第01讲 锐角三角函数 （4个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第01讲 锐角三角函数 （4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点2．同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． 知识点3．互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 知识点4．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 题型强化 题型一．锐角三角函数的定义 1．（2024•丽水一模）如图，在中，，，，则的值是　　 A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义判断即可． 【解答】解：在中，，，， ， 故选：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦、余弦、正切是解题的关键． 2．（2024•南湖区校级一模）在中，，，则的值为 　　． 【分析】根据勾股定理，可得，根据锐角三角函数的正弦等于对边比斜边，可得答案． 【解答】解：设，，由勾股定理，得 ， 由三角函数的正弦等于对边比斜边，得 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 3．（2022•湖州）如图，已知在中，，，．求的长和的值． 【分析】根据勾股定理求的长，根据正弦的定义求的值． 【解答】解：，，， ， ． 答：的长为4，的值为． 【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 题型二．同角三角函数的关系 4．（2024•宁波模拟）在中，已知，设，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义得，，可得，根据三角形三边的关系得，所以，即可得出答案． 【解答】解：，， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和三角形三边的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义和三角形三边的关系是关键． 5．（2024•宁波模拟）已知，则　　． 【分析】在直角三角形中，根据锐角三角函数的意义，设辅助未知数可求出答案． 【解答】解：如图，在中， 由于， 设，则， 由勾股定理得， ， 所以， 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理，锐角三角函数，掌握锐角三角函数的意义以及勾股定理是正确计算的前提． 6．（杭州模拟）下列关系式是否成立，请说明理由． （1）； （2）． 【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立； （2）举出反例进行论证． 【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下： 如图，在中，，． 则，故不成立； （2）该等式不成立，理由如下： 假设，则，， ， ，即不成立． 【点评】本题考查了同角三角函数的关系．解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值． 题型三．互余两角三角函数的关系 7．（2023•杭州一模）在中，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】由锐角的正弦、正切定义即可计算． 【解答】解：，， 令，则， ， ． 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角的正弦、正切定义． 8．（2022•西湖区校级二模）已知中，，，则　　． 【分析】根据三角函数值的定义以及勾股定理的定义解决此题． 【解答】解：如图． ，， 设，则． ． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角函数的定义、勾股定理，熟练掌握三角函数的定义以及勾股定理是解决本题的关键． 9．（吴兴区校级二模）已知，求的值． 【分析】利用及，即可求解． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，解答本题需要掌握：，． 题型四．特殊角的三角函数值 10．（2023春•上城区校级月考）已知是锐角，，则的值为　　 A． B． C． D．无法确定 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案． 【解答】解：， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 11．（2024•西湖区校级开学）计算：　　． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案． 【解答】解：． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 12．（2023•绍兴模拟）（1）计算：； （2）． 【分析】（1）根据实数的混合运算法则，先计算特殊角的三角函数值，再计算乘方、乘法，最后计算加减． （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、的系数化为1解决此题． 【解答】解：（1） ． （2）， 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 的系数化为1，得． 这个不等式的解为． 【点评】本题主要考查实数的混合运算、特殊角的三角函数值、解一元一次不等式，熟练掌握实数的混合运算法则、特殊角的三角函数值、一元一次不等式的解法是解决本题的关键． 分层练习 一、单选题 1．在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求角的正切值 【分析】本题主要考查正切值的计算方法，掌握直角三角形中正切函数的定义是解题的关键． 根据题意作图，再根据正切值的计算方法即可求解． 【详解】解：根据题意作图如下， ∴， 故选：． 2．