大；根据题上条件分析解答即可． 【解答】解：∵在反比例函数y＝中，当x＞0，k＞0时，图象在第一象限，y＞0，y随x的增大而减小；当x＞0，k＜0时，图象在第四象限，y随x的增大而增大； ∴两个反比例函数y1＝，y2＝﹣（m≠0）．当1≤x≤2时，y1的最大值和最小值分别为a1，b1，y2的最大值和最小值分别为a2，b2．若a1﹣a2＝4，即有a1＞a2，则m＞0， ∴a1＝m，b1＝，a2＝﹣＝﹣m，b2＝﹣＝﹣2m， ∴m﹣（﹣m）＝4，解得m＝2， ∴b1＝＝1，b2＝﹣2m＝﹣4， ∴b1﹣b2＝1﹣（﹣4）＝5． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数性质是关键． 10．（2024•钱塘区二模）若正比例函数y＝kx的图象与反比例函数的图象交于点A（a，4），B（﹣2，b），则k1+k2的值为 　10　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据反比例函数图象是中心对称图形可得a＝2，b＝﹣4即A（2，4），B（﹣2，﹣4），两点坐标代入两个函数解析式求出k1、k2，最后求和即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象是关于原点为对称中心的中心对称图形， ∴点A（a，4）与B（﹣2，b）关于原点对称， ∴a＝2，b＝﹣4， ∴A（2，4），B（﹣2，﹣4）， ∵正比例函数y＝kx的图象与反比例函数的图象交于点A（2，4），B（﹣2，﹣4）， ∴k1＝2，k2＝8， ∴k1+k2＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数等角的问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 11．（2024•绍兴一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（1，5），动点C在线段AB上（不与端点重合），点B绕点C顺时针旋转90°得到点D，若点D在反比例函数的图象上，则k的取值范围是 　5＜k≤9　． 【答案】见试题解答内容 【分析】由题意设C（1，n）（1≤n≤5），则D（6﹣n，n），代入 得k＝n（6﹣n）＝﹣n2+6n＝﹣（n﹣3）2+9，根据二次函数的性质即可求得k的取值． 【解答】解：由题意设C（1，n）（1＜n＜5），则D（6﹣n，n）， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴k＝n（6﹣n）＝﹣n2+6n＝﹣（n﹣3）2+9， ∴n＝1时，k有最小值为5，n＝3时，k有最大值9， ∴5＜k≤9， 故答案为：5＜k≤9． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣旋转，二次函数的性质，表示出点D的坐标是解题的关键． 12．（2021•西湖区校级二模）如图，在直角坐标系中，第一象限内的点A、B都在反比例函数的图象上，横坐标分别是3和1，点C在x轴的正半轴上，满足AC⊥BC，且BC＝AC，则k的值是 　　． 【答案】． 【分析】作AD⊥x轴，BE⊥x轴，由AC⊥BC，先证明△ACD∽△CBE，得到，结合BC＝AC，即可求出答案． 【解答】解：根据题意，作AD⊥x轴，BE⊥x轴，如图， ∵点A，B都在反比例函数的图象上，横坐标分别是3和1， ∴设点，B（1，k）， ∴点D（3，0），E（1，0）， ∵AC⊥BC，AD⊥x轴，BE⊥x轴， ∴∠CBE+∠BCE＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠CBE＝∠ACD， ∴△ACD∽△CBE， ∴， ∵BC＝AC， ∴＝＝＝1， ∵AD＝，BE＝k， ∴CE＝，CD＝k， ∴OD＝OE+EC+CD＝1++k＝3， 解得k＝； 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，以及解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，从而进行解题． 13．（2024•上城区一模）如图，在△OAB中，边OA在y轴上．反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点B，与边AB交于点C．若BC＝3AC，S△OAB＝10．则k的值为 　4　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据BC＝3AC，S△OAB＝10可得S△COB＝，再根据反比例函数k值的几何意义列出方程求出k即可． 【解答】解：∵BC＝3AC，S△OAB＝10． ∴S△COB＝＝， 设点C（m，），则B（4m，）， ∵S△COB＝S梯形BCDE＝， ∴， 解得：k＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键． 14．（2024•鄞州区模拟）如图，过原点的线段AB的两端点A，B分别在反比例函数和的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为C．若△BOC的面积为1，则k的值为 　﹣4　． 【答案】﹣4． 【分析】作BD⊥x轴，根据k值几何意义得到S△OBD＝，利用面积可知OC＝2OD，再利用三角形相似可得S△ACO＝2，继而求出k值即可． 