专题21 分式求值技巧-2024-2025学年八年级数学提优专题举一反三训练及试卷测试（人教版）

专题21 分式求值技巧（解析版） 类型一 化简分式先通分再约分，直接代入求值 【例1】（2024•宁夏）先化简，再求值：（），其中a． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，代入计算即可求出值． 【解答】解：原式 当时，原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是选择正确的计算方法，对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握． 【巩固训练】（2024秋•肇州县月考）先化简，然后从﹣3，0，2，3中选一个合适的数代入求值． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把使得原分式有意义的m的值代入计算即可． 【解答】解： • ＝（m﹣3）﹣2（m+3） ＝m﹣3﹣2m﹣6 ＝﹣m﹣9， ∵（m+3）（m﹣3）≠0，m≠0， ∴m≠±3，0， ∴m＝2， 当m＝2时，原式＝﹣2﹣9＝﹣11． 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 类型二 化简分式先约分再通分，直接代入求值 【例2】（2024•恩施州）先化简，再求值：（），其中m． 【分析】根据分式的混合运算法则，先化简括号内的，将除法运算转化为乘法运算，再化简成最简分式，代入m值求解即可． 【解答】解： ； 当时， 原式． 【点评】本题主要考查了分式的化简求值以及二次根式的化简，熟练掌握分式的混合运算法则是解答的关键． 【巩固训练】（2024秋•静安区期中）计算：先化简，再求值：，其中． 【答案】，1． 【分析】先计算括号，再计算乘除，最后代入求值． 【解答】解：原式 ， 当x1时，上式1． 【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． 类型三 化简分式运用乘法分配律，直接代入求值 【例3】（2023秋•新华区期中）（1）先化简，再求值：，其中x． 【分析】先根据分式加法法则、乘法法则进行计算，再代入数值进行计算即可； 【解答】解：（1） ＝x﹣1+x+1 ＝2x， 把代入得：原式； 【点评】本题主要考查了分式化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【巩固训练】先化简，再求值：，其中x． 【分析】根据分式混合运算法则进行计算，再代入数值进行计算即可． 解： ； 把代入得：原式． 【点评】本题主要考查了分式化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 类型四 巧妙变形、设参或整体代入求值 【例4】（2023秋•南岗区月考）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式x2的值． 解：∵， ∴4． 即4． ∴x4． ∴x22＝16﹣2＝14． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值． 解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）， 则x． ∴． 根据材料回答问题： （1）已知，求x2的值； （2）已知（abc≠0），求的值； （3）已知x、y、z为实数，，求分式的值． 【分析】（1）由题意易得，即，进而根据完全平方公式可进行求解； （2）由题意可设a＝5k，b＝4k，c＝3k，然后代入求解即可； （3）利用倒数法、分式的约分法则计算求出，把原式变形代入计算即可得出答案． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）由可设a＝5k，b＝4k，c＝3k， ∴； （3）∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查完全平方公式及分式的通分和约分，熟练掌握完全平方公式及分式的通分与约分是解题的关键． 【巩固训练】 1．若a，b，c满足：a+b+c＝3，a2+b2+c2＝4，则的值为（　　） A．9 B．12 C．6 D．3 【分析】先根据题意得出a2+b2＝4﹣c2，b2+c2＝4﹣a2，a2+c2＝4﹣b2，再代入代数式进行计算即可． 【解答】解：∵a2+b2+c2＝4， ∴a2+b2＝4﹣c2，b2+c2＝4﹣a2，a2+c2＝4﹣b2， ∴原式 ＝2+c+2+a+2+b ＝a+b+c+6， ∵a+b+c＝3， ∴原式＝3+6＝9． 故选：A． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 2．（2024秋•宽城区期中）已知，且2b﹣d+5f≠0，则　　． 【分析】由于，那么可得a，c，e，把a、c、e的值同时代入所求的代数式中即可求值． 【解答】解：∵， ∴a，c，e， ∴1． 故答案是． 【点评】本题利用了整体代入、分式化简的有关知识． 3．已知a+b＝5，ab＝3，则的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再利用整体代入的思想代入进行计算即可． 【解答】解： ， ∵a+b＝5，ab＝3， ∴原式． 故选：B． 【点评】本题考查分式的化简求值，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 4．（2024春•历下区期中）已知：a+x2＝2018，b+x2＝2024，c+x2＝2035，且abc＝159，则　　． 【分析】根据a+x2＝2018，b+x2＝2024，c+x2＝2035，可以得到a﹣b＝﹣2，a﹣c＝﹣17，b﹣c＝﹣15，然后将所求式子变形，即可求得所求式子的值． 