精品解析：福建省厦门第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

福建省厦门第一中学2024—2025学年度 第一学期期中考试 高二年数学试卷 满分： 150分 考试时间： 120分钟 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 写在本试卷上无效． 3． 考试结束后，考生只须将答题卡交回． 一、单选题：本大题8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个正确答案． 1. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若椭圆的焦点在轴上，其离心率为，则椭圆的短轴长为（ ） A. B. C. D. 3. 若，，三点共线，则（ ） A. 4 B. C. 1 D. 0 4. 如图，在直三棱柱 中，△ABC为等腰直角三角形， 且 则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（ ） A. B. C. D. 6. 若圆与圆恰有两条公共的切线，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为双曲线的右顶点，为坐标原点，为双曲线上两点，且，直线的斜率分别为4和，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 8. PA，PB，PC 是从点 P出发的三条线段，每两条线段的夹角均为PA=PB=PC=3，若M 满足 则点M 到平面PAB 的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，，则（ ） A. 的长轴长为4 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点坐标相同 10. 如图，在平行六面体中，为与的交点，设，则（ ） A. B. C. D. 11. 一条动直线与圆相切，并与圆相交于点A，B，点P为定直线上动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在直线，使得以为直径的圆与相切 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面α的一个法向量为 直线l的一个方向向量为 则直线l与平面α所成角的正弦值为_______________． 13. 圆与圆的公共弦所在直线被圆：所截得的弦长为__________． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆E的离心率为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置． 15. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 16. 已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若从点发出的光线经过轴反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程. 17. 如图，四棱锥中，平面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值是，求的值； （3）若，在线段上是否存在一点，使得．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 18. 已知椭圆E的左、右焦点分别为，，点M在椭圆E上，，的周长为，面积为． （1）求椭圆E的方程． （2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与椭圆E交于C，D两点（不同于左右顶点），记直线AC的斜率为，直线BD的斜率为，问是否存在实常数，使得，恒成立？若成立，求出的值，若不成立，说明理由． 19. 双曲线 C： 的左、右焦点为 右顶点为A．⊙M 的圆心在x轴上，位于A的右侧，与双曲线C有且仅有一个公共点， （1）求⊙M 的最大半径为多少，及此时⊙M 的方程； （2）如图1，在（1）的条件下，过双曲线C上一点 P作⊙M 的切线，切点为Q，过P且垂直于x轴的直线与双曲线其中一条渐近线交于 R，求的最小值： （3）双曲线右支上一点 N 在右焦点 的正上方，如图2，将双曲线的左支绕y轴翻折． 使左右支所在的两个半平面所成的二面角大小为θ，若 过 N的直线m总与左支相交，以原双曲线所在坐标平面的O为原点，过O垂直于xOy 平面方向为z轴建立空间直角坐标系，求直线m的一个方向向量． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门第一中学2024—2025学年度 第一学期期中考试 高二年数学试卷 满分： 150分 考试时间： 120分钟 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 写在本试卷上无效． 3． 考试结束后，考生只须将答题卡交回． 一、单选题：本大题8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个正确答案． 1. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知先求出直线的斜率，进而可求直线的倾斜角． 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 故直线的倾斜角为． 故选：B． 2. 若椭圆的焦点在轴上，其离心率为，则椭圆的短轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的离心率求出，即可求得该椭圆的短轴长. 【详解】对于椭圆，由已知可得，，则， 椭圆的离心率为，解得，则， 因此，椭圆的短轴长为. 故选：B. 3. 若，，三点共线，则（ ） A. 4 B. C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量平行坐标关系计算求解即可. 【详解】因为，，所以， 解得．故． 故选：A. 4. 