2024-2025学年人教版八年级数学上册点拨训练第14章 第12讲 因式分解--提公因式法

2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第14章 第12讲 因式分解--提公因式法 学习目标 1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系. 2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式. 重点：用提公因式法分解因式. 难点：如何确定多项式中的公因式以及提取公因式注意事项. 老师告诉你 公因式的确定方法： 1.系数：取各项系数的最大公约数；2.字母（或多项式）：取各项都含有的字母（或多项式）；3.指数：取相同字母（或多项式）的最低次幂的指数，公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是单项式。 分解因式时，第一项的系数是负数时，可先提取“-”号，当公因式与多项式的某一项相同时，提公因式后剩余项为1，不要漏掉。 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1 因式分解概念 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 特别说明： （1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 【新知导学】 例1-1．下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解（   ） A． B． C． D． 例1-2．有两个式子①；②，对于从左到右的变形的判断，正确的是（        ） A．①是整式乘法 B．②是因式分解 C．①、②均是因式分解 D．①、②均不是因式分解 【对应导练】 1．根据下边图形写一个关于因式分解的等式 ．    2．下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 知识点2 公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 特别说明： （1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的 【新知导学】 例2-1．整式，，下列结论： 结论一：． 结论二：，的公因式为． 下列判断正确的是（   ） A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一、结论二都正确 D．结论一、结论二都不正确 例2-2．下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【对应导练】 1．对多项式进行因式分解，第一步需提取公因式，为使后续能迅速判断能否继续再分解，这个公因式应该是 °． 2．（1）多项式的公因式是 ； （2）多项式的公因式是 ； （3）多项式的公因式是 ； （4）多项式的公因式是 ． 知识点3 提公因式法因式分解 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 特别说明： （1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误 【新知导学】 例3-1．把分解因式，正确的是（    ） A． B． C． D． 例3-2．若M是一个单项式，且，则 例3-3 .因式分解： （1） （2） 【对应导练】 1．把提公因式后，其中一个因式是（a－b），则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 2．若，则E是（    ） A． B． C． D． 3．多项式“”分解因式的结果为，则原多项式中“”处所缺的项为 ． 4．分解因式： 5．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 二、题型训练 1.利用提公因式法因式分解 1．用提公因式法将下列各式分解因式： (1)； (2)． 2．因式分解：． 2.利用提公因式法计算 3．利用因式分解计算：． 4．利用因式分解计算： (1) (2) 3.利用提公因式法求值 5．已知，，求代数式的值． 6．已知，用因式分解法求的值． 7．已知，，求的值． 4 .利用因式分解求参数 8．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 9．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ． 解得：， ∴另一个因式为，的值为， 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为________，得：=________， 则 ． 解得：=________，=________． 另一个因式为________，的值为________． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 10．已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，求的值． 三、课堂达标 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．已知，则代数式的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 3．把多项式分解因式，结果是（   ） A． B． C． D． 4．若、、是的三条边，且，则一定是（   ） A．直角三角形 B．三条边都不相等的三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 5．下列多项式中，没有公因式的是（  ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．若，则的值为（   ） A．9 B．16 C．20 D．25 7．若可以分解为，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 8．下列从左边到右边的变形，其中是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．因式分解： ． 10．计算 ． 11．已知，则 ． 12．多项式的公因式是 ． 13．分解因式的结果为 ． 三、解答题（每小题8分，共48分） 14．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？ （1）；（2）； （3）；（4）． 15．分解因式： (1) (2) 16．解方程． 17．先化简，再求值：，其中，． 18．已知，．试求：（1）的值；（2）的值． 19．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即，∴，解得． 故另一个因式为，m的值为-21． 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第14章 第12讲 因式分解--提公因式法（解析版） 学习目标 1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系. 2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式. 重点：用提公因式法分解因式. 难点：如何确定多项式中的公因式以及提取公因式注意事项. 老师告诉你 公因式的确定方法： 1.系数：取各项系数的最大公约数；2.字母（或多项式）：取各项都含有的字母（或多项式）；3.指数：取相同字母（或多项式）的最低次幂的指数，公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是单项式。 分解因式时，第一项的系数是负数时，可先提取“-”号，当公因式与多项式的某一项相同时，提公因式后剩余项为1，不要漏掉。 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1 因式分解概念 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 特别说明： （1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 【新知导学】 例1-1．下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，理解分解因式概念是解题的关键． 【详解】解：A、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B、等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 例1-2．有两个式子①；②，对于从左到右的变形的判断，正确的是（        ） A．①是整式乘法 B．②是因式分解 C．①、②均是因式分解 D．①、②均不是因式分解 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义和整式乘法的定义进行逐一判断即可：把一个多项式变形为几个整式积的形式叫做因式分解． 【详解】解：观察可知式子和都不是因式分解，且式子也不是整式乘法， 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟知相关定义是解题的关键． 【对应导练】 1．