专题01 三角形（7基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（山西专用）

专题01 三角形 三角形的角平分线、中线和高 1. （2024春•洪洞县期末）下列各图中，作△边上的高，正确的是　　 A． B． C． D． 2. （2024春•侯马市期末）小林求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是　　 A． B． C． D． 3. （2023春•榆次区校级期末）用一块含角的透明直角三角板画已知的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是　　 A． B． C． D． 4. （2023春•侯马市期末）如图，中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数． 三角形的稳定性 1. （2023春•晋中期末）如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是　　 A．同位角相等，两直线平行 B．三角形具有稳定性 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 2. （2023春•临汾期末）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是　　 A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等 3. （2023春•襄汾县期末）如图，为了安全建筑工地的塔吊上部设计成三角形结构，这样做的道理是　　 A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．三角形任意两边之和大于第三边 4. （2023春•洪洞县期末）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是　　 A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 三角形三边关系 1. （2023春•晋中期末）数学活动课上，小明想用三根木棒首尾顺次相接制作一个三角形模型，现有两根长度分别为和的木棒，则第三根木棒的长度可取　　 A． B． C． D． 2. （2023春•上党区期末）小明要用三根木棒搭一个三角形作品，已知其中两根木棒的长分别是和，那么第三根的长可以是　　 A． B． C． D． 3. （2023春•阳城县期末）某学校七年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是　　 A． B． C． D． 4. （2023春•侯马市期末）三角形的三条边长分别为3、5、，则的取值范围是　 　． 5. （2023春•襄汾县期末）一个三角形的两边长分别为2和14，第三边长为偶数，则第三边长为 　　． 三角形内角和定理 1. （2023春•万荣县校级期末）将两块大小相同的含角的直角三角板按如图所示放置，的直角边恰好平分的直角，则的度数为　　 A． B． C． D． 2. （2022秋•运城期末）如图，在中，，，，，连接，，则的度数是　　 A． B． C． D． 3. （2023春•洪洞县期末）如图，在△中，平分交于点，于点，若，，则的度数是 　　． 4. （2022秋•孝义市期末）将一副三角尺如图摆放，其中，，，，则　　． 三角形的外角性质 1. （2022秋•万荣县期末）如图，在中，，，是内一点，且，则的度数为　　 A． B． C． D． 2. （2023秋•运城期末）如图，已知，，，分别平分的外角和，则的度数是　　 A． B． C． D． 3. （2023春•洪洞县期末）将一副三角板拼成如图所示的图形，过点作平分交于点． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）求的度数． 4. （2023春•襄汾县期末）如图，在中，，是的外角的平分线，过点作交于点，，求的度数． 直角三角形的性质 1. （2023春•万荣县校级期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线，及其交点．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为　　 A． B． C． D． 2. （2023春•盐湖区期末）如图，在平面内，一组平行线穿过，若，，则的度数是　　 A． B． C． D． 3. （2023春•上党区期末）在中，锐角，则另一个锐角　　． 4. （2022秋•临县校级期末）如图，在中，，，将其折叠，是点落在边上的点，折痕为，则的度数为　　． 多边形与多边形的内角和外角 1. （2023春•小店区期末）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图的五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，，，，的度数和为　　 A． B． C． D． 2. （2022秋•交口县期末）2022年北京冬奥会开幕式为世界奉献了一场精彩、简约、唯美、浪漫的中国文化盛宴，其中主火炬台的雪花状创意令人惊叹．如图是一个正六边形雪花状饰品，则它的每一个内角是　　 A． B． C． D． 3. （2023春•侯马市期末）如图，桐桐从点出发，前进到点处后向右转，再前进到点处后又向右转，，这样一直走下去，她第一次回到出发点时，一共走了　　 A． B． C． D． 4. （2023春•洪洞县期末）一个边形的内角和比其外角和的2倍多，则的值是　　 A．7 B．6 C．5 D．4 5. （2023春•阳城县期末）把边长相等的正五边形和正六边形按照如图的方式叠合在一起，是正六边形的对角线，则等于　　 A． B． C． D． 6. （2023春•临汾期末）如图，在正五边形中，为边延长线上一点，连接，则的度数为　　 A． B． C． D． 7. （2023春•太原期末）如图，正五边形中，边，的延长线交于点，则的度数为　　 A． B． C． D． 8. （2023春•侯马市期末）把边长相等的正五边形和正方形按照如图所示的方式叠合在一起，则的度数是　　 A． B． C． D． 9. （2022秋•万荣县期末）砌砖墙是墙体建筑的一种方式，盖房子过程中，黏土多孔砖墙在砌合时，应满足砂浆饱满、横平竖直、上下错缝、内外搭砌等最基本的砌墙要求，以此来保证墙体的强度和稳定性及固定性．如图是由截面相同的长方形墙砖粘贴的部分墙面，则每块墙砖的截面面积是 　 　． 三角形中的8字和A字模型 1. （2023春•侯马市期末）问题情景 如图1，中，有一块直角三角板放置在上点在内），使三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． 试问与是否存在某种确定的数量关系？ （1）特殊探究：若，则　 　度，　　度，　　 度； （2）类比探索：请探究与的关系． （3）类比延伸：如图2，改变直角三角板的位置；使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论． 2. （2022秋•芮城县期末）综合与实践 如图1，线段与相交于点，连接，，我们把这样的图形称为“8字形”，数学兴趣课上，老师安排同学们探索“8字形”中相关角度的数量关系． （1）请通过观察、测量，猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，奋斗小组在图1的基础上，分别作与的平分线交于点，若，，求的度数； （3）智慧小组在图1的基础上，分别作射线，，使得，，两条射线交于点，请直接写出，，之间的数量关系． 3. （2022秋•运城期末）一个三角形纸片沿折叠，使点落在点处．（点在的内部） （1）如图1，若，则　 　． （2）利用图1，探索，与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，把折叠后，平分，平分，若，利用（2）中得出的结论求的度数． 三角形的新定义 1. （2022秋•稷山县期末）定义：当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为，那么倍角的度数是 　 　． 2. （2022秋•榆次区校级期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”， （1）观察“规形图”，直接写出与、、之间的关系：　　； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，，则　　； ②如图3，平分，平分，若，，则　　； ③如图4，，的10等分线相交于点、、，若，，则　　． 三角形的综合 1. （2023春•侯马市期末）如图，的度数为　　 2. （2023春•襄汾县期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 已知“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，那么五边形的外角与内角之间又有什么关系呢？如图1，在五边形中，，是它的两个外角，．下面是该结论的证明过程（部分） 五边形的内角和为， ． （1）按照上面的证明思路，完成证明的剩余部分． （2）知识应用：如图2，在五边形中，，分别是和的平分线，若，求的度数； （3）拓展提升：如图3，，，则　　． 3. （2023春•洪洞县期末）在中，于点． 特例研究： （1）如图1，若的平分线能交于点，，，求的度数； 操作发现： 如图2，点，分别在线段，，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，点，都在射线上； （2）若，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）将绕点逆时针旋转，旋转角记为．记旋转中的为△，在旋转过程中，点，的对应点分别为，，直线，与直线交于点，与直线交于点．若，，请直接写出旋转角的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形 三角形的角平分线、中线和高 1. （2024春•洪洞县期末）下列各图中，作△边上的高，正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的高的概念判断即可． 【解答】解：、是△边上的高，不符合题意； 、是△边上的高，不符合题意； 、是△边上的高，不符合题意； 、是△边上的高，符合题意； 故选：． 