外接球内切球球截面专题学生版+教师版

第1节 外接球 类型一、正方体 （，为正方体的边长） 例1、已知一个圆锥的底面直径为，其母线与底面的夹角的余弦值为.圆锥内有一个内接正方体，该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接球表面积为_________. 1、已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点、，若线段的最小值为，则正方体的棱长为______；正方体的外接球的表面积为______． 2、球是正方体的外接球，若正方体的表面积为，球的表面积为，则__________． 类型二、长方体（，为长方体的长、宽、高） 例1、鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（ ）（容器壁的厚度忽略不计） A． B． C． D． 1、如图，将一个圆柱2n（n∈N*）等分切割，再重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，当n越大，重新组合的几何体就越接近于一个“长方体”，若新几何体的表面积比圆柱的表面积增加了8，则圆柱的侧面积为_____，在满足前面条件且圆柱外接球表面积最小时，它的外接球体积为_____． 2、如图，在长方体，且异面直线所成角的余弦值为，则该长方体外接球体积为（ ） A． B． C． D． 类型三、圆柱（，） 例1、《九章算术》是我国古代的数学名著,其中有很多对几何体体积的研究,已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为32π,高为h的圆柱,上面是一个底面积为32π,高为h的圆锥,若该容器有外接球,则外接球的体积为 (　 ) A． B． C． D． 1、如图，两个圆锥和一个圆柱分别有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上.若圆柱的侧面积等于两个圆锥的侧面积之和，且该球的表面积为，则圆柱的体积为（ ） A． B． C． D． 2、有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，此圆锥的母线与底面所成角为，若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则此圆柱的高是其底面半径的（ ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．3倍 类型四、圆锥（，） 例1、已知圆锥的顶点为，母线与底面所成的角为，底面圆心到的距离为，则该圆锥外接球的表面积为__________． 1、已知球的体积为，则球的内接圆锥的体积的最大值为_____________． 2、已知一个圆锥的侧面积是底面积的倍，记该圆锥的表面积为，外接球的表面积为，则（ ） A． B． C． D． 类型五、直棱柱与正棱柱（补圆柱，） 例1、直四棱柱的底面边长，高为，则它的外接球的表面积为______． 1、已知直三棱柱的外接球表面积为，则该三棱柱的体积为（    ） A．2 B． C．4 D． 2、已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，则多面体的外接球的表面积为 。 类型六、对棱相等的三棱锥（补长方体、，为三棱锥的棱长） 例1、把沿三条中位线折叠成四面体，其中，，，则四面体的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 1、过球表面上一点引三条长度相等的弦、、，且、、两两夹角都为，若，则该球的体积为（ ） A． B． C． D． 2、如图所示，正四面体中,是棱的中点,是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是（ ） A． B． C． D． 类型七、三棱两两互相垂直的三棱锥（补长方体、为三棱锥两两互相垂直的棱长） 例1、如图，边长为2的正方形中，点、分别是边、的中点，、、分别沿、、折起，使、、三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为________. 1、在三棱锥中，，中点为，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 2、已知四点均在球O的球面上，是边长为6的等边三角形，点D在平面上的射影为的中心，E为线段的中点，若，则球O的表面积为（ ） A． B． C． D． 类型八、有一条棱垂直底面的棱锥，（补圆柱、、为外接球半径、为底面外接圆半径、为棱锥的高） 例1、已知三棱锥中，平面，若，则其外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 1、正的边长为2，将它沿边上的高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 2、如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB=，∠ACB=60°，∠BCD=90°，AB⊥CD，CD=，则该球的体积为__________． 3、《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵中，且有鳖臑C1-ABB1和鳖臑，现将鳖臑沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，与鳖臑拼接成的几何体的外接球的表面积是______. 类型九、顶点的射影在底面的外心上的棱锥（补圆锥、、为外接球半径、为底面外接圆半径、为棱锥的高）常见的有：正棱锥、侧棱相等的棱锥 例1、已知三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为 ． 1、如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O．E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为( ) A． B． C． D． 2、已知平面四边形中，，，是等边三角形，现将沿折起到，使得点在平面上的射影恰为的外心，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 3、已知正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，该四棱锥的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若正四棱锥的高为2，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 类型十、两个面垂直，，为两个垂直面的外接圆半径，为两个垂直平面的交线。 例1、已知等腰中， ， 分别为的中点，沿将折成直二面角（如图），则四棱锥的外接球的表面积为__________． 1、已知正边长为1，将绕旋转至，则三棱锥的外接球表面积为 ． 2、在平面四边形ABCD中，AB⊥BD，∠BCD=30°，，若将△ABD沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BDC外接球的表面积是( ) A．4π B．5π C．6π D．8π 3、在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是一个正三角形，若平面平面，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 4、已知点在同一个球的上,,,.若四面体体积的最大值为,则这个球的表面积为（ ） A． B． C． D． 类型十一、两直角共斜边的三棱锥，外接球的半径为公共斜边的一半 例1、在三棱锥中，，，，，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的体积为（ ） A． B． C．π D． 1、在四面体中，，，，则它的外接球的表面积　 A． B． C． D． 2、如图，在三棱锥A﹣BCD中，点E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，BDCD，△ACD为正三角形，点M，N分别在AE，CD上运动（不含端点），且AM＝CN，则当四面体C﹣EMN的体积取得最大值时，三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为_____. 类型十二、棱锥外接球一般方法。 （1） 找球心（找两个面的外接圆圆心，并分别过两外接圆圆心作两面的垂线，两垂线的交点为球心） （2） 求球半径（利用勾股定理求解） 例1、在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 1、在四棱锥中，是边长为的正三角形，为矩形，，.若四棱锥的顶点均在球的球面上，则球的表面积为_____． 2、四边形是菱形，，，沿对角线翻折后，二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 3、三棱锥中，在底面的射影为的内心，若，，则四面体的外接球表面积为 . 例2、已知三棱锥外接球的直径为，，，若三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为 . 1、三棱锥的外接球的表面积为是该球的直径，，则三棱锥 的体积为 . 2、已知三棱锥外接球的表面积为，是边长为1的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是的中点，则三棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 3、已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________． 类型十三、台体的外接球 例1、已知正三棱台的上、下底面边长分别为，，且侧棱与底面所成角的正切值为3，则该正三棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 1、我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为升（一升为一立方分米），上底边长为分米，下底边长为分米，则该方斗的外接球的表面积为_______________平方分米. 2、已知某圆台的上、下底面面积分别为和，高为2，上、下底面的圆周在同一球面上，则该圆台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3、（多选）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（    ） A．圆台母线与底面所成角为60° B．圆台的侧面积为 C．圆台外接球半径为2 D．在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5 课后作业 1、长方体的8个顶点在同一个球面上，且，，，则球的表面积为______． 2、已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A． B． C． D． 3、已知扇形的面积为，圆心角为，则由该扇形围成的圆锥的外接球的表面积为_________． 4、已知点，，，在球的表面上，且，，若三棱锥的体积为，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为_______. 5、已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该三棱柱的体积为，，，，则此球的表面积为______. 6、如图,在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD为矩形, , ,则四棱锥外接球的表面积为___________． 7、若三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 8、在等腰直角三角形中，，D为的中点，将它沿翻折，使点A与点B间的距离为，此时四面体的外接球的体积为_____. 9、已知矩形中，点，，沿对角线折叠成空间四边形，则空间四边形的外接球的表面积为__________. 10、已知空间四边形中，，，，若平面平面，则该几何体的外接球表面积为__________． 11、如图是棱长为的正方体，是高为的正四棱锥，若点在同一个球面上，则该球的表面积为___． 12、已知三棱锥的四个顶点均在某个球面上，为该球的直径，是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为__________． 13、菱形边长为，，将沿对角线翻折使得二面角的大小为，已知、、、四点在同一球面上，则球的表面积等于__________． 14、（多选）如图，已知四棱台的上、下底面均为正方形，其中，，，则下列叙述正确的是（    ） A．该四棱台的高为 B． C．该四棱台的表面积为 D．该四棱台外接球的体积为 15、四面体中，则四面体外接球的表面积为__________. 16、三棱锥，其中则该三棱锥外接球的表面积为 . 17、已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，且两两垂直，是边长为的正三角形，则球的体积为（ ） A． B． C． D． 17、在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是 。 第2节 内切球 类型一、正方体的内切球问题 例1、若一个与正方体各个面都相切的球的表面积为4π，则此正方体的体积为（ ） A．4 B．1 C．8 D．6 1．已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为( ) A． B． C． D． 2．如图，在棱长为10的正方体内放入两个半径不相等的球，这两个球相外切，且球与正方体共顶点的三个面相切，球与正方体共顶点的三个面相切，则球的半径最大时，球的体积是（ ） A． B． C． D． 3、已知正方体的棱长为，其内有2个不同的小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，则球的体积等于______，球的表面积等于______． 类型二、圆柱的内切球问题 圆柱内切球半径为轴截面的内切圆半径 例1、如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若内切球的体积为，则圆柱的侧面积为 A． B． C． D． 2．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的， 若圆柱的表面积是现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（ ） A． B． C． D． 3、圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示.则球的半径是(　　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 4、石雕工艺承载着几千年的中国石雕文化，随着科技的发展，机器雕刻产品越来越多．某石雕厂计划利用一个圆柱形的石材（如图1）雕刻制作一件工艺品（如图2），该作品的上方是一个球体，下方是一个正四棱柱，经测量，圆柱形石材的底面半径米，高米，制作要求如下：首先需将石材切割为体积相等的两部分（分别称为圆柱A和圆柱B），要求切面与原石材的上、下底面平行（不考虑损耗），然后将圆柱A切割打磨为一个球体，将圆柱B切割打磨为一个长方体，则加工打磨后所得工艺品的体积的最大值为________立方米. 5、底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水________________. 类型三、圆锥的内切球问题 圆锥内切球半径为轴截面的内切圆半径 例1、已知某圆锥的高为4，其内切球的体积为，则该圆锥的侧面积（ ） A． B． C． D． 1、如图,一个盛满溶液的玻璃杯,其形状为一个倒置的圆锥,现放一个球状物体完全浸没于杯中,球面与圆锥侧面相切,且与玻璃杯口所在平面相切,则溢出溶液的体积为（ ） A． B． C． D． 2、罗德岛太阳神巨像是古代世界七大奇迹之一.它是希腊太阳神赫利俄斯的青铜铸像,高约33米.如图所示，太阳神赫利俄斯手中所持的几何体(含火焰)近似是一个底面相同的倒立的两个圆锥，正方向投影过去，其平面几何图形形状为一个角为60°，边长为2的菱形.现在其中一个圆锥中放置一个球体，使得球与母线、底面相切，则该球球的表面积为（ ） A． B． C． D． 3、图中是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径，高（不含杯脚），已知水的高度是，现往杯子中放入一种直径为的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变.如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（ ） A．36颗 B．42颗 C．48颗 D．54颗 4、如图，圆锥的底面半径为1，母线长为2，在圆锥上方嵌入一个半径为的球，使圆锥的母线与球面相切，切点与圆锥母线的端点，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 5、若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为（ ） A． B． C． D． 类型四、棱柱的内切球问题 例1、一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是（ ） A． B．16 C．24 D．48 1、已知半径为1的球与正三棱柱的六个面都相切，则三棱柱的体积为____________. 类型五、棱锥的内切球问题 1、 （相似三角形）由相似于，建立等式：，解出 2、（等体积法） 3、正四面体的面切球半径 正四面体的棱切球半径 正四面体的外接球半径 例1、已知正三棱锥的高为6，侧面与底面成的二面角，则其内切球与四个面都相切的表面积为　　 A． B． C． D． 1、在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑中, 平面, ,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为____． 2、已知正方体的棱长为，其内有2个不同的小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，则球的体积等于______，球的表面积等于______． 3、农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____． 4、图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球是该正八面体的内切球，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 类型六、台体内切球 例1、已知圆台内有一个球，该球与此圆台的上下两个底面及母线都相切，若圆台的上，下两个底面的半径分别为1，4，那么这个球的体积为______. 1、已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为 . 类型七、棱切球 例1、（多选）我们把所有棱长都相等的正棱柱(锥)叫“等长正棱柱(锥)”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱(锥)”的棱长都为1，则下列说法中正确的有（    ） A．正方体的棱切球的半径为 B．正四面体的棱切球的表面积为 C．等长正六棱柱的棱切球的体积为 D．等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为 2、把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都相切，则皮球的半径为 ( ) A．l0cm B．10 cm C．10cm D．30cm 课后作业 1、若正方体的棱长为2，则与正方体的各个面都相切的球的表面积为（ ） A． B． C． D． 2、已知正三棱柱的各条棱长都相等，且内接于球，若正三棱柱的体积是，则球的表面积为_____． 3、在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球O1，同时在三棱柱外有一个外接球.若,，,则球的表面积为 ______. 4、正四面体ABCD的棱长为2，其棱切球的体积为（    ） A． B． C． D． 5、与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（    ） A． B． C． D． 5、一个正四棱锥形骨架的底边边长为，高为，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 6、若圆台的上、下底面圆半径分别为1、2，、分别为圆台上下底面圆心.若该圆台存在内切球，则该圆台的体积为 . 7、（多选）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（    ）    A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为 C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为 8、（多选）将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，动点在该六面体表面上，且满足，则（    ）    A． B．该几何体的体积为 C．动点的轨迹长为 D．该多面体内切球的半径为 9、（多选）将菱形沿对角线折起，当四面体体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（    ） A． B． C． D． 10、正四面体的外接球与内切球的半径比为（    ） A． B． C． D． 11、如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（    ） A． B． C． D． 12、如图，一个水平放置的圆柱形玻璃杯的底面半径为，高为.玻璃杯内水深为，将一个球放在杯口，球面恰好与水面接触，并且球面与杯口密闭.如果不计玻璃杯的厚度，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 13、如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的表面积为S1，球O的表面积为S2，则的值是_____． 14、如图,圆锥型容器内盛有水,水深,水面直径放入一个铁球后,水恰好把铁球淹没,则该铁球的体积为________ 15、已知正四棱锥的高为2，，过该棱锥高的中点且平行于底面的平面截该正四棱锥所得截面为，若底面与截面的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 16、有一个倒圆锥形的容器，其底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着49个半径为1厘米的玻璃球，在向容器倒满水后，再把玻璃球全部拿出来，则此时容器内水面的高度为________厘米 17、一个倒置圆锥形容器，底面直径与母线长相等，容器内存有部分水，向容器内放入一个半径为1的铁球，铁球恰好完全没入水中（水面与铁球相切）则容器内水的体积为__________． 第3节 球的截面 一、球的截面与性质： 1、截面的定义：用一个平面去截球，截面是圆面。 2、球心与截面的圆心连线垂直于截面。 3、球心到截面的距离d，球半径R，小圆半径r之间的关系： 二、两点间的球面距离 1、定义：球面上过两点的大圆在这两点之间劣弧的长度 2、公式： 三、经度与纬度 1、纬度：地球是在不停地绕地轴旋转（地轴是一根通过地球南北两极和地球中心的假想线）过球心与地轴垂直的平面截得球面大圆叫做“赤道”，在赤道的南北两边，与赤道平行的面截所得小圆叫做纬线。某地的纬度就是该地与球心连线与赤道平面所成的角。 2、经度：精度是个二面角，是两个经线平面所成的角。某一点的经度，就是该点所在的经线平面与本初子午线平面间的夹角。在赤道上度量，子本初子午线平面作为起点面，分别往东往西度量，往东量值称为东经度，往西度量称为西经度。 例1、一个正方形内接于一个球，过球心作一截面，则截面的图形不可能是（ ） A． B． C． D． 1、一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是( ) A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 2、一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（　　） A．①② B．②④ C．①②③ D．②③④ 例2、已知三点都在表面积为的球的表面上，若.则球心到平面的距离等于（ ） A． B． C． D． 1、用平面截一个球，所得的截面面积为，若到该球球心的距离为1，则球的体积为（ ） A． B． C． D． 2、如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，其中侧棱长为，底面边长为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的表面积为( ) A． B． C． D． 3、已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 例3、两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9 π和16 π，则这两个平面间的距离是(　　) A．1 B．7 C．3或4 D．1或7 1、已知半径为5的球被两平行的平面所截，两截面圆的半径分别为3和4，则分别以两截面为上下底的圆台的侧面积为（ ） A． B． C．或 D．或 2、用两个平行平面去截半径为的球，两个截面圆的半径分别为，两截面间的距离，求该球的表面积和体积. 3、已知半径为5的球 O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另 一圆的半径为（  ） A、 B、 C、 D、 例4、设球是正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，若平面ACD1截球所得的截面面积为6π，则球的半径为(　　) A． B．3 C． D． 1、已知棱长为2的正方体，球与该正方体的各个面相切，则平面截此球所得的截面的面积为（ ） A． B． C． D． 例5、已知三棱锥中，，，，M，N分别为PB，PC的中点，则直线MN被三棱锥外接球截得的线段长为（ ） A． B． C． D． 1、四棱锥的底面是正方形，平面，且，该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，分别是棱的中点，直线被球面所截得的线段长为，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 2、正四面体A—BCD的所有棱长均为12，球O是其外接球，M，N分别是的重心，则球O截直线MN所得的弦长为 A．4 B． C． D． 3、球为正方体的内切球，，分别为棱的中点，则直线被球截得的线段长为__________． 4、已知正方体的棱长为，且所有棱均与球相切，是线段的中点，直线经过点且与直线平行，则直线被球截得的线段长为________. 例6、已知正三棱锥P-ABC，Q为BC中点，，，则正三棱锥P-ABC的外接球的半径为________；过Q的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积范围为________． 1、已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 课后作业 1、已知菱形边长为3，，为对角线上一点，.将沿翻折到的位置，记为且二面角的大小为120°，则三棱锥的外接球的半径为 ；过作平面与该外接球相交，所得截面面积的最小值为 . 2、用两个平行平面去截半径为的球，两个截面圆的半径分别为，两截面间的距离，求该球的表面积和体积. 3、朱世杰是元代著名的数学家，有“中世纪世界最伟大的数学家”之称.其著作《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到数学史研究者的高度评价.《四元玉鉴》下卷“杂范类会”中第一问为：“今有沈香立圆球一只，径十寸，今从顶截周八寸四分，问厚几何？”大意为现有一个直径为10的球，从上面截一小部分，截面圆周长为8.4，问被截取部分几何体的高为多少.已知朱世杰是以圆周率为3来计算，则《四元玉鉴》中此题答案为（ ）（注：） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 4、已知正三棱锥的顶点均在球的球面上，过侧棱及球心的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，已知三棱锥的体积为，则球的表面积为( ) A． B． C． D． 5、已知正方体的外接球的表面积为，与的重心分别为，，球与该正方体的各条棱都相切，则球被所在直线截的弦长为（ ） A． B． C． D． 6、（多选）在三棱锥中，与是全等的等腰直角三角形，平面平面为线段的中点．过点作平面截该三棱锥的外接球所得的截面面积可能是（    ） A． B． C． D． 第4节 最值与范围 例1、已知，，是球心为的球面上三点，，，若三棱锥体积的最大值为1，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 1、平行四边形中，，为边上一点（不与重合），将平行四边形沿折起，使五点均在一个球面上，当四棱锥体积最大时，球的表面积为________. 例2、已知三棱锥中，平面，，，则三棱锥体积最大时，其外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 1、已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值为2，则球的表面积为( ) A． B． C． D． 2、在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是底面内一动点，若直线与平面平行，则当三角形面积最小值时，三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 例3、体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，，，则球的体积的最小值为（ ） A． B． C． D． 1、在直三棱柱中，且，设其外接球的球心为O，已知三棱锥O-ABC的体积为2，则球O的表面积的最小值是_____________． 2、直三棱柱外接球表面积为，，若，矩形外接圆的半径分别为，则的最大值为（ ） A． B．3 C． D． 3、两球和在棱长为1的正方体的内部，且互相外切，若球与过点的正方体的三个面相切，球与过点的正方体的三个面相切，则球和的表面积之和的最小值为( ) A． B． C． D． 例4、已知球O为棱长为1的正四面体的外接球，若点P是正四面体ABCD的表面上的一点，Q为球O表面上的一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 1、已知正四面体A－BCD的棱长为6，P是四面体A－BCD外接球球面上的动点，Q是四面体A－BCD内切球球面上的动点，则PQ的取值范围是 ． 2、已知三棱锥三条侧棱，，两两互相垂直，且，､分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 课后作业 1、设三棱锥的每个顶点都在球的球面上，是面积为的等边三角形，，则当三棱锥的体积最大时，球的表面积为______. 2、在三棱锥中，，，若该三棱锥的体积为，则其外接球表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 3、已知三棱锥的四个顶点都在半径为2的外接球上，分别是和的中点，，，当取得最大值时，三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4、在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，设是该四棱锥外接球表面上的动点，则三棱锥的体积最大值为（     ） A． B． C． D． 5、正四棱台，上下底面分别是边长为2，3的正方形，若，则该棱台外接球表面积的取值范围是 ． 6、已知长方体中，侧面的面积为2，若在棱上存在一点，使得为等边三角形，则四棱锥外接球表面积的最小值为 . 7、已知PC是三棱锥外接球的直径，且，，三棱锥体积的最大值为8，则其外接球的表面积为 ． 8、已知是边长为2的等边三角形，，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为__________． 综合练习 1、（多选）数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，且其体积小于正四面体外接球体积．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则下列结论正确的是（    ）    A．勒洛四面体最大的截面是正三角形 B．若、是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值可能大于4 C．勒洛四面体的体积是 D．勒洛四面体内切球的半径是 2、截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法错误的是（    ） A．二面角的余弦值为 B．该截角四面体的体积为 C．该截角四面体的外接球表面积为 D．该截角四面体的表面积为 3、半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则下列关于该多面体的说法中不正确的是（    ） A．多面体有12个顶点，14个面 B．多面体的表面积为3 C．多面体的体积为 D．多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球） 4、（多选）如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内，如果四边形是边长为2的正方形，则（    ）    A．异面直线与所成角大小为 B．二面角的平面角的余弦值为 C．此八面体一定存在外接球 D．此八面体的内切球表面积为 5、（多选）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（    ）    A．该半正多面体的外接球与原正方体的外接球半径相等 B．