专题06 一元二次方程（6类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（全国通用）

专题06 一元二次方程 课标要求 考点 考向 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程; 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等; 3.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型; 4.能利用一元二次方程解决实际应用问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理. 解一元二次方程 考向一 一元二次方程的相关概念 考向二 解一元二次方程 考向三 一元二次方程根的判别式 一元二次方程的应用 考向一 增长率问题 考向二 与图形有关的问题 考向三 营销问题 考点一 解一元二次方程 ►考向一 一元二次方程的相关概念 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 2．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 3．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程的一个根为1，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为， 满足一元二次方程， ， 解得，． 故答案为：． ►考向二 解一元二次方程 ►考查角度一 因式分解法 4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 5．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解∶ ， ∴， ∴或， ∴，， 故选∶B． ►考查角度二 直接开方法 6．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． ►考查角度三 配方法 7．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 根据利用完全平方公式的特征求解即可； 【详解】解： 故选B． 8．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 【详解】解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． ►考查角度四 公式法 9．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故选：C． 10．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），且．下列四个结论：与交点为；；；，两点关于对称．其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】 【分析】由题意得，根据可以判断；令求出，，由可以判断；抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），根据根的判别式得出或，或，可以判断，利用两点间的距离可以判断． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴与交点为，故正确， 当时，，解得， ∴， 当时，，解得， ∴， ∵， ∴，即， ∴，则有：， ∵， ∴，故正确； ∵抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧）， ∴，， 解得：或，或， 由得， ∴， 当时，，或当时，， ∴，故错误； 由得：，解得， ∵在的左侧，在的左侧， ∴，，，， ∵， ∴，整理得：， ∴， ∴由对称性可知：，两点关于对称，故正确； 综上可知：正确， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 11．（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据得出，设，则，结合完全平方公式的变形与应用得出，结合，则，即可作答． 【详解】解：如图：连接 ∵反比例函数的图象与交于两点，且 ∴ 设，则 ∵ ∴ 则 ∵点在第一象限 ∴ 把代入得 ∴ 经检验：都是原方程的解 ∵ ∴ 故答案为： 12．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解． 【详解】解：∵， ∴， 将代入 得，， 即：， ， ∴或， ∵， ∴舍， ∴， 故答案为：3． 13．（2024·山西·中考真题）一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】直接提取公因式求解即可． 【详解】解：， x（x-6）=0， 解得x1=0，x2=6， 故答案为：x1=0，x2=6． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解题关键． ►考向三 一元二次方程根的判别式 易错易混提醒 一元二次方程根的情况与判别式的关系 1.当b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根; 2.当b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有1个(两个相等的)实数根; 3.当b2-4ac<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根. 一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则． 14．（2024·山东济南·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 15．（2024·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 【答案】C 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 16．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 17．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故选：A． 18．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 【答案】2028 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 19．（2024·山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 20．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【详解】（1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 考点二 一元二次方程的应用 ►考向一 增长率问题 21．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷，则2023年平均每公顷产，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产， 则2023年平均每公顷产， 根据题意有：， 故选：A． 22．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为， 根据题意可得， 故选：B． 23．