如图，在直三棱柱 中，△ABC为等腰直角三角形， 且 则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建系，由异面直线夹角的向量法即可求解. 【详解】 由题意如图建立空间直角坐标系， 可得：， 则与， 所以, 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B 5. 若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，设点关于直线的对称点为，再由垂直直线的斜率关系和点与点的中点在上，建立方程组，即可得到. 【详解】因为点关于直线的对称点在轴上， 设点关于直线的对称点为， 则有 ，解得. 故选：B. 6. 若圆与圆恰有两条公共的切线，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两圆的公切线性质，结合两圆的位置关系进行求解即可. 【详解】由， 所以，半径， 由，所以，半径为， 因为圆与圆恰有两条公共的切线，所以这两个圆相交， 于是有，而， 所以m的取值范围为， 故选：A 7. 已知为双曲线的右顶点，为坐标原点，为双曲线上两点，且，直线的斜率分别为4和，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由可得：是的中点，即关于原点对称，然后设点，去表达直线的斜率，联立方程组可解得，最后把这点代入双曲线方程，就可以得到一个关于离心率的方程，并解得结果. 【详解】由可得：是的中点，即关于原点对称， 不妨假设点，则， 由及直线的斜率分别为4和可得： ，联立解得：， 所以把点代入双曲线方程得： ， 再由代入得：，解得：， ， 故选：A. 8. PA，PB，PC 是从点 P出发的三条线段，每两条线段的夹角均为PA=PB=PC=3，若M 满足 则点M 到平面PAB 的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，可得是正四面体，并将其置于正方体中，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离. 【详解】由线段两两的夹角均为，且，得是正四面体， 将正四面体置于正方体中，使其棱分别为该正方体的面对角线，建立空间直角坐标系，如图， 设该正方体的棱长为，则，， ，， 设平面的法向量，则，令，得， 因此点到面积的距离. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，，则（ ） A. 的长轴长为4 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点坐标相同 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆方程和双曲线方程求得a，b，c，再逐项判断. 【详解】解：因为，所以， 因为，所以， 所以的长轴长为8，故A错误； 的渐近线方程为，故B正确； 与的离心率互为倒数，故C正确； 与的焦点坐标不相同，故D错误； 故选：BC 10. 如图，在平行六面体中，为与的交点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形计算即可求解. 【详解】A：，故A错误； B：，故B正确； C：， 又， 所以，故C错误； D：，故D正确． 故选：BD 11. 一条动直线与圆相切，并与圆相交于点A，B，点P为定直线上动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在直线，使得以为直径的圆与相切 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，数形结合求出点到直线距离的最小值与比较可判断；对B，C，根据向量数量积运算结合，运算得解判断；对D，直线上点使得最小等同于求直线上一点，的最小值问题，设，，，利用直线对称列式运算求解. 【详解】设线段的中点为，根据圆的对称性可知点在圆上， 则，坐标原点到直线的距离为， 由图易知，， 对于A，点到直线距离的最小值为，且， 所以以为直径的圆与相离，故A错误； 对于C， ， ，故C正确； 对于B，， ，故B正确； 对于D，由于两点在圆上，且，点到直线的距离，求直线上点使得最小等同于求直线上一点，的最小值问题， 设，，，点关于直线对称点为， 则，直线，， 由，消去整理得， 即，即， ，，同理，， ，， 的最小值为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解题的关键是将求直线上点使得最小值转化为求直线上一点，的最小值问题. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面α的一个法向量为 直线l的一个方向向量为 则直线l与平面α所成角的正弦值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用直线与平面所成角的空间向量坐标公式计算. 【详解】设直线l与平面α所成角为， 所以. 故答案为：. 13. 圆与圆的公共弦所在直线被圆：所截得的弦长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆与圆相交得公共弦所在直线方程，再根据直线与圆相交弦长公式可得结论. 【详解】圆与圆的两方程作差得， 即公共弦所在直线方程为， 又圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 则圆被直线所截得的弦长为. 故答案为：. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆E的离心率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由椭圆的性质结合题意得到，再由椭圆的第二定义得到，解出，然后由等面积法得到，最后利用解出即可. 【详解】设，设圆与轴相切于点M，N，T， 所以， 所以， 即，又． 由椭圆的第二定义可知， 所以，所以， 由等面积法得到， 所以． 因为，所以，所以，即． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能利用椭圆的第二定义得到后再结合椭圆的性质和求出. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置． 15. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可； （2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可. 【小问1详解】 由得，解得， 此时直线：，：，不重合， 则直线，之间的距离为； 【小问2详解】 当时，：， 联立，解得， 又直线斜率为， 故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为， 即. 16. 已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若从点发出的光线经过轴反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求的垂直平分线方程，联立直线的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程； （2）根据点关于轴对称的求得对称点，利用直线点斜式方程即可得出结果. 【小问1详解】 由，得直线的斜率为， 线段中点所以，直线的方程为， 即，联立，解得，即，' 所以半径， 所以圆的方程为 【小问2详解】 关于轴的对称点为， 由恰好平分圆的圆周，得经过圆心 ，的方程为：，即. 17. 如图，四棱锥中，平面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值是，求的值； （3）若，在线段上是否存在一点，使得．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）因为 平面，, 所以 平面, 又因为 平面，所以 ． 在中，，是的中点， 所以 ． 又因为 , 平面, 所以 平面． （2） （3）结论：不存在．理由如下： 证明：设． 当时，，， 由知,，这与矛盾, 所以在线段上不存在点，使得． 【解析】 【分析】（1）推导出平面． ．由此能证明平面; （2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的值; （3）设，当，，，由知，,，这与矛盾,从而在线段上不存在点，使得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为 平面，平面， 所以, 又因为 , 所以如图建立空间直角坐标系． 则, 则，， 设平面的法向量为． 则即 ， 令，则，， 故． 因为平面，平面， 所以, 又,平面, 所以平面． 又因为， 所以取平面的法向量为 所以， 则，解得． 又因为，所以； 【小问3详解】 略 18. 已知椭圆E的左、右焦点分别为，，点M在椭圆E上，，的周长为，面积为． （1）求椭圆E的方程． （2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与椭圆E交于C，D两点（不同于左右顶点），记直线AC的斜率为，直线BD的斜率为，问是否存在实常数，使得，恒成立？若成立，求出的值，若不成立，说明理由． 【答案】（1） （2）存在实数 【解析】 【分析】（1）根据焦点三角形面积及周长列方程求出,即可写出椭圆方程； （2）先设直线，再和椭圆联立方程组,结合韦达定理及斜率公式计算化简求解即可. 【小问1详解】 依题意，得，即， 解得，所以椭圆E的方程为． 【小问2详解】 依题意，可设直线l的方程为， 联立方程，化简整理，得， 易得恒成立， 设，，由韦达定理， 得，可得， 于是 ， 故存在实数，使得恒成立． 19. 双曲线 C： 的左、右焦点为 右顶点为A．⊙M 的圆心在x轴上，位于A的右侧，与双曲线C有且仅有一个公共点， （1）求⊙M 的最大半径为多少，及此时⊙M 的方程； （2）如图1，在（1）的条件下，过双曲线C上一点 P作⊙M 的切线，切点为Q，过P且垂直于x轴的直线与双曲线其中一条渐近线交于 R，求的最小值： （3）双曲线右支上一点 N 在右焦点 的正上方，如图2，将双曲线的左支绕y轴翻折． 使左右支所在的两个半平面所成的二面角大小为θ，若 过 N的直线m总与左支相交，以原双曲线所在坐标平面的O为原点，过O垂直于xOy 平面方向为z轴建立空间直角坐标系，求直线m的一个方向向量． 【答案】（1） （2） （3）或（其它共线的非零向量也可以） 【解析】 【分析】（1）由两点间距离公式可得，双曲线上任一点到圆心距离，由最小值在处取到，得对称轴，求得最大值，进而得到圆半径的最大值，求出圆的方程即可； （2）设，分别表示出，按点所在象限分类讨论.当在第一象限时，化简得，转化为动点到定直线的距离的倍求解，再利用几何意义求相切（最值状态）时的距离即可得，由对称性同理可得在第四象限时的最值； （3）结合旋转过程中不变性质，写出点坐标，消参结合双曲线方程得到动点满足方程，结合方向向量分别设点及对称情况下的坐标，由其总在左支上代入方程化简可得. 【小问1详解】 由题意及双曲线的对称性， 当半径最大时，公共点位于双曲线右顶点， 此时双曲线右支上任一点， 到圆心的最小距离恰好在顶点处取到， 由， 若的最小值在时取到， 则二次函数的对称轴，解得， 的半径. 当时，的最大半径为， 此时的方程为. 【小问2详解】 设，则， 因为以双曲线上，所以， 所以， 由题意，， ①点位于第一象限时， ，， 故，设直线， 故可看作是双曲线上的点到直线距离的倍. 设平行于的双曲线的切线为， 联立消得，， ，解得. 此时距较近的切线为，故两线距离为， 当且仅当时取到. 所以； ②当点位于第四象限时，由对称性可知，， 且，当且仅当时取到. 的最小值为. 【小问3详解】 注意到左半支双曲线旋转时，曲线上的任意一点绕作圆周运动， 轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故可在空间直角坐标系中设旋转后的点坐标为， 则，因为， 所以经过旋转后的点坐标满足， 由题意，，设直线的方向向量为， 则直线上任意点的坐标， 若总是在左支上，则， 化简得（） 同理，也在左支上，代入化简得 （） 则由两式分别相加减得，与， 由式子对任意成立， 则，且， 令，则. 故直线m的一个方向向量可以为或. （注意：其它与这两个向量共线的非零向量都可以） 【点睛】关键点点睛：解决此题有两个关键，一是将距离通过代数运算化简，再利用几何意义点线距及相切最值状态求解；二是挖掘不受的影响动点满足的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $