第二十六章 反比例函数 单元测试 2024-2025学年人教版数学九年级下册

第二十六章反比例函数 综合素质评价 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.若点A(1，3)在反比例函数y＝的图象上，则k的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2. 已知一个矩形相邻的两条边长分别为x，y，面积是4，那么y关于x的函数的图象是(　　) 3. 反比例函数y＝－的图象一定经过的点是(　　) A．(1，10) B．(－2，5) C．(2，5) D．(2，8) 4.在双曲线y＝的每一支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是(　　) A．2 B．0 C．－2 D．1 5．在平面直角坐标系中，函数y＝－的图象与坐标轴的交点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 6. 如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝(a＞1)的图象于A，B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为D.若S△BCD＝4，则a的值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 7．如图是反比例函数y1＝(x＞0)和一次函数y2＝mx＋n的图象，则下列结论中正确的是(　　) A．反比例函数的解析式是y1＝ B．一次函数的解析式为y2＝－x＋6 C．当x＞6时，y1的最大值为1 D．若y1＜y2，则1＜x＜6 8．在平面直角坐标系中，函数y＝与y＝x＋1的图象交于点(m，n)，则代数式(m－n)2·的值为(　　) A．3 B．－3 C. D．－ 9. 如图，四边形OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y＝和y＝的一个分支上，分别过点A，C作x轴的垂线段，垂足分别为点M和点N，给出如下四个结论：①＝；②阴影部分的面积是(k1＋k2)；③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；④若四边形OABC是菱形，则k1＋k2＝0.以上结论正确的是(　　) A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①④ 10．学校的自动饮水机开机加热时每分钟上升10 ℃，加热到100 ℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系．当水温降至20 ℃时，饮水机再次自动加热，若水温在20 ℃(室温20 ℃)时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是(　　) A．水温从20 ℃加热到100 ℃，需要7 min B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y＝ C．上午8：00接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40 ℃的水 D．在一个加热周期内水温不低于30 ℃的时间为 min 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11．若y＝(m是常数)是反比例函数，则m＝________． 12．在对物体做功一定的情况下，力F(单位：N)与此物体在力的方向上移动的距离s(单位：m)成反比例函数关系，其图象如图所示．点P(4，3)在此图象上，则当力达到10 N时，物体在力的方向上移动的距离是________m. 13. 如图，菱形OABC在直角坐标系中，点C的坐标为(5，0)，对角线OB＝4 ，反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象经过点A，则k的值为________． 14. 在平面直角坐标系中，直线y＝x＋1与双曲线y＝(k≠0)交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．若x1x2＝－4，则k的值为________． 15．如图，若A(a，a＋5)，B(b，b－5)是反比例函数图象上的两点，则线段AB的长为________． 16．如图，⊙P过坐标原点O，与x轴、y轴分别相交于点A，B，且OA＝OB＝4，反比例函数y＝的图象经过圆心P，作射线OP，则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题(本大题共5小题，共66分) 17．(10分)如图，在▱ABCD中，设BC边的长为x，BC边上的高AE为y，已知▱ABCD的面积为24. (1)求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)当BC＝2时，求AE的长． 18．(10分)在平面直角坐标系xOy中，函数y＝(k≠0)的图象过点(1，3)． (1)求这个函数的解析式； (2)当0<x≤1时，对于x的每一个值，函数y＝(k≠0)的值都大于函数y＝mx(m≠0)的值，直接写出m的取值范围． 19．(12分) 如图，已知一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝(x＜0)的图象交于A(－2，4)，B(－4，2)两点，且与x轴交于点C. (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式＜ax＋b的解集； (3)点P在y轴上，且S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标． 20．(16分)如图①，有一块边角料ABCDE，其中AB，BC，DE，EA是线段，曲线CD可以看成反比例函数图象的一部分．测量发现：∠A＝∠E＝90°，AE＝5，AB＝DE＝1，点C到AB，AE所在直线的距离分别为2，4. (1)小宁把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为(－1，0)；点B的坐标为(－1，1)．请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形ABCDE； (2)求直线BC，曲线CD对应的函数解析式； (3)小宁想利用这块边角料截取一个矩形MNQP，其中点M，N在AE上(点M在点N左侧)，点P在线段BC上，点Q在曲线CD上．若矩形MNQP的面积是，则PM＝________． 21．(18分)如图，一次函数y＝kx＋b(k＞0)的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E. (1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由． (2)连接AE，DE，若四边形ACDE为正方形． ①求k，b的值； ②若点P在y轴上，当|PE－PB|最大时，求点P的坐标． 答案 一、1.C　2.C　3.B　4.A　5.B　6.B　7.D　8.D　9.D 10．D　点拨：∵自动饮水机开机加热时每分钟上升10 ℃， ∴水温从20 ℃加热到100 ℃，所需时间为＝8(min)，故A选项不符合题意； 由题意可得，点(8，100)在反比例函数的图象上， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y＝，故B选项不符合题意； 令y＝20，则 ＝20，∴x＝40， 即每40 min为一个加热周期． ∵从8：00到9：30，所经过的时间为90 min， ∴经过两个加热周期后又经过了10 min， 令x＝10，则y＝＝80＞40，故C选项不符合题意； 水温从20 ℃加热到30 ℃所需时间为＝1(min)， 令y＝30，则＝30，∴x＝. ∴在一个加热周期内水温不低于30 ℃的时间为－1＝(min)，故D选项符合题意． 二、11.2　12.1.2　13.12　14.4 15．5 　点拨：∵A(a，a＋5)，B(b，b－5)是反比例函数图象上的两点， ∴a(a＋5)＝b(b－5)． 整理，得(a＋b)(a－b＋5)＝0. 由图象知a＞0，b＞0， ∴a＋b≠0.∴a－b＋5＝0. ∴a－b＝－5. ∵AB2＝(a－b)2＋(a＋5－b＋5)2＝2(a－b)2＋20(a－b)＋102＝50－100＋100＝50，∴AB＝5 (负值已舍去)． 16．2π＋4　点拨：如图，连接PA，过P作PH⊥OA，垂足为H. ∵反比例函数y＝的图象经过圆心P，∴S△PHO＝×4＝2. ∵PH⊥OA，OP＝AP，∴OH＝OA＝2. 又∵S△PHO＝·OH·PH＝2，∴PH＝2.∴OH＝PH. ∴在Rt△PHO中，OP＝＝＝2 ，∠POH＝∠OPH＝45°. ∴易知∠OPA＝90°. 根据图形的对称性可得S阴影部分＝S圆＋S△OPA＝＋×4×2＝2π＋4. 三、17.解：(1)∵BC边的长为x，BC边上的高AE为y，▱ABCD的面积为24， ∴xy＝24，∴y＝. (2)当BC＝2，即x＝2时，y＝12，∴AE的长为12. 18．解：(1)∵函数y＝(k≠0)的图象过点(1, 3)，∴3＝， 解得k＝3，∴这个函数的解析式为y＝. (2)m<3且m≠0. 19．解：(1)将点A(－2，4)的坐标代入y＝(x＜0)，得4＝，∴m＝－8， ∴反比例函数的解析式为y＝－. 将点A(－2，4)，B(－4，2)的坐标分别代入y＝ax＋b，得 解得 ∴一次函数的解析式为y＝x＋6. (2)观察图象可知，不等式＜ax＋b的解集为－4＜x＜－2. (3)在y＝x＋6中，当y＝0时，x＝－6， ∴C(－6，0)．∴OC＝6. ∴S△AOB＝S△AOC－S△BOC＝OC×(yA－yB)＝×6×2＝6. ∴S△AOP＝×6＝3. ∵点P在y轴上，∴OP×|xA|＝3， ∴OP＝3，∴P(0，3)或(0，－3)． 20．解：(1)平面直角坐标系及图形ABCDE如图①所示． (2)由题意可得B(－1，1)，C(1，4)． 设直线BC对应的函数解析式为y＝mx＋n， 则有解得 ∴直线BC对应的函数解析式为y＝x＋. 设曲线CD对应的函数解析式为y＝， 把点C(1，4)的坐标代入，得4＝，解得k＝4， ∴曲线CD对应的函数解析式为y＝. (3)　点拨：如图②，设点M的横坐标为m，则点P的坐标为， ∴MP＝m＋. ∵四边形MNQP是矩形，∴QN＝MP＝m＋， ∴点Q的坐标为，∴MN＝PQ＝－m. ∵矩形MNQP的面积为，∴MN·PM＝， 即·＝，解得m＝或m＝－. 易知－1＜m＜1，∴m＝. ∴PM＝m＋＝. 21．解：(1)点E在这个反比例函数的图象上， 理由：∵一次函数y＝kx＋b(k＞0)的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A，∴可设点A的坐标为. 如图①，连接CE交AD于点H， ∵点C关于直线AD的对称点为点E， ∴AD⊥CE，AD平分CE，即CH＝EH. ∵BC＝CD，OC⊥BD， ∴OB＝OD，∴OC＝AD. ∵AD⊥x轴于点D， ∴CE∥x轴，∴E. ∵2m×＝8，∴点E在这个反比例函数的图象上． 　 (2)①如图②，连接CE交AD于点H， ∵四边形ACDE为正方形， ∴AD＝CE，AD垂直平分CE，∴易得CH＝AD， 设点A的坐标为，∴CH＝p，AD＝，∴p＝×， ∴p＝2(负值舍去)， ∴易得A(2，4)，C(0，2)， 把A(2，4)，C(0，2)的坐标代入y＝kx＋b， 得解得 ②如图②，延长ED交y轴于点P，连接BP. 易知此时|PE－PB|最大． 由(1)和(2)①知，D(2，0)，E(4，2)， 设直线DE的解析式为y＝cx＋n， ∴ 解得 ∴直线DE的解析式为y＝x－2， 当x＝0时，y＝－2，∴P(0，－2)． 故当|PE－PB|最大时，点P的坐标为(0，－2)． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$