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设平均增长率为x，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）； 故答案为：． 24．（2024·重庆·中考真题）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，则第二季度低空飞行航线安全运行了架次，第三季度低空飞行航线安全运行了架次，据此列出方程即可． 【详解】解：设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为， 由题意得，， 故答案为：． 25．（2024·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． (1)求该商场投入资金的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 【答案】(1)该商场投入资金的月平均增长率 (2)预计该商场七月份投入资金将达到万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该商场投入资金的月平均增长率为，根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）根据（1）中求得的增长率，即可求得七月份投入资金． 【详解】（1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该商场投入资金的月平均增长率； （2）解：（万元）， ∴预计该商场七月份投入资金将达到万元． ►考向二 与图形有关的问题 26．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可． 【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为， 则平行于墙的一边的长为， 由题意得， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长为； 当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意； ∴该矩形场地长为米， 故选C． 27．（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解，熟练掌握勾股定理，利用判别式判断一元二次方程解的情况是解题的关键．设，，假设存在点，且，则，利用勾股定理得到，，，可得到方程，结合，然后根据判别式的符号即可确定有几个解，由此得解． 【详解】解：如图所示，四边形是黄金矩形，，， 设，，假设存在点，且，则， 在中，， 在中，， ， ，即， 整理得， ，又，即， ， ，， ， 方程无解，即点不存在． 故选：D． 28．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与与的关系式． (2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 【答案】(1)； (2)能， (3)的最大值为800，此时 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用： （1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ； （3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可． 【详解】（1）解：∵篱笆长， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵墙长42m， ∴， 解得，， ∴； 又矩形面积 ； （2）解：令，则， 整理得：， 此时，， 所以，一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴围成的矩形花圃面积能为； ∴ ∴ ∵， ∴； （3）解： ∵ ∴有最大值， 又， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为800 ►考向三 营销问题 29．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)该商品日销售额不能达到元，理由见解析。 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下： 依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． 30．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】(1)，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元 (2)这天售出了64辆轮椅 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大，为元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； 一、单选题 1．（2024·湖南郴州·模拟预测）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫一元二次方程，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、含有两个未知数，是二元二次方程，故此选项不符合题意； C、是一元一次方程，故此选项不符合题意； D、不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（2024·湖北·模拟预测）某银行经过最近的两次降息，使一年期存款年利率由降至，设平均每次降息的百分率是x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据一年期存款的原年利率及经过两次降息后的年利率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：A． 3．（2024·湖北·模拟预测）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，熟练的表示支干与小分支的数量是解本题的关键. 设每个支干长出x个小分支，则主干生出x个小分支，而x个小分支每个又生出x个小分支，所以一共有个，从而可得答案. 【详解】解：设每个支干长出x个小分支，则 , 故选：A． 4．（2024·山西·模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题的关键． 直接利用一元二次方程根的判别式对每个方程逐一计算即可求解． 【详解】A、，故选项A有两个不相等的实数根，不合题意； B、 ，故选项B有两个不相等的实数根，不合题意； C、 ，故选项C没有实数根，符合题意； D、方程化为，，故选项D有两个相等的实数根，不合题意． 故选C． 5．（2024·湖北·模拟预测）解一元二次方程，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解方程，注意配方时先把常数项移到右边，然后把二次项系数化为1，最后等号两边同时加上一次项系数一半的平方．根据配方法即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．（2024·天津·三模）方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程有两根为，． 先把方程化成一般式，再根据一元二次方程根与系数关系求出与的值，判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，． 故选：D． 7．