在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求角的余弦值 【分析】根据勾股定理求出AB，根据余弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：由勾股定理得，AB=， 则cosA=， 故选：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键． 3．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则cosA的值是(　　)    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求角的余弦值 【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，可得答案． 【详解】如图：   ， 由勾股定理，得 AC===2， 由锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，得cosA===， 故选D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，先求斜边，再求锐角三角函数的余弦． 4．如图，为测学校旗杆的高度，在距旗杆米的处，测得旗杆顶部的仰角为，则旗杆的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知正切值求边长 【分析】直接根据锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】∵BC⊥AC，∠A=α，AC=10米， ∴BC=AC•tanα=10tanα． 故选A． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长度为（　　） A．2 B．8 C． D． 【答案】A 【知识点】已知正切值求边长 【详解】试题解析：∵在Rt△ABC中, ∴BC=2. 故选A. 6．如图，在平面直角坐标系系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接．若，，则的值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、已知正切值求边长 【分析】首先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论． 【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于B， ∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， ∴点C的坐标为（0，2）， ∴OC＝2， ∵， ∴BD＝2， ∵tan∠BOC， ∴， ∴OD＝4， ∴点B的坐标为（2，4）， ∵反比例函数y在第一象限内的图象交于点B， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，根据正切值求边长，解题的关键是仔细审题，能够求得点B的坐标． 7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，tan∠B＝2，则AC的长为   （　　） A．1 B．2 C． D．2 【答案】B 【知识点】已知正切值求边长 【分析】根据正切的定义得到BC=AC，根据勾股定理列式计算即可． 【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠B=2， ∴=2， ∴BC=AC， 由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即（）2=AC2+（AC）2， 解得，AC=2， 故选B． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切是解题的关键． 8．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC垂足为F，交BC于点E，BE=2EC，连接AE．则tan∠CAE的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求角的正切值、相似三角形的判定与性质综合、矩形性质理解 【分析】证明△AFD∽△CFE，得出，由△CFE∽△DFC，得出，设EF=x，则DE=3x，再由三角函数定义即可得出答案． 【详解】解： 设EC=x，∵BE=2EC=2x，∴BC=BE+CE=3x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=3x，AD∥EC， ∴△AFD∽△CFE， ∴ ， ，设CF=n，设EF=m， ∴DF=3EF=3m，AF=3CF=3n， ∵△ECD是直角三角形，， ∴△CFE∽△DFC， ∴， ∴，即， ∴，∵， ∴tan∠CAE=， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 9．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限的点B在反比例函数的图象上，且OA⊥OB，tanA=2，则k的值为（     ）    A．4 B．8 C．-4 D．-8 【答案】D 【知识点】已知正切值求边长、相似三角形的判定与性质综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】过点A、B分别作AC⊥x轴、BD⊥x轴，垂足分别为点C、D，如图，易证△AOC∽△OBD，则根据相似三角形的性质可得，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出k的值． 【详解】解：过点A、B分别作AC⊥x轴、BD⊥x轴，垂足分别为点C、D，如图，则∠ACO=∠BDO=90°，∠OAC+∠AOC=90°，    ∵OA⊥OB，tan∠BAO=2， ∴∠AOC+∠BOD=90°，OA：OB=1：2， ∴∠OAC=∠BOD， ∴△AOC∽△OBD， ∴， ∵，， ∴，∴， ∵k＜0， ∴k=﹣8． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定和性质以及三角函数的定义等知识，熟练掌握所学知识、明确解答的方法是解题的关键． 10．