专题08 对数运算（易错培优竞赛精练）-2024-2025学年高一数学竞赛能力培优精练（全国通用）

2025新高考高一对数运算易错培优竞赛试题 【题组目录】 题组一：名校对数运算易错题精选 题组二：名校对数运算培优压轴试题精选 题组三：名校对数运算新定义试题精选 题组四：对数运算全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 题组一：名校对数运算易错题精选 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知正实数x，y，z满足，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D．81 5．（多选题）已知实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为9 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 6．（多选题）已知，若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．已知，则 (用表示) 8． 9．已知实数x，y满足，则 ． 10．设为正实数，，，则 ． 11．已知，且，则 . 12．函数，定义使为整数的数叫做“企盼数”，则在区间上这样的“企盼数”共有 个． 13．若实数，且，则 . 14．设，是方程的两根，则 . 15．已知，则= 16．已知，，则 ． 17．（1）已知，求证：. （2）证明：是无理数. 18．我们知道，任何一个正实数都可以表示成．当时，记的整数部分的位数为，例如；当时，记的非有效数字的个数为，例如． (1)求，，并写出的表达式（不必写出过程）； (2)若，且取，求以及； (3)已知，猜想：与的大小关系，并证明你的结论． 题组二：名校对数运算培优压轴试题精选 1．已知，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知正数，满足，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的图像既关于点中心对称，又关于直线轴对称.当时，，则的值为（    ）. A． B． C． D． 4．已知函数，则（    ） A．4038 B．4039 C．4040 D．4041 5．已知是定义在上的单调函数，是上的单调减函数，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 7．设，，则（    ） A． B． C． D． 8．设，现把满足乘积为整数的叫做“贺数”，则在区间内所有“贺数”的个数是 A．9 B．10 C． D． 9．（多选题）定义“正对数”:，若a>0，b>0，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具．其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道．现有材料科技条件下，对于一个级火箭，在第级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为， 其中． 注：表示人造天体质量，表示第（）级火箭结构和燃料的总质量． 给出下列三个结论： ①； ②当时，； ③当时，若，则． 其中所有正确结论的序号是 ． 11．已知均为正数，且，则的大小关系为 . 12．若实数x，y满足，且，则的最小值为 . 13．已知实数，满足，，其中为自然对数的底数，则 14．计算：    15．一般地，如果函数的图象关于点对称，那么对定义域内的任意，则恒成立，已知函数的定义域为，其图象关于点对称. （1）求常数的值； （2）解方程：； （3）求证：. 题组三：名校对数运算新定义试题精选 1．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 2．“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，） A．33 B．35 C．37 D．39 3．科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若，则的值为（    ） A．14 B．15 C．24 D．25 4．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为（参考数据：）（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．费马数列是以数学家皮埃尔·德·费马（PierredeFermat，1601~1665年）命名的数列，其中．例如．因为．所以的整数部分是1位数；因为，所以的整数部分是2位数；…；则的整数部分位数最接近于（   ）（） A．240 B．600 C．1200 D．2400 6．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为(其中a为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断该文物属于（    ）参考数据：. 参考时间轴： A．战国 B．汉 C．唐 D．宋 7．（多选题）16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急.约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件.  恩格斯曾经把对数的发明称为17世纪数学的三大成就之一. 已知，,， 则下列说法中正确的是 （   ） A．若正实数x，y，z满足 则 B．若一个正整数n的20次方是一个13位整数，则 C．是位数为6692的正整数 D．将无理数写成小数形式后，其小数点后第一位数字为4 8．（多选题）音乐是由不同频率的声音组成的，若音1（do）的频率为f，则简谱中七个音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是f，，，，，，，其中相邻两个音的频率比（后一个音比前一个音的比）是一个音到另一个音的音阶，上述音阶只有两个不同的值，记为，，称为全音，称为半音，则下列关系式成立的是（参考数据：，）（    ） A． B． C． D． 