【解答】解：如图，作BD⊥x轴，垂足为D， ∵点B在反比例函数y＝﹣的图象上， ∴S△OBD＝， ∵S△BOC＝1， ∴， ∵AC∥BD， ∴△BDO∽△ACO ∴， ∴S△ACO＝2， ∴丨k丨＝2S△ACO＝4， ∵反比例函数图象上在第二象限， ∴k＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了反比例函数k值几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． 15．（2024•拱墅区二模）如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是2，则k的值为 　﹣4　． 【答案】见试题解答内容 【分析】先设D（a，b），得出CO＝﹣a，CD＝AB＝b，k＝ab，再根据△BCE的面积是6，得出BC×OE＝12，最后根据AB∥OE，得出＝，即BC•EO＝AB•CO，求得ab的值即可． 【解答】解：设D（a，b），则CO＝﹣a，CD＝AB＝b， ∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上， ∴k＝ab， ∵△BCE的面积是2， ∴×BC×OE＝2，即BC×OE＝4， ∵AB∥OE， ∴＝，即BC•EO＝AB•CO， ∴4＝b×（﹣a），即ab＝﹣4， ∴k＝﹣4， 故答案为：﹣4． 【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用，能很好地考核学生分析问题，解决问题的能力．解题的关键是将△BCE的面积与点D的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方法． 16．（2024•鄞州区模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数y＝图象于A（，4），B（3，m）两点． （1）求m，n的值； （2）点E是y轴上一点，且S△AOB＝S△EOB，求E点的坐标； （3）请你根据图象直接写出不等式kx+b＞的解集． 【答案】（1）m＝2，n＝6； （2）（0，3）或（0，﹣3）； （3）x＜0或＜x＜3． 【分析】（1）把点A（，4）代入y＝中，利用待定系数法求得n的值，即可求得反比例函数的解析式，进而把B（3，m）代入求得的解析式，即可求得m的值；根据待定系数法即可求得直线CD的表达式； （2）根据待定系数法即可求得直线AB的表达式，即可求得直线与y轴的交点，根据S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD求得△AOB的面积，设E点的坐标为（0，a），根据S△AOB＝S△EOB得到关于a的方程，解方程求得a，从而求得E点的坐标； （3）根据图象即可求得． 【解答】（1）把点A（，4）代入y＝中，得：n＝×4＝6， ∴反比例函数的解析式为y＝， 将点B（3，m）代入y＝得m＝＝2； （2）设直线AB的表达式为y＝kx+b， 把A（，4），B（3，2）代入得， 解得 ∴直线AB的表达式为y＝﹣x+6， ∴D点的坐标为（0，6）， ∴S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD＝6×3﹣6×＝， 设E点的坐标为（0，a）， ∵S△AOB＝S△EOB， ∴|a|×3＝， 解得：|a|＝3， ∴E点的坐标为（0，3）或（0，﹣3）； （3）不等式kx+b＞的解集是x＜0或＜x＜3． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察函数图象的能力． 17．（2024•临安区二模）如图，已知一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数的图象交于点A（1，6），B（﹣3，m）． （1）求k1，k2，m，b的值． （2）求△AOB的面积． （3）观察函数图象，当y1≤y2时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）k1＝2，k2＝6，m＝﹣2，b＝4．（2）8；（3）0＜x≤1或x≤﹣3． 【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k＝6，m＝﹣2，再用待定系数法求出一次函数的系数即可； （2）先求出点C坐标，根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC代入数据计算即可； （3）根据图象直接写出y1≤y2时x的取值范围即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数的图象交于点A（1，6），B（﹣3，m）． ∴k2＝1×6＝﹣3m，解得k＝6，m＝﹣2， 把点A（1，6）B（﹣3，﹣2）代入y1＝k1x+b得： ，解得， ∴k1＝2，k2＝6，m＝﹣2，b＝4． （2）设直线AB交x轴于点C， 由（1）可知，直线AB解析式为y＝2x+4， 当y＝0时，x＝﹣2， ∴C（﹣2，0）， S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝＝8． （3）根据图象可知，当y1≤y2时，x的取值范围为：0＜x≤1或x≤﹣3． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 18．