第09讲 圆周角与圆心角的关系（5考点8题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（北师大版）

第09讲 圆周角与圆心角的关系 课程标准 学习目标 探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等； 了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补． 1.通过预习会说出圆周角的定义,并会正确识别圆周角； 2.通过预习，会探索出圆周角定理； 3.根据圆周角定理，推导出圆周角定理的推论。并能灵活运用圆周角定理和推论． 知识点一：圆周角的概念 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角； 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角。 【即学即练】 1．如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键 ．直接运用圆周角的定义进行判断即可. 【详解】解：弧所对的圆周角是：或， 故选：B． 2．下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角的定义．根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点在圆上，但两边不与圆相交，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角的定义，根据圆周角的定义解答即可，熟知顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 【详解】解：所对的圆周角是与， 故选：D． 4．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角，由此即可得出答案，熟练掌握圆周角的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：和符合圆周角的定义，顶点不在圆周上，的一边和圆不想交， 故图中的圆周角有和，共个， 故选：B． 知识点二：圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等； 【即学即练】 5．如图，是的直径，若，垂足为，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．如图，是的直径，C，D在上，且在异侧，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，先根据邻补角求出，然后利用圆周角定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 7．如图，， 为的两条弦，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得到，即可求解． 【详解】解：由圆周角定理可得， ∵， ∴， 故选：D． 8．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，的半径为1，P是上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ． 故选：B． 9．如图，点，，在上，，点是弧的中点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧与圆心角之间的关系，先由弧与圆心角之间的关系求出的度数，再由圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理．先根据A、B的度数得到，再根据同圆中同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设量角器的中心为O，连接， ∵点A，B的读数分别为，， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，已知正方形内接于，点E在上，则的度数为 °．    【答案】45 【分析】本题考查了圆周角定理和正方形的性质，确定所对的圆心角为是解题的关键． 根据正方形的性质得到所对的圆心角为，则，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接、，如图所示，   正方形内接于， ∴， ∴， ∴的度数为， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答的关键． （1）连接，先根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据等腰三角形的三线合一性质得到，进而可得结论； （2）连接，根据圆周角定理求得，进而求得可求解． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵为直径， ∴，即， ∵是等腰三角形， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∴， 则的度数为． 知识点三：圆周角定理推论一 同弧或等弧所对的圆周角相等； 【即学即练】 13．如图，点都在上，点是劣弧的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆心角等于圆周角的2倍是解题的关键． 如图所示，连接，由圆周角定理可得，根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵所对的圆心角为，所对的圆周角为， ∴， ∵点是劣弧的中点， ∴， ∴， 故选：D ． 14．如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．设交于点E，先由垂径定理得到，由得到，故． 【详解】解：如图，设交于点E， ∵直径平分弦， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 15．如图，经过坐标轴的O、C、D三点，、，是的一条弦，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，求角的正弦值，圆周角定理，先根据勾股定理解求出，进而求出，再根据圆周角定理得出，即可得出的值． 【详解】解：如图，连接，   ，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 16．如图，已知点、、、在上，弦、的延长线交外一点，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆周角定理、三角形的外角性质，根据三角形的外角性质求出，根据圆周角定理得到，再根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由同弧所对的圆周角相等得：， ∴， 故答案为：． 17．如图，和是的直径，弦．若弦，则弦的长为 ． 【答案】3 【分析】连接，根据平行线的性质及圆周角与圆心角的关系可得到，从而即可求得的长．本题考查了圆周角和圆心角和它所对弦长的关系，并且有效的结合了平行线的性质． 【详解】解：连接， ， ．， ∵， ， ． ． 故答案为：3． 18．如图，是上三点，．若，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，连接，圆周角定理得到，垂径定理得到，得到，即可． 【详解】解：连接，则：， ∵，为半径， ∴， ∴， 故答案为：25． 19．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为中点，若的度数为，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题主要考查了等弧所对圆周角相等，掌握相关概念是解题的关键． 由的度数为，得到，由邻补角的性质求出，由圆心角、弧、弦的关系得到． 【详解】解：的度数为， ∴， ， 为中点， ． 故答案为：． 20．如图，等腰，，过A、B两点的与两腰分别交于C、D两点．求证：．    【答案】见详解 【分析】本题主要考查圆周角的性质、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角的性质、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键；连接，由题意易得，则有，然后问题可求证． 【详解】证明：连接，如图所示：    在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 知识点四：圆周角定理推论二 直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径； 【即学即练】 21．如图，是的直径，，点D是上一点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，正确作出辅助线是解题的关键．连接，可知，，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， 又∵， 由圆周角定理可得：， ∴， 故选：C． 22．如图，为⊙直径，点在⊙上，如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆周角定理的应用．欲求的度数，需先求出同弧所对的的度数；在中，已知的度数，即可求得，由此得解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴； ∴． 故选：A． 23．如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接交半圆于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定理，掌握圆周角定理是解本题的关键． 根据，以点为圆心的半圆的直径和重合，可知点在以点为圆上，由，得，根据同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵，以点为圆心的半圆的直径和重合， ∴点在以点为圆心的圆上， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 24．如图，内接于，点在上，连接，若，则的直径为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆周角定理和直角三角形的性质，连接，由，可得为的直径，当，可得，在中，，则，故可得解． 【详解】解：连接，如图， ∵，即， ∴为的直径， ∵所对的圆周角是， ∴ 在中，， ， 故选：A． 25．如图，是的直径，C，D为上两点，且平分，连接，，若，则的度数为 ． 【答案】/29度 【分析】本题考查了圆周角定理和角平分线的性质，根据圆周角定理，，，，可得，又平分，可得，由此求得． 【详解】解：， ， 为的直径， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：． 26．如图，点在圆上，，点为的中点，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了半圆或直径所对圆周角为直角，勾股定理，根据，可得是直径，根据点为的中点，可得，根据勾股定理可得，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴是直径， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 在中，， 故答案为： ． 27．如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是 ． 【答案】的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查圆周角定理，掌握“的圆周角所对的弦是直径”是正确解答的关键． 根据圆周角定理进行判断即可． 【详解】解：根据“的圆周角所对的弦是直径”即可得出答案， 故答案为：的圆周角所对的弦是直径． 28．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点；圆经过，，三个格点，请只用无刻度的直尺按下列要求分别作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，作出圆心； (2)在图2中，在劣弧上找一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题属于圆的综合题，主要考查了尺规作图—作角平分线，格点作图，圆周角定理，掌握以上知识点是解题的关键． （1）由表格可知，，故圆心在上，利用网格找到的中点即可． （2）使，根据等弧所对的圆周角相等，利用网格找到劣弧的中点即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求 （2）解：如图，点即为所求 知识点五：圆周角定理推论三 圆内接四边形的对角互补． 【即学即练】 29．如图，四边形是圆的内接四边形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形的对角互补，列式计算即可． 【详解】解：∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 30．如图，四边形内接于，是延长线上一点，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形．根据题意得，可得，即可得答案． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ， ∴， 故选：B． 31．如图，在内，若圆周角，则圆心角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，在优弧上取一点，连接，利用圆内接四边形的性质得到，然后根据圆周角定理得到的度数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在优弧上取一点，连接，如图， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 32．如图，四边形的三个顶点在上，点D在的延长线上，若，则的度数为 ． 【答案】82 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．作所对的圆周角，如图，先利用邻补角计算出，再利用圆内接四边形的性质计算出，然后根据圆周角定理得到的度数． 【详解】解：所对的圆周角，如图， ， ， ， ， ． 故答案为：82． 33．如图，已知点在上，是延长线上一点，连接若平分．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等角对等边，圆内接四边形的性质，角平分线定义，熟练掌握等角对等边，圆内接四边形的性质是解题的关键，由角平分线得，进而结合圆内接四边形的性质得，从而即可得证． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴． 34．如图，在的内接四边形中，，． 求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质与判定，圆内接四边形的性质，先证明四边形是平行四边形，，再由平行四边形的性质推出，根据圆内接四边形对角互补得到，则，据此可证明平行四边形是矩形． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 题型01 利用圆周角定理计算 例：如图，点A，B，C，D在上，连接，，．若，，，则的半径为（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】过点作交于点，连接，过点作于点，连接，过点作于点，先证明，再证明，在中，解直角三角形得，，则，在中，由勾股定理得，则，显然，则，在中，解直角三角形即可求解． 【详解】解：过点作交于点，连接，过点作于点，连接，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识点，难度较大，需要正确添加辅助线将转化． 36．如图，四边形内接于，若，的半径为3，则长为（　　） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形．熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解答的关键． 根据圆周角定理可得，再利用等腰三角形三线合一得到，含有直角三角形的性质求得，根据勾股定理得，即得． 【详解】解：如图，过点O作于E， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 37．如图，等边三角形内接于，若的度数是，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，根据题意得出，，，进而可得，，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∵等边三角形内接于，若的度数是， ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴中， ∴ ∴ 故答案为：． 38．如图，是的直径，弦，交于点F，满足，，若的半径长为3，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质．连接，，，先证明，推出，在和中利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：连接，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， 若的半径长为3， ∴，， ∵是的直径， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 39．如图，已知是的直径，弦于点，弦于点，与交于点，，的延长线交于点．连接，． (1)直接写出图中所有与相等的角； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)有3个，分别是，， (2)见解析 (3) 【分析】（1）由垂径定理推出垂直平分，因此，得到，由余角的性质得到，由圆周角定理得，即可证明；据此即可求解； （2）由和，可证明； （3）由，推出，令，则，得到，由勾股定理求出，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：直径， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴与相等的角有3个，分别是，，； （2）证明：由（1）得， ∵， ∴； （3）解：，， ， ， 令，则， ， ， ， ， 或， ， ， ， ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，关键是由推出，由勾股定理列出关于的方程． 40．（1）【学习心得】 小宸同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得简单． 例如：如图1，在中，，，求的度数，若以点为圆心，为半径作辅助圆，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ． （2）【问题解决】 如图2，在四边形中，，，求的度数．小宸同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：是否能找到一个圆，确定圆心和半径，使得四点都在这个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出的度数，请运用小宸的思路解决这个问题，并写出解题过程． （3）【问题拓展】 ①如图3，的三条高相交于点，求证：． ②如图4，在中，，是边上的高，且，，求出的长． 【答案】（1）45；（2）；（3）见解析；（4） 【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解； （2）由A、B、C、D共圆，得出； （3）①先判断出点A、F、H、E在以为直径的同一个圆上，得出，同理得出，即可得出结论；②如图4，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接．利用圆周角定理推得是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得；在等腰中，利用勾股定理得到；则在中，易得，进而得解． 【详解】（1）解：如图1， ∵， ∴点B、C、D都在以点A为圆心，以长为半径的圆上， ∵是的圆心角，而是圆周角， ∴， 故答案为：45； （2）解：如图2，取的中点O，连接． ∵， ∴点A、B、C、D共圆， ∴， ∵， ∴； （3）①证明：∵，如图3， ∴点A、F、H、E在以为直径的同一个圆上， ∴， 同理：点B、D、H、F在以BH为直径的同一个圆上，∠DFC=∠CBE， 又∵， ∴； ②解：如图4，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∵，O为圆心， ∴， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，判断四点共圆是解本题的关键． 41．如图，为的直径，点C，D为直径同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作于点E，交于点G，延长，交于点F． (1)如图①，若，求证：； (2)如图②，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理，解题的关键是根据垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，求出； （1）连接，，根据圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系可求，即可证明； （2）连接，根据垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系可证，设的半径为r，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图①，连接，， ， ， ， ∵点D为的中点， ， ， ， ； （2）解：如图②，连接， ，为的直径， ，，， ， ， ， ， ， 设的半径为r，则， 在中，， ， 解得， 的半径为． 42．如图，，是的两条弦且，点是弧的中点，点沿着弦从点运动到点． (1)如图1，当时，连结，，，．求证：； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，当点运动到点时，连结和，如果正好过圆心且，．求此时的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)4 【分析】（1）根据点是弧的中点，得到，利用同弧所对的圆周角相等得，再利用证明三角形全等； （2）在上截取，连接，，，，根据（1）的方法得到，进而得到，再结合，利用三线合一来求得即可求解； （3）在上截取，连接，，，，利用（2）的方法得到，得到，进而得到 ，结合直径所对的圆周角是直角求得，用勾股定理求出，设，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）证明：点是弧的中点， ， ． ，是所对的圆周角， ． 在和中 ， ． （2）证明：在上截取，连接，，，，如下图 点是弧的中点， ， ． ，是所对的圆周角， ． 在和中 ， ， ． ， ， ， 即． （3）解：在上截取，连接，，，，如下图 点是弧的中点， ， ． ，是所对的圆周角， ． 在和中 ， ， ， ． 正好过圆心， ，， ， ， ． ， ． 设， ． 在中 ， 解得，（不符合题意舍去）， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定和性质，三线合一，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，作出辅助线，构建三角形全等是解答关键． 题型02 利用圆周角定理证明 例：如图，为的直径，点C、D都在上，且平分，交于点E． (1)求的大小． (2)若，求的半径； (3)于点F，试探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)．见解析 【分析】（1）由平分，根据圆周角定理，可得； （2）过点E作于点M，求出长，则，可求出，则答案得出； （3）过点D作，交的延长线于点N，证明与，则，则结论可得出． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：如图1，过点E作于点M， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ； （3）解：．理由如下： 如图2，过点D作，交的延长线于点N， ∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 即． 【点睛】此题考查了和圆有关的综合性题目，考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握圆的有关性质定理是解题的关键． 44．如图，内接于，，，为的直径，交于，的延长线交于点，连接，，交于，在不添加其他辅助线的情况下，图中除外，相等的线段共有（   ）对． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查圆与三角形综合，熟练掌握垂径定理，直角三角形性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质，是解决问题的关键. 根据垂径定理得到，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据余角的性质得到，推出，得到，，，得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵经过圆心O， ∴， ∴，， ∴， 连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴相等的线段共有4对， 故选：C． 45．如图，点、、、在上，且，是延长线上一点，且是中点． (1)求证：； (2)连接并延长交于，延长到使，连接、，试说明； (3)在（2）的条件下，若为，则当=______时，四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先判断出是的中位线，得到，再判断出，即可得出结论； （2）连接，得出四边形是平行四边形，证明点在上，则，根据是直径可得，进而根据线段垂直平分的性质，即可得出结论； （3）若四边形为菱形时，，根据已知为，是直径，可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵F是的中点， ， ， 是的中位线， , , , , , , （2）如图，连接， 由（1）知， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∴点在上，则 ∵是直径， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴垂直平分 ∴ （3）由（2）可得 若四边形为菱形，则， ∴ ∵为，是直径，则为， ∴ ∴ ∴在（2）的条件下，若为，则当时，四边形为菱形． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，同圆中等弧所对的弦相等，平行四边形的性质与判定，圆周角定理，平行线的性质与判定，菱形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 46．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【问题探究】如图1，，为的两条弦，点为的中点，过作、垂足为．求证：． 小明同学的思路是：如图2．在上截取，连接，，，…请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程． 【结论运用】如图3，是的内接等边三角形，点是上一点，，连接，．过点作，垂足为．若，求的周长． 【变式探究】如图4，若将（问题探究）中“点为的中点”改为“点为优弧的中点”，其他条件不变，请直接写出、、之间的等量关系． 【答案】问题探究：见解析；结论运用：；变式探究：，理由见解析 【分析】问题探究：在上截取，连接，，，，证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的三线合一、结合图形证明结论； 结论运用：连接，在上截取，连接，证明，得到，根据等腰直角三角形的性质求出，根据三角形的周长公式计算，得到答案； 变式探究：在线段上截取，连接、、、，证明，根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：问题探究：如图2，在上截取，连接，，，， ∵点C为的中点， ∴， ∴， 由圆周角定理得，， 在和中， ∴， ∴，又， ∴， ∴； 结论运用：连接，在上截取，连接， ∵是的内接等边三角形， ∴， 由问题探究可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 变式探究：，理由如下： 在线段上截取，连接、、、，如图所示： ∵点C为优弧的中点， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，等边三角形的性质，掌握圆心角、弦、弧之间的关系、圆周角定理、全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 题型03 用圆周角解决圆外角 例：如图，海岸线，经过、的弓形内部（包括边缘）是暗礁区，弓形所在圆的半径为，船保持怎样的航行不会进入暗礁区（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交圆O于D，连接、，过O作于H，延长交圆O于E，连接、，根据垂径定理，结合线段垂直平分线和勾股定理求得，可证明是等边三角形得到，根据圆周角定理可得，根据三角形的外角性质可得，进而可得结论． 【详解】解：连接交圆O于D，连接、，过O作于H，延长交圆O于E，连接、， 则，，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 即， ∴船保持的航行不会进入暗礁区， 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形的外角性质、垂径定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 48．在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段，在的上方画，尝试操作后思考： （1）这样的点A唯一吗？ （2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），…小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． (1)该弧所在圆的半径长为______； (2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图2所示的弓形外部，我们记为，请你证明； (3)如图3，已知线段和直线l，在直线l上求作点P，使得，尺规作图，保留作图痕迹； (4)如图4，在边长为9的等边中，动点P在内部，且，连接，则的最小值为______． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）过点C作，交圆弧于点D，连接，由圆周角定理得到为该弧所在圆直径，，进而求出的长即可； （2）设与圆弧交点为E，连接，由圆周角定理得到，三角形的外角的性质，得到，即可得证； （3）过点B作，在上截取，连接，作的中垂线，交于点O，以O为圆心，的长为半径画圆，与直线l的交点，即为点P； （4）以为边，在的下方作等边，构造的外接圆，连接，，得到，证明点P在上，垂直平分，利用三线合一和含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进一步求出的长即可． 【详解】（1）解：过点C作，交圆弧于点D，连接，如图， 则为该弧所在圆直径，， ∴， ∴该弧所在圆的半径为； 故答案为：2； （2）解：设与圆弧交点为E，连接，则，如图， ∵是的一个外角， ∴， ∴； （3）解：如图：点即为所求； 由作图可知：为等腰直角三角形， ∴， 由同弧所对的圆周角相等，得到； （4）解：以为边，在的下方作等边，构造的外接圆，连接，，则 ∴，， ∴点在上， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴垂直平分，， ∵， ∴三点共线， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为：． 故答案国：． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外接圆，四点共圆，等边三角形的性质，三线合一，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，尺规作垂线，线段和圆等知识点，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键． 49．在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：    “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），…小华画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．    (1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决： ①该弧所在的圆的半径长为_____； ②面积的最大值为_____． (2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形的外部，我们记为P，请你利用图1证明； (3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点M在直线的左侧，且． ① 用尺规作出点M的运动路径，并求线段长的最小值； ② 过点M作，垂足为H，若不小于，则长的范围是． 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 (3)①画图见解析，；② 【分析】（1）①设弦所在圆的圆心为O，连接，由圆周角定理得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案；②要使的面积最大，则点A到的距离要最大，故当点A运动到时（运动到图中），此时点A到的距离要最大，即此时的面积最大，据此求解即可； （2）设与弦所在圆交于点D，连接，由同弧所对的圆周角相等得到，由三角形外角的性质得到，据此可证明； （3）如图所示，以为边向左作等边三角形，以为圆心，的长为半径作圆，则点M的轨迹为优弧（不包括端点C、D）；如图所示，过点O作于E，由矩形的性质得到，，由等边三角形的性质得到，则，据求出，，则；当B、M、O三点共线，且点M在线段上是，线段有最小值，据此由勾股定理得，则线段的最小值为；②如图所示，过点O作于P，于G，连接，利用三角形面积计算公式得到；利用等边三角形的性质和勾股定理得到，再证明四边形是矩形，得到，，则，求出，可得；同（1）②可知，当时的面积最大，此时，由圆的对称性可知当点M继续向点C运动直至时，此时刚好有，点M再继续运动，则，故当不小于时． 【详解】（1）解；①如图所示，设弦所在圆的圆心为O，连接， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴或（舍去）； 故答案为：； ②∵要使的面积最大， ∴点A到的距离要最大， ∴当点A运动到时（运动到图中），此时点A到的距离要最大，即此时的面积最大， 设直线与交于H，则， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：；    （2）证明：如图2所示，设与弦所在圆交于点D，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴；    （3）解：①如图所示，以为边向左作等边三角形，以为圆心，的长为半径作圆，则点M的轨迹为优弧（不包括端点C、D）； 如图所示，过点O作于E， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵点M在优弧（不包括端点C、D）上运动， ∴当B、M、O三点共线，且点M在线段上是，线段有最小值， 在中，由勾股定理得， ∴线段的最小值为；    ②如图所示，过点O作于P，于G，连接， 当时，则， ∴， ∴； ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 同（1）②可知，当时的面积最大，此时， 由圆的对称性可知当点M继续向点C运动直至时，此时刚好有，点M再继续运动，则， ∴当不小于时．    【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合，勾股定理，矩形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． 题型04 圆周角定理推论的应用 例：如图，四边形内接于，，，，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质．连接、、，过点作交的延长线于点，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质可得，，进而得到，可得，根据勾股定理求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接、、，过点作交的延长线于点，     四边形内接于，， ，， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， 的半径为， 故选：A． 51．如图，在的内接四边形中，，过点作的垂线交延长线于．则下列结论：①平分；②若点是中点，则平行于的某条角平分线；③若，，则；④若，，则，其中正确的有（   ） A．①③ B．①②④ C．②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据四边形是的内接四边形，得出，根据等边对等角以及同弧所对的圆周角相等可得，即可判断①，根据点是中点，得出，进而可得，则即可判断②，证明，得出，，进而根据勾股定理判断③④，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴ ∴，即平分，故①正确； ∵点是中点， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴， 如图所示，平分， ∴ ∴；故②正确； 如图所示，过点作于点， 由①可得平分， ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴ ∴， 在中，，故③不正确， 若，， ∴ ∴， 在中，，故④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，弧与弦的关系，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 52．如图，为的直径，弦于，为圆上一点，平分，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由角平分线的定义可得，即得，由垂径定理可得，得到，即得到，即可求证； （）连接，由垂径定理得，设圆的半径为，则，在中，由勾股定理得，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵，， ∴ 设圆的半径为，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴圆的半径为． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，圆周角定理，垂径定理，等角对等边，勾股定理，掌握圆的有关性质定理是解题的关键． 53．如图，四边形内接于，对角线是的直径，平分，交于点E，过点D作，交于点H，交延长线于点F． (1)求的度数． (2)求证：． (3)过点F作交延长线于点G，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由圆周角定理可知，进而可得，再结合圆的内接四边形的性质即可求解； （2）结合（1）可知，，结合，得到，根据四边形是的内接四边形，得到，证明即可得证． （3）在上截取，连接，，先证明，进而证明，利用四边形是的内接四边形，证明，再证明，即可得证，再结合勾股定理证明结论． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是的内接四边形，则， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知，，则， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形，则， 又∵ ∴， ∴， ∴． （3）证明：在上截取，连接，， 由（2）可知， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，，则， ∵， ∴，，， ∴， ∵四边形是的内接四边形，则， ∴，则， ∴， ∴， ∴，则， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了圆的内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 54．如图，是的直径，弦与点E，已知，，点P为上任意一点，（点P不与A、B重合），连接并延长与交于点Q，连接． (1)求的长； (2)若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：； (3)若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求与满足的关系． 【答案】(1)8 (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）如图1，连接，由是的直径，弦，可得，勾股定理得，然后求解即可； （2）连接，由题意知，垂直平分，证明，则，由，可得，进而结论得证； （3）连接，同理（2）可得，，，由圆内接四边形可得，，进而可得． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵是的直径，弦， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得， ∴； （2）证明：如图2，连接， 由题意知，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：； 如图3，连接， 由题意知，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆内接四边形可得，， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补等知识．熟练掌握垂径定理，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补是解题的关键． 55．如图，是等边的外接圆，P点是劣弧上的一个动点(不与点A，B 重合)． (1)求的度数； (2)若，，求的长； (3)若，点P在劣弧上运动的过程中， ①的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围． ②试探究的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围． 【答案】(1) (2)7 (3)①；②的值是定值96． 【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到，然后根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）延长到点F使，首先证明出是等边三角形，求出，然后证明出，即可得到； （3）①首先由（2）可得，，然后得到当点P和点A或点B重合时，的最小值为；当点P，O，C三点共线时，有最大值，然后画出图形，根据勾股定理求解即可； ②延长到点F使，过点A作，由（2）得，是等边三角形，得到，然后根据勾股定理求出，进一步得到，然后结合，代入得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形 ∴ ∵四边形内接于 ∴； （2）如图所示，延长到点F使， ∵ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在和中 ∴ ∴； （3）①由（2）可得， ∵点P在劣弧上运动 ∴当点P和点A或点B重合时，的长度最小，即或的长度 ∵是等边三角形 ∴ ∴的最小值为 ∴的最小值为； 当点P，O，C三点共线时，的长度最大，如图所示， ∴此时是的直径 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，负值舍去 ∴的最大值为8 ∴的最大值为8； ∴的值的取值范围是； ②如图所示，延长到点F使，过点A作 由（2）得，是等边三角形 ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ． ∴的值是定值96． 【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理和全等三角形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造等边三角形． 56．定义：若圆中两条弦的平方和等于直径的平方，则称这两条弦是一组“勾股弦”． (1)如图①，矩形是的内接四边形，与________是一组“勾股弦”（填一条弦即可）； (2)如图②，是的一组“勾股弦”，，求证：； (3)已知是的一组“勾股弦”，且，若之间距离为7，求的半径； (4)如图③，已知是的一组“勾股弦”，分别为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，且，求的值． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3)的半径为或 (4) 【分析】本题考查垂径定理及其推论，圆周角所对弦是直径，圆内接四边形； （1）由矩形可得，，再由内接四边形可得是直径，即可根据“勾股弦”定义解答； （2）由垂径定理可得，，再由“勾股弦”定义得到，再结合勾股定理可得，，即可证明； （3）利用（2）中规律得到，，再根据在圆心位置分类讨论，画出图形求解即可； （4）利用（2）中规律得到，，再设，半径为，则，，，，，由列方程解得，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：连接， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∵矩形是的内接四边形， ∴是直径， ∴与或是一组“勾股弦”， 故答案为：或； （2）证明：∵， ∴，，，， ∵是的一组“勾股弦”， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， ∴； （3）解：分别为的中点，连接，，则， ∴， ∵是的一组“勾股弦”， ∴由（2）可得，， 当在圆心同侧时，如图 ∵，之间距离为7， ∴之间距离为， ∴， ∴； 当在圆心两侧时，如图 ∵，之间距离为7， ∴之间距离为， ∴， ∴； ∴的半径为或； （4）解：连接，， ∵分别为的中点， ∴，，， ∵是的一组“勾股弦”， ∴由（2）可得，， ∵， ∴设，半径为，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴，整理得， 解得或， ∵， ∴， ∴． 57．【初步感知】 如图1，点，，均在上，若，则锐角的大小为____； 【深入探究】 如图2，小聪遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接，，．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程． 【启发应用】 如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，，，若，则的值为______． 【答案】初步感知：45；深入探究：证明见解析；启发应用： 【分析】初步感知：根据在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解即可得； 深入探究：先根据圆周角定理可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得证； 启发应用：延长至点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再证出，设，则，利用勾股定理可得，根据线段和差可得，由此即可得． 【详解】解：初步感知：∵点，，均在上，， ∴， 故答案为：45． 深入探究：延长至点，使，连接， ∵是等边三角形， ∴， 由圆周角定理得：，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴． 启发应用：如图，延长至点，使，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、圆内接四边形的性质、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 题型05 利用圆周角性质作图 例： 已知是的弦． (1)如图①，只用无刻度的直尺作弦，使； (2)如图②，用无刻度的直尺和圆规作弦，使，且与的夹角为．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 【分析】本题主要考查圆周角定理、矩形的性质与判定、三角函数及垂径定理，熟练掌握圆周角定理、矩形的性质与判定、三角函数及垂径定理是解题的关键； （1）连接并延长，分别交于点C、D，进而问题可求解； （2）先作的垂直平分线，则是直径，以点M为圆心，为半径画弧，交于点E，连接，则，然后再以E为圆心，为半径画弧，交于点H，进而作的垂直平分线，则即为所求． 【详解】（1）解：所作图形如下： ∵是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； （2）解：先作的垂直平分线，则是直径，以点M为圆心，为半径画弧，交于点E，连接，则，然后再以E为圆心，为半径画弧，交于点H，进而作的垂直平分线，则即为所求； 由作图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴由四边形内角和可知与的夹角为． 59．如图，经过三个格点． (1)在图1中，先画的中点，再在上画点，使； (2)在图2中，是格点，是上的一点．先在上画点，使得，再将绕点顺时针旋转得到，画出线段． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）作弦的垂直平分线，交于点，即是的中点，再作弦的垂直平分线，交于点，连接即可得到； （2）延长交于点，连接并延长交于点，作射线，由直径所对的圆周角是直角即可得到，再以点为圆心、为半径画弧，交射线于或交射线于，即可得到线段． 【详解】（1）解：如图所示： 点、点即为所求； （2）解：如图所示： 点、线段即为所求． 【点睛】本题考查复杂作图，涉及垂直平分线的尺规作图、圆的性质、圆周角定理、尺规作图作等线段等知识，熟练掌握基本尺规作图及圆的性质是解决问题的关键． 60．如图，是的直径，点A在圆外，请仅用无刻度的直尺按要求画图． (1)在图1中，画出中边上的高； (2)在图2中，画出并标上圆心O的位置（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，平行四边形的判定与性质等，解题的关键是： （1）连接B和与半圆的交点即可； （2）取格点M、N，连接交于点O即可. 【详解】（1）解：如图，如图所示，就是所求作的高， ∵是直径， ∴， 即； （2）解：如图，点O即为所求， 方法不唯一，上面7个答案，任选其一 理由：如左上角图， 根据网格特征，得，， ∴四边形是平行四边形， ∴点O为的中点．，即点O为圆心． 61．如图，的三个顶点都是格点，且为半圆的直径． (1)在图1中，先过点A画的平行线交半圆于点D，再画的中点E； (2)在图2中，先在半圆上画点F，使，再在上画点H，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】取格点F，连接交半圆为点D，则四边形为平行四边形，即；取格点I，H，G和J，连接交半圆于点E，则，有，即可证明； 取格点O，连接交半圆于点F，则，结合圆得性质和等腰三角形的判定和性质即可知；取格点P，连接与半圆交于点N，与的延长线交于点D，则，有，取格点E，连接交于点M，连接并延长交于点H，则，有，进一步证明，有，结合网格即可证明结论． 【详解】（1）解：如图， 取格点F，连接交半圆为点D，则四边形为平行四边形，即； 取格点I，H，G和J，连接交半圆于点E，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点E为的中点； （2）解：如图， 取格点O，连接交半圆于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 取格点P，连接与半圆交于点N，与的延长线交于点D，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 取格点E，连接交于点M，连接并延长交于点H，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查网格作图 ，涉及平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、圆的性质和等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉圆的性质和全等三角形的判定和性质． 62．请用无刻度的直尺完成下列画图． (1)在图1中，是的外接圆，是的中点，先画的中线，再画的内接矩形； (2)在图2中，是直径，是圆内一点，先画的高，再画于点． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，解题关键是仔细分析题意，结合垂径定理、圆周角定理、矩形的判定定理、垂心的定义等知识作图． （1）连接交于点，连接，结合是的中点易知为中点，故为的中线；连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，根据“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”，即可获得答案； （2）延长交圆于点，连接，因为是直径，所以，即为的高；延长交圆于点，连接并延长交延长线于点，连接并延长交于点，根据“直径所对的圆周角为直角”可知，则点为的垂心，进而可知，即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，线段、四边形即为所求； （2）如下图，线段、即为所求． 63．如图，为格点，以为直径的交网格线于点A． (1)在图1中，先画圆心O，再画的平分线交于点D； (2)在图2中，P是半圆弧的中点，先将点A绕P点顺时针旋转得到点，再在上画点M，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点G，H，连接交于点O，点O即为圆心；取格点M，连接并延长交于点D，则是的平分线； （2）同（1）作出圆心O，连接交于点K ，连接并延长交的延长线于点，则点即为所求；取过点A的格线与的交点E，取格点D，连接并延长交于点M，则． 【详解】（1）解：如图，点O，即为所求， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴O是圆心； 由正方形的性质可知，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）解：∵是直径， ∴． ∵P是半圆弧的中点， ∴， ∴， ∴点A绕P点顺时针旋转得到点； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 64．按照下列要求作出图形（不写作法，保留作图痕迹）． (1)尺规作图：将图1中的破轮子复原 (2)如图2，矩形的顶点在圆上，顶点，，在圆内，请仅用无刻度的直尺画出图2中的圆心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查尺规作图、无刻度直尺作图，涉及矩形的性质，圆的对称性，圆周角定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）尺规作、的垂直平分线，交点即为圆心O，再以为半径，O为圆心画圆即可把破轮子复原； （2）延长交圆于点H，延长交圆于点M、N，连接、并延长，交于点E，连接、交于点F，延长交圆于点G，连接，连接并延长，交于点O．理由为：由和圆周角定理可得，得到，结合可得，则，可得垂直平分弦，即过圆心，再由圆周角可得为直径，则与的交点即为圆心O． 【详解】（1）解：图1中的破轮子复原后图形如图： （2）解：圆心O如图： 65．已知都是上的点，仅用无刻度的直尺完成画图． (1)在图1中，是的直径，的顶点在上，画的中点； (2)在图2中，是的直径，的顶点分别在上，画的中点； (3)在图3中，四边形是的内接矩形，是的中点，画平分交于点． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题主要考查了应用与设计作图，解题关键是仔细分析题意，结合菱形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质、圆周角性质以及垂径定理及其推论作图． （1）连接并延长，交于点，结合四边形为平行四边形且，可知四边形为菱形，根据“菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角”易得，进而可得，即可获得答案； （2）连接交于点，连接并延长，交于点，根据“平行四边的对角线相互平分”可知点为中点，根据垂径定理的推论“平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧”可知，即可获得答案； （3）连接交于点，连接并延长，交于点，连接，根据“矩形的对角线相等且相互平分”以及“90度圆周角所对的弦为直径”可知为圆心，进而可得，易知，根据垂径定理可得，则有，即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，连接并延长，交于点，点即为所求； （2）如下图，连接交于点，连接并延长，交于点，点即为所求； （3）如下图，连接交于点，连接并延长，交于点，连接，即为所求； 66．如图是由小正方形组成的网格，经过格点．仅用无刻度的直尺完成画图． (1)在图1中，先画出圆心，再画的中点； (2)在图2中，是上的一点，先在上画点，使，再画交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格作图，勾股定理，相似三角形的性质与判定，垂径定理等知识； （1）连接交网格于点，则点即为所求，过点作的平行线交圆于点，则点即为所求； （2）连接根据网格的特点画出点的位置，连接则为圆的直径，根据垂径定理结合网格即可找出点的位置，连接，则即为所求． 【详解】（1）如图1所示，连接交网格于点，则点即为所求，过点作的平行线交圆于点，则点即为所求； （2）如图2所示，点与即为所求． 连接根据网格的特点画出点的位置，使得，根据网格可得，连接则为圆的直径，根据垂径定理结合网格即可找出点的位置，连接，则即为所求． 题型06圆的折叠问题 例：如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结．若的半径长为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．如图，延长交于点，连接，利用折叠的性质可判断和所在圆为等圆，则根据圆周角定理得到，所以，根据圆周角定理得到，再利用勾股定理可计算出即可． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， 劣弧沿弦翻折，交翻折后的弧于点，而和都对， ， ， 为直径，的半径长为， ，， 在中，， 故答案为：． 68．如图， 是的内接三角形， 沿折叠， 恰好经过中点 ， 连接，若， ， 则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点作垂足为，过点作，垂足为，则四边形是矩形，根据垂径定理可得，根据等弧所对的圆周角相等可得，进而证明是等腰直角三角形，矩形是正方形，得出，证明得出是等腰直角三角形，即可得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作垂足为，过点作，垂足为，则四边形是矩形 ∵是的中点， ∴，故A正确， ∵ ∴，故B正确， ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴，故C正确 ∴，故D不正确 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，弧与圆心角的关系，垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 69．如图，的半径为5，四边形是的内接四边形，（，位于圆心O的两侧），，，将，分别沿，翻折得到，，M为上点，过点M作交于点N，则的最小值为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，过点O作于P，交于Q，设弧所在的圆的圆心为，弧所在的圆的圆心为，连接，，，，，，，设交于J．想办法求出即可解决问题． 【详解】解：如图，过点O作于P，交于Q，设弧所在的圆的圆心为，弧所在的圆的圆心为，连接，，，，，，，设交于J． ∵，， ∴，， ∵，， ∴． 同法可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 过点作交的延长线于T． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 根据对称性可知，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4． 故选：A． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，垂径定理，翻折变换，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点之间线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 70．在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．如图，若点D与圆心O不重合，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查对折的性质，直径对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质；设上点D的对应点为点E，连接，则得，；由是直径及圆内接四边形的性质可得的度数，从而求得结果． 【详解】解：设上点D的对应点为点E，连接，如图， 由折叠性质得：，； ∴， ∵是直径， ∴； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 71．如图，为半圆的直径，以半圆的一条弦非直径为对称轴将弧折叠后与直径交于点，若，且，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题将翻折变换、相似三角形的性质与判定、勾股定理，作关于直线的对称线段，交半圆于，连接、，首先构造全等三角形，然后再利用勾股定理和相似三角形的性质解答． 【详解】解：如图， ，且， ，， 作关于直线的对称线段，交半圆于，连接、，，则、、三点共线， 线段与线段关于直线对称， ， ， ，． 四边形是圆内接四边形， ， 又 ， 又， ， 即． 则， 又， ， ． 故答案为：． 题型07 园内的最值问题 例：如图，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称与最短路线问题，圆周角定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．过作关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可知即为的最小值，然后根据对称的性质可知，再由圆周角定理可求出的度数，从而得到，再过点作于，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过作关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可知即为的最小值，连接，， 关于直线对称 ，点为弧的中点， ， 过点作于，在中， 即的最小值． 故选：C． 73．如图，在中，，D是内的一个动点，满足．若，，则长的最小值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了圆周角的性质和勾股定理逆定理，解题关键确定点D在以为直径的圆上； 先根据勾股定理逆定理得出，再确定点D在以为直径的圆上，当经过圆心时值最小，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴点D在以为直径的圆上， 取中点O，连接，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴长的最小值为1， 故答案为：1． 74．如图，在平面直角坐标系中，已知的半径为2，且与y轴、x轴的正半轴分别交于点A、B，点P是该坐标平面内一点，给出如下的定义：①若在上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称点P为的“集团点”；②若点P（点P不在直线上）关于直线的对称点在上或其内部，则称点P为的“明德点”；③若点P同时满足条件①②，则称点P为的“明德集团点”． (1)在点，，中，的“明德集团点”是______； (2)若点P是的“集团点”，点P所在的区域称为“集团辐射区域”，求该“集团辐射区域”的面积：当点P在直线上时，求点P的纵坐标的取值范围； (3)若点P是的“明德点”，且，求点P的横坐标的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）：点P是的“集团点”得：点P在以原点为圆心，1和3分别为半径的圆所组成的圆环及圆环内，即．可确定，是的“集团点”；由点P是的“明德点”得点P必在关于直线的对称圆上或其内部（不含A、B两点），可得只有是的“明德集团点”，即可求解； （2）设，令，解得：；令，解得：，即可求解； （3）取中点为H，连接，可得，推出点P在以H为圆心，为半径的圆上；根据点P是的“明德点”得出点P位于上方的半圆上运动（不包括端点A、B），推出当过点P作平行于y轴的切线时，即轴时，点P横坐标最大，即可求解； 【详解】（1）解：由点P是的“集团点”得：点P在以原点为圆心，1和3分别为半径的圆所组成的圆环及圆环内，即． ，， ，是的“集团点” 根据对称性，由点P是的“明德点”得点P必在关于直线的对称圆上或其内部（不含A、B两点） ， ， 只有是的“明德集团点”， 故答案为：； （2）解： “集团辐射区域”为以原点为圆心，1和3分别为半径的圆所组成的圆环及圆环内部区域 点P在直线上 设， 令，解得：； 令，解得： 点P的纵坐标的取值范围为：或 （3）解：取中点为H，连接， ， ， 点P在以H为圆心，为半径的圆上 又点P是的“明德点” 点P位于上方的半圆上运动（不包括端点A、B）， 当过点P作平行于y轴的切线时，即轴时，点P横坐标最大， 点P的横坐标的最大值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的综合知识，涉及了一次函数、圆周角定理以及点与圆的位置关系等知识点，正确理解题意得出点P是的“集团点”出点P在以原点为圆心，1和3分别为半径的圆所组成的圆环及圆环内是解题关键． 75．（1）【问题情境】是外一点，是上一动点．若的半径为，且，则点到点的最短距离为 ． （2）【直接运用】如图1，在中，，，以为直径的半圆交于点，是弧上的一个动点，连接，则的最小值是 ． （3）【构造运用】如图，已知正方形的边长为，点，分别从点，同时出发，以相同的速度沿边，向终点，运动，连接和交于点，求点到点的距离最小值． （4）【灵活运用】如图3，的半径为，弦，为优弧上一动点，交直线于点，则面积的最大值是 ． 【答案】（1）3（2）（3），理由见解析（4） 【分析】（1）当点是与的交点时，为最短，故可求解； （2）找到中点，当、、在同一直线上时，点到点的最短，故可求解； （3）先证明，再得到，得到的运动轨迹，再根据圆外的点与圆的位置关系特点即可求解； （4）先求出，要想的面积最大，则需要点到的距离最大，根据圆周角与圆心角的关系作根据三线合一得到是等边三角形，故可求出此时的面积． 【详解】解：（1）当点是与的交点时，为最短， ， 故答案为：； （2）如图，连接，当、、在同一直线上时，点到点的最短， ， 的最小值为 故答案为：； （3）， ， ， ， ， ， 故点点在以为直径的圆上运动，连接，与的交点，此交点即为最小时的位置； ， 的最小值为； （4）连接 ， 是等边三角形， ， ， ，要使面积最大，则点到的距离最大， 如图，， 点在以的上， 当时，点到的距离最大， 是等边三角形， 的最大面积为． 【点睛】此题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟知点与圆的位置关系，全等三角形的判定与性质、垂径定理及圆周角定理的应用． 76．（1）【学习心得】 小刘同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，为半径作辅助，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到________． （2）【问题解决】 如图2，在四边形中，，，求的度数． （3）【问题拓展】 如图3，如图，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为4，则线段长度的最小值是_________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半求解． （2）由、、、共圆，得出， （3）根据正方形的性质可得，，，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，从而得到，然后求出，取的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的三边关系可知当、、三点共线时，的长度最小． 【详解】解：（1）如图1， ，， 以点为圆心，点、、必在上， 是的圆心角，而是圆周角， ， 故答案是：； （2）如图2，取的中点，连接、． ， 点、、、共圆， ， ， ， （3）如图3，在正方形中，，，， 在和中， ， （）， ， 在和中， ， （）， ， ， ， ， ， 取的中点，连接、， 则， 在中，， 根据三角形的三边关系，＞， 当、、三点共线时，的长度最小， 最小值． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法． 77．[学习心得] （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C、D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则______． [初步运用] （2）如图2，在四边形中，，，则______°； [方法迁移] （3）如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）①如图4①，已知矩形，，，M为边上的点，若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为______． ②如图4②，在中，，是边上的高，且，．求的长． 【答案】（1）；（2）25；（3）见解析；（4）①；② 【分析】（1）由圆周角定理可得出答案； （2）取的中点，连接、．由直角三角形的性质证明点、、、共圆，由圆的性质得出，则可得出答案； （3）作出等边三角形，再以O为圆心，为半径画圆，由圆周角定理可得圆与直线的交点即为点P； （4）①在上截取，连接，以为直径，由图形可知，由勾股定理求出和的长，则可得出答案； ②作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、．由圆周角定理及勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1）是的圆心角，是的圆周角，， ； 故答案为：； （2）如图2，取的中点，连接、． ， ，， ， 点、、、共圆， ， ， ． 故答案为：25； （3）作图如下： 由图知，；同理． （4）①．理由如下： 在上截取，连接，以为直径作，交于，交于，连接，过圆心作于且交圆于，过作的切线交于交于，如图所示： ， ， 的半径为，即， ∵， ， ， ， ， ，即， 故答案为：； ②如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、，则四边形是矩形， ∴． ， ． 在中，， ． ，为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，，， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、尺规作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质，垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 题型08 圆周角与相似三角形的综合 例：已知四边形内接于，且于点M． (1)如图1，过圆心O作于点H． ①若半径为5，，求的长； ②试判断与的数量关系，并写出证明过程． (2)如图2，记，，，的面积分别为，，，，若，求的最小值． 【答案】(1)①；②，证明见解析 (2) 【分析】（1）①连接，则，由垂径定理得，由勾股定理即可求得的长； ②延长，与交于点，连接．由三角形中位线定理得；设，则；由可得，从而得； （2）由题意得，，从而有．由， 得，同理，根据即可求解． 【详解】（1）解：①连接，则， ∵于点， ∴， ∴．   ②．    证明：延长，与交于点，连接． ∵为直径， ∴． 在中， ∵O，H分别为，的中点， ∴，即， 设，则． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，同理， ∴， ∴． ∵，时取等号， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题是圆的综合，考查了圆周角定理，直径对的圆周角是直角，垂径定理，弧、弦、圆心角及圆周角的关系，三角形中位线定理，勾股定理，完全平方公式等知识，涉及较多的知识点，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 79．数学课上，小明同学遇到了这样的一个问题：如图，点A、B、C、D在上，连结为的一条直径，过点A作交于点E．设． 【证明】老师说：利用所学习的“圆的知识”可以证明，请你帮助小明网学完成，的证明过程． 【应用】小明同学发现，利用可以解决如下问题： ①若则_____； ②若则的长为______． 【答案】证明：见详解；应用：①；②10 【分析】（证明）：证明，从而证明即可； （应用）：①运用相似三角形面积比等于相似比的平方，即为相似比，从而得解； ②先利用求出，再用勾股定理求，利用相似三角形的性质可求出，再利用得解； 【详解】证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， ． 应用：①， ， ， 中，， 故答案为：． ②∵，， ∴， 则， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，圆周角定理等知识，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 80．如图，为的外接圆，弦，垂足为E，直径交于点G，连接，．若，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据平行线的判定定理得到，推出，得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）设，得到，根据勾股定理得到，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）如图：过点D作于H，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，求得，再根据三角函数的定义即可解答． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴∠ADC=∠ABC， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图：过点D作于H， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆和外心、平行四边形的判定、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、圆周角定理等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 81．如图，中，，．动点，同时分别从点，出发，分别沿着射线和射线的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接，以为直径作交射线于点，连接，设运动的时间为（）． (1)______．（直接写出结果） (2)当点在线段上时，用关于的代数式表示，的长． (3)在整个运动过程中，当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似？ 【答案】(1)5 (2)， (3)或 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）由题意得，，则，根据直径所对的圆周角是直角得到，则，再证明，得到，即，据此可得； （3）先由，得到，则可求出；当点E在上时，只存在和两种情况，两种情况根据相似三角形的性质分别求出的长，再根据建立方程求解即可；当点E在的延长线上时，且点F没有运动到点C时，可证明，，此时不满足与相似；当点F恰好运动到点C时，此时，此时满足和相似，此时，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， 故答案为：5； （2）解：由题意得，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：由题意得，， 由（1）可知， ∴，即， ∴； 当点E在线段上时， ∵， ∴只存在和两种情况， 当时， ∴，即， ∴， ∴， 解得，不符合题意，舍去； 当时， ∴，即， ∴， ∴， 解得； 当点E在的延长线上时，且点F没有运动到点C时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴此时不满足与相似； 如图所示，当点F恰好运动到点C时，此时， ∴此时满足和相似， ∴此时； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理和三角形外角的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 82．为⊙O的直径，弦，垂足为，为弧CD上一点，，连接交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，过点作，垂足为，交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解答本题的关键 （1）连接，证明再根据三角形内角和定理可得即可得出结论； （2）根据三角形内角和定理证明，由圆周角定理得出，可得，再证明，即可得出结论； （3）连接，设，，，证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，连接得，求出可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径，且弦， ∴， ∴，即 又所对的圆是和， ∴ ∵ ∴， ∵， ∵ ∴ ∴； （2）证明：∵ ∴ ∵ 又 ∴ ∵所对的圆周角是和， ∴ 又 ∴， ∴； （3）解：由题意得，，，, 设，，， 连接， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 又， ∴是等腰直角三角形， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ 连接得， ∴ 在中，， ∴ 又 ∴． 83．在中，直径．点C为圆上一动点，点D在圆外，四边形为菱形，连结． (1)如图1，交于点E， ①求证：； ②连结，若，求的长． (2)如图2，连结交于G，F为圆上一点，交于M．当点C在圆上运动时，直径上是否存在一点N，使为定值．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①见解析②7 (2)存在， 【分析】（1）①连接，根据菱形的性质，得到，圆周角定理，得到，根据弧，弦，角之间的关系即可得出结论；②设交于点，勾股定理求出的长，证明，求出，的长，证明，列出比例式进行求解即可； （2）过点作，交于点，根据等边对等角，平行线的性质，推出，证明，得到，进而推出，根据线段的和差关系，结合等量代换，求出的值，进而得到的值，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：①接， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②设交于点， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）存在，过点作，交于点，则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在点，当时，为定值． 【点睛】本题考查圆周角定理，弧，弦，角之间的关系，相似三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键。 84．如图，在锐角中，是最短边．以为直径的，交于D，过O作，交于E，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的度数； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由知，由知，从而可知，即； （2）延长交于点G，易证，由于，所以，所以； （3）易证，由于，所以，由圆周角定理可知，从而可证明，利用三角形相似的性质即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， （2）解：延长交于点G，    ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵O是中点 ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定与性质等知识,需要灵活运用所学知识． 试卷第2页，共127页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 圆周角与圆心角的关系 课程标准 学习目标 探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等； 了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补． 1.通过预习会说出圆周角的定义,并会正确识别圆周角； 2.通过预习，会探索出圆周角定理； 3.根据圆周角定理，推导出圆周角定理的推论。并能灵活运用圆周角定理和推论． 知识点一：圆周角的概念圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角； 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角。 【即学即练】 1．如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 2．下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点二：圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等； 【即学即练】 5．如图，是的直径，若，垂足为，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，C，D在上，且在异侧，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，， 为的两条弦，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，的半径为1，P是上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于（    ） A． B． C． D．1 9．如图，点，，在上，，点是弧的中点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为，，则的度数是 ． 11．如图，已知正方形内接于，点E在上，则的度数为 °．    12．如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 知识点三：圆周角定理推论一 同弧或等弧所对的圆周角相等； 【即学即练】 13．如图，点都在上，点是劣弧的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．如图，经过坐标轴的O、C、D三点，、，是的一条弦，则的值为（    ）    A． B． C． D． 16．如图，已知点、、、在上，弦、的延长线交外一点，，，则的度数为 ． 17．如图，和是的直径，弦．若弦，则弦的长为 ． 18．如图，是上三点，．若，则 ． 19．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为中点，若的度数为，则的度数为 ． 20．如图，等腰，，过A、B两点的与两腰分别交于C、D两点．求证：．    知识点四：圆周角定理推论二 直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径； 【即学即练】 21．如图，是的直径，，点D是上一点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 22．如图，为⊙直径，点在⊙上，如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 23．如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接交半圆于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 24．如图，内接于，点在上，连接，若，则的直径为（    ） A．12 B． C．6 D． 25．如图，是的直径，C，D为上两点，且平分，连接，，若，则的度数为 ． 26．如图，点在圆上，，点为的中点，的值为 ． 27．如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是 ． 28．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点；圆经过，，三个格点，请只用无刻度的直尺按下列要求分别作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，作出圆心； (2)在图2中，在劣弧上找一点，使． 知识点五：圆周角定理推论三 圆内接四边形的对角互补． 【即学即练】 29．如图，四边形是圆的内接四边形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 30．如图，四边形内接于，是延长线上一点，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 31．如图，在内，若圆周角，则圆心角的度数是（　　） A． B． C． D． 32．如图，四边形的三个顶点在上，点D在的延长线上，若，则的度数为 ． 33．如图，已知点在上，是延长线上一点，连接若平分．求证：． 34．如图，在的内接四边形中，，． 求证：四边形是矩形． 题型01 利用圆周角定理计算 例：如图，点A，B，C，D在上，连接，，．若，，，则的半径为（   ） A． B． C． D．5 36．如图，四边形内接于，若，的半径为3，则长为（　　） A．6 B．3 C． D． 37．如图，等边三角形内接于，若的度数是，则的长为 ． 38．如图，是的直径，弦，交于点F，满足，，若的半径长为3，，则的长为 ． 39．如图，已知是的直径，弦于点，弦于点，与交于点，，的延长线交于点．连接，． (1)直接写出图中所有与相等的角； (2)求证：； (3)若，求的长． 40．（1）【学习心得】 小宸同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得简单． 例如：如图1，在中，，，求的度数，若以点为圆心，为半径作辅助圆，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ． （2）【问题解决】 如图2，在四边形中，，，求的度数．小宸同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：是否能找到一个圆，确定圆心和半径，使得四点都在这个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出的度数，请运用小宸的思路解决这个问题，并写出解题过程． （3）【问题拓展】 ①如图3，的三条高相交于点，求证：． ②如图4，在中，，是边上的高，且，，求出的长． 41．如图，为的直径，点C，D为直径同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作于点E，交于点G，延长，交于点F． (1)如图①，若，求证：； (2)如图②，若，，求的半径． 42．如图，，是的两条弦且，点是弧的中点，点沿着弦从点运动到点． (1)如图1，当时，连结，，，．求证：； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，当点运动到点时，连结和，如果正好过圆心且，．求此时的长． 题型02 利用圆周角定理证明 例：如图，为的直径，点C、D都在上，且平分，交于点E． (1)求的大小． (2)若，求的半径； (3)于点F，试探究线段之间的数量关系，并说明理由． 44．如图，内接于，，，为的直径，交于，的延长线交于点，连接，，交于，在不添加其他辅助线的情况下，图中除外，相等的线段共有（   ）对． A．2 B．3 C．4 D．5 45．如图，点、、、在上，且，是延长线上一点，且是中点． (1)求证：； (2)连接并延长交于，延长到使，连接、，试说明； (3)在（2）的条件下，若为，则当=______时，四边形为菱形． 46．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【问题探究】如图1，，为的两条弦，点为的中点，过作、垂足为．求证：． 小明同学的思路是：如图2．