9．依据正整数的十进制数码定义它的位数，比如，是一个2位数，100是一个3位数，实数，若，则，为位数，据此，是一个 位数（附）. 10．今年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8种半衰期在1万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式（，为大于0的常数且）.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要 年（最终结果四舍五入，参考数据： ，） 11．音乐是由不同频率的声音组成的．若音1（do）的音阶频率为f，则简谱中七个音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是f，，，，，，，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶．上述七个音的台阶只有两个不同的值，记为，，称为全音，称为半音，则 ． 12．德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为的小正方形，保留靠角的4个，删除其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删除；以此方法继续下去，经过次操作后，若要使保留下来的所有小正方形的面积之和不超过，则至少需要操作的次数为 ．（，） 13．建筑学中必须要对组合墙的平均隔声量进行设计．组合墙是指带有门或窗等的隔墙，假定组合墙上有门、窗及孔洞等几种不同的部件，各种部件的面积分别为，，…，（单位：m2），其相应的透射系数分别为，，…，，则组合墙的实际隔声量应由各部分的透射系数的平均值确定：，于是组合墙的实际隔声量（单位：dB）为．已知某墙的透射系数为，面积为20 m2，在墙上有一门，其透射系数为，面积为，则组合墙的平均隔声量约为 dB．（注：） 14．从4G到5G通信，网络速度提升了40倍.其中，香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.根据香农公式，以下说法正确的是 . ①若不改变信噪比，而将信道带宽增加倍，则增加倍. ②若不改变信道带宽和信道内信号的平均功率，而将高斯噪声功率降低为原来的一半，则增加一倍. ③若不改变带宽，而将信噪比从15提升至127，增加了. ④若不改变带宽，要使得增加一倍，则需要将信噪比从63提升至1023. 15．《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 题组四：对数运算全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2007高二·全国·竞赛）已知实数x，y满足，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 2．（2011高一·全国·竞赛）设，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三上·全国·竞赛）（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2024高三上·全国·竞赛）方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2023高一上·安徽·竞赛）已知，，，，则（    ） A．2 B．5 C．10 D．20 6．（2023高三下·全国·竞赛）已知与的线性关系如图所示，其中．若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2015高一·浙江绍兴·竞赛）设，则（   ） A． B． C． D． 8．（2015高一下·广东潮州·竞赛）有下列命题：①；②；③；④，其中正确命题的个数是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．（2021高一·浙江温州·竞赛多选题）已知实数，，满足，则下列说法正确得有（ ） A． B． C． D． 10．（2024高二下·四川·竞赛）已知，若，则的最大值为 ． 11．（2012高一·全国·竞赛）整数m，n满足，则 ． 12．（2007高一·全国·竞赛）如果，则的最小值为 . 13．（2011高一·全国·竞赛）对，定义符号函数：当时；当时；当时，.记点集，点集，点集围成的区域的面积为 . 14．（2016高一·全国·竞赛）函数，若（其中均大于2），则的最小值为 ． 15．（2011高一·全国·竞赛）数学课上，老师列出了11个式子，它们分别是：，其中有两个式子是错的，它们的正确结果是： ． 16．（2012高一·全国·竞赛）已知，则 ． 17．（2020高二上·浙江绍兴·竞赛）实数满足，则 . 18．（2023高二·全国·竞赛）若正实数，满足，，则的值为 . 19．（2022高三·浙江丽水·竞赛）函数满足，若，则实数的值为 . 20．（2022高一·浙江温州·竞赛）光线通过某种玻璃，强度损失.要使光线强度减弱为原来的，至少要通过 块这样的玻璃.（参考数据：，.） 21．（2020高三·全国·竞赛）若实数x满足，则 ． 22．（2020高一上·浙江温州·竞赛）已知是定义在R上的偶函数，且.若当时，，则 . 23．（2019高一下·浙江宁波·竞赛）数列满足，且x1+x2+……+x100=100，则lg(x101+x102+……+x200）= ． 24．（2016高三·甘肃·竞赛）已知a、b为方程的两个根.则 . 25．