第二十八章 锐角三角函数知识归纳与题型突破（十题型清单）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（人教版）

第二十八章 锐角三角函数知识归纳与题型突破（十题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 二、30°，45°，60°角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 三、解直角三角形的概念及理论依据 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 四、解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 五、解直角三角形的实际应用 1．仰角、俯角、坡度、坡角和方向角 (1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角． (2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. (3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角． 2．解直角三角形实际应用的一般步骤 (1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； (2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； (3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型： （1） 叠合式 （2）背靠式 解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解． 03 题型归纳 题型一锐角三角函数定义的辨析 例：如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可． 【详解】解：．，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ．，原表示方法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 2．在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据三角函数的定义即可作出判断． 【详解】解：在中，， ∴，，，，故A、B、C错误， ，故D正确， 故选：D． 3．在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，根据锐角三角函数的定义进行解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式不正确，符合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 故选：．    4．把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，由于三边的长度都扩大为原来的倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角的正弦值也不变． 【详解】因为三边的长度都扩大为原来的倍，所得的三角形与原三角形相似， 所以锐角的大小没改变，所以锐角的正弦值也不变． 故选A． 5．在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角的三角函数值，根据锐角三角函数的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵，a，b，c分别为的对边， ∴； 故成立的是选项B； 故选B． 6．在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，．锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴的对边与斜边的比， ∵的三边都缩小5倍， ∴的对边与斜边的比不变， ∴的值不变． 故选：C． 7．如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义．由锐角的三角函数定义，即可判断． 【详解】解：， ， 、，故不符合题意； 、结论正确，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意． 故选：B． 题型二 求锐角三角函数值 例：如图，在中，a、b、c分别为的对边，且．试求最小角的三角函数值． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值，首先表示出各边长，进而求出锐角三角函数值即可． 【详解】解：∵a、b、c分别为的对边，且， ∴设，，， ∴， ∴最小， ∴，，． 9．在等腰，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、正弦的定义，过点A作于点D，根据三角形的面积公式求出，再根据等腰三角形“三线合一”求出，根据勾股定理求出的值，最后根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：过点A作于点D， ，，， ， ， ，，， ， ， ， 故选：D． 10．如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的边角关系，勾股定理，利用网格构造直角三角形是解题的关键．利用网格构造直角三角形，根据格点线段的长度求出斜边的长，再根据三角函数的意义求出答案． 【详解】解：如图，设小正方形边长为1，， 则， ∵， ∴ 故选：C． 11．中，，，，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余弦的定义，勾股定理，明确：在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．先利用勾股定理求出，再根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， ． 故选：C． 12．在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求余弦值，根据余弦的定义，直接进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，故B正确． 故选：B． 13．如图，在中，，，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个角的正切值，勾股定理，先根据，，，运用勾股定理列式得，然后代入数值到进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 14．如图，四边形为正方形，点E在边上，且，点F在边上，．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，求角的正切，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 证明，设，则，根据相似三角形的性质求得，进而根据正切的定义，，即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形，． ， ， ， ∵，则， 设，则， ， 解得：或， ， ， ， 故答案为：． 15．如图，在矩形中，于点，，，设，则的值为 ．    【答案】/0.75 【分析】本题考查了矩形的性质及锐角三角函数的定义，根据矩形的对角线互相平分，可将对角线一半的长度求出，根据的长，可求出，再根据勾股定理求的长，根据正切的定义即可得出结论，求出三边长是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 16．如图，在正方形中，E为的中点，点F在边上，且，求的正弦值、余弦值． 【答案】， 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，锐角三角函数． 设正方形的边长为，则，，，，根据勾股定理求得，，，从而通过勾股定理的逆定理证得是直角三角形，根据正弦和余弦的定义即可求解． 【详解】解：连接, 设正方形的边长为，即， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵在正方形中，， ∴在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ． 17．已知a、b、c是的三边，，，满足等式，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解直角三角形，应把所给的式子进行整理，判断出三角形的形状，进而计算相应角的正弦值的和．理解在直角三角形中，一个角的正弦值等于它的对边与斜边之比是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 即：， 是以为斜边的， ， ， 设，则， 中，， ． 18．如图，将以点A为直角顶点的等腰直角三角形沿直线平移得到，使点与点C重合，连接，则的值为？ 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形中，底边上的高与底边上的中线重合和直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半及三角函数的定义，熟知相关性质及定义是正确解题的关键． 的值，根据三角函数的定义可以转化为直角三角形的边长的比来求，因而过作出，垂足为D．在直角中，根据三角函数的定义就可以求解． 【详解】解：如图，过点作于点D． 在等腰直角三角形中， 是底边上的中线， ． ， ， ． 题型三 由三角函数值求边长 例：在中，，如果，，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用正切的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 20．如图，在中，，，D为AC上一点，，，则 ． 【答案】20 【分析】根据在中，，，为上一点，，，可以求得的长，的长．本题考查锐角三角函数，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】 解：在中，，，，， ， ，，， ， 故答案为：20． 21．已知点P位于第一象限内，，且与x轴正半轴夹角的正弦值为，那么点P的坐标是 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及坐标与图形，解直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出，代入，则，然后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，如图：过点P作轴： ∵与x轴正半轴夹角的正弦值为， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 22．在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，根据，结合，设，则，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， 设，则， ∴， ∴，解得：， ∴， 故答案为6． 23．如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 【答案】 【分析】作于，交的延长线于，于，则四边形是矩形，先证明，在中利用勾股定理求出，从而得出，再证明四边形是平行四边形，得到，从而解决问题． 本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形． 【详解】解：如图，过点作于，交的延长线于，过点作于点， 则四边形是矩形． ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在中， ，， ， ， ， ， 将沿直线翻折后，点落在点， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 24．在中，，，，则 【答案】8 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦、余弦的定义是解题关键． 根据题意得出，确定，然后再利用余弦求解即可． 【详解】解： ，， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：8． 25．