精品解析：湖南省张家界市慈利县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024年秋季期中教学质量检测九年级数学 考生注意：全卷共有三道大题，满分120分，时量120分钟． 一、单选题（每小题3分，共10道小题，合计30分） 1. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由a，b，c，d是成比例线段，可得a：b=c：d，进而，可求解. 【详解】∵a，b，c，d是成比例线段， ∴a：b=c：d， ∴3：2=6：d， 即：d=， 故选A. 【点睛】本题主要考查比例线段的定义，根据定义，列出比例式，是解题的关键. 2. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质求参数范围，当时，反比例函数的图象在第二、四象限，得到求解即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：若反比例函数的图象分布在第二、四象限， 则， 解得， 故选：A． 3. 一元二次方程配方后变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法是解题的关键．先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 即． 故选：B 4. 在函数（k是常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的图象与性质结合三点的横坐标进行判断即可． 【详解】解：∵函数（k为常数，且）中， ∴函数图象的两个分支分别在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减少， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5. 某地区去年投入教育经费2500万元，计划明年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，增长率问题，一般用增长后的量增长前的量+增长率，参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据去年投入2500万元，预计明年投入3600万元即可得出方程． 【详解】解：设这两年投入教育经费的年平均增长率为x， 今年投入教育经费万元， 明年投入教育经费 那么可得方程， 故选：C． 6. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐一判断即可，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， 由，不能证明，符合题意； 故选：． 7. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 8. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则＝（ ） A. 2：3 B. 3：2 C. 9：4 D. 4：9 【答案】D 【解析】 【分析】先设出，进而得出，再用平行四边形的性质得出，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵点F是BC的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题的关键． 9. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 10. 如图，在四边形中，于点，轴，点在轴上，点，在函数的图象上，则与的面积之比为，若的面积为，那么的值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，解题的关键是学会利用设元法将图中点的坐标利用几何性质表示出来解决问题．设，，利用的面积为6，求出，根据与的面积之比为，列式即可解决问题． 【详解】解：设，， ∵，的面积为6，轴， ∴， ∴， ∵与的面积之比为， ∴， 解得：， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，合计24分） 11. 若反比例函数的图象过点，则m的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解一次方程即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 (k为常数，)的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即. 【详解】解：根据题意得， 解得 故答案为：2. 12. 如果，那么的值为 __． 【答案】 【解析】 【分析】利用合比的性质进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案：. 【点睛】本题考查比例的基本的性质，根据性质内容准确计算是关键. 13. 关于的一元二次方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，设方程的另一个根为，根据两根之和等于可得，据此即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：设方程的另一个根为，由根和系数的关系可得， ， ∴， 故答案为：． 14. 如图，已知，若，．则长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 根据平行线分线段成比例定理得出比例式，带入即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，若点坐标，则点坐标为______________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的对应坐标，熟练掌握位似图形的基本性质是解题关键． 先通过位似的基本性质得到两个三角形的相似比，然后通过位似图形在坐标原点的同侧，把点坐标乘以相似比即可． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴且 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴与的相似比为 又∵ ∴ 故答案为： ． 16. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D．视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为________米． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出． 【详解】解：由题意知：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是所列方程的解， 故答案为：6． 17. 如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为8，则这个反比例函数的解析式为________ ． 【答案】y= 【解析】 【分析】先设反比例函数解析式为y=(k≠0) ， 连接OA，根据△ABO和△ABP同底等高，可求出△ABO的面积，再利用反比例函数k的几何意义及反比例函数图象位于第二象限，即可确定k的值. 【详解】解：连接OA，如图所示 设反比例函数解析式为 y=(k≠0)， 由图知：S△AOB=S△ABP=|k|=8, ∵反比例函数图象位于第二象限， ∴k＜0， ∴k=-16， ∴反比例函数解析式为： y=. 故答案为 y=. 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象，根据反比例函数系数k的几何意义找出|k|=8是解题的关键． 18. 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“逆倒数点”．如图，正方形的顶点C为，顶点E在y轴正半轴上，函数的图象经过顶点D和点A，连结交正方形的一边于点B，若点B是点A的“逆倒数点”，则点A的坐标为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，新定义阅读理解能力，解题的关键是灵活运用所学的知识． 根据正方形的性质和点的坐标，可知正方形顶点的坐标为，从而得到反比例函数解析式为，设点的坐标为，则“逆倒数”点的坐标为，点在正方形的一边上，分两种情况：①点在上，得；②点在上，得，即可求出点的坐标． 【详解】解：在正方形上，点的坐标 ∴正方形顶点的坐标为 将代入中， 解得：， 即反比例函数解析式为：， 设点的坐标为，则“逆倒数”点的坐标为， 点在正方形的一边上，分两种情况： ①点在上， ，即， ， ， ； ②点在上， ，即， ， ， ， 故答案为：或． 三、解答题（合计66分） 19. 已知，且，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，则可根据已知条件式列出方程求出k，进而求出与k的关系，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴可设， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 21. 如图，点是平行四边形的边延长线上一点，与相交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的判定证得结论； （2）证明得到求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 22. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）． （1）求出这个函数的解析式； （2）当气球体积为时，气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了完全起见，气球的体积应不小于______． 【答案】（1）函数的解析式为 （2）气球内的气压是120千帕 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确建立函数关系式并会运用函数关系式是解题的关键． （1）直接运用待定系数法即可解答； （2）将代入（1）中函数式求p即可； （3）将代入（1）中的函数式求V即可解答． 【小问1详解】 解：设这个函数的解析式，则有：， 解得：， ∴这个函数的解析式； 【小问2详解】 解：当时，千帕， 答：气球内的气压是120千帕． 【小问3详解】 解：根据题意，当时，为安全范围， ∴， 解得，， 故为了安全起见，气球的体积应不小于． 23. 甲商品的售价为每件40元． （1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）经调查，该商品每降价元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月销售额为26250元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 【答案】（1） （2）该商品在原售价的基础上，再降低25元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用：平均变化率问题和销售问题，正确分析题目中的数量关系是解题的关键． (1)设调价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件元，可列方程求解． (2)根据已知条件求出多售的件数，根据该商场希望该商品每月销售额为26250元列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设这种商品平均降价率是x， 依题意得： 解得：，（舍去） 答：这个降价率为。 【小问2详解】 设降价y元，则多销售件， 根据题意得， 解得：， 因为尽可能扩大销售量，所以（舍去） 答：该商品在原售价的基础上，再降低25元．- 24. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动同时，动点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点B匀速运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．当点P不与点A、C重合时，连结．作线段的垂直平分线交折线于点E，交于点F，交于点G，连结．设点P的运动时间为t（秒）． （1）是否存在t的值使四边形的面积为4，若存在求出此值；若不存在请说明理由； （2）当是等腰三角形时，求t的值； （3）当时，求t的值． 【答案】（1）不存在t的值使四边形的面积为4，理由见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先判断是直角三角形，根据题意得根据，得，根据根的判别式得，可知结论不存在； （2）由等腰三角形的性质得出，则可得出答案； （3）由勾股定理可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得， ∵， ∴ ∴， 又， ∴ 整理得， ∴ ∴此方程无实数根，即不存在t的值使四边形的面积为4； 【小问2详解】 解：∵垂直平分，是等腰三角形， ∴， 在中，， ∴． ∴, ∴． 【小问3详解】 解：由题意得，点为的中点， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 解得，或． 25. 阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程的解为_______________________； （2）间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值； （3）拓展应用： 已知实数m，n满足：，且，求的值． 【答案】（1），，， （2）或 （3）15 【解析】 【分析】（1）利用换元法降次解决问题； （2）模仿例题解决问题即可； （3）令=a，-n=b，则+a-7=0， +b=0，再模仿例题解决问题． 【小问1详解】 解：令y=，则有-5y+6=0， ∴（y-2）（y-3）=0， ∴=2，=3， ∴=2或3， ∴，，，， 故答案为：，，，； 【小问2详解】 解：∵， ∴或 ①当时，令，， ∴则，， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 此时； ②当时，， 此时； 综上：或 【小问3详解】 解：令，，则，， ∵， ∴即， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图像相交于C、D两点，点D的横坐标为3．轴，垂足为 E ． （1）写出点A、B、D的坐标，并求反比例函数的解析式： （2）M是反比例函数图像上的一个动点且在点D右侧，过点M作轴，垂足为F、是否存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点M坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1），，，反比例函数的解析式为； （2）或 【解析】 【分析】（1）由一次函数的，，，分别求解对应的，，从而可得点A、B、D的坐标，再代入D的坐标可得反比例函数解析式； （2）如图，于，证明，由在的右侧，分两种情况：当时，设，当时，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数， 当，则，当，则， ∴，， 当时，， ∴， 在反比例函数上， ， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，于， ∴， ∵点M、E、F为顶点的三角形与相似，在的右侧， 当时， ∴， 设， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， 当时， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴． 综上：或． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，一次函数与坐标轴的交点坐标，相似三角形的性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季期中教学质量检测九年级数学 考生注意：全卷共有三道大题，满分120分，时量120分钟． 一、单选题（每小题3分，共10道小题，合计30分） 1. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长度是（ ） A. B. C. D. 2. 若反比例函数图象分布在第二、四象限，则（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程配方后变形为（ ） A. B. C. D. 4. 在函数（k是常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 某地区去年投入教育经费2500万元，计划明年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A. B. C D. 6. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 8. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则＝（ ） A. 2：3 B. 3：2 C. 9：4 D. 4：9 9. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A B. C. D. 10. 如图，在四边形中，于点，轴，点在轴上，点，在函数的图象上，则与的面积之比为，若的面积为，那么的值（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，合计24分） 11. 若反比例函数的图象过点，则m的值为________． 12. 如果，那么的值为 __． 13. 关于的一元二次方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 14. 如图，已知，若，．则的长为___________． 15. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，若点坐标，则点坐标为______________. 16. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D．视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为________米． 17. 如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为8，则这个反比例函数的解析式为________ ． 18. 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“逆倒数点”．如图，正方形的顶点C为，顶点E在y轴正半轴上，函数的图象经过顶点D和点A，连结交正方形的一边于点B，若点B是点A的“逆倒数点”，则点A的坐标为__________． 三、解答题（合计66分） 19. 已知，且，求的值． 20. 解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 21. 如图，点是平行四边形边延长线上一点，与相交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）． （1）求出这个函数的解析式； （2）当气球体积为时，气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了完全起见，气球的体积应不小于______． 23. 甲商品的售价为每件40元． （1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）经调查，该商品每降价元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月销售额为26250元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 24. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动同时，动点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点B匀速运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．当点P不与点A、C重合时，连结．作线段的垂直平分线交折线于点E，交于点F，交于点G，连结．设点P的运动时间为t（秒）． （1）是否存在t的值使四边形的面积为4，若存在求出此值；若不存在请说明理由； （2）当是等腰三角形时，求t的值； （3）当时，求t值． 25. 阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程的解为_______________________； （2）间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值； （3）拓展应用： 已知实数m，n满足：，且，求的值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图像相交于C、D两点，点D的横坐标为3．轴，垂足为 E ． （1）写出点A、B、D的坐标，并求反比例函数的解析式： （2）M是反比例函数图像上的一个动点且在点D右侧，过点M作轴，垂足为F、是否存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点M坐标，如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $