（计数问题专项讲义）专题2 容斥原理-小升初数学模块化思维提升（人教版）

专题2 容斥原理 小升初数学模块化思维提升 （知识梳理+典题精讲+专项训练） 1、在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题． 一般方法： 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考． 容斥原理1：两量重叠问题 A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数用符号可表示成：A∪B=A+B-A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）． 容斥原理2：三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数． 用符号表示为：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C 【典例一】某班有36名同学参加一项测试，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。若用长方形面积代表全班人数，大圆的面积代表第一题答对人数，小圆面积代表第二题答对人数，大小圆重叠部分面积代表两题都答对人数，两题都没答对的同学有多少名？ 【典例二】六（1）班一次数学测试，语文及格率是，数学及格率是，的人语、数都不及格，语、数两科都及格的有44人，六（1）班共有多少名学生？ 【典例三】科学兴趣小组的同学去采集标本．采集到昆虫标本的有25人，采集到植物标本的有19人，两种标本都采集到的有8人，兴趣小组共有42人．没有采集到标本的有多少人？ 一．选择题（共8小题） 1．用圆圈表示星球上的空气，各星球上的空气所含的不同气体用不同的字母表示，相同的气体用相同的字母表示（如图）．已知天王星与海王星上的空气中都含有氦气，冥王星上没有．那么图中字母　　表示氦气． A． B． C． D． 2．如图韦恩图表示冥王星、海王星和天王星上的空气中含有的成分．海王星和天王星上的空气中含有氦，而冥王星中没有．氦在韦恩图中的字母是　　 A． B． C． D． 3．某单位职工24人中，有女性11人，已婚的16人．在已婚的16人中有女性6人．问这个单位的未婚男性有多少人？　　 A．1 B．3 C．9 D．12 4．小强和小刚经常向王爷爷借书来读．已知王爷爷有100本书，其中小强读过的书有60本，小刚读过的书有50本，两人都读过的书有20本，那么　　 A．两人都没读过的书有20本 B．小强读过但小刚没读过的书有30本 C．小刚读过但小强没读过的书有40本 D．只有一人读过的书有70本 5．甲乙丙三人练习投篮，一共投了180次，有45次没投进，甲乙共投进82次，乙丙共投进89，则丙投进　　次． A．36 B．98 C．53 D．46 6．某校六一班周一的出勤率是，周二的出勤率是，这两天都出勤的占　　 A． B． C． D． 7．六（1）班有30人参加了语文和数学竞赛。其中参加语文竞赛的有20人，参加数学竞赛的有17人，语文、数学竞赛都参加的有　　人。 A．37 B．47 C．13 D．7 8．六（1）班有的学生订阅了《小学生数学报》，的学生订阅了《数学小灵通》．既订阅了《小学生数学报》又订阅了《数学小灵通》的学生至少占全班人数的　　 A． B． C． D． 二．填空题（共8小题） 9．在一次考试中，方方和圆圆考试结果统计如下：方方答错了全部试题的，圆圆答错了7道题，方方和圆圆都答错的题目占全部试题的，那么方方和圆圆两人都答对的题目最少有　 　道． 10．六（1）班有26人订阅了《小学生语文报》，有30人订阅了《小学生数学报》，其中有11人两种报纸都订了，还有3人两种报纸都没订．这个班一共有　 　人． 11．在50人的班级中，组织了3个课外活动小组，其中参加体育组的25人，参加音乐组的25人，参加美术组的22人；同时参加音乐、体育两组的11人，同时参加音乐、美术两组的10人，同时参加美术、体育两组的9人，三组都参加的5人，试问在这个班级中这3个小组都未参加的有　 　人． 12．下面是玉华小学六年级学生期末复习中四次测试及格率统计表 第几次 一 二 三 四 及格率 90 95 97 98 在这四次测试中，每次都及格的人数占全班的百分比最低是　 　． 13．汉江小学六年级有的同学参加了语文读书竞赛，的同学参加了“走进数学王国”电视邀请赛，两项竞赛都参加的同学有20人，的同学这两项竞赛都没有参加．该校六年级参加“走进数学王国”电视邀请赛的同学有　 　人． 14．某小学六年级一共订了三份报纸，每个同学都分别订了两份报纸，共订《少年报》80份，《语文报》110份，《数学报》126份，那么既订《语文报》又订《数学报》的同学一共有　 　人． 15．今年某班有56人订阅过《时代数学报》，其中，上半年有25名男生、15名女生订阅了该报纸，下半年有24名男生、23名女生订阅了该报纸，有20名男生是全年订阅，那么全年订阅了该报纸的女生有　 　名． 16．一个班有48人．班主任问：“谁做完了语文作业？”这时有37人举手．又问：“谁做完了数学作业？”这时有42人举手．最后问：“谁语文、数学作业都没做完？”没有人举手．请你算一算，这个班语、数作业都做完的有　 　人． 三．解答题（共9小题） 17．47名同学参加了数学和语文考试，两门都没得100分的有26人，数学得满分的有17人，语文得百分的有12人，试问两门都得100分的有几人？ 18．某校六年级学生中男生人数占，男生中爱打乒乓球的占，女生中不爱打乒乓球的占．那么，在该校全体六年级学生中，爱打乒乓球的学生占百分之几？ 19．六一班的王老师在一次数学测验中共出了三道题，结果做对第一题的有39人，做对第二题的有42人，做对第三题的有28人，同时做对第一、二题的有33人，做对第一、三题的有22人，做对第二、三题的有21人，全对的有17人，没有全错的．全班有多少人？ 20．某校六年级抽查了60位同学，其中的同学爱好打乒乓球，的同学爱好打篮球． （1）两种运动都爱好的同学最多可能是多少位？最少可能是多少位？ （2）如果这两项运动都爱好的有32位，那么： ①只爱好打篮球的有多少位？ ②两项运动都不爱好的有多少位？ 21．东方小学的统计数据表明：学校共有学生1200名，其中男生650名，高年级学生300名，三好学生100名，男生中的三好学生60名，高年级学生中男生160名，高年级女生中三好学生20名，非高年级女生中不是三好学生的400名．试说明：这个统计数据一定有错误． 22．学校先后举行数学、作文、自然三科竞赛，某班有25人报名参加．其中14有参加数学竞赛，12人参加作文竞赛，10人参加自然竞赛，并且有4人参加数学作文两科竞赛，有2人参加数学自然两科竞赛；只有1人三科竞赛都参加．问有多少人参加作文自然两科竞赛？ 23．小明家在一幢三层楼里，他想了解这幢楼里共住了多少人，他向管理员了解到以下信息：第一层住了20人，男孩有2人；成年男人第三层有7人，第二层有8人；成年女人第三层有5人，第一层有7人；第二层楼里女孩2人，第三层里有男孩4人，女孩2人，第一层里有男孩2人，女孩6人；且成年男子总数与成年女子总数一样多，女孩总数比男孩总数多3人．第二层里住了多少人？这幢楼里共住了多少人？ 24．小明调查了本班学生的兄弟关系如下：有哥哥的学生是全班学生人数的．有弟弟的学生是全班学生人数的．既有哥哥，又有弟弟的学生数是全班人数的．既没有哥哥，又没有弟弟的学生有8名．根据上面的数据试求小明班上共有学生多少名？ 25．应用题矫正题： （1）六（1）班45名学生参加植树活动，每人至少参加一项活动，全班有人参加挖坑，有的人参加浇水，这两项劳动都参加的有多少人？ （2）某班有30人参加学校的两项体育活动，每人至少要参加一项活动，其中有的同学参加了拔河比赛，比参加踢毽子的同学多6人，这两项活动都参加的有多少人？ （3）某年级有72人参加学校的两项体育活动，每人至少要参加一项活动，其中有的同学参加了拔河比赛，参加跳绳比赛的同学是参加拔河比赛人数的，那么，这两项活动都参加的有多少人？