与所成的角是的棱共有18条 C．与平面所成的角 D．若点为线段上的动点，直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 6、（多选）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（    ）    A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为 C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为 7、（多选）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为40cm的正方体截去八个一样的四面体得到的，则（    ） A．该几何体的顶点数为12 B．该几何体的棱数为24 C．该几何体的表面积为 D．该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项 8、（多选）如图，直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，,，点P是经过点的半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（   ）    A．四面体PBCQ的体积的最大值为 B．的取值范围是 C．若二面角的平面角为，则 D．若三棱锥的外接球表面积为S，则 9、已知棱长均为的多面体由上､下全等的正四棱锥和拼接而成，其中四边形为正方形，如图所示，记该多面体的外接球半径为，该多面体的棱切球（与该多面体的所有棱均相切的球）的半径为，则 ．    10、早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把按计算，则该正二十面体的外接球半径与棱长的比为 ；该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于 ． ( 第 1 页 共 53 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一节 外接球 类型一、正方体 （，为正方体的边长） 例1、已知一个圆锥的底面直径为，其母线与底面的夹角的余弦值为.圆锥内有一个内接正方体，该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接球表面积为_________. 【答案】 【解析】 如图所示,作出圆锥的一个轴截面,其中为母线, 为底面直径, ,是正方体的棱长,是正方体的上、下底面的对角线, 设正方体的棱长为,则,, 又,.故高. 依题意得,,即. 故正方体的体对角线,即外接球的直径. 故外接球表面积. 故答案为： 1、已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点、，若线段的最小值为，则正方体的棱长为______；正方体的外接球的表面积为______． 【答案】4 【解析】设正方体的棱长为，则正方体的外接球与内切球半径分别为， 正方体的外接球的表面积为 故答案为：4， 2、球是正方体的外接球，若正方体的表面积为，球的表面积为，则__________． 答案：2 类型二、长方体（，为长方体的长、宽、高） 例1、鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（ ）（容器壁的厚度忽略不计） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，当该球为底面边长分别为、，高为的长方体的外接球时，球的半径取最小值，所以，该球形容器的半径的最小值为，因此，该球形容器的表面积的最小值为. 故选：D. 1、如图，将一个圆柱2n（n∈N*）等分切割，再重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，当n越大，重新组合的几何体就越接近于一个“长方体”，若新几何体的表面积比圆柱的表面积增加了8，则圆柱的侧面积为_____，在满足前面条件且圆柱外接球表面积最小时，它的外接球体积为_____． 【答案】8π 【解析】（1）由题知，表面积增加的部分为新“长方体”的左右两个侧面，设原圆柱的底面半径为，高为，则可得，所以圆柱的侧面积为； （2）设圆柱的外接球的半径为，依题得，所以外接球的表面积， 当且仅当时，最小，此时，外接球的体积. 故答案为：（1）8π；（2） 2、如图，在长方体，且异面直线所成角的余弦值为，则该长方体外接球体积为（ ） A． B． C． D． 答案：B 类型三、圆柱（，） 例1、《九章算术》是我国古代的数学名著,其中有很多对几何体体积的研究,已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为32π,高为h的圆柱,上面是一个底面积为32π,高为h的圆锥,若该容器有外接球,则外接球的体积为 (　 ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图所示，根据圆柱与圆锥和球的对称性知， 其外接球的直径是， 设圆柱的底面圆半径为，母线长为， 则，解得， 又， ， 解得， 外接球的半径为， 外接球的体积为． 故选：． 1、如图，两个圆锥和一个圆柱分别有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上.若圆柱的侧面积等于两个圆锥的侧面积之和，且该球的表面积为，则圆柱的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解析：设球的半径为，则，解得. 如图，设圆锥的高，底面半径. 则圆锥的母线长，圆柱的高为， 依题意可得，解得 所以圆柱的体积，故选C. 2、有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，此圆锥的母线与底面所成角为，若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则此圆柱的高是其底面半径的（ ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．3倍 答案：B 类型四、圆锥（，） 例1、已知圆锥的顶点为，母线与底面所成的角为，底面圆心到的距离为，则该圆锥外接球的表面积为__________． 答案： 1、已知球的体积为，则球的内接圆锥的体积的最大值为_____________． 【答案】 【解析】 分析：首先根据题中所给的球的体积求得球的半径的大小，之后利用对应几何体的轴截面，找出内接圆锥的底面圆的半径，圆锥的高和球的半径之间满足的等量关系式，将圆锥的体积转化为高的函数，借助于均值不等式求得最大值. 详解：设球的半径为，则有，整理得，即，设给球的内接圆锥的底面圆的半径为，高为，则有，而该圆锥的体积，利用均值不等式可得当的时候，即时取得最大值，且最大值为. 2、已知一个圆锥的侧面积是底面积的倍，记该圆锥的表面积为，外接球的表面积为，则（ ） A． B． C． D． 答案：B 类型五、直棱柱与正棱柱（补圆柱，） 例1、直四棱柱的底面边长，高为，则它的外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 试题分析：由于四边形的边长为，这恰好是一个边长为的正六边形的一半，所以可以将直四棱柱补成正六棱柱，其体对角线长为，由此求得其外接圆的半径为，故它的外接圆的表面积为． 考点：几何体外接球． 1、已知直三棱柱的外接球表面积为，则该三棱柱的体积为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设直三棱柱高为，根据条件得到，再利用棱柱的体积公式，即可求出结果. 【详解】设直三棱柱高为，因为， 所以斜边，底面三角形外接圆半径， 由题有外接球表面积，可得，所以， 所以三棱柱体积为. 故选：D. 2、已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，则多面体的外接球的表面积为 16π 。 类型六、对棱相等的三棱锥（补长方体、，为三棱锥的棱长） 例1、把沿三条中位线折叠成四面体，其中，，，则四面体的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件分析四面体的结构特征，由此考虑构造长方体，结合长方体的外接球的半径的与长宽高的关系结合条件求出，再由球的表面积公式求球的表面积即可. 【详解】如图，记的中点分别为， 因为，，， 由中位线性质可得， 翻折后的四面体如图： 由翻折的性质可得， 所以四面体对棱相等， 故可以考虑将四面体补形为长方体如下； 四面体的外接球即长方体的外接球， 设其外接球半径为，， 则， 因为，所以， 所以， 所以四面体的外接球表面积， 故选：D. 1、过球表面上一点引三条长度相等的弦、、，且、、两两夹角都为，若，则该球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题：在四面体中，， 所以均为等边三角形，且边长均为， 所以四面体是正四面体，棱长为，如图： 根据正四面体特征，点在底面正投影是底面正三角形的中心，外接球球心在线段上，设外接球半径为，取中点 过点的截面圆的半径， 在△中，， 则球心到截面的距离 在△中，，， 解得， 所以球的体积. 故选：A 2、如图所示，正四面体中,是棱的中点,是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将侧面和沿边展开成平面图形,如图所示,菱形, 在菱形中,连接,交于点,则的长即为的最小值,即, 因为正四面体,所以,所以, 因为是棱的中点,所以， 所以, 设,则, 所以,则,所以, 则正四面体的棱长为, 所以正四面体的外接球半径为, 所以该正四面体外接球的表面积为, 故选：A 类型七、三棱两两互相垂直的三棱锥（补长方体、为三棱锥两两互相垂直的棱长） 例1、如图，边长为2的正方形中，点、分别是边、的中点，、、分别沿、、折起，使、、三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为________. 【答案】 【解析】由题意，知是等腰直角三角形，且平面， 三棱锥的底面扩展为边长为1的正方形， 然后扩展为正四棱柱，三棱锥和外接球与正四棱柱的外接球是同一个球， 正四棱柱的对角线长就是外接球的直径，所以球的半径， 所以该球的表面积为．故答案为：． 1、在三棱锥中，，中点为，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 试题分析：如图,易知，由余弦定理可得，因，故;同理，故，所以是棱长为的正方体的四个顶点，其外接球就是正方体的外接球，半径为，所以外接球的面积为，应选C． 2、已知四点均在球O的球面上，是边长为6的等边三角形，点D在平面上的射影为的中心，E为线段的中点，若，则球O的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设的中心为G，连接并延长交于F，则F为中点，连接、， 由题知平面，所以，又，， 所以平面，所以， 又，，∴平面，∴，， 又为正三棱锥，∴，，两两垂直， 故三棱锥可看作以，，为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球， 由得， 故正方体外接球直径， 所以球O的表面积为. 故选：C. 3、在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是 36π 。 类型八、有一条棱垂直底面的棱锥，（补圆柱、、为外接球半径、为底面外接圆半径、为棱锥的高） 例1、已知三棱锥中，平面，若，则其外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示：是三棱锥外接球的球心，是外接圆的圆心， 三棱锥中，平面，若，， 所以在中， 由余弦定理得， 解得， 设的外接圆的半径为， 则，解得，所以, 设外接球的半径为，由题得， 所以． 所以． 故选：A 1、正的边长为2，将它沿边上的高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图所示，设的中点为，外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，则平面，. 因为，故， 因为，故. 由正弦定理可得，故，又因为，故. 因为，故平面，所以， 因为平面，平面，故，故， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以，故外接球的半径为，外接球的表面积为. 故选：D. 2、如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB=，∠ACB=60°，∠BCD=90°，AB⊥CD，CD=，则该球的体积为__________． 【答案】 【解析】 以△ABC所在平面为球的截面，则由正弦定理得截面圆的半径为． 依题意得CD⊥平面ABC， 故球心到截面的距离为， 则球的半径为， 所以球的体积为． 答案： 3、《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵中，且有鳖臑C1-ABB1和鳖臑，现将鳖臑沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，与鳖臑拼接成的几何体的外接球的表面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】 当沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，A点翻折到E点，关于对称，所拼成的几何体为三棱锥，根据外接球的性质及三棱锥性质确定球心，利用勾股定理求出半径即可求解. 【详解】 当沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，A点翻折到E点，关于对称，所拼成的几何体为三棱锥,如图， 由 可得,, 即为正三角形， 所以外接圆圆心为三角形中心， 设三棱锥外接球球心为，连接，则平面，连接,,在中作,垂足为，如图， 因为,, 所以是的中点，由矩形可知, 因为为三角形的中心， 所以 在中，, 所以, 故答案为： 类型九、顶点的射影在底面的外心上的棱锥（补圆锥、、为外接球半径、为底面外接圆半径、为棱锥的高）常见的有：正棱锥、侧棱相等的棱锥 例1、已知三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为 ． 【答案】 【分析】由题意知，该三棱锥为正三棱锥,取底面的中心M，连接AM，则球心O落在AM上，求出棱锥的高，由此得到关于外接球半径的方程求解即可. 【详解】如图: 由题意知，底面为等边三角形，设M为其中心， 则， 又， 所以该三棱锥为正三棱锥， 所以， 所以外接球半径， 则外接球球心在AO的延长线上， 所以，则， 所以在中，， 即，解得， 所以外接球表面积为 故答案为：. 1、如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O．E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图： 连接交于点，设重合交于点， 因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则，解得， 设该四棱锥的外接球的球心为，半径为， 则有， 因为，所以. 则，解得， 外接球的表面积为，故选. 2、已知平面四边形中，，，是等边三角形，现将沿折起到，使得点在平面上的射影恰为的外心，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是等边三角形，所以， 因为，所以，，，四点共圆， 所以的外心也是的外心，记为， 取中点，则，，，共线， 连结，取的外心，则点在线段上，且， 过点作平面的垂线交于点，则是三棱锥外接球的球心， 且， 所以， 因为 所以，， , ，所以即， 所以外接球的表面积为. 故选C． 3、已知正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，该四棱锥的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若正四棱锥的高为2，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据四棱锥的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，考虑将底面ABCD和一个侧面PAB放入同一个圆中，来计算相应的边长,再根据球的性质计算半径即可得球表面积. 【详解】 如图所示，圆是正方形ABCD和等腰△PAB的外接圆，设圆的半径为r, 则， 所以 所以 设点O是四棱锥P - ABCD的外接球的球心，F为正方形ABCD的中心，如图， 则PF平面ABCD， 所以在AFP中有 又因为AF的长度为圆的半径, 所以 所以 设四棱锥P - ABCD的外接球的半径为R, 在中，， 所以， 因为， 所以 所以 解得 所以四棱锥P - ABCD的外接球的表面积为， 故选：A 类型十、两个面垂直，，为两个垂直面的外接圆半径，为两个垂直平面的交线。 例1、已知等腰中， ， 分别为的中点，沿将折成直二面角（如图），则四棱锥的外接球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 由题意得四点共圆，设圆心为O，则半径为， O到直线DE距离为 因为 ,所以O为外接球的球心，半径为，因此外接球的表面积为 1、已知正边长为1，将绕旋转至，则三棱锥的外接球表面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，结合面面垂直的性质、球的截面小圆性质确定球心位置，求出球半径即可作答. 