（2024•钱塘区三模）在平面直角坐标系中，设函数y1＝kx﹣k+6与函数的图象交于点A（1，6）． （1）求k的值，并写出y1，y2的解析式． （2）设图象的另一个交点为B，求B的坐标，并写出当y1≤y2时x的取值范围． （3）设函数y1的图象与x轴的交点为C，将点C先向右平移m的单位，再向上平移3个单位后，恰好落在函数y2的图象上，求m的值． 【答案】（1）k＝2，函数y1＝2x+4，函数y2＝； （2）x≤﹣3或0＜x≤1； （3）4． 【分析】（1）把点A代入反比例函数解析式即可求出k，确定解析式即可； （2）联立解析式求出B的坐标，即可求出当y1≤y2时x的取值范围； （3）求出C的坐标，进而表示出平移后的解析式，代入反比例函数解析式求出m即可． 【解答】解：（1）把点A（1，6）分别代入中，得， 解得k＝2， ∴函数y1＝2x+4，函数y2＝； （2）联立解析式得， 解得或， ∴B（﹣3，﹣2）， ∴y1≤y2时x的取值范围为x≤﹣3或0＜x≤1； （3）当y＝0时，2x+4＝0， 解得x＝﹣2， ∴C（﹣2，0）， ∵点C先向右平移m的单位，再向上平移3个单位， ∴平移后点C的坐标为（﹣2+m，3）， 代入反比例函数解析式得3（﹣2+m）＝6， 解得m＝4． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，数形结合是解题的关键． 19．（2024•浙江一模）在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数与函数y2＝k2（x﹣2）+5的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是﹣4． （1）求k1，k2的值． （2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）将x＝2分别代入两表达式中得＝k2（2﹣2）+5，即可求出k1的值，再把y＝﹣4代入函数中即可求出点B的坐标，再将点B的坐标代入y2＝k2（x﹣2）+5中即可得出答案； （2）由已知可得点C的坐标为（﹣，5），点D的坐标为（2，﹣4），用待定系数法求出直线CD的表达式，即可得证． 【解答】解：（1）∵函数与函数y2＝k2（x﹣2）+5的图象交于点A和点B，且点A的横坐标是2， ∴＝k2（2﹣2）+5， ∴k1＝10， ∵点B的纵坐标是﹣4， ∴﹣4＝， ∴x＝﹣， ∴﹣4＝k2（﹣﹣2）+5， ∴k2＝2， 综上所述：k1＝10，k2＝2． （2）由已知可得，点A的坐标为（2，5），点B的坐标为（﹣，﹣4）， 则点C的坐标为（﹣，5），点D的坐标为（2，﹣4）， 设CD的表达式为y＝kx+b， 则5＝﹣k+b，﹣4＝2k+b， 解得：k＝﹣2，b＝0， 则CD的表达式为y＝﹣2x， 当x＝0时，y＝0， 所以直线CD经过原点． 【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用交点的特征找到等量关系式． 20．（2024•滨江区二模）设函数，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．若函数y和函数y2的图象交于点A（2，n+1），点B（4，n﹣2）． （1）求点A，B的坐标． （2）求函数y1，y2的表达式． （3）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）A（2，6），B（4，3）；（2）y1＝，y2＝﹣+9；（3）0＜x＜2或x＞4． 【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征列出2（n+1）＝4（n﹣2），算出n＝5．可得A、B两点坐标； （2）待定系数法求出两个函数解析式即可； （3）画出图象，根据图象直接写出不等式的解集即可． 【解答】解：（1）点A（2，n+1），点B（4，n﹣2）在反比例函数图象上， ∴2（n+1）＝4（n﹣2），解得n＝5， ∴A（2，6），B（4，3）， （2）∵点A（2，6）在反比例函数图象上， ∴k1＝12， ∴反比例函数解析式为y1＝， ∵A（2，6），B（4，3）在函数y2＝k2x+b图象上， ，解得， ∴一次函数解析式为y2＝﹣+9． （3）如图，当y1＞y2时，x的取值范围为0＜x＜2或x＞4． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 21．（2024•浙江模拟）如图所示，直线与双曲线交于A（2，n），B两点，与y轴交于点D． （1）求k，n的值； （2）求△AOB的面积； （3）请结合上述两个函数的图象，请直接写出的解集． 【答案】（1）n＝3，k＝6； （2）8； （3）0＜x＜2或x＞6． 【分析】（1）将点A（2，n）代入直线得 ，确定A（2，3），将A（2，3）代入反比例函数解析式确定k即可； （2）令 中x＝0，得 y＝4，确定D（0，4），联立解析式求出点B，进而求出△AOB的面积； （3）根据图象直接判断即可． 【解答】解：（1）将点A（2，n）代入 得 ， ∴A（2，3）， 将A（2，3）代入 ， ∴k＝2×3＝6； （2）令 中x＝0，得 y＝4， ∴D（0，4）， 解方程组， 得或， ∴B（6，1）， ∴S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD＝＝8； （3）即为 ， 根据图象得0＜x＜2或x＞6． 【点评】本题反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 22．