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2 容斥原理 小升初数学模块化思维提升 （知识梳理+典题精讲+专项训练） 1、在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题． 一般方法： 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考． 容斥原理1：两量重叠问题 A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数用符号可表示成：A∪B=A+B-A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）． 容斥原理2：三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数． 用符号表示为：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C 【典例一】某班有36名同学参加一项测试，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。若用长方形面积代表全班人数，大圆的面积代表第一题答对人数，小圆面积代表第二题答对人数，大小圆重叠部分面积代表两题都答对人数，两题都没答对的同学有多少名？ 【分析】依据题意结合图示可知，两题都没答对的同学人数总人数答对第一题人数只答对第二题人数，只答对第二题人数答对第二题人数两题都答对人数，由此列式计算即可。 【解答】解： （名 答：两题都没答对的同学有3名。 【点评】本题考查的是容斥原理的应用，解决这类问题可以通过画图来解答，这样更直观。 【典例二】六（1）班一次数学测试，语文及格率是，数学及格率是，的人语、数都不及格，语、数两科都及格的有44人，六（1）班共有多少名学生？ 【分析】至少由一门不及格的人数有：，只有一门不及格的人数有：；那么语、数两科都及格的有：，它对应的数量就是44人，根据分数除法的意义，列式为：（人；据此解答． 【解答】解：至少由一门不及格的人数有：， 只有一门不及格的人数有：； 那么语、数两科都及格的有：， （人； 答：六（1）班共有50名学生． 【点评】本题考查了容斥原理，关键是求出两科都及格的分率，知识点是：总人数既又． 【典例三】科学兴趣小组的同学去采集标本．采集到昆虫标本的有25人，采集到植物标本的有19人，两种标本都采集到的有8人，兴趣小组共有42人．没有采集到标本的有多少人？ 【分析】根据“采集到昆虫标本的有25人，采集到植物标本的有19人，”可知：人包括三部分，只采集到昆虫标本的人数、只采集到植物标本的人数、两种都采集到的人数的2倍，所以至少采集到一种的总人数是：（人，那么，没有采集到标本的有（人，据此解答． 【解答】解：， ， （人； 答：没有采集到标本的有6人． 【点评】本题是典型的容斥问题，关键是求出至少采集到一种的总人数，解答规律是：类类元素个数总和属于类元素个数属于类元素个数既是类又是类的元素个数． 一．选择题（共8小题） 1．用圆圈表示星球上的空气，各星球上的空气所含的不同气体用不同的字母表示，相同的气体用相同的字母表示（如图）．已知天王星与海王星上的空气中都含有氦气，冥王星上没有．那么图中字母　　表示氦气． A． B． C． D． 【分析】根据“不同气体用不同的字母表示，相同的气体用相同的字母表示”，得出是三个星球都含有的气体，是只有天王星含有的气体，是只有冥王星含有的气体，而是海王星和天王星含有的气体，而冥王星不含有该气体，由此即可得出答案． 【解答】解：根据题意和所给出的图知道， 是三个星球都含有的气体， 是只有天王星含有的气体， 是只有冥王星含有的气体， 是海王星和天王星含有的气体，而冥王星不含有该气体， 而天王星与海王星上的空气中都含有氦气，冥王星上没有， 所以，图中字母表示氮气． 故选：． 【点评】解答此题的关键是，在理解题意的基础上，要会看韦恩图（即利用容斥原理的表示图）． 2．如图韦恩图表示冥王星、海王星和天王星上的空气中含有的成分．海王星和天王星上的空气中含有氦，而冥王星中没有．