第二十八章 锐角三角函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（人教版）

第二十八章 锐角三角函数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在中，，的对边分别是a，b，c，则下列等式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据锐角三角函数的定义选出正确答案即可． 【详解】解：A、，即，该式计算正确，不合题意，故本选项错误； B、，即，该式计算正确，不合题意，故本选项错误； C、，即，该式计算错误，符合题意，故本选项正确； D、，即，该式计算正确，不合题意，故本选项错误； 故选：C． 2．如图，是电杆一根拉线，米，，则拉线长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．掌握正弦的定义并利用数形结合的思想是解题关键．根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：在中，， 米， 故选：A． 3．在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是锐角三角函数，勾股定理，掌握余弦得定义是解题的关键． 根据勾股定理求出，根据余弦的定义计算即可． 【详解】解：如图所示， ， ∵在中，，， ∴由勾股定理得，， 则， 故选：A． 4．如图，将三角尺和三角尺叠放在一起，直角边与完全重合，已知长为，若三角尺沿方向移动，此时测得长是6，则移动距离是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，，则，如图，作于，则，，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 如图，作于， ∴cm，cm，cm， ∴cm， ∴cm， 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，正切，正弦，余弦等知识．熟练掌握平移的性质，平行线的性质，正切，正弦，余弦是解题的关键． 5．如图，，O为射线上一点，以点O为圆心，长为半径作，要使射线与相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，切线的性质，解直角三角形，设旋转后与相切于点D，连接，根据切线的性质和三角函数，求出，再分点D在射线上方和下方两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图，设旋转后与相切于点D，连接，则：， ∵， ∴， ∴， ∴当点D在射线上方时，， 当点D在射线下方时，， 故选：B． 6．某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的篱笆（不包括门）总长为，现有四种方案（如图）中面积最大的方案为（    ） A方案为一个封闭的矩形 B方案为一个等边三角形，并留一处宽的门 C方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留宽的门 D方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留宽的门 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的面积处理方法，按相关图形分别求出空白部分（饲养室）的面积，通过比较就可以得到结论． 【详解】解：对于A选项，所图，设边的长为，则可知， 所以， 即当时，最大面积； 对于B选项，如图，设，则可得，即， 所以； 对于C选项，如图，设，则，所以， 所以，， 即当时，最大面积； 对于D选项，如图，设，则， 所以； 故当时，最大面积， 综上可知，建成的饲养室中面积最大的方案是C． 故选：C． 7．平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（   ）    A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先求得的度数，求得，则，设，则，根据，计算求解的值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 过B作，垂足为P，    ∴， ∴，， ∴，， 设，则， ∴， 解得， ∴观测站到的距离是1． 故选：B． 8．如图，矩形中，，点M为的中点，连接；点P为上一个动点，连接，点Q为的中点，则线段的最小值为（   ） A．5 B． C． D．6 【答案】C 【分析】取的中点，连接，如图所示，Q是的中点，，，在矩形中，因为F是的中点，E是的中点，所以，则四边形是平行四边形，，则三点共线，当时，取最小值，由平行线的性质，则故，再结合勾股定理得，则，解出即可作答． 【详解】解：如图：取的中点，连接，，如图所示， ∵Q是的中点，是的中点， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵F是的中点，M是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，则三点共线， 当时，取最小值， ∵ ∴ ∴， ∴， 在中，， 则， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质，垂线段最短，三角形的中位线定理，锐角三角函数，勾股定理，平行四边形的判定与性质，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9．某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为，墙的高度均为3米．在时刻t，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、米．在线查阅天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻t最可能为（ ） 太阳高度角 时间 太阳高度角 时间 （参考数据：，，，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设两竖直墙面的交线为，点E被太阳照射在地面上的影子为点B，点A、C分别是点B在两条墙角线上的射影，连接、、，过点C作于点F，由题意可知就是太阳的高度角，解直角三角形求出（米），（米），根据勾股定理求出（米），证明A、B、C、D四点共圆，且为中点，取的中点O，过点O作于点G，连接，，解直角三角形得出（米），求出，得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，设两竖直墙面的交线为，点E被太阳照射在地面上的影子为点B，点A、C分别是点B在两条墙角线上的射影，连接、、，过点C作于点F，由题意可知就是太阳的高度角， ∵在四边形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴（米）， （米）， ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴A、B、C、D四点共圆，且为中点， 取的中点O，过点O作于点G，连接，， 则，米，， ∵，， ∴， ∴（米）， ∴米， ∴， ∵， ∴， 根据表格中的数据可知：时刻t最可能为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，四点共圆，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义和圆的性质． 10．我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连结，，交于点P，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形的中心为O，连接OA，过点A作AH⊥FC于点H，则△OFA是等边三角形，∠PFA=60°，由正十二边形的中心角及圆周角定理，可得∠FAG=75°，则易得△AHP是等腰直角三角形，从而可求得AH=PH的长，以及FH、AF 的长，故可得PF、FC的长，最后求得PC的长，并求得结果． 【详解】设正六边形的中心为O，连接OA，过点A作AH⊥FC于点H，如图 ∵正六边形的中心角为：360°÷6=60°，OA=OF ∴△OFA是等边三角形 ∴∠PFA=60°,OF=AF ∵AH⊥FC ∴∠FAH=90°-∠PFA=30° ∵正十二边形的中心角为：360°÷12=30° ∴弧FEG所对的圆心角为5×30°=150° ∴∠FAG==75° ∴∠HAP=∠HPA=45° ∴ ∴ ∴AF=2FH=4 ∴，FC=2OF=8 ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解非直角三角形等知识，关键是通过恰当的辅助线把一般三角形转化为特殊三角形来解决． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在中，，，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是求角的正弦值、解直角三角形、勾股定理，解题关键是熟练掌握解直角三角形的相关计算． 先根据解直角三角形求得，设，，其中且，有勾股定理得到后即可得到． 【详解】解：如图， 中，，， 即， 可设，，其中且， ， ． 故答案为：． 12．如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键． 作于点，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：作于点， 由题知，， ， ， ， 故答案为：． 13．如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则的值是 【答案】 【分析】本题考查了正切的定义，作于，则，，再根据正切的定义计算即可得解． 【详解】解：如图，作于， ， 由图可得：，， ∴， 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则k＝ ． 【答案】32 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴（负值已舍）， 则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故答案为：32． 15．在矩形中，点E在直线上，，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质、余弦值以及分类讨论等知识；分两种情况：①点E在边上时，根据题意求出，②点E在边的延长线时，根据题意求出，,即可得出答案． 【详解】解：分两种情况： ①点E在边上时， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴； ②点E在边的延长线时， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴； 故答案为：或． 16．如图，已知等边三角形，点为外一点，连接，；且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，且，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形；连接，过点作交延长线于F，先证明，根据已知得出，进而解，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作交延长线于F， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，； ∵三角形是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴，， 又∵， ∴，； ∵， ∴， 在中，； 故答案为：． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，过点作，垂足为，由可得，进而由勾股定理可得，，最后根据线段的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，垂足为， 在中，，， ， ∴， 在中，， ∴， ． 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算． （1）先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可； （2）先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．已知，如图，，垂足为，，求的正弦值、余弦值和正切值． 【答案】，， 【分析】本题主要考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，掌握锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 根据题意，运用勾股定理可得，由相似三角形的判定和性质可得，，，结合锐角三角函数的计算方法即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， ， ． 20．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．在中，，平分，点G是的中点，点F是上一点，，延长交的延长线于点E，连接． (1)证明：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为4 【分析】（1）证明，得到，即可得证； （2）根据平行四边形的性质，得到，进而得到，结合，求出的长，进而求出的长，利用求出的长，再用即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分，点G是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形．掌握并能够灵活运用相关知识点，是解题的关键． 22．已知：如图，点A、B在上，直线是的切线，连接交于点D，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】对于（1），根据可知，再根据切线的性质可得，即，然后根据得，结合对顶角相等可得答案； 对于（2），先根据正切的定义设，则，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）∵， ∴． ∵是的切线， ∴， 即． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即； （2）设，则， 根据勾股定理，得， 解得（舍）， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，对顶角相等，勾股定理，正切，勾股定理是求线段长的常用方法． 23．慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然䇯立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一．某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量慈氏塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点均在同一竖直平面内，且点在同一水平线上，．结果精确到．参考数据： (1)求无人机从点到点处的飞行距离； (2)求慈氏塔的高度． 【答案】(1) (2)慈氏塔的高度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，矩形的判定与性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于常考题型． （1）先根据题意可求出，，再根据中，即可解答； （2）过点D作，交延长线于点H，设，则，解直角三角形求出x的值，证明四边形是矩形，得到，由即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 在中，， ； （2）解：过点D作，交延长线于点H， ， ， ， 设，则， 在中， ， ， 解得：， ， ， 四边形是矩形， ， ， 答：慈氏塔的高度为． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．如图，在 中， ，点Q为的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点B运动，连接，以为底边向下作等腰直角，设点P 运动的时间为t秒． (1)求边的长． (2)用含 t的代数式表示的长． (3)当点 P 在运动时，将 分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，求这个轴对称图形的面积． (4)当点落到的一边的垂直平分线上时，直接写出t的值． 【答案】(1)10 (2) (3)或3或 (4)或 【分析】（1）勾股定理求出的长即可； （2）根据路程等于速度乘以时间求出的长，再根据线段的和差关系表示出即可； （3）根据将 分成的两部分图形中有一个是轴对称图形，得到为等腰三角形，分三种情况进行讨论求解即可； （4）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）由题意，得：， ∴； （3）∵将 分成的两部分图形中有一个是轴对称图形， ∴为等腰三角形， ∵点Q为的中点， ∴ ①当时，过点作， 则：， ∴； ②当时，过点作，则， ∴， ∴ ③当时，过点作，则：， ∵，， ∴， ∴； （4）①当点落在的中垂线上时，如图： ∵点为的中点， ∴点在的中垂线上，设为的中垂线， 则：， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则：， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴； ②当点落在的中垂线上时，如图，过点作， 则：， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上：或． 【点睛】本题考查勾股定理，列代数式，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 25．已知，在正方形中，点E、F分别在边和上，连接、交于点G， ． (1)如图1， 求证： (2)如图2， 若点E为的中点， 连接， 求 的值 (3)如图3，在矩形， ， ， 点E、F分别在边和上， 连接、交于点G， 若， ． 连接交于点H， 点M是上的一点，过点 M作交直线于点 N，①若， 则线段 的长为 ； ②若平分， 则线段的长为 ． 【答案】(1)见解析； (2) (3)①；② 【分析】（1）先证明，再通过角度计算即可得证； （2）延长交延长线于点，先证得，再得到，设，则 ，再过点作于，设， 则 ，，，，，得到，再算出，再通过计算即可； （3）①先通过矩形性质算出，延长交延长线于，则，得到，进而算出，再算出，设 则，算出a，再得到的长度，而则，代入数据即可求解； ②过点M作，易知且 为等腰直角三角形，设，则，设，则，得到，再通过三角函数及勾股定理算出，进而算出a，过E作 则四边形为矩形，算出与，再通过三角函数算出，则即可求解． 【详解】（1）证明 ：∵正方形， ∴，， 又∵， ， ， ， ， ． （2）由（1）可知， ， ， 延长交延长线于点， ∵ 为 中点， ， ， ， ∴ 为中点， ， ∴， 设， 则 ， 过点作于， 则， 设， 则 ，，，，， ， ， ， ， ． （3） ①∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ， 延长交延长线于， 则 ， ， ， ∵， ， ， ∴， ， 设 则，， ， ， 又∵ ， ， ， 而， ， ， ． 故答案为：． ②过点M作， ∵平分， 则且 为等腰直角三角形，且四边形为正方形， 由①知，， 设，则，， ，， ∴，又， ，， ， ∵ 且， ∴P、M、N共线， 过E作 则四边形为矩形， ， ， 又∵ ， ， ∵， ∴， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形基本性质，正方形基本性质，全等三角形性质，解直角三角形等基本性质，具有一定难度，能够正确做出辅助线是解题关键． 试卷第2页，共34页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十八章 锐角三角函数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在中，，的对边分别是a，b，c，则下列等式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，是电杆一根拉线，米，，则拉线长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，将三角尺和三角尺叠放在一起，直角边与完全重合，已知长为，若三角尺沿方向移动，此时测得长是6，则移动距离是（   ） A．2 B． C． D． 5．如图，，O为射线上一点，以点O为圆心，长为半径作，要使射线与相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 6．某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的篱笆（不包括门）总长为，现有四种方案（如图）中面积最大的方案为（    ） A方案为一个封闭的矩形 B方案为一个等边三角形，并留一处宽的门 C方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留宽的门 D方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留宽的门 A． B． C． D． 7．平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（   ）    A． B．1 C．2 D． 8．如图，矩形中，，点M为的中点，连接；点P为上一个动点，连接，点Q为的中点，则线段的最小值为（   ） A．5 B． C． D．6 9．某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为，墙的高度均为3米．在时刻t，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、米．在线查阅天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻t最可能为（ ） 太阳高度角 时间 太阳高度角 时间 （参考数据：，，，，） A． B． C． D． 10．我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连结，，交于点P，，则（    ） A．2 B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在中，，，则等于 ． 12．如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为 ． 13．如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则的值是 14．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则k＝ ． 15．在矩形中，点E在直线上，，若，则 ． 16．如图，已知等边三角形，点为外一点，连接，；且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，且，若，则的长为 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，在中，，，，求的长． 18．计算： (1)； (2)． 19．已知，如图，，垂足为，，求的正弦值、余弦值和正切值． 20．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．在中，，平分，点G是的中点，点F是上一点，，延长交的延长线于点E，连接． (1)证明：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 22．已知：如图，点A、B在上，直线是的切线，连接交于点D，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 23．慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然䇯立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一．某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量慈氏塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点均在同一竖直平面内，且点在同一水平线上，．结果精确到．参考数据： (1)求无人机从点到点处的飞行距离； (2)求慈氏塔的高度． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．如图，在 中， ，点Q为的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点B运动，连接，以为底边向下作等腰直角，设点P 运动的时间为t秒． (1)求边的长． (2)用含 t的代数式表示的长． (3)当点 P 在运动时，将 分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，求这个轴对称图形的面积． (4)当点落到的一边的垂直平分线上时，直接写出t的值． 25．已知，在正方形中，点E、F分别在边和上，连接、交于点G， ． (1)如图1， 求证： (2)如图2， 若点E为的中点， 连接， 求 的值 (3)如图3，在矩形， ， ， 点E、F分别在边和上， 连接、交于点G， 若， ． 连接交于点H， 点M是上的一点，过点 M作交直线于点 N，①若， 则线段 的长为 ； ②若平分， 则线段的长为 ． 试卷第2页，共34页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$