（2024•西湖区校级二模）某种新药在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退，衰退时y与x成反比例函数关系．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图所示， （1）求血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数表达式． （2）如果每毫升血液中含药量不低于5微克时是有效的，一次服药后的有效时间能超过130分钟吗？ 【答案】（1）血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数表达式为y＝； （2）一次服药后的有效时间能超过130分钟． 【分析】（1）利用第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克即可得到第100分钟相应的a值；然后再分别代入直线和曲线的一般形式，利用待定系数法求得函数的解析式即可； （2）把y＝5分别代入一次函数和反比例函数解析式求出x的值，再作差即可． 【解答】解：（1）a＝0.1×（100﹣5）＝9.5， 当5≤x≤100时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， ∵经过点（5，0），（100，9.5）， ∴， 解得， 即y＝0.1x﹣0.5； 当x＞100时，y与x之间的函数关系式为， ∵经过点（100，9.5）， ∴， 解得k＝950， 即； 综上，血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数表达式为y＝； （2）令y＝0.1x﹣0.5＝5， 解得x＝55， 令＝5， 解得x＝190， ∵190﹣55＝135（分钟）， ∴一次服药后的有效时间能超过130分钟． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的实际应用，根据已知点得出函数的解析式是解题关键． 23．（2024•杭州四模）如图，一次函数y1＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，已知点A的纵坐标为3． （1）求一次函数的表达式和B点坐标； （2）已知点C（x1，m）在一次函数y1＝kx+2上，点D（x2，m）在反比例函数上，若x1＜x2，观察图象，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）一次函数解析式为：y＝x+2．（2）m＜﹣1或0＜m＜3． 【分析】（1）待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据图象和题意直接写出解集即可． 【解答】解：（1）∵点A的纵坐标为3，且A在反比例函数y＝的图象上， ∴3＝，x＝1， ∴A（1，3）， ∵点A（1，3）在一次函数y1＝kx+2（k≠0）的图象上， ∴3＝k+2，解得k＝1， ∴一次函数解析式为：y＝x+2． （2）∵点C（x1，m）在一次函数y1＝kx+2上，点D（x2，m）在反比例函数上，且x1＜x2， 由两个函数图象m的取值范围为：m＜﹣1或0＜m＜3． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 24．（2024•拱墅区校级二模）（1）解分式方程：； （2）已知y＝y1+y2，y1与（x﹣1）成反比例，y2与x成正比例，且当x＝2时，y1＝4，y＝2．求y关于x的函数解析式． 【答案】（1）x＝2； （2）y关于x的函数解析式为y＝． 【分析】（1）根据解分式方程的步骤对所给分式方程进行求解即可． （2）用待定系数法即可解决问题． 【解答】解：（1）， x﹣1+2（x+1）＝7， x﹣1+2x+2＝7， x+2x＝7+1﹣2， 3x＝6， x＝2， 当x＝2时，（x+1）（x﹣1）≠0， 所以x＝2是原方程的解． （2）令， 则y＝． 因为当x＝2时，y1＝4，y＝2， 所以， 解得， 所以y关于x的函数解析式为y＝． 【点评】本题考查解分式方程及待定系数法，熟知待定系数法及解分式方程的步骤是解题的关键． 25．（2024•上城区一模）如图，反比例函数的图象与直线y＝ax交于点D（1，4），点A是线段OD上的一个动点，过点A作y轴的垂线分别交反比例函数图象和y轴于点B和点C． （1）求k和a的值； （2）根据图象直接写出的自变量x的取值范围； （3）当AB长为时，求点A的坐标． 【答案】（1）k＝4，a＝4；（2）0＜x＜1；（3）A（，2）． 【分析】（1）将D点坐标代入两个解析式可得k、a值； （2）根据函数图象和点D横坐标可得不等式的解集； （3）先确定两个函数解析式，再设A（m，4m）则B（m+，4m），根据点B在反比例函数图象上，列出关于m的方程解出m值即可知道点A坐标． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象与直线y＝ax交于点D（1，4）， ∴k＝4，a＝4， （2）根据图象可知，的自变量x的取值范围为：0＜x＜1． （3）由（1）可知，反比例函数解析式为y＝，正比例函数解析式为：y＝4x， 设A（m，4m）则B（m+，4m）， ∵点B在反比例函数图象上， ∴4m（m+）＝4， 解得m＝或m＝﹣2（舍去）， ∴A（，2）． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$