氦在韦恩图中的字母是　　 A． B． C． D． 【分析】由于这幅图中海王星和天王星中含有字母，冥王星中没有字母，根据容斥原理结合题意可知氦在图中的字母是． 【解答】解：因为海王星和天王星上的空气中含有氦，而冥王星中没有， 结合图形可知海王星和天王星上的空气中含有字母，而冥王星中没有字母 所以氦在图中的字母是． 故选：． 【点评】本题考查了三个集合的容斥关系，解题的关键是找到元素和字母的对应关系． 3．某单位职工24人中，有女性11人，已婚的16人．在已婚的16人中有女性6人．问这个单位的未婚男性有多少人？　　 A．1 B．3 C．9 D．12 【分析】根据题干，某单位职工24人中，有女性11人，那么男性职工就是人，在已婚的16人中有女性6人，那么已婚的男性就是人，所以未婚男性职工有人，据此即可解答问题． 【解答】解： （人 答：这个单位的未婚男性有3人． 故选：． 【点评】解答此题关键是明确本单位男性职工的人数和已婚男性人数，据此相减即可解答问题． 4．小强和小刚经常向王爷爷借书来读．已知王爷爷有100本书，其中小强读过的书有60本，小刚读过的书有50本，两人都读过的书有20本，那么　　 A．两人都没读过的书有20本 B．小强读过但小刚没读过的书有30本 C．小刚读过但小强没读过的书有40本 D．只有一人读过的书有70本 【分析】根据两集合容斥原理公式，全部都不，可知两人都没读过，求得两人都没读过的书有10本；小强读过但小刚没读过的书，即，有本；小刚读过但小强没读过的书，即，有本；只有一人读过的书有本，据此解答即可． 【解答】解：两人都没读过的书：（本 小强读过但小刚没读过的书：（本 小刚读过但小强没读过的书：（本 只有一人读过的书：（本 所以项正确； 故选：。 【点评】此题考查了两集合容斥原理的计算和运用． 5．甲乙丙三人练习投篮，一共投了180次，有45次没投进，甲乙共投进82次，乙丙共投进89，则丙投进　　次． A．36 B．98 C．53 D．46 【分析】根据题干，一共投进了次，那么次，这里就多加了一次乙投篮的次数，可得出乙投篮的次数为：次，由此即可求出丙投篮的次数． 【解答】解：， ， （次， （次； 答：丙投进了53次． 故选：． 【点评】此题考查了利用容积原理解决问题的方法，抓住甲乙和乙丙投进的次数之和比实际三个人共投进的次数的和多出的部分就是乙投进的次数，这是解决本题的关键． 6．某校六一班周一的出勤率是，周二的出勤率是，这两天都出勤的占　　 A． B． C． D． 【分析】将班级人数看作100人，则根据“周一的出勤率是”知周一出勤的人数为94人，根据“二的出勤率是”，知：周二出勤的人数为99人，因为两天都出勤的人数数了两次，所以两天出勤的总人数比实际出勤人数多出来的人数就是两天都出勤的人数，即这两天都出勤的人数为：（人，再根据两天都出勤的人数总人数就可计算出这两天都出勤的占总人数的百分之几． 【解答】解：设全班人数为100人，则， 周一出勤人数为：（人， 周二出勤人数为（人， 则这两天都出勤的人数为：（人， 这两天都出勤人数占总数的：； 故选：． 【点评】解决本题要先根据两天的出勤率计算出这两天出勤的人数，因为两天都出勤的人数数了两次，所以两天出勤的总人数比实际出勤人数多出来的人数就是两天都出勤的人数，再用实际出勤人数总人数即可． 7．六（1）班有30人参加了语文和数学竞赛。其中参加语文竞赛的有20人，参加数学竞赛的有17人，语文、数学竞赛都参加的有　　人。 A．37 B．47 C．13 D．7 【分析】首先理解参加语文竞赛的人里面包含参加数学竞赛的人，反之参加数学竞赛的人里面包含参加语文竞赛的人，如果两数相加就把参加语文竞赛又参加数学竞赛多算了一次，由容斥原理解决问题即可。 【解答】解：（人 答：语数竞赛都参加的有7人。 故选：。 【点评】此题主要抓住是哪一部分重算了，再进一步利用数据解决问题。 8．六（1）班有的学生订阅了《小学生数学报》，的学生订阅了《数学小灵通》．既订阅了《小学生数学报》又订阅了《数学小灵通》的学生至少占全班人数的　　 A． B． C． D． 