精品解析：福建省厦门第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

福建省厦门第一中学2024—2025学年度 第一学期期中考试 高二年数学试卷 满分： 150分 考试时间： 120分钟 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 写在本试卷上无效． 3． 考试结束后，考生只须将答题卡交回． 一、单选题：本大题8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个正确答案． 1. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若椭圆的焦点在轴上，其离心率为，则椭圆的短轴长为（ ） A. B. C. D. 3. 若，，三点共线，则（ ） A. 4 B. C. 1 D. 0 4. 如图，在直三棱柱 中，△ABC为等腰直角三角形， 且 则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（ ） A. B. C. D. 6. 若圆与圆恰有两条公共的切线，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为双曲线的右顶点，为坐标原点，为双曲线上两点，且，直线的斜率分别为4和，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 8. PA，PB，PC 是从点 P出发的三条线段，每两条线段的夹角均为PA=PB=PC=3，若M 满足 则点M 到平面PAB 的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，，则（ ） A. 的长轴长为4 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点坐标相同 10. 如图，在平行六面体中，为与的交点，设，则（ ） A. B. C. D. 11. 一条动直线与圆相切，并与圆相交于点A，B，点P为定直线上动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在直线，使得以为直径的圆与相切 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面α的一个法向量为 直线l的一个方向向量为 则直线l与平面α所成角的正弦值为_______________． 13. 圆与圆的公共弦所在直线被圆：所截得的弦长为__________． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆E的离心率为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置． 15. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程（一般式）. 16. 已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若从点发出的光线经过轴反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程. 17. 如图，四棱锥中，平面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值是，求的值； （3）若，在线段上是否存在一点，使得．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 18. 已知椭圆E的左、右焦点分别为，，点M在椭圆E上，，的周长为，面积为． （1）求椭圆E的方程． （2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与椭圆E交于C，D两点（不同于左右顶点），记直线AC的斜率为，直线BD的斜率为，问是否存在实常数，使得，恒成立？若成立，求出的值，若不成立，说明理由． 19. 双曲线 C： 的左、右焦点为 右顶点为A．