（2023高一上·山东滨州·竞赛）（1）已知，，求的值； （2）若，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025新高考高一对数运算易错培优竞赛试题 【题组目录】 题组一：名校对数运算易错题精选 题组二：名校对数运算培优压轴试题精选 题组三：名校对数运算新定义试题精选 题组四：对数运算全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 题组一：名校对数运算易错题精选 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算性质，结合基本不等式能证明，由此能证明，再构造函数，，由，可得 ，则，由此能求出结果． 【详解】解： ，， ， ，等号取不到， ， ， ， ， 令， ∵，∴单调递减，且， ，可得 于是 ， ， 故选：A. 2．已知正实数x，y，z满足，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先把指数式化成对数式，表示出.选项A，取倒数再根据换底公式可以判断A；选项B，根据换底公式转化为比较的大小关系；选项C，同样根据换底公式转化为比较底数的大小关系；选项D，把利用换底公式进行化简，再结合基本不等式得出结果. 【详解】设，，则，，. 选项A，，，，则，故A正确； 选项B，，，， 下面比较的大小关系， 因为，，，所以，即，又， 所以，即，故B不正确； 选项C，，，， 因为，又，所以，即，故C正确； 选项D，， 因为，所以， 又，所以，故D正确； 故选：B. 【点睛】指数和对数的比较大小问题，通常有以下方法： （1）利用指数、对数函数的单调性比较大小，底数不一样时可以化成一样的再比较； （2）比较与0，1的关系，也可以找中间值比较大小； （3）当真数一样时，可以考虑用换底公式，换成底数一样，再比较大小； （4）去常数再比较大小，当底数与真数成倍数关系时，需要将对数进行分离常数再比较； （5）也可以结合基本不不等式进行放缩，再比较大小； （6）构造函数，利用函数的单调性比较大小. 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解得，又利用对数运算可判断，结合基本不等式可判断与的大小，即可得的大小关系. 【详解】解：， 由于， ，取等条件应为，即，而，故， ，取等条件为，即，而，故，所以. 故选：A. 4．（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D．81 【答案】BD 【分析】根据题意，由换元法可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】设，则，所以原式，即， 解得，所以，所以，或. 故选：BD 5．（多选题）已知实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为9 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据对数的性质及运算法则得到，再利用基本不等式即可验证各选项是否正确. 【详解】由对数的性质及运算法则可知：，且， 所以：. 对于选项A：由，得：， 所以， 当，即时，取“”，所以选项A正确； 对于选项B：，所以， 当，即时取“”，所以的最大值为，所以选项B错误； 对于选项C：因为， 由选项B的解题中可知：，所以， 所以，所以选项C正确； 对于选项D：因为 ，即 当，即时，取“”， 所以，故选项D正确. 故选A,C,D. 6．（多选题）已知，若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】由对数运算的性质得，通过代入即可判断A；由二次函数的性质即可判断B；代入即可求出a的值，则可判断C；由可得，可解得a的取值范围，则可判断D. 【详解】由题意知，所以， 所以． 对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，所以，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，不能得到，故D错误． 故选：ABC. 7．已知，则 (用表示) 【答案】 【分析】利用对数的换底公式及运算法则计算化简即可. 【详解】， 因为，代入上式，化为. 故答案为：. 8． 【答案】 【分析】根据指数幂运算、对数运算法则化简求值即可得到结果. 【详解】 故答案为：. 9．已知实数x，y满足，则 ． 【答案】3 【分析】设，利用同构结合二次方程的解可得，故可求的值. 【详解】设，则， 故即， 整理得到：， 故为方程的正根， 故，故，故， 故答案为：3. 【点睛】思路点睛：与对数有关的求值问题，应该利用指对数的转化把对数问题转化指数问题来处理，转化过程中注意观察所得代数式的结构便于利用同构策略处理, 10．设为正实数，，，则 ． 【答案】/0.5 【分析】根据题意可得，进一步变形为，再利用基本不等式得，从而得，解出的值，代入即可求解. 【详解】因为为正实数，，则，即， ，故， 因为，所以， 又，，则由基本不等式得，当且仅当时，等号成立. 综上，，则，解得，则. 故答案为：. 11．已知，且，则 . 【答案】或 【分析】根据条件，利用换底公式得到，从而得到或，即可求解. 【详解】因为，整理得到， 解得或，所以或， 故答案为：或. 12．函数，定义使为整数的数叫做“企盼数”，则在区间上这样的“企盼数”共有 个． 【答案】9 【分析】令，利用对数的换底公式可得，再根据题中定义即可求解. 【详解】令， 利用对数的换底公式可得, 得到． 要使成为“企盼数”，则，． 由于，即， 因为，，，可取． 因此在区间上这样的“企盼数”共有9个． 故答案为：9 13．若实数，且，则 . 【答案】1 【分析】根据换底公式及对数式与指数式的转化即可得解. 【详解】因为，所以， 由， 解得或（舍去）， 所以，即， 所以， 故答案为：1 14．设，是方程的两根，则 . 【答案】 【分析】先由韦达定理得，然后化简求解即可. 【详解】由韦达定理可知 故答案为： 15．已知，则= 【答案】1 【分析】根据指数式和对数式的互化可得，结合对数运算性质可得的值，化简为，即可得答案. 【详解】由于，故， 故， 则. 故答案为：1 16．已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据等式结构特征先利用换元法化简等式形式为，，然后通过两等式的联系（均可化为形式），构造函数研究出m与n的关系，从而建立x与y的关系，进而求出. 【详解】令，，则，， 由题可得，， 所以，. 因为函数在上单调递减，所以. 由，得， 得，故. 故答案为：. 17．（1）已知，求证：. （2）证明：是无理数. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）指数式化为对数式，得到左式，右式，证毕； （2）反证法进行证明，假设是有理数，则，其中为既约分数，则，但为偶数，为奇数，相矛盾，故为无理数. 【详解】（1）证明：， 左式， 右式， 所以左式=右式. （2）证明：假设是有理数， 则，其中为既约分数， 则 ， 则， 这与为偶数，为奇数相矛盾， 所以假设不成立，所以是无理数． 18．我们知道，任何一个正实数都可以表示成．当时，记的整数部分的位数为，例如；当时，记的非有效数字的个数为，例如． (1)求，，并写出的表达式（不必写出过程）； (2)若，且取，求以及； (3)已知，猜想：与的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)3，1， (2)30，，31 (3)猜想，证明见解析 【分析】（1）由新定义得解； （2）利用对数化简，把表示，根据新定义得解； （3）猜想，利用新定义证明即可. 【详解】（1），， 由题意，当时，整数部分的位数为， 当时，的非有效数字的位数为， 所以 （2）由，则， 所以， 故，，. （3）猜想：， 当时，为正整数且不可能是10的倍数， 所以存在，使得，此时， 而，所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：理解所给新的定义，运用所给定义是此类拓展型题目的解题关键，对能力要求较高. 题组二：名校对数运算培优压轴试题精选 1．已知，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由题意结合对数运算性质运算即可得解. 【详解】由题意， 所以， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：关键是都对已知等式两边同时取以6为底的对数，由此即可顺利得解. 2．已知正数，满足，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据对数定义把指数化为对数，再根据对数运算结合基本不等式逐个运算判断. 【详解】设，则, ∴ 对A：，A正确； 对B：由题意可得：，同理可得： ∵ ∴，则，B错误； 对C：∵ ∴，C正确； 对D： ∴，D正确； 故选：B. 3．已知函数的图像既关于点中心对称，又关于直线轴对称.当时，，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设表示函数的图像，，根据中心对称性与轴对称性，可依次得，，，取，可计算得，从而可计算得. 【详解】用表示函数的图像，对任意的， 令，则，且， 利用的中心对称性与轴对称性，可依次推得 ，，， 取，此时， 因此. 故选：B 【点睛】本题考查了中心对称与轴对称的应用，求解的关键是根据中心对称与轴对称特点表示出函数图像上的点之间的关系，然后代值计算. 4．已知函数，则（    ） A．4038 B．4039 C．4040 D．4041 【答案】B 【分析】先分析待求式子的特点，根据条件计算，然后分析的取值，由此计算出待求式子的结果. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以原式 ， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析待计算的式子，通过分析待求式子可以发现具有一般代表性，从而通过解析式去分析其值的特点并完成问题的求解，本例的实质体现的是函数的对称性. 5．已知是定义在上的单调函数，是上的单调减函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是定义在上的单调函数可推知，表示出，再作商法，运用换底公式变形，比较出的大小即可求解. 【详解】由已知得，则，所以，，， 所以，则，，则， 所以．又因为是上的单调减函数，所以 故选：B． 【点睛】作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，这两个值最好都是正数．作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小． 6．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【答案】A 【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系. 【详解】由题意可知、、，，； 由，得，由，得，，可得； 由，得，由，得，，可得. 综上所述，. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 7．设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，然后运用对数的运算性质分别判断出和的符号即可. 【详解】由对数的性质得：， 所以 因为 所以，即 因为 所以，即 综上： 故选：B 【点睛】作差法是比较大小的常用方法，作为本题来说，要熟练掌握对数的运算性质. 8．设，现把满足乘积为整数的叫做“贺数”，则在区间内所有“贺数”的个数是 A．9 B．10 C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：因为，所以，即，，，则，当为的整数次幂时，为整数，则区间内，当时，此时为整数，所有的内所有“贺数”个数个，故选A. 考点：对数的运算性质. 【方法点晴】本题主要考查了对数的运算性质及数等比列的性质，其中涉及到对数的运算性质，将化为，在利用对数的运算求解是解答的关键，解答时当为的整数次幂时，为整数，要注意在区间内所有“贺数”，确定的个数，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 9．（多选题）定义“正对数”:，若a>0，b>0，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对进行分类讨论，判断出每个命题的真假. 【详解】对A，当，时，有，从而，， 所以； 当，时，有，从而，， 所以． 所以当，时，，故A正确． 对B，当，时满足，，而，，所以，故B错误； 对C，令，，则，，显然，故C错误； 对D，由“正对数”的定义知，当时，有， 当，时，有， 从而，， 所以； 当，时，有， 从而，， 所以； 当，时，有， 从而，， 所以； 当，时，，， 因为， 所以，所以． 综上所述，当，时，，故D正确． 故选：AD． 【点睛】本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，考查分类讨论思想、转化与化归思想的灵活运用，考查运算求解能力，注意本题容易因为理解不清定义使解题无法入手. 10．目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具．其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道．现有材料科技条件下，对于一个级火箭，在第级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为， 其中． 注：表示人造天体质量，表示第（）级火箭结构和燃料的总质量． 给出下列三个结论： ①； ②当时，； ③当时，若，则． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】只需证明每个都大于1即可判断①错误；直接考虑时的表达式即可判断②正确；时，将条件转化为关于的等式，再得到一个不等关系，即可证明，推出③正确. 【详解】首先，对，有，故，，这推出. 由于，故每个都大于1，从而，①错误； 由于当时，有，故②正确； 由于当时，，若，则. 从而，故. 这意味着，即，从而我们有 .等号成立当且仅当， 故，即，即， 分解因式可得，再由即知，故，③正确. 故答案为：②③. 【点睛】关键点点睛：判断第三问的关键是得到条件等式，结合基本不等式即可顺利得解. 11．已知均为正数，且，则的大小关系为 . 【答案】 【分析】设，然后分别求出，然后将对数式和指数式利用公式变形，判定大小关系. 【详解】设，因为均为正数，所以， 则，所以， 同理，， 所以只需要比较的大小即可. ,,因为，所以， ，，因为，所以， 又，所以， 故，所以， 故答案为：. 12．若实数x，y满足，且，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】由给定条件可得，再变形配凑借助均值不等式计算作答. 【详解】由得：，又实数x，y满足， 则，当且仅当，即时取“=”， 由解得：， 所以当时，取最小值8. 故答案为：8 【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件. 13．已知实数，满足，，其中为自然对数的底数，则 【答案】e4 【解析】对等式两边取为底的对数，变形可得，，从而可知所以和是方程的根，结合方程有唯一根可得，再结合，即可得，即可求出. 【详解】实数，满足，，， 所以，， 即，， 所以和是方程的根， 由于方程的根唯一， 所以，所以，整理得， 所以． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是等式两边取为底的对数，得到和是方程的根及方程的根唯一得到. 14．计算：    【答案】-1 【分析】根据题意，利用对数的运算法则、对数恒等式，进行化简求值即可． 【详解】 【点睛】本题主要考查了对数的运算，对数式化简求值的常用方法为： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 15．一般地，如果函数的图象关于点对称，那么对定义域内的任意，则恒成立，已知函数的定义域为，其图象关于点对称. （1）求常数的值； （2）解方程：； （3）求证：. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析． 【分析】（1）由定义可知对任意恒成立，通过化简可求得的值为； （2）由（1）可求得函数，代入中进行进行化简可得，利用换元法，将等式转化为一元二次方程，从而求得方程解； （3）由题意可知，即，将代入前式便可证明等式成立． 【详解】（1）∵的定义域为，∴， 由题意有恒成立 ，又， ∴ （2）由（1）知：， ∴， 令，则原方程变为：， 解之得或， 当时，，无解； 当时，. （3）由（1）知，， 设 可写成 ， 两式相加得， 所以. 【方法点睛】对于等式恒成立的证明（求解参数），通常可将等式转化为的形式，因为等式恒成立，则必有，从而求得参数；在求解有关函数（指数函数，对数函数）的方程时，多运用整体法或者换元法来解方程；对于第三问，根据的对称中心及其满足的关系式，结合等差数列前项和可知该采用倒序求和法来进行证明． 题组三：名校对数运算新定义试题精选 1．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 【答案】B 【分析】由题意先得，接着由和得，再结合对数运算性质解不等式即可得解. 【详解】由题，，所以， 又由题当时，，即， 所以，令即即， 解得，故， 所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为73. 故选：B. 2．“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，） A．33 B．35 C．37 D．39 【答案】B 【分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可． 【详解】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍， 列方程得， 解得， 即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍． 故选：． 3．科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若，则的值为（    ） A．14 B．15 C．24 D．25 【答案】A 【分析】根据条件中的概率公式，结合求和公式，以及对数运算，即可求解. 【详解】， 即，所以，解得. 故选：A. 4．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为（参考数据：）（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据题意表示出次操作后去掉的各区间长度之和，然后列出不等式，根据对数运算求解即可. 【详解】由题知，每次操作后剩下区间长度之和是操作前区间长度的， 故次操作后剩下区间长度之和为， 所以，次操作后去掉的各区间长度之和为， 由得， 所以，的最小值为6. 故选：A 5．费马数列是以数学家皮埃尔·德·费马（PierredeFermat，1601~1665年）命名的数列，其中．例如．因为．所以的整数部分是1位数；因为，所以的整数部分是2位数；…；则的整数部分位数最接近于（   ）（） A．240 B．600 C．1200 D．2400 【答案】D 【分析】先表示出，作近似处理得，再取以10为底的对数化简即可求解 【详解】由于，与1相比都非常大，所以， 所以，故． 又因为，的整数位数为位， 所以的整数部分位数最接近2400位． 故选：D． 6．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为(其中a为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断该文物属于（    ）参考数据：. 参考时间轴： A．战国 B．汉 C．唐 D．宋 【答案】B 【分析】根据“半衰期”得，进而解方程得，进而可推算其所处朝代. 【详解】由题可知，当时，，故，解得， 所以，所以当时，解方程， 两边取以为底的对数得，解得， 所以， 所以可推断该文物属于汉朝. 故选：B 【点睛】本题考查指数运算与对数运算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据半衰期计算得，进而解方程. 7．（多选题）16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急.约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件.  恩格斯曾经把对数的发明称为17世纪数学的三大成就之一. 已知，,， 则下列说法中正确的是 （   ） A．若正实数x，y，z满足 则 B．若一个正整数n的20次方是一个13位整数，则 C．是位数为6692的正整数 D．将无理数写成小数形式后，其小数点后第一位数字为4 【答案】BCD 【分析】利用对数的运算性质，把指数式化为对数式进行计算，即可得到判断. 【详解】对于A，令，则 所以， 故A是错误的； 对于B，设， 则当时，，此时，因为，所以不符合题意， 则当时，，此时，因为，所以符合题意， 则当时，，此时，因为，所以不符合题意， 当时，位数一定超14位，故B是正确的； 对于C，设， 因为，所以， 则，同理， 所以是位数为6692的正整数，故C是正确； 对于D，， 故D是正确的； 故选：BCD. 8．（多选题）音乐是由不同频率的声音组成的，若音1（do）的频率为f，则简谱中七个音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是f，，，，，，，其中相邻两个音的频率比（后一个音比前一个音的比）是一个音到另一个音的音阶，上述音阶只有两个不同的值，记为，，称为全音，称为半音，则下列关系式成立的是（参考数据：，）（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由题意可知，相邻两个音的频率比分别为，，，，，，从而根据题意可得，，然后逐个计算判断即可 【详解】由题意可知，相邻两个音的频率比分别为，，，，，，所以，， 对于A，，所以故A错误， 对于B，，所以B错误， 对于C，，故C正确． 对于D，，故D正确． 故选：CD． 9．依据正整数的十进制数码定义它的位数，比如，是一个2位数，100是一个3位数，实数，若，则，为位数，据此，是一个 位数（附）. 【答案】 【分析】利用位数的定义，结合对数运算法则即可得解. 【详解】因为， 所以， 则，所以是位数. 故答案为：. 10．今年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8种半衰期在1万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式（，为大于0的常数且）.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要 年（最终结果四舍五入，参考数据： ，） 【答案】 【分析】根据已知条件得，解方程组求出的值，当时，在等式两边取对数即可求解. 【详解】由题意得：，解得，所以， 当时，得，即， 两边取对数得（其中应用换底公式：）. 所以， 即这种有机体体液内该放射性元素浓度时，大约需要年. 故答案是：. 11．音乐是由不同频率的声音组成的．若音1（do）的音阶频率为f，则简谱中七个音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是f，，，，，，，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶．上述七个音的台阶只有两个不同的值，记为，，称为全音，称为半音，则 ． 【答案】0 【分析】根据条件求出和，再求的值. 【详解】相邻两个音的频率比分别为，，，，，， 由题意，，， . 故答案为：0. 12．德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为的小正方形，保留靠角的4个，删除其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删除；以此方法继续下去，经过次操作后，若要使保留下来的所有小正方形的面积之和不超过，则至少需要操作的次数为 ．（，） 【答案】 【分析】依题意，第次操作后共保留个小正方形，其边长为，即可得到保留下来的所有小正方形面积之和，从而得到不等式，再两边取对数，根据换底公式及对数的运算法则计算可得； 【详解】解：依题意，第次操作后共保留个小正方形，其边长为，所以保留下来的所有小正方形面积之和为，若使得，两边取对数可得，即， 所以至少操作次； 故答案为： 13．建筑学中必须要对组合墙的平均隔声量进行设计．组合墙是指带有门或窗等的隔墙，假定组合墙上有门、窗及孔洞等几种不同的部件，各种部件的面积分别为，，…，（单位：m2），其相应的透射系数分别为，，…，，则组合墙的实际隔声量应由各部分的透射系数的平均值确定：，于是组合墙的实际隔声量（单位：dB）为．已知某墙的透射系数为，面积为20 m2，在墙上有一门，其透射系数为，面积为，则组合墙的平均隔声量约为 dB．（注：） 【答案】 【分析】根据已知公式求得组合墙的透射系数的平均值，根据即可求得答案. 【详解】由题意得：组合墙的透射系数的平均值：， 故组合墙的平均隔声量为 设 ，则 ， 由于，故， 故 ， 所以， 故答案为： 14．从4G到5G通信，网络速度提升了40倍.其中，香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.根据香农公式，以下说法正确的是 . ①若不改变信噪比，而将信道带宽增加倍，则增加倍. ②若不改变信道带宽和信道内信号的平均功率，而将高斯噪声功率降低为原来的一半，则增加一倍. ③若不改变带宽，而将信噪比从15提升至127，增加了. ④若不改变带宽，要使得增加一倍，则需要将信噪比从63提升至1023. 【答案】① 【分析】不变时和成正比可判断①；计算可判断②；计算可判断③的正误；计算可判断④的正误，进而可得正确答案. 【详解】对于①：若不改变信噪比，则为一个常数，此时和成正比，将信道带宽增加倍，则增加倍，故①正确； 对于②：若不改变信道带宽和信道内信号的平均功率，而将高斯噪声功率降低为原来的一半， 即， 故②不正确； 对于③：若不改变带宽，而将信噪比从提升至， 则，所以增加了，故③不正确； 对于④：若不改变带宽，将信噪比从63提升至1023， 则，所以增加了约，没有增加一倍，故④不正确. 故答案为：①. 15．《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 【答案】(1) (2) (3)610 【分析】（1）利用对数的运算性质计算即可； （2）令，则，根据对数与指数的互化可得，利用对数的换底公式化简原式即可； （3）利用对数的运算性质可得，结合位数的定义即可得出结果. 【详解】（1）原式； （2）由题意知，令，则， 所以， 所以； （3）设，则，又， 所以， 所以，则， 所以的位数为610． 题组四：对数运算全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2007高二·全国·竞赛）已知实数x，y满足，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由对数运算得，利用换元思想结合二次函数求最值. 【详解】由得，且， ∴. ∴ ， 当且仅当，，且，即时，等号成立， 故S的最小值是， 故选：A. 2．（2011高一·全国·竞赛）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换底公式可得，结合对数运算性质分析求解. 【详解】根据换底公式有，， 可得，整理得. 故C正确，检验可知其他选项均不符合. 故选：C. 3．（2024高三上·全国·竞赛）（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】对数运算可解. 【详解】. 故选：D 4．（2024高三上·全国·竞赛）方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据对数的定义即可求解. 【详解】依题意， 原方程等价于 即，显然只有一个正实根. 故选：B. 5．（2023高一上·安徽·竞赛）已知，，，，则（    ） A．2 B．5 C．10 D．20 【答案】D 【分析】利用换底公式转化，再利用基本不等式与已知条件结合，得出结果. 【详解】∵，∴，即， 由基本不等式可知，又因为， 所以，即满足基本不等式取等条件，即， 故选：D. 6．（2023高三下·全国·竞赛）已知与的线性关系如图所示，其中．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用待定系数法求函数的解析式，得，，再根据选项，结合，即可判断选项. 【详解】设，则，得，所以， 得，所以，， A.因为，，故A错误； B.当时，，故B错误； C. ，当时，，不成立，所以等号取不到，即，故C正确； D.，故D错误. 故选：C 7．（2015高一·浙江绍兴·竞赛）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数与对数的互化，再结合换底公式以及对数的运算性质可求得结果. 【详解】因为，则，，则，， 所以，. 故选：A. 8．（2015高一下·广东潮州·竞赛）有下列命题：①；②；③；④，其中正确命题的个数是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】利用根式，对数的运算性质逐个分析判断 【详解】①当为偶数，为负数时，，所以①不对； ②因为，所以错误； ③应该为；所以③错误， ④，④不对． 故选：A． 9．（2021高一·浙江温州·竞赛多选题）已知实数，，满足，则下列说法正确得有（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据指数与对数的互化公式，结合比较法和对数的运算性质逐一判断即可. 【详解】，则，，，且，，. 对于A:，所以A错误； 对于B:，因为，，所以，即，所以B正确； 对于C：，所以C正确； 对于D：，所以D正确. 故选：BCD. 10．（2024高二下·四川·竞赛）已知，若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】由可求得，代入中变形后利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为，所以， 所以，， 解得或， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 11．（2012高一·全国·竞赛）整数m，n满足，则 ． 【答案】/ 【分析】设，然后得到，列出方程求解即可. 【详解】设，则，故，即， 记，则， 解得（负值舍去），即, 故答案为：. 12．（2007高一·全国·竞赛）如果，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，则，代入，消得．利用判别式求得的取值范围，从而得出的最小值． 【详解】由已知，得，，故． 另一方面，，故，即． ． 设，则，，将其代入得 ．① ，解得， 注意到，故． 将代入方程①，解得，故，于是的最小值是． 故答案为：. 13．（2011高一·全国·竞赛）对，定义符号函数：当时；当时；当时，.记点集，点集，点集围成的区域的面积为 . 【答案】2 【分析】根据题中定义，结合指数函数的性质、对数与指数互化公式、数形结合思想进行求解即可. 【详解】设点，则. 于是有，得； 当时，，； 当时，. ， 同理，， ， 点集围成的区域是一个边长为的正方形如下图所示： 显然面积为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：本题的关键弄清并理解题中定义，明白集合描述法中表达式的含义. 14．（2016高一·全国·竞赛）函数，若（其中均大于2），则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由和对数的运算性质可得，再由基本不等式可得，再代入即可得出答案. 【详解】由得， 即， 即，则， 因为，所以， 于是 ， 当且仅当，即时取等， ． 故答案为：. 15．（2011高一·全国·竞赛）数学课上，老师列出了11个式子，它们分别是：，其中有两个式子是错的，它们的正确结果是： ． 【答案】 【分析】根据对数的运算性质，结合题意有两个式子是错的，运用假设法进行判断求解即可. 【详解】若，则及， 此三个数值同时正确或错误，故此三个数值都正确． 若，则． 由于此三数同时正确或错误，故此三个数值都正确． 于是与表中矛盾．即的数值错误． 若，则，，即此三个数值同时正确或错误，故此三个数值正确． ，与表中矛盾； ∴表中与是错误的，应为． 故答案为： 16．（2012高一·全国·竞赛）已知，则 ． 【答案】4 【分析】配方法求出的值，代入中求解即可. 【详解】由，配方得， 所以， ． 故答案为：4 17．（2020高二上·浙江绍兴·竞赛）实数满足，则 . 【答案】2或4 【分析】根据对数计算公式，将题中的对数都换算为以2为底的对数，再用换元法解方程即可得出答案. 【详解】由得 令,则,解得 或 所以 或 故答案为：2或4. 18．（2023高二·全国·竞赛）若正实数，满足，，则的值为 . 【答案】20 【分析】利用对数的性质可得，故可求的值. 【详解】因为， 所以. 故答案为：20. 19．（2022高三·浙江丽水·竞赛）函数满足，若，则实数的值为 . 【答案】 【分析】结合已知条件求出的解析式，然后利用即可求出. 【详解】令，则， 由得，， 即，， 从而， 故实数的值为. 故答案为：. 20．（2022高一·浙江温州·竞赛）光线通过某种玻璃，强度损失.要使光线强度减弱为原来的，至少要通过 块这样的玻璃.（参考数据：，.） 【答案】16 【分析】设至少要通过块这样的玻璃，则根据题意可得，然后两边取对数化简可求得结果. 【详解】设至少要通过块这样的玻璃，则， 即， 故要使光线强度减弱为原来的，至少要通过块这样的玻璃. 故答案为：16 21．（2020高三·全国·竞赛）若实数x满足，则 ． 【答案】128 【分析】由对数运算公式换成以2为底的对数，化简可得后可以求解. 【详解】解：由条件知 ， 解得，故． 故答案为：128. 22．（2020高一上·浙江温州·竞赛）已知是定义在R上的偶函数，且.若当时，，则 . 【答案】 【解析】根据和是定义在R上的偶函数，得到，即是以6为周期的周期函数，然后根据及时，，利用函数性质求解 【详解】因为， 所以， 又因为是定义在R上的偶函数， 所以， 所以是以6为周期的周期函数， 因为，且时，， 所以， . 故答案为： 23．（2019高一下·浙江宁波·竞赛）数列满足，且x1+x2+……+x100=100，则lg(x101+x102+……+x200）= ． 【答案】102 【分析】由对数运算性质得出数列是等比数列，公比为10，再利用等比数列的项的关系可得答案. 【详解】，所以数列是等比数列，公比为10， 所以， 故答案为：102. 【点睛】本题考查等比数列及对数运算公式，关键在于准确地运用等比数列公式和对数运算性质，属于中档题. 24．（2016高三·甘肃·竞赛）已知a、b为方程的两个根.则 . 【答案】 【详解】原方程变形为 . 令. 则或-3或-3. 于是，方程的两根分别为、. 故. 25．（2023高一上·山东滨州·竞赛）（1）已知，，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）23 【分析】（1）令，则，结合已知整理可得.换元，有，求解可得出.同理可得.然后根据函数的单调性，得出，代入化简即可得出答案； （2）平方可得，再次平方可得.然后根据立方和公式展开，代入即可得出答案. 【详解】（1）令，则， 由已知可得，， 两边同时除以，整理可得， 所以有. 令，有， 解得（舍去负值）， 所以，即. 设，则， 由可得，， 两边同时除以，整理可得. 令，有， 解得（舍去负值）， 所以，即. 因为为R上的单调递增函数，且， 所以. 所以，. （2）因为， 所以，， 所以，， 所以， 所以，. 又， 所以，， 所以，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$