【分析】把总人数看作单位“1”，根据“有的学生订阅了《小学生数学报》，的学生订阅了《数学小灵通》．”可知：包括三部分，只订阅《小学生数学报》的人数、只订阅《数学小灵通》的人数、两种都订阅的人数的2倍，所以都订阅的人数是：，据此解答． 【解答】解：， ， ； 答：既订阅了《小学生数学报》又订阅了《数学小灵通》的学生至少占全班人数的． 故选：． 【点评】本题考查了容斥原理，关键是理解要求的人数是订阅《小学生数学报》又订阅了《数学小灵通》的学生的重叠部分，知识点是：既又总人数． 二．填空题（共8小题） 9．在一次考试中，方方和圆圆考试结果统计如下：方方答错了全部试题的，圆圆答错了7道题，方方和圆圆都答错的题目占全部试题的，那么方方和圆圆两人都答对的题目最少有　6　道． 【分析】因为方方答错全部试题的，方方和圆圆都答错了全部试题的，所以全部试题数一定既是3和5的公倍数，也就是15的倍数，则于是求么方方和圆圆两人都答对的题目最少有多少道，假设试题如果是15道（这是最少的可能情况），那么，两人都答错的有道．方方答错全部试题的道，圆圆答错方方答对的有道，方方答错而圆圆答对的有道，根据容斥原理可知，都答对的道． 【解答】解：全部试题最少有：道， 都答错的有道．方方答错全部试题的道， 圆圆答错方方答对的有道， 方方答错而圆圆答对的有道， 都答对的至少有： （道． 答：那么方方和圆圆两人都答对的题目最少有6道． 故答案为：6． 【点评】完成本题要注意是求都答对的题目“最少”有多少道，因此题目总数要取5和3的最小公部数． 10．六（1）班有26人订阅了《小学生语文报》，有30人订阅了《小学生数学报》，其中有11人两种报纸都订了，还有3人两种报纸都没订．这个班一共有　48　人． 【分析】有26人订阅了《小学生语文报》，有30人订阅了《小学生数学报》，其中有11人两种报纸都订了，根据容斥原理可知，全班定报纸的人数为人，再加上什么报纸都没订的3人，则全班共有人． 【解答】解： ， （人； 答：全班共有48人． 【点评】根据容斥原理之一：类类元素个数总和属于类元素个数属于类元素个数既是类又是类的元素个数，求出订报纸的人数是完成本题的关键． 11．在50人的班级中，组织了3个课外活动小组，其中参加体育组的25人，参加音乐组的25人，参加美术组的22人；同时参加音乐、体育两组的11人，同时参加音乐、美术两组的10人，同时参加美术、体育两组的9人，三组都参加的5人，试问在这个班级中这3个小组都未参加的有　3　人． 【分析】由于体育组的25人，参加音乐组的25人，参加美术组的22人，则这三个组共有人，又同时参加音乐、体育两组的11人，同时参加音乐、美术两组的10人，同时参加美术、体育两组的9人，三组都参加的5人，根据容斥原理可知，参加兴趣小组的共有人，全班共有50人，则这个班级中这3个小组都未参加的有人． 【解答】解： ， ， （人． 答：这个班级中这3个小组都未参加的有23人． 故答案为：3 【点评】类和类和类元素个数总和类元素个数类元素个数类元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类而且是类的元素个数． 12．下面是玉华小学六年级学生期末复习中四次测试及格率统计表 第几次 一 二 三 四 及格率 90 95 97 98 在这四次测试中，每次都及格的人数占全班的百分比最低是　　． 【分析】四次测验及格率最低的二次是和；用这两次及格率的和减去总人数就是每次都及格的人数占全班的百分比最低是百分之几． 【解答】解：， ， ； 答：每次都及格的人数占全班的百分比最低是． 故答案为：． 【点评】本题根据容斥原理进行求解：两次及格率的和减去就是两次都及格的人数占的百分数． 13．汉江小学六年级有的同学参加了语文读书竞赛，的同学参加了“走进数学王国”电视邀请赛，两项竞赛都参加的同学有20人，的同学这两项竞赛都没有参加．该校六年级参加“走进数学王国”电视邀请赛的同学有　72　人． 【分析】本题可列方程进行解答，设六年级共有学生人，的同学两项竞赛都没有参加，则参加竞赛的人数共有人，由于的同学参加了语文读书竞赛，的同学参加了“走进数学王国”电视邀请赛，则参这两项竞赛的人数共有人，两项竞赛都参加的同学有20人，由此根据容斥原理可得方程：．解此方程后求得总人数，进而求得参加“走进数学王国”电视邀请赛的同学有多少人． 【解答】解：设六年级共有学生人，可得方程： ． ， ， ； （人； 答：该校六年级参加“走进数学王国”电视邀请赛的同学有72人． 故答案为：72． 【点评】根据容斥原理之一：类类元素个数总和属于类元素个数属于类元素个数既是类又是类的元素个数列出等量关系式是完成本题的关键． 14．某小学六年级一共订了三份报纸，每个同学都分别订了两份报纸，共订《少年报》80份，《语文报》110份，《数学报》126份，那么既订《语文报》又订《数学报》的同学一共有　78　人． 【分析】根据题干，订报纸的人数是：人，因为每个同学都分别订了两份报纸，假设订《语文报》的同学没有订《数学报》；那么就有名同学，比总人数多出了人，则多出的这部分就是既订《语文报》又订《数学报》的人数． 【解答】解：订报纸的人数是：人， 假设订《语文报》的同学没有订《数学报》， 则既订《语文报》又订《数学报》的人数为： （人， 答：既订《语文报》又订《数学报》的同学一共有78人． 故答案为：78． 【点评】根据所订的报纸份数求得总人数是解决本题的关键；这里采用假设法从问题的反面进行解决． 15．今年某班有56人订阅过《时代数学报》，其中，上半年有25名男生、15名女生订阅了该报纸，下半年有24名男生、23名女生订阅了该报纸，有20名男生是全年订阅，那么全年订阅了该报纸的女生有　11　名． 【分析】已知订阅全年杂志的男生为20，则只订上半年的男生有5人，只订下半年的男生有4人，全年一共订阅的男生有人，那么全年一共订阅的女生有人，由此设全年订阅该报纸的女生有人，则只订上半年的有人，只订下半年的有人，根据只订上半年的人数只订下半年的人数全年都订的人数人，列出方程即可解答． 【解答】解：根据题干可知：全年一共订阅的男生有人，那么前年一共订阅的女生有人， 设全年订阅杂志的女生有人，根据题意可得方程： ， ， ， 答：全年订阅了该报纸的女生有11人． 故答案为：11． 【点评】此题考查了利用容斥原理解答问题的方法的灵活应用，这里根据题干先求出女生订阅的总人数是解题的关键． 16．一个班有48人．班主任问：“谁做完了语文作业？”这时有37人举手．又问：“谁做完了数学作业？”这时有42人举手．最后问：“谁语文、数学作业都没做完？”没有人举手．请你算一算，这个班语、数作业都做完的有　31　人． 【分析】由题意得出：因为没有人两科作业都没做完，所以实际48人都参与了写作业，做完数学和语文作业的总人数为：（人，（人，超出了全班人数，超出的部分是两种作业都完成的人数． 【解答】解：（人， 答：这个班语、数作业都做完的有31人． 故答案为：31． 【点评】解决本题的关键是根据：做完数学和语文作业的总人数全班人数两种作业都完成的人数． 三．解答题（共9小题） 17．47名同学参加了数学和语文考试，两门都没得100分的有26人，数学得满分的有17人，语文得百分的有12人，试问两门都得100分的有几人？ 【分析】两门都没得100分的有26人，那么至少一门得100分的就是人，由此根据语文、数学得100分的人数画图分析： 由此利用容斥原理即可求出两门都得100分的人数． 【解答】解：至少一门得100分的有：（人， 两门都得100分的有：（人， 答：两门都得100分的有8人． 【点评】此题考查了利用容斥原理解答问题的灵活应用，这里求出至少一门得100分的人数是解决问题的关键． 18．某校六年级学生中男生人数占，男生中爱打乒乓球的占，女生中不爱打乒乓球的占．那么，在该校全体六年级学生中，爱打乒乓球的学生占百分之几？ 【分析】六年级学生中男生人数占，男生中爱打乒乓球的占，根据分数乘法的意义可知，男生中爱打乒乓球的占总人数的；又女生占总人数的，女生中不爱打乒乓球的占，则女生中爱打乒乓球的占女生人数的，即占总人数的，所以全部爱打乒乓球的人数占总人数的． 【解答】解： ， ， ． 答：爱打乒乓球的学生占． 【点评】完成本题要注意女生中女生中不爱打乒乓球的占，而不是爱打乒乓球的占． 19．六一班的王老师在一次数学测验中共出了三道题，结果做对第一题的有39人，做对第二题的有42人，做对第三题的有28人，同时做对第一、二题的有33人，做对第一、三题的有22人，做对第二、三题的有21人，全对的有17人，没有全错的．全班有多少人？ 【分析】因为全对的有17人，所以只做对第一题和第二题的有人，只做对第一、三题的有人，只做对第二、三题的有人，由此可以画图分析，观察图形可知，因为同时做对第一题和第二题的，同时做对第一、三题的，同时做对第二、三题的人数，重复加了1次，全做对的17人重复加了2次，把做对第一题、第二题、第三题的总人数加起来，减去重复加的人数，就得到这个班的总人数． 【解答】解：只做对第一题和第二题的有（人， 只做对第一、三题的有（人， 只做对第二、三题的有（人， ， ， （人； 答：这个班一共有50人． 【点评】此题考查了利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，利用画图法进行分析解答，可使计算过程更加简洁明了． 20．某校六年级抽查了60位同学，其中的同学爱好打乒乓球，的同学爱好打篮球． （1）两种运动都爱好的同学最多可能是多少位？最少可能是多少位？ （2）如果这两项运动都爱好的有32位，那么： ①只爱好打篮球的有多少位？ ②两项运动都不爱好的有多少位？ 【分析】（1）求两种运动都爱好的同学最多可能是多少位，这就要求爱好乒乓球的和爱好打篮球最大可能重合，因为也就是个个；最少也就是要求这和中最小部分重合，根据容斥原理可知，最少有，个． （2）因为这两项运动都爱好的有32位，爱好打篮球的有人，则只爱好打篮球的有人；根据容斥原理可知，爱好两种运动的共有人，则两种都不爱好的有人． 【解答】解：（1）个（个， ， （人； 答：两种运动都爱好的同学最多可能是40位，最少可能是25位． （2） ， （人； 答：只爱好打篮球的有13位． ， ， ， （人； 答：两项运动都不爱好的有7人． 【点评】容斥原理之一：类类元素个数总和属于类元素个数属于类元素个数既是类又是类的元素个数． 21．东方小学的统计数据表明：学校共有学生1200名，其中男生650名，高年级学生300名，三好学生100名，男生中的三好学生60名，高年级学生中男生160名，高年级女生中三好学生20名，非高年级女生中不是三好学生的400名．试说明：这个统计数据一定有错误． 【分析】根据题干分析可得：（1）根据“全校女生550人，高年级女生140人，非高年级女生410人．女生中三好学生40人，”可以求出非高年级女生20人； （2）另一方面，根据“非高年级女生有410人，也可以求出非高年级女生三好学生10人，”，前后矛盾，说明统计数据一定有误． 【解答】解：（1）女生三好学生有：（人， 所以非高年级女生三好学生是：（人， （2）全校女生有：（人， 高年级女生有：（人， 则非高年级女生有：（人， 所以非高年级女生的三好学生有：（人， 根据上述两种方法求出的非高年级女生三好学生人数：， 所以原题中统计数据一定有错误． 【点评】解答此类问题的关键是：根据题干已知数据推理而得出相互矛盾的结论，即可论证数据有错误． 22．学校先后举行数学、作文、自然三科竞赛，某班有25人报名参加．其中14有参加数学竞赛，12人参加作文竞赛，10人参加自然竞赛，并且有4人参加数学作文两科竞赛，有2人参加数学自然两科竞赛；只有1人三科竞赛都参加．问有多少人参加作文自然两科竞赛？ 【分析】三量重叠的容斥问题的公式是：类、类与类元素个数的总和类元素的个数类元素个数类元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数同时是类、类、类的元素个数；据此逆用，然后代入数据解答即可． 【解答】解： （人 答：有6人参加作文自然两科竞赛． 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题．三量重叠的容斥问题用符号表示为：． 23．