如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求角的正弦值、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义，作直径，根据勾股定理求出，根据余弦函数的定义求出，根据圆周角定理得到，等量代换即可． 【详解】解：如图所示：作直径， 在中，，， 又（圆周角定理）， 故选A. 二、填空题 11．在中，是的高线，若，，，则长为 . 【答案】5或3/3或5 【知识点】已知正切值求边长、用勾股定理解三角形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】分两种情况：当高在内部时和当高在外部时，利用勾股定理和三角函数算出和的长，即可得到答案． 【详解】解：当高在内部时，如图所示： 在中，， 在中，， ， ； 当高在外部时，如图所示： 在中，， 在中，， ， ， 综上所述，或3， 故答案为：5或3． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和正切的定义，正确运用勾股定理和正切进行计算求出边长，分情况进行讨论是解题的关键． 12．已知在中，，，，那么 . 【答案】6 【知识点】已知正切值求边长 【分析】根据三角函数的定义即可求解． 【详解】∵cotB=， ∴AC= =3BC=6． 故答案是：6． 【点睛】此题考查锐角三角函数的定义及运用，解题关键在于掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边． 13．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若b=3a，则tanA= ． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义进行解答． 【详解】在Rt△ABC中，∵∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，b=3a， ∴tanA==. 14．在梯形中，，的平分线交于，连接，则 ． 【答案】 【知识点】求角的正切值、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】根据题意，作出图形，先由三角形全等的判定与性质得到，即是直角三角形，过点作交于，如图所示，由矩形的判定与性质得到，在中及在中，有勾股定理得到的长，在中，由正切定义代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 是的角平分线， ， 在和中， ， ，即是直角三角形， 过点作交于，如图所示： ， ， ，即四边形是矩形， ， 在中，，，则由勾股定理可得，则， 设，则， 在中，由勾股定理可得，即，解得， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查求三角函数值，涉及角平分线定义、三角形全等的判定与性质、直角三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理及正切函数值定义等知识，熟练掌握相关几何性质及判定是解决问题的关键． 15．如图，在中，，点在上，，，则的值是 ． 【答案】/ 【知识点】正切的概念辨析、求角的正切值、余弦的概念辨析、用勾股定理解三角形 【分析】先由，，得到，再由勾股定理求出，即可求出的值． 【详解】解：，， ， ， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 【点睛】考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，熟记三角函数的定义及勾股定理是解题关键． 16．如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】求角的正切值 【分析】连接AF，设AF=CF=5k，BF=3k，利用勾股定理求出AB，可得结论． 【详解】解：连接AF． 由作图可知，MN垂直平分线段AC， ∴FA=FC， ∵BF：FC=3：5， ∴设BF=3k，CF=AF=5k， ∵∠B=90°， ∴， ∴BC=BF+CF=8k， ∴tan∠ACB=， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题 17．计算：（）﹣2﹣（π+）0+﹣4cos45°． 【答案】3 【知识点】特殊角的三角函数、负整数指数幂、零指数幂、实数的运算 【分析】按顺序先分别进行负指数幂的运算、0指数幂的运算、二次根式的化简、代入特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可得. 【详解】（）﹣2﹣（π+）0+﹣4cos45° =4-1+2 =3． 【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了负指数幂、0指数幂、特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握相关的运算的运算法则是解题的关键. 18．在中，，、、分别是、、的对边，且，，求和的值． 【答案】，． 【知识点】求角的正弦值 【分析】本题主要考查了三角函数的比值关系，熟悉掌握正弦的比值关系是解题的关键． 根据正弦的比值关系列式比较即可． 【详解】解：根据勾股定理可得：在中，， 又∵，， ∴， ∴b＝4， ∴，． 19．物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关，小明在某天的8点至16点之间，测量了一根2.7米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间之间近似二次函数关系，可满足关系式．已知该天11点时影子长度为1.31米，12点时影子长度为1.08米． (1)请确定a，c的值． (2)如图，太阳光线和与地面之间的夹角为，求14点时的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求角的正切值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的应用，关键用待定系数法求出函数解析式. （1）把 代入解析式，解方程组求出，的值; （2）先根据（1）中，值求出函数解析式，再把代入解析式求出，再根据直角三角函数求出的值； 【详解】（1）解：由题意可知 ，代入函数解析式得 得 解得 ， ； （2）解：由（1）得函数解析式为 把代入， 解得 则； 20．