在上截取，连接，，，…请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程． 【结论运用】如图3，是的内接等边三角形，点是上一点，，连接，．过点作，垂足为．若，求的周长． 【变式探究】如图4，若将（问题探究）中“点为的中点”改为“点为优弧的中点”，其他条件不变，请直接写出、、之间的等量关系． 题型03 用圆周角解决圆外角 例：如图，海岸线，经过、的弓形内部（包括边缘）是暗礁区，弓形所在圆的半径为，船保持怎样的航行不会进入暗礁区（   ） A． B． C． D． 48．在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段，在的上方画，尝试操作后思考： （1）这样的点A唯一吗？ （2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），…小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． (1)该弧所在圆的半径长为______； (2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图2所示的弓形外部，我们记为，请你证明； (3)如图3，已知线段和直线l，在直线l上求作点P，使得，尺规作图，保留作图痕迹； (4)如图4，在边长为9的等边中，动点P在内部，且，连接，则的最小值为______． 49．在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：    “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），…小华画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．    (1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决： ①该弧所在的圆的半径长为_____； ②面积的最大值为_____． (2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形的外部，我们记为P，请你利用图1证明； (3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点M在直线的左侧，且． ① 用尺规作出点M的运动路径，并求线段长的最小值； ② 过点M作，垂足为H，若不小于，则长的范围是． 题型04 圆周角定理推论的应用 例：如图，四边形内接于，，，，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 51．如图，在的内接四边形中，，过点作的垂线交延长线于．则下列结论：①平分；②若点是中点，则平行于的某条角平分线；③若，，则；④若，，则，其中正确的有（   ） A．①③ B．①②④ C．②④ D．①②③④ 52．如图，为的直径，弦于，为圆上一点，平分，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 53．如图，四边形内接于，对角线是的直径，平分，交于点E，过点D作，交于点H，交延长线于点F． (1)求的度数． (2)求证：． (3)过点F作交延长线于点G，求证：． 54．如图，是的直径，弦与点E，已知，，点P为上任意一点，（点P不与A、B重合），连接并延长与交于点Q，连接． (1)求的长； (2)若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：； (3)若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求与满足的关系． 55．如图，是等边的外接圆，P点是劣弧上的一个动点(不与点A，B 重合)． (1)求的度数； (2)若，，求的长； (3)若，点P在劣弧上运动的过程中， ①的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围． ②试探究的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围． 56．定义：若圆中两条弦的平方和等于直径的平方，则称这两条弦是一组“勾股弦”． (1)如图①，矩形是的内接四边形，与________是一组“勾股弦”（填一条弦即可）； (2)如图②，是的一组“勾股弦”，，求证：； (3)已知是的一组“勾股弦”，且，若之间距离为7，求的半径； (4)如图③，已知是的一组“勾股弦”，分别为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，且，求的值． 57．【初步感知】 如图1，点，，均在上，若，则锐角的大小为____； 【深入探究】 如图2，小聪遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接，，．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程． 【启发应用】 如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，，，若，则的值为______． 题型05 利用圆周角性质作图 例： 已知是的弦． (1)如图①，只用无刻度的直尺作弦，使； (2)如图②，用无刻度的直尺和圆规作弦，使，且与的夹角为．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 59．如图，经过三个格点． (1)在图1中，先画的中点，再在上画点，使； (2)在图2中，是格点，是上的一点．先在上画点，使得，再将绕点顺时针旋转得到，画出线段． 60．如图，是的直径，点A在圆外，请仅用无刻度的直尺按要求画图． (1)在图1中，画出中边上的高； (2)在图2中，画出并标上圆心O的位置（保留作图痕迹）． 61．如图，的三个顶点都是格点，且为半圆的直径． (1)在图1中，先过点A画的平行线交半圆于点D，再画的中点E； (2)在图2中，先在半圆上画点F，使，再在上画点H，使． 62．请用无刻度的直尺完成下列画图． (1)在图1中，是的外接圆，是的中点，先画的中线，再画的内接矩形； (2)在图2中，是直径，是圆内一点，先画的高，再画于点． 63．如图，为格点，以为直径的交网格线于点A． (1)在图1中，先画圆心O，再画的平分线交于点D； (2)在图2中，P是半圆弧的中点，先将点A绕P点顺时针旋转得到点，再在上画点M，使． 64．按照下列要求作出图形（不写作法，保留作图痕迹）． (1)尺规作图：将图1中的破轮子复原 (2)如图2，矩形的顶点在圆上，顶点，，在圆内，请仅用无刻度的直尺画出图2中的圆心． 65．已知都是上的点，仅用无刻度的直尺完成画图． (1)在图1中，是的直径，的顶点在上，画的中点； (2)在图2中，是的直径，的顶点分别在上，画的中点； (3)在图3中，四边形是的内接矩形，是的中点，画平分交于点． 66．如图是由小正方形组成的网格，经过格点．仅用无刻度的直尺完成画图． (1)在图1中，先画出圆心，再画的中点； (2)在图2中，是上的一点，先在上画点，使，再画交于点． 题型06圆的折叠问题 例：如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结．若的半径长为，，则 ． 68．如图， 是的内接三角形， 沿折叠， 恰好经过中点 ， 连接，若， ， 则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 69．如图，的半径为5，四边形是的内接四边形，（，位于圆心O的两侧），，，将，分别沿，翻折得到，，M为上点，过点M作交于点N，则的最小值为（　　） A．4 B． C． D． 70．在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．如图，若点D与圆心O不重合，，则的度数为 ． 71．如图，为半圆的直径，以半圆的一条弦非直径为对称轴将弧折叠后与直径交于点，若，且，则弦的长为 ． 题型07 园内的最值问题 例：如图，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D．8 73．如图，在中，，D是内的一个动点，满足．若，，则长的最小值为 ． 74．如图，在平面直角坐标系中，已知的半径为2，且与y轴、x轴的正半轴分别交于点A、B，点P是该坐标平面内一点，给出如下的定义：①若在上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称点P为的“集团点”；②若点P（点P不在直线上）关于直线的对称点在上或其内部，则称点P为的“明德点”；③若点P同时满足条件①②，则称点P为的“明德集团点”． (1)在点，，中，的“明德集团点”是______； (2)若点P是的“集团点”，点P所在的区域称为“集团辐射区域”，求该“集团辐射区域”的面积：当点P在直线上时，求点P的纵坐标的取值范围； (3)若点P是的“明德点”，且，求点P的横坐标的最大值． 75．（1）【问题情境】是外一点，是上一动点．若的半径为，且，则点到点的最短距离为 ． （2）【直接运用】如图1，在中，，，以为直径的半圆交于点，是弧上的一个动点，连接，则的最小值是 ． （3）【构造运用】如图，已知正方形的边长为，点，分别从点，同时出发，以相同的速度沿边，向终点，运动，连接和交于点，求点到点的距离最小值． （4）【灵活运用】如图3，的半径为，弦，为优弧上一动点，交直线于点，则面积的最大值是 ． 76．（1）【学习心得】 小刘同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，为半径作辅助，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到________． （2）【问题解决】 如图2，在四边形中，，，求的度数． （3）【问题拓展】 如图3，如图，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为4，则线段长度的最小值是_________． 77．[学习心得] （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C、D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则______． [初步运用] （2）如图2，在四边形中，，，则______°； [方法迁移] （3）如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）①如图4①，已知矩形，，，M为边上的点，若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为______． ②如图4②，在中，，是边上的高，且，．求的长． 题型08 圆周角与相似三角形的综合 例：已知四边形内接于，且于点M． (1)如图1，过圆心O作于点H． ①若半径为5，，求的长； ②试判断与的数量关系，并写出证明过程． (2)如图2，记，，，的面积分别为，，，，若，求的最小值． 79．数学课上，小明同学遇到了这样的一个问题：如图，点A、B、C、D在上，连结为的一条直径，过点A作交于点E．设． 【证明】老师说：利用所学习的“圆的知识”可以证明，请你帮助小明网学完成，的证明过程． 【应用】小明同学发现，利用可以解决如下问题： ①若则_____； ②若则的长为______． 80．如图，为的外接圆，弦，垂足为E，直径交于点G，连接，．若，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)求的值； (3)求的值． 81．如图，中，，．动点，同时分别从点，出发，分别沿着射线和射线的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接，以为直径作交射线于点，连接，设运动的时间为（）． (1)______．（直接写出结果） (2)当点在线段上时，用关于的代数式表示，的长． (3)在整个运动过程中，当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似？ 82．为⊙O的直径，弦，垂足为，为弧CD上一点，，连接交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，过点作，垂足为，交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，若，，求的长． 83．在中，直径．点C为圆上一动点，点D在圆外，四边形为菱形，连结． (1)如图1，交于点E， ①求证：； ②连结，若，求的长． (2)如图2，连结交于G，F为圆上一点，交于M．当点C在圆上运动时，直径上是否存在一点N，使为定值．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 84．如图，在锐角中，是最短边．以为直径的，交于D，过O作，交于E，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的度数； (3)若，，求的长． 试卷第2页，共127页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28 学科网（北京）股份有限公司 $$