根据下边图形写一个关于因式分解的等式 ．    【答案】 【分析】根据图形的面积大长方形的面积，又等于各部分的面积之和，即可得到等式． 【详解】解：图形的面积， 又图形的面积， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，用两种方法求出大长方形的面积是解题的关键． 2．下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 【答案】③④⑥ 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解． 【详解】解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意； ②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意； ③是因式分解，故符合题意； ④是因式分解，故符合题意； ⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意； ⑥是因式分解，故符合题意； 故答案为：③④⑥． 【点睛】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 知识点2 公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 特别说明： （1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的 【新知导学】 例2-1．整式，，下列结论： 结论一：． 结论二：，的公因式为． 下列判断正确的是（   ） A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一、结论二都正确 D．结论一、结论二都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，公因式的定义；根据单项式乘以多项式，公因式的定义，判断即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，故结论一正确； ∵， ∴，的公因式为，故结论二不正确； 故选：A． 例2-2．下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了公因式的概念，正确理解公因式是解题的关键． 根据公因式的概念逐一判断选项即可． 【详解】A、和的公因式是，不符合题意； B、和，没有公因式，符合题意；     C、和的公因式是，不符合题意； D、和的公因式是5，不符合题意； 故选B． 【对应导练】 1．对多项式进行因式分解，第一步需提取公因式，为使后续能迅速判断能否继续再分解，这个公因式应该是 °． 【答案】 【分析】根据公因式是每项都含有的因式，可得答案． 【详解】解：的公因式是： 故答案为： 【点睛】本题考查了公因式，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 2．（1）多项式的公因式是 ； （2）多项式的公因式是 ； （3）多项式的公因式是 ； （4）多项式的公因式是 ． 【答案】 3 4m 【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，它们的乘积就是公因式． 【详解】解：（1）多项式的公因式就是3、6、3的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含字母．公因式为3； （2）多项式的公因式的系数是4、16、8的最大公约数4，字母部分是m，所以公因式为4m； （3）多项式的公因式是（），为一个多项式因式； （4）多项式可变形，其公因式是， 故答案为：3；4m；；． 【点睛】本题主要考查了公因式的确定，熟练掌握公因式的定义和公因式的确定方法是解题的关键．确定公因式一定要从系数、字母及字母的指数三方面入手，公因式可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式，互为相反数的因式可变形为公因式． 知识点3 提公因式法因式分解 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 特别说明： （1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误 【新知导学】 例3-1．把分解因式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用提取公因式法分解即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，注意提取公因式时要一次提完． 例3-2．若M是一个单项式，且，则 【答案】 【分析】通过因式分解，，求得． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解与整式乘法；通过因式分解将多项式化为两个代数式的积的形式是解题的关键． 例3-3 .因式分解： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解， （1）利用提公因式法即可求解； （2）利用提公因式法即可求解． 【详解】解： （1）原式 （2）原式 【对应导练】 1．把提公因式后，其中一个因式是（a－b），则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先提取公因式 把原式分解因式，从而可以得到另一个因式． 【详解】解： 另一个因式是5-m． 故选B 【点睛】本题考查的是提公因式法分解因式，掌握“利用提公因式的方法分解因式”是解本题的关键． 2．若，则E是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察等式的右边，提取的是，故可把变成，即左边＝． 【详解】解：， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了利用提取公因式法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握提公因式法． 3．多项式“”分解因式的结果为，则原多项式中“”处所缺的项为 ． 【答案】 【分析】将进行计算，再与前面多项式进行比较即可得答案． 【详解】解：， 所以“” 处所缺的项为， 故答案为： 【点睛】本题考查了因式分解及整式的运算，解决本题的关键是熟练掌握提公因式法进行因式分解． 4．分解因式： 【答案】 【分析】先把原式化为：，再提取公因式分解因式即可. 【详解】解： 【点睛】本题考查的是提公因式分解因式，掌握“公因式的确定，特别是互为相反数的两个因式的互相转换”是解题的关键. 5．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】前3个小题直接提取公因式即可； 后3个小题，先分别变形，变形后可直接提取公因式． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式，当多项式中有互为相反数的因式时，可通过变形，使多项式有公因式．一般常见的两种变形为：及． 二、题型训练 1.利用提公因式法因式分解 1．用提公因式法将下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键； （1）提公因式法提取分解因式即可求解； （2）提公因式法提取分解因式即可求解； 【详解】（1）解： （2）解： ． 2．因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 利用提公因式法解答，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ． 2.利用提公因式法计算 3．利用因式分解计算：． 【答案】． 【分析】利用提公因式法因式分解求解即可． 【详解】解 ． 4．利用因式分解计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考核因式分解法简化有理数混合运算的题目，解题的关键是掌握因式分解的方法． （）利用提取公因式法提取可简化计算． （）利用完全平方公式进行因式分解计算． 【详解】（1）， ， ， ； （2）， ， ， ， ． 3.利用提公因式法求值 5．已知，，求代数式的值． 【答案】21 【分析】本题考查了因式分解、代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．先利用提取公因式法将分解因式，再把，代入计算即可得． 【详解】解：∵，， ． 6．已知，用因式分解法求的值． 【答案】 【分析】此题考查的是因式分解和整体代入法求值，先将原式提公因式进行因式分解，最后整体代入求解． 【详解】解： ∵， ∴原式 7．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，因式分解的应用．首先将原式变形，再将，，代入可得结果．能够正确运用整体代入法是解答此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ． 4 .利用因式分解求参数 8．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为9 (2) 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论； （2）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论． 