⊙M 的圆心在x轴上，位于A的右侧，与双曲线C有且仅有一个公共点， （1）求⊙M 的最大半径为多少，及此时⊙M 的方程； （2）如图1，在（1）的条件下，过双曲线C上一点 P作⊙M 的切线，切点为Q，过P且垂直于x轴的直线与双曲线其中一条渐近线交于 R，求的最小值： （3）双曲线右支上一点 N 在右焦点 的正上方，如图2，将双曲线的左支绕y轴翻折． 使左右支所在的两个半平面所成的二面角大小为θ，若 过 N的直线m总与左支相交，以原双曲线所在坐标平面的O为原点，过O垂直于xOy 平面方向为z轴建立空间直角坐标系，求直线m的一个方向向量． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 福建省厦门第一中学2024一2025学年度 第一学期期中考试 高二年数学试卷 满分：150分考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效. 3.考试结束后，考生只须将答题卡交回. 一、单选题：本大题8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确答案， 1.若直线1的一个方向向量为(-√2，N6), 则它的倾斜角为() 4.1500 B1200 c60 D300 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知先求出直线的斜率，进而可求直线的倾斜角， 【详解】因为直线的一个方向向量为(-V2,V6) 第1页/共26页 6学科网命组卷网 k=- 6 =-√5 所以直线的斜率”√2 故直线的倾斜角为120° 故选：B 2.若椭圆Cm 1 C: =1(m>0)的焦点在y轴上，其离心率为3，则椭圆C的短轴长为（） A.2 B.4V2 c.2v3 D.8 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的离心率求出m，即可求得该椭圆的短轴长. 详解1对于椭C：m+9=(>O)】 由已知可得a=3,b=m,则c=Va2-b2=V9-m2, 椭圆c的离心率为e=C=V9-m】 a33,解得m=2√2，则b=2√2， 因此，椭圆C的短轴长为2b=4W2 故选：B. M(L,0,1)N(2,m,3)P(2,2,n+1 3.若 三点共线，则m+”=() A.4 B.-2 C.1 D.0 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量平行坐标关系计算求解即可. 1=m2 【详解】因为MN=(1,m,2),MP=(L,2,n),所以=2n, 解得m=n=2.故m+n=4. 故选：A 第2页/共26页 6学科网 命组卷网 ABC-AB,C中，△ABC为等腰直角三角形，且 AB=AC=AA=1 4.如图，在直三棱柱 则异面直 线B与4C 成角的余弦值为() B 3 5 A.2 B D.3 【答案】B 【解析】 【分析】建系，由异面直线夹角的向量法即可求解 3 C 【详解】 C 由题意如图建立空间直角坐标系， 可得：A(0,0,0,B(1,01),A(0,01),C(0,10) 则4B=(1,0,1)与AC=(0,1-) 所以c0s4B,4C=-】=1 √2×V22, 第3页/共26页 6学科网命组卷网 所以异面直线AB与A,C所成角的余弦值为2， 故选：B a,b 5.若点 关于直线y=2 的对称点在'轴上，则ab 满足的条件为() A.4a-3b=0 B3a-4h=0 c.2a-3b=0 D.3a-2b=0 【答案】B 【解析】 【分析1由已知，设点a,)关于直线”=2x的对称点为0，)，再由垂直直线的斜率关系和 (a,b)与点 (0,) 的中点在少2 上，建立方程组，即可得到30-46=0 【详解】因为点a6)关于直线y=2x； 2的对称点在》轴上， 设点(a 关于直线y=2 的对称点为(0) b-t ×2=-1 a-0 则有b+t =2×a+0,解得 2 2 3a-4b=0 故选：B. 6,若圆CG:x+y-2x+4y+m=0与圆C2:x+y+2x-1=0 有两条公共的切线，则m的取值范 围为() A.（-13,3) B.3,5) c（-o,5) D.（0,3) 【答案】A 【解析】 【分析】根据两圆的公切线性质，结合两圆的位置关系进行求解即可 第4页/共26页 命学科网命组卷网 【详解1由r+广-2x+4y+m=0→(x-P++2=5-m→5-m>0今m<5 所以G,-2),半径5-m 由+广+2x-1=0→(++y=2,所C1,0,半径为2， 因为圆G:r+)少-2x+4y+m=0与圆C,:x+少+2x-1=0合有两条公共的切线，所以这两个同 相交， 于是有5-m-V2<V++(-2}<5-m+2→-13<m<3,而m<5, -13,3) 所以的取值范围为 故选：A 7.己知A为双曲线 E:5-=1a>0,b>0的右顶点，O为坐标原点，B,C为双曲线E上两点， AB+AC=2A0,直线AB,AC的斜率分别为4和2，则双曲线E的离心率为() 5 哈 A.√5 B.2 C.2 D.2 【答案】A 【解析】 【分析】由MB+MC=2A0可得：0是BC的中点，即B,C 关于原点对称，然后设点 B(m,n) 9a m= 1 去表达直线 的斜率，联立方程组可解得 8a,最后把这点p9a8a、代入双曲 n= AB,AC B( C(-m,-n) 7 77 线方程E,就可以得到一个关于离心率的方程，并解得结果 第5页/共26页 学科网命组卷网 【详解】由B+AC=2A0可得：0是BC的中点，即B B,C 关于原点对称， 不妨假设 Bmm,则C-m,-0 1 由A(a,0)及直线AB,AC的斜率分别为4和2可得： n 9a -=4 m= m-a n=4m-4a 7 → -n 1 2n=m+a,联立解得： 8a, n= -m-a2 7 9a 8a B( 所以把点 77 代入双曲线方程E得： 2 9a 8a 7 81 64a2 =1→ 2 6 949e2-a1 64 32 再由e-二代入得：49(e-可49，解得：g=3: a .e>1,..e=v3 故选：A 8.PA,PB,PC是从点P出发的三条线段，每两条线段的夹角均为60°，PA=PB=PC=3,若M满足 PM=PA+PB+2PC, 则点M到平面PAB的距离为() A.V6 B.2V2 c.3v2 D.2V6 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，可得PABC是正四面体，并将其置于正方体中，再建立空间直角坐标系，利用空 间向量求出点到平面的距离。 第6页/共26页 学科网命组卷网 PA,PB,PC 【详解】由线段 两两的夹角均为60°，且PM=PB=PC,得PMBC是正四面体， 将正四面体PABC置于正方体中，使其棱分别为该正方体的面对角线，建立空间直角坐标系，如图， Z B 设该正方体的棱长为a:则a=3)2 2,P(0,0,0),A(a,0,a),B(a,a,0),C(0,a,a, PA=(a,0,a),PB=(a,a,0),PC=(0,a,a)PM=(2a,3a,3a) n.PA=ax+az=0 设平面 PAB 的法向叠n=ky则后-P=m+aw=0令x=-得n=,D 因此点M到面积。m的距离d=PM.n4a=2y6 nl 3 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9已知曲线G:4x2+3y2=48C:x2- 31 ,则() AC的长轴长为4 BC的渐近线方程为y=±5x c.C与C的离心率互为倒数 D.C与C的焦点坐标相同 第7页/共26页 6学科网6组卷网 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆方程和双曲线方程求得a,b,C,再逐项判断. 【1年1网5是名-1，我4=4的=25=2-吾-@-25@2) 因为92：x2y2」 =1，所4=l6=V5g=2%=经=2(-2.0)，E(2,0) a 所以G的长轴长为8，故A错误： C的渐近线方程为)=士3x,故B正确， C与C的离心率互为倒数，故C正确： G与C的焦点坐标不相同，故D错误： 故选：BC 10. 如图，在平行六面体 ABCD-AB,CD中 AB=AD=AM=1,AB⊥AD,∠AAD=∠AAB=60,P为AD与AD,的交点，设 AB=a,AD=b,AA=C,则() D A B P A.AG=a+b-c B.BD=-a+b+c 第8页/共26页 6学科网6组卷网 alr-i D.AG-PC=5 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形计算即可求解 【详解】A,AC=B+BC+CC=ā+6+8，故A错误： B:BD=BD+DD=AD-AB+AA=-G+6+C,故B正确， ca6-a6d=jeaow60-3ac=llcosw-. 又 r=m+0=Pi+0+Dc=号0++DcC=44+0+Dc=a+5-】 所u网-a+6-j-0+5+4+5a6-a-5e 2,故C错误； D.AGP-a 21 4,故D正确. 故选：BD D B D A B 1L.一条动直线与圆女+少=相切，并与圆+少=25相交于点4，B,点P为定直线 12:x+y-10=0 上动点，则下列说法正确的是() 第9页/共26页 6学科网命组卷网 A.存在直线1，使得以AB为直径的圆与？相切 BIPM+PB的最小值为150-20N2 CAP.PB的最大值为27+10W2 D.IPA+|PB的最小值为8W5 【答案】BCD 【解析】 AB 【分析】对A,数形结合求出点M到直线2距离的最小值与2 比较可判断：对B,C,根据向量数量 积运算结合PM≥5V2-1,运算得解判断：对D,直线马上点P使得PA+PB最小等同于求直线 x=52上一点2，伦4+8的最小值问愿，设M(,）,4(),B(,乃），利用直线对称列 式运算求解。 【详解】设线段4B的中点为M,根据圆的对称性可知点M在圆女+少=1上， 10 则PA+PB=2PM,坐标原点0到直线马2的距离为√2 =52 由图易知|PM≥5W2-1,AB=2V52-1=46 对于A,点M到直线4距离的最小值为5V2-1,且5√2-1>26=28 所以以AB为直径的圆与2相离，故A错误： 对c,PAm-i+m-(i-m] 第10页/共26页 6学科网6组卷网 =42Pw-4ai-Pw-24 .AP.PB=24-PM≤24-(52-1=102-27，故c正确， 对于B.(2PW-(A+阿=Pf+m+2PA-m=P㎡+m+2wf-2 :P+PB=2PM+4822(52-+48=-150-202,故B正确： 对于D,由于4B两点在圆+y广=25上，且48=4W6,点0到直线4的距离52，求直线4上点 P使得PA+PB最小等同于求直线x=5V2上一点2,4+8的最小值问慰， 设M(),A(,H）,B(,),点B关于直线x=5V2对称点为月， 则B(02-名，h),直线AB:ox+oy=1,+乃=1， xox+yoy=1 由x2+y2=25,消去y整理得6x2+(1-xx)-25, n(6+8)x2-2xx+1-25%=0,即x2-2xx+1-25=0, x+x=2x,6=1-256,同理为+乃=2%，%=1-25， (PA+|PB=(leA+№B=(eA+l№B,月 =48=[102-(+x]+- =(102-2x+(+}-44 =(102-2xj+4听-41-25x) =100x-40W2x+200.-1≤，≤1 第11页/共26页 6学科网命组卷网 (PA+PB)2的最小值 4×100×200-(-40W2} =192, 4×100 所以PA+PB的最小值为8V5,故D正确， 故选：BCD, V 【点睛】关键点点睛：本题D选项解题的关键是将求直线上点使得 P4+PB最小值转化为求直线x=5V2上一点2,4+B的最小值问题 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知平面a的一个法向量为元=(L2,)直线1的一个方向向量为成=(，0,1)则直线1与平面a所成 角的正弦值为 5 【答案】3 【解析】 【分析】利用直线与平面所成角的空间向量坐标公式计算. 【详解】设直线I与平面α所成角为B, 所以sin0cos<元，元米1xI+2x0+1x1_V5 V1+4+1V1+0+13: √3 故答案为：3 13.圆G:+y=l与圆C:x+y-2x-2y+1=0的公共弦所在直线被圆G: 第12页/供26页 命学科网 组卷网 x-22+0y-12=25 4所截得的弦长为 【答案】 17 【解析】 【分析】根据圆与圆相交得公共弦所在直线方程，再根据直线与圆相交弦长公式可得结论 【详解】西G:+y-与图C:+广-2x-2y+1=0的两方程作差得2x+2y-2=0 即公共弦所在直线方程为x+y-1=0 又圆6x-2+0-1y=25 5 的圆心为2，)，半径 所以风心（到直线x+y-1=0的鸡d-2=5 √2 则厦G枚直线+y-1=0所载得的毯长为2P-=2因-2=7 故答案为： √7 :y 14已知椭圆E:。十存=1a>6>0)的左、有焦点分别为，乃，P为艇圆上不与顶点重合的任意一点， 1为△PFE的内心，记直线OP,O的斜率分别为k,k,若无=k 42,则椭圆E的离心率为 【答案】4#0.25 【解析】 【分析】由椭圆的性质结合题意得到 T=x+c,再由椭圆的第二定义得到PE=a-e,解出 第13页/供26页 6学科网列组卷网 飞=%，然后由等面积法得到C+a,最后∥ 5 k1=k3 4“2解出即可： 【详解】设P(,,1(）,设圆与P,PEx轴相切于点MNT 所以PM=PN,EM=ET,E,N=E,T 所以FT+PW+ME=a+c 即lFT+P=a+c,又lFT=x+c 由椭圆的第二定义可知PF=a-e, 所以F=a+c-(a-e）,所以x=e, 由等面积法得到22a+2c=2×20、 1 所以出 c+a. Cyo 因为，5，所以 yo=5xate ，所以 ,即1 k= e= 4 a a=4c 故答案为：4 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能利用椭圆的第二定义得到PF=Q一后再结合椭圆的性质和 第14页/供26页 6学科网列组卷网 m+m+8所求=孕2 c+a 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解 答过程填写在答题卡的相应位置. 15.已知直s线4：2x+3y-2=0.4,mr+(2m-1)y+1=0 其中m为实数 1)当少时，求直线，5之间的距离 (2)当m=1时，求过直线，的交点，且垂直于直线x-2y+4=0 的直线方程（一般式）· 313 【答案】(1)13 2x+y+6=0 (2) 【解析】 【分析】(1)直接根据两直线平行的公式计算出m,再由两直线间的距离公式求解即可： (2)求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可 【小问1详解】 由/4得2(2m-)=3m,解得m=2, 此时直线人：2x+3y-2=0,6:2x+3y+1=0,4,凸不重合， -2-1313 则直线1，，之间的距离为√4+913； 【小问2详解】 当m=1时，：x+y+1=0 2x+3y-2=0 联立x+y+1=0,解得x=-5,y=4, 第15页/供26页 6学科网命组卷网 1 又直线x-2y+4=0斜率为2， 故过直线4，的交点，且垂直于直线x-2y+4=0的直线方程为y-4=-2(x+5), x+y+6=0 即 16已知圆C过点A(4,0),B(0,4),且圆心C在直线：x+y-6=0上 (1)求圆C的方程： (2)若从点M(4,)发出的光线经过x轴反射，反射光线4恰好平分圆C的圆周，求反射光线马的一般方 程 【答案】(1)(x-3)2+(0y-3)2=10 4x+y-15=0 (2) 【解析】 【分析】(1)先求AB的垂直平分线方程CD,联立直线I的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得 出圆的标准方程； (2)根据点M(4,关于x轴对称的求得对称点N(4,-), 利用直线点斜式方程即可得出结果。 【小问1详解】 由A(4,0),B(0,4),得直线AB的斜率为 0-4=-1 4-0 线段中点D(2,2)所以k=1,直线CD的方程为y-2=x-2. x+y-6=0 x=3 即y=x,联立y=x,解得y=3,即C(3,3), 所以半径r=AC=V(4-3)2+(0-3)}=V10 第16页/供26页 学科网命组卷网 所以圆C的方程为x-3)+0-3)2=10: 【小问2详解】 M(4)关于x轴的对称点为N(4,-), 由恰好平分圆C的圆周，得4经过圆心C(3,3), 3+1 飞=3-44,4的方程为：y-3=4(x-3到，即4+y-15=0. 17.如图，四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面ABP, BCI AD,.∠PAB=90，°PA=AB=2,AD=3,BC=m.E是PB的中点. D (1)证明：AE⊥平面PBC: √3 (2)若二面角C-AE-D的余弦值是3，求m的值； (3)若m=2,在线段AD上是否存在一点F,使得PF⊥CE.若存在，确定F点的位置；若不存在， 第17页/共26页 学科网组卷网 说明理由. 【答案】(1)因为AD⊥平面PAB,BC∥AD 所以BC⊥平面PAB, 又因为AEC平面PAB,所以AE⊥BC 在△PAB中，PA=AB,E是PB的中点， 所以AE⊥PB 又因为BCOPB=-B,BC,PBC平面PBC, 所以AE⊥平面PBC (2)1 (3)结论：不存在.理由如下： 证明：设F(0,0,)(0≤1≤3) 当m=2时，C(0,02),PF=（-20,),CE=(,-1,-2)】 由PF1CE知PF.亚=0,2-21=0,1=-，这与0≤1≤3茅盾， 所以在线段AD上不存在点F,使得PF⊥CE, D A 【解析】 【分析】(1)推导 BC上平面PMB.ELBC,4C1B.白此能明4E上平面PBC 第18页/供26页 可学科网命组卷网 A-xyZ (2)建立空间直角坐标系 ,利用向量法能求出”的值： (3)设F(00,0≤1≤3)，当m=2,C(00,2.PF=(2,0,.CE=(,-,-2),由PF1CE知， P所.C匠=0,2-21=0,1=-1，这与0≤1≤3不盾，从而在线段AD上不存在点F,使得PF1CB. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为ADL平面PMB.B,PAC平面 PAB AD⊥AB,AD⊥PA 所以 又因为PA⊥AB, A-xyz 所以如图建立空间直角坐标系 则A0,00,B(02,0),C(0,2,m,E1,10),P(2,00,D(0,0,3) 则4c=(02,m),AE=(1,10)】 设平面BC的法向量为月=(x少2) AC.n=0 2y+mz=0 则A正方=0即{ x+y=01 令x=1,则y=1,2=2 m 散--1别 因为AD⊥平面PAB,PBC平面PAB, 所以AD⊥PB 又ME⊥PB ADOAE=4AD,4EC平面ABD 第19页/共26页 命学科网命组卷网 所以PB⊥平面AED 又因为PB=(-22,0) 所以取平面AED的法向量为PB=(-2,2,0) n.PB√5 PB 3 -2-2 V3 则22+ 3,解得 2=1 又因为m>0,所以m=1: 【小问3详解】 略 18已知椭圆E的左、右焦点分别为（←c,),B(c,0c>0),点M在椭圆B上，M1F5, 1 △MF的周长为4+23，面积为2C. (1)求椭圆E的方程. (2)设椭圆B的左、右顶点分别为A,B,过点(，0)的直线1与椭圆E交于C,D两点（不同于左右顶 点)，记直线AC的斜率为，直线D的斜率为：，问是否存在实常数入，使得k= 恒成立？若 成立，求出九的值，若不成立，说明理由. x 【答案】(1)4+y=1 (2)存在实数3 第20页/共26页 6学科网6组卷网 【解析】 a,b 【分析】(1)根据焦点三角形面积及周长列方程求出，即可写出椭圆方程； k=片为-2 (2)先设直线，再和椭圆联立方程组，结合韦达定理及斜率公式计算k2x+2y化简求解即可 【小问1详解】 2a+2c=4+2W3 a+c=2+V3 依题意，得 b2b21。,即b2_1 2c 2 =一·C=一C aa 4 a2 a2=4 x2 解得B-1,所以椭圆E的方程为4+少=L, 【小问2详解】 x=y+1 依题意，可设直线1的方程为 x2 +y2=1 联立方程 4 =+1·化简整理，得（仁+4y+20-3=0 易得△>0恒成立， 设C(,),D(:乃）)，由韦达定理， -2t y+y2=?+4 得 -3，可得， yy2=2+4 3 =2(y+h) 第21页/供26页 6学科网 命组卷网 k=y5-2 于是k2x+2y2 (玉-2)_(，-1)y (x+2)y2(y1+3)y2 =出-片 26+月 tyiy2+3y2 2y+)+35 13 =2+ 2(03+35) 1 39 2%+2 +3 3, 1 = 故存在实数 3,使得k=k2恒成立. y=1 19.双曲线C:93一的左、右焦点为F、F2,右顶点为A.⊙M的圆心在x轴上，位于A的右侧， 与双曲线C有且仅有一个公共点， 图1 m 22 图2 第22页/供26页 命学科网命组卷网 (1)求⊙M的最大半径为多少，及此时⊙M的方程： (2)如图1，在(1)的条件下，过双曲线C上一点P作⊙M的切线，切点为Q,过P且垂直于x轴的直 线与双曲线其中一条渐近线交于R,求P四+PA的最小值： (3)双曲线右支上一点N在右焦点F2的正上方，如图2，将双曲线的左支绕y轴翻折.