第二十八章 锐角三角函数综合题拓展训练（10考点65题）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（人教版）

第二十八章 锐角三角函数综合题拓展训练 目录与链接 考点一、利用三角函数求最值………………………………………………………………………2 考点二、一次函数与三角函数的综合问题………………………………………………………14 考点三、二次函数与三角函数的综合问题………………………………………………………26 考点四、反比例函数与三角函数的综合问题……………………………………………………56 考点五、三角形与三角函数的综合问题…………………………………………………………69 考点六、四边形与三角函数的综合问题…………………………………………………………86 考点七、圆与三角函数的综合问题………………………………………………………………105 考点八、相似三角形与三角函数的综合…………………………………………………………116 考点九、网格图背景下的三角函数应用…………………………………………………………136 考点十、构造直角三角形求值……………………………………………………………………144 考点一、利用三角函数求最值 1．如图，在平面直角坐标系中，，点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于E、F，则线段的最大值为 ． 【答案】4.8 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，垂线段最短，过的中点作的垂线与交于点M，连接，根据勾股定理，得，可知当直线过O点时，的值最大，再根据勾股定理求出，然后根据正弦求出，再根据直角三角形的性质得，即可求出，接下来根据勾股定理求得，即可得出答案． 【详解】过的中点作的垂线与交于点M，连接． ∵， ∴． 当的值最小时，的值最大， 根据垂线段最短可知，当直线过O点时，的值最大． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， 在中，， ∴, 根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：4.8． 2．如图，在平行四边形中，与交于点O，，，．点P从B点出发沿着方向运动，到达点O停止运动．连接，点B关于直线的对称点为Q．当点Q落在上时，则= ，在运动过程中，点Q到直线的距离的最大值为 ． 【答案】 2 【分析】①过点O作，垂足为H，根据题意可得，利用平行四边形的性质可得，然后在中，用锐角三角函数的定义求出、的长，在中，用锐角三角函数的定义求出、的长，从而求出、的长，进行计算即可求出的长；②根据题意可得点Q的轨迹为：以点A为圆心，长为半径的圆弧上，当点P运动到点O，则点Q在圆弧终点的位置，连接，过点Q作，垂足为G，连接OQ，根据轴对称的性质可得，，，从而可得，，进而求出，然后利用等腰三角形的性质以及三角形的外角性质可得，最后设，则，，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：①过点O作，垂足为H， 由题意得： ， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， 在中，， ∴， ， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴当点Q落在上时，则， ②∵， ∴点Q的轨迹为：以点A为圆心，长为半径的圆弧上， 当点P运动到点O，则点Q在圆弧终点的位置，连接，过点Q作，垂足为G，连接， ∵点B关于直线AP的对称点为Q， ∴，，， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴在运动过程中，点Q到直线的距离的最大值为2． 故答案为：；2 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，轴对称的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 3．如图，在中，已知，D为直线边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，先证明，得到点E在直线上运动，过点B作于点G，解答即可． 【详解】解：连接， ∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，． 故点E在直线上运动，， 过点B作于点G， 根据垂线段最短，得当点E与点G重合时，取得最小值， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，三角函数的应用，熟练掌握全等的性质，垂线段最短，三角函数的应用是解题的关键． 4．如图，，点 P在射线上，且，点 Q是射线 上一动点． 将沿折叠，点O落在平面内点 C处．点 D在射线上，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数、勾股定理，先判断出最小时，点C在的延长线上，再用锐角三角函数和勾股定理计算即可． 【详解】解：过点D作于E， 在中，， ∴， ∴， 在中， ∴． 故答案为：． 5．在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别、．以为斜边在右上方作．设点坐标为，则的最大值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，解直角三角形，直线与圆的位置关系，求的最大值，就是求的最大值是解答本题的关键． 根据题意先求出长，为直径的圆的变径长，分析发现点的轨迹是以为直径，上方的圆弧上运动，设直线，，整理得：，直线与轴的交点坐标为，当直线与圆相切时，取到最大值，画出相切时的示意图，利用得到，解出值即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把、代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为， 、， ， 线段的中点坐标为， 以为斜边在右上方作，点， 点的轨迹是以为直径，上方的圆弧上运动， ∵以为斜边在右上方作． ∴点C在第一象限， ，， 设直线，， 整理得：， 求的最大值，就是求的最大值， 直线与轴的交点坐标为， 当直线与圆相切时，取到最大值，此时t取得最大值，如图所示，过点B作， ∵直线的解析式为， ∴ ∵直线与圆相切 ∴ ∵ ∴， ∴四边形为矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， ， ∵， ∴，， ∴ ，， ， 解得， 的最大值是9． 故答案为：9． 6．如图，中，为中点，以为圆心，长为半径作，交与点E．M为上一点，连接，将绕A点顺时针旋转的度数，得线段、连接、． (1)求证： (2)当点M与点重合时，求证：与相切； (3)面积的最大值为___________________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)22 【分析】（1）根据得到，继而得到，证明即可． （2）连接，根据切线的判定定理证明即可． （3）连接，计算，过点B作，交的延长线于点M，则，延长，交于点N，根据直径是圆中最大的弦，得到是边上最长的高，此时面积的最大，计算即可． 【详解】（1）根据题意得：， ∴， ∴ 又， ∴． （2）∵为中点， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴与相切． （3）连接， ∵为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点B作，交的延长线于点N， 则， 延长，交于点Q， 根据直径是圆中最大的弦，得到是边上最长的高， 此时面积的最大，此时M与Q重合， 且面积为， 故面积的最大值为22， 故答案为：22． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，切线的判定，圆的基本性质，正弦函数，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的证明，正弦函数，等腰三角形的三线合一性质是解题的关键． 7．综合与实践 问题：如何将物品搬过直角过道？ 情境：如图1是一直角过道示意图，、为直角顶点，过道宽度都是．矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为． 步骤 动作 目标 1 靠边 将如图1中矩形的一边靠在上 2 推移 矩形沿方向推移一定距离，使点在边上 3 旋转 如图2，将矩形绕点旋转 4 推移 将矩形沿方向继续推移 操作： 探究： (1)如图2，已知，．小明求得后，说：“，该物品能顺利通过直角过道”．你赞同小明的结论吗？请通过计算说明． (2)如图3，物品转弯时被卡住（、分别在墙面与上），若，求的长． (3)请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即求的最大值　　　　　．（结果保留根号） 【答案】(1)不赞同，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了，勾股定理，锐角三角函数的应用，充分理解题意正确列式是解题的关键． （1）连结，根据勾股定理，求出的长，与比较大小，即可求解， （2）过点作的平行线，交过道两侧分别于点、，根据锐角三角函数，求出、的长，即可求解， （3）根据勾股定理，根据锐角三角函数，求出、的长，即可求解， 【详解】（1） 解：如图，连结，由题知，， 则， 该物品不能顺利通过直角过道，故答案为：不赞同． （2） 解：如图，过点作的平行线，交、分别于点、， ， ， ， ， 答：的长为． （3）解：当，时，物品能通过直角过道． 当，时， ， 同理， 此时，， 故答案为． 考点二、一次函数与三角函数的综合问题 8．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交于x轴、y轴于A、B两点，一次函数的图像经过点B和点，与x轴交于点D． (1)求一次函数的解析式及点D的坐标； (2)求证：； (3)如果点P在射线上，且与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】（1）先求出点B的坐标，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；令一次函数，即可求出点D 的坐标； （2）过点C作x轴的垂线，垂足为点G，再求出点A的坐标，求出，利用的正切值相等即可证明结论； （3）分和，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于B点， 令中，，则 ∴， ∵一次函数的图像经过点B和点，则， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； ∵一次函数的图像与x轴交于点D， ∴当时，则， ∴， ∴点D则坐标为； （2）证明：过点C作x轴的垂线，垂足为点G， ∵点， ∴， ∴， ∵直线交x轴于A点， 令，则中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）知：， 如图，当点P与点C关于x轴对称时，，即且相似比为1， 此时，； 如图，当时，过点P作x轴的垂线，垂足为H， 当点P在x轴上时，， ∴， ∴不存在这种情况； ∴点P在x轴下方， ∵，， ∴， ∵点P在射线上，且位于x轴下方，直线解析式， 设点，则， ∴， ∴，即， ∴，即 ∴（舍去）或， 此时，； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及相似三角形的性质和一次函数综合应用，解直角三角形，利用数形结合以及分类讨论求出是解题关键． 9．在平面直角坐标系中（如图），一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，点是该反比例函数图像上的一个动点，连接，与y轴的正半轴交于点D．    (1)求一次函数解析式及的面积； (2)当时，求点C到x轴的距离； (3)当与x轴夹角与相等时，求m的值． 【答案】(1)，4 (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，确定，，代入解析式计算即可．设直线与y轴的交点为N，利用直线解析式计算，结合计算即可． （2）过点A作轴于点Q，过点C作轴于点R，根据三角形相似，反比例函数的性质，结合，求点C的纵坐标，再计算其绝对值即可得到与x轴的距离； （3）过点O作于点S，计算，， 过点C作轴于点T，利用等角的三角函数值相等，建立方程，结合反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据一次函数图像与反比例函数图像相交于点和， 设反比例函数的解析式为． 则， 解得， 则反比例函数的解析式为． 当时， 故点， 设一次函数解析式为， ∴， 解得， 故解析式为；． 设直线与y轴的交点为N， 则， 故， ∴．    （2）解：过点A作轴于点Q，过点C作轴于点R， 则， 故， ∴， ∵，， ∴， 解得， 故， ∴， ∴点C到x轴的距离为；    （3）解：过点O作于点S， ∵点和， ∴，， ∴， ∴， ∵点是该反比例函数图像上的一个动点， ∴，， 过点C作轴于点T， 根据题意，得， ∴， 整理，得（舍去）， ∴， 解得（舍去）， ∴．    【点睛】本题考查了待定系数法，三角函数的应用，勾股定理，反比例函数的性质，解方程，熟练掌握待定系数法，三角函数的应用是解题的关键． 10．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交x轴于点，交y轴于点B． (1)求点的坐标； (2)如图1，点在第一象限，连接、，，，若点的横坐标为，点的横坐标为，求与之间的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，在y轴上取点，连接CF，点E为AB的中点，在y轴上存在一点G，若，且，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对于，令，则可求得y的值，从而求得点B的坐标； （2）过作轴于，证明，由相似三角形的性质可得， 则由可求得与之间的函数关系式； （3）由E点为AB的中点，则得是等边三角形，则有；延长到，使，连；则有，从而有；由已知角的关系得，则可证明，得； 过作于，过作于，由，得；从而求得，；过作轴于K，则四边形是矩形，故有，；由（2）知，，求得t的值，从而得 ；过作轴于Q点，是的中位线，得，，则得，最后求得点的坐标． 【详解】（1）解：∵，令， ∴， ∴； （2）解：过作轴于， ∴； ∵A横坐标为，横坐标标为， ∴，； 在中，， ∴； ∵， ∴； 在中，, ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连，如图， ∵E点为AB的中点，， ∴， ∵， ∴三角形是等边三角形， ∴， 延长到，使，连； ∵， ∴， ∴，； ∵，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； 过作于； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴，； 过作轴于K， ∵,， ∵四边形是矩形， ∴，； 由（2）知，， ∴； ∴； ∵，由（2）有， ∴， ∴， 过作轴于Q点，则， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题是函数与几何的综合，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，矩形的判定与性质，直线与坐标轴的交点坐标，特殊角三角函数等知识，涉及较多的知识点，作了较多的辅助线，有一定的难度，熟练运用这些知识是解题的关键． 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点和点，点． (1)求直线的表达式和线段的长度； (2)连接线段，求的值； (3)设线段与x轴交于点 P，如果点C在x轴上，且 与 相似，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求直线的表达式，利用两点间距离公式求线段的长度； （2）先求出的长度，利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，则； （3）分两种情况，当时，，过点B作轴于点Q，根据求解；当时，，此时点C与点P重合． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 将和代入，得：， 解得， 设直线的表达式为， ，， ； （2）解：如图， ，， ， ，， ， ， 是直角三角形， ； （3）解：由（1）知直线的表达式为， 令，得，解得， ， 当时，，如图，过点B作轴于点Q， ， ，， ， ， 由（2）知，即， ，即， ， ， ； 当时，，此时点C与点P重合， ； 综上所述，点C的坐标为或． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，两点间距离公式，求角的正切值，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质等，能够综合应用上述知识点，以及分类讨论思想是解题的关键． 考点三、二次函数与三角函数的综合问题 12．如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式（用含a的式子表示）； (2)连接 ，，若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数与一次函数解析式，三角函数，抛物线与直线的交点，勾股定理；正确的作出辅助线，综合运用以上知识解题是解答本题的关键； （1）直接把A，B代入解析式，求出b，c进而求出解析式； （2）过点B作轴于点H，设交x轴于点D，过点D作于点E，可知，，则，，设，根据三角函数值求出的值，再求出的解析式，根据在直线上可求出． 【详解】（1）解：依题意，可得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过点B作轴于点H，设交x轴于点D，过点D作于点E，则，， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得：， 直线的解析式为， 当的时，， ， 又点在直线上， ， 解得， a的值． 13．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 （b是常数）经过点，点A、B均在抛物线上，横坐标分别为，过点A 作直线轴，过点 B 作直线 轴，两条直线相交于点C，连结． (1)求抛物线的解析式； (2)当 时，求 的值； (3)设点A 的纵坐标为，点B 的纵坐标为， 当时，求m的取值范围； (4)当的边与坐标轴有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)5 (3)或 (4)或或或 【分析】本题考查了二次函数与三角形的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，锐角三角函数，解不等式组，难度较大，正确理解运动状态，找出临界点是解题的关键． （1）把代入求出，即可得到抛物线的解析式； （2）先求出，则由即可求解； （3）可求，，则，那么①当，化简不等式得，则或，解得：或无解，故得解集为，化简得，则或，那么或，故的解集为；②当时，同理可求的解集为，因此的解集为：或； （4）分类讨论，找出几种临界状态，画图分析即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 （b是常数）经过点， ∴把代入，得 解得， ∴； （2）解：如图： ∵点A、B均在抛物线上，横坐标分别为， ∴当时，， 把分别代入，得，， ∴， ∵过点A作直线轴，过点 B 作直线轴，两条直线相交于点C， ∴，， 则； （3）解：∵点A、B均在抛物线上，横坐标分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴①当， 化简不等式得， ∴或， 解得：或无解， ∴得解集为， 化简得， ∴或 ∴或， ∴的解集为； ②当时， 同理可求的解集为， ∴的解集为：或， 综上所述：当时，求m的取值范围为：或； （4）解：①当，则， ∴点A在第二象限，点B、C在第一象限，符合题意，如图： 随着m的增大，直至，此时在轴上，那么与轴有无数个交点，不符合题意，如图： ②当，点在第四象限，点在第一象限，符合题意，如图： 随着m的增大，当点与点重合时，此时的边与坐标轴只有1个交点，则， ∴，如图： ∴符合题意，则； 随着m的增大，当点重合之后，点在点的右侧，如图： 当与重合时，则，此时在轴上，那么与轴有无数个交点，不符合题意，如图： ③∴时，符合题意，如图： 随着m的增大，当点与点重合，此时，则，则边与轴有无数个交点，不符合题意，如图： ∴符合题意，则， ④当，则，点在第二象限，点在第一象限，符合题意，如图： ， 综上所述：当的边与坐标轴有两个公共点时，或或或． 14．如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为该抛物线上一动点． ①当点P在直线下方时，过点P作轴，交直线于点E，作轴．交直线于点F，求的最大值； ②若，求点P的横坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）①当时，，即，，，待定系数法求直线的解析式为；如图1，设，则，，由，可知当时，有最大值，由轴，轴，可得，，由勾股定理得，，进而可求的最大值；②如图2，作关于轴的对称点，连接，作，使，交轴于， 由轴对称的性质可知，，，则，，，由勾股定理得，，如图2，作于，由，即，可求，由勾股定理得，，则，由，即，可求，即，待定系数法求直线的解析式为，联立，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴； （2）①解：当时，，即， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； 如图1， 设，则，， ∵， ∴当时，有最大值， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴的最大值为； ②解：如图2，作关于轴的对称点，连接，作，使，交轴于，      由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， 如图2，作于， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立，， 解得，或（舍去）， ∴点P的横坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与线段综合，二次函数与角度综合，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，正切等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与线段综合，二次函数与角度综合，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，正切是解题的关键． 15．如图，已知抛物线与关于轴对称，与轴交于点，与轴交于点和． (1)的解析式 ，试猜想出与一般形式抛物线关于轴对称的二次函数解析式为 ． (2)，的中点是点，则＝ ． (3)如果过点的一条直线与图象相交于另一点，，满足，，则点的坐标为 ． 【答案】(1)； (2) (3)或或或. 【分析】（1）可先求出抛物线的顶点坐标，然后根据两抛物线关于轴对称得出所求抛物线的顶点，可用顶点式二次函数通式来设所求的抛物线的解析式，然后将两函数轴的交点的坐标代入所求的抛物线中即可得出其解析式，两抛物线关于轴对称，其开口方向，开口大小以及与y轴的交点都一样，因此的值不变，而两函数的对称轴关于轴对称，因此值互为相反数，进而求解； （2）先求出的坐标，过点作，那么关键是求出和的长，可在直角三角形中，用的长和的正弦值求出的长，然后在直角三角形中，根据勾股定理求出的长，据此可得出的值； （3）可设直线的解析式为，由于是两函数的交点，因此可联立两函数的解析式，用表示出的值，当时，当时分别来求解． 【详解】（1）解：在中 ，， 的顶点为， 抛物线与关于轴对称， 的顶点的为． 设， 与轴的交点， 即与轴的交点， ， ∴所求二次函数为：． 猜想： 与一般形式抛物线关于轴对称的二次函数解析式是． 故答案为：；． （2） 解：过点作． 抛物线与轴的交点， ∵当时，， ∴与y轴交点，中点， 是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ． 在中，， ． 故答案为：． （3）解：设过点的直线为， 则， ， 则， 解得，， 则，， 当时，由已知是方程的解， 故， 即， 化简， 则，． ∴点的坐标是或． 当时，则， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 综上所述，的坐标是：或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了关于轴对称的函数解析式的关系，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数解析式的确定、轴对称图形、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力． 16．如图，抛物线交轴于点，点交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，，点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值以及点的坐标； (3)将二次函数沿射线平移一定的单位长度，使得平移后的抛物线过点，记平移后的点对应点为，连接，点为平移后新抛物线上一动点，若满足，直接写出符合题意所有点的横坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为， (3)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，设，则，，进而得到，，推出，即可求解； （3）根据，，可得，将二次函数沿射线平移一定的单位长度，相当于向右平移个单位，向下平移个单位，设平移后的新抛物线的解析式为，将新抛物线经过点代入可得到或，当时，新抛物线的解析式为，则，在轴上取点，连接交新抛物线于点，过点作于，则，利用待定系数法求出直线的解析式，再与新抛物线联立即可求出点的坐标；在轴上取点，连接交新抛物线于点，过点作于点，则，利用待定系数法求出直线的解析式，再与新抛物线联立即可求出点的坐标；当时，同理可求得点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线交轴于点，点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）抛物线交轴于点， ， 设直线的解析式为，将，分别代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 同理可得：直线的解析式为， 设，则， ， 轴， 点的纵坐标为，代入， 得， 解得：， ， ， ， ， 当时，取得最大值，此时，点； （3），， ，， ， ， ， 原抛物线的顶点坐标为， 将二次函数沿射线平移一定的单位长度，相当于向右平移个单位，向下平移个单位， 平移后的新抛物线的解析式为， 新抛物线经过点时， ， 解得：或， 当时，新抛物线的解析式为，则，如图， 在轴上取点，连接交新抛物线于点，过点作于，则， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 又， 是等腰直角三角形， , ， ， ， ， ， ，即， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ； 在轴上取点，连接交新抛物线于点，过点作于点， 则， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ； 当时，新抛物线的解析式为，则，如图， 在轴上取点，连接交新抛物线于点，过点作于点， 同理可得，直线的解析式为：， 联立， 解得：或（舍去）， ； 在轴上取点，连接交新抛物线于点，过点作于点， 同理可得，直线的解析式为：， 联立， 解得：或（舍去）， ； 综上所述，符合题意所有点的横坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及一次函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，三角函数，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的平移，解题的关键是正确作出辅助线，并灵活运用相关知识． 17．新定义：对于抛物线，若，则称该抛物线是黄金抛物线，若抛物线是黄金抛物线，与y轴交于点A，顶点为D． (1)求：此黄金抛物线的表达式及D点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求：的正切值． ②在射线上找一点P，使以点P、A、D所组成的三角形与相似，求：P点坐标． 【答案】(1)， (2)①；②或． 【分析】（1）根据黄金抛物线的定义，列出方程求出值，进而求出顶点的坐标即可； （2）①将点代入解析式，求出的值，求出对称轴，得到的值，进而求出的长，勾股定理逆定理，得到，利用正切的定义，求解即可；②分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解： 抛物线是黄金抛物线， ， 抛物线的表达式为， 配方得：， 点的坐标为； （2）解：①由（1）得：抛物线的对称轴是直线， 点的坐标为， 点在这个黄金抛物线上， ， ， 点的坐标为， 点在这个黄金抛物线的对称轴上， ， ， ， ， ， ， ． ②存在， 过点作，垂足为 抛物线与轴交于点， 点的坐标为， 点的坐标为， ， ， 点的坐标为， ， ， ， ， 要使以点、、所组成的三角形与相似，有两种情况 第一种：， ∵， ， ， ， ，， ， 点在射线上， 点的坐标为； 第二种：，则， 又，， ∴与全等，相似比为1， ∴， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质．利用数形结合，分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，以y轴正半轴上一点（m为非零常数）为端点，作与y轴正方向夹角为的射线l，在l上取点B，使（k为正整数），并在l下方作，，线段的中点分别为D，E． (1)当时，直接写出B，C两点的坐标； (2)若抛物线的顶点恰好为D点，且，求抛物线的解析式及此时的值； (3)当时，记线段的中点分别为，当时，记线段的中点分别为，求直线的解析式及四边形的面积（用含m的代数式表达）． 【答案】(1)B点的坐标为， C点的坐标为． (2)， (3)； 【分析】本题主要考查了二次函数综合应用、平行四边形的判定和性质、勾股定理、余弦函数等知识点，掌握数形结合思想方法是解题的关键． （1）先分别求出点B、C到x轴和y轴的距离，然后确定B，C两点的坐标即可； （2）先求出B点的坐标和C点的坐标，然后根据三角形中位线的性质得出点D和E的坐标，再根据D恰为抛物线的顶点即可得出抛物线的解析式，最后根据得出为等边三角形，从而可以得出的值； （3）先分别求出点的坐标然后即可得出直线的解析式，再根据证出四边形为平行四边形，最后通过解直角三角形得出的长，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）解：过点B作轴，交y轴于点F，过点C作轴，垂足为G，交直线于点H， ∵当时，， ∴， ∴， ∴B点的坐标为， 同理可得：C点坐标为； ∴B点的坐标为， C点的坐标为； （2）解：当时，，与（1）同理可得B点的坐标为，C点的坐标为． 如图，过点B作y轴的垂线垂足为F，过点C作x轴的垂线，垂足为G， 两条垂线的交点为H，作于点M，于点N． 由三角形中位线的性质可得点D的坐标为，点E的坐标为． 由勾股定理得． ，即， ． 恰为抛物线的顶点，它的顶点横坐标为， ．解得． ∴抛物线的解析式． 此时D，E两点的坐标分别为． ． ． ∴此时为等边三角形，． （3）解：点的坐标分别为． 设直线的解析式为 则，解得 ∴直线的解析式为． 可得直线与y轴正方向的夹角为． 直线，与y轴正方向的夹角都等于， ． 两点的坐标分别为， 由勾股定理得， ， ∴四边形为平行四边形． 设直线与y轴的交点为P，作于Q．（如图） 可得点P的坐标为． ， ． 19．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与x轴、轴分别相交B，C，抛物线与轴交于点A，点B，且． (1)求和的值． (2)点P是直线上方抛物线上任意一点，设点P的横坐标为，连接．四边形的面积为S，求S与的函数关系式． (3)点P为抛物线上的一点，连接，当，求P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】本题是二次函数综合，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积综合，二次函数与特殊角度，正切函数等知识点； （1）求出，，再代入计算即可； （2）过作轴于，利用割补法得到，代入求面积即可； （3）由，，可得，，，当且点在轴上方时，即可得到，连接交轴于，过作于，可得 ∴，求出，再求出直线解析式与抛物线联立即可求出；作关于轴对称点，此时，求出直线解析式再与抛物线联立求出． 【详解】（1）解：∵线与x轴、轴分别相交B，C，当时，；当时，； ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，代入可得， 解得； （2）解：由（1）可得抛物线解析式为， ∵点P是直线上方抛物线上任意一点，设点P的横坐标为， ∴，且， 过作轴于，则， ∴，，， ∴ ， ∴； （3）解：∵，，， ∴，， ∴，，， 当且点在轴上方时，连接交轴于，过作于，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设直线解析式为，代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∵， ∴； 作关于轴对称点，此时，直线解析式为， 联立，解得或， ∵， ∴； 综上所述，P的坐标，． 考点四、反比例函数与三角函数的综合问题 20．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接，若，，则m的值是（   ） A．64 B．48 C．40 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，过作轴交于，由直线的解析式可求 ，由三角形的面积求得，由正切函数得，可求点的坐标，即可求解；能通过三角形的面积及正切函数求出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：过作轴交于， 直线， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故选：B． 21．如图，在中，两直角边分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且，将绕点B逆时针旋转后得到，若反比例函数的图象恰好经过斜边的中点C，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】作于D，设，根据正切定义得到，证明，则，得到，由点C为斜边的中点得到，则，解得：或（负值舍去），得到，，即可求出的面积． 【详解】解：作于D，则， 设， ∵ ∴， ∴， ∵绕点B逆时针旋转后得到， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点C为斜边的中点， ∴， ∵反比例函数的图象恰好经过斜边的中点C． ∴， 解得：或（负值舍去）， ∴，， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数的图象和性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、正切的定义、直角三角形斜边中线的性质等知识，构造全等三角形是解题的关键． 22．已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，过点作轴，过点作轴，根据值的几何意义，得到，，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值，即可． 【详解】解：过点作轴，过点作轴，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点与点分别在反比例函数与的图像上， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 23．已知函数的图象如图所示，点P是y轴正半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接、．若，则 ． 【答案】 【分析】设点的坐标为，则，，得到，，，证明，求出，再由勾股定理得出，最后由正切的定义即可得解． 【详解】解：设点的坐标为， ∵轴， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 24．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过作轴于点，且．    (1)求反比例函数表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据直线解析式求点坐标，得的长度；根据三角函数定义可求的长度，得点的横坐标；根据点在直线上可求点的坐标．从而可求的值； （2）根据反比例函数解析式可求点坐标；作点关于轴的对称点，连接与轴的交点就是满足条件的点位置，进而即可求解． 此题考查反比例函数与一次函数的综合应用，三角函数定义，涉及线路最短问题，难度中等． 【详解】（1）解：由可知，即． ， ． 轴， 点的横坐标为1． 点在直线上， 点的纵坐标为4．即． 点在上， ． ∴反比例函数解析式为． （2）解：存在．过程如下： 过点作关于轴的对称点，连接，交轴于，连接，如图所示：    此时最小． 点在反比例函数上， ，即点的坐标为． 与关于轴的对称， 的坐标为． 设直线的解析式为． 把和代入，得， 解得 直线的解析式为． 令，得． 点坐标为， 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，为反比例函数图象第四象限上的一点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)当与的面积相等时，求此时点的坐标； (3)我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点是平面内一点，是否存在这样的，两点，使四边形是“垂等四边形”，且该四边形的两条对角线相交于点，？若存在，求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)， (3)存在，， 【分析】（1）根据直线与反比例函数的图象交于两点，可计算的值，并确定的值，联立一次函数和反比例函数的关系式建立方程组，解方程组可得点的坐标； （2）过点作轴，交于，设点的坐标为，求出直线的解析式为，进而得到，根据列方程解题即可； （3）如图2，过点作轴于，过点作轴，过点作于，证明，根据正切的定义可得，可得的解析式为，列方程可得点的坐标，证明是等腰直角三角形，可得也是等腰直角三角形，则，根据列方程可得结论． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， ， ， ∴反比例函数的表达式为：， 则， 解得：， ． （2）解：如图1，过点A作轴，交于P，设点C的坐标为， ， ∴的解析式为：，当时，， ， 设的解析式为：， 则，解得：， ∴的解析式为：， ， ∵与的面积相等， ， 即， ， 解得：（负值已舍去）， ∴，． （3）解：存在，如图2，过点作轴于，过点作轴，过点作于， 在中，当时，， ， ， ， ∵四边形是“垂等四边形”， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ， ， 设直线的解析式为：，将点的坐标代入得：， ， ∴的解析式为：， ， 解得：或（舍）， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ∴也是等腰直角三角形， ， ， 同理得：的解析式为：，设， ， ， 解得：（舍）， ． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数知识的综合运用，相似三角形的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤，正确求出双曲线与直线的交点坐标是解题的关键． 26．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； (3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形： （1）先求出得到，再解直角三角形得到，则，据此利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析式即可； （2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据，求解面积即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：联立 解得或， ∴； 设， 由题意得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， ∴关于的不等式的解集为或． 考点五、三角形与三角函数的综合问题 27．如图，在等边三角形中，D是上的点，连接，，P在上，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查求角的正切值，等边三角形的性质以及勾股定理等知识，过点A作交的延长线于点H，求出，，过点A作于点G，求出，过点P作于点Q，运用等积关系得出，由勾股定理得出，再求出的正切值即可． 【详解】解：过点A作交的延长线于点H，如图， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 过点A作于点G， ∴即 ∴， 又, ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 又， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴， 过点P作于点Q， ∴ ∴ ∴； 在中，， ∴， 故答案为：． 28．如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于C，点D在边上，，与交于点F，连接，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】如图，过点C作于点M，过点E作于点N，利用特殊角的三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，解答即可． 【详解】解：如图，过点C作于点M，过点E作于点N， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，熟练掌握特殊角的三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 29．在锐角三角形中，，点D，E分别是边，上一动点，连接交直线于点F． (1)如图1，若，且，求的度数． (2)如图2，若，且，在平面内，将线段绕点C顺时针方向旋转得到线段，连接，点是的中点，连接．在点，运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想． (3)若，且，将沿直线翻折至所在平面内得到，点H是的中点，点K是线段上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接．在点D，E运动过程中，当，且时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）在上取一点，使得，证明，根据全等三角形的性质和等边对等角以及邻补角的性质求出，然后根据四边形内角和定理即可得出答案； （2）先证明是等边三角形，再证明，得出，进一步得出，延长至，使，连接，证明为等边三角形，得到，证明，得出为等边三角形后即可求解； （3）确定点的轨迹，得到圆心点，得到，利用翻折的性质得到，设，求出，，，利用面积法求出，得出，由即可求解． 【详解】（1）解：如图1，在上取一点，使得， ∵，， ∴（SAS）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）， 证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴（SAS）， ∴， ∴， ∴， 延长至，使，连接， ∵点是的中点， ∴ ∵，，， ∴（SAS）， ∴，， ∴， 由旋转的性质得， ∴， 在上截取，连接，连接， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，即； （3）由（2）知， ∴轨迹为如图3-1中圆弧，O为所在圆的圆心， ∵，， ∴垂直平分， ∴平分， ∴， ∵将沿直线翻折至所在平面内得到， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图3-2，作于L， 设， 在中，，即， ∴， ∴，， 设与交于点R，则垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正切等知识，涉及知识点较多，解决本题的关键是理解题意，正确作出辅助线构造全等三角形或等腰三角形． 30．如图，中，，．动点、分别从点、同时出发，点以每1个单位长度的速度沿向终点运动，点沿折线向终点运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒3个单位长度，连结．设点的运动时间为． (1)用含的代数式表示的长． (2)求点到边的距离． (3)________． (4)当时，以为对角线作矩形，且点在边上，当时，求的值． 【答案】(1)当时，；当时，； (2) (3) (4)当时，；当时，． 【分析】（1）分两种情况讨论，当和时，根据题意分别列式即可； （2）过点作于点，利用等腰三角形的性质结合勾股定理即可求解； （3）在中，利用余弦函数的定义求解即可； （4）分①当时，由余弦函数的定义求得，由等腰三角形的判定和性质求得，得到，解方程即可；②当时，推出，利用平行线分线段成比例定理列式求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； （2）解：过点作于点， ，且， ∴， 在中，由勾股定理得： ； （3）解：在中，，， ∴； （4）解：①当时，在矩形中， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴； ②当时，若，则， ∴， ∵， ∴， ∴, 即， ∴． 【点睛】本题考查了余弦函数，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元一次方程．分类讨论是解题的关键． 31．中，分别在上，，连接，作交于，交于交于． (1)如图1，． ①求的正弦值； ②若，求； (2)如图2，，连接，若四边形为梯形，请直接写出的长． 【答案】(1)①；② (2)或． 【分析】（1）①过点D作交于H，于G，先证明，再证明得到，进一步证明，得到，则由三线合一定理得到，则，由勾股定理得到，则；②设，则，先证明，得到，再证明，得到；如图所示，过点O作于T，证明，得到；根据，得到，则，，进而得到，解得，则； （2）如图所示，过点D作于H，证明是等腰直角三角形，得到，再证明，得到是等腰直角三角形，则，；设，则，，由勾股定理得，解得 则，；当时，证明，得到，设，可得；再证明，得到，则，进一步证明，得到，则，进而证明；过点E、N分别作的垂线，垂足分别为G、K，由等面积法求出；则；设，则，由勾股定理得，解得，则；证明，推出，设，同理可证明是等腰直角三角形，则，进而可得，解得，则；进而可证明；过点O作交延长线于T，则是等腰直角三角形，则，，由勾股定理可得，则；如图所示，当时，则，可证明，由上面可知，，则． 【详解】（1）解：①如图所示，过点D作交于H，于G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； 如图所示，过点O作于T， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点D作于H， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）； ∴，； 如图所示，当时， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点E、N分别作的垂线，垂足分别为G、K， ∵， ∴； ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 同理可证明是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点O作交延长线于T，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当时，则， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由上面可知，， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键． 考点六、四边形与三角函数的综合问题 32．如图，点E为正方形对角线上一点，连接，作，交于点F，作交于点H，垂足为，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过E作于M，过F作于N，则可证明，从而；设，则，；由，得，从而得，由，得， 从而求得，由即可求解． 【详解】解：如图，过E作于M，过F作于N； ∵四边形为正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴，； 设， 则，； ∵， 即， ∴； ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵于G， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，矩形的判定与性质，正切函数，勾股定理等知识，构造全等三角形是解题的关键． 33．如图，已知在矩形中，E是上一点，连接，将沿翻折，使B落到F处，延长交延长线于G． (1)求证：． (2)若，则的长为______． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】（1）证明，根据等角对等边可得：； （2）设，则，在中，由勾股定理列方程可得的值． 【详解】（1）证明：由折叠得：， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． （2）解：∵四边形是矩形， ， ，， ， 由折叠得：，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、角的正切、等腰三角形的判定，矩形的性质和勾股定理的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 34．数学活动课上同学们进行探究活动，先将两个相似的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个三角形纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质． 【初步感知】（1）如图，在和中，若，，连接、，直线、相交于点，试探究____________，____________； 【深入探究】（2）如图，若，，点为线段上一点（不与点重合），连接，若，探究的值； 【拓展创新】（3）如图，在中，，点为边上的动点，过点作射线，使．当点运动到边中点时，射线交于点，此时．过点作交射线于，在点从运动到的过程中，求折线扫过的面积． 【答案】（1）， （2） （3） 【分析】（1）延长、相交于点，交于点，由已知条件可证得，根据相似三角形的性质可得，，再利用对顶角相等和三角形的内角和定理即可求出； （2）过点作于点，可证得，进而可证得，于是可得，设，则，进而可求得，，，由已知条件可证得，根据相似三角形的性质可得，于是可求得，，，至此即可求出的值； （3）过点作于点，作交延长线于点，作交于点，作，构造，其中为动点的轨迹，当点在中点时，可证得，于是可得，进而可求得，然后可证得，于是可得，进而可求得，过点作于点，设，则，由勾股定理得，即，解方程即可求得，进而可求得，，，，，由可得，于是可求得，在点从运动到的过程中，线段扫过的面积为，线段扫过的面积为，因而，根据“折线扫过的面积”即可得解． 【详解】解：（1）如图，延长、相交于点，交于点， ， ， ， ， ， ，， 又， ， ， ， 故答案为：，； （2）如图，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ； （3）如图3（1），过点作于点，作交延长线于点，作交于点，作，构造，其中为动点的轨迹， 当点在中点时， ， ，即， ， ， ， ， ， 又，即， ， ，即， ， 解得：或（不合题意，故舍去）， 如图3（2），过点作于点， ， 设，则， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ， ， ， ， ， 又， ， 即：， ， 在点从运动到的过程中，线段扫过的面积为，线段扫过的面积为（如图4所示）， 折线扫过的面积． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，相似三角形的判定与性质，对顶角相等，三角形的内角和定理，垂线的性质，同位角相等两直线平行，等式的性质，勾股定理，已知正切值求边长，相似三角形——动点问题，两直线平行内错角相等，直接开平方法解一元二次方程，解一元一次方程，求角的正切值，求角的正弦值，已知正弦值求边长，三角形的面积公式等知识点，巧妙添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 35．小明和小刚走进教室，跟随李老师探究“矩形折叠中的相似三角形”问题．请你一同作答：如图，已知在矩形中，，，点E为边上一点（不与点A、点B重合），先将矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H． (1)观察发现 写出图1中一个与相似的三角形： ． (2)迁移探究 当与的交点H恰好是的中点时，如图2．求阴影部分的面积． (3)拓展应用 当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，求的长． 【答案】(1)或（写出一个即可） (2)阴影部分的面积是 (3)的长为或 【分析】本题考查相似三角形综合应用，涉及矩形性质及应用，翻折变换，含特殊角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及性质定理． （1）由，，可得，故，从而； （2）点H是的中点，，，，再证，求出，根据三角形面积公式得阴影部分的面积即可； （3）分两种情况：①设的中点为K，的中点为T，直线为矩形的对称轴，当F在上时，求出，设，则， 再证明，即可求解；②设的中点为N，的中点为M，直线为矩形的对称轴，当F在直线上时，求得，得，，，故，根据，即可解答． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或（写出一个即可）； （2）∵点H是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是； （3）①设的中点为K，的中点为T，直线为矩形的对称轴，当F在上时，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得； ∴； ②设的中点为N，的中点为M，直线为矩形的对称轴，当F在直线上时，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； 综上所述，当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，的长为或． 36．如图，在矩形中，点为边上一点，将沿翻折，使点恰好落在边上的点． (1)如果，求的长； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据是翻折得到的，得到，根据勾股定理可得的长，从而得到的长，证明，得到，从而求出的长； （2）根据，得到，所以，设，，可得到，，的长，根据，得到，将求出的值代入化简会得到关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，然后可求出，，，的值，代入即可． 【详解】（1）解：∵是翻折得到的， ∴，， ∴， 在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ，， ， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会运用方程的思想思考问题． 37．如图，在菱形中，，为对角线，点E是边延长线上的任意一点，连结交于点F，平分交于点G． (1)求证； (2)若，求的值． (3)若，当的大小发生变化时，在上找一点T，使为定值，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据菱形的性质和平分，可得，即可证明； （2）连接交于点，交于点，根据勾股定理求出，由证明，则，所以，再由得，可由，得，可求得，进而求出； （3）过点作，交于点，则为定值，连接交于点，交于点，由可知，当的大小发生变化时，始终都有，由得，，所以，同理可得，再证明，利用相似的性质即可求出． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， 平分， ， ； （2）解：连接交于点，交于点， 四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作，交于点，则T为所求，为定值，理由如下： ， 当的大小发生变化时，始终都有， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为定值． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角函数，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 38．在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． (1)操作判断 小红将两个完全相同的矩形纸和拼成“”形图案，如图①．试判断：的形状为______． (2)深入探究 小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，． 探究一：①若矩形绕点顺时针旋转，当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②，求的面积． 探究二：②若矩形绕点逆时针旋转，边与边交于点，连接，当时，如图③．请直接写出的值． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)探究一：；探究二： 【分析】（）正确，可得，，进而可得，据此即可求解； （）探究一：证明可得，又由三线合一可得，得到，在利用勾股定理可得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解； 探究二：由补角性质可得，即可得，进而由平行线的性质得到，即到，得到，即得到，得到，进而由平行线的性质得到，即得，最后求出即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形和是两个完全相同的矩形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）解：探究一：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积； 探究二：∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，三角形函数，旋转的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 考点七、圆与三角函数的综合问题 39．如图，经过坐标轴的O、C、D三点，、，是的一条弦，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，求角的正弦值，圆周角定理，先根据勾股定理解求出，进而求出，再根据圆周角定理得出，即可得出的值． 【详解】解：如图，连接，   ，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 40．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，的半径为1，P是上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ． 故选：B． 41．如图，已知经过顶点A、B，交边于点D，交边于点E． (1)如果，求证：． (2)如果点A是弧的中点，，，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）由，可得，则，，进而可证； （2）如图，连接，连接并延长交于，连接，由点A是弧的中点，可得，，则，由，可求，设的半径为，则，，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，连接并延长交于，连接， ∵点A是弧的中点， ∴，， ∴， ∴， 解得，， 设的半径为，则，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查了弧、圆周角、弦的关系，等角对等边，垂径定理，正弦，勾股定理等知识．熟练掌握弧、圆周角、弦的关系，等角对等边，垂径定理，正弦，勾股定理是解题的关键． 42．如图，是⊙O的弦的中点，是劣弧上一点，半径与线段交于点，已知，． (1)求线段的长； (2)当时，求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，先根据垂径定理得出，，在中，根据勾股定理即可得出结论； （2）在中，设，则，，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 过圆心，且是弦中点， ，， 在中，， ，，即 ； （2）解：在中，， ， 设，则，， ，即，则， 解得（舍，， ，． 在中，． 【点睛】本题考查圆综合，涉及垂径定理、勾股定理、解一元二次方程及三角函数定义等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 43．为⊙O的直径，弦，垂足为，为弧CD上一点，，连接交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，过点作，垂足为，交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解答本题的关键 （1）连接，证明再根据三角形内角和定理可得即可得出结论； （2）根据三角形内角和定理证明，由圆周角定理得出，可得，再证明，即可得出结论； （3）连接，设，，，证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，连接得，求出可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径，且弦， ∴， ∴，即 又所对的圆是和， ∴ ∵ ∴， ∵， ∵ ∴ ∴； （2）证明：∵ ∴ ∵ 又 ∴ ∵所对的圆周角是和， ∴ 又 ∴， ∴； （3）解：由题意得，，，, 设，，， 连接， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 又， ∴是等腰直角三角形， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ 连接得， ∴ 在中，， ∴ 又 ∴． 44．如图，为的外接圆，弦，垂足为E，直径交于点G，连接，．若，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据平行线的判定定理得到，推出，得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）设，得到，根据勾股定理得到，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）如图：过点D作于H，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，求得，再根据三角函数的定义即可解答． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴∠ADC=∠ABC， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图：过点D作于H， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆和外心、平行四边形的判定、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、圆周角定理等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 45．如图，在中，是直径，是的平分线，分别交于点E，于点F，点D在的延长线上，连接，，． (1)求的度数． (2)求证：是的切线． (3)连接，过点E作于点H，若，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角即可求解； （2）如图，连接，，由圆周角定理得，再由，，得，，进而求得，即可证明结论； （3）先证是等腰直角三角形，得，由勾股定理求得，结合，得，可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴． ∵是的平分线， ∴． （2）证明：如图，连接，． ∵， ∴ ∵，， ∴，， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． （3）∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴，， 在中，． 【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定及性质，切线的判定，勾股定理，利用正切值求线段长度等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 考点八、相似三角形与三角函数的综合 46．