如图1，在中，，．如图2，将向上翻折，使点落在上，记为点，折痕为．过点作平行线交延长线于点，连接． （1）证明：四边形是菱形． （2）若，求的长度． 【答案】（1）见解析；（2）2 【知识点】求角的正切值、根据菱形的性质与判定求线段长、勾股定理与折叠问题 【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质得到AC=2AB，利用翻折的性质得到AE=AB，DE⊥AC，再证明△AEF△CED，EF=DE，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可证得结论； （2）利用（1）的结论结合三角函数的知识，即可求得DE的长，从而求得DF的长度． 【详解】（1）在中，，． ∴AC=2AB， 由折叠的性质得：∠AED=∠B=90°，AE=AB， ∴AC⊥DF， ∵AC=2AB， ∴CE=AB=AE， ∵AF∥CD， ∴∠FAE=∠DCE， 在△AEF和△CED中， ， ∴△AEF△CED， ∴EF= ED， 又∵CE =AE，AC⊥DF， ∴四边形是菱形； （2）由（1）得：AC=2AB=2 AE， ∴AE=3， 由折叠的性质得：∠EAD=∠BAD=(90°-∠ACB)= 30°， ∵，即， ∴DE=， ∴DF= 2DE=2． 【点睛】本题考查了折叠的性质、三角函数的知识、含30度角的直角三角形的性质、菱形的判定等知识；熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 21．如图，小明家居住的家属楼前20米处有一土丘，经测量斜坡长为8米，坡角恰好为．一天小明站在斜坡顶端B处，手持1米的木棒（手臂长为0.6米，手臂与身子垂直，木棒与身子平行），发现眼睛A、木棒的顶端D、楼房的顶端M在一条直线上；眼睛A、木棒的底端E、楼房的底部N三点共线，请你计算小明家居住的这栋楼的高度．（参考数据：，，，结果精确到1米） 【答案】44米 【知识点】已知余弦求边长、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】如图，作交于点G，交于点H，延长交于点F；通过三角函数计算求出线段，再根据矩形判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，求出的长；根据相似三角形的判定定理之一：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可知：；利用相似三角形性质：对应高的比等于相似比，从而求出最终结果． 【详解】解：如图，延长交于点F，作交于点G，交于点H， ∵斜坡米，坡角， ∴米； ∵米， ∴米， ∵根据题意， ∴四边形是矩形， ∴米； ∵， ∴， ∴，即， 解得：米， 故这栋楼的高度为44米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理、性质和矩形的判定定理及锐角三角函数的运用，熟练掌握相似三角形的判定定理及性质是解本题的关键． 22．如图，在每个小正方形的边长均为的网格中，其顶点称为格点，点、．都在格点，上，只用无刻度的直尺，分别在网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为斜边画直角（点在格点上），使得 (2)在图②中，以为一直角边画等腰直角（点在格点上）． 使得． (3)在图③中，以为一直角边画（点在格点上）， 在上取点， 使得 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】已知正切值求边长、相似三角形的判定与性质综合、勾股定理与网格问题 【分析】（1）找到的格点顶点，即可求解； （2）根据勾股定理与网格的特点找到格点，使得； （3）根据网格的特点找到点，使得，则，点即为所求； 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：如图所示，找到点，使得，则，点即为所求； 【点睛】本题考查了勾股定理与网格，求正切，相似三角形的性质与判定，熟练掌握三角函数的定义，勾股定理与网格，相似三角形的性质与判定是解题的关键． 23．桑梯是我国古代发明的一种采桑工具，图①是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了桑梯，已知如图②所示，AB＝AC，BC＝1米，AD＝1.2米，∠CAB＝40°，求CD的长．（结果精确到0.1米，参考数据：sin70°＝0.94，cos70°＝0.34，tan70°＝2.75） 【答案】（米）． 【知识点】已知余弦求边长、三线合一 【分析】过作于，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到（米，在中，根据三角函数的定义得到（米即可． 【详解】解：过A作于， ， ， ， ， ， （米）， 在中，， （米）， 米， ∴CD=AD+AC=1.2+1.47=2.67≈2.7米． （米）． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 24．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．是一元二次方程的一个根，且，点为的中点，为轴正半轴上一点，，直线与相交于点． (1)求点及点的坐标； (2)反比例函数经过点关于轴的对称点，求的值； (3)在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或． 【知识点】已知正切值求边长、反比例函数与几何综合、一次函数与几何综合 【分析】（1）先解得到两个根，取其正值，可得，再由可得，于是可知，进而可求得的中点． （2）求出直线，直线的解析式，构建方程组确定交点F的坐标，再根据对称性求出点F′的坐标即可． （3）先运用待定系数法求出直线的解析式为，设点，分，和三种情况列式求出t的值即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴点D的坐标为，即． （2）在中，由勾股定理得： ， ∴， 设直线的函数解析式为， 把，代入得： ， 解得： ∴直线的函数解析式为， ∵， 设直线的函数解析式为， ∴，解得，， ∴直线的函数解析式为， 当时，， 此时， ∴， ∴点F关于y轴的对称点为， ∵反比例函数经过点， ∴． （3）设直线的解析式为， 将点的坐标代入得， ，解得： ∴直线的解析式为 ∵点P在直线上， ∴设点， ∴ 下面分三种情况讨论： ①当时, 解得：， ∴ ∴点P的坐标为； ②当时, 解得：， ∴,此时点P不存在， ， ∴点P的坐标为； ③当时, 解得：， ∴点P的坐标为或； 综上，点P的坐标为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 锐角三角函数 （4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点2．同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． 知识点3．互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 知识点4．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 题型强化 题型一．锐角三角函数的定义 1．（2024•丽水一模）如图，在中，，，，则的值是　　 A． B． C． D． 2．（2024•南湖区校级一模）在中，，，则的值为 　　． 3．（2022•湖州）如图，已知在中，，，．求的长和的值． 题型二．同角三角函数的关系 4．（2024•宁波模拟）在中，已知，设，则　　 A． B． C． D． 5．（2024•宁波模拟）已知，则　　． 6．（杭州模拟）下列关系式是否成立，请说明理由． （1）； （2）． 题型三．互余两角三角函数的关系 7．（2023•杭州一模）在中，，，则　　 A． B． C． D． 8．（2022•西湖区校级二模）已知中，，，则　　． 9．（吴兴区校级二模）已知，求的值． 题型四．特殊角的三角函数值 10．（2023春•上城区校级月考）已知是锐角，，则的值为　　 A． B． C． D．无法确定 11．（2024•西湖区校级开学）计算：　　． 12．（2023•绍兴模拟）（1）计算：； （2）． 分层练习 一、单选题 1．在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则cosA的值是(　　)    A． B． C． D． 4．如图，为测学校旗杆的高度，在距旗杆米的处，测得旗杆顶部的仰角为，则旗杆的高度为（ ） A． B． C． D． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长度为（　　） A．2 B．8 C． D． 6．如图，在平面直角坐标系系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接．若，，则的值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，tan∠B＝2，则AC的长为   （　　） A．1 B．2 C． D．2 8．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC垂足为F，交BC于点E，BE=2EC，连接AE．则tan∠CAE的值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限的点B在反比例函数的图象上，且OA⊥OB，tanA=2，则k的值为（     ）    A．4 B．8 C．-4 D．-8 10．如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在中，是的高线，若，，，则长为 . 12．已知在中，，，，那么 . 13．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若b=3a，则tanA= ． 14．在梯形中，，的平分线交于，连接，则 ． 15．如图，在中，，点在上，，，则的值是 ． 16．如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．若，则的值为 ． 三、解答题 17．计算：（）﹣2﹣（π+）0+﹣4cos45°． 18．在中，，、、分别是、、的对边，且，，求和的值． 19．物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关，小明在某天的8点至16点之间，测量了一根2.7米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间之间近似二次函数关系，可满足关系式．已知该天11点时影子长度为1.31米，12点时影子长度为1.08米． (1)请确定a，c的值． (2)如图，太阳光线和与地面之间的夹角为，求14点时的值． 20．如图1，在中，，．如图2，将向上翻折，使点落在上，记为点，折痕为．过点作平行线交延长线于点，连接． （1）证明：四边形是菱形． （2）若，求的长度． 21．如图，小明家居住的家属楼前20米处有一土丘，经测量斜坡长为8米，坡角恰好为．一天小明站在斜坡顶端B处，手持1米的木棒（手臂长为0.6米，手臂与身子垂直，木棒与身子平行），发现眼睛A、木棒的顶端D、楼房的顶端M在一条直线上；眼睛A、木棒的底端E、楼房的底部N三点共线，请你计算小明家居住的这栋楼的高度．（参考数据：，，，结果精确到1米） 22．如图，在每个小正方形的边长均为的网格中，其顶点称为格点，点、．都在格点，上，只用无刻度的直尺，分别在网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为斜边画直角（点在格点上），使得 (2)在图②中，以为一直角边画等腰直角（点在格点上）． 使得． (3)在图③中，以为一直角边画（点在格点上）， 在上取点， 使得 23．桑梯是我国古代发明的一种采桑工具，图①是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了桑梯，已知如图②所示，AB＝AC，BC＝1米，AD＝1.2米，∠CAB＝40°，求CD的长．（结果精确到0.1米，参考数据：sin70°＝0.94，cos70°＝0.34，tan70°＝2.75） 24．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．是一元二次方程的一个根，且，点为的中点，为轴正半轴上一点，，直线与相交于点． (1)求点及点的坐标； (2)反比例函数经过点关于轴的对称点，求的值； (3)在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$