如图，在中，，是边的中线，过点作，交延长线于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据正切的定义得，根据勾股定理得，根据直角三角形斜边上的中线的性质得，根据三角形中线的性质得，继而推出，最后在中利用勾股定理即可得解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是边的中线， ∴，， ∵， 又∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形中线的性质，三角形的面积等知识点．根据正切值求边长是解题的关键． 26．如图所示，中，，，，且D为上一点，将沿翻折，C落在，边与边交于F，若，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质．作，利用正切函数的定义结合勾股定理求得，，再利用勾股定理求得，证明和，利用相似三角形的性质列式即可求解． 【详解】解：作，垂足为，    ∵， ∴， 设，则， ∵， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，，， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：． 27．如图，已知及边上一点C． (1)用无刻度的直尺和圆规在射线上求作点O，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以点O为圆心，以为半径的圆交射线于点B，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点M，使点M到点C的距高与点M到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）作的垂直平分线交于，点O即为所作； （2）作是平分线交于，点即为所作； （3）由（2）可知，，由，可得，可求，由勾股定理得，，证明，则，设，由，，可得，可求，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，作的垂直平分线交于， 由垂直平分线的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴点O即为所作； （2）解：如图1，作是平分线交于， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， 如图1，作于， ∴， ∴点即为所作； （3）解：由（2）可知，， ∵， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得，， 由勾股定理得，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了作垂线，作角平分线，三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，正切，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握作垂线，作角平分线，三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，正切，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 题型四 利用特殊角三角函数值进行混合运算 例：计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键： （1）将特殊角的三角函数值代入计算即可； （2）将特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 29．计算：． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，先进行开方，特殊角的三角函数值和零指数幂的运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 30．计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的计算，根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 31．计算：． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值代入计算，化简解答即可． 本题考查了特殊角的三角函数值，分母有理化，二次根式的化简，熟练掌握三角函数值，分母有理化是解题的关键． 【详解】解： ． 32．计算：． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，把特殊角的三角函数值代入，计算即可，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 33．已知是锐角，且，求和的值． 【答案】， 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值运算，先由是锐角，且得到，即得，，再把的三角函数值代入计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵是锐角，且， ∴， ∴，， ∴ ； ． 34．计算∶ (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，解题的关键是将特殊锐角三角函数值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 35．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含有特殊角的三角函数值的实数的运算，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值，然后计算乘方再计算除法，最后进行减法计算； （2）根据题意，先计算特殊角的三角函数值，然后计算乘法，绝对值，最后合并，整理，得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型五 由特殊角三角函数值求角度 例：在中，满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】直角三角形，理由见解析． 【分析】本题考查了非负数的性质，直角三角形的判定，特殊角的三角函数值，先根据非负数的性质求出的值，再根据均为锐角及特殊角的三 角函数值、三角形内角和定理即可求出三角形各角的度数，进而判断出其形状，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：为直角三角形，理由如下： 由题意，得，， ∴，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形． 37．在中，，都是锐角，且，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 【答案】C 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值．直接利用特殊角的三角函数值得出，的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴的形状是锐角三角形． 故选：C． 38．在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 39．如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握根据三角函数值确定三角形的形状是解此题的关键． 根据特殊角的三角函数值，直接得出，的角度即可解答． 【详解】解：， ， 是等腰直角三角形． 故选C． 40．在中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握，求出，再根据勾股定理，即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 41．在锐角三角形中，若，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．根据非负数的性质以及特殊角的三角函数值求得的度数，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 42．如果，那么锐角的度数是 【答案】/60度 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．利用特殊角的三角函数值计算即可得到锐角的度数． 【详解】解：∵，， ∴锐角的度数为． 故答案为：． 43．若是的一个内角，且有，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数问题，先由题中条件，结合特殊角的三角函数值得到，从而确定，再由特殊角的三角函数值求解即可得到答案，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 【详解】解：是的一个内角，且有， ，则， ， 故答案为：． 题型六 解直角三角形的有关计算 例：已知中，和均为锐角，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，根据三角函数定义求值，须先构造直角三角形再解． 过点作于点，在中，已知和的值，根据三角函数可求的长，在中，运用勾股定理可求的长，代入进行求解． 【详解】解：过点作于点， 在中，， ， 在中，， ， ， 故选：C． 45．在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值． 【答案】(1)的面积为； (2)的值为． 【分析】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． （1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出，再利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴． ∴的面积为； （2）解：∵，，， ∴， 在中， ． 在中，，， ∴． ∴的值为． 46．如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角α的正切值为，则m的值为 ． 【答案】 【分析】过点作，交轴于点，根据题意得出，即可求出；本题主要考查解直角三角形，熟练掌握锐角正切值的定义是解题的关键． 【详解】过点作，交轴于点 点在第二象限 故答案为：． 47．如图，在△中，，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形，作于，设，根据题意可得，进而解得出，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 故答案为：． 48．如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）由，，，并结合勾股定理可求出、的长，由角平分线的性质可得，即可获得答案； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，然后由，求出的长，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵，， 在，， 设，， 由勾股定理可得，即， 解得 （舍去）或， ∴，， ∵平分，，， ∴； （2）∵，，， 又∵， ∴， ∴， 设，在中，， 解得，即， ∴在中，． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、三角函数的定义、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 49．如图，在矩形中，，，点E在上，且，过点D作于点F． (1)求的三角函数值； (2)求的三角函数值． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】（1）根据矩形性质得出，，，，证明，根据勾股定理得出，根据三角函数定义求出结果即可； （2）连接，证明，得出，根据勾股定理求出，根据三角函数定义求出结果即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，，，， ∵， ∴， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得： ， ∴， ， ． （2）解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，由勾股定理可得， ∴， ， ． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，相关的判定和性质． 50．已知是的高，，求的度数． 【答案】或 【分析】本题考查了三角函数的应用，灵活应用三角函数求角和分类讨论思想是解答本题的关键．分两种情形求高的位置，然后再根据三角函数的定义求出的度数，最后再相加或相减即可求出的度数． 【详解】解：①当垂足D在线段上时，如图①， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当垂足D在线段的延长线上时，如图②． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，可知的度数为或． 51．如图，，，，． (1)求的值； (2)求点B到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握正弦的定义，以及直角三角形的边角关系． （1）根据正弦的定义，即可解答； （2）根据同角的三角函数值，得出，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）解：过点B作于点E， ∵， ∴， ∴． 52．已知：，，，设． (1)求的长； (2)求的值； (3)设，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质，理解三角函数的定义和作出辅助线是解题关键． （1）直接利用正弦函数的定义求解即可； （2）利用勾股定理求得的长，利用正切函数的定义求解即可； （3）作的平分线，作于点，证明，求得，，设，则，在中，由勾股定理得列式计算求得，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：作的平分线，作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得，即， ∵， ∴， ∴． 53．如图，已知中，，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积公式，勾股定理及锐角三角函数，熟练掌握勾股定理，通过做辅助线构造直角三角形是解题的关键，作于，则，由三角形的面积公式求得，由勾股定理求出，再由求出的长，进而即可求出的长． 【详解】解：作于，如图所示： 则， ， ， ， ， ， ． 题型七 坡度与坡角的应用 例：某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点B离水平地面的高度． (2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)电线塔的高度 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由坡度得，再结合，故，所以； （2）先证明四边形是矩形，，，再根据在中，，所以，运用勾股定理得，则，列式，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵斜坡的坡度， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：作于点F， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， 在中，， ∴， 在中，， 则， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：电线塔的高度． 55．小明沿着坡比为的斜山坡向上走了，则他升高了（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据题意画出图形，由坡度为，可求得坡角的正切值为，于是可设，则，根据勾股定理可求得，进而可求得，根据小明沿着该山坡向上走了，即可求得他升高的高度，于是得解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， 坡比为， ， 可设，则， ， ， 小明沿着该山坡向上走了，则他升高了： ， 故选：． 【点睛】本题考查了坡度坡比问题，垂线的性质，求角的正切值，勾股定理，求角的正弦值等知识点，能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解题的关键，要注意数形结合思想的应用． 56．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是（    ）米 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，过点作于点，由坡度的定义得，求得，再证是等腰直角三角形，得，然后由锐角三角函数定义求出的长，即可得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡度坡角问题，证明为等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，过点作于点， 斜面坡度为， ， ， 在处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 解得： 故选：C． 57．打铁花，是流传于豫晋地区民间传统的烟火，国家级非物质文化遗产之一，铁花飞溅，寓意着生活多姿多彩．春节前夕，在渝北区龙湖天街广场举行了一次打铁花表演．小明家在点A处，表演场地C在小明家北偏东．小明有两种方式去看表演，路线①从A经过一段楼梯到达点D，，再沿到达C处，已知点C在点D的东北方向处；路线②从A出发沿正东方向到达点B，再沿正北方向到点C处．（A、B、C、D在同一平面内）（参考数据：，，， (1)求楼梯的长度； (2)小明计划出门，如果选择路线①只能走路，走路的最快速度是，如果选择路线②则可以跑步，跑步的平均速度是，表演正式开始时间是，小明能赶在表演前到达点C处吗？如果能，选择哪条路线，如果不能，具体说明原因（数据保留1位小数）． 【答案】(1)楼梯的长度为； (2)选择路线①能赶在表演前到达点C处 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数的意义，勾股定理是解题的关键． （1）取点，过作于，于，设，根据三角函数的定义得到，求得，再利用勾股定理求解即可； （2）根据“时间路程速度”列式计算． 【详解】（1）解：如图：取点，过作于，于，连接，， 由题意得：，，，， ，四边形为矩形， ， 设， ， ，， ， 解得：， ，， ， 答：楼梯的长度为； （2）解：选择路线①能赶在表演前到达点处． 理由：按照路线①需要：， 选择路线①不能赶在表演前到达点处， 按照路线②需要：， 选择路线①能赶在表演前到达点处． 58．在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵长在斜坡上的杨树的高度．如图，已知斜坡的坡度为米，在距离点C4米处的点D测得杨树顶端A的仰角为． (1)______度； (2)求杨树的高度．（，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上，结果精确到米，参考数据：） 【答案】(1) (2)杨树的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度及仰角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据坡度得出，即可求解； （2）在中，求出，再在中，建立等式即可求解． 【详解】（1）解：斜坡的坡度为， ， ， 故答案为：； （2）解：过点作的垂线，交于点，如下图： ，即， 解得：， ，即， 解得：， 在中， ，即， ， 解得：（米）， 答：杨树的高度为米． 59．如图，为了测量某建筑物的高度，测最员采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为，建筑物底端B的俯角为，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度．根据测量员的测量数据， (1)求坡顶D到的距离. (2)求建筑物的高度．（参考数据：） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过作于，延长交于．则四边形是矩形，得，在中求出； （2）解直角三角形求出、的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，过作于，延长交于． 则四边形是矩形， ，在中，米，， ∴，即， 米， 答：坡顶到地面的距离为米； （2）由（1）知，米， 米， 在中，， 是等腰直角三角形， 米， 在中，，， （米， （米． 即建筑物的高度约为米． 60．如图，为了测量某建筑物的高度，小明先在地面上用测角仪A处测得建筑物顶部的仰角是，然后在水平地面上向建筑物前进了到达D处，此时遇到一斜坡，坡度，沿着斜坡前进到达F处测得建筑物顶部的仰角是，（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）． (1)求斜坡的端点F到水平地面的距离和斜坡的水平宽度分别为多少米？ (2)求建筑物的高度为多少米？ (3)现小亮在建筑物一楼（水平地面上点B处）乘电梯至楼顶（点C），电梯速度为，同时小明从测角仪处（点A）出发，骑摩托车至斜坡的端点F处，已知，小明在平地上的车速是上坡车速的两倍，小亮所用时间是小明所用时间的一半，求小明上坡时的车速为多少？ 【答案】(1)斜坡的端点F到水平地面的距离为米，斜坡的水平宽度为米 (2)米 (3)小明上坡时的车速为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角与俯角，坡度坡角问题等知识．解题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）由可得，再由直角三角形的性质和三角函数求解即可； （2）由可证，设米，根据得，即，再求解即可； （3）设小明上坡时的车速为，小明在平地上的车速为，根据题意可列方程，再求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 米， ∴斜坡的端点F到水平地面的距离为，斜坡的水平宽度为米． （2）解：由题意知： ， 在中，， ， ， 设米， 在中，， ， ， 解得：， 米， 答：建筑物的高度为米； （3）解：设小明上坡时的车速为，小明在平地上的车速为， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴小明上坡时的车速为． 61．水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形．如图所示，已知迎水坡面的长为米，，背水坡面的长为米，加固后大坝的横截面为梯形，的长为米． (1)已知需加固的大坝长为米，求需要填土石方多少立方米？ (2)求加固后大坝背水坡面的坡度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理、坡度的定义（是指地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度和水平方向的距离的比叫做坡度，即坡角的正切值），熟记特殊角的三角函数值和坡度的定义是解题关键． （1）分别过、作下底的垂线，设垂足为、．在中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度的值，也就得到了的长；以为底，为高即可求出的面积，再乘以大坝的长度，即为所需的填方体积． （2）在中，由勾股定理求的长，即可得到的长；中，根据、的长即可求得坡角的正切值，即坡面的坡度． 【详解】（1）过点作于，过点作于， ∴． 在中，（米）， ∴（米）． ∴（平方米）． ∴需要填土石方体积为：． （2）在中，， ∴． ∴加固后大坝背水坡面的坡度． 62．2023年3月11日13时46分日本发生了级大地震，随着着就是海啸．山坡上有一棵与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角，量得树干的倾斜角为，大树被折断部分和坡面所成的角． (1)求的度数； (2)求这棵大树折点C到坡面的距离？ （结果精确到个位，参考数据：）． 【答案】(1) (2)5米 【分析】该题主要考查了解直角三角形-坡度坡角问题，解题的关键是正确做出辅助线． （1）通过延长交于一点G， 则即可求得； （2）作于点， 作于点M， 先求得的长， 然后再求得的长． 【详解】（1）解：延长交于点G． 在中，． ． 又， ． （2）解：过点A作于点H，于点M． 在中，，， ． ∵， ． 在中，， ． ， 在中，， （米）， 即这棵大树折点C到坡面的距离为5米． 63．风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座建在山坡上（坡比，垂直于水平地面，，，三点共线），坡面长，三个相同长度的风轮叶片，，可绕点转动，每两个叶片之间的夹角为；当叶片静止，与重合时，在坡底F处向前走米至点处，测得点处的仰角为，又向前走米至点处，测得点处的仰角为（点，，，在同一水平线上）． (1)求叶片的长； (2)在图2状态下，当叶片绕点顺时针转动时（如图3），求叶片顶端离水平地面的距离．（参考数据：，，，，结果保留整数） 【答案】(1) (2)叶片顶端C离水平地面的距离为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定及性质，勾股定理，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）利用坡比可求出、的长，在或中，利用和的正切值分别求出、的长即可得答案； （2）过点作于点，于，可得四边形是矩形，根据旋转的性质得出，利用的余弦值可求出的长，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵垂直于水平地面， ∴， ∵坡比， ∴， 设，则， ∵坡面长， ∴， 解得：，（负值舍去） ∴，， ∵， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴． 由题意得：， ∴， ∴． （2）如图，过点作于点，于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵叶片绕点顺时针转动， ∴， ∵， ∴， 由题意得：， ∴， ∴． ∴叶片顶端离水平地面的距离为． 题型八 仰角、俯角的应用 例：暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）． (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用．熟练掌握含30度的直角三角形性质，锐角三角函数解直角三角形，路程与速度和时间的关系，是解题关键． （1）过B点作于C，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的值，结合山高即可求出的值； （2）在中，求得的长，再计算段和段所用时间和即得出答案． 【详解】（1）解：如图，过B点作于C， 则四边形是矩形， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 答：登山缆车上升的高度； （2）解：在中，，， ∴， ∴， 答：从山底A处到达山顶处大约需要． 65．某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 实施过程 1．选取与树底B位于同一水平地面的D处； 2．测量D，B两点间的距离； 3．站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角； 4．测量C到地面的高度． 1．选取与树底B位于同一水平地面的E处； 2．测量E，B两点间的距离； 3．在E处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； 4．测量E，D两点间的距离； 5．测量C到地面的高度． 测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、相似三角形的应用等知识，熟练掌握解直角三角形的方法和相似三角形的判定和性质是解题的关键． “测角仪”方案：如图：过作于，根据矩形的性质得到，再根据三角函数的定义求解即可； “平面镜”方案：根据垂直的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理求解即可． 【详解】解：选择“测角仪”方案： 如图：过C作于F，则，， 在中，，， ∴， ∴． 选择“平面镜”方案： 由题意得，，． ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴． 66．图①是象山亚帆中心地标性建筑亚帆灯塔．某数学兴趣小组测量亚帆灯塔的高度后绘制了如图②所示的示意图．在其附近高为的高台上的处测得塔顶处的仰角为，塔底部处的俯角为．求亚帆灯塔的高．（结果精确到）【参考数据：，，】 【答案】米 【分析】本题考查直角三角形的应用—仰角俯角问题，过点作于点，连接、，证明四边形为矩形，得出，在中，在中，分别解直角三角形得出、的长，最后再由计算即可得解．解题的关键是掌握仰角俯角定义及解直角三角形． 【详解】解：如图，过点作于点，连接、， ∴， 由题意知：，，，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴（米）． 答：亚帆灯塔的高的值为米． 67．嘉嘉使用桌上书架如图1所示．嘉嘉发观，当书架与桌面的夹角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时舒适度不太理想．嘉嘉调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角时（点是的对应点），舒适度较为理想． (1)书架在旋转过程中，求顶部边缘点到走过的路径长． (2)如图2这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在处，书上有一点，旋转点到点的距离为，嘉嘉看点的俯角为，眼睛到桌面高度为点到点的距离为，求此时眼睛到点的距离，即的长度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用平角定义先求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进而利用弧长公式求解即可． （）过点作，于点、，则四边形是矩形，，在中，解直角三角形即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，， ∴， 由题意得：， ∵， ∴， ∴边缘点到走过的路径长． （2）解：过点作，于点、，则四边形是矩形，，， ∵，， ∴， ∴， ∵向下看的俯角为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、度直角三角形的性质、求弧长以及矩形的判定及性质，熟练掌握解直角三角形、度直角三角形的性质是解题的关键． 68．【项目式活动探究】光岳楼位于聊城古城中央，始建于明洪武七年（公元1374年），被誉为中国十大名楼，光岳楼为中国既古老又雄伟的木构楼阁，是宋元建筑向明清建筑过渡的代表作，在中国古代建筑史上有着重要地位，1988年光岳楼被列为全国重点文物保护单位，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉，某校数学实践小组利用所学数学知识测量光岳楼的高度，他们制订了两个测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.在测量仰角的度数以及有关长度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果.下面是两个方案及测量数据（不完整） 项目 测量光岳楼的高度 方案 方案一：标杆垂直立于地面，借助平行的太阳光线构成相似三角形测量：标杆长，影长及同一时刻塔影长 方案二：利用锐角三角函数.测量：距离，仰角，仰角 说明 、、三点在同一条直线上 、、三点在同一条直线上 测量示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 【问题解决】 (1)“方案一”两次测量塔影长的平均值是 (2)根据“方案一”的测量数据，可求得光岳楼的高度为 (3)根据“方案二”的测量数据，求出光岳楼的高度；（参考数据：，，）注：结果保留1位小数 (4)请对本次实践活动进行评价（一条即可） 【答案】(1) (2) (3) (4)两种方案均可测量出光岳楼的近似高度，测量时取平均值是减少误差的方式（答案不唯一） 【分析】本题考查了关于求塔高的实践与探究，相似三角形的性质和锐角三角函数的实际应用． （1）根据平均值的公式求解即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可； （3）设，在中和在中，分别表示出，即可求解； （4）根据题目求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：“方案 ”两次测量塔影长的平均值是 （2）解：由题意得：， ∴， ∵，，， ∴； （3）解：设， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得， ∴， 答：光岳楼的高度约为 （4）评价：两种方案均可测量出光岳楼的近似高度，测量时取平均值是减少误差的方式.（答案不唯一，） 69．某数学小组在刘老师的指导下测量一建筑物高度，活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量建筑物的高度 活动过程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图） 步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器 步骤三：实地测量并记录数据（A，B，C，D在同一平面上，于点D） ①建筑物前有一段斜坡，斜坡的坡度； ②在斜坡的底部A测得建筑物顶点C的仰角为； ③斜坡长52米； ④在点B测得建筑物顶点C的仰角为． 步骤四：计算建筑物的高度 请结合以上信息完成步骤四：计算建筑物的高度． （参考数据：） 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，过点B作于点E，过点B作于点F，由斜坡AB的坡度得到的比值，设，则，求出的长，设，得到，的长，由列方程求出y的值，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于点E，过点B作于点F，则四边形是矩形， ∴， ∵斜坡AB的坡度； ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 解得， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴建筑物的高度约为． 70．如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得顶端的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得顶端的仰角为．（参考数据，，，） (1)______度，______度，______米； (2)电子厂的高度为多少米？ 【答案】(1)；； (2)电子厂的高度为米． 【分析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质． （1）先证明四边形、、是矩形，据此即可求得相关数据； （2）设，表示，然后在以及中，利用三角函数，用表示出和，运用线段和差关系，求出，进一步计算即可作答． 【详解】（1）解：如图：延长交于一点， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是矩形， 同理得四边形是矩形， 依题意，得，， ∴，， ∴， 故答案为：；；； （2）解：设，则， 在 ∴， 即， 在 ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：电子厂的高度为米． 71．根据背景素材，探索解决问题： 测算发射塔的高度 背景素材 博雅小组在一幢楼房窗前测算远处小山坡上发射塔的高度（如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A、B、C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示． 测得A、B之间的图上距离为； 测得A、C之间的图上距离为． 测得D、E之间的图上距离为． 经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度． 问题解决 任务1 获取数据 选择两个观察位置： 点______和点______． 任务2 推理计算 直接写出所选位置且需要的观测角的正切值：______________； 直接写出已测得且需要的线段的图上距离：_______________． 计算发射塔的图上高度． 任务3 换算高度 楼房的实际宽度为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度． 【答案】任务1：、（答案不唯一） 任务2：A处俯角的正切值为，A处仰角的正切值为，B处仰角的正切值为；； 任务3：发射塔的实际高度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过作垂线，构造直角三角形，依据直角三角形的边角关系进行计算即可，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 任务1：根据题中数据选择即可； 任务2：根据所选位置，结合素材，过点作于点，过点作于点，设，则，根据，，得出，，进而求得，再根据，得，即可求解； 任务3：测得图上，楼房实际宽度为12米，设发射塔的实际高度为，由题意得，，解得，即可求解． 【详解】解：任务1：选择点和点（答案不唯一）， 故答案为：、（答案不唯一）； 任务2：A处俯角的正切值为，A处仰角的正切值为，B处仰角的正切值为；． 如图1，过点作于点，过点作于点，则， 设，则， ， ， ，， ，即， ， 即， ， ， ， ； 任务3：测得图上，楼房实际宽度为12米， 设发射塔的实际高度为，由题意得， ， 解得， 发射塔的实际高度为． 72．如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点在同一条直线上．其中，米． (1)求无人机的飞行高度；（结果保留根号） (2)求河流的宽度．（结果保留根号） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（）由题意得，，，即得，，再解直角即可求解； （）如图，过点作于，则米，米，，解直角可得，即得，进而根据即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴，， ∴， ∴米； （2）解：如图，过点作于，则米，米，， 在中，， ∴， ∴米， ∴米， ∴米． 题型九 方位角的应用 例：如下图，、、、是某个景区的四个游客休息区（只有，可骑行），在的正西方向，在的正北方向；在的北偏东方向，在的北偏西方向，且在的东北方向，米．（参考数据：，，，，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)周末小义和小飞相约一起去公园游玩，他们到达后发现有两条路线可到，小义选择路线①，步行速度为每分钟90米；小飞选择路线②，他租了一辆共享单车，骑行速度为每分钟240米，中途在处停留5分钟观赏风景，请你通过计算说明，小义和小飞谁先到达． 【答案】(1) (2)小飞先到达 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，矩形的判定和性质，正确地找出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过作交延长线于，交于，得到四边形是正方形，在中根据求出，，再在中求出，最后根据计算即可； （2）根据题意分别求出和的长，即可求出两人花费的时间，最后比较大小即可得到结论． 【详解】（1）解：过作交延长线于，交于， 由题意可得，，，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长度为米； （2）解：由（1）得，，， ∵小义选择路线①，步行速度为每分钟90米， ∴小义到达用时（分钟）， ∵小飞选择路线②，他租了一辆共享单车，骑行速度为每分钟240米，中途在处停留5分钟观赏风景， ∴小飞到达用时（分钟）， ∴小飞先到达． 74．如图，在南北方向的海岸线上，有、两艘巡逻船，现均收到故障船的求救信号．已知、两船相距海里，船在船的北偏东60°方向上，船在船的东南方向上，上有一观测点，测得船正好在观测点的南偏东75°方向上． (1)分别求出与，与之间的距离和（如果运算结果有根号，请保留根号）． (2)已知距观测点处100海里范围内有暗礁．若巡逻船沿直线去营救船，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：，） 【答案】(1)与之间的距离为200海里；与之间的距离为海里； (2)巡逻船沿直线去营救船，在去营救的途中无触暗礁危险． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键． （1）作于，设海里，根据正切的概念求出，根据题意列方程，解方程即可；作于，设，用表示出，根据三角形面积公式列式计算即可求解； （2）由（1）的结果，即可作出判断． 【详解】（1）解：作于， 设海里， 在中，， 在中，， ， 则， 解得，， ， ，，， 作于， 设，则， ，， ， ， 则， 解得，，则， ∵， ∴， 答：与之间的距离为200海里；与之间的距离为海里； （2）解：由（1）得 ∴巡逻船沿直线去营救船，在去营救的途中无触暗礁危险． 75．如图，某公园中的四个景点铺设了游览步道（步道可以骑行），组成一个四边形，为了方便，在景点C的正东方设置了休息区M，其中休息区M在景点A的南偏西方向米处，景点A在景点B的北偏东方向，景点B和休息区M两地相距米（），景点D分别在休息区M、景点A的正东方向和正南方向． (1)求步道的长度（结果保留根号）； (2)小明和小莹骑共享单车到景点A游玩，他们同时从休息区M出发，小明沿路线，速度为每分钟米；小莹沿路线，速度为每分钟米．请通过计算说明，小明和小莹谁先到达景点A．（参考数据：，） 【答案】(1)步道AB的长度为米； (2)小莹先到达景点A 【分析】此题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识． （1）过点M作于M，则，证明为等腰直角三角形，得到（米），（米），即可得到答案； （2）求出路线②的路程，得到小莹到达景点A的时间，求出路线①的路程，得到小明到达景点A的时间，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，米，米， ∴， 过点M作于M，则， ∴为等腰直角三角形， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：步道的长度为米； （2）∵米，，， ∴（米），（米）， ∴路线②的路程为（米）， ∴小莹到达景点A的时间为（分钟）， ∵路线①的路程为（米）， ∴小明到达景点A的时间为（分钟）， ∵， ∴小莹先到达景点A． 76．舞龙俗称舞龙灯，源自古人对龙的崇拜，每逢佳节人们都会舞龙，以此方式来祈求平安和丰收，春节前夕在某广场举行了一次舞龙表演．如图，表演场地在点C处，已知小明家A在表演场地C南偏西方向上．小明有两条路线去看表演，路线①：从小明家A穿过一公园D，再沿到达表演场地C，其中点D在点A的东北方向上，点C在点D的北偏东方向上且距离点D米处；路线②：从小明家A出发沿正东方向到达十字路口B，再沿正北方向到达表演场地C． （A、B、C、D在同一平面内，参考数据：，，，，，） (1)求小明家A到公园D的距离；（结果保留根号） (2)小明和爸爸一起去看表演，他们计划出门，爸爸选择路线①步行前往，步行的平均速度，小明选择路线②骑自行车前往，骑车的平均速度是，若表演正式开始的时间是，小明和爸爸能否在表演正式开始前到达表演场地C，请通过计算说明理由．（结果保留1位小数） 【答案】(1)米； (2)爸爸不能在表演正式开始前到达表演场地C，理由见解析；小明能在表演正式开始前到达表演场地C，理由见解析． 【分析】此题考查了解直角三角形的应用． （1）过点D作于点F，作于点E，证明四边形是矩形，则，求出，米，，则米，，设，得到米，，则米，，， 解得即可； （2）分别计算出二人的路程，根据路程除以速度得到各自的时间，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：过点D作于点F，作于点E，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，米， ∴（米），（米）， ∴（米）， 设米， 在中，， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， ∴， 解得， 即小明家A到公园D的距离为米； （2）爸爸不能在表演正式开始前到达表演场地C，理由如下： 由（1）可知，米， ∴， 即爸爸的时间为， ∵， ∴爸爸不能在表演正式开始前到达表演场地C； 小明能在表演正式开始前到达表演场地C，理由如下： 由（1）可知， 米， ∴， 即小明的时间为， ∵， ∴小明能在表演正式开始前到达表演场地C； 77．如图，A，B，C，D，E分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，沿湖修建了健身步道，在B，D之间修了一座桥．B，D在A的正东方向，C在B的正南方向，且在D的南偏西方向，E在A的北偏东方向，且在D的北偏西方向，米，米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留小数点后一位）； (2)甲、乙两人从拍照点A出发去拍照点D，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 【答案】(1)的长度为米 (2)甲选择的路线较近 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）作于，则，解直角三角形求出、的长，再结合计算即可得解； （2）解直角三角形，分别求出两条路线的长度，比较即可得解． 【详解】（1）解：如图：作于，则， ， 由题意得：米，米，，， ∴在中，，，米， ∴米，米， 在中，，， ∴米， ∴米， ∴的长度为米； （2）解：在中，，，米， ∴米， ∴米， 在中，，，米， ∴米，米， ∴米， ∵， ∴甲选择的路线较近． 78．某公园有一景观湖泊，围绕湖泊修建了如图所示的步道．已知点在点的正南方，点在点的东南方向，点在点的正西方，点在点的南偏西方向上，点在点A北偏东方向上，若米．（参考数据：，，，） (1)求的长度； (2)小聪和爸爸到公园游玩，小聪选择沿路线慢跑到点C，他的平均速度是400米/分．爸爸选择沿路线散步到点C，他的平均速度为100米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明小聪和爸爸谁会先到达点C？ 【答案】(1)米 (2)小聪 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，数形结合、正确计算是解题的关键． （1）过连接，过点作于点，利用解直角三角形，求出、、，得米，再在求出计算结果保留整数即可． （2）先求出两人路程，再求出需要的时间即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点，    又∵点A在点C的正南方，点D在点A的正西方， ∴， 依题意得：，，， ∵米； ∴（米） （米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：的长度为米． （2）∵米，， ∴（米） ∴小聪选择沿路线慢跑到点C，所需要的时间为：（分） ∵（米） 所以爸爸选择沿路线散步到点C，所需要的时间为：（分）， ∵， 答：小聪先到达点C． 79．为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的、两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在处海域．如图所示，海里，在处测得在北偏东的方向上，处测得在北偏西的方向上，在海岸线上有一灯塔，测得海里． (1)求出A与C距离（结果保留根号）． (2)已知在灯塔周围100海里范围内有暗礁群，我在处海监船沿前往处盘查，途中有无触礁的危险（参考数据：，，． 【答案】(1)与的距离为海里 (2)海监船沿前往处盘查，无触礁的危险 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目中所给方向角构造直角三角形，然后利用三角函数的知识求解，难度适中． （1）如图所示，过点作于点，可求得，，设，在与中，分别表示出、的长度，然后根据海里，代入、的式子，求出的值，继而可求出的长度； （2）如图所示，过点作于点，在中，根据的值，利用三角函数的知识求出的长度，然后与100比较，进行判断． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， 可得，， 设， 在中，， 在中，， 海里， ， 解得：， 则， 答：与的距离为海里； （2）解：如图所示，过点作于点， 在中， ，， ， 故海监船沿前往处盘查，无触礁的危险． 80．如图，A点、B点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离B点正东方向的处有一海岸瞭望塔C，又用经纬仪测出：点分别在点的北偏东处、在点的东北方向．