（2024·广东·模拟预测）电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）之间满足关系式．已知导线的电阻为，1s的时间导线产生的热量，则通过导线的电流为（    ） A．2 A B．4 A C．8 A D．16 A 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确建立方程是解题关键．根据题意，将已知数值代入关系式可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以通过导线的电流为， 故选：B． 8．（2024·湖南·模拟预测）明明在解关于x的方程时，抄错了a的符号，解出其中一个根是．则原方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有一个实数根是： C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查根的判别式及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据抄错a的符号时得出的根，可求出正确的a的值，再判断出根的判别式的正负即可解决问题． 【详解】解：将代入方程得， 解得， 所以a的正确值为， 则原方程为， 所以， 所以原方程有两个不相等的实数根. 故选：D. 二、填空题 9．（2024·山西太原·模拟预测）山西省政府办《关于加强全省城镇再生水利用的实施意见》总体要求中提出：到2025年底，全省城镇再生水利用量达到4亿立方米/年，到2027年底，全省城镇再生水利用量达到亿立方米/年，若设2025年到2027年全省城镇再生水利用量年平均增长率为x，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设2025年到2027年全省城镇再生水利用量年平均增长率为x，则2026年的全省城镇再生水利用量达到亿立方米/年，2027年的全省城镇再生水利用量达到亿立方米/年，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 10．（2024·浙江·模拟预测）已知实数满足则的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了因式分解一元二次方程以及乘法公式的应用，先换元，即把，再结合条件，进行运算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 先记 ∴ ∵ ∴ 则 ∴或 综上： 当时， ∴ ∴，负值已舍去； 当时， ∴ ∴，负值已舍去； 当时， ∴ ∴，负值已舍去； 综上：2或 故答案为：2或 11．（2024·山东·模拟预测）将一枚六个面的编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为c，则使关于x的一元二次方程有实数解的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，一元二次方程实根的情况，解题的关键是理解题意，利用列表法与树状图法以及概率公式解决问题． 画表，共有36种等可能的结果，其中使关于x的一元二次方程有实数解（即）的结果有17种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：列表得： 共有36种等可能的结果， 关于x的一元二次方程有实数解， 当方程有实数根，， ， ， 方程有实数根的有17种情况， ∴使关于x的一元二次方程有实数解的概率为 ， 故答案为：． 12．（2024·内蒙古包头·模拟预测）若是方程的一个解，则代数式的最小值为 ． 【答案】36 【分析】该题主要考查了二元一次方程的解，完全平方公式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 将代入求出，再代入化简即可得即可求解； 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的最小值为36． 故答案为：36． 13．（2024·湖北·模拟预测）请写一个一元二次方程，使得它的一个根为2，另一个根为负数，则这个一元二次方程可以是 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据另一个根为负数，令方程另一个根为，结合根与系数的关系，得，，则该一元二次方程为，即可作答． 【详解】解：依题意，令方程另一个根为， 则，， 该方程可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 14．（2024·吉林长春·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据方程有两个相等的实数根时列出方程，解之可得答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴且，即且， 解得，， 故答案为：4． 15．（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足，那么的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键． 利用完全平方公式把方程变形为，利用换元法，设，则，转化为解一元二次方程，求出可能的值，分别得出分式方程，计算检验是否有解，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， 设，则， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， 当时，则， 整理得：， ∴， 解得：，， 经检验，，都是方程的解， ∴的值为； 当时，则， 整理得：， ， ∴时，方程无解． 综上所述，的值为， 故答案为：． 16．（2024·江西·模拟预测）设m，n是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，根据一元二次方程的解的定义可得出，根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，然后整体代入计算即可． 【详解】解∶∵m，n是方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题 17．（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根是 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法和熟知一元二次方程根的定义．将代入方程求得到b的值，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：∵是的一个根， ∴ 解得， 将代入原方程得， ∴ 解得，， ∴，方程的另一个根是． 18．（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 19．（2024·贵州遵义·模拟预测）某数学兴趣小组在暑假开展社会实践活动，销售某品牌书包，平均每天可以销售20个，每个盈利12元，为了扩大销售，增加盈利，该小组决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个书包每降价1元，平均每天可以多卖5个． (1)若每个书包降价元，则可多卖__________个，每个盈利__________元； (2)若该兴趣小组同学想要一天盈利300元，每个书包应降价多少元； (3)该兴趣小组同学想要一天盈利最大，应降价多少元，所得最大利润是多少元？ 【答案】(1)， (2)每个书包降价6元 (3)当降价4元时利润最大，最大利润为320元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解决本题的关键是： （1）根据每个书包降价元，利用每个书包每降价1元，平均每天可以多卖5个，即可得出降价后书包多卖个，每个盈利元； （2）利用书包降价后每天盈利每个的利润卖出的个数降低的价格）增加的件数），把相关数值代入即可求解； （3）由（2）得关系式：，配方后可解答． 