1.1.2数量积运算导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

“五转化”“五步学”导学教学—— 《1.1.2空间向量数量积运算》导学案 一 将素养化为目标（导） （一）目标呈现 数学抽象、数学运算：了解空间向量的夹角，掌握空间向量的数量积 直观想象：了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义 数学运算、逻辑推理：能利用空间向量数量积解决简单的立体几何问题 （二）知能链接 1、平面向量数量积公式： 2、 平面向量投影公式： 3、平面向量的数量积运算律： 二 将目标化为问题（问） （一）情景导入 　　如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W＝F·S＝｜F｜｜S｜cos θ，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念. （二）新知探究 1、空间向量的空间向量的夹角是什么？ 图中，AB和DD1 的夹角为 A1C1和AD1的夹角为 （1）概念：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则　 　叫做向量a，b的夹角，记作　 . （2）向量a，b的夹角＜a，b＞的范围是　 　，如果＜a，b＞＝，那么向量a，b互相 　 ，记作　 【想一想】 （1）.当＜a，b＞＝0和＜a，b＞＝π时，向量a与b有什么关系？ （2）＜a，b＞，＜－a，b＞，＜a，－b＞，＜－a，－b＞，它们有什么关系？ 2、空间向量的数量积定义是什么？有哪些性质？ （1）定义：已知两个非零向量a，b，则　 　叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝　 （2）性质：①当 a≠0，b≠0时 ， a ⊥ b ⇔　 　；②a·a＝　 　＝　 　＝a2； ③a·e＝｜a｜cos＜a，e＞（其中e为单位向量）；④若a，b为非零向量，则cos＜a，b＞＝； ⑤特别地，零向量与任意向量的数量积为0. （2） 空间向量数量积有哪些运算律？与平面向量数量积的运算律一样吗？ ①（λa）·b＝　 ，λ∈R； ② 交换律：a·b＝ ； ③ 分配律：（a＋b）·c＝　 （3） 空间向量投影的概念是什么? 作法 图形表示 符号表示 向量a在向量b上的投影向量 将向量a，b（直线l）平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b（直线l的方向向量）共线的向量c c＝｜a｜·cos＜a，b＞ 向量a在直线l上的投影向量 作法 图形表示 符号表示 向量a在平面β上的投影向量 分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量 【想一想】 　在投影向量的公式中，是向量b的单位向量，可以省去吗？ 三 将问题化为活动（做） 例1．已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝5，AD＝3，AA′＝7，∠BAD＝60°，∠BAA′＝∠DAA′＝45°， （1） ； （2） 求AC′的长；（如图所示） 变式练习1. 已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°， （1） ； （2）求AB′的长； （2）求AC′的长 变式练习2 例2（2024·温州月考）已知向量a，b，｜a｜＝6，｜b｜＝8，＜a，b＞＝120°，则a在b上的投影向量为　 ，b在a上的投影向量为　 　. 四 将活动转化为方法（构） 求空间向量数量积的步骤 （1）将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角厘清； （2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积； （3）代入a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞求解. 利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 五 将方法转化为应用（检测） 1.（2024·扬州月考）如图，在棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1中，·＝（　　） A.2 B.1 C.2 D. 2.（选做） 课后作业：课时跟踪检测133页1.2.3.5.7.9 学科网（北京）股份有限公司 $$