2. （2024春•侯马市期末）小林求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的高的定义判断即可． 【解答】解：、图中不是边上的高，不符合题意； 、图中不是边上的高，不符合题意； 、图中不是边上的高，不符合题意； 、图中是边上的高，符合题意； 故选：． 3. （2023春•榆次区校级期末）用一块含角的透明直角三角板画已知的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据高线的定义即可得出结论． 【解答】解：，，都不是的边上的高． 故选：． 4. （2023春•侯马市期末）如图，中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数． 【分析】先利用三角形内角和定理可求，在直角三角形中，易求；再根据角平分线定义可求、，可得的度数；然后利用三角形外角性质，可先求，再次利用三角形外角性质，容易求出． 【解答】解：， ， 又是高， ， ， 、是角平分线， ，， ， ， ， ，． 故，． 三角形的稳定性 1. （2023春•晋中期末）如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是　　 A．同位角相等，两直线平行 B．三角形具有稳定性 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【分析】学校门口设置的移动拒马做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案． 【解答】解：学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性， 故选：． 2. （2023春•临汾期末）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是　　 A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等 【分析】由三角形具有稳定性，即可得到答案． 【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理：三角形具有稳定性． 故选：． 3. （2023春•襄汾县期末）如图，为了安全建筑工地的塔吊上部设计成三角形结构，这样做的道理是　　 A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．三角形任意两边之和大于第三边 【分析】利用三角形的稳定性进行解答即可． 【解答】解：为了安全，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，这是利用了三角形的稳定性， 故选：． 4. （2023春•洪洞县期末）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是　　 A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【分析】根据三角形的稳定性即可解决问题． 【解答】解：根据三角形的稳定性可固定窗户． 故选：． 三角形三边关系 1. （2023春•晋中期末）数学活动课上，小明想用三根木棒首尾顺次相接制作一个三角形模型，现有两根长度分别为和的木棒，则第三根木棒的长度可取　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的三边关系求解． 【解答】解：两根长度为和的木棒，设第三根木棒的长度为 ， ， 即， ． 故选：． 2. （2023春•上党区期末）小明要用三根木棒搭一个三角形作品，已知其中两根木棒的长分别是和，那么第三根的长可以是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的三边关系，求出第三根木棒的长的取值范围即可得出结论． 【解答】解：由三角形的三边关系得，第三根木棒的长， 第三根木棒的长， 由各选项可知：只有选项符合此范围， 故选：． 3. （2023春•阳城县期末）某学校七年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是　　 A． B． C． D． 【分析】由题意将杨冲家、李锐家和学校之间的直线距离看成是三角形的三边，根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，来确定杨冲，李锐两家的直线距离的范围． 【解答】解：设杨冲，李锐两家的直线距离， 则， 所以， 故选：． 4. （2023春•侯马市期末）三角形的三条边长分别为3、5、，则的取值范围是　 　． 【分析】根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围． 【解答】解：三角形的两边长分别为3和5， 第三边长的取值范围是：， 即：． 故答案为：． 5. （2023春•襄汾县期末）一个三角形的两边长分别为2和14，第三边长为偶数，则第三边长为 　　． 【分析】设第三边长为，由三角形三边关系定理得到，因此，得到第三边长为偶数是14． 【解答】解：设第三边长为， ， ， 第三边长为偶数， 第三边长是14． 故答案为：14． 三角形内角和定理 1. （2023春•万荣县校级期末）将两块大小相同的含角的直角三角板按如图所示放置，的直角边恰好平分的直角，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】利用角平分线的定义，可求出的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【解答】解：平分， ． 在中，，， ． 故选：． 2. （2022秋•运城期末）如图，在中，，，，，连接，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】延长交于点，由三角形的内角和可求得，再由平行线的性质可得，，从而可得解． 【解答】解：延长交于点，如图所示： ，， ， ，， ，， ． 故选：． 3. （2023春•洪洞县期末）如图，在△中，平分交于点，于点，若，，则的度数是 　　． 【分析】根据三角形内角和定理可得，从而得到，再由直角三角形两锐角互余即可求解． 【解答】解：，， ， ， ． 平分， ． ． 故答案为：． 4. （2022秋•孝义市期末）将一副三角尺如图摆放，其中，，，，则　　． 【分析】利用三角形的外角性质求得的度数，再利用三角形的外角性质即可求解． 【解答】解：，， ， ， ， 故答案为：． 三角形的外角性质 1. （2022秋•万荣县期末）如图，在中，，，是内一点，且，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据的条件，求出的度数，再根据，，求出，于是可求出，然后根据三角形的内角和定理求出的度数． 【解答】解：， ， 又，， ， ， ． 故选：． 2. （2023秋•运城期末）如图，已知，，，分别平分的外角和，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】由角平分线定义得到，，由三角形外角的性质推出，，因此，由三角形内角和定理得到，而，即可求出． 【解答】解：，分别平分的外角和， ，， ，， ， ， ， ． 故选：． 3. （2023春•洪洞县期末）将一副三角板拼成如图所示的图形，过点作平分交于点． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）求的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再有，再根据内错角相等两直线平行可判定； （2）利用三角形外角性质进行计算即可． 【解答】解：（1）． 理由如下：是等腰直角三角形， ． 平分，， ， ， ． （2）是的外角，，， ． 4. （2023春•襄汾县期末）如图，在中，，是的外角的平分线，过点作交于点，，求的度数． 【分析】由垂直可得，则有，从而可求得，再由角平分线的定义可得，利用三角形的外角性质即可求的度数． 【解答】解：， ， ， ， ， 平分， ， 是的外角， ， ， ． 直角三角形的性质 1. （2023春•万荣县校级期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线，及其交点．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为　　 A． B． C． D． 【分析】利用三角形内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：， ， 平分，平分， ， ， ． 故选：． 2. （2023春•盐湖区期末）如图，在平面内，一组平行线穿过，若，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行线的性质可得，代入已知数据即可求解． 【解答】解：如图所示， 一组平行线穿过， ，， ，， ， 故选：． 3. （2023春•上党区期末）在中，锐角，则另一个锐角　　． 【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 【解答】解：中，， ． 故答案为：． 4. （2022秋•临县校级期末）如图，在中，，，将其折叠，是点落在边上的点，折痕为，则的度数为　　． 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，在中，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解． 【解答】解：，， ， 是翻折得到， ， 在中，， 即， ． 故答案为：． 多边形与多边形的内角和外角 1. （2023春•小店区期末）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图的五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，，，，的度数和为　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用多边形的外角和为即可得出答案． 【解答】解：多边形的外角和为， ，，，，的度数和为． 故选：． 2. （2022秋•交口县期末）2022年北京冬奥会开幕式为世界奉献了一场精彩、简约、唯美、浪漫的中国文化盛宴，其中主火炬台的雪花状创意令人惊叹．如图是一个正六边形雪花状饰品，则它的每一个内角是　　 A． B． C． D． 【分析】根据多边形的内角和公式：多边形的内角和，再利用内角和即可得出每个内角的度数． 【解答】解： ， ， 答：一个六边形的每个内角的度数是． 故选：． 3. （2023春•侯马市期末）如图，桐桐从点出发，前进到点处后向右转，再前进到点处后又向右转，，这样一直走下去，她第一次回到出发点时，一共走了　　 A． B． C． D． 【分析】根据多边形的外角和及每一个外角的度数，可求出多边形的边数，再根据题意求出正多边形的周长即可． 【解答】解：由题意可知，当她第一次回到出发点时，所走过的图形是一个正多边形， 由于正多边形的外角和是，且每一个外角为， ， 所以它是一个正18边形， 因此所走的路程为， 故选：． 4. （2023春•洪洞县期末）一个边形的内角和比其外角和的2倍多，则的值是　　 A．7 B．6 C．5 D．4 【分析】根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，列式计算即可得解．一个边形的内角和公式为：，一个多边形的外角和为． 【解答】解：一个边形的内角和比它的外角和的2倍还多， ， ； 故选：． 5. （2023春•阳城县期末）把边长相等的正五边形和正六边形按照如图的方式叠合在一起，是正六边形的对角线，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的内角和正六边形的内角，然后根据四边形的内角和即可得到结论． 【解答】解：正五边形的内角，正六边形的内角， 是正六边形的对角线， ， ， 故选：． 6. （2023春•临汾期末）如图，在正五边形中，为边延长线上一点，连接，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】先计算正五边形的内角，再根据三角形的内角和求解． 【解答】解：正五边形的一个内角为：， ， ， ， 故选：． 7. （2023春•太原期末）如图，正五边形中，边，的延长线交于点，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】求出正五边形每个外角的度数，由三角形内角和定理即可得到答案． 【解答】解：正五边形每个外角度数， ， ． 故选：． 8. （2023春•侯马市期末）把边长相等的正五边形和正方形按照如图所示的方式叠合在一起，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得角的度数，进而求解． 【解答】解：正五边形的内角的度数是， 正方形的内角是， 则． 故选：． 9. （2022秋•万荣县期末）砌砖墙是墙体建筑的一种方式，盖房子过程中，黏土多孔砖墙在砌合时，应满足砂浆饱满、横平竖直、上下错缝、内外搭砌等最基本的砌墙要求，以此来保证墙体的强度和稳定性及固定性．如图是由截面相同的长方形墙砖粘贴的部分墙面，则每块墙砖的截面面积是 　 　． 【分析】设长方形地砖的长为 ，宽为 ，根据拼图可得方程组，进而求出、的值，再由长方形的面积公式可求出答案． 【解答】解：设长方形地砖的长为 ，宽为 ，由题意得， ， 解得， 即长方形地砖的长为，宽为， 因此面积为． 故答案为：525． 三角形中的8字和A字模型 1. （2023春•侯马市期末）问题情景 如图1，中，有一块直角三角板放置在上点在内），使三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． 试问与是否存在某种确定的数量关系？ （1）特殊探究：若，则　 　度，　　度，　　 度； （2）类比探索：请探究与的关系． （3）类比延伸：如图2，改变直角三角板的位置；使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论． 【分析】（1）已知，根据三角形内角和定理易求的度数．已知，根据三角形内角和定理易求的度数，进而得到的度数； （2）由（1）中的度数，的度数，相减即可得到与的关系． （3）由于在中，，同理在中，，相减即可得到． 【解答】解：（1）， ， ， ， ． 故答案为：130，90，40； （2）结论：． 证明：， ， ． （3）不成立； 存在． 理由：中，， ， ， ， 即， ． 2. （2022秋•芮城县期末）综合与实践 如图1，线段与相交于点，连接，，我们把这样的图形称为“8字形”，数学兴趣课上，老师安排同学们探索“8字形”中相关角度的数量关系． （1）请通过观察、测量，猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，奋斗小组在图1的基础上，分别作与的平分线交于点，若，，求的度数； （3）智慧小组在图1的基础上，分别作射线，，使得，，两条射线交于点，请直接写出，，之间的数量关系． 【分析】（1）利用三角形内角和定理，对顶角相等证明即可； （2）设，，根据方程组解决问题即可； （3）结论：．设，，则，，构建方程组求解． 【解答】解：（1）理由：，，， ． （2）设，， 根据和的角平分线相交于点可知： ，， 三角形的内角和等于，，， ，即①． 是与的外角， ，即②． 同理，是与的外角， ，即③， ①②得，④， ①③得，⑤， ④代入⑤得，， ， 解得； （3）结论：． 理由：设，，则，， ， 由①可得， 由②可得， ， ， 3. （2022秋•运城期末）一个三角形纸片沿折叠，使点落在点处．（点在的内部） （1）如图1，若，则　 　． （2）利用图1，探索，与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，把折叠后，平分，平分，若，利用（2）中得出的结论求的度数． 【分析】（1）根据翻折变换的性质用、表示出和，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；根据翻折变换的性质用、表示出和，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）由、是的两个外角知、，据此得，继而可得答案； （3）由（1）知，根据平分，平分知．利用可得答案． 【解答】解：（1）点沿折叠落在点的位置， ，， ，， 在中，， ， 整理得； 故答案为：90； （2）， 理由：、是的两个外角， ，， ， ， 即； （3）由（1），得， ， 平分，平分， ． ， ． 三角形的新定义 1. （2022秋•稷山县期末）定义：当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为，那么倍角的度数是 　 　． 【分析】根据三角形内角和定理以及分类讨论的思想解决本题． 【解答】解：设这个“倍角”三角形的三个内角分别为、、，其中，则可能出现以下几种情况： ①当时，则； ②当时，则，该种情况不存在； ③当时，则，故，． 综上：或． 故答案为：或． 2. （2022秋•榆次区校级期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”， （1）观察“规形图”，直接写出与、、之间的关系：　　； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，，则　　； ②如图3，平分，平分，若，，则　　； ③如图4，，的10等分线相交于点、、，若，，则　　． 【分析】（1）首先连接并延长，然后根据外角的性质，即可判断出； （2）①由（1）可得，然后根据，，即可求出的值；②由（1）可得，再根据，，求出的值；然后根据，即可求出的度数；③设，，结合已知可得，，再根据（1）可得，，即可判断出的度数． 【解答】解：（1），理由如下： 如图，连接并延长． 根据外角的性质，可得，， 又，， ， 故答案为：； （2）①由（1）可得， ，， ， 故答案为：48； ②由（1）可得， ， ， ， 故答案为：90； ③设，， 则，， 则，， 解得 所以 即的度数为， 故答案为：62． 三角形的综合 1. （2023春•侯马市期末）如图，的度数为　　 【分析】根据三角形外角的性质和四边形内角和等于可得的度数． 【解答】解：如图， ，， ， 故答案为：． 2. （2023春•襄汾县期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 已知“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，那么五边形的外角与内角之间又有什么关系呢？如图1，在五边形中，，是它的两个外角，．下面是该结论的证明过程（部分） 五边形的内角和为， ． （1）按照上面的证明思路，完成证明的剩余部分． （2）知识应用：如图2，在五边形中，，分别是和的平分线，若，求的度数； （3）拓展提升：如图3，，，则　　． 【分析】（1）根据五边形内角和表示出的值，根据邻补角定义表示出的值，即可求解； （2）由（1）中的结论，求出，再根据角平分线定义求出的值，再根据三角形内角和定理即可求解； （3）根据已知条件求出的值，再由（1）中的结论，求出的值，进而可求的度数． 【解答】（1）证明：五边形的内角和为， ． ， ，， ， ， ； （2）解：由（1）得， ， ， 平分，平分， ，， ， ； （3）解：， ， ，， ， 由（1）得， ， ， ． 故答案为：． 3. （2023春•洪洞县期末）在中，于点． 特例研究： （1）如图1，若的平分线能交于点，，，求的度数； 操作发现： 如图2，点，分别在线段，，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，点，都在射线上； （2）若，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）将绕点逆时针旋转，旋转角记为．记旋转中的为△，在旋转过程中，点，的对应点分别为，，直线，与直线交于点，与直线交于点．若，，请直接写出旋转角的度数． 【分析】（1）利用三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解决问题； （2）结论：．由翻折可知，，由得出，再根据三角形外角的性质可得出，从而得出结论； （3）分两种情形分别求解即可解决问题． 【解答】解：（1）， ． 又， ． ， ． 平分， ， ． （2）结论：．理由： 由折叠可知：，， ， ， ， ， 即， ． （3）旋转角的度数为或． ①当时， ， ， 将折叠，点落在点处，折痕为，将绕点逆时针旋转一个角度， ， ， ， ； ②当时， ， ， 将折叠，点落在点处，折痕为，将绕点逆时针旋转一个角度， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ． 综上所述，旋转角的度数为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$