【解答】解：∵a+x2＝2018，b+x2＝2024，c+x2＝2035， ∴a﹣b＝﹣2，a﹣c＝﹣17，b﹣c＝﹣15， ， ∵a﹣b＝﹣2，a﹣c＝﹣17，b﹣c＝﹣15，abc＝159， ∴原式， 故答案为：． 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 5．已知3，求分式的值．（提示：分式的分子与分母同除以ab）． 【分析】根据分式的基本性质，分式的分子分母都除以ab，分式的值不变，再把换成3计算即可． 【解答】解：分式的分子分母都除以ab，得 ， ∵3， ∴3， 所以原式． 【点评】本题利用分式的基本性质，分子分母都除以ab，巧妙运用已知条件是解本题的关键，也是解本题的突破口． 6．（2021春•奉化区期末）阅读理解： 【例】已知x3，求分式的值． 解：因为4＝3﹣4＝﹣1，所以1． 【活学活用】 （1）已知a5，求分式的值． （2）已知b3，求分式的值． （3）已知x5，求分式的值． 【分析】（1）先求出2（a）+5，再代入求出即可； （2）先求出3（b）﹣4，再代入求出即可； （3）先求出x2，再代入求出即可． 【解答】解：（1）∵a5， ∴ ＝2a+5 ＝2（a）+5 ＝2×（﹣5）+5 ＝﹣5； （2）∵b3， ∴ ＝3b﹣4 ＝3（b）﹣4 ＝3×（﹣3）﹣4 ＝﹣13， ∴； （3）∵x5， ∴ ＝x+1﹣3 ＝x2 ＝﹣5﹣2 ＝﹣7， ∴． 【点评】本题考查了分式的除法和求值、倒数等知识点，能够选择适当的方法求解是解此题的关键，采取求倒数法． 类型五 巧妙变形、取倒数代入求值 【例5】（2024春•沭阳县月考）阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知x≠0，∴，即． ∴ ∴ 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法“解决下面问题： （1）已知，，，求的值； （2）已知，求的值． 【分析】（1）将已知条件化为，，，求出的值，再求出即可； （2）将取倒数得到x3，根据x2+1（x）2﹣2+1求出其值，再取倒数即可． 【解答】解：（1）∵，，， ∴，，， 即，，， ∴（）， 又∵， ∴； （2）∵， ∴2， 即x﹣12， ∴x3， 又∵x2+1（x）2﹣2+1＝9﹣2+1＝8， ∴． 【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 【巩固训练】（2024春•源城区月考）已知a、b、c为实数，且，，，求的值． 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：∵，，， ∴3，4，5， ∴上述三式相加可得：12， ∴6， ∴6， ∴， 【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于中等题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21 分式求值技巧（原卷版） 类型一 化简分式先通分再约分，直接代入求值 【例1】（2024•宁夏）先化简，再求值：（），其中a． 【巩固训练】（2024秋•肇州县月考）先化简，然后从﹣3，0，2，3中选一个合适的数代入求值． 类型二 化简分式先约分再通分，直接代入求值 【例2】（2024•恩施州）先化简，再求值：（），其中m． 【巩固训练】（2024秋•静安区期中）计算：先化简，再求值：，其中． 类型三 化简分式运用乘法分配律，直接代入求值 【例3】（2023秋•新华区期中）先化简，再求值：，其中x． 【巩固训练】先化简，再求值：，其中x． 类型四 巧妙变形、设参或整体代入求值 【例4】（2023秋•南岗区月考）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式x2的值． 解：∵， ∴4． 即4． ∴x4． ∴x22＝16﹣2＝14． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值． 解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）， 则x． ∴． 根据材料回答问题： （1）已知，求x2的值； （2）已知（abc≠0），求的值； （3）已知x、y、z为实数，，求分式的值． 【巩固训练】 1．若a，b，c满足：a+b+c＝3，a2+b2+c2＝4，则的值为（　　） A．9 B．12 C．6 D．3 2．（2024秋•宽城区期中）已知，且2b﹣d+5f≠0，则　　． 3．已知a+b＝5，ab＝3，则的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 4．（2024春•历下区期中）已知：a+x2＝2018，b+x2＝2024，c+x2＝2035，且abc＝159，则　　． 5．已知3，求分式的值．（提示：分式的分子与分母同除以ab）． 6．（2021春•奉化区期末）阅读理解： 【例】已知x3，求分式的值． 解：因为4＝3﹣4＝﹣1，所以1． 【活学活用】 （1）已知a5，求分式的值． （2）已知b3，求分式的值． （3）已知x5，求分式的值． 类型五 巧妙变形、取倒数代入求值 【例5】（2024春•沭阳县月考）阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知x≠0，∴，即． ∴ ∴ 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法“解决下面问题： （1）已知，，，求的值； （2）已知，求的值． 【巩固训练】（2024春•源城区月考）已知a、b、c为实数，且，，，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$