精品解析：安徽省新明教育2024-2025学年高一上学期期中检测数学试卷

新明教育2024－2025学年度高一年级第一学期期中检测 （数学）试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 5.考试范围必修第一册第一章、第二章、第三章. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由元素与集合的关系判断和集合与集合关系的判断及表示方法，对选项逐一分析. 【详解】集合， ，A选项错误； ，元素与集合不能用符号，B选项错误； 根据子集的定义，有，C选项正确； 集合不是集合中的元素，不能用符号，D选项错误. 故选：C. 2. 已知函数，其定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由根式的意义可得，解之即可求解. 【详解】由，解得， 即函数的定义域为. 故选：C 3. “”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解方程，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】解方程，可得或， 因为，因此，“”是“”的充分不必要条件， 故选：B. 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则的最小值为 C. 对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 D. 对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用基本不等式可判断B选项；取、均为负数，可判断C选项；利用作差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，若且，不妨取，，，，则，A错； 对于B选项，当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最大值为，B错； 对于C选项，当、均为负数时，，C错； 对于D选项，因为，所以，， 当且仅当时等号成立，D对. 故选：D. 5. 设x∈R，定义符号函数，则函数=的图象大致是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数f（x）=|x|sgnx==x， 故函数f（x）=|x|sgnx的图象为y=x所在的直线， 故答案为C． 6. 若对任意实数，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为不等式对恒成立，结合不等式在R上恒成立问题计算即可求解. 【详解】由，得原不等式可转化为， 即对恒成立， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得， 即实数a的取值范围为. 故选：B 7. 已知，，，则下列不等关系成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可判断ABD选项，利用特殊值法可判断C选项. 【详解】对于A选项，因为，则， 在不等式的两边同时除以可得，A错； 对于B选项，因为，，，则， 所以，，则， 在不等式的两边同时除以可得， 因为，由不等式的基本性质可得，B对； 对于C选项，因为，， 取，，，，则，C错； 对于D选项，因为，，所以，，故，D错. 故选：B. 8. 已知函数满足，且关于对称，任意，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得函数为奇函数，且在单调递增，即可判断大小. 【详解】因为函数，关于对称， 将函数的图象向右平移一个单位得到函数的图象， 则函数关于对称，即函数为奇函数， 又因为任意的，都有， 整理得：，即函数在单调递增， 又函数为奇函数，则在单调递增，因为， 则，又， 则，即. 故选：. 二、多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求出集合A和B，再根据集合的交集、并集和补集的定义即可直接计算判断各选项. 【详解】要使函数有意义，则， 所以，即， 因为，所以，即， 所以，，， 故ABD正确，C错误. 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与是同一个函数 B. 有理数集可以表示为 C. 函数的图象与的图象存在关于原点对称的交点 D. “所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数” 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相同函数的概念判断A；举例说明即可判断B；根据奇函数的图象即可判断C；根据全称量词与存在量词命题的否定即可判断D. 【详解】A：，所以与是同一个函数，故A正确； B：当，则，为无理数，故B错误； C：令，则， 所以为奇函数，所以该图象与的图象存在关于原点对称的交点，故C正确； D：“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定为 “存在一个能被3整除的整数不是奇数”，故D正确. 故选：ACD 11. 设函数的定义域为，若对于内任意两个值、，都有，则称具有性质.下列函数中具有性质的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题中“性质”的定义逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为， 对任意的、，， A选项中的函数具有性质； 对于B选项，函数的定义域为， ，， 所以，，B选项中的函数不具有性质； 对于C选项，函数的定义域为， 对任意的、，， 所以，，C选项中的函数具有性质； 对于D选项，函数的定义域为， 对任意的、， ， 当且仅当时，等号成立，D选项中的函数不具有性质. 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，函数的解析式为______. 【答案】 【解析】 【分析】由点在图象上，应用待定系数法求解析式. 【详解】由题设，则. 故答案为： 13. 已知定义域为的偶函数满足：，则函数的解析式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由构造法求出，再利用偶函数定义即可求出时的解析式，进而可得函数在上的解析式. 【详解】因为，， 所以当时，， 因为是定义域在上的偶函数， 所以当时，，， 所以函数在上的解析式为. 故答案为：. 14. 已知，的解集中的整数恰有4个，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先依题意求出，接着求不等式的解集，根据解集特征求出解集中的整数是，从而得，再结合即可求解. 【详解】当时，不等式化为， 因为，所以该不等式解集为，不满足解集中的整数恰有4个； 当时，，显然不满足解集中的整数恰有4个； 所以，，不等式化为， 解方程， 所以不等式的解集为，又， 所以不等式解集中的整数是， 所以，所以， 又因为，所以，即，所以， 综上，满足题意的实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）当时，求集合，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集和并集的概念与运算直接得出结果； （2）分类讨论和两种情况，求出对应的m值即可. 【小问1详解】 当时，， 所以； 【小问2详解】 若， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，， 即实数的取值范围为. 16. 已知正实数、满足. （1）求的最小值； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）由题意可得，结合基本不等式中“1”的妙用计算即可求解； （2）由题意可得，结合基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 由，得， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为. 【小问2详解】 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值为18. 17. 若函数的图象过原点且关于直线对称，最小值为. （1）求函数的的解析式； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，，且，根据求出的值，由此可得出函数的解析式； （2）由参变量分离法可知，存在，使得，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为函数的图象关于直线对称，最小值为. 则，根据二次函数的顶点式可知，， 因为函数的图象过原点，则，解得， 所以，. 【小问2详解】 由题意知，存在，使得，即， 即， 令，其中，则函数在上为增函数， 所以，，所以，. 因此，实数的取值范围是. 18. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数. （1）证明：函数是奇函数，并写出函数的对称中心； （2）判断（1）中函数的单调性（不用证明），解关于的不等式. 【答案】（1） 证明：因为，则， 函数的定义域为，， 所以，函数为奇函数， 根据题定义，函数的对称中心为. （2）函数在上为增函数，解集为 【解析】 【分析】（1）化简函数的解析式，利用函数奇偶性的定义可证得结论成立，结合题中定义可得出函数的对称中心坐标； （2）判断出函数在上为增函数，然后利用函数单调性的定义证明即可，由已知可得出，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数在上为增函数，证明如下： 任取、，且，则， 则 ，即， 所以，函数在上为增函数， 由可得，则， 由可得， 即，即， 因为函数在上为增函数，则，即，解得， 因此，不等式的解集为. 19. 当两个三角形有一个公共顶点且相似时，这样的两个三角形称为“孪生”三角形，它是平面几何中的常见图形.如图，矩形中，，，为对角线的中点，点、分别从和两点同时出发，在边和上运动，连接、并延长分别与、交于点、.形成“孪生”三角形，如图阴影部分所示. （1）当、两点匀速运动，并且同时到达终点、时，在整个运动过程中，请猜想图中“孪生”三角形面积的大小变化情况__________.（从“①一直增大、②一直减小、③先增大后减小、④先减小后增大”中选一个作答，不要求证明）； （2）当、两点以相同速度匀速运动时，并且点到达点后，立即从点向点折返运动，直至与点第一次相遇.设运动时间为小时，求出阴影部分面积关于的函数解析式. （3）在函数中，如果存在个互不相等的值，，，满足，则称，，，是函数的重等值根.试判断（2）中函数是否存在重等值根，，，如果存在，求出的取值范围. 【答案】（1）④ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用题意得到等式，然后设， 利用等式找到变量之间的关系，然后利用两个变量表示面积，消元，判断面积的变化情况即可； （2）先明确当时，点到达，当时，点第一次回到， 点第一次到达点，然后根据题意写出函数解析式即可； （3）画出（2）中解析式的图像，然后利用函数的交点与方程的根的关系，判断求解即可. 【小问1详解】 由题可知，设从到的速度为，则从到的速度为， 设，则， 故， 设， ， 则， 所以有， 由题可知，三角形的面积 ， 因为 ， 得， 显然当时，最小为， 故当时，变小，时，变大，， 所以当、两点匀速运动，并且同时到达终点、时，在整个运动过程中， 猜想图中“孪生”三角形面积的大小变化情况是先减小后增大. 故填④. 【小问2详解】 显然当时，点到达，此时为中点， 当时，点第一次回到，点第一次到达点， 我们分段来讨论阴影部分面积关于的函数解析式， 当时，此时， 此时，， 当时，， ， 所以， 【小问3详解】 设（2）中的函数为， 画出函数图像 如图所示，当时，，有最小值， 令，解得或 ， 当时，，有最大值， 令，解得或， ， 不妨令， 如图可知，当时，存在3重等值根，，， 不妨令， 当时，此时， 所以； 当时，此时， 所以； 综上所述， 【点睛】关键点点睛：（1）需要根据题意得到比例公式，然后计算判断； （2）需要分析出整个运动过程和第一次相遇的时间； （3）先理解题意，为有三个根，利用方程的根与函数交点的关系求解。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新明教育2024－2025学年度高一年级第一学期期中检测 （数学）试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 5.考试范围必修第一册第一章、第二章、第三章. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，其定义域为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则的最小值为 C. 对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 D. 对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 5. 设x∈R，定义符号函数，则函数=的图象大致是 A. B. C. D. 6. 若对任意实数，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则下列不等关系成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足，且关于对称，任意，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与是同一个函数 B. 有理数集可以表示为 C. 函数的图象与的图象存在关于原点对称的交点 D. “所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数” 11. 设函数的定义域为，若对于内任意两个值、，都有，则称具有性质.下列函数中具有性质的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，函数的解析式为______. 13. 已知定义域为的偶函数满足：，则函数的解析式为__________. 14. 已知，的解集中的整数恰有4个，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本大题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）当时，求集合，； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知正实数、满足. （1）求的最小值； （2）求的最大值. 17. 若函数的图象过原点且关于直线对称，最小值为. （1）求函数的的解析式； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 18. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数. （1）证明：函数是奇函数，并写出函数的对称中心； （2）判断（1）中函数的单调性（不用证明），解关于的不等式. 19. 当两个三角形有一个公共顶点且相似时，这样的两个三角形称为“孪生”三角形，它是平面几何中的常见图形.如图，矩形中，，，为对角线的中点，点、分别从和两点同时出发，在边和上运动，连接、并延长分别与、交于点、.形成“孪生”三角形，如图阴影部分所示. （1）当、两点匀速运动，并且同时到达终点、时，在整个运动过程中，请猜想图中“孪生”三角形面积的大小变化情况__________.（从“①一直增大、②一直减小、③先增大后减小、④先减小后增大”中选一个作答，不要求证明）； （2）当、两点以相同速度匀速运动时，并且点到达点后，立即从点向点折返运动，直至与点第一次相遇.设运动时间为小时，求出阴影部分面积关于的函数解析式. （3）在函数中，如果存在个互不相等的值，，，满足，则称，，，是函数的重等值根.试判断（2）中函数是否存在重等值根，，，如果存在，求出的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $