精品解析：河南省南阳市邓州市2024—2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

河南省南阳市邓州市2024—2025学年八年级上学期期中考试数学试卷 注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟； 2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上． 1. 一个数的平方根与它本身相等，这个数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4 2. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.1 3. 下列说法正确的是（ ） A. 是3的一个平方根 B. 的平方根是 C. D. 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 垂直于同一条直线的两直线垂直 B. 相等的角是对顶角 C. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D. 内错角相等 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（ ） A. B. C. D. 1 7. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将绕点逆时针旋转得，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 的算术平方根是______． 12. 若，则的值为_____． 13. 为了庆祝神舟十五号成功发射，学校组织了一次小制作展示活动，小明计划制作一个如图所示的简易模型，已知该模型满足，点B和点C是对应顶点，若，，则________． 14. 定义：，例如：，则的结果为____． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P、Q是边AC、BC上的两个动点， PD⊥AB于点D， QE⊥AB于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动 ，当t=____________时，△APD和△QBE全等． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2） 17. 因式分解： （1）； （2）． 18 观察下列等式，并回答问题． ， ， ， …… （1）将36写成两个正整数平方差的形式： ______=____________； （2）观察、归纳，得出猜想： 用含有字母的整数）的等式表示上述的规律为：______； 并用已学的知识验证这一规律． 19. [教材呈现]如图是华师版八年级上册65页的部分内容． 如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形． 把你画三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种? （1）【操作】如图，，请你用圆规在的另一边找到点，使； （2）【发现】（1）中的点有______个，说明符合条件的三角形有______种；此时（即“边边角”对应相等）两个三角形______全等．（填一定或不一定）； （3）【思考】如图，已知，若，则下列判断不正确是（ ） A．一定是钝角三角形 B． C． D．的面积与的面积相等 20. 育才中学开辟一块长方形试验田，其长和宽的数据如图所示． （1）求长方形试验田的面积（用含的代数式表示）． （2）若再开辟一块正方形试验田，周长与长方形试验田的周长相等． ①求该正方形试验田的边长（用含的代数式表示）； ②算一算正方形试验田面积比长方形试验田面积大多少． 21. 如图1，嘉琪想知道一堵墙上点A距地面的高度AO（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是嘉琪同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠______=．标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量______的长度，即为点A的高度． 图1 （1）请你先补全方案，再利用所学的全等三角形的知识说明这样设计的理由． （2）如图2，设AB与CD交于点E，善于观察和思考的明明同学猜想线段，你同意明明的观点吗?说明理由． 图2 22. 阅读理解 我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到． （1）【直接应用】 已知：，求ab的值； （2）【解决问题】 如图2，四边形是长方形，分别以为边向两边作正方形和正方形．若，两正方形的面积和为54，求长方形的面积． 思路如下：若设，．由可得______，由两正方形的面积和为54，可得______；运用上面的方法可求长方形的面积为______； （3）【知识迁移】 若，求的值． 23. 综合与实践 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． 【提出问题】如图①，中，若，求边上的中线的取值范围； 【探究方法】同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们方法完成下面的任务： ①根据题意，补全图形； ②根据同学们的方法，可以证______≌______，由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； 【拓展探究】如图②，在和中，，连接，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省南阳市邓州市2024—2025学年八年级上学期期中考试数学试卷 注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟； 2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上． 1. 一个数的平方根与它本身相等，这个数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方根定义，熟记的平方根是是解决问题的关键． 【详解】解：的平方根只有， 一个数的平方根与它本身相等，这个数是， 故选：B． 2. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案； 【详解】解：A、是分数，为有理数； B、是整数，为有理数； C、开不尽，为无理数； D、3.1是有限小数，为有理数， 故选：C． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 是3的一个平方根 B. 的平方根是 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方根的求解，立方根的求解，根据平方根，立方根的定义进行求解判断即可． 【详解】解：A、3的平方根为，则是3的一个平方根，正确，符合题意； B、负数没有平方根，故本选项不正确，不符合题意； C、，故本选项不正确，不符合题意； D、，故本选项不正确，不符合题意； 故选：A． 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 垂直于同一条直线两直线垂直 B. 相等的角是对顶角 C. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D. 内错角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，根据垂直的性质，对顶角，平行公理，平行线的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，原命题是假命题，不符合题意； B、对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，原命题为假命题，不符合题意； C、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，为真命题，符合题意； D、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，不符合题意； 故选C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同底数的幂的乘法、除法，幂的乘法，积的乘方法则逐一判断即可解题． 【详解】解：A. ，计算不正确； B. ，计算不正确； C. ，计算不正确； D. ，计算正确； 故选D． 【点睛】本题考查同底数的幂的乘法、除法，幂的乘法，积的乘方，掌握运算法则是解题的关键． 6. 数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得积相加是解答此题的关键． 根据题意列出算式，然后化简求解即可． 详解】解：∵ ∴ ． 故选：A． 7. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解定义，将多项式表示成几个因式乘积形式就是因式分解，通过因式分解定义逐项验证即可得到答案，熟记因式分解定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、不满足因式分解定义，不符合题意； B、是整式乘法运算中的平方差公式，不符合题意； C、是利用完全平方差公式因式分解，符合题意； D、，选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据图形结合全等三角形的判定方法求解即可． 【详解】解：根据图形，小明所画的三角形与原来三角形全等， ∴这两个三角形全等的依据， 故选：B． 9. 如图，将绕点逆时针旋转得，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，先由旋转的性质得到的度数，，再由平行线的性质得到的度数即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∵， ∴， 故选：A． 10. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 把每个因式逆用平方差公式分解，然后根据乘法结合率和有理数的乘法计算即可． 【详解】解： ． 故选D． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 的算术平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义解答即可，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 12. 若，则的值为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查的同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，根据运算法则把原式化为，再代入计算即可，熟记运算法则是解本题的关键． 【详解】解：当时， ； 故答案为：9． 13. 为了庆祝神舟十五号的成功发射，学校组织了一次小制作展示活动，小明计划制作一个如图所示的简易模型，已知该模型满足，点B和点C是对应顶点，若，，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质求出，然后根据可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 14. 定义：，例如：，则的结果为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式．根据新定义代入计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ． 故答案为： 15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P、Q是边AC、BC上的两个动点， PD⊥AB于点D， QE⊥AB于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动 ，当t=____________时，△APD和△QBE全等． 【答案】2或4##4或2 【解析】 【分析】分两种情况：①0≤t＜时，点P从C到A运动，则AP=AC-CP=8-3t，BQ=t，求得t=2；②t≥时，点P从A到C运动，则AP=3t-8，BQ=t，求得t=4． 【详解】解：①0≤t＜时，点P从C到A运动， 则AP=AC=CP=8﹣3t，BQ=t， 当△ADP≌△QBE时，则AP=BQ， 即8﹣3t=t， 解得：t=2； ②t≥时，点P从A到C运动，则AP=3t﹣8，BQ=t， 当△ADP≌△QBE时，则AP=BQ， 即3t﹣8=t， 解得：t=4； 综上所述：当t=2s或4s时，△APD和△QBE全等． 故答案为：2或4． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是正确进行分类讨论，不要漏解． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，多项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）利用多项式的每一项分别除以单项式，再把它们的商相加即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 原式． 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式乘法及因式分解，灵活运用提公因式法及公式法因式分解是解决问题的关键． （1）先提公因式，再由平方差公式因式分解即可得到答案； （2）先由单项式乘以多项式展开，再由完全平方差公式直接因式分解即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 观察下列等式，并回答问题． ， ， ， …… （1）将36写成两个正整数平方差的形式： ______=____________； （2）观察、归纳，得出猜想： 用含有字母的整数）的等式表示上述的规律为：______； 并用已学的知识验证这一规律． 【答案】（1）；； （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了找规律，用代数式表示，整式的运算，解题的关键是整理题目给出的规律． （1）利用题意得到即可解题； （2）根据题中等式进行归纳即可表示出该规律，再利用整式的运算法则即可验证． 【小问1详解】 解：∵， ， ， …… ∴； 小问2详解】 解：； 证明：等式右边 ， 等式左边右边， ． 19. [教材呈现]如图是华师版八年级上册65页的部分内容． 如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形． 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种? （1）【操作】如图，，请你用圆规在的另一边找到点，使； （2）【发现】（1）中的点有______个，说明符合条件的三角形有______种；此时（即“边边角”对应相等）两个三角形______全等．（填一定或不一定）； （3）【思考】如图，已知，若，则下列判断不正确的是（ ） A．一定是钝角三角形 B． C． D．的面积与的面积相等 【答案】（1）作图见解析 （2）2，2，不一定 （3）C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求画出图形即可得结论； （2）由（1）中所作图形，利用全等三角形的性质判断即可得到答案； （3）利用全等三角形的性质判断即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 点及即为所求； 【小问2详解】 解：由（1）中所作图形可知，这样的点有2个，说明符合条件的三角形有2种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形不一定全等， 故答案为：2，2，不一定； 【小问3详解】 解：，是钝角三角形， 一定是钝角三角形，，的面积与的面积相等 故选：C． 20. 育才中学开辟一块长方形试验田，其长和宽的数据如图所示． （1）求长方形试验田的面积（用含的代数式表示）． （2）若再开辟一块正方形试验田，周长与长方形试验田的周长相等． ①求该正方形试验田的边长（用含的代数式表示）； ②算一算正方形试验田面积比长方形试验田面积大多少． 【答案】（1） （2）①；②9 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用： （1）根据长方形面积计算公式求解即可； （2）①先求出长方形周长，进而得到正方形周长，再根据正方形周长计算公式求出正方形的边长即可；②用正方形面积减去长方形面积即可得到答案． 【小问1详解】 解： ， ∴该长方形试验田的面积为； 【小问2详解】 解：①由题意得，该正方形试验田的周长为， ∴该正方形的边长为； ② ， 正方形面积比长方形面积大9． 21. 如图1，嘉琪想知道一堵墙上点A距地面的高度AO（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是嘉琪同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠______=．标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量______的长度，即为点A的高度． 图1 （1）请你先补全方案，再利用所学的全等三角形的知识说明这样设计的理由． （2）如图2，设AB与CD交于点E，善于观察和思考的明明同学猜想线段，你同意明明的观点吗?说明理由． 图2 【答案】（1）DCO，OD，理由见解析；（2）同意，理由见解析 【解析】 【分析】（1）只需要根据AAC证明△AOB≌△DOC即可得到答案； （2）由△AOB≌△DOC得到OB＝OC， OA＝OD，∠OAB＝∠ODC，则AC＝DB，然后证明△ACE≌△DBE即可得到AE＝DE． 【详解】解：（1）∵AO⊥OD ∴∠AOB＝∠DOC＝90° 在△AOB与△DOC中 ， ∴△AOB≌△DOC（AAS）， ∴OA＝OD， 故答案为：DCO，OD； （2）同意 理由：∵△AOB≌△DOC （已证） ∴OB＝OC， OA＝OD，∠OAB＝∠ODC， ∴OA－OC＝OD－OB， 即AC＝DB， 在△ACE与△DBE中， ， ∴△ACE≌△DBE（AAS）， ∴AE＝DE． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件 22 阅读理解 我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到． （1）【直接应用】 已知：，求ab的值； （2）【解决问题】 如图2，四边形是长方形，分别以为边向两边作正方形和正方形．若，两正方形的面积和为54，求长方形的面积． 思路如下：若设，．由可得______，由两正方形的面积和为54，可得______；运用上面的方法可求长方形的面积为______； （3）【知识迁移】 若，求的值． 【答案】（1）4 （2）8，54，5 （3）13 【解析】 【分析】本题考查数形结合运用完全平方公式：，读懂题意是解决问题的关键． （1）由完全平方公式：恒等变形，代值求解即可得到答案； （2）根据题意，设，由可得，由两正方形的面积和为54，可得，数形结合运用完全平方公式：即可得到答案； （3）根据题意，找准所给代数式特点，设，则；，由完全平方公式恒等变形：，代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由得： ， ； 【小问2详解】 解：设长方形的长，宽，则， 正方形的边长为，正方形的边长为， ，，即， ， ， 由得： ， ， ∴长方形的面积为， 故答案为：8，54，5； 【小问3详解】 解：设， 则；， 由得： ， 的值为13． 23. 综合与实践 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． 【提出问题】如图①，中，若，求边上的中线的取值范围； 【探究方法】同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法完成下面的任务： ①根据题意，补全图形； ②根据同学们的方法，可以证______≌______，由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； 【拓展探究】如图②，在和中，，连接，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】探究方法：①作图见解析；②；；拓展探究：，理由见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，倍长中线”构造全等三角形是解决问题的难点． 探究方法：如图所示，根据三角形中线定义得，进而可依据“”判定和全等，再由全等三角形性质得，，根据三角形三边之间关系得，即，由此可得出的取值范围； 拓展探究：延长到，使，连接，如图所示，则，先证明和全等得，，则，进而得，再由得，则，由此可依据“”判定和全等，则，由此可得与的数量关系． 【详解】解：探究方法：①如图所示： ②是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ，，， ，， 在中，由三角形三边关系可知， ， ，即的取值范围是； 故答案为：；； 拓展探究：猜想：， 理由如下： 延长到，使，连接，如图所示： 则， 为的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$