专题02三角函数的变换技巧（六种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修一）

专题02三角函数的变换技巧（六种技巧精讲精练+过关检测） 题型01角的变换 【典例分析】 【例1-1】（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知，且.则（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（2021高一·全国·专题练习）若，，且为锐角，为钝角，则 ． 【例1-3】（23-24高一上·天津·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24高一上·贵州毕节·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一上·安徽·期末）若，，，，则 . 【变式1-3】已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ≤）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π． （1）求ω和φ的值； （2）若f（）=（＜α＜），求cos（）的值． 题型02次数的变换 【典例分析】 【例2-1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则 【例2-3】（21-22高一上·重庆·期末）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)求不等式在上的解集． 【变式演练】 【变式2-1】（21-22高一上·浙江宁波·期末）已知，为锐角，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（21-22高一·全国·单元测试）已知函数，设，，则 ， . 【变式2-3】（20-21高一上·江西南昌·期末）设函数. （1）求函数取得最大值时的自变量x的值； （2）求函数的单调递增区间. 题型03名的变换 【典例分析】 【例3-1】（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【例3-2】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则 . 【例3-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，求的值. 【变式演练】 【变式3-1】（23-24高一上·河南许昌·期末）已知为角终边上一点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式3-2】（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知，则 . 【变式3-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求： (1)； (2). 题型04消元变换 【典例分析】 【例4-1】（21-22高一上·四川遂宁·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（22-23高一上·广东深圳·期末）已知，是关于x的方程的两根，则实数 ． 【例4-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知、，且，，求. 【变式演练】 【变式4-1】已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一·江苏徐州·期末）已知，且，则 ． 【变式4-3】（2023高一上·全国·专题练习）已知，且，求α． 题型05公式变换 【典例分析】 【例5-1】（23-24高一上·全国·课后作业）的值为（    ） A．0 B． C． D． 【例5-2】（21-22高一上·四川成都·阶段练习）化简求值： (1)； (2)已知，求的值. 【例5-3】（23-24高一上·新疆昌吉·期末）（1）已知，都是锐角，，，求的值； （2）已知为锐角，为钝角，，，求． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24高一上·青海海东·阶段练习）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·全国·课后作业）化简： (1)； (2). 【变式5-3】．（24-25高一上·上海·课后作业）已知. (1)求的值； (2)求的值. 题型06结构变换 【典例分析】 【例6-1】若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为 A． B． C． D．1 【例6-2】设，且恒成立，则的取值范围为 . 【例6-3】（21-22高一上·河南郑州·期末）函数，的最大值为 ． 【变式演练】 【变式6-1】已知函数，若，在上恒成立，则a的取值范围是 A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）函数的最小值为 . 【变式6-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，其中、为锐角，求的最大值. 一、单选题 1．（23-24高一上·福建泉州·期末）已知，则 （    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山西太原·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·广西柳州·期末）已知，则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一·全国·单元测试）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（23-24高一上·黑龙江·期末）已知，且，则 . 7．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知是第二象限角，且，则 ． 四、解答题 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，且是第三象限的角，求、、的值. 9．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）（1）若求的值； （2）已知角的终边经过点且求实数的值. 10．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求的值. （2）求代数式能取到的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02三角函数的变换技巧（六种技巧精讲精练+过关检测） 题型01角的变换 【典例分析】 【例1-1】（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知，且.则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的平方关系、正余弦的和角公式计算即可. 【详解】，， ∴， 又，故， ，， 故则， . 故选：C. 【例1-2】（2021高一·全国·专题练习）若，，且为锐角，为钝角，则 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数基本关系式，两角差的余弦公式，转化为求，再结合角的范围，即可求解. 【详解】由题意可知，，， 所有，，得， ，且，得，， ， ， ， 因为，所以. 故答案为： 【例1-3】（23-24高一上·天津·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合角所在象限及三角函数基本关系可由值计算出的值，再借助两角差的余弦公式计算即可得； （2）借助二倍角公式及两角差的正弦公式与辅助角公式计算即可得. 【详解】（1），， ， ； （2） ． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24高一上·贵州毕节·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助诱导公式以及二倍角公式化简计算即可. 【详解】由， 因为，所以， 所以 . 故选：C. 【变式1-2】（23-24高一上·安徽·期末）若，，，，则 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用同角公式及和差角的余弦公式计算得解. 【详解】由，，得，而，， 则，， 因此，， 所以. 故答案为： 【变式1-3】已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ≤）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π． （1）求ω和φ的值； （2）若f（）=（＜α＜），求cos（）的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由函数图象上相邻两个最高点的距离为π，得函数的最小正周期为π，求出ω=2，由函数图象关于直线x=对称，能求出φ=． （2）由f（x）=sin（2x+）=cos2x，f（）=（＜α＜），求出cosα=，sinα=，由此利用诱导公式能求出cos（）． 【详解】(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2. 又因为f(x)的图像关于直线x＝对称， 所以2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，…. 因为－≤φ＜， 所以φ＝－. (2)由(1)得ƒ＝sin(2×－)＝， 所以sin＝. 由＜α＜得0＜α－＜， 所以cos＝＝＝. 因此cos ＝sin α ＝sin ＝sincos＋cossin ＝×＋× ＝. 【点睛】本题考查三角函数中参数及三角函数值的求法，考查三角函数的图象、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 题型02次数的变换 【典例分析】 【例2-1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式化简所求表达式，代入求解即可. 【详解】. 故选：B. 【例2-2】（高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则 【答案】 【分析】先将函数表达式结合降幂公式化简，再将代入求值 【详解】，将代入得 故答案为 【点睛】本题考查利用降幂公式的化简求值，属于基础题 【例2-3】（21-22高一上·重庆·期末）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)求不等式在上的解集． 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)利用二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式化简函数即可求解； (2)由题可得，再利用正弦函数性质即可求解. 【详解】（1）∵ ∴， 由，得， 即在上单调递增， 所以函数单调递增区间是； （2）由得，，即， 又，， ∴，即， ∴不等式在上的解集为. 【变式演练】 【变式2-1】（21-22高一上·浙江宁波·期末）已知，为锐角，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用降幂公式，结合两角和的余弦公式进行求解即可. 【详解】 由， 设， 得： ， 化简得：， 即， 故选：A 【变式2-2】（21-22高一·全国·单元测试）已知函数，设，，则 ， . 【答案】 【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，则由已知条件可得，再利用同角三角函数的关系求出，则，展开化简计算即可. 【详解】 ， 所以， 所以. 因为，所以， 所以， 所以 ， . 故答案为：， 【变式2-3】（20-21高一上·江西南昌·期末）设函数. （1）求函数取得最大值时的自变量x的值； （2）求函数的单调递增区间. 【答案】（1），时，取得最大值；（2）. 