【详解】（1）解：若每个书包降价元，则可多卖个，每个盈利元； 故答案为：，； （2）设每个书包降价元，可盈利300元， 则， 解得：（舍去），， 每个书包降价6元； （3）设每个书包降价元，最大利润为元， 则 ， ， 当时，有最大值，最大值为320； 答：当降价4元时利润最大，最大利润为320元． 20．（2024·浙江·模拟预测）定义新运算“”：当时，；当时，． (1)当时，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)6 (2)或 【分析】此题考查了解一元二次方程，实数的新定义运算、解一元一次不等式，解题的关键是正确分析新定义的运算法则． （1）首先根据新定义进行化简，再代入数值计算即可； （2）根据题意分和两种情况讨论，然后据新定义的运算规则列出一元二次方程求解并判断即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）当时，即：时，， 解得： ； 当时，即：时， 即， 解得：， ∵， ∴． 所以x的值是或 21．（2024·广东·模拟预测）综合实践 主题：能将矩形的周长和面积同时加倍吗? 研究步骤： （1）特殊化：研究正方形是否能周长和面积同时加倍； （2）特殊化：研究一个具体的矩形是否能周长和面积同时加倍； （3）一般化：研究边长比满足什么条件时，矩形的周长和面积可以同时加倍． 操作与计算： (1)在图中画出将正方形周长加倍的正方形 和将正方形面积加倍的正方形． (2)对于两边长分别为1 和2的矩形，是否能让周长和面积同时加倍?请通过计算加以说明． (3)矩形边长比满足什么条件时，矩形的周长和面积可以同时加倍?请直接写出答案． 【答案】(1)见解析 (2)能，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了格点作图、一元二次方程的应用等知识，正确理解题意是解题关键． （1）根据题意，画出相应图形即可； （2）设周长加倍后的矩形，较长的一条边长为，则较短的一条边长为，根据题意列出关于的一元二次方程，求解即可证明结论； （3）设矩形的两边长分别为和，分别求得该矩形的周长和面积，再设周长加倍后的矩形，较长的一条边长为，则较短的一条边长为，根据题意列出关于的一元二次方程，根据一元二次方程的根的判别式可知该方程有实数解，所以当时，矩形的周长和面积可以同时加倍． 【详解】（1）解，如下图，正方形、和为所求作图形； （2）能让周长和面积同时加倍，理由如下： 根据题意，原矩形的两边长分别为1 和2， 则该矩形的周长为，其面积为， 设周长加倍后的矩形，较长的一条边长为， 则较短的一条边长为， 若面积也同时加倍， 则， 解得，（，舍去）， ∴两边长分别为1 和2的矩形，能让周长和面积同时加倍； （3）设矩形的两边长分别为和， 则该矩形的周长为，其面积为， 再设周长加倍后的矩形，较长的一条边长为，则较短的一条边长为， 若面积也同时加倍， 则有， 整理可得， ∵， 又∵， ∴， ∴当时，该方程有实数解， 即当时，矩形的周长和面积可以同时加倍． 22．（2024·安徽·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、两点，交轴于点，直线经过点 (1)求，的值； (2)将平移，平移后点仍在抛物线上，记作点， 此时点 恰好落在直线上，求点 的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将点代入抛物线解析式即可求得，根据求出的抛物线解析式求出点坐标后，将其代入直线解析式即可求得； （2）先求出点坐标，设，根据平移性质求出平移后点的坐标，再将其代入直线解析式后即可求出，从而求得点的坐标． 【详解】（1）解：将代入抛物线解析式可得， ， 解得， 即抛物线解析式为， 当，， 解得或， ， 将其代入可得， 解得， 故，． （2）解：将代入抛物线解析式得， ， 设， 根据平移性质可得，平移后得到的点坐标应为， 此时点恰好落在直线中， 则， 解得， 当时，； 时，， 故点或． 【点睛】本题考查的知识点是求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与轴的交点坐标、利用平移的性质求解、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握二次函数的相关性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一元二次方程 课标要求 考点 考向 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程; 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等; 3.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型; 4.能利用一元二次方程解决实际应用问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理. 解一元二次方程 考向一 一元二次方程的相关概念 考向二 解一元二次方程 考向三 一元二次方程根的判别式 一元二次方程的应用 考向一 增长率问题 考向二 与图形有关的问题 考向三 营销问题 考点一 解一元二次方程 ►考向一 一元二次方程的相关概念 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 2．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 3．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程的一个根为1，则 ． ►考向二 解一元二次方程 ►考查角度一 因式分解法 4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 5．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， ►考查角度二 直接开方法 6．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． ►考查角度三 配方法 7．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 ►考查角度四 公式法 9．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（    ） A．1 B． C． D．1或 10．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），且．下列四个结论：与交点为；；；，两点关于对称．其中正确的结论是 ．（填写序号） 11．（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为 ． 12．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为 ． 13．（2024·山西·中考真题）一元二次方程的解是 ． ►考向三 一元二次方程根的判别式 易错易混提醒 一元二次方程根的情况与判别式的关系 1.当b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根; 2.当b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有1个(两个相等的)实数根; 3.当b2-4ac<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根. 