第18课 一元一次不等式组-2024-2025学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第18课 一元一次不等式组 ( 目标导航 ) 学习目标 1.理解一元一次不等式组的概念. 2.理解不等式组的解的概念. 3.会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解. ( 知识精讲 ) 知识点01 一元一次不等式组的概念 1.由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组 2.组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解.当它们没有公共部分时，这个不等式组无解. 知识点02 解一元一次不等式组 一元一次不等式组的分类及解如下(a＜b)： 不等式组 数轴表示 解集 口诀 x＞b 大大取大 x＜a 小小取小 a＜x＜b 大小小大取中间 无解 大大小小则无解 ( 能力拓展 )考点01 一元一次不等式组的概念 【典例1】下列各项中，是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【解析】解：A、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组． 【即学即练1】下列不是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据一元一次不等式组的定义进行解答． 【解析】解：A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； B、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； C、该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项符合题意； D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组． 考点02 一元一次不等式组的解法 【典例2】解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【思路点拨】分别求出每个不等式的解集，再求出解集的公共部分得不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【解析】解：由①得x＜1； 由②得x＞﹣3； 故不等式组的解集为﹣3＜x＜1； 在数轴上表示如下： ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集，正确解不等式组是解题的关键． 【即学即练2】解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 【思路点拨】分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集即可． 【解析】解：由①得：x＜2， 由②得：x≥﹣2， ∴不等式的解集为﹣2≤x＜2， 在数轴上表示为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 考点03 一元一次不等式组的整数解 【典例3】解下列不等式组，并求它的所有整数解的和． 【思路点拨】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【解析】解：， 解①得：x≤1， 解②得：x＞﹣2． 则不等式组的解集是：﹣2＜x≤1， 整数解包括﹣1，0，1， ﹣1+0+1＝0， ∴它的所有整数解的和为0． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解，解答本题的关键要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x大于较小的数、小于较大的数，那么解集为x介于两数之间． 【即学即练3】求满足不等式组的整数解． 【思路点拨】先分别算出每个不等式的解集，再取公共部分，即不等式组的解集为，结合x取整数解，即可得出答案． 【解析】解：， 解不等式①，得x≥﹣1， 解不等式②，得； ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解为：﹣1，0，1，2． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 考点04 一元一次不等式组的应用 【典例4】为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． （1）求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【思路点拨】（1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共需4500元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个B种品牌的足球，则购买（50﹣m）个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【解析】解：（1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； （2）设购买m个B种品牌的足球，则购买（50﹣m）个A种品牌的足球， 根据题意得：， 解得：23≤m≤25， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球，总费用为（50﹣4）×27+80×0.8×23＝2714（元）； 方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为（50﹣4）×26+80×0.8×24＝2732（元）； 方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为（50﹣4）×25+80×0.8×25＝2750（元）． ∵2714＜2732＜2750， ∴为了节约资金，学校应选择购买方案1． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【即学即练4】为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元． （1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ （2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ 【思路点拨】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法作为等量关系列方程即可． （2）首先判断车辆总数为8，设租甲型客车m辆，列出不等式组求出整数解即可． 【解析】解：（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人， 根据题意，得30x+7＝31x﹣1， 解得x＝8， ∴30x+7＝30×8+7＝247． 答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，学生有247人． （2）师生总数为247+8＝255（人）， ∵每位老师负责一辆车的组织工作， ∴一共租8辆车， 设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆， 根据题意，得： ， 解得3≤m≤5.5， ∵m为整数， ∴m的值可取3，4，5， ∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列各项中，是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【解析】解：A、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了对一元一次不等式组的定义的应用，主要考查学生的理解能力和判断能力． 2．不等式组的解集在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】先分别算出不等式组的解集，运用数轴的性质进行表示不等式组的解集，即可作答． 【解析】解：依题意， 由x+2＞0，解得x＞﹣2， 由x﹣1≤0，解得x≤1， ∴不等式组的解集﹣2＜x≤1， 数轴如下： 故选：C． 【点睛】本题考查了解不等式组的解集以及在数轴上表示不等式组的解集，在数轴上表示解集是关键． 3．不等式组的整数解的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【思路点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案． 【解析】解： 解不等式①得，x≥1， 解不等式②得，x≤4.5， 故不等式组的解集是1≤x≤4.5， 其整数解有1，2，3，4共4个， 故答案为：B． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集是解答本题的关键． 4．对于不等式组，下列说法正确的是（　　） A．此不等式组无解 B．此不等式组的负整数解是﹣3，﹣2，﹣1 C．此不等式组有11个整数解 D．此不等式组的解集是 【思路点拨】分别解两个不等式得到x≤8和x＞﹣2.5，利用大于小的小于大的取中间可确定不等式组的解集，再写出不等式组的整数解，然后对各选项进行判断． 【解析】解：， 解①得x≤8， 解②得x＞﹣2.5， ∴不等式组的解集为﹣2.5＜x≤8， ∴不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8 则此不等式组有11个整数解 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． 5．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为（　　） A．8（x﹣1）＜5x+12＜8 B．0＜5x+12＜8x C．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜5x+12＜8 【思路点拨】设有x人，由于每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，则苹果有（5x+12）个；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果，就是苹果数5x+12﹣8（x﹣1）大于0，并且小于8，根据不等关系就可以列出不等式 【解析】解：设有x人，则苹果有（5x+12）个，由题意得： 0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8， 故选：C． 【点睛】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 6．不等式组的解集是 　﹣4＜x≤1　． 【思路点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解析】解：由3（x+1）＞2x﹣1得：x＞﹣4， 由2﹣x≥1得：x≤1， 则不等式组的解集为﹣4＜x≤1， 故答案为：﹣4＜x≤1． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 7．不等式组的最小整数解为 　2　． 【思路点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解析】解：由1﹣x＜0得：x＞1， 由2x﹣1≥2得：x≥， 则不等式组的解集为x≥， 最小整数解为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 8．