小明家在一幢三层楼里，他想了解这幢楼里共住了多少人，他向管理员了解到以下信息：第一层住了20人，男孩有2人；成年男人第三层有7人，第二层有8人；成年女人第三层有5人，第一层有7人；第二层楼里女孩2人，第三层里有男孩4人，女孩2人，第一层里有男孩2人，女孩6人；且成年男子总数与成年女子总数一样多，女孩总数比男孩总数多3人．第二层里住了多少人？这幢楼里共住了多少人？ 【分析】本题给出的数量较多，信息量大，如果直接求解很难着手，可以先把给出的信息用一个表格表示出来，然后逐步填出未知的空格里面的数即可． 题目给出的信息整理如下： 层数 成年男子 成年女子 男孩 女孩 总计 一 7人 2人 6人 20人 二 8人 2人 三 7人 5人 4人 2人 合计 发现：可以先求出三层的总人数，只要能再求出二层的总人数，然后相加即可；再根据成年男子总数与成年女子总数一样多，女孩总比男孩总数多3人求出二层的总人数即可求解． 【解答】解：三层总人数：（人 一层成年男子的人数：（人 所以成年男子一共有：（人 那么二层的成年女子就有：（人； 女孩总人数： （人 二层男孩人数：（人 二层总人数：（人 总人数：（人 如下表： 层数 成年男子 成年女子 男孩 女孩 总计 一 5 7人 2人 6人 20人 二 8人 8人 1 2 19人 三 7人 5人 4人 2人 18人 合计 20人 20人 7人 10人 57人 答：第二层里住了19人，这幢楼里共住了57人． 【点评】本题题干较复杂，采用列表法，找出给出的数量之间的关系就比较容易解决了． 24．小明调查了本班学生的兄弟关系如下：有哥哥的学生是全班学生人数的．有弟弟的学生是全班学生人数的．既有哥哥，又有弟弟的学生数是全班人数的．既没有哥哥，又没有弟弟的学生有8名．根据上面的数据试求小明班上共有学生多少名？ 【分析】全班人数包括四部分：只有哥哥的学生，只有弟弟的学生，既有哥哥，又有弟弟的学生，既没有哥哥，又没有弟弟的学生，因此既没有哥哥，又没有弟弟的学生占全班的：，根据分数乘法的意义，求全班的总人数，列式为：，然后解答即可得出答案． 【解答】解：， ， （人； 答：小明班上共有学生40名． 【点评】本题考查了容斥原理，关键是理解全班人数包括四部分，知识点是：总人数既又．本题是典型的容斥问题，解答规律是：既又总数量（两种情况）．本题依据了容斥原理公式之一：类类元素个数总和属于类元素个数属于类元素个数既是类又是类的元素个数． 25．应用题矫正题： （1）六（1）班45名学生参加植树活动，每人至少参加一项活动，全班有人参加挖坑，有的人参加浇水，这两项劳动都参加的有多少人？ （2）某班有30人参加学校的两项体育活动，每人至少要参加一项活动，其中有的同学参加了拔河比赛，比参加踢毽子的同学多6人，这两项活动都参加的有多少人？ （3）某年级有72人参加学校的两项体育活动，每人至少要参加一项活动，其中有的同学参加了拔河比赛，参加跳绳比赛的同学是参加拔河比赛人数的，那么，这两项活动都参加的有多少人？ 【分析】（1）把六（1）班45名学生看作单位“1”，单位“1”是已知的用乘法计算，求挖坑的人数，就是求45的是多少，求浇水的人数就是求45的是多少，用挖坑的人数加上浇水的人数再减去六（1）班45名学生就是这两项劳动都参加的人数，据此解答即可． （2）要求两项活动都参加的有多少人，就要用参加拔河比赛的人数加上参加踢毽子比赛的人数，再减去参加比赛的总人数，因某班有30人参加比赛，其中有的同学参加了拔河比赛，参加拔河比赛的同学是30人的就是人，参加拔河比赛的比参加踢毽子的同学多6人，就是参加踢毽子的同学比参加拔河比赛的同学少6人，即参加踢毽子比赛的同学有人，据此解答． （3）根据分数乘法的意义，参加拔河比赛的同学有人，参加跳绳比赛的同学有人．则两项都参加的人数有人． 【解答】解：（1） （人 答：这两项劳动都参加的有17人． （2）（人 （人 （人 答：这两项活动都参加的有4人． （3）（人 （人 （人 答：两项都参加的有18人． 【点评】本题依据了容斥原理公式之一：类类元素个数总和属于类元素个数属于类元素个数既是类又是类的元素个数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$