【详解】在三棱锥中，取中点G，连接，则，，平面，，如图， 令正与正的中心为，过分别作平面与平面的垂线， 则它们必过四面体外接球的球心，由， 得，正方形中，，则， 因此四面体的外接球半径有， 所以三棱锥的外接球表面积． 故答案为： 2、在平面四边形ABCD中，AB⊥BD，∠BCD=30°，，若将△ABD沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BDC外接球的表面积是( ) A．4π B．5π C．6π D．8π 【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知条件折叠后，平面平面，转化为线面垂直关系，再结合球的的性质，确定球心位置，求出半径，即可求解. 【详解】 取中点，设的外心为，连， 则 分别过作的平行线，交于点， 即， 为的外心， 平面平面，平面， 平面，平面， 同理平面，分别为，外心， 为三棱锥的外接球的球心，为其半径, ， . 故选:C 3、在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是一个正三角形，若平面平面，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，过作，交于，取的中点，连接，在的三等分点（），取的中点，在平面过分别作的垂线，交于点． 因为为等边三角形，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因平面，故． 又因为四边形为正方形，而为的中点，故，故， 因，故平面． 在中，因，故，故平面， 同理平面． 因为正方形的中心，故球心在直线上， 因为的中心，故球心在直线上，故为球心，为球的半径． 在中，，， 故，所以球的表面积为． 故选D． 4、已知点在同一个球的上,,,.若四面体体积的最大值为,则这个球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据几何体的特征,小圆的圆心为Q,若四面体ABCD的体积的最大值,由于底面积S△ABC不变,高最大时体积最大,可得DQ与面ABC垂直时体积最大,从而求出球的半径,即可求出球的表面积. 【详解】 根据题意知,A、B、C三点均在球心O的表面上, 且,,,由余弦定理可得BC, ∴△ABC为直角三角形, ∴△ABC外接圆直径,即, 且, 的中点即为小圆的圆心设为Q,若四面体ABCD的体积的最大值,由于底面积S△ABC不变,高最大时体积最大, 所以,DQ与面ABC垂直时体积最大,最大值为S△ABC×DQ, ∴, 设球的半径为R,则 在直角△AQO中,OA2＝AQ2+OQ2,即 ∴, ∴球的表面积为, 故答案为：. 类型十一、两直角共斜边的三棱锥，外接球的半径为公共斜边的一半 例1、在三棱锥中，，，，，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的体积为（ ） A． B． C．π D． 【答案】B 【解析】 如图，设的中点为，的中点为，连接，，． 因为，，， 所以， 所以．所以为棱锥外接球的球心，设半径为， 又，且， 所以，， 则． 又由，且可证平面， 所以，解得． 所以外接球的体积． 故选：B． 1、在四面体中，，，，则它的外接球的表面积　 A． B． C． D． 答案：D 2、如图，在三棱锥A﹣BCD中，点E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，BDCD，△ACD为正三角形，点M，N分别在AE，CD上运动（不含端点），且AM＝CN，则当四面体C﹣EMN的体积取得最大值时，三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为_____. 【答案】32π 【解析】设ED＝a，则CDa.可得CE2+DE2＝CD2，∴CE⊥ED. 当平面ABD⊥平面BCD时，当四面体C﹣EMN的体积才有可能取得最大值，设AM＝x. 则四面体C﹣EMN的体积（a﹣x）a×xax（a﹣x），当且仅当x时取等号. 解得a＝2. 此时三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积＝4πa2＝32π. 故答案为：32π 类型十二、棱锥外接球一般方法。 （1） 找球心（找两个面的外接圆圆心，并分别过两外接圆圆心作两面的垂线，两垂线的交点为球心） （2） 求球半径（利用勾股定理求解） 例1、在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 分析：先证明于CD中点E,再由OC=OA算出球的半径，再求球的表面积． 解析：根据题意画出三棱锥，如下图 由所以AB直线在面BCD上的身影在底面正三角形的角平分线BE(E为CD中点)，， 即，点F为等边三角形BCD的中心，OF//AE,球心一定在OF上，设球半径为R,,解得,选A. 1、在四棱锥中，是边长为的正三角形，为矩形，，.若四棱锥的顶点均在球的球面上，则球的表面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】 做 中点，的中点，连接，由已知条件可求出，运用余弦定理可求，从而在平面中建立坐标系，则以及的外接圆圆心为和长方形的外接圆圆心为在该平面坐标系的坐标可求，通过球心满足，即可求出的坐标，从而可求球的半径，进而能求出球的表面积. 【详解】 解：如图做 中点，的中点，连接 ，由题意知 ，则 设的外接圆圆心为，则在直线上且 设长方形的外接圆圆心为，则在上且.设外接球的球心为 在 中，由余弦定理可知，. 在平面中，以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，以过点垂直于 轴的直 线为 轴，如图建立坐标系，由题意知，在平面中且 设 ，则，因为，所以 解得.则 所以球的表面积为. 故答案为: . 2、四边形是菱形，，，沿对角线翻折后，二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 取的中点为，设球心在平面内的射影为 ，在平面内的射影为，利用二面角的定义得出，并设，计算出的值，可得出的长度和的长度，然后利用勾股定理得出三棱锥外接球的半径，最后利用球体体积公式可计算出结果. 【详解】 如下图所示，取的中点为，设球心在平面内的射影为 ，在平面内的射影为，则二面角的平面角为，， 所以，，，设， 则，，则，， ，， 球的半径，所求外接球的体积为， 故选B. 3、三棱锥中，在底面的射影为的内心，若，，则四面体的外接球表面积为 . 【答案】 【分析】根据三棱锥的几何特征可知内切圆半径为，所以可得四面体外接球球心为在平面射影为中点，根据勾股定理找出等量关系可解得外接球半径，即可求出结果. 【详解】三棱锥底面为直角三角形，为内心，    由，可得， 以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，如下图所示：    设内切圆半径，易知的周长为，面积为； 由等面积可得，解得； 设四面体外接球球心为， 所以易知在平面射影为中点，易知，则， 设， 则， 且，即， 解得， 则四面体的外接球表面积为. 故答案为： 例2、已知三棱锥外接球的直径为，，，若三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】设三棱锥外接球的球心为，外接圆的圆心为，由正弦定理求出外接圆的半径，确定三棱锥的高为，再利用三棱锥的体积求出，即可求得三棱锥外接球的半径，即可求得答案. 【详解】设三棱锥外接球的球心为，外接圆的圆心为，连接，， 如图. 则平面. 在中，，，∴， ∴外接圆的直径，∴. ∵三棱锥外接球的直径为，∴为的中点， 则三棱锥的高为， ∴， 解得， ∴该三棱锥外接球的半径， ∴该三棱锥外接球的表面积. 故答案为： 1、三棱锥的外接球的表面积为是该球的直径，，则三棱锥 的体积为 . 【答案】 【分析】根据题意，作图，证明为三棱锥的高，利用勾股定理求出的值，以及求出，进而利用体积公式，即可求解. 【详解】 如图，设球的半径为，由已知得，解得，则， 又由，所以，取中点，为所在外接圆的圆心， 故平面，又因为，所以，平面，得到， 在中， 由，，得到， 所以，，所以， 故答案为： 2、已知三棱锥外接球的表面积为，是边长为1的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是的中点，则三棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 答案：B 3、已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________． 答案：36π 类型十三、台体的外接球 例1、已知正三棱台的上、下底面边长分别为，，且侧棱与底面所成角的正切值为3，则该正三棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，由正三棱台的对称性可得，正三棱台的外接球的球心落在上底面中心与下底面中心的连线上，先求出三棱台的高，再由外切球的性质得到外接球的半径. 【详解】分别取、的中心，连结，过作，    因为，由正弦定理得，得，同理可得，所以， 因为正三棱台，所以平面，∥， 所以平面，所以为侧棱与底面所成的角， 所以，所以， 设正三棱台的外接球球心O，因为为上底面截面圆的圆心，为下底面截面圆的圆心， 所以由正三棱台的性质可知，其外接球的球心在直线EF上， 设外接球O的半径为R，所以，，， 即，， 当在EF的延长线上时，可得，无解； 当在线段EF上时，轴截面中由几何知识可得，解得， 所以正三棱台的外接球表面积为. 故选：D 1、我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为升（一升为一立方分米），上底边长为分米，下底边长为分米，则该方斗的外接球的表面积为_______________平方分米. 【答案】 【解析】作图，由台体体积公式，所以， 如图所示： 根据正四棱台对称性可知，球心在直线上，设， ，解得：，所以， 所以外接球表面积 故答案为： 2、已知某圆台的上、下底面面积分别为和，高为2，上、下底面的圆周在同一球面上，则该圆台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，分情况讨论，利用其轴截面，根据勾股定理，可得答案. 【详解】解：由题可知圆台上下底面的半径分别为1和2，轴截面如图所示， 设球的半径为R， 当两底面在球心同侧时，有，即，即，即，方程无解； 当两底面在球心异侧时，有，即， 所以，即，则，. ∴这个球的表面积是. 故选：B. 3、已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（    ） A．圆台母线与底面所成角为60° B．圆台的侧面积为 C．圆台外接球半径为2 D．在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5 【答案】ACD 【分析】对于A：过A作交底面于F，判断出即为母线与底面所成角.即可求解； 对于B：作出圆台的侧面展开图，直接求出面积，即可判断； 对于C：设圆台外接球的球心为O，半径R.由，求出； 对于D：圆台的侧面上，判断出从到的最短路径的长度为CE，利用勾股定理求解. 【详解】对于A：过A作交底面于F，则底面，所以即为母线与底面所成角. 在等腰梯形ABCD中，,所以. 因为为锐角，所以.故A正确； 对于B：由题意，圆台的侧面展开图为半圆环，其面积为.故B错误； 对于C：设圆台外接球的球心为O，半径R.由题意可得：. 设，则，由，即，解得：a=0.即OO1重合，所以.故C正确； 对于D：如图示，在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为CE.由题意可得：.由为中点，所以，所以.故D正确. 故选：ACD 课后作业 1、长方体的8个顶点在同一个球面上，且，，，则球的表面积为______． 【答案】 【解析】因为长方体的8个顶点在同一个球面上，所以球的直径等于长方体的对角线长， 设球的半径为，因为，，，所以， 球的表面积为， 故答案：. 2、已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A． B． C． D． 答案：B 3、已知扇形的面积为，圆心角为，则由该扇形围成的圆锥的外接球的表面积为_________． 【答案】 【解析】设扇形的长为l，半径为R，则，解得，扇形弧长l为锥底面周长， ∴底面的半径，∴圆锥的高为． 设外接球的半径为，∴，解得， ∴该外接球的表面积为， 故答案为：. 4、已知点，，，在球的表面上，且，，若三棱锥的体积为，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据条件可知球心是侧棱中点.利用三棱锥的体积公式，求得设点到平面的距离，又由球的性质，求得，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】 由题意，满足，所以为直角三角形， 根据条件可知球心是侧棱中点. 设点到平面的距离为，则，解得， 又由球的性质，可得球半径为，满足， 所以，所以这个球的表面积. 5、已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该三棱柱的体积为，，，，则此球的表面积为______. 【答案】 【解析】 如图，取AB中点D，中点，再取中点O， 所以D为的外心，D1为的外心，O为球的球心. ， ， 故答案为： 6、如图,在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD为矩形, , ,则四棱锥外接球的表面积为___________． 【答案】 【解析】构造三棱柱，满足 ， 如图所示， 由图知：三棱柱的外接球就是四棱锥的外接球. 由三棱柱的性质知：外接球的球心为与外接圆圆心连线的中点. ，解得：. 又因为，所以. 外接球的表面积为. 故答案为： 7、若三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，底面是等腰直角三角形，是中点，所以外接球圆心在上，设外接球半径为，所以有，解得，所以该三棱锥的外接球表面积为. 故本题正确答案为A. 8、在等腰直角三角形中，，D为的中点，将它沿翻折，使点A与点B间的距离为，此时四面体的外接球的体积为_____. 【答案】 【解析】翻折前，因为是等腰三角形且， 所以， 所以， 翻折后，设底面三角形外接圆半径为， 由余弦定理得， 所以, 由正弦定理得，解得， 因为是等腰三角形且为的中点， 所以在四面体中，平面， 所以CD所在球的截面图如图所示，O为球心， 所以外接球半径， 解得 ， 外接球体积. 故答案为：. 9、已知矩形中，点，，沿对角线折叠成空间四边形，则空间四边形的外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】在中，， 由题意知，球心到四个顶点的距离相等， 所以球心为对角线，的交点，且半径， 所以空间四边形的外接球的表面积. 故答案为： 10、已知空间四边形中，，，，若平面平面，则该几何体的外接球表面积为__________． 【答案】 【解析】 【详解】 如图：由于是等边三角形，所以到A,B,D三点距离相等的点在重心O且垂直是平面ABD的直线上，又因为，所以到B,C,D三点距离相等的点在过BD中点E且与平面BCD垂直的直线上，两直线的交点是O,所以球心为O.半径R=，．填． 11、如图是棱长为的正方体，是高为的正四棱锥，若点在同一个球面上，则该球的表面积为___． 【答案】 【解析】 试题分析：设球的半径为，因点到面的距离是，而经过的圆面的半径为,球心到这个圆面的距离为,则,解之得,故球的面积为 ． 12、已知三棱锥的四个顶点均在某个球面上，为该球的直径，是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为__________． 【答案】. 【解析】 分析：根据题意作出图形，欲求球的表面积，只需求出球的半径，利用截面圆的性质，即可求出，进而求出底面上的高，即可得到三棱锥的体积，从而建立关系式求得的值，即可得到求得表面积. 详解：根据题意作出图形，如图所示， 设球心为，球的半径为，过三点的小圆的圆心为， 则平面，延长交球于点，则平面， 因为，所以，所以高， 又由为边长为4的等边三角形，所以， 所以三棱锥的体积为，解得， 所以外接球的表面积为. 13、菱形边长为，，将沿对角线翻折使得二面角的大小为，已知、、、四点在同一球面上，则球的表面积等于__________． 【答案】 【解析】 如图，点分别为外接圆的圆心，点为球心，因为菱形边长为，，所以，，，故答案为. 14、（多选）如图，已知四棱台的上、下底面均为正方形，其中，，，则下列叙述正确的是（    ） A．该四棱台的高为 B． C．该四棱台的表面积为 D．该四棱台外接球的体积为 【答案】AD 【分析】将四棱台补为四棱锥，计算出四棱锥的高，可得出该四棱台的高，可判断A选项；计算出与所成的角，可判断B选项；计算出该四棱台的表面积，可判断C选项；计算出该四棱台的外接球半径，利用球体体积公式可判断D选项. 【详解】将四棱台补为如图所示的四棱锥， 分别取、的中点、，记四棱台的上、下底面中心分别为、， 连接、、、、、、， 由条件知、、、分别为四棱锥的侧棱、、、的中点， 则，， 所以，故该四棱台的高为，故A正确； 由，，得为正三角形，则与所成角为，故B不正确； 四棱台的斜高， 所以该四棱台的表面积为，故C不正确； 由为正三角形，易知，， 所以为四棱台外接球的球心，所以外接球的半径为， 该四棱台外接球的体积为，故D正确. 