一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则． 14．（2024·山东济南·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（2024·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 16．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 17．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 18．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 19．（2024·山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 20．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 考点二 一元二次方程的应用 ►考向一 增长率问题 21．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（    ） A． B． C． D． 22．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 23．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ． 24．（2024·重庆·中考真题）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为 ． 25．（2024·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． (1)求该商场投入资金的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ ►考向二 与图形有关的问题 26．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B．或 C． D． 27．（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 28．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与与的关系式． (2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． ►考向三 营销问题 29．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 30．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 一、单选题 1．（2024·湖南郴州·模拟预测）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北·模拟预测）某银行经过最近的两次降息，使一年期存款年利率由降至，设平均每次降息的百分率是x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北·模拟预测）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山西·模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖北·模拟预测）解一元二次方程，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（2024·天津·三模）方程的根是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·广东·模拟预测）电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）之间满足关系式．已知导线的电阻为，1s的时间导线产生的热量，则通过导线的电流为（    ） A．2 A B．4 A C．8 A D．16 A 8．（2024·湖南·模拟预测）明明在解关于x的方程时，抄错了a的符号，解出其中一个根是．则原方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有一个实数根是： C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 二、填空题 9．（2024·山西太原·模拟预测）山西省政府办《关于加强全省城镇再生水利用的实施意见》总体要求中提出：到2025年底，全省城镇再生水利用量达到4亿立方米/年，到2027年底，全省城镇再生水利用量达到亿立方米/年，若设2025年到2027年全省城镇再生水利用量年平均增长率为x，则根据题意可列方程为 ． 10．（2024·浙江·模拟预测）已知实数满足则的值为 ． 11．（2024·山东·模拟预测）将一枚六个面的编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为c，则使关于x的一元二次方程有实数解的概率为 ． 12．（2024·内蒙古包头·模拟预测）若是方程的一个解，则代数式的最小值为 ． 13．（2024·湖北·模拟预测）请写一个一元二次方程，使得它的一个根为2，另一个根为负数，则这个一元二次方程可以是 ．（写一个即可） 14．（2024·吉林长春·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 15．（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足，那么的值是 ． 16．（2024·江西·模拟预测）设m，n是方程的两个实数根，则的值为 ． 三、解答题 17．（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 18．（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 19．（2024·贵州遵义·模拟预测）某数学兴趣小组在暑假开展社会实践活动，销售某品牌书包，平均每天可以销售20个，每个盈利12元，为了扩大销售，增加盈利，该小组决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个书包每降价1元，平均每天可以多卖5个． (1)若每个书包降价元，则可多卖__________个，每个盈利__________元； (2)若该兴趣小组同学想要一天盈利300元，每个书包应降价多少元； (3)该兴趣小组同学想要一天盈利最大，应降价多少元，所得最大利润是多少元？ 20．（2024·浙江·模拟预测）定义新运算“”：当时，；当时，． (1)当时，求的值． (2)若，求x的值． 21．（2024·广东·模拟预测）综合实践 主题：能将矩形的周长和面积同时加倍吗? 研究步骤： （1）特殊化：研究正方形是否能周长和面积同时加倍； （2）特殊化：研究一个具体的矩形是否能周长和面积同时加倍； （3）一般化：研究边长比满足什么条件时，矩形的周长和面积可以同时加倍． 操作与计算： (1)在图中画出将正方形周长加倍的正方形 和将正方形面积加倍的正方形． (2)对于两边长分别为1 和2的矩形，是否能让周长和面积同时加倍?请通过计算加以说明． (3)矩形边长比满足什么条件时，矩形的周长和面积可以同时加倍?请直接写出答案． 22．（2024·安徽·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、两点，交轴于点，直线经过点 (1)求，的值； (2)将平移，平移后点仍在抛物线上，记作点， 此时点 恰好落在直线上，求点 的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$