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答 （1）解不等式①，得　x＞﹣2　． （2）解不等式②，得　x≤4　． （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为　﹣2＜x≤4　． 【思路点拨】分别解两个不等式得到x＞2和x≤4，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集，最后利用数轴表示其解集． 【解析】解：（1）解不等式①，得x＞﹣2． （2）解不等式②，得x≤4． （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为﹣2＜x≤4． 故答案为x＞﹣2，x≤4，﹣2＜x≤4． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 9．解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【思路点拨】（1）先求不等式组的解集，再表示在数轴上； （2）先求不等式组的解集，再表示在数轴上． 【解析】解：（1）， 解不等式①，得x≤4， 解不等式②，得x＞﹣1， ∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤4， 不等式组的解集在数轴上表示如下： （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得x≥﹣1， ∴不等式组的解集为：， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 【点睛】本题考查解一元一次不等式组和利用数轴表示不等式组的解集，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 10．解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解． 【思路点拨】先分别求出每个不等式的解集，然后求出整个不等式组的解集，最后从中筛选出非负整数解即可． 【解析】解：， 解①得：x≤1， 解②得：x＞﹣2， ∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1， ∴该不等式组的非负整数解为x＝0或1． 【点睛】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 11.我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：a⊕b＝4a﹣3b．例如：5⊕6＝4×5﹣3×6＝2．解答下列问题： （1）若x⊕y＝﹣1，x⊕y＝﹣1，x⊕2y＝2，分别求出x和y的值； （2）若满足x⊕2＜0，且3x⊕（﹣8）≥0，求x的取值范围． 【思路点拨】（1）根据新定义运算法则可得出二元一次方程组，求解即可； （2）根据新定义运算法则可得出一元一次不等式组，求解即可． 【解析】解：（1）∵x⊕y＝﹣1，x⊕y＝﹣1，x⊕2 y＝2， ∴4x﹣3y＝﹣1， ∵x⊕y＝﹣1，x⊕2 y＝2， ∴4 x﹣3 y＝﹣1，4 x﹣6 y＝2，即， 解得：， ∴x的值为﹣1，y的值为﹣1； （2）∵x⊕2＜0，且3x⊕（﹣8）≥0， ∴4x﹣6＜0，12x+24≥0，即， 解得：， ∴x的取值范围为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，实数的运算，解二元一次方程组，解一元一次不等式，理解新定义运算法则是解题的关键． 题组B 能力提升练 12．不若关于x的不等式组的解集为﹣2＜x＜3，则m﹣n的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1 【思路点拨】先解不等式组，结合不等式组的解集为﹣2＜x＜3，得出﹣m＝3，，求出m、n的值，代入计算即可得出答案． 【解析】解：， 解不等式①得：x＜﹣m， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组的解集为﹣2＜x＜3， ∴﹣m＝3，， 解得：m＝﹣3，n＝﹣6， ∴m﹣n＝﹣3﹣（﹣6）＝3， 故选：B． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式是关键． 13．若不等式组无解，则m的取值范围是（　　） A．m≤2 B．m＜2 C．m≥2 D．m＞2 【思路点拨】求得第一个不等式的解集，借助数轴即可求得m的取值范围． 【解析】解：解不等式2x﹣4＞0，得x＞2， ∵不等式组无解， 把两个不等式的解集在数轴上表示出来如下： 观察图象知， ∴当m≤2时，满足不等式组无解， 故选：A． 【点睛】本题考查了根据不等式组解的情况确定参数的取值范围，借助数轴数形结合是关键． 14．定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4，如果，则x的取值范围是（　　） A．5≤x＜7 B．5＜x＜7 C．5＜x≤7 D．5≤x≤7 【思路点拨】根据题意可得：3≤＜4，然后进行计算即可解答． 【解析】解：由题意得： 3≤＜4， ∴6≤x+1＜8， ∴5≤x＜7， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，实数大小比较，理解定义的新运算是解题的关键． 15．运行程序如图所示，从“输入实数x“到“结果是否＞18“为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（　　） A．x B． C． D．x＜6 【思路点拨】根据运行程序，第一次运算结果小于等于18，第二次运算结果大于18列出不等式组，然后求解即可． 【解析】解：由题意得， 解不等式①得x≤8， 解不等式②得，x＞， 则x的取值范围是＜x≤8． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键． 16．文德中学初二年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给他们．如果每人送4本，则还余9本；如果每人送5本，则最后一人能得到课外读物但不足2本．设初二年级有x名学生获奖．则下列不等式组表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据每人送4本，则还余9本，即本数比学生数的4倍多9，如果每人送5本，则最后一人得到的课外读物不足2本，即最后一人的本书大于等于0且小于2，据此即可得到结论． 【解析】解：根据题意，得， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，正确的理解题意是解题的关键． 17．解不等式组：，并求所有整数解的和． 【思路点拨】解各不等式，可得出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论． 【解析】解：， 解不等式①得：x＜1； 解不等式②得：x＞﹣4， ∴原不等式组的解集﹣4＜x＜1， ∴不等式组所有整数解的和为﹣3+（﹣2）+（﹣1）+0＝﹣6． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解以及解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法及步骤是解题的关键． 18. 对于任意的实数a，b定义一种新运算T，规定x⊗y＝ax2+by2，其中x，y是非零常数． 如：2⊗4＝a×22+b×42＝4a+16b． （1）填空：1⊗3＝　1+9b　（用含a，b的代数式表示）； （2）已知1⊗2＝﹣3，2⊗1＝3． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有三个整数解，求n的取值范围． 【思路点拨】（1）根据规定x⊗y＝ax2+by2，进行计算即可解答； （2）①根据规定x⊗y＝ax2+by2可得，然后利用加减消元法进行计算即可解答； ②根据规定x⊗y＝ax2+by2可得，然后把a，b的值代入可得，再按照解一元一次不等式组的步骤进行计算可得＜n＜5，最后根据题意可得1≤＜2，进行计算即可解答． 【解析】解：（1）1⊗3＝a×12+b×32＝a+9b， 故答案为：a+9b； （2）①∵1⊗2＝﹣3，2⊗1＝3， ∴a×12+b×22＝﹣3，a×22+b×12＝3， ∴a+4b＝﹣3，4a+b＝3， ∴由题意可列：， 解得：； ②， ∴， ∴， 解不等式①得：m＜5， 解不等式②得：m＞， ∴原不等式组的解集为：＜n＜5， ∵不等式组恰好有三个整数解， ∴1≤＜2， ∴﹣11＜n≤﹣5， ∴n的取值范围为﹣11＜n≤﹣5． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解二元一次方程组，列代数式，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 19. 嘉淇准备完成题目：解不等式组时，发现常数“□”印刷不清楚． （1）他把“□”猜成3，请你解不等式组； （2）王老师说：我做一下变式，若不等式组的解集为x＞﹣1，请求常数“□”的取值范围． 【思路点拨】（1）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可； （2）先解不等式组中的两个不等式，再根据解集为x＞﹣1，再确定“□”的取值范围即可． 【解析】解：（1）， 解不等式2x﹣4＜3（x﹣1）得， ∴2x﹣4＜3x﹣3， ∴x＞﹣1， 解不等式得， ∴2x﹣6＞x﹣4， ∴x＞2， ∴不等式组的解集为x＞2； （2）， 设常数“□”为m， ∵， ∴2x﹣2m＞x﹣4， ∴x＞2m﹣4， ∴不等式的解集为x＞2m﹣4， 又∵不等式2x﹣4＜3（x﹣1）的解集为x＞﹣1， 而不等式组的解集为x＞﹣1， ∴﹣1≥2m﹣4， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，掌握确定不等式组的解集的方法是关键． 20. 已知关于x、y的方程组的解x是负数，y是非负数． （1）求a的取值范围； （2）化简：|a+1|+|a﹣3|； （3）如果a满足|a+1|+|a﹣3|＝5，试求a的值． 【思路点拨】（1）解出方程组，根据题中所给条件得到不等式组，求出a的范围即可； （2）根据（1）的范围，分两种情况化简：当﹣2＜a＜﹣1时，|a+1|+|a﹣3|＝2﹣2a；当﹣1≤a≤3时，|a+1|+|a﹣3|＝4； （3）由（2）可知﹣2＜a＜﹣1，则|a+1|+|a﹣3|＝2﹣2a＝5，求出a值即可． 【解析】解：（1）解方程组，得， ∵x是负数，y是非负数， ∴， ∴﹣2＜a≤3， ∴a的取值范围是﹣2＜a≤3； （2）∵﹣2＜a≤3， 当﹣2＜a＜﹣1时，|a+1|+|a﹣3|＝﹣a﹣1+3﹣a＝2﹣2a； 当﹣1≤a≤3时，|a+1|+|a﹣3|＝a+1+3﹣a＝4； （3）∵|a+1|+|a﹣3|＝5， 由（2）可知﹣2＜a＜﹣1， 此时|a+1|+|a﹣3|＝2﹣2a＝5， ∴a＝﹣， ∴a的值为﹣． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，绝对值的化简，在绝对值化简时，注意讨论a的取值范围对绝对值化简的影响是解题的关键． 21. 如图，在数轴上，点A、B表示数分别为3m+2，1﹣2m，且点A在点B的左侧． （1）求m的取值范围； （2）若点C表示的数2m+7在点A和点B之间，求m的取值范围． 【思路点拨】（1）先观察数轴，根据点A与点B在数轴上的位置，列出关于m的不等式，解不等式求出的取值范围即可； （2）先分别求出点A与点C、点B的位置确定关于m的不等式组，求解集即可． 【解析】解：（1）由题意，得3m+2＜1﹣2m， 移项、合并同类项，得5m＜﹣1， 两边都除以5，得， ∴m的取值范围是； （2）由题意，得， 解不等式①，得m＜5； 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为， 由（1）得，， ∴m的取值范围是． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，解题关键是理解数轴上两点的位置表示数的大小关系． 22. “文房四宝”是中国独有的书法给画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”、经过调查得知：每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵20元，买5套甲种和10套乙种共用1300元． （1）求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少； （2）若学校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共150套，总费用不超过12640元，并且根据学生需求，要求购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的4倍．问有几种购买方案？最低总费用是多少？ 【思路点拨】（1）设每套甲种“文房四宝”的价格是x元，每套乙种“文房四宝”的价格是y元，根据“每套甲种的价格比每套乙种的价格贵20元，买5套甲种和10套乙种共用1300元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m套甲种“文房四宝”，则购进（150﹣m）套乙种“文房四宝”，根据“总费用不超过12640元，且购进乙种的数量不超过甲种数量的4倍”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有3种购买方案，再求出选择各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【解析】解：（1）设每套甲种“文房四宝”的价格是x元，每套乙种“文房四宝”的价格是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每套甲种“文房四宝”的价格是100元，每套乙种“文房四宝”的价格是80元； （2）设购进m套甲种“文房四宝”，则购进（150﹣m）套乙种“文房四宝”， 根据题意得：， 解得：30≤m≤32， 又∵m为正整数， ∴m可以为30，31，32， ∴共有3种购买方案， 方案1：购进30套甲种“文房四宝”，120套乙种“文房四宝”，所需费用为100×30+80×120＝12600（元）； 方案2：购进31套甲种“文房四宝”，119套乙种“文房四宝”，所需费用为100×31+80×119＝12620（元）； 方案3：购进32套甲种“文房四宝”，118套乙种“文房四宝”，所需费用为100×32+80×118＝12640（元）． ∵12600＜12620＜12640， ∴最低总费用是12600元． 答：共有3种购买方案，最低总费用是12600元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 题组C 培优拔尖练 23．若关于x的不等式组的所有整数解的和是6，则m的取值范围是（　　） A．3＜m＜4 B．3＜m≤4 C．3≤m＜4 D．3≤m≤4 【思路点拨】表示出不等式组的解集，由所有整数解和是6，确定出m的范围即可． 【解析】解：不等式组整理得：， 解得：1≤x＜m， 由所有整数解和是6，得到整数解为1，2，3， 则m的范围为3＜m≤4． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 24．我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3；用〈a〉表示大于a的最小整数，例如：〈2.5〉＝3，〈4〉＝5，〈﹣1.5〉＝﹣1．解决下列问题： （1）[﹣2.3]＝　﹣3　，〈4.7〉＝　5　； （2）若[x]＝3，则x的取值范围是 　3≤x＜4　；若〈y〉＝﹣4，则y的取值范围是 　﹣5≤y＜﹣4　； （3）已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围． 【思路点拨】（1）根据题目所给信息求解，根据[2.5]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，可得[﹣2.3]＝﹣3，〈4.7〉＝5． （2）根据题意，容易得出x、y的取值范围； （3）先求出[x]和＜y＞的值，然后求出x和y的取值范围． 【解析】解：（1）根据题意得，[﹣2.3]＝﹣3，〈4.7〉＝5． 故答案为：﹣3，5． （2）∵[x]＝3， ∴x的取值范围是3≤x＜4； ∵＜y＞＝﹣4， ∴y的取值范围是﹣5≤y＜﹣4； 故答案为：3≤x＜4，﹣5≤y＜﹣4； （3）解方程组，得； 则x、y的取值范围为﹣2≤x＜﹣1，0≤y＜1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用和解二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，按照题目所给的信息求解． 25． 生活中的数学 某学校组织七、八年级学生进行研学活动，由学生会通过调研获取信息供学校参考制定出行方案．经学生会调查，得到以下信息． 信息1 某旅游公司只有60座客车14辆，45座客车25辆可供租用 45座客车 60座客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 250 300 信息2 七年级若每位老师带40名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带41名学生，则恰好完成分配． 信息3 八年级师生如果租用45座的客车n辆，那么还有30人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满． 任务1 （1）参加此次活动的七年级师生共有 　420　人； 任务2 （2）求参加此次活动的八年级师生共有多少人； 任务3 （3）学校计划此次研学活动由七八年级师生共同租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，总费用不超过4800元，你能得出哪几种不同的租车方案？请直接写出具体的租车方案． 【思路点拨】（1）设参加此次活动的七年级教师有x人，根据“若每位老师带40名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带41名学生，则恰好完成分配”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入（x+41x）中，即可求出结论； （2）根据“八年级师生如果租用45座的客车n辆，那么还有30人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”，可列出关于n的一元一次方程，解之可得出n的值，再将其代入60（n﹣2）中，即可求出结论； （3）设租用y辆45座客车，则租用（15﹣y）辆60座客车，根据“该旅游公司只有60座客车14辆，45座客车25辆可供租用，且总费用不超过4800元”，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y，（15﹣y）均为自然数，即可得出各租车方案． 【解析】解：（1）设参加此次活动的七年级教师有x人， 根据题意得：40x+10＝41x， 解得：x＝10， ∴x+41x＝10+41×10＝420， ∴参加此次活动的七年级师生共有420人． 故答案为：420； （2）根据题意得：45n+30＝60（n﹣2）， 解得：n＝10， ∴60（n﹣2）＝60×（10﹣2）＝480． 答：参加此次活动的八年级师生共有480人； （3）设租用y辆45座客车，则租用＝（15﹣y）辆60座客车， 根据题意得：， 解得：≤y≤12， 又∵y，（15﹣y）均为自然数， ∴y可以为4，8，12， ∴共有3种租车方案， 方案1：租用4辆45座客车，12辆60座客车； 方案2：租用8辆45座客车，9辆60座客车； 方案3：租用12辆45座客车，6辆60座客车． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． ( 22 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18课 一元一次不等式组 ( 目标导航 ) 学习目标 1.理解一元一次不等式组的概念. 2.理解不等式组的解的概念. 3.会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解. ( 知识精讲 ) 知识点01 一元一次不等式组的概念 1.由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组 2.组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解.当它们没有公共部分时，这个不等式组无解. 知识点02 解一元一次不等式组 一元一次不等式组的分类及解如下(a＜b)： 不等式组 数轴表示 解集 口诀 x＞b 大大取大 x＜a 小小取小 a＜x＜b 大小小大取中间 无解 大大小小则无解 ( 能力拓展 )考点01 一元一次不等式组的概念 【典例1】下列各项中，是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练1】下列不是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 考点02 一元一次不等式组的解法 【典例2】解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【即学即练2】解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 考点03 一元一次不等式组的整数解 【典例3】解下列不等式组，并求它的所有整数解的和． 【即学即练3】求满足不等式组的整数解． 考点04 一元一次不等式组的应用 【典例4】为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． （1）求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【即学即练4】为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元． （1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ （2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列各项中，是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 2．不等式组的解集在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 3．不等式组的整数解的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．对于不等式组，下列说法正确的是（　　） A．此不等式组无解 B．此不等式组的负整数解是﹣3，﹣2，﹣1 C．此不等式组有11个整数解 D．此不等式组的解集是 5．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为（　　） A．8（x﹣1）＜5x+12＜8 B．0＜5x+12＜8x C．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜5x+12＜8 6．不等式组的解集是 　 　． 7．不等式组的最小整数解为 　 　． 8．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答 （1）解不等式①，得　 　． （2）解不等式②，得　 　． （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为　 　． 9．解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 10．解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解． 11.我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：a⊕b＝4a﹣3b．例如：5⊕6＝4×5﹣3×6＝2．解答下列问题： （1）若x⊕y＝﹣1，x⊕y＝﹣1，x⊕2y＝2，分别求出x和y的值； （2）若满足x⊕2＜0，且3x⊕（﹣8）≥0，求x的取值范围． 题组B 能力提升练 12．不若关于x的不等式组的解集为﹣2＜x＜3，则m﹣n的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1 13．若不等式组无解，则m的取值范围是（　　） A．m≤2 B．m＜2 C．m≥2 D．m＞2 14．定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4，如果，则x的取值范围是（　　） A．5≤x＜7 B．5＜x＜7 C．5＜x≤7 D．5≤x≤7 15．运行程序如图所示，从“输入实数x“到“结果是否＞18“为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（　　） A．x B． C． D．x＜6 16．文德中学初二年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给他们．如果每人送4本，则还余9本；如果每人送5本，则最后一人能得到课外读物但不足2本．设初二年级有x名学生获奖．则下列不等式组表示正确的是（　　） A． B． C． D． 17．解不等式组：，并求所有整数解的和． 18. 对于任意的实数a，b定义一种新运算T，规定x⊗y＝ax2+by2，其中x，y是非零常数． 如：2⊗4＝a×22+b×42＝4a+16b． （1）填空：1⊗3＝　 　（用含a，b的代数式表示）； （2）已知1⊗2＝﹣3，2⊗1＝3． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有三个整数解，求n的取值范围． 19. 嘉淇准备完成题目：解不等式组时，发现常数“□”印刷不清楚． （1）他把“□”猜成3，请你解不等式组； （2）王老师说：我做一下变式，若不等式组的解集为x＞﹣1，请求常数“□”的取值范围． 20. 已知关于x、y的方程组的解x是负数，y是非负数． （1）求a的取值范围； （2）化简：|a+1|+|a﹣3|； （3）如果a满足|a+1|+|a﹣3|＝5，试求a的值． 21. 如图，在数轴上，点A、B表示数分别为3m+2，1﹣2m，且点A在点B的左侧． （1）求m的取值范围； （2）若点C表示的数2m+7在点A和点B之间，求m的取值范围． 22. “文房四宝”是中国独有的书法给画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”、经过调查得知：每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵20元，买5套甲种和10套乙种共用1300元． （1）求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少； （2）若学校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共150套，总费用不超过12640元，并且根据学生需求，要求购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的4倍．问有几种购买方案？最低总费用是多少？ 题组C 培优拔尖练 23．若关于x的不等式组的所有整数解的和是6，则m的取值范围是（　　） A．3＜m＜4 B．3＜m≤4 C．3≤m＜4 D．3≤m≤4 24．我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3；用〈a〉表示大于a的最小整数，例如：〈2.5〉＝3，〈4〉＝5，〈﹣1.5〉＝﹣1．解决下列问题： （1）[﹣2.3]＝　 　，〈4.7〉＝　 　； （2）若[x]＝3，则x的取值范围是 　 　；若〈y〉＝﹣4，则y的取值范围是 　 　； （3）已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围． 25． 生活中的数学 某学校组织七、八年级学生进行研学活动，由学生会通过调研获取信息供学校参考制定出行方案．经学生会调查，得到以下信息． 信息1 某旅游公司只有60座客车14辆，45座客车25辆可供租用 45座客车 60座客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 250 300 信息2 七年级若每位老师带40名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带41名学生，则恰好完成分配． 信息3 八年级师生如果租用45座的客车n辆，那么还有30人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满． 任务1 （1）参加此次活动的七年级师生共有 　420　人； 任务2 （2）求参加此次活动的八年级师生共有多少人； 任务3 （3）学校计划此次研学活动由七八年级师生共同租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，总费用不超过4800元，你能得出哪几种不同的租车方案？请直接写出具体的租车方案． ( 22 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$