故选：AD. 15、四面体中，则四面体外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】解：取的中点为， 在中， 故， 所以为直角三角形， 同理可得为直角三角形， 则能得到, 同时， 为中点， 所以, 所以为外接球的球心，且半径为， 所以四面体外接球的表面积为. 故答案为： 16、三棱锥，其中则该三棱锥外接球的表面积为 . 答案：55π 17、已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，且两两垂直，是边长为的正三角形，则球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题中条件易得，从而球的半径，体积， 故选：C． 第二节 内切球 类型一、正方体的内切球问题 例1、若一个与正方体各个面都相切的球的表面积为4π，则此正方体的体积为（ ） A．4 B．1 C．8 D．6 【答案】C 【解析】 设正方体的棱长为，球的半径为， 球的表面积为， ， 球与正方体各个面都相切， ， 正方体的体积. 故选：. 1．已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正方体的棱长为，则，解得. 又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长为， 等于球的直径长，所以球的半径长是， 所以此球的体积为. 故选：D 2．如图，在棱长为10的正方体内放入两个半径不相等的球，这两个球相外切，且球与正方体共顶点的三个面相切，球与正方体共顶点的三个面相切，则球的半径最大时，球的体积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 分析：由题意，可以判断出两个球都与正方体相切，要使得球的半径最大，则球的直径等于正方体的棱长，即可求解球的体积. 详解：由题意，可以判断出两个球都与正方体相切，要使得球的半径最大，则球的直径等于正方体的棱长，即，所以， 则球的体积为，故选B. 3、已知正方体的棱长为，其内有2个不同的小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，则球的体积等于______，球的表面积等于______． 【答案】 【解析】因为正方体的棱长为, 所以三棱锥是边长为的正四面体,的高为, 设底面的中心为,连接,则,, 则球是三棱锥的内切球,设其半径为, 则有 所以, 所以球的体积为, 又球与三棱锥的三个面和球都相切, 则设平面平面,且球和球均与平面相切于点,如下图所示, 则球是三棱锥的内切球,设其半径为, 故, 因此在正四面体中,, 所以球的表面积为, 故答案为:;. 类型二、 二、圆柱的内切球问题 圆柱内切球半径为轴截面的内切圆半径 例1、如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若内切球的体积为，则圆柱的侧面积为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设球的半径为，则，解得， 所以圆柱的底面半径，母线长为， 所以圆柱的侧面积为，故选C． 2．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的， 若圆柱的表面积是现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设球的半径为，则由题意可得球的表面积为，所以，所以圆柱的底面半径为1，高为2，所以最多可以注入的水的体积为. 故选：B 3、圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示.则球的半径是(　　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 【答案】C 【解析】 【分析】 设出球的半径，根据题意得三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，结合体积公式求解即可． 【详解】 设球半径为，则由， 可得，解得，故选C. 4、石雕工艺承载着几千年的中国石雕文化，随着科技的发展，机器雕刻产品越来越多．某石雕厂计划利用一个圆柱形的石材（如图1）雕刻制作一件工艺品（如图2），该作品的上方是一个球体，下方是一个正四棱柱，经测量，圆柱形石材的底面半径米，高米，制作要求如下：首先需将石材切割为体积相等的两部分（分别称为圆柱A和圆柱B），要求切面与原石材的上、下底面平行（不考虑损耗），然后将圆柱A切割打磨为一个球体，将圆柱B切割打磨为一个长方体，则加工打磨后所得工艺品的体积的最大值为________立方米. 【答案】 【解析】 【分析】 要求加工打磨后所得工艺品的体积的最大值，只需上方的球与下方的长方体的体积同时取得最大值即可. 【详解】 因为圆柱A和圆柱B的体积一样大，所以它们的高一样，即米， 要使工艺品的体积最大，则上方的球与下方的长方体的体积同时取得最大值， 设由圆柱A打磨的球体半径为，则，即，所以， 当时，球的体积取得最大值，此时球体体积， 设下方的长方体的底面边长分别为，， 要使长方体的体积最大，长方体的高与圆柱B的高相等，此时其体积， 因为长方体为圆柱B的内接长方体，即长方体的底面是圆柱底面的内接长方形， 所以长方形的对角线长等于圆柱底面的直径，即， 由基本不等式可得，即，当且仅当时取等号， 所以长方体体积的最大值为， 所以所得工艺品的体积的最大值为(立方米). 5、底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水________________. 【答案】cm3 【解析】 设四个实心铁球的球心为，其中为下层两球的球心，四个球心连线组成棱长为 的正四面体， 分别为四个球心在底面的射影，则是一个边长为的正方形，所以注水高为正四面体相对棱的距离与球半径的二倍的和，即为， 故应注水的体积等于以注入水的高度为高的圆柱的体积减去四个球的体积，＝，故答案为. 类型三、圆锥的内切球问题 圆锥内切球半径为轴截面的内切圆半径 例1、已知某圆锥的高为4，其内切球的体积为，则该圆锥的侧面积（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 因为内切球的体积，可得，再根据相似关系得圆锥底面半径，即可得答案； 【详解】 因为内切球的体积，所以半径， 设圆锥的底面半径为，则母线长为， 由相似关系得， 所以该圆锥的侧面积， 故选：C. 1、如图,一个盛满溶液的玻璃杯,其形状为一个倒置的圆锥,现放一个球状物体完全浸没于杯中,球面与圆锥侧面相切,且与玻璃杯口所在平面相切,则溢出溶液的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 设球的半径为，作出球的组合体的轴截面，可得一个半径为的圆内切于一个边长为4的等边三角形，根据等边三角形的性质，求得球的半径，利用体积公式，求得球的体积，即可得到答案. 【详解】 由题意，设球的半径为，作出球的组合体的轴截面，可得一个半径为的圆内切与一个边长为4的等边三角形，此时正三角形的高线为， 根据中心（重心）的性质可得，球的半径为， 所以球的体积为， 即溢出溶液的体积为，故选D. 2、罗德岛太阳神巨像是古代世界七大奇迹之一.它是希腊太阳神赫利俄斯的青铜铸像,高约33米.如图所示，太阳神赫利俄斯手中所持的几何体(含火焰)近似是一个底面相同的倒立的两个圆锥，正方向投影过去，其平面几何图形形状为一个角为60°，边长为2的菱形.现在其中一个圆锥中放置一个球体，使得球与母线、底面相切，则该球球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 题意说明圆锥的轴截面是边长为2的正三解形，此圆锥的内切球的半径就是三角形内切圆半径，由此可得． 【详解】 据题意圆锥的轴截面是边长为2的正三解形，正三角形内切圆半径为，即为圆锥内切球半径，球表面积为． 故选：B． 3、图中是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径，高（不含杯脚），已知水的高度是，现往杯子中放入一种直径为的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变.如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（ ） A．36颗 B．42颗 C．48颗 D．54颗 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知利用三角形相似求得水面圆的半径，由圆锥的体积减去水的体积，得到可放入珍珠的体积，除以一颗珍珠的体积得答案． 【详解】 解：作出在轴截面图如图， 由题意，，，，设， 则，即． 则最大放入珍珠的体积． 一颗珍珠的体积是． 由． 最多可以放入珍珠48颗． 故选：． 4、如图，圆锥的底面半径为1，母线长为2，在圆锥上方嵌入一个半径为的球，使圆锥的母线与球面相切，切点与圆锥母线的端点，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 设球心为，圆锥底面圆心为，底面圆上一点为B，顶点为A，由已知有，又，所以，由射影定理有，求出,由有，所以球的表面积为，选D. 5、4、若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 解法一：设圆锥底面半径为，高为，根据∽可得，即，利用锥体的体积公式，然后利用基本不等式求最值；解法二：同解法一，利用导数求最值；解法三：设，可得，，即，设，利用二次函数配方即可求解. 【详解】 解法一：如图，设圆锥底面半径为，高为. 由∽可得，即， 则， 所以， 因为，所以，当且仅当，即时取等号， 此时圆锥体积最小，最小值为.因为该球的体积为， 所以该圆锥体积与其内切球体积比为. 类型四、棱柱的内切球问题 例1、一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是（ ） A． B．16 C．24 D．48 【答案】D 【解析】不妨设该正三棱柱的底面棱长为，高为，内切球半径为， 由题可知，解得； 又，故可得该棱柱的高， 又因为该球体与棱柱三个侧面都相切， 故半径为的圆是边长为的正三角形的内切圆， 则由等面积法可知：， 解得， 故该正三棱柱的体积. 故选：D. 1、已知半径为1的球与正三棱柱的六个面都相切，则三棱柱的体积为____________. 【答案】 【解析】球与正三棱柱各个面都相切，所以三棱柱的高，底面边长，底面面积为. ∴三棱柱的体积为 故答案为. 类型五、棱锥的内切球问题 1、 （相似三角形）由相似于，建立等式：，解出 2、（等体积法） 3、正四面体的面切球半径 正四面体的棱切球半径 例1、已知正三棱锥的高为6，侧面与底面成的二面角，则其内切球与四个面都相切的表面积为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析如图，过点P作PD⊥平面ABC于D， 连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形， ∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心． ∴为侧面与底面所成的二面角的平面角， ∴= ∵PD=6，∴DE=2,PE=4 , AB=12, ∴S△ABC=×（12）2=36，S△PAB=S△PBC=S△PCA==24． ∴S表=108. 设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥， ∵PD=6，∴VP﹣ABC=•36•6=72． 则由等体积可得r==2， ∴S球=4π22=16π． 故选B. 1、在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑中, 平面, ,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为____． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】 M﹣ABC四个面都为直角三角形，MA⊥平面ABC，MA=AB=BC=2， ∴三角形的AC=2， 从而可得MC=2， 那么ABC内接球的半径r：可得（﹣r）2=r2+（2﹣）2 解得：r=2- ∵△ABC时等腰直角三角形， ∴外接圆的半径为AC= 外接球的球心到平面ABC的距离为=1． 可得外接球的半径R=． 故得：外接球表面积为. 由已知，设内切球半径为， ， ， 内切球表面积为， 外接球与内切球的表面积之和为 故答案为：. 2、已知正方体的棱长为，其内有2个不同的小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，则球的体积等于______，球的表面积等于______． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可知三棱锥是边长为的正四面体,则球是三棱锥的内切球,设其半径为,由，可知,设平面平面,且球和球均与平面相切于点,则球是正四面体的内切球,设其半径为,则,最后代入数据计算即可. 【详解】 因为正方体的棱长为, 所以三棱锥是边长为的正四面体,的高为, 设底面的中心为,连接,则,, 则球是三棱锥的内切球,设其半径为, 则有 所以, 所以球的体积为, 又球与三棱锥的三个面和球都相切, 则设平面平面,且球和球均与平面相切于点,如下图所示, 则球是三棱锥的内切球,设其半径为, 故, 因此在正四面体中,, 所以球的表面积为, 故答案为:;. 3、农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____． 【答案】 【解析】 【分析】 (1)先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的倍，即可得出该六面体的体积；(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得答案. 【详解】 (1)每个三角形面积是，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的， 可求出该四面体的高为，故四面体体积为， 因此该六面体体积是正四面体的2倍， 所以六面体体积是； (2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切， 连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为， 所以， 所以球的体积. 故答案为：；. 4、图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球是该正八面体的内切球，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图所示，设已知的正八面体为，可知平面于球心，且点为正方形的中心，设球与正四棱锥的侧面相切于点，连接并延长，交于点，可知为的中点，连接，则，由，得，即正八面体内切球的半径为，所以内切球的表面积为，故选A. 类型六、台体内切球 例1、已知圆台内有一个球，该球与此圆台的上下两个底面及母线都相切，若圆台的上，下两个底面的半径分别为1，4，那么这个球的体积为______. 【答案】. 【解析】 【分析】 根据圆台的轴截面，结合已知条件，即可求得球体的半径，则问题得解. 【详解】 画出圆台的轴截面，如下图所示： 设内切圆的球半径为，由题可知： ，且， 故可得， 则可得. 过作，在中， 容易知， 可得. 又因为，解得. 故球体的体积. 故答案为：. 1、已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为 . 【答案】/ 【分析】依题意作出棱台的轴截面，利用切线长定理和射影定理求出上下底面边长，代入棱台的体积公式计算即得. 【详解】 如图，作出正四棱台的轴截面,设上底面边长为，则下底面边长为， 则，, 故, 在中，,则由射影定理，得，解得， 于是棱台的上底面面积为，下底面面积为，高为2， 故该正四棱台的体积为：. 故答案为：. 类型七、棱切球 例1、我们把所有棱长都相等的正棱柱(锥)叫“等长正棱柱(锥)”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱(锥)”的棱长都为1，则下列说法中正确的有（    ） A．正方体的棱切球的半径为 B．正四面体的棱切球的表面积为 C．等长正六棱柱的棱切球的体积为 D．等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为 【答案】BCD 【分析】选项A：正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线； 选项B：把正四面体ABCD放到正方体中，则正方体的棱长即为正四面体的棱切球的直径； 选项C：等长正六棱柱的棱切球的直径为底面最长的面对角线； 选项D：棱切球被每一个面所截，截面为该面的内切圆. 【详解】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，正方体的棱切球的半径为面对角线的一半，即为，选项A错误； 如图，四面体ABCD为棱长为1的正四面体，把正四面体ABCD放到正方体中，则正方体的棱长即为正四面体的棱切球的直径，所以正四面体的棱切球的半径为，即正四面体的棱切球的表面积为，选项B正确； 如图，等长正六棱柱的棱切球的直径为AB，即直径为2，半径为1，所以等长正六棱柱的棱切球的体积为，选项C正确； 由棱切球的定义可知，棱切球被每一个面所截，截面为该面的内切圆， 则等长正四棱锥的底面内切圆的面积为 ， 每个侧面正三角形的内切圆的半径为正三角形高的，即，所以四个侧面正三角形的内切圆的面积为，所以等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面截得的截面面积之和为，选项D正确. 故选：BCD. 1、已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ． 【答案】 【分析】由几何关系求出外接球和棱切球半径，再由球的表面积公式求出表面积，最后求出比值. 【详解】 设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心， 则外接球的半径，， 所以， 因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径， 所以. 故答案为： 2、把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都相切，则皮球的半径为 ( ) A．l0cm B．10 cm C．10cm D．30cm 【答案】B 【解析】 如图，设球心为，点到底面的距离为，球的半径为，由图可知，则由相似三角形的性质可得，又因为，所以由此可得（舍去），应选答案B． 课后作业 1、若正方体的棱长为2，则与正方体的各个面都相切的球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：球与棱长为2的正方体的各个面相切， 球是正方体的内切球，可得球直径等于正方体的棱长， 设球的半径为，得，解得， 因此，该球的表面积． 故选：C. 2、已知正三棱柱的各条棱长都相等，且内接于球，若正三棱柱的体积是，则球的表面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】 先由正三棱柱的体积求出棱长，再求出球的半径和表面积. 【详解】 设，则正三棱柱的体积是，解得， 底面正三角形的外接圆半径， 所以球的半径，所以球的表面积为． 3、在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球O1，同时在三棱柱外有一个外接球.若,，,则球的表面积为 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 先求出球O1的半径，再求出球的半径，即得球的表面积. 【详解】 解：,， , ， 设球O1的半径为，由题得， 所以棱柱的侧棱为. 由题得棱柱外接球的直径为，所以外接球的半径为， 所以球的表面积为. 故答案为： 4、正四面体ABCD的棱长为2，其棱切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将正四面体补形为正方体，此时正方体的内切球即为正四面体的棱切球，利用球的体积公式求解即可. 【详解】如图，将棱长为的正四面体补形为棱长为的正方体，则正方体的内切球即为正四面体的棱切球，所以正四面体的棱切球的半径为， 所以棱切球的体积为． 故选：C．    5、与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意构造直角三角形，列出关于高及得方程组，即可求解出正三棱锥的棱切球半径. 【详解】如图三棱柱为正三棱锥，且底面边长，侧棱 设正三棱锥的棱切球球心为，半径为，则顶点在底面的投影为也为的中心，取的中点，连接，过点作垂足为，则，设， 在中， 因为为的中心，则，， 在中即； 在中，，即， 在中，，则； 在中，，则， 在中，，则， 又因为，则，化简得， 由得解得. 故选：C. 5、一个正四棱锥形骨架的底边边长为，高为，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据正四棱锥底边边长为，高为，得到底面的中心到各棱的距离都是1，从而底面的中心即为球心. 【详解】 如图所示： 因为正四棱锥底边边长为，高为，所以 ， 到 的距离为，同理到 的距离为1，所以为球的球心，所以球的半径为：1， 所以球的表面积为.故选：B 6、若圆台的上、下底面圆半径分别为1、2，、分别为圆台上下底面圆心.若该圆台存在内切球，则该圆台的体积为 . 【答案】 【分析】作出圆台的轴截面，然后根据题意可求出圆台的母线长，从而可求出圆的高，进而可求出圆台的体积. 【详解】圆台的轴截面如图所示，设内切球的球心为，内切球与母线切于点，则 ， 所以， 过点作于，则， 所以， 所以圆台的体积为 ， 故答案为： 7、六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（    ）    A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为 C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为 【答案】ACD 【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项. 【详解】    对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形， 故该正八面体结构的表面积，故A正确； 对B：连接，则，底面， 故该正八面体结构的体积，故B错误； 对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径， 故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确； 对D：该正八面体结构的内切球半径， 故内切球的表面积，故D正确； 故选：ACD． 8、将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，动点在该六面体表面上，且满足，则（    ）    A． B．该几何体的体积为 C．动点的轨迹长为 D．该多面体内切球的半径为 【答案】ACD 【分析】通过证明线面垂直可得A选项，求解一个正四面体的体积可得几何体的体积，进而判断B选项，找到的轨迹，求出长度可得C选项，利用等体积法可得D选项. 【详解】对于A，取的中点，连接， 由正三棱锥的性质可得， 因为，所以平面，所以，正确.    对于B，在正三棱锥中，作高线， 由正三角形的性质可得，，所以， 其体积为，所以该几何体的体积为，不正确.    对于C，由几何体的对称性可得，四点共面，由选项A可知，平面， 所以点的轨迹为线段和及棱和，其长度为，正确.    对于D，设几何体的内切球半径为，球心为，连接球心和各顶点， 则有，即，解得，正确. 故选：ACD 9、将菱形沿对角线折起，当四面体体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当平面平面时，四面体的高最大，并利用导函数讨论体积的最大值，构造长方体求外接球的半径，利用等体积法求内切球的半径，进而可求解. 【详解】不妨设菱形的边长为，，， 外接球半径为，内切球半径为， 取中点为，连接， 因为，所以， 当平面平面时，平面平面， 平面，所以平面， 此时四面体的高最大为， 因为，所以 所以， ， 令解得， 令解得， 所以在单调递增，单调递减， 所以当时最大，最大体积为， 此时， 以四面体的顶点构造长方体，长宽高为， 则有解得，所以， 所以外接球的表面积为， 又因为， 所以， ， 所以， 所以， 所以，所以内切球的表面积为， 所以内切球和外接球表面积之比为， 故选:C. 10、正四面体的外接球与内切球的半径比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正四面体的外接球球心为，为的中心，设棱长为，即可求出外接球的半径，利用等体积法求出内切球的半径，即可得解. 【详解】如图，设正四面体的外接球球心为，为的中心，则平面， 外接球半径为，内切球半径为，设棱长为， 在中，由正弦定理得，所以， 所以，由， 即解得（负值舍去）； 由等体积法得到，所以， 所以. 故选：C. 11、如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴截面四边形的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，求出半径，再根据球的体积公式和圆锥的体积公式即可得解. 【详解】如图，四边形为该几何体的轴截面， 则四边形的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径， 设内切球的半径为， 由，得， 则， ， 所以. 故选：D.    12、如图，一个水平放置的圆柱形玻璃杯的底面半径为，高为.玻璃杯内水深为，将一个球放在杯口，球面恰好与水面接触，并且球面与杯口密闭.如果不计玻璃杯的厚度，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】画出球和圆柱的轴截面如下图所示，设球的半径为，在直角三角形中，，由勾股定理得，解得.所以球的表面积为. 故选：A 13、如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的表面积为S1，球O的表面积为S2，则的值是_____． 【答案】 【解析】解：设球的半径为，圆柱的高为， 由题意可得：； ，； ； 故答案为：． 14、如图,圆锥型容器内盛有水,水深,水面直径放入一个铁球后,水恰好把铁球淹没,则该铁球的体积为________ 【答案】 【解析】作出相关图形，显然,因此，因此放球前，球O与边相切于点M，故，则，所以，,所以放球后，而，而，解得. 15、已知正四棱锥的高为2，，过该棱锥高的中点且平行于底面的平面截该正四棱锥所得截面为，若底面与截面的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：因为正四棱锥P﹣ABCD，所以底面是正方形，结合高为2，， 设底面对角线交点为M，所以AC＝4，AM＝2，故PM＝AM＝CM＝2， 所以△PAC是等腰直角三角形. 因为截面A1B1C1D1过PM的中点N，所以N为截面正方形A1B1C1D1的中心，且PM⊥截面A1B1C1D1. ∴PN＝MN＝A1N＝1，设球心为O，球的半径为R，则A1O＝AO＝R. 在直角三角形A1ON中，， ∴. 在直角三角形AOM中，OA2＝AM2+OM2，即， 解得R2＝5，故S＝4πR2＝20π. 故选：A. 16、有一个倒圆锥形的容器，其底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着49个半径为1厘米的玻璃球，在向容器倒满水后，再把玻璃球全部拿出来，则此时容器内水面的高度为________厘米 【答案】6 【解析】设在向容器倒满水后，再把玻璃球全部拿出来，则此时容器内水面的高度为， 则， 解得. 故答案为：6. 17、一个倒置圆锥形容器，底面直径与母线长相等，容器内存有部分水，向容器内放入一个半径为1的铁球，铁球恰好完全没入水中（水面与铁球相切）则容器内水的体积为__________． 【答案】. 【解析】如图所示，作出轴截面， 由题意，圆锥的底面直径与母线长相等，可得，则，所以， 记铁球的半径为，即，在中，，则，所以，因此， 所以铁球所在圆锥的体积为， 即. 故答案为 第三节 球的截面 一、球的截面与性质： 1、截面的定义：用一个平面去截球，截面是圆面。 2、球心与截面的圆心连线垂直于截面。 3、球心到截面的距离d，球半径R，小圆半径r之间的关系： 二、两点间的球面距离 1、定义：球面上过两点的大圆在这两点之间劣弧的长度 2、公式： 三、经度与纬度 1、纬度：地球是在不停地绕地轴旋转（地轴是一根通过地球南北两极和地球中心的假想线）过球心与地轴垂直的平面截得球面大圆叫做“赤道”，在赤道的南北两边，与赤道平行的面截所得小圆叫做纬线。某地的纬度就是该地与球心连线与赤道平面所成的角。 2、经度：精度是个二面角，是两个经线平面所成的角。某一点的经度，就是该点所在的经线平面与本初子午线平面间的夹角。在赤道上度量，子本初子午线平面作为起点面，分别往东往西度量，往东量值称为东经度，往西度量称为西经度。 例1、一个正方形内接于一个球，过球心作一截面，则截面的图形不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】画出正方体如下图所示，设正方体外接球的球心为. 是棱的中点，过的截面图像为B选项对应的图像. 过的截面图像为D选项对应的图像. 设是棱靠近的三等分点，过的截面图像为A选项对应的图像. 故C选项的图像不可能. 故选C. 1、一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是( ) A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意分析截面的各种情况确定截面图形可能的情形即可. 【详解】 当截面平行于正方体的一个侧面时得③；当截面过正方体的体对角线时可得④； 当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时，可得①．但无论如何都不能截得②． 本题选择A选项. 2、一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（　　） A．①② B．②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据组合体的性质，当截面的角度和方向不同时，球的截面不相同，应分情况考虑即可得到答案． 【详解】 当截面平行与正方体的一个侧面时，得到的截面如①所示； 当截面过正方体的对角线时，得到的截面如②所示； 当寂寞不平行与任何侧面也不过对角线时，得到的截面如③所示， 但无论如何都不能是④，故选C． 例2、已知三点都在表面积为的球的表面上，若.则球心到平面的距离等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 结合正弦定理，计算A,B,C所在圆的半径，结合勾股定理，计算结果，即可． 【详解】 结合题意，绘制图形， 则根据正弦定理可知，结合球表面积计算公式，可知，结合球的性质可知，构成直角三角形，结合勾股定理可知 ，故选B． 1、用平面截一个球，所得的截面面积为，若到该球球心的距离为1，则球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】用一平面去截球所得截面的面积为，则截面圆的半径为1， 已知球心到该截面的距离为1，则球的半径为， 球的体积为：． 故选：． 2、如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，其中侧棱长为，底面边长为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的表面积为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由题意得，设求和三棱柱的上底面的三个焦点分别为, 设截面圆的半径为，因为上底面是边长为的正三角形，则， 设求的半径为，根据球的性质可得， 所以球的表面积为，故选B． 3、已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论. 【详解】 设圆半径为，球的半径为，依题意， 得，为等边三角形， 由正弦定理可得， ，根据球的截面性质平面， ， 球的表面积. 故选：A 例3、两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9 π和16 π，则这两个平面间的距离是(　　) A．1 B．7 C．3或4 D．1或7 【答案】D 【解析】 如图(1)所示，若两个平行平面在球心同侧，则CD＝＝1. 如图(2)所示，若两个平行截面在球心两侧，则CD＝＝7.选D. 1、已知半径为5的球被两平行的平面所截，两截面圆的半径分别为3和4，则分别以两截面为上下底的圆台的侧面积为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】 分类讨论： （1）当两截面圆在球心的同侧时，如下图，则为大截面圆的直径，为小截面圆的直径，梯形为圆台的轴截面，由题意知，，，则圆台的高为，，所以圆台的侧面积为. （2）当两截面圆在球心的异侧时，如下图，则为大截面圆的直径，为小截面圆的直径，梯形为圆台的轴截面，由题意知，，，则圆台的高为，，所以圆台的侧面积为，综上所述，故选C． 2、用两个平行平面去截半径为的球，两个截面圆的半径分别为，两截面间的距离，求该球的表面积和体积. 【答案】，. 【解析】 【分析】 根据两个截面圆在球心的同侧或异侧分类，再利用垂直于两截面而且过球心的截面圆，由平面几何知识即可求出球的半径，从而得出球的表面积和体积． 【详解】 设垂直于两截面而且过球心的圆面交两截面圆于，球心为，两截面圆的圆心分别为，则在同一条直线上，如图． 设， 当两截面圆位于球心的同一侧时，有． 又均大于0，∴该方程组无解． 当两截面圆位于球心的两侧时，有，解得． ，． 3、已知半径为5的球 O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另 一圆的半径为（  ） A、 B、 C、 D、 例4、设球是正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，若平面ACD1截球所得的截面面积为6π，则球的半径为(　　) A． B．3 C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 设正方体的棱长为，利用球的截面的性质，代入公式先求出截面圆的半径r＝＝，再由圆的面积公式，得r＝＝，＝6，即可得出球的半径为R＝＝3． 【详解】 如图，易知过球心，且⊥平面，不妨设垂足为M，正方体棱长为，则球半径R＝，易知DM＝DB1，∴OM＝DB1＝， ∴截面圆半径r＝＝，由截面圆面积S＝πr2＝6π，得r＝＝，＝6，∴球的半径为R＝＝3． 1、已知棱长为2的正方体，球与该正方体的各个面相切，则平面截此球所得的截面的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为球与各面相切，所以直径为2，且的中点在所求的切面圆上，所以所求截面为此三点构成的边长为正三角形的外接圆，由正弦定理知，所以面积，选D． 例5、已知三棱锥中，，，，M，N分别为PB，PC的中点，则直线MN被三棱锥外接球截得的线段长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，将三棱锥补全如图所示的长方体，外接球的球心长方体的对角线的中点， ,即， 平面，平面， ，且 是等腰直角三角形， 点到直线的距离就是等腰直角三角形的高， 直线MN被三棱锥外接球截得的线段长为. 故选：A 1、四棱锥的底面是正方形，平面，且，该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，分别是棱的中点，直线被球面所截得的线段长为，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 把四棱锥补成正四棱柱，根据正四棱柱的对角线长等于球的直径求得外接球的半径，代入球的表面积公式计算． 【详解】 由四棱锥的底面是正方形，平面. 则可以把四棱锥补成正四棱柱，则四棱锥的外接球是正四棱柱的外接球， 所以正四棱柱的对角线长等于球的直径,设球的半径为. 分别是棱的中点，直线被球面所截得的线段长为. 所以底面截球所得圆的直径等于直线被球面所截得的线段长. 由为正方形，所以也为底面截球所得圆的直径. 所以. 由为正方形，则. 又，所以 因此 所以 ，即， 所以球的表面积为 故选：D 2、正四面体A—BCD的所有棱长均为12，球O是其外接球，M，N分别是的重心，则球O截直线MN所得的弦长为 A．4 B． C． D． 【答案】C 【解析】 正四面体可补全为棱长为的正方体，所以球是正方体的外接球，其半径，设正四面体的高为，则， 故，又,所以到直线的距离为，因此球截直线所得的弦长为. 本题选择C选项. 3、球为正方体的内切球，，分别为棱的中点，则直线被球截得的线段长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】 设与球面交于 两点，过球心与 的截面如图， 因为，分别为棱的中点， 所以可得 ， 根据正方体的性质可得， 球为正方体的内切球，可得 ， 由勾股定理得， 故答案为： . 4、已知正方体的棱长为，且所有棱均与球相切，是线段的中点，直线经过点且与直线平行，则直线被球截得的线段长为________. 【答案】 【解析】 【分析】 取的中点，直线即为直线，为正方体的中心，球的半径，利用勾股定理即可得到直线被球截得的线段长. 【详解】 取的中点，连接，， 故直线即为直线， 又正方体的所有棱均与球相切， 为正方体的中心，球的半径， 球心到直线的距离， 直线被球截得的线段长为. 故答案为 例6、已知正三棱锥P-ABC，Q为BC中点，，，则正三棱锥P-ABC的外接球的半径为________；过Q的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据正三棱锥，，，有，即，同理，，则此正三棱锥P-ABC为正方体的一角，根据球的直径为正方体的体对角线的长求解.根据当截面过球心时，截面面积最大，当球心与Q的连线垂直截面时，截面面积最小求截面的面积范围. 【详解】 因为正三棱锥，，， 所以，即， 同理，， 因此正三棱锥P-ABC可看作正方体的一角，如图， 记正方体的体对角线的中点为O，由正方体结构特征可得，O点即是正方体的外接球球心， 所以点O也是正三棱锥P-ABC外接球的球心， 记外接球半径为R，则， 因为球的最大截面圆为过球心的圆， 所以过Q的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积最大为； 又Q为BC中点，由正方体结构特征可得； 由球的结构特征可知，当OQ垂直于过Q的截面时， 截面圆半径最小为，所以． 因此，过Q的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积范围为． 故答案为：(1). (2). 1、已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，，设三棱锥外接球的球心为，设过点的平面为，则当时，此时所得截面的面积最小，当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，再结合球的截面的性质即可得解. 【详解】连接，，由， 可知：和是等边三角形， 设三棱锥外接球的球心为， 所以球心到平面和平面的射影是和的中心，， 是等边三角形，为中点， 所以，又因为侧面底面，侧面底面， 所以底面，而底面，因此，所以是矩形, 和是边长为的等边三角形， 所以两个三角形的高， 在矩形中，，连接， 所以， 设过点的平面为，当时， 此时所得截面的面积最小，该截面为圆形， ， 因此圆的半径为：，所以此时面积为， 当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：， 所以截面的面积范围为. 故选：A． 课后作业 1、已知菱形边长为3，，为对角线上一点，.将沿翻折到的位置，记为且二面角的大小为120°，则三棱锥的外接球的半径为 ；过作平面与该外接球相交，所得截面面积的最小值为 . 【答案】 【分析】（1）过的重心作垂线，垂线的交点即为球心，再根据已知线段长度求解出球的半径； （2）首先确定出当截面面积最小时对应的与截面的位置关系，再根据线段长度求解出截面圆的面积. 【详解】因为且四边形为菱形，所以均为等边三角形， 取的重心为，过作平面、平面的垂线，且垂线交于一点， 此时即为三棱锥的外接球球心，如下图所示： 记，连接，因为二面角的大小为， 且，所以二面角的平面角为， 因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以，又，所以， 所以三棱锥的外接球的半径为； 当截面面积取最小值时，此时截面，又因为截面是个圆，设圆的半径为，外接球的半径为， 又因为且，所以， 所以，所以此时截面面积为. 故答案为：；. 2、用两个平行平面去截半径为的球，两个截面圆的半径分别为，两截面间的距离，求该球的表面积和体积. 【答案】，. 【解析】 【分析】 根据两个截面圆在球心的同侧或异侧分类，再利用垂直于两截面而且过球心的截面圆，由平面几何知识即可求出球的半径，从而得出球的表面积和体积． 【详解】 设垂直于两截面而且过球心的圆面交两截面圆于，球心为，两截面圆的圆心分别为，则在同一条直线上，如图． 设， 当两截面圆位于球心的同一侧时，有． 又均大于0，∴该方程组无解． 当两截面圆位于球心的两侧时，有，解得． ，． 3、朱世杰是元代著名的数学家，有“中世纪世界最伟大的数学家”之称.其著作《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到数学史研究者的高度评价.《四元玉鉴》下卷“杂范类会”中第一问为：“今有沈香立圆球一只，径十寸，今从顶截周八寸四分，问厚几何？”大意为现有一个直径为10的球，从上面截一小部分，截面圆周长为8.4，问被截取部分几何体的高为多少.已知朱世杰是以圆周率为3来计算，则《四元玉鉴》中此题答案为（ ）（注：） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】A 【解析】设截面圆半径为，截下来的几何体高为， 若以3作为圆周率，则， 又，故， 故选：A. 4、已知正三棱锥的顶点均在球的球面上，过侧棱及球心的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，已知三棱锥的体积为，则球的表面积为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 分析：根据图示，这个截面三角图形和球的体积，求得正三棱锥的底面边长，进而求得球的半径，求的球的表面积. 详解：设正三棱锥的底面边长为，外接球的半径为， 因为正三棱锥的底面为正三角形，边长为，则，则， 所以，即， 又因为三棱锥的体积为，所以， 解得，所以球的表面积为，故选A. 5、已知正方体的外接球的表面积为，与的重心分别为，，球与该正方体的各条棱都相切，则球被所在直线截的弦长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可求得正方体棱长为3，则球的半径，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得，进而可得点到直线的距离，根据公式可得弦长. 【详解】 设正方体的边长为，则，即正方体棱长为，.球的球心为正方体的中心，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（3，0，0），，B（3，3，0），，D（0，0，0）， ， 点到直线的距离， 又球的半径为， 因此正方体外接球被所在直线截的弦长为. 故选：D. 6、在三棱锥中，与是全等的等腰直角三角形，平面平面为线段的中点．过点作平面截该三棱锥的外接球所得的截面面积可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】将三棱锥补成正方体，通过求正方体外接球的半径来求三棱锥外接球的半径；并分析出球心O到截面的距离最大时，截面圆的面积最小，另外图5另做分析. 【详解】由题意可知，满足条件的三棱锥有五种情况，如图． 由于图（1）（2）（3）（4）将三棱锥补成正方体，其外接球球心为正方体中心， 点到球心的距离相等，因此只考虑一种情况． 以图（1）为例，其外接球半径． 当垂直于截面时，截面圆的半径取最小值，此时其面积为； 当截面过球心时，截面圆的半径取最大值，此时其面积为． 因此截面圆的面积的取值范围为． 若三棱锥为图（5），时， 则球心与重合，此时，截面圆的面积为． 故选：AB． 第四节最值与范围 例1、已知，，是球心为的球面上三点，，，若三棱锥体积的最大值为1，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意分析可知，当平面平面时，三棱锥体积的最大．此时，点到平面的距离达到最大值，为正三角形的边上的高，根据三棱锥的体积公式计算体积，可解得，根据球的表面积公式可得结果. 【详解】 设球半径为，当平面平面时，三棱锥体积的最大． 注意是正三角形，是顶角等于的等腰三角形， 所以，所以. 故选：B. 1、平行四边形中，，为边上一点（不与重合），将平行四边形沿折起，使五点均在一个球面上，当四棱锥体积最大时，球的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】 依题意可得、、、四点共圆，即可得到，从而得到三角形为正三角形，利用余弦定理可得，且，要使四棱锥体积最大，当且仅当面面时体积取得最大值，利用正弦定理求出的外接圆的半径，再又可证面，则外接球的半径，即可求出球的表面积； 【详解】 解：依题意可得、、、四点共圆， 所以 因为， 所以，， 所以三角形为正三角形，则，， 利用余弦定理得 即，解得，则 所以， 当面面时，取得最大， 所以的外接圆的半径， 又面面，，且面面， 面 所以面， 所以外接球的半径 所以 故答案为： 例2、已知三棱锥中，平面，，，则三棱锥体积最大时，其外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 首先根据题意得到当的面积最大时，此时三棱锥的体积最大，设，利用正弦定理和余弦定理得到，从而得到当时，最大，再将三棱锥放入直三棱柱中，求外接球体积即可. 【详解】 如图所示： 因为平面，， 所以当的面积最大时，此时三棱锥的体积最大. 设，则， ， 所以. 所以， 当，即时，最大. 当时，，则. 将三棱锥放入直三棱柱中， ，分别为上下底面外接圆圆心，设外接圆半径为， 则的中点为直三棱柱外接球球心，设外接球半径为， 如图所示： 根据正弦定理，解得，所以. 故外接球体积. 故选：D 1、已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值为2，则球的表面积为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 分析：根据棱锥的最大高度和勾股定理计算球的半径，从而得出外接球的表面积． 详解：因为，所以， 过的中点作平面的垂下，则球心在上， 设，球的半径为，则棱锥的高的最大值为， 因为，所以， 由勾股定理得，解得， 所以球的表面积为，故选D． 2、在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是底面内一动点，若直线与平面平行，则当三角形面积最小值时，三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点所在线段，可知当时，三角形面积最小，然后证明，得到 为三棱锥的外接球的直径，进一步求解得答案． 【详解】 补全截面为截面 如图，设， 直线与平面不存在公共点， 平面， 易知平面平面， ， 且当与重合时，最短，此时的面积最小， 由等积法得，即， ， ，，平面，则， 又， 为三棱锥的外接球的直径，长度为． 三棱锥的外接球的半径为1，表面积为． 故选：． 例3、体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，，，则球的体积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据余弦定理计算的最小值，从而得出外接圆半径的最小值，进而求得外接球半径的最小值，最后得出结论． 【详解】 设 ， ， 由余弦定理可得： ， 当且仅当时，等号成立， 此时， 设外接圆的半径为，则， ， 如图，设为外接圆的圆心，为的中点，为球的半径， 连接， 易知，， 球的体积. 故选：B. 1、在直三棱柱中，且，设其外接球的球心为O，已知三棱锥O-ABC的体积为2，则球O的表面积的最小值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】 设，，则，取，的中点分别为，，外接球的球心为，则为的中点即为三棱柱外接球的球心，由三棱锥的体积可得，表示出，根据基本不等式即可得到球的表面积的最小值． 【详解】 如图， 在中，设，，则， 取，的中点分别为，， 则，分别为和的外接圆的圆心，连接， 又直三棱柱的外接球的球心为，则为的中点，连接，则为三棱柱外接球的半径． 设半径为，因为直三棱柱，所以，所以三棱锥的高为2，即，又三棱锥体积为2，所以． 在中，， 所以，当且仅当时取“=”，所以球的表面积的最小值是，故答案为. 2、直三棱柱外接球表面积为，，若，矩形外接圆的半径分别为，则的最大值为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 设中点为，，矩形外接圆的圆心分别为，球心为，则由平面与平面得为矩形，，可得，可得的最大值. 【详解】 解：由外接球表面积为，可得外接球半径为2.设中点为，，矩形外接圆的圆心分别为，球心为，则由平面与平面得为矩形，， ， ，，当且仅当时取等号. 故选. 3、两球和在棱长为1的正方体的内部，且互相外切，若球与过点的正方体的三个面相切，球与过点的正方体的三个面相切，则球和的表面积之和的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 设球与球的半径分别为r1,r2,∴. ，,球与球的面积之和为： , 当且仅当时取等号, 其面积最小值为(6−3)π. 故选A. 例4、已知球O为棱长为1的正四面体的外接球，若点P是正四面体ABCD的表面上的一点，Q为球O表面上的一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出正四面体外接球半径，再分析出最大值即可外接球直径. 【详解】首先求出正四面体外接球的半径： 由正四面体的对称性与球的对称性可知球心在正四面体的高上： 设外接球半径为，如图(为外接球球心，为的重心）， ， ，， 中，， 即，得， 因为点P是正四面体的表面上的一点，Q为球O表面上的一点， 则的最大值相当于外接球的直径，则最大值为. 故选：D. 1、已知正四面体A－BCD的棱长为6，P是四面体A－BCD外接球球面上的动点，Q是四面体A－BCD内切球球面上的动点，则PQ的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依据题意作出图形，再求出外接球半径，再求目标式范围即可. 【详解】 如图，AE是正四面体A－BCD的高，由对称性知其外接球与内切球的球心重合，为O，且在AE上， 则E是底面正三角形BCD的中心，， 设外接球的半径为R，即，由，得，解得， 因此内切球的半径为，显然有，即， 又，所以． 故答案为： 2、已知三棱锥三条侧棱，，两两互相垂直，且，､分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用补形法得正方体，作出图形，找出内切球，外接球球心，由几何关系知：两点间距离的最小值为，易求外接圆半径，结合等体积法可求出内切圆半径和，进而得解. 【详解】由已知将该三棱锥补成正方体，如图所示. 设三棱锥内切球球心为，外接球球心为，内切球与平面的切点为， 易知：三点均在上，且平面， 设内切球的半径为，外接球的半径为，则. 由等体积法：，得， 由等体积法：，得， 将几何体沿截面切开，得到如下截面图：大圆为外接球最大截面，小圆为内切球最大截面， ∴两点间距离的最小值为. 故选：B. 课后作业 1、设三棱锥的每个顶点都在球的球面上，是面积为的等边三角形，，则当三棱锥的体积最大时，球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可求，故当且平面底面时，三棱锥的体积最大.分别求出和外接圆的半径，即可求得外接球的半径与表面积. 【详解】 解：如图，由题意得，解得. 当且平面底面时，三棱锥的体积最大. 分别过和的外心作对应三角形所在平面的垂线，垂线的交点即球心 ，设和的外接圆半径分别为，，球的半径为， 则，. 故，球的表面积为. 故答案为： 2、在三棱锥中，，，若该三棱锥的体积为，则其外接球表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据均值不等式得到，故，当离平面最远时，外接球表面积最小，此时在平面的投影为中点，故，根据函数单调性得到，计算得到答案. 【详解】 ，，故底面三角形外接圆半径为， ，当时等号成立， 故，故， 当离平面最远时，外接球表面积最小，此时，在平面的投影为中点， 设球心为，则在上，故，化简得到， 双勾函数在上单调递增，故，故. 故选：D. 3、已知三棱锥的四个顶点都在半径为2的外接球上，分别是和的中点，，，当取得最大值时，三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由球的性质可得，为外接球直径，由条件证明平面，平面，解三角形求，结合锥体体积公式求三棱锥的体积. 【详解】依题意，当为外接球直径时，最大， ，， 因为分别是和的中点， 所以为的中位线，， 又，故， 因为，平面， 所以平面，平面， 所以， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以 所以为直角三角形， 所以， 所以. 故选：D.    4、在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，设是该四棱锥外接球表面上的动点，则三棱锥的体积最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作图分析，确定四棱锥外接球球心位置，求得其半径，确定三棱锥的高的最大值，根据棱锥体积公式，即可求得答案. 【详解】如图，设G为底面正方形的中心， 设的中点为F，连接，因为侧面是正三角形，故， 又侧面底面，侧面底面，平面， 故底面，设E为的中心，则E在上， 过点G作底面的垂线l，则，过点E作平面的垂线， 交l于点O，即为四棱锥的外接球的球心，且四边形为矩形， 则在正三角形中，,而, 故外接球半径, 由于是该四棱锥外接球表面上的动点，则P到侧面的最大距离为， 故三棱锥的体积最大值为， 故选：D 5、正四棱台，上下底面分别是边长为2，3的正方形，若，则该棱台外接球表面积的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设上下底面正方形的中心分别为，，作出棱台的对角面，则该四棱台的外接球的球心在直线上，且，再通过勾股定理，方程思想，函数思想，不等式思想，化归转化思想，即可求解． 【详解】由题意知正四棱台的上下底面外接圆半径分别为，，    则正四棱台的高为， 设上下底面正方形的中心分别为，，作出棱台的对角面，如图所示，    则该四棱台的外接球的球心在直线上，且， 又，，， 由图可得，， ，， ，， 又或， ， ，又， ， 易知函数在上单调递减， 则当时，， 所以，则，所以， 所以该棱台外接球表面积. 故答案为：. 6、已知长方体中，侧面的面积为2，若在棱上存在一点，使得为等边三角形，则四棱锥外接球表面积的最小值为 . 【答案】 【分析】根据几何体的特征，确定四棱锥外接球的球心，结合长度和几何关系，基本不等式确定半径的最小值，即可求解. 【详解】如图，由对称性可知，点是的中点，设，则，，点是的中点， 由底面矩形的对角线的交点作底面的垂线，过等边三角形的中心作平面的垂线，两条垂线交于点，点是四棱锥外接球的球心， ，，则， 当，即时，等号成立，则的最小值为, 所以四棱锥外接球表面积的最小值为. 故答案为： 7、已知PC是三棱锥外接球的直径，且，，三棱锥体积的最大值为8，则其外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得平面和，利用三棱锥体积公式和重要不等式，可得三棱锥的体积最大值，依题求出，即得,得出结论. 【详解】 如图，因为是三棱锥外接球的直径，所以． 又，故平面， 因平面，则．又，所以面， 因平面，故． 于是，三棱锥的体积为． 因（当且仅当时等号成立），所以体积的最大值为， 依题意，解得．因，故， 所以三棱锥的外接球的表面积为：． 故答案为：. 8、已知是边长为2的等边三角形，，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为__________． 【答案】 【解析】取的中点，连接， 设的外接圆的圆心为，的外接圆的圆心为， 因为是边长为2的等边三角形， 所以面积确定， 要使三棱锥体积最大， 即要使点到平面的距离最大， 只有当平面平面时，体积最大， 即点到边的距离最大，三棱锥的体积最大， 因为，且， 外接圆的半径为， 又为的外心，在的中垂线上，且, , 当点满足时，共线，点到边的距离最大，三棱锥的体积最大. 此时三棱锥的高即为的长， 此时外接圆的圆心在上， 根据球的性质可知，，， 故四边形为矩形， 故， 在中，球的半径平方为， 所以球的表面积为. 综合练习 1、数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，且其体积小于正四面体外接球体积．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则下列结论正确的是（    ）    A．勒洛四面体最大的截面是正三角形 B．若、是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值可能大于4 C．勒洛四面体的体积是 D．勒洛四面体内切球的半径是 【答案】BD 【分析】最大的截面即经过四面体表面的截面，A不正确，计算，B正确，计算外接球的体积为得到C错误，计算勒洛四面体内切球的半径是，D正确，得到答案. 【详解】对选项A：勒洛四面体最大的截面即经过四面体表面的截面，如图1所示，错误； 对选项B：如图2，设弧的中点是，线段的中点是， 设弧的中点是，线段的中点是， 则根据图形的对称性，四点共线且过正四面体的中心， 则， ，， 故，正确； 对选项C：如图3，由对称性可知内切球的球心是正四面体外接球的球心， 连接并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径，    如图4，为的中心，是正四面体外接球的球心， 连接，由正四面体的性质可知在上. 因为，所以，则. 因为， 即，解得， 则正四面体外接球的体积是， 因为勒洛四面体的体积小于正四面体外接球的体积，错误； 对选项D：因为，所以，正确； 故选：BD. 2、截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法错误的是（    ） A．二面角的余弦值为 B．该截角四面体的体积为 C．该截角四面体的外接球表面积为 D．该截角四面体的表面积为 【答案】D 【分析】根据二面角的定义，结合球的表面积公式、棱锥的表面积公式和体积公式逐一判断即可. 【详解】如下图所示：设的中心为，的中心为， 取BC的中点为W，分别连接和，因为，， 所以为的二面角，，， 所以，所以， 在直角三角形中，，所以， 所以二面角的余弦值为， 所以二面角的余弦值为，故A正确 因为棱长为的正四面体的高， 所以，故B正确； 设外接球的球心为O，的中心为，的中心为， 因为截角四面体上下底面距离为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，故C正确； 由正四面体中，题中截角四面体由4个边长为a的正三角形， 4个边长为a的正六边形构成，故，故D错误. 故选：D. 3、半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则下列关于该多面体的说法中不正确的是（    ） A．多面体有12个顶点，14个面 B．多面体的表面积为3 C．多面体的体积为 D．多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球） 【答案】B 【分析】由题得该多面体的各顶点为正方体每条棱的中点，判断选项正误. 【详解】由题，连接正方体每条棱的中点可得到该多面体，共12个顶点， 该多面体表面为有8个三角形面和6个正方形面，共14个面，A项正确； 多面体表面每个三角形面积为，每个小正方形面积为， 所以多面体表面积为，B项错误； 将多面体看作由正方体切去顶点处8个三棱锥得到，每个三棱锥体积为， 所以多面体体积，C项正确； 原正方体中心到多面体每个顶点（即正方体棱的中点）的距离都为， 所以以该点为球心，为半径的圆即多面体的外接圆，D项正确； 故选：B. 4、如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内，如果四边形是边长为2的正方形，则（    ）    A．异面直线与所成角大小为 B．二面角的平面角的余弦值为 C．此八面体一定存在外接球 D．此八面体的内切球表面积为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，运用坐标法计算异面直线所成角及二面角可判断A项、B项，由可判断C项，运用等体积法求得内切球的半径，进而可求得内切球的表面积即可判断D项. 【详解】连接、交于点，连接、， 因为四边形为正方形，则， 又因为八面体的每个面都是正三角形，所以、、三点共线，且面， 所以以为原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，    则，，，，，，， 对于A项，，， 设异面直线与所成角为， 则， 所以，即异面直线与所成角大小为，故A项正确； 对于B项，，，， 设面的一个法向量为， 则，取，则，，则， 设面的一个法向量为， 则，取，则，，则， 所以， 又因为面与所成的二面角的平面角为钝角， 所以二面角的平面角的余弦值为，故B项错误； 对于C项，因为， 所以为此八面体外接球的球心， 即此八面体一定存在外接球，故C项正确； 对于D项，设内切球的半径为， 则八面体的体积为， 又八面体的体积为， 所以，解得， 所以内切球的表面积为，故D项正确. 故选：ACD. 5、有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（    ）    A．该半正多面体的外接球与原正方体的外接球半径相等 B．与所成的角是的棱共有18条 C．与平面所成的角 D．若点为线段上的动点，直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 【答案】CD 【分析】将半正多面体补成正方体，考虑外接球的球心，可判断A；由两直线所成角的定义可判断B；由线面角的定义可判断C；建立空间直角坐标系，利用向量法结合二次函数的性质求出直线与直线所成角的余弦值的取值范围，可判断D． 【详解】设棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上， 将该半正多面体补成正方体， 正方体的棱长为2，可得该半正多面体的外接球与原正方体的外接球的球心重合， 但半径分别为和，故A错误； 与成的棱有，，，和与面相对的面上的，，，； 还有，，，和与面相对的面上的，，，，共16条，故B错误； 由平面，可得为与平面所成角，由于为等腰直角三角形， 所以，故C正确； 建立如图所示的空间直角坐标系， 则,1,,,2,,,0,,,1,， ,2,,,1,,,1,,,0,， 设， 则,1,,1,,0,,,， 可解得，则,,共面，即,,,四点共面， 又,1,，设,,，所以,， 则,,，,,， ,令,，则， 因为,，所以,， 故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为,，故D正确． 故选：CD． 6、六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（    ）    A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为 C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为 【答案】ACD 【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项. 【详解】    对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形， 故该正八面体结构的表面积，故A正确； 对B：连接，则，底面， 故该正八面体结构的体积，故B错误； 对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径， 故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确； 对D：该正八面体结构的内切球半径， 故内切球的表面积，故D正确； 故选：ACD． 7、某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为40cm的正方体截去八个一样的四面体得到的，则（    ） A．该几何体的顶点数为12 B．该几何体的棱数为24 C．该几何体的表面积为 D．该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项 【答案】ABD 【分析】对于A，该几何体的顶点是正方体各棱的中点，由正方体有12条棱即可判断；对于B，由该几何体有6个面为正方形即可判断；对于C，该几何体的棱长为，根据正三角形及正方形的面积公式求解即可判断；对于D，原正方体内切球的半径为20cm，原正方体外接球的半径为，该几何体外接球的球心为原正方体的中心，故外接球半径为，根据球的表面积公式及等差中项的定义即可判断. 【详解】对于A，该几何体的顶点是正方体各棱的中点，正方体有12条棱，所以该几何体的顶点数为12，故A正确； 对于B，由题意知，该几何体有6个面为正方形，故该几何体的棱数为，故B正确； 对于C，该几何体的棱长为，该几何体有6个面为正方形，8个面为等边三角形， 所以该几何体的表面积为，故C错误； 对于D，原正方体内切球的半径为20cm，内切球表面积为. 原正方体外接球的半径为，外接球表面积为. 由题意得该几何体外接球的球心为原正方体的中心，故外接球半径为， 所以该几何体外接球的表面积为. 因为， 所以该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项，故D正确. 故选:ABD. 8、如图，直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，,，点P是经过点的半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（   ）    A．四面体PBCQ的体积的最大值为 B．的取值范围是 C．若二面角的平面角为，则 D．若三棱锥的外接球表面积为S，则 【答案】ACD 【分析】根据棱锥的体积公式可判断A；根据向量的相等以及数量积的定义可判断B；结合二面角平面角定义找出，结合解直角三角形判断C；确定三棱锥的外接球球心位置，列等式求得半径表达式，求得其取值范围，即可求出三棱锥外接球表面积取值范围，判断D. 【详解】由题意知在直四棱柱中，半圆弧经过点D，故， 点P到底面的距离为， 当点Q位于半圆弧上的中点时最大，即四面体PBCQ体积最大， 则 ，故A正确； 由于，则， 又在中， ， 故， 因为，所以，则 ，故B错误； 因为平面，平面，故，而, 平面，故平面，平面， 故，所以是二面角的平面角，        则，因为 ，所以，故C正确； 设线段BC的中点为N， 线段的中点为K，则三棱锥的外接球球心O在NK上， 在四边形中，,, 设，在中，在中， 故， 整理得，所以 ，所以外接球的表面积为，D正确， 故选：ACD 9、已知棱长均为的多面体由上､下全等的正四棱锥和拼接而成，其中四边形为正方形，如图所示，记该多面体的外接球半径为，该多面体的棱切球（与该多面体的所有棱均相切的球）的半径为，则 ．    【答案】 【分析】如图为正方形的中心，则既是多面体的外接球的球心，也是棱切球的球心，过点作于点，求出外接球的半径与棱切球的半径，即可得解. 【详解】在多面体中，为正方形的中心，如图所示： 由题意可知既是多面体的外接球的球心，也是棱切球的球心， 过点作于点，在中，， ，所以， 所以， 所以    故答案为： 10、早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把按计算，则该正二十面体的外接球半径与棱长的比为 ；该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于 ． 【答案】 / / 【分析】首先把正二十面体的外接球转化成正五棱锥的外接球.设正五棱锥棱长为，利用正弦定理求出正五棱锥的外接圆半径，再利用勾股定理求出正五棱锥的高，然后可求正五棱锥的外接球半径：.即可求所对应的比. 【详解】如图，这个正二十面体上方的一个正五棱锥： 则正二十面体的外接球就是这个五棱锥的外接球. 不妨设正二十面体的棱长为2. 如图： 正五边形的外接圆半径就是黄金的外接圆半径， 设为，则. 则到正五边形中心的距离为：. 设正二十面体的外接球半径为，则. 所以正二十面体的外接球半径与棱长的比为：. 正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比：. 故答案为：； 第 1 页 共 53 页 学科网（北京）股份有限公司 $$