如图，已知在中，点D是边上一点，且，点E是边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角函数等知识，添加适当的辅助线是解答本题的关键． （1）证明即可； （2）过点作于点，再根据等腰三角形的性质以及三角函数即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ∴， ； （2）解：过点作于点， ， ， ， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 47．如图，在矩形中，是边的中点，连接，过点作于点，交边于点，连接．给出下面四个结论： ①． ②在不添加辅助线和其它字母的前提下，图中相似三角形只有6对． ③若，，则． ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，根据矩形的性质利用两角对应相等的两个三角形全等判断①；然后得到，即可得到，判断②；然后根据勾股定理计算长，然后根据，判断③；设，则，，计算长，然后过点D作于点M，得到，即可得到和长，即可求出判断④． 【详解】解：∵是矩形， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∴， 即图中相似三角形只有6对，故②正确； ∵，， ∴， ∴， 又∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 即，故③错误； 设，则，， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 过点D作于点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的为：①②④， 故答案为：①②④． 48．【问题引入】如图1，等边，D为BC边上一点，E为AC边上一个点；且，求证：． 【模型运用】如图2，在中，，D为AC边上一点，连接BD且，已知，求CD的值． 【能力提升】如图3，在中，D为AC边上一点，连接BD且，，且，直接写出的值． 【答案】【问题引入】：见解析；【模型运用】：2；【能力提升】 【分析】由，可证得； 过点D作于E，设，则，进而表示出，，，根据勾股定理得，，再判断出，先得出AB，进而建立关于x的方程，即可得出答案； 过点A作于M，延长MB至G，使，判断出，得出，根据，设，则，进而表示层，进而表示出（舍去负值），即可得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【模型运用】解：如图2，过点D作于E， ∴， 设，则， 在中， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍去）或（舍去）或， ∴； 【能力提升】解：如图3． 过点A作于M，延长MB至G，使， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴． 【点睛】此题事相似三角形综合题，主要考查了等边三角形性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 49．中，，分别在上，，连接，作交于M，交于N，交于O． (1)如图1，． ①求的正弦值； ②若，求； (2)如图2，， ，连接，若四边形为梯形，请直接写出的长． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①分别过作的垂线，垂足为，首先根据三角形相似的判定得出，再得出，根据平行线的性质得四边形为矩形，结合题意得出，，根据全等三角形的判定得出，得出，再由勾股定理得出，最后由正弦函数的定义即可求得结果； ②过点作的垂线，垂足为点，设，得出，证出，得出，再由锐角三角函数的定义和勾股定理可得，，最后由勾股定理列方程求出，即可得出的值； （2）过于，证明为等腰直角三角形，根据相似三角形的性质和勾股定理证明，过点分别作的垂线于，得出，再过作交延长线于，求出的值． 【详解】（1） 解：①分别过作的垂线，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在四边形中，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ≌， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ②过点作的垂线，垂足为点， ， 设， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得， 当时，，舍去， ， ； （2）解：如图，过于， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ； ， ， 为等腰直角三角形， ； ， ； 设， 则， ； 在中，有， ， 解得， 其中，不符合题意，舍去， ， 当时，有， ； 设，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ； 过点分别作的垂线于， ， ， ； 设， ； 在中，有， ， ， ； ，， ， ； 设， 又为等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ； 过作交延长线于， 为等腰直角三角形， ， ， ， ； 当时, ， 又， 为等腰直角三角形， 则由以上可知，，， ； 综上可知或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，平行四边形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角函数，添加合适的辅助线是解题的关键． 50．已知：正方形的边长为4，点为边的中点，点为边上一动点长，沿翻折得到，直线交边于点，交直线于点． (1)如图，当时，求的长； (2)如图，当点在射线上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)延长交直线于点，若，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先确定，即，然后利用，列出比例式求出的长度； （2）根据，求出的表达式；由，列出比例式求解； （3）本问分两种情形，分别作图，运用数形结合思想以及相似三角形的性质进行列式计算，即可得出结论． 【详解】（1）解：由翻折性质，可知为的角平分线，且． 点为中点， ， 为的角平分线． ， ，即， ， ， 即． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 即， 解得：． （2）解：由（1）知， ，即， ， ． ， ， 又，， ， ∵ ∴ 或， 此时x无解， ． （3）解：由题意知：． ①当点在线段的延长线上时，如答图1所示． ∵， ∴， ， ． ， ， ， ； ②当点在线段的延长线上时，如答图2所示． ∵， ∴． 同理可得：， ， ， ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是几何综合题型，主要考查了相似三角形、正方形、解直角三角形、角平分线等几何知识点．难点在于第（3）问，有两种情形，不要漏解． 51．如图，四边形中，，，，． (1)如图①，为边上的一动点，点是的中点，则的最小值是________． (2)如图②，若为边上一点，以，为边作平行四边形，请问对角线的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由． (3)如图③，若为边上任意一点，延长到，使（为常数），以、为边作平行四边形，请探究对角线的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的长最小值为 (3)存在，的最小值为 【分析】（）当时，的值最小，过点作于，可得四边形和四边形都为矩形，得到，，即得，，进而可得，即可求出的最小值； （）过点作，交的延长线于，证明得到，即得，当时，的长最小，即为； （）由及平行四边形的性质可得， 作，交的延长线于，过点作，交的延长线于，证明，得到，即得，，过点作于，则四边形是矩形，可得，进而由三角形函数得到，当时，的长最小，即为长，据此即可求解． 【详解】（1）解：如图，当时，的值最小，过点作于，则， ∵， ∴四边形和四边形都为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：； （2）解：存在，理由如下： 如图，过点作，交的延长线于，则， ∵， ∴， ∴，     ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴ ， 即， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，的长最小，即为； （3）解：存在，理由如下： ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 作，交的延长线于，过点作，交的延长线于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 过点作于，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，的长最小，即为长， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，解直角三角形，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 考点九、网格图背景下的三角函数应用 52．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则的正切值是 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求正切，连接，再根据勾股定理求出，进而说明是直角三角形，然后根据正切定义解答． 【详解】解：连接， 根据勾股定理，得， ∴， ∴是直角三角形． 在中，， ∴． 故答案为：． 53．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，两条网格线的交点叫格点，的顶点A、B、C都在格点上，仅用无刻度的直尺，在网格中完成画图． (1)在边上画出点D，使； (2)在（1）条件下，△ACD面积是____． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查作图应用与设计作图，等腰直角三角形，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 （1）取格点T，P，Q，连接，交于点O，连接交于点D，点D即为所求（由，推出，推出； （2）利用平行线等分线段定理解决问题即可． 【详解】（1）取格点T，P，Q，连接，交于点O，连接交于点D，点D即为所求，如图所示： ，，， ， ，， ，， ． ， ， ， ， （2）解：由图可知：， ， ， ． 54．在如图的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A、在小正方形的格点上，在图1，图2中各画一个三角形，满足下列要求： (1)在图1中画一个，点在小正方形格点上，且的面积为5； (2)在图2中画一个，使中有一个角为，点在小正方形格点上，且的面积为3，请直接写出的值______． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析， 【分析】本题主要考查勾股定理及三角函数，熟练掌握勾股定理及三角函数是解题的关键； （1）根据勾股定理可进行作图； （2）根据题意可直接进行作图，然后由格点图结合角的正弦值可进行求解． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：所作图形如图所示： 由格点可知：， ∴； 故答案为． 55．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图．要求： (1)在图①中画，使得． (2)在图②中画，使得． (3)在图③中画，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）取格点，根据勾股定理可得，根据勾股定理逆定理可得，则，则即为所作； （2）取格点，连接，，相交一点即为点D，则由矩形得，由上可知，则，则即为所作； （3）取格点，连接，，相交一点即为点E，由得，则，同上可知，则，则即为所作． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：即为所作； （3）解：即为所作； 【点睛】本题考查作图—无刻度直尺作图，勾股定理及其逆定理，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数．利用数形结合的思想是解题关键． 56．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先在边上画点F，使，再在边上画点G，使； (2)在图2中，在对角线上画点H，使，再在直线上取一点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据相似三角形的性质作图即可求解； （2）先过点作的垂直线，再结合中位线的性质，作关于的对称点，根据题意连接即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，根据网格的特点，找到距离A点下方一个单位格点，距离B点上方三个单位长的格点，连接两格点交于，则， 同理找到右边的格点连线交于，连接，则，， ， ， ； 则即为所求， ； （2）解：如图2所示，根据题格点可得，找到点，使得， 则， ， ， 即于点， 作平行四边形，设交于点， 倍长找到，，延长交于，同理得，， 是关于的对称点， 连接交于点，点即为所求， ． 【点睛】本题考查了复杂作图，三角函数的定义，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质与判定，找出格点中符合题意角度的正切值是解题的关键． 57．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的 网格， 的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． (1)在图①中，点D为的边的中点，在边上找一点E，连接，使 的面积为面积的 ； (2)在图①中，连接，则 _______； (3)在图②中，在的边上找一点F，连接，使 ． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)图见解析 【分析】（1）取的中点，连接，即可． （2）根据网格的特点，得到，勾股定理求出的长，利用正切的定义求出的值即可； （3）取的中点，取的中点，连接，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由作图可知：是的中位线， ∴， ∴， ∴， 即：的面积为面积的； （2）解：由图可知：， 则，， ∴； （3）解：如图，即为所求； 由作图可知：， ∴． 【点睛】本题考查网格作图，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，以及网格的特点，是解题的关键． 考点十、构造直角三角形求值 58．如图，在中，D是的中点，，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数的定义．过点作，交于E，得到，设，则，再根据已知条件与平行线的性质得到，即，进而求得，，进而求出角的函数值． 【详解】解：过点D作，交于E，如图， ∴， 在中， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴； 在中，，， ∴， ∴． 59．如图是由六个全等的菱形组成的网格图，菱形的顶点称为格点，A、O、B、C均在格点上，当菱形的边长为1且时，则 【答案】 【分析】如图，连接．只要证明即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判断和性质、直角三角形的判定和性质等、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 60．已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是 ． 【答案】 【分析】过点C作于D，过点B作于E，的延长线交直线c于点F，设间的距离为a，得到，根据同角的余角相等求出，然后证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，再求出，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点C作于D，过点B作于E，的延长线交直线c于点F，设间的距离为a， ∵， ∴， 设间的距离为a， ∴ ∵，， ∴， 在等腰直角中，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，勾股定理等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 61．如图，是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上．若，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的正切值，等边三角形的性质，过点A作于点G，根据等边三角形的性质得出，证明，求出即可． 【详解】解：过点A作于点G，如图所示： 是边长为6的等边三角形， ， ， ， ， 在中， ∴． 故答案为：． 62．如图，在四边形中，，，，．则的长的值为 ． 【答案】 【分析】如图，延长BC，AD交于E，解直角三角形分别求出AE、DE、CE、BC的长，再运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，延长BC，AD交于E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴BC=BE-CE=， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，理解题意、明确思路、正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 63．如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】过点N作CD的垂线交于点E，根据对折和平分线可以得到，再利用三角函数可以求出，，最后利用勾股定理可以求出CN的长． 【详解】解：如图，过点N作CD的垂线交于点E 由折叠可知： ，， ∵AN平分 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴在中，由勾股定理可得： 故选：C 【点睛】本题考查了折叠的性质、解直角三角形以及勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． 64．构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算时，构造出如图所示的图形：在中，，延长到D，，连接，得．根据此图可求得的结果 ． 【答案】/ 【分析】可得是等腰直角三角形，设，由勾股定理得，则，故． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，由勾股定理得 ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了求角的正切值，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角，属于中考常考题型． 65．如图，矩形，，，将矩形绕点A顺时针旋转得矩形，连接、，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，求解锐角的正切，掌握基础知识是解本题的关键． 如图，连接，证明，，可得，，，从而可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵，，将矩形绕点A顺时针旋转得矩形， ∴，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ， ， ， ∴． 故答案为：1． 试卷第2页，共154页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十八章 锐角三角函数综合题拓展训练 目录与链接 考点一、利用三角函数求最值………………………………………………………………………2 考点二、一次函数与三角函数的综合问题………………………………………………………14 考点三、二次函数与三角函数的综合问题………………………………………………………26 考点四、反比例函数与三角函数的综合问题……………………………………………………56 考点五、三角形与三角函数的综合问题…………………………………………………………69 考点六、四边形与三角函数的综合问题…………………………………………………………86 考点七、圆与三角函数的综合问题………………………………………………………………105 考点八、相似三角形与三角函数的综合…………………………………………………………116 考点九、网格图背景下的三角函数应用…………………………………………………………136 考点十、构造直角三角形求值……………………………………………………………………144 考点一、利用三角函数求最值 1．如图，在平面直角坐标系中，，点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于E、F，则线段的最大值为 ． 2．如图，在平行四边形中，与交于点O，，，．点P从B点出发沿着方向运动，到达点O停止运动．连接，点B关于直线的对称点为Q．当点Q落在上时，则= ，在运动过程中，点Q到直线的距离的最大值为 ． 3．如图，在中，已知，D为直线边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，若，则的最小值为 ． 4．如图，，点 P在射线上，且，点 Q是射线 上一动点． 将沿折叠，点O落在平面内点 C处．点 D在射线上，且，则的最小值为 ． 5．在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别、．以为斜边在右上方作．设点坐标为，则的最大值为 ． 6．如图，中，为中点，以为圆心，长为半径作，交与点E．M为上一点，连接，将绕A点顺时针旋转的度数，得线段、连接、． (1)求证： (2)当点M与点重合时，求证：与相切； (3)面积的最大值为___________________． 7．综合与实践 问题：如何将物品搬过直角过道？ 情境：如图1是一直角过道示意图，、为直角顶点，过道宽度都是．矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为． 步骤 动作 目标 1 靠边 将如图1中矩形的一边靠在上 2 推移 矩形沿方向推移一定距离，使点在边上 3 旋转 如图2，将矩形绕点旋转 4 推移 将矩形沿方向继续推移 操作： 探究： (1)如图2，已知，．小明求得后，说：“，该物品能顺利通过直角过道”．你赞同小明的结论吗？请通过计算说明． (2)如图3，物品转弯时被卡住（、分别在墙面与上），若，求的长． (3)请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即求的最大值　　　　　．（结果保留根号） 考点二、一次函数与三角函数的综合问题 8．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交于x轴、y轴于A、B两点，一次函数的图像经过点B和点，与x轴交于点D． (1)求一次函数的解析式及点D的坐标； (2)求证：； (3)如果点P在射线上，且与相似，求点P的坐标． 9．在平面直角坐标系中（如图），一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，点是该反比例函数图像上的一个动点，连接，与y轴的正半轴交于点D．    (1)求一次函数解析式及的面积； (2)当时，求点C到x轴的距离； (3)当与x轴夹角与相等时，求m的值． 10．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交x轴于点，交y轴于点B． (1)求点的坐标； (2)如图1，点在第一象限，连接、，，，若点的横坐标为，点的横坐标为，求与之间的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，在y轴上取点，连接CF，点E为AB的中点，在y轴上存在一点G，若，且，求点E的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点和点，点． (1)求直线的表达式和线段的长度； (2)连接线段，求的值； (3)设线段与x轴交于点 P，如果点C在x轴上，且 与 相似，求点C的坐标． 考点三、二次函数与三角函数的综合问题 12．如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式（用含a的式子表示）； (2)连接 ，，若，求a的值． 13．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 （b是常数）经过点，点A、B均在抛物线上，横坐标分别为，过点A 作直线轴，过点 B 作直线 轴，两条直线相交于点C，连结． (1)求抛物线的解析式； (2)当 时，求 的值； (3)设点A 的纵坐标为，点B 的纵坐标为， 当时，求m的取值范围； (4)当的边与坐标轴有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 14．如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为该抛物线上一动点． ①当点P在直线下方时，过点P作轴，交直线于点E，作轴．交直线于点F，求的最大值； ②若，求点P的横坐标． 15．如图，已知抛物线与关于轴对称，与轴交于点，与轴交于点和． (1)的解析式 ，试猜想出与一般形式抛物线关于轴对称的二次函数解析式为 ． (2)，的中点是点，则＝ ． (3)如果过点的一条直线与图象相交于另一点，，满足，，则点的坐标为 ． 16．如图，抛物线交轴于点，点交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，，点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值以及点的坐标； (3)将二次函数沿射线平移一定的单位长度，使得平移后的抛物线过点，记平移后的点对应点为，连接，点为平移后新抛物线上一动点，若满足，直接写出符合题意所有点的横坐标． 17．新定义：对于抛物线，若，则称该抛物线是黄金抛物线，若抛物线是黄金抛物线，与y轴交于点A，顶点为D． (1)求：此黄金抛物线的表达式及D点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求：的正切值． ②在射线上找一点P，使以点P、A、D所组成的三角形与相似，求：P点坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，以y轴正半轴上一点（m为非零常数）为端点，作与y轴正方向夹角为的射线l，在l上取点B，使（k为正整数），并在l下方作，，线段的中点分别为D，E． (1)当时，直接写出B，C两点的坐标； (2)若抛物线的顶点恰好为D点，且，求抛物线的解析式及此时的值； (3)当时，记线段的中点分别为，当时，记线段的中点分别为，求直线的解析式及四边形的面积（用含m的代数式表达）． 19．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与x轴、轴分别相交B，C，抛物线与轴交于点A，点B，且． (1)求和的值． (2)点P是直线上方抛物线上任意一点，设点P的横坐标为，连接．四边形的面积为S，求S与的函数关系式． (3)点P为抛物线上的一点，连接，当，求P的坐标． 考点四、反比例函数与三角函数的综合问题 20．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接，若，，则m的值是（   ） A．64 B．48 C．40 D．32 21．如图，在中，两直角边分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且，将绕点B逆时针旋转后得到，若反比例函数的图象恰好经过斜边的中点C，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 22．已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 23．已知函数的图象如图所示，点P是y轴正半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接、．若，则 ． 24．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过作轴于点，且．    (1)求反比例函数表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；    25．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，为反比例函数图象第四象限上的一点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)当与的面积相等时，求此时点的坐标； (3)我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点是平面内一点，是否存在这样的，两点，使四边形是“垂等四边形”，且该四边形的两条对角线相交于点，？若存在，求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； (3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 考点五、三角形与三角函数的综合问题 27．如图，在等边三角形中，D是上的点，连接，，P在上，连接，若，则 ． 28．如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于C，点D在边上，，与交于点F，连接，如果，，那么 ． 29．在锐角三角形中，，点D，E分别是边，上一动点，连接交直线于点F． (1)如图1，若，且，求的度数． (2)如图2，若，且，在平面内，将线段绕点C顺时针方向旋转得到线段，连接，点是的中点，连接．在点，运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想． (3)若，且，将沿直线翻折至所在平面内得到，点H是的中点，点K是线段上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接．在点D，E运动过程中，当，且时，请直接写出的值． 30．如图，中，，．动点、分别从点、同时出发，点以每1个单位长度的速度沿向终点运动，点沿折线向终点运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒3个单位长度，连结．设点的运动时间为． (1)用含的代数式表示的长． (2)求点到边的距离． (3)________． (4)当时，以为对角线作矩形，且点在边上，当时，求的值． 31．中，分别在上，，连接，作交于，交于交于． (1)如图1，． ①求的正弦值； ②若，求； (2)如图2，，连接，若四边形为梯形，请直接写出的长． 考点六、四边形与三角函数的综合问题 32．如图，点E为正方形对角线上一点，连接，作，交于点F，作交于点H，垂足为，若，，则的长为 ． 33．如图，已知在矩形中，E是上一点，连接，将沿翻折，使B落到F处，延长交延长线于G． (1)求证：． (2)若，则的长为______． 34．数学活动课上同学们进行探究活动，先将两个相似的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个三角形纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质． 【初步感知】（1）如图，在和中，若，，连接、，直线、相交于点，试探究____________，____________； 【深入探究】（2）如图，若，，点为线段上一点（不与点重合），连接，若，探究的值； 【拓展创新】（3）如图，在中，，点为边上的动点，过点作射线，使．当点运动到边中点时，射线交于点，此时．过点作交射线于，在点从运动到的过程中，求折线扫过的面积． 35．小明和小刚走进教室，跟随李老师探究“矩形折叠中的相似三角形”问题．请你一同作答：如图，已知在矩形中，，，点E为边上一点（不与点A、点B重合），先将矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H． (1)观察发现 写出图1中一个与相似的三角形： ． (2)迁移探究 当与的交点H恰好是的中点时，如图2．求阴影部分的面积． (3)拓展应用 当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，求的长． 36．如图，在矩形中，点为边上一点，将沿翻折，使点恰好落在边上的点． (1)如果，求的长； (2)如果，求的值． 37．如图，在菱形中，，为对角线，点E是边延长线上的任意一点，连结交于点F，平分交于点G． (1)求证； (2)若，求的值． (3)若，当的大小发生变化时，在上找一点T，使为定值，说明理由． 38．在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． (1)操作判断 小红将两个完全相同的矩形纸和拼成“”形图案，如图①．试判断：的形状为______． (2)深入探究 小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，． 探究一：①若矩形绕点顺时针旋转，当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②，求的面积． 探究二：②若矩形绕点逆时针旋转，边与边交于点，连接，当时，如图③．请直接写出的值． 考点七、圆与三角函数的综合问题 39．如图，经过坐标轴的O、C、D三点，、，是的一条弦，则的值为（    ）    A． B． C． D． 40．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，的半径为1，P是上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于（    ） A． B． C． D．1 41．如图，已知经过顶点A、B，交边于点D，交边于点E． (1)如果，求证：． (2)如果点A是弧的中点，，，，求的半径． 42．如图，是⊙O的弦的中点，是劣弧上一点，半径与线段交于点，已知，． (1)求线段的长； (2)当时，求的余弦值． 43．为⊙O的直径，弦，垂足为，为弧CD上一点，，连接交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，过点作，垂足为，交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，若，，求的长． 44．如图，为的外接圆，弦，垂足为E，直径交于点G，连接，．若，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)求的值； (3)求的值． 45．如图，在中，是直径，是的平分线，分别交于点E，于点F，点D在的延长线上，连接，，． (1)求的度数． (2)求证：是的切线． (3)连接，过点E作于点H，若，，求的长． 考点八、相似三角形与三角函数的综合 46．如图，已知在中，点D是边上一点，且，点E是边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的值． 47．如图，在矩形中，是边的中点，连接，过点作于点，交边于点，连接．给出下面四个结论： ①． ②在不添加辅助线和其它字母的前提下，图中相似三角形只有6对． ③若，，则． ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号是 ． 48．【问题引入】如图1，等边，D为BC边上一点，E为AC边上一个点；且，求证：． 【模型运用】如图2，在中，，D为AC边上一点，连接BD且，已知，求CD的值． 【能力提升】如图3，在中，D为AC边上一点，连接BD且，，且，直接写出的值． 49．中，，分别在上，，连接，作交于M，交于N，交于O． (1)如图1，． ①求的正弦值； ②若，求； (2)如图2，， ，连接，若四边形为梯形，请直接写出的长． 50．已知：正方形的边长为4，点为边的中点，点为边上一动点长，沿翻折得到，直线交边于点，交直线于点． (1)如图，当时，求的长； (2)如图，当点在射线上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)延长交直线于点，若，求的长． 51．如图，四边形中，，，，． (1)如图①，为边上的一动点，点是的中点，则的最小值是________． (2)如图②，若为边上一点，以，为边作平行四边形，请问对角线的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由． (3)如图③，若为边上任意一点，延长到，使（为常数），以、为边作平行四边形，请探究对角线的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由． 考点九、网格图背景下的三角函数应用 52．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则的正切值是 53．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，两条网格线的交点叫格点，的顶点A、B、C都在格点上，仅用无刻度的直尺，在网格中完成画图． (1)在边上画出点D，使； (2)在（1）条件下，△ACD面积是____． 54．在如图的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A、在小正方形的格点上，在图1，图2中各画一个三角形，满足下列要求： (1)在图1中画一个，点在小正方形格点上，且的面积为5； (2)在图2中画一个，使中有一个角为，点在小正方形格点上，且的面积为3，请直接写出的值______． 55．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图．要求： (1)在图①中画，使得． (2)在图②中画，使得． (3)在图③中画，使得． 56．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先在边上画点F，使，再在边上画点G，使； (2)在图2中，在对角线上画点H，使，再在直线上取一点P，使的值最小． 57．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的 网格， 的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． (1)在图①中，点D为的边的中点，在边上找一点E，连接，使 的面积为面积的 ； (2)在图①中，连接，则 _______； (3)在图②中，在的边上找一点F，连接，使 ． 考点十、构造直角三角形求值 58．如图，在中，D是的中点，，且，求的值． 59．如图是由六个全等的菱形组成的网格图，菱形的顶点称为格点，A、O、B、C均在格点上，当菱形的边长为1且时，则 60．已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是 ． 61．如图，是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上．若，且，则的值为 ． 62．如图，在四边形中，，，，．则的长的值为 ． 63．如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 64．构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算时，构造出如图所示的图形：在中，，延长到D，，连接，得．根据此图可求得的结果 ． 65．如图，矩形，，，将矩形绕点A顺时针旋转得矩形，连接、，则 ． 试卷第2页，共154页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$