精品解析：四川省成都市外国语学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

成都外国语学校2024-2025高一上学期期中检测数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： I.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列元素与集合的关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系依次判断选项即得. 【详解】对于选项A，因不是正整数，故A项错误； 对于选项B，是无理数，故必是实数，故B项正确； 对于选项C，是分数，故不是整数，故C项错误； 对于选项D，是自然数，故D项错误. 故选：B. 2. 已知命题：“”，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得答案. 【详解】命题：“”的否定是“”. 故选：C. 3. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由等价，再结合充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】由可得， 因为， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：A 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等性质分别判断各选项. 【详解】A选项：当时，，A选项错误； B选项：当，时，成立，，B选项错误； C选项：，，，所以，C选项错误； D选项：，则，又，所以，D选项正确； 故选：D. 5. 已知全集是实数集.下边的韦恩图表示集合与关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出白色区域，然后得出补集，即为阴影部分. 【详解】如图，白色区域为， 则阴影部分表示的集合为. 故选：D. 6. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到，再利用的代换将转化为，再结合基本不等式即可求解. 【详解】，，，， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 7. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，问题转化不等式非负的问题，分，两种情况讨论即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以恒成立， 当时，不等式为，故符合题意； 当时，要使恒成立，则需满足， 解得， 综上所述，的取值范围是. 故选：C 8. 若函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对任意，都有成立可判断是上的减函数，通过各段上的单调性分析及区间端点函数值的比较，列出不等式组求解即可. 【详解】由题意可知： 对任意的实数，都有成立， 是上减函数， ，解得， 实数的取值范围是. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错或不选得0分. 9. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 函数与是同一函数 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 若函数，则， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，让函数式有意义即可；对于B，由 函数定义域判断；对于C，由题意可得，进而求定义域；对于D，利用换元法求解析式. 【详解】对于A，由，得且， 所以定义域为，故A正确； 对于B，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，不是同一函数，故B错误； 对于C，由于的定义域为， 所以中，解得， 所以的定义域为，故C正确； 对于D，令，则， 所以，故，故D正确. 故选：ACD 10. 如图所示，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中不正确的是（ ） A. B. C. 时的解集为或 D. 方程有且仅有一个实数解 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由对称轴可判断；对于B，由图象与轴交于，两点即可判断；对于C，由韦达定理得到，，代入即可解不等式；对于D，将函数式设成，取，由判别式判断. 【详解】对于A，因为函数的对称轴为，所以，整理得.故A正确； 对于B，因为二次函数图象与轴交于，两点， 所以，故B错误； 对于C，因为二次函数的图象的对称轴为，点坐标为，所以点的坐标为， 所以和是方程的两根， 所以，， 所以，， 所以可化为， 由于，所以，解得.故C错误； 对于D，由C可设，， 当时，方程即为， 所以， 由于，此时方程有两个不等实数根，故D错误. 故选：BCD 11. 若满足对任意的实数，都有，且，则下列判断正确的有（ ） A. 当时，函数 B. 在定义域上单调递减 C. 是奇函数 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用新定义和函数的性质进行判断，计算出，判断错误，，再利用证明所有的有理数，有，对任意的正无理数，可看作是某个有理数列的极限，由极限的性质可得，则正确，再根据单调性定义确定正确，根据新定义，计算，可得正确. 【详解】对于，由题意知的定义域为R， 令，则，因为，则， 则函数不是奇函数，故错误； 对于，若存在，使得，则根据题意： 与矛盾，即对任意的，， 且对于任意的，， 因为，则对于任意正整数， ，则，同理可得：， 对于任意的正有理数，设为互质的正整数），则， 对于任意的正无理数，可看作是某个有理数列的极限，而， 则是的极限，则， 综上：对于所有的正实数，都有，故正确； 对于，设任意的，， 则， 即函数在定义域单调递增，故错误； 对于，，即， 则，故正确. 故选： 【点睛】解题思路：充分理解题目中的新定义，再结合函数的性质进行解决.本题要求比较高的分析问题能力，逻辑思维能力和运算能力. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡上. 12. 已知函数，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求得，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数，可得，所以. 故答案为：. 13. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为_______________.（用区间或集合表示） 【答案】 【解析】 【分析】由函数是偶函数，求出时解析式，不等式等价于或，代入解析式即可求. 【详解】当时，， 所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 所以， 所以， 所以不等式等价于或， 即或， 解得或, 所以，不等式的解集为：. 故答案为： 14. 定义若函数，则的最大值为______；若在区间上的值域为，则的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先表示出解析式，然后作出的图象，根据图象求解出最大值；结合图象分析值域为时定义域的情况，由此确定出的取值情况，即可求的最大值. 【详解】当时，解得或， 所以， 作出的图象如下图所示： 由图象可知：当时，有最大值，所以； 当时，解得或或； 当时，或， 由图象可知：当，时，的值域为，此时的最大值为； 当时，的值域为，此时， 由上可知，的最大值为， 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：本题考查取最小值函数的应用，处理这一类函数时，图象法是首选方法，通过数形结合的思想能高效的将问题简化.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的数目；（2）求参数范围；（3）解不等式；（4）研究函数性质. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用并集的定义求解即得. （2）利用交集的结果，结合集合的包含关系，列式求解即得. 【小问1详解】 当时，，而， 所以. 【小问2详解】 由，得， 当，即时，，满足，因此； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 已知二次函数. （1）当时，求在区间上的最值； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）最小值为，最大值为0 （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用二次函数性质求出最值. （2）分类讨论求解一元二次不等式. 【小问1详解】 当时，，，对称轴为， 当时，，当， 所以函数在区间上的最小值为，最大值为0. 【小问2详解】 不等式， 当时，解得；当，无解； 当时，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 17. 如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点已知米，米，设AN的长为米 （1）要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？ （2）求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值； 【答案】（1） （2），最小面积为48平方米 【解析】 【分析】（1）先表达出AMPN的面积表达式，时解出不等式，即可知AN的取值范围. （2）令，将式子化成对勾函数后求最值. 【小问1详解】 解：设的长为米（） 是矩形 由，得 ，解得或 即的取值范围为 【小问2详解】 令，（），则 当且仅当，即时，等号成立，此时，最小面积为48平方米 18. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若对于恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性即可； （2）利用特殊值判断，定义证明； （3）利用函数的奇偶性判断在单调递增，再利用单调性解不等式即可. 【小问1详解】 当时，，， 又因为为奇函数，则，则. 【小问2详解】 ，，，函数单调递增， 证明如下： 设任意的，且， ， 因为，且，，， 则，即，所以函数在单调递增. 【小问3详解】 由（2）可得函数在单调递增，又因为是奇函数， 则在单调递增，由对恒成立， 等价于对恒成立， 则，即对恒成立， 令， 任取，， 由，，，，即， 所以当时，单调递减，则当时，， 则，所以的取值范围为. 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，的值域为，则称是该函数的“优美区间”. （1）求证：是函数的一个“优美区间”； （2）求证：函数不存在“优美区间”： （3）已知函数有“优美区间”，当取得最大值时求的值. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）3. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用优美区间的定义推理论证即可. （2）假设函数存在“优美区间”，结合已知导出矛盾即可得证. （3）原题条件等价于是方程的两个同号且不等的实数根，结合判别式可得的范围，结合韦达定理可用表示，进一步即可求解. 【小问1详解】 函数在上单调递增，又， 因此函数在上的值域为， 所以是函数的一个“优美区间”. 【小问2详解】 函数中，，则或， 则函数在上单调递增， 若是的“优美区间”，则， 即是方程的两个不等的同号实根， 方程，而方程无解， 所以函数不存“优美区间”. 【小问3详解】 函数中，，则或， 函数上单调递增， 而是函数的“优美区间”，则， 即是方程的两个不等的同号实根， 因此是方程，即的两个不等的同号实根， 则，解得或， ， ， 当且仅当时取等号， 所以当取得最大值时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 成都外国语学校2024-2025高一上学期期中检测数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： I.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列元素与集合的关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：“”，则为（ ） A. B. C D. 3. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知全集是实数集.下边的韦恩图表示集合与关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 7. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错或不选得0分. 9. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 函数与同一函数 C. 若的定义域为，则的定义域为 D 若函数，则， 10. 如图所示，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中不正确的是（ ） A. B. C. 时的解集为或 D. 方程有且仅有一个实数解 11. 若满足对任意的实数，都有，且，则下列判断正确的有（ ） A. 当时，函数 B. 在定义域上单调递减 C. 是奇函数 D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡上. 12. 已知函数，则_________. 13. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为_______________.（用区间或集合表示） 14. 定义若函数，则的最大值为______；若在区间上的值域为，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知二次函数. （1）当时，求在区间上的最值； （2）解关于不等式. 17. 如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点已知米，米，设AN的长为米 （1）要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？ （2）求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值； 18. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若对于恒成立，求的取值范围. 19. 对于定义域为函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，的值域为，则称是该函数的“优美区间”. （1）求证：是函数的一个“优美区间”； （2）求证：函数不存在“优美区间”： （3）已知函数有“优美区间”，当取得最大值时求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$