【详解】（1）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 另一个因式为，的值为9； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴。 9．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ． 解得：， ∴另一个因式为，的值为， 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为________，得：=________， 则 ． 解得：=________，=________． 另一个因式为________，的值为________． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)；；；；； (2)另一个因式为，的值为 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． （1）设另一个因式是，则，再建立方程组解题即可； （2）设另一个因式是，利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出m、p的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得：， 则 ． 解得：，． 另一个因式为，的值为20， 故答案为：；；；；；； （2）解：二次三项式有一个因式是，设另一个因式是，则 ， 则， 解得， ∴另一个因式是，的值为． 10．已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，将进行因式分解后，求出的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， 又可因式分解成， ∴， ∴． 三、课堂达标 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的识别，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：中等号右边不是积的形式，故A不符合题意； 是乘法运算，故B不符合题意； 是乘法运算，故C不符合题意； 符合因式分解的定义，故D符合题意； 故选D． 2．已知，则代数式的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，将变形为，再代入到进行计算即可得． 【详解】解： ∴ ∴ 则， 故选：B． 3．把多项式分解因式，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了提公因式法进行因式分解．熟练掌握提公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解：， 故选：D． 4．若、、是的三条边，且，则一定是（   ） A．直角三角形 B．三条边都不相等的三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解及三角形的三边关系，将等式变形为，再将等式左边因式分解，利用三角形的三边关系即可得到的数量关系． 【详解】解：， ， 对等式的左边，进行因式分解得， 根据三角形的三边关系可得：， ，即， 是等腰三角形， 故选：C． 5．下列多项式中，没有公因式的是（  ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了公因式，掌握公因式是多项式中每项都有的因式是解题关键．根据公因式的定义可得答案． 【详解】解：A、和有公因式，不符合题意； B、和没有公因式，符合题意； C、和有公因式，不符合题意； D、和有公因式，不符合题意； 故选：B． 6．若，则的值为（   ） A．9 B．16 C．20 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，将变形为，再将整体代入计算即可． 【详解】解：， ∴， 故选：C． 7．若可以分解为，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．根据因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：， ，， ，， ， 故选：B． 8．下列从左边到右边的变形，其中是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A．右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； B．右边不是整式积的形式，不合因式分解的定义，故本选项错误； C．，是因式分解，故本选项正确； D．是单项式，不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项错误． 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先把原式变形为，再去括号并计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据已知条件，先通过因式分解将式子变形，然后将进行整体代入，再求解，解题的关键是将已知条件整体代入变形的式子中，从而求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 12．多项式的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式．熟练掌握公因式的定义是解题的关键．根据公因式的定义作答即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故答案为：． 13．分解因式的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，能够熟练掌握提公因式法是解题的关键． 将原式变形为，然后提取公因式即可解答． 【详解】 ； 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共48分） 14．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？ （1）；（2）； （3）；（4）． 【答案】（1）从左到右不是因式分解，是整式乘法；（2）是因式分解；（3）不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式；（4）是因式分解． 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式叫做因式分解，也叫分解因式，逐一判断即可． 【详解】解：（1），从左到右不是因式分解，是整式乘法； （2），是因式分解； （3），不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式； （4），是因式分解． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基础概念题型，熟知因式分解的定义是关键． 15．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式； （1）直接提公因式分解因式即可； （2）直接提公因式分解因式即可． 【详解】（1）； （2）． 16．解方程． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键，提公因式、去括号，移项，合并同类项即可． 【详解】解：， 提公因式：得 去括号： 合并同类项，得 系数化为1，得． 17．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算及因式分解的应用，熟知乘法公式、整式的四则运算法则和因式分解的方法是正确解决本题的关键． 按整式运算法则或先运用因式分解化简再代入计算即可． 【详解】解： 化简方法一： 化简方法二： 当，时， 原式． 18．已知，．试求：（1）的值；（2）的值． 【答案】（1）±5；（2）222. 【分析】（1）利用完全平方公式将 变形，将已知等式代入计算求出的值，再开方即可求出值； （2）原式提取公因式，再利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】解：（1） ∴ （2）， 原式 故答案为（1）±5；（2）222. 【点睛】本题考查完全平方公式，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 19．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即，∴，解得． 故另一个因式为，m的值为-21． 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1)40 (2)另一个因式为，k的值为20 【分析】本题考查了因式分解的方法．解题关键是对题中所给解题思路的理解． （1）设另一个因式为，可得，再进一步解题即可； （2）设另一个因式为，可得，再进一步解答即可； 【详解】（1）解：设另一个因式为， 由题意得：， 即， 则有， 解得， ∴另一个因式为：，的值为40． （2）解：二次三项式有一个因式是，设另一个因式为， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴另一个因式为，k的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$