【解析】（1）利用两角和的余弦公式、二倍角公式、辅助角公式对化简，再利用三角函数性质即可求解； （2）由（1）知，解不等式，即可求解. 【详解】（1）， 所以当，即，， 即，时，取得最大值. （2）由（1）知，， 要求其单调单增区间，只需求的单调递减区间， 令，， 解得：， 所以的单调递增区间为. 【点睛】方法点睛：已知三角函数的解析式求单调区间 先将解析式化为或的形式，然后将看成一个整体，根据与的单调区间列不等式求解. 题型03名的变换 【典例分析】 【例3-1】（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】把化为，再利用齐次式进行弦化切代入求解. 【详解】 . 故选：D 【例3-2】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则 . 【答案】/ 【分析】将式子化为其次式，然后化为正切求值即可. 【详解】， 故原式， 故答案为： 【例3-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，求的值. 【答案】 【分析】由题可得，构造齐次式求解原式即可. 【详解】由，可得， ∴原式. 【变式演练】 【变式3-1】（23-24高一上·河南许昌·期末）已知为角终边上一点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】先根据正切函数的定义知，然后弦化切代入求值即可. 【详解】因为为角终边上一点，所以， 所以. 故选：C 【变式3-2】（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】利用同角三角函数基本关系式，转化为正切表示的式子，即可求解. 【详解】∵，所以； 故答案为： 【变式3-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求： (1)； (2). 【答案】(1)或. (2)答案见解析 【分析】（1）运用平方关系结合化弦为切即可求解； （2）结合（1）的结论化弦为切即可求解. 【详解】（1） ， 则， 即， 解得或. （2）原式. 当时，原式； 当时，原式. 题型04消元变换 【典例分析】 【例4-1】（21-22高一上·四川遂宁·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解. 【详解】从可得，，所以， 因为， 故选：A. 【例4-2】（22-23高一上·广东深圳·期末）已知，是关于x的方程的两根，则实数 ． 【答案】 【分析】利用韦达定理列出关于m的方程，再利用同角之间的基本关系，即可求解． 【详解】由，是关于的方程的两根，所以， 由，可得，则， 经检验符合题意，所以实数的值为. 故答案为： 【例4-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知、，且，，求. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二倍角余弦公式、同角公式变形并消元求出，再利用和角的正弦求解即得. 【详解】由，得，即， 由，得， 两式平方相加得，即， 则，又，于是， 因此 ，由，得， 所以. 【变式演练】 【变式4-1】已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在所求分式的分子和分母中同时乘以化简后可得结果. 【详解】由同角三角函数关系式及题意可得且， 所以，. 故选：A. 【变式4-2】（23-24高一·江苏徐州·期末）已知，且，则 ． 【答案】或 【分析】把代入方程解方程即可. 【详解】， 解得：或，因为，所以或. 故答案为：或. 【变式4-3】（2023高一上·全国·专题练习）已知，且，求α． 【答案】或 【分析】根据三角函数的诱导公式，结合三角函数的性质，可得答案. 【详解】， ， 原式可化为， 解得或. ，，故或， 即或. 题型05公式变换 【典例分析】 【例5-1】（23-24高一上·全国·课后作业）的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】逆用两角和差的余弦公式，再根据特殊角计算即可. 【详解】原式 故选：B. 【例5-2】（21-22高一上·四川成都·阶段练习）化简求值： (1)； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式进行化简求值. （2）利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值. 【详解】（1）原式； （2）原式． 【例5-3】（23-24高一上·新疆昌吉·期末）（1）已知，都是锐角，，，求的值； （2）已知为锐角，为钝角，，，求． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）先算出，再结合两角差的余弦公式即可求解； （2）先算出，再结合角的范围即可求解. 【详解】（1）由，，可得， 又由，，有， ， ； （2）由， 又由，，有，可得． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24高一上·青海海东·阶段练习）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据同角关系求得，然后利用两角差的正弦公式求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 故选：D 【变式5-2】（24-25高一上·全国·课后作业）化简： (1)； (2). 【答案】(1)； (2)1. 【分析】（1）先用两角和的正余弦公式展开化简得到答案； （2）先把角变换结合两角差的正余弦公式展开化简得出答案； 【详解】（1） （2） 【变式5-3】．（24-25高一上·上海·课后作业）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2)1. 【分析】（1）由两角和的正切公式求解； （2）由弦化切公式求解． 【详解】（1）解： ， （2）． 题型06结构变换 【典例分析】 【例6-1】若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为 A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】令，则问题转化为不等式在上恒成立，即，应选答案B． 【例6-2】设，且恒成立，则的取值范围为 . 【答案】. 【分析】令，问题转化为对恒成立，结合二次函数的性质分类讨论可得． 【详解】当时，，令，则， 不等式化这，即对恒成立， 记，，，， 因此或时，由得或， 当时，恒成立，即， 综上． 故答案为：． 【点睛】本题考查余弦函数性质，考查不等式恒成立问题，解题关键是转化与化归，即换元后转化一元二次不等式在某区间上恒成立，从而转化为研究二次函数的性质． 【例6-3】（21-22高一上·河南郑州·期末）函数，的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】结合二倍角公式以及二次函数的性质求得正确答案. 【详解】， 令，则， 开口向下，对称轴为， 所以当时，取得最大值为， 所以当时，取得最大值. 故答案为： 【变式演练】 【变式6-1】已知函数，若，在上恒成立，则a的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，问题等价于在上恒成立，由二次函数的开口向下，只需满足，解不等式组即可. 【详解】问题等价于在上恒成立. 设，则在上恒成立， 由二次函数的开口向下， 所以解得. 故选：A 【点睛】本题考查了不等式恒成立求参数的取值范围以及三角函数的性质，考查了转化与化归的思想，属于中档题. 【变式6-2】（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）函数的最小值为 . 【答案】 【分析】利用二倍角公式可得，再由余弦函数值域以及二次函数性质可得其最小值为. 【详解】根据题意可得， 令，则， 根据二次函数性质可得， 所以函数的最小值为. 故答案为： 【变式6-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，其中、为锐角，求的最大值. 【答案】 【分析】结合等式特征，将拆成，整理化成，取，继而将其化成关于的一元二次方程，利用判别式非负，解之即得. 【详解】∵、为锐角，且， ∴， 化简可得， 即， 整理得：，取，则得， 依题意，该方程有实数解，故， 解得. ∵为锐角，∴， 则的最大值是. 一、单选题 1．（23-24高一上·福建泉州·期末）已知，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由平方关系以及商数关系化简求解即可. 【详解】由题意，所以， 化简得，因为，所以， 所以，解得. 故选：B. 2．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式化简，结合特殊角的三角函数值求出即可得解. 【详解】由，得，即， 由，得，则，即， 所以. 故选：B 3．（23-24高一上·山西太原·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由，且，判断出，再利用平方关系求解. 【详解】解：因为，且， 所以， 则， 故选：B 二、多选题 4．（23-24高一上·广西柳州·期末）已知，则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由商数关系、平方关系逐一判断每一选项即可得解. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，，所以，故D错误. 故选：ABC. 5．（22-23高一·全国·单元测试）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于A：先求出和，利用两角差的余弦公式直接求解；对于B：由直接求解；对于C：利用两角差的余弦公式直接求解；对应D: 利用两角差的正弦公式直接求解. 【详解】对于A：因为，所以. 又，所以，所以，所以.故A正确； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：.故C正确； 对应D:.故D错误. 故选：AC 三、填空题 6．（23-24高一上·黑龙江·期末）已知，且，则 . 【答案】 【分析】根据已知切化弦结合二倍角公式，化简即可得出.进而根据角的范围得出，整理推得，求解即可得出答案. 【详解】由， 可得， 即. 由于，故，则， 所以有，则， 所以有，解得. 故答案为：. 7．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知是第二象限角，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式、二倍角的正弦公式化简即可得解. 【详解】因为是第二象限角，且， 所以，， 所以. 故答案为： 四、解答题 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，且是第三象限的角，求、、的值. 【答案】，， 【分析】利用同角三角函数关系求解即可. 【详解】解：∵，是第三象限的角， ∴. ∴，. 9．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）（1）若求的值； （2）已知角的终边经过点且求实数的值. 【答案】（1）；（2）或或 【分析】（1）已知条件由正余弦的齐次式，求出，再代入所求的正余弦的齐次式求值； （2）利用余弦函数的定义，列方程求解. 【详解】（1）由，得， 所以． （2）根据三角函数的定义可得． 若时，符合题意； 若时，则可化简得，解得或， 综上，或或． 10．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求的值. （2）求代数式能取到的最大值. 【答案】（1）0；（2）. 【分析】（1）由于，所以代入化简结合诱导公式可得答案； （2）先利用三角函数恒等式变换公式化简变形，再求其最值. 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 因为， 所以， 所以的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$