（注：，结果精确到） (1)试求出小岛码头A点到海岸线的距离； (2)有一观光客轮从至方向沿直线航行，某瞭望员在处发现，客轮刚好在正北方向的处，当客轮航行至处时，发现点在的北偏东处，请求出点到点的距离； 【答案】(1)小岛码头点到海岸线的距离约为 (2)点到点的距离约为 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用； （1）根据题意可得，，，然后由列式计算即可； （2）过C作于N，先求出，再解直角三角形求出，然后根据含直角三角形的性质得出答案． 【详解】（1）解：过A作于M， 由题意得：，，， ∴，， ∴， 解得：， 经经验，是原方程的解，且符合题意， 答：小岛码头点到海岸线的距离约为； （2）解：如图所示，过C作于N， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：点到点的距离约为． 81． 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 【答案】(1)渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里 (2)救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解答的关键． （1）过作于，根据题意求得，在中，根据垂线段最短和锐角三角函数定义求解即可； （2）先根据锐角三角函数定义求得，进而可得，在中，利用两点之间线段最短及锐角三角函数定义求解即可． 【详解】（1）解：过作于，则， 由题意可知，则， 在中，∵，， ∴． 答：渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴． 故救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里． 题型十 解直角三角形的其它应用问题 例：数学课题研究小组针对住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下： 【方案设计】 要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该数学课题研究小组通过调查研究，设计安装了如图1的遮阳篷，其中遮阳篷垂直于墙面表示窗户． 【数据收集】 如图，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角． 【问题提出】 (1)如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长； (2)如图3，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）解即可； （2）先解得到，再解得到，则，即可求解． 【详解】（1）解：如图2，在中，， ， ， 的长为； （2）解：如图3，在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ∴遮阳篷的长为． 83．如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，夏至日影最短．圭面上冬至线与夏至线之间的距离的长为，则表高为（　　）（参考数据：冬至时，；夏至时，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，利用数形结合的思想是解题关键．设，结合题意可得出，，解出x的值即可． 【详解】解：如图，设表高， ∵冬至时，；夏至时，， ∴冬至时，；夏至时，， ∴，， ∴，， 解得：． 故表高为． 故选A． 84．如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得，点，，在同一直线上，且直线与水平地面平行，图3中所有点在同一平面内，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，） (1)求的长； (2)求物体上升的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)长 (2)物体上升的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）解即可求解； （2）在中，由勾股定理得，，解求得，根据即可求解． 【详解】（1）解：在中， 答：长． （2）在中，     在中， ， 答：物体上升的高度为． 85．如图1是公交车的站台，主要由顶棚、站牌、底座构成．图2是其截面示意图，站牌截面是矩形，边平行于地面，边垂直于地面，顶棚与站牌上端的夹角，底座与地面的夹角．经测量．（结果精确到；参考数据：） (1)求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离； (2)求棚顶边缘点E到地面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）过点E作于点G，过点D作于点H，在中求出，进而求出即可； （2）过点C作于点P，于点K，由题意得，在中求出，在中求出，即可解答． 【详解】（1）解：过点E作于点G，过点D作于点H， ， ， ， 答：站牌边缘，点D与棚顶边缘点E的水平距离为． （2）解：过点C作于点P，于点K， ， ， ， ， ， ， 答：棚顶边缘点E到地面的距离为． 86．如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边与键盘所在面的侧边长均为，点P为眼睛所在位置，D为的中点，连接，当时，称P点为“最佳视角点”，此时，作，垂足C在的延长线上，且． (1)求点D到的距离；（结果保留根号） (2)求的长．（结果精确到，参考数据） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用,涉及矩形的判定与性质、锐角三角函数等知识，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过D点作DE⊥OC于E点，在，先求得，，然后利用锐角三角函数求解即可； （2）过D点作于F点，证明四边形是矩形得到，，，进而得到，求得，在中，利用锐角三角函数求得，进而可求解． 【详解】（1）解：过D点作于E点，则 ， 在中， ∵， ∴， 答：点D到的距离为； （2）解：过D点作于F点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴(cm)， 即的长度为． 87．图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)支点O到小竹竿的距离 (2)点A上升的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）作于点G，由题意可知，，在中，应用特殊角三角函数值求即可； （2）记交于点H，由题意推出，在中，求，在中求，则点A上升的高度可解． 【详解】（1）解：作于点G（图1）， ∵O为的中点，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴ ∴支点O到小竹竿的距离． （2）解：记交于点H（图2）， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 在中， ， 在中， m ∴点A上升的高度为． 88．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：；）     (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，理解题意是解题的关键； （1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； （2）由正弦函数求得；延长，交于点，则得四边形是矩形，求得，再由条件得，最后由即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， （2）解：， ， 延长，交于点， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ； 答：线段的长度为． 89．好的座椅可以让人坐着更舒适．交大附中教师办公室座椅如图1所示，它的主要组成有支撑部分、座面和椅背，座面和椅背均可以进行调节．其纵截面如图2所示，支撑部分，与水平地面垂直，，，，． (1)求点D距离地面的高度； (2)相较于座面水平、椅背竖直的情况，座面稍向下倾斜，椅背与座面的夹角略大于时，坐起来更加舒适．已知当座椅的座面与水平面的夹角为，座面与椅背的夹角为时坐起来最舒适，求坐起来最舒适时点H距离地面的高度（小数点后保留1位小数）． 【答案】(1)点距离地面的高度为 (2)点距离地面的高度 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． （1）延长交于，则，在中，解直角三角形即可求解； （2）过点作，过点作，则，在，中，分别解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：延长交于，则， ∵， ∴， ∴， 则点距离地面的高度为； （2）过点作，过点作，则， ∴，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 则， ∴点距离地面的高度． 90．海钓时将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端离岸，即．海面与地面平行且相距，即．    (1)如图1，无鱼上钩时，海面上方鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点到岸边的距离（精确到）： (2)如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点恰好位于海面．求点到岸边的距离．（参考数据：） 【答案】(1)点O到岸边的距离为 (2)点O到岸边的距离为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是表示出线段的长后，理清线段之间的关系． （1）过点B作，垂足为F，延长交于E，先根据三角函数的定义求出，继而得出，再根据三角函数的定义求出，继而得出，根据三角函数的定义得出，从而得出的长度； （2）过点B作，垂足为N，延长交于点M，垂足为M，先根据三角函数的定义求出，继而得出，再根据三角函数的定义求出，继而得出，利用勾股定理求出，从而得出的长． 【详解】（1）解：过点B作，垂足为F，延长交于E，则，    由， ∴， ∴，即 ∴， 由， ∴， ∴，即 ∴， 又， ∴，即 ∴， 即点O到岸边的距离为； （2）解：过点B作，垂足为N，延长交于点M，    由， ∴， ∴， 即， ∴， 由， ∴ ∴，即, ∴， ∴， ∴， 即点O到岸边的距离为 91．随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，） (1)如图2，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，，如图3所示，且点到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 【答案】(1)端点距离地面的高度约为； (2)的长约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据已知易得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点，根据题意得：，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用平角定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ，， ， 在中，， ， ， ， 端点距离地面的高度约为； （2）解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 答：的长约为． 试卷第2页，共100页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十八章 锐角三角函数知识归纳与题型突破（十题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 二、30°，45°，60°角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 三、解直角三角形的概念及理论依据 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 四、解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 五、解直角三角形的实际应用 1．仰角、俯角、坡度、坡角和方向角 (1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角． (2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. (3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角． 2．解直角三角形实际应用的一般步骤 (1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； (2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； (3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型： （1） 叠合式 （2）背靠式 解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解． 03 题型归纳 题型一锐角三角函数定义的辨析 例：如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 3．在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 5．在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 6．在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 7．如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 求锐角三角函数值 例：如图，在中，a、b、c分别为的对边，且．试求最小角的三角函数值． 9．在等腰，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（    ） A． B． C． D． 11．中，，，，那么的值是（　　） A． B． C． D． 12．在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 13．如图，在中，，，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 14．如图，四边形为正方形，点E在边上，且，点F在边上，．若，则的值为 ． 15．如图，在矩形中，于点，，，设，则的值为 ．    16．如图，在正方形中，E为的中点，点F在边上，且，求的正弦值、余弦值． 17．已知a、b、c是的三边，，，满足等式，且，求的值． 18．如图，将以点A为直角顶点的等腰直角三角形沿直线平移得到，使点与点C重合，连接，则的值为？ 题型三 由三角函数值求边长 例：在中，，如果，，那么 ． 20．如图，在中，，，D为AC上一点，，，则 ． 21．已知点P位于第一象限内，，且与x轴正半轴夹角的正弦值为，那么点P的坐标是 22．在中，，，，则 ． 23．如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 24．在中，，，，则 25．如图，在中，，是边的中线，过点作，交延长线于点．若，，则的长为 ． 26．如图所示，中，，，，且D为上一点，将沿翻折，C落在，边与边交于F，若，则 ．    27．如图，已知及边上一点C． (1)用无刻度的直尺和圆规在射线上求作点O，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以点O为圆心，以为半径的圆交射线于点B，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点M，使点M到点C的距高与点M到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，求的长． 题型四 利用特殊角三角函数值进行混合运算 例：计算： (1) (2)． 29．计算：． 30．计算：= ． 31．计算：． 32．计算：． 33．已知是锐角，且，求和的值． 34．计算∶ (1)； (2) 35．计算： (1) (2)． 题型五 由特殊角三角函数值求角度 例：在中，满足，试判断的形状，并说明理由． 37．在中，，都是锐角，且，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 38．在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 39．如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 40．在中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 41．在锐角三角形中，若，则的度数为 ． 42．如果，那么锐角的度数是 43．若是的一个内角，且有，则等于 ． 题型六 解直角三角形的有关计算 例：已知中，和均为锐角，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 45．在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值． 46．如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角α的正切值为，则m的值为 ． 47．如图，在△中，，，，则的长为 ． 48．如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． (1)求的长． (2)求的值． 49．如图，在矩形中，，，点E在上，且，过点D作于点F． (1)求的三角函数值； (2)求的三角函数值． 50．已知是的高，，求的度数． 51．如图，，，，． (1)求的值； (2)求点B到直线的距离． 52．已知：，，，设． (1)求的长； (2)求的值； (3)设，求的值． 53．如图，已知中，，，，，求的长． 题型七 坡度与坡角的应用 例：某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点B离水平地面的高度． (2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 55．小明沿着坡比为的斜山坡向上走了，则他升高了（   ） A． B． C． D． 56．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是（    ）米 A． B． C． D． 57．打铁花，是流传于豫晋地区民间传统的烟火，国家级非物质文化遗产之一，铁花飞溅，寓意着生活多姿多彩．春节前夕，在渝北区龙湖天街广场举行了一次打铁花表演．小明家在点A处，表演场地C在小明家北偏东．小明有两种方式去看表演，路线①从A经过一段楼梯到达点D，，再沿到达C处，已知点C在点D的东北方向处；路线②从A出发沿正东方向到达点B，再沿正北方向到点C处．（A、B、C、D在同一平面内）（参考数据：，，， (1)求楼梯的长度； (2)小明计划出门，如果选择路线①只能走路，走路的最快速度是，如果选择路线②则可以跑步，跑步的平均速度是，表演正式开始时间是，小明能赶在表演前到达点C处吗？如果能，选择哪条路线，如果不能，具体说明原因（数据保留1位小数）． 58．在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵长在斜坡上的杨树的高度．如图，已知斜坡的坡度为米，在距离点C4米处的点D测得杨树顶端A的仰角为． (1)______度； (2)求杨树的高度．（，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上，结果精确到米，参考数据：） 59．如图，为了测量某建筑物的高度，测最员采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为，建筑物底端B的俯角为，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度．根据测量员的测量数据， (1)求坡顶D到的距离. (2)求建筑物的高度．（参考数据：） 60．如图，为了测量某建筑物的高度，小明先在地面上用测角仪A处测得建筑物顶部的仰角是，然后在水平地面上向建筑物前进了到达D处，此时遇到一斜坡，坡度，沿着斜坡前进到达F处测得建筑物顶部的仰角是，（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）． (1)求斜坡的端点F到水平地面的距离和斜坡的水平宽度分别为多少米？ (2)求建筑物的高度为多少米？ (3)现小亮在建筑物一楼（水平地面上点B处）乘电梯至楼顶（点C），电梯速度为，同时小明从测角仪处（点A）出发，骑摩托车至斜坡的端点F处，已知，小明在平地上的车速是上坡车速的两倍，小亮所用时间是小明所用时间的一半，求小明上坡时的车速为多少？ 61．水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形．如图所示，已知迎水坡面的长为米，，背水坡面的长为米，加固后大坝的横截面为梯形，的长为米． (1)已知需加固的大坝长为米，求需要填土石方多少立方米？ (2)求加固后大坝背水坡面的坡度． 62．2023年3月11日13时46分日本发生了级大地震，随着着就是海啸．山坡上有一棵与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角，量得树干的倾斜角为，大树被折断部分和坡面所成的角． (1)求的度数； (2)求这棵大树折点C到坡面的距离？ （结果精确到个位，参考数据：）． 63．风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座建在山坡上（坡比，垂直于水平地面，，，三点共线），坡面长，三个相同长度的风轮叶片，，可绕点转动，每两个叶片之间的夹角为；当叶片静止，与重合时，在坡底F处向前走米至点处，测得点处的仰角为，又向前走米至点处，测得点处的仰角为（点，，，在同一水平线上）． (1)求叶片的长； (2)在图2状态下，当叶片绕点顺时针转动时（如图3），求叶片顶端离水平地面的距离．（参考数据：，，，，结果保留整数） 题型八 仰角、俯角的应用 例：暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）． (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟．（参考数据：，，） 65．某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 实施过程 1．选取与树底B位于同一水平地面的D处； 2．测量D，B两点间的距离； 3．站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角； 4．测量C到地面的高度． 1．选取与树底B位于同一水平地面的E处； 2．测量E，B两点间的距离； 3．在E处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； 4．测量E，D两点间的距离； 5．测量C到地面的高度． 测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 66．图①是象山亚帆中心地标性建筑亚帆灯塔．某数学兴趣小组测量亚帆灯塔的高度后绘制了如图②所示的示意图．在其附近高为的高台上的处测得塔顶处的仰角为，塔底部处的俯角为．求亚帆灯塔的高．（结果精确到）【参考数据：，，】 67．嘉嘉使用桌上书架如图1所示．嘉嘉发观，当书架与桌面的夹角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时舒适度不太理想．嘉嘉调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角时（点是的对应点），舒适度较为理想． (1)书架在旋转过程中，求顶部边缘点到走过的路径长． (2)如图2这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在处，书上有一点，旋转点到点的距离为，嘉嘉看点的俯角为，眼睛到桌面高度为点到点的距离为，求此时眼睛到点的距离，即的长度．（结果精确到；参考数据：，，） 68．【项目式活动探究】光岳楼位于聊城古城中央，始建于明洪武七年（公元1374年），被誉为中国十大名楼，光岳楼为中国既古老又雄伟的木构楼阁，是宋元建筑向明清建筑过渡的代表作，在中国古代建筑史上有着重要地位，1988年光岳楼被列为全国重点文物保护单位，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉，某校数学实践小组利用所学数学知识测量光岳楼的高度，他们制订了两个测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.在测量仰角的度数以及有关长度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果.下面是两个方案及测量数据（不完整） 项目 测量光岳楼的高度 方案 方案一：标杆垂直立于地面，借助平行的太阳光线构成相似三角形测量：标杆长，影长及同一时刻塔影长 方案二：利用锐角三角函数.测量：距离，仰角，仰角 说明 、、三点在同一条直线上 、、三点在同一条直线上 测量示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 【问题解决】 (1)“方案一”两次测量塔影长的平均值是 (2)根据“方案一”的测量数据，可求得光岳楼的高度为 (3)根据“方案二”的测量数据，求出光岳楼的高度；（参考数据：，，）注：结果保留1位小数 (4)请对本次实践活动进行评价（一条即可） 69．某数学小组在刘老师的指导下测量一建筑物高度，活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量建筑物的高度 活动过程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图） 步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器 步骤三：实地测量并记录数据（A，B，C，D在同一平面上，于点D） ①建筑物前有一段斜坡，斜坡的坡度； ②在斜坡的底部A测得建筑物顶点C的仰角为； ③斜坡长52米； ④在点B测得建筑物顶点C的仰角为． 步骤四：计算建筑物的高度 请结合以上信息完成步骤四：计算建筑物的高度． （参考数据：） 70．如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得顶端的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得顶端的仰角为．（参考数据，，，） (1)______度，______度，______米； (2)电子厂的高度为多少米？ 71．根据背景素材，探索解决问题： 测算发射塔的高度 背景素材 博雅小组在一幢楼房窗前测算远处小山坡上发射塔的高度（如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A、B、C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示． 测得A、B之间的图上距离为； 测得A、C之间的图上距离为． 测得D、E之间的图上距离为． 经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度． 问题解决 任务1 获取数据 选择两个观察位置： 点______和点______． 任务2 推理计算 直接写出所选位置且需要的观测角的正切值：______________； 直接写出已测得且需要的线段的图上距离：_______________． 计算发射塔的图上高度． 任务3 换算高度 楼房的实际宽度为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度． 72．如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点在同一条直线上．其中，米． (1)求无人机的飞行高度；（结果保留根号） (2)求河流的宽度．（结果保留根号） 题型九 方位角的应用 例：如下图，、、、是某个景区的四个游客休息区（只有，可骑行），在的正西方向，在的正北方向；在的北偏东方向，在的北偏西方向，且在的东北方向，米．（参考数据：，，，，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)周末小义和小飞相约一起去公园游玩，他们到达后发现有两条路线可到，小义选择路线①，步行速度为每分钟90米；小飞选择路线②，他租了一辆共享单车，骑行速度为每分钟240米，中途在处停留5分钟观赏风景，请你通过计算说明，小义和小飞谁先到达． 74．如图，在南北方向的海岸线上，有、两艘巡逻船，现均收到故障船的求救信号．已知、两船相距海里，船在船的北偏东60°方向上，船在船的东南方向上，上有一观测点，测得船正好在观测点的南偏东75°方向上． (1)分别求出与，与之间的距离和（如果运算结果有根号，请保留根号）． (2)已知距观测点处100海里范围内有暗礁．若巡逻船沿直线去营救船，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：，） 75．如图，某公园中的四个景点铺设了游览步道（步道可以骑行），组成一个四边形，为了方便，在景点C的正东方设置了休息区M，其中休息区M在景点A的南偏西方向米处，景点A在景点B的北偏东方向，景点B和休息区M两地相距米（），景点D分别在休息区M、景点A的正东方向和正南方向． (1)求步道的长度（结果保留根号）； (2)小明和小莹骑共享单车到景点A游玩，他们同时从休息区M出发，小明沿路线，速度为每分钟米；小莹沿路线，速度为每分钟米．请通过计算说明，小明和小莹谁先到达景点A．（参考数据：，） 76．舞龙俗称舞龙灯，源自古人对龙的崇拜，每逢佳节人们都会舞龙，以此方式来祈求平安和丰收，春节前夕在某广场举行了一次舞龙表演．如图，表演场地在点C处，已知小明家A在表演场地C南偏西方向上．小明有两条路线去看表演，路线①：从小明家A穿过一公园D，再沿到达表演场地C，其中点D在点A的东北方向上，点C在点D的北偏东方向上且距离点D米处；路线②：从小明家A出发沿正东方向到达十字路口B，再沿正北方向到达表演场地C． （A、B、C、D在同一平面内，参考数据：，，，，，） (1)求小明家A到公园D的距离；（结果保留根号） (2)小明和爸爸一起去看表演，他们计划出门，爸爸选择路线①步行前往，步行的平均速度，小明选择路线②骑自行车前往，骑车的平均速度是，若表演正式开始的时间是，小明和爸爸能否在表演正式开始前到达表演场地C，请通过计算说明理由．（结果保留1位小数） 77．如图，A，B，C，D，E分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，沿湖修建了健身步道，在B，D之间修了一座桥．B，D在A的正东方向，C在B的正南方向，且在D的南偏西方向，E在A的北偏东方向，且在D的北偏西方向，米，米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留小数点后一位）； (2)甲、乙两人从拍照点A出发去拍照点D，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 78．某公园有一景观湖泊，围绕湖泊修建了如图所示的步道．已知点在点的正南方，点在点的东南方向，点在点的正西方，点在点的南偏西方向上，点在点A北偏东方向上，若米．（参考数据：，，，） (1)求的长度； (2)小聪和爸爸到公园游玩，小聪选择沿路线慢跑到点C，他的平均速度是400米/分．爸爸选择沿路线散步到点C，他的平均速度为100米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明小聪和爸爸谁会先到达点C？   79．为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的、两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在处海域．如图所示，海里，在处测得在北偏东的方向上，处测得在北偏西的方向上，在海岸线上有一灯塔，测得海里． (1)求出A与C距离（结果保留根号）． (2)已知在灯塔周围100海里范围内有暗礁群，我在处海监船沿前往处盘查，途中有无触礁的危险（参考数据：，，． 80．如图，A点、B点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离B点正东方向的处有一海岸瞭望塔C，又用经纬仪测出：点分别在点的北偏东处、在点的东北方向．（注：，结果精确到） (1)试求出小岛码头A点到海岸线的距离； (2)有一观光客轮从至方向沿直线航行，某瞭望员在处发现，客轮刚好在正北方向的处，当客轮航行至处时，发现点在的北偏东处，请求出点到点的距离； 81． 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 题型十 解直角三角形的其它应用问题 例：数学课题研究小组针对住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下： 【方案设计】 要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该数学课题研究小组通过调查研究，设计安装了如图1的遮阳篷，其中遮阳篷垂直于墙面表示窗户． 【数据收集】 如图，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角． 【问题提出】 (1)如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长； (2)如图3，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到）（参考数据：） 83．如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，夏至日影最短．圭面上冬至线与夏至线之间的距离的长为，则表高为（　　）（参考数据：冬至时，；夏至时，） A． B． C． D． 84．如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得，点，，在同一直线上，且直线与水平地面平行，图3中所有点在同一平面内，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，） (1)求的长； (2)求物体上升的高度（结果保留根号）． 85．如图1是公交车的站台，主要由顶棚、站牌、底座构成．图2是其截面示意图，站牌截面是矩形，边平行于地面，边垂直于地面，顶棚与站牌上端的夹角，底座与地面的夹角．经测量．（结果精确到；参考数据：） (1)求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离； (2)求棚顶边缘点E到地面的距离． 86．如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边与键盘所在面的侧边长均为，点P为眼睛所在位置，D为的中点，连接，当时，称P点为“最佳视角点”，此时，作，垂足C在的延长线上，且． (1)求点D到的距离；（结果保留根号） (2)求的长．（结果精确到，参考数据） 87．图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 88．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：；）     (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 89．好的座椅可以让人坐着更舒适．交大附中教师办公室座椅如图1所示，它的主要组成有支撑部分、座面和椅背，座面和椅背均可以进行调节．其纵截面如图2所示，支撑部分，与水平地面垂直，，，，． (1)求点D距离地面的高度； (2)相较于座面水平、椅背竖直的情况，座面稍向下倾斜，椅背与座面的夹角略大于时，坐起来更加舒适．已知当座椅的座面与水平面的夹角为，座面与椅背的夹角为时坐起来最舒适，求坐起来最舒适时点H距离地面的高度（小数点后保留1位小数）． 90．海钓时将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端离岸，即．海面与地面平行且相距，即．    (1)如图1，无鱼上钩时，海面上方鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点到岸边的距离（精确到）： (2)如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点恰好位于海面．求点到岸边的距离．（参考数据：） 91．随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，） (1)如图2，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，，如图3所示，且点到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 试卷第2页，共100页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$