使左右支所在 的两个半平面所成的二面角大小为日，若V8≠0，过N的直线总与左支相交，以原双曲线所在坐标平 面的O为原点，过O垂直于xOy平面方向为z轴建立空间直角坐标系，求直线的一个方向向量. 【答案】(1)(x-4)}2+y2=1 (2)2W6-2V3 3)（5,23）威(V5,2,-3) (其它共线的非零向量也可以) 【解析】 【分析】(1)由两点间距离公式可得，双曲线上任一点到圆心距离 4 3 PM-36-2m,+m-3(:≥3引，由最小值在=3处取到，得对称轴x=m≤3，求得m最大 值，进而得到圆半径的最大值，求出圆的方程即可： (2)设P(,%),分别表示出PO,PR,按点P所在象限分类讨论当P在第一象限时，化简得 IP2I+|PR=V3x-⅓-2W3 转化为动点P到定直线的距离的2倍求解，再利用几何意义求相切（最 值状态)时的距离即可得，由对称性同理可得在第四象限时的最值： x=x cos0 (3)结合旋转过程中不变性质，写出点坐标y= 消参结合双曲线方程得到动点 Yo z=±x。sin0 x2 y2 22 P心x,列清足方程)3+)1，结合方向向量分别设点E及对称情视下的坐标，由其总在左支上代 第23页/供26页 6学科网列组卷网 入方程化简可得. 【小问1详解】 由题意及双曲线的对称性， 当⊙M A(3,0) 半径最大时，公共点位于双曲线右顶点 此时双曲线右支上任一点 P(Xo2 Yo) M(m,0)(m>3) A(3,0) 到圆心 的最小距离恰好在顶点 处取到， 台Pw--mr+g--+季3-话-2减+m-3≥). 3 若PM的最小值在=3时取到， 3 厕上次函数y3号2m+m3 x= m≤3 的对称轴4 ,解得m≤4， ⊙M r=m-3≤1 的半径 当ms4 ⊙M 时， 的最大半径为， 此时⊙M的方程为(x-4)+y2=1 【小问2详解】 设P(xo),则Pg=VPM2-M2=V(,-3+-1, 因为P为以双街线上，所以公-专-3 3 P@-,6-4+昏31--+2-32y53 .p网-.对小9 第24页/共26页 6学科网列组卷网 ①点P位于第一象限时， 救PO+PR3x--25,设直线：V3x-y-23=0, 故lPI+|PRFV3x-6-2W 可看作是双曲线上的点到直线距离的2倍 设平行于I的双曲线的切线为y=V3x+1, y=√3x+t 联立x少=1消得， (93y8x2+63x+32+9=0 a=1082-96+3)=1212-288=0,解得1=±2V6 此时距l较近的切线为y=V5x-2V6,故两线距离为V6-V3 92V6 当且仅当。=4% 4时取到 所以(PO+|PR)=26-2V3 ②当点P位于第四象限时，由对称性可知，IP|+|PR=V3x,+。-2V3 =9V2 6 且0P1+|PR)m=2V6-25,当且仅当=4=-4时取到 IPO1+PR1的最小值为26-25 【小问3详解】 注意到左半支双曲线旋转时，曲线上的任意一点 P(xo,o)绕0，)作圆周运动， 轨迹是以0，W)为圆心，而为半径的圆， 第25页/供26页 命学科网组卷网 故可在空间直角坐标系中设旋转后的P点坐标为 P(x,y,z) x=xo cos0 则y= z=±x,sin0 因为始_6=1 93 x2 y2 22 所以经过旋转后的点P坐标满足9一3+g=1, 由题意， N(2N51,0,设直线m的方向向量为m=(a,b,c), 则直线上在意点的坐标E2V3+a,l+b,c4),1eR 若E总是在左支上，则(25+am-31+b+(c}=9, 化简得（a2+c2-362)rP+(4W5a-6b)t=0(*) 同理，E'(25-al-b,-4)1eR也在左支上，代入化简得 (a2+c2-362)r2-(43a-6b)=0) 则由*·两式分别相加减得，（口+2-362）P=0与(23a-3b)f=0. 由式子对任意t∈R成立， 则a+c2-3b2=0,且25a-3b=0」 令a=5.则b=2,c=3 故直线m的一个方向向量可以为m=(N5,2,3)或(V32,-3) (注意：其它与这两个向量共线的非零向量都可以) 【点睛】关键点点睛：解决此题有两个关键，一是将距离通过代数运算化简，再利用几何意义点线距及相 切最值状态求解；二是挖掘不受8的影响动点满足的关系 第26页/供26页