27.2.2相似三角形的性质（九大类型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（人教版）

27.2.2相似三角形的性质（九大类型提分练） 类型一、相似三角形的性质 1．（2025九年级下·全国·专题练习），已知，，面积为10，那么另一个三角形的面积为（ ） A．15 B． C．12 D． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）若两个相似三角形的面积之比为，则它们的对应中线之比为 ． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知，和分别是BC和边上的高，且，，是的中线，，求中对应中线的长． 类型二、利用相似三角形的性质求线段 4．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，平行四边形的对角线、相交于，如果△△，那么的比值为（   ） A． B． C．2 D． 5．（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）如图，，若，，则的长为 ． 6．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在四边形中，，，，，．是边上的一个动点，若与相似，则的最大值为 ，最小值为 ． 类型三、相似三角形的计算与证明 7．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图， 在中， 点D、E分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若的周长是8， 求△ABC的周长． 8．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在中，点、分别在边、上，且，，，．    (1)如果，求线段的长； (2)设的面积为2，求的面积． 9．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，已知矩形中，是上的一点，过点作交边于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，则________． 类型四、相似三角形与网格问题 10．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是 ． 11．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有 个． 12．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． (1)在图①中，＝ ；（填两数字之比） (2)如图②，在线段AB上找一点P，使 （利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法）； (3)如图③，大小4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A，B，C都在小正方形的格点上，请在图中画出与△ABC相似且面积不相等的一个三角形． 类型五、相似三角形与坐标问题 13．（2021·黑龙江佳木斯·三模）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为 ． 14．（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上，连接，则 （1）与的位置关系是 ； （2）求点的坐标是 ． 15．（20-21八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 类型六、相似三角形与折叠问题 16．（24-25九年级上·河南·期中）如图，已知在三角形纸片中，．折叠纸片，使点A落在边上的点D处，折痕为（点E在上，点F在上）．若与相似．则折痕的长度等于 ． 17．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，若，则 ． 18．（2023·黑龙江大庆·中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．    类型七、利用相似三角形证明线段之间的关系 19．（2024·上海金山·二模）如图，已知：D是的边上一点，点E在外部，且，，交于点F． (1)求证：； (2)如果，求证：． 20．（2023·上海松江·一模）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 21．（2022·广东深圳·一模）如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：； (2)如图②，若，，求的值． 类型八、相似三角形与动点问题 22．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，中，厘米，厘米，点从出发，以每秒2厘米的速度向运动，点从同时出发，以每秒3厘米的速度向运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，运动时间是多少？ 23．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，已知，，于D， 点E，F分别从B，C两点同时出发，其中点E沿向终点C运动，速度为；点F沿向终点A运动速度为，一个点到达终点时另一个点也随之停止． 设它们运动的时间为． (1)是否存在这样的t值使的面积为18？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (2)t为何值时，和相似？ 24．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是 /秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1) ___________，___________．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 类型九、相似三角形综合问题 25．（2023·吉林四平·三模）在中，，分别为，上一点，，交于点．    (1)设的面积为，的面积为，且． ①如图①，连接．若，求证：； ②如图②，若，，求的值． (2)如图③，若，，，，直接写出的值． 26．（2021·河南商丘·二模）如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 一、单选题 1．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，正方形内接于，点M、N在上，点P、Q分别在和边上，且上的高，，则正方形的周长为（   ） A．2 B．6 C．8 D．12 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 3．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图已知平面直角坐标系中，的直角顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象交于点，交于点，连接，若，的面积是8，则的值为（  ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·上海·期中）在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”．如果是“中垂三角形”，是中线，，，那么的长为 ． 6．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）如图，正方形的顶点G正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为 ． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，矩形中，，，是边上一点，且，是边上一动点，作，交边于点，将沿着所在直线折叠，点的对应点恰好落在边上，则的长为 ． 8．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在矩形中，，，分别在，，上，，，，，，则的长是 ． 三、解答题 9．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，交于点F．点E在上，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 10．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，平行四边形中，与相交于点O，点P为中点，交于点E，连接，． (1)求证：平行四边形为菱形； (2)若，， ①求的值． ②求的长． 11．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，．点E在线段上，交于点F，交于点G，交于点H，连结． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的值． (3)若E为的中点，，求的长． 12．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，中，，，且点为边的中点．将绕点旋转，在旋转过程中，射线与线段相交于点，射线与射线相交于点，连结． (1)如图1，当点在线段上时， ①求证：； ②线段，，之间存在怎样的数量关系？请说明理由； (2)当为等腰三角形时，求的值． 13．（24-25九年级上·山东青岛·期中）已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： (1)四边形是菱形时，求的值； (2)为何值时，点在边上； (3)连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 27.2.2相似三角形的性质（九大类型提分练） 类型一、相似三角形的性质 1．（2025九年级下·全国·专题练习），已知，，面积为10，那么另一个三角形的面积为（ ） A．15 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的性质得出两三角形的面积比，进而求出即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 面积为10， ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）若两个相似三角形的面积之比为，则它们的对应中线之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比得到相似比，即可解答，掌握相似三角形的面积之比是相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴两个相似三角形相似比为， ∴它们的对应中线之比为， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知，和分别是BC和边上的高，且，，是的中线，，求中对应中线的长． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形中对应线段成比例即可得到答案． 【详解】解：∵，和分别是BC和边上的高，且和是对应的中线， ∴， 即， ∴． 类型二、利用相似三角形的性质求线段 4．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，平行四边形的对角线、相交于，如果△△，那么的比值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质，解题关键是根据相似三角形的性质列出比例式； 根据平行四边形对角线互相平分得出，再根据相似三角形的性质列出比例式即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， △△， ， ， ， ， ； 故选：A． 5．（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）如图，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴或（舍去）， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在四边形中，，，，，．是边上的一个动点，若与相似，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 6 1 【分析】本题考查了相似三角形的性质，难度适中，解题的关键是进行分类讨论．由于，故要使与相似，分两种情况讨论：①，②，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出 的长，即可解答． 【详解】解：∵，， ， ． 设的长为，则长为． 要使与相似，那么分两种情况： ①，则， 即， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， ②，则， 即， 解得或， 经检验，或是分式方程的解且符合题意， 综上，的长为或或， ， 的最大值为6，最小值为1． 故答案为：，． 类型三、相似三角形的计算与证明 7．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图， 在中， 点D、E分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若的周长是8， 求△ABC的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)16 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）首先得到，然后结合得到； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 8．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在中，点、分别在边、上，且，，，．    (1)如果，求线段的长； (2)设的面积为2，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）通过证明，即可得到答案； （2）由线段的数量关系求出面积关系即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 且， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 9．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，已知矩形中，是上的一点，过点作交边于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，则________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质； （1）根据平行可得，再结合即可证明； （2）根据设，，先证明，得到，，，再证明得到，最后求的值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是矩形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 类型四、相似三角形与网格问题 10．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，由，，判定． 【详解】解：这个格点三角形可以是（答案不唯一），理由如下： 由勾股定理得：， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 11．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 根据题意，得出的三边之比，并在直角坐标系中找出与各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 【详解】解：有图可知：的三边为： ，， ， 如图所示： 可能出现的相似三角形共有以下六种情况： ， 故答案为：6． 12．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． (1)在图①中，＝ ；（填两数字之比） (2)如图②，在线段AB上找一点P，使 （利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法）； (3)如图③，大小4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A，B，C都在小正方形的格点上，请在图中画出与△ABC相似且面积不相等的一个三角形． 【答案】(1) (2)见解析； (3)见解析 【分析】本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明，即可求得； （2）如图，取格点，连接交于点，利用相似三角形的判定和性质即可得解； （3）如图，取格点、、，使，两个三角形的的相似比为，即可作图． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：点如图所示， ； （3）如图③中，即为所求作． 类型五、相似三角形与坐标问题 13．（2021·黑龙江佳木斯·三模）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为 ． 【答案】2或4 【分析】是一个直角三角形，若与相似，必须证明是直角三角形，再用相似三角形的性质即可求出点M的坐标． 【详解】如图， ∵A(1,4) ， C(3,0) ， D(0,3) ， ∴ ，，， ； ∴是直角三角形 ∵点M在x轴上，设点M的坐标是（x，0）， ∽ ∴ ∴=1 ∴ 当时，CM=2；当时CM=4， 故答案为：2或4． 【点睛】此题考查相似三角形的性质，熟悉掌握相似三角形的性质是解题的关键． 14．（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上，连接，则 （1）与的位置关系是 ； （2）求点的坐标是 ． 【答案】 平行 【分析】（1）通过中线倍长构造全等三角形，然后二次全等证明几点共线，直接判定平行即可． （2）先利用点在函数上求出点的横纵坐标数量关系，然后利用勾股定理直接求出边长；再通过一线三等角构造相似三角形，利用相似比求出点的坐标即可． 【详解】（1）如图所示，延长至H，使得，连接 绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上 ，， ， 那么在和中 (SAS) ， 那么在和中 (SAS) 三点共线 （2）如图所示，过作于M，过作于N ， 设AB所在直线解析式为 带入， ，解得 设 在中， ，解得 故答案为：平行； 【点睛】此题考查利用相似求坐标，涉及到勾股定理和一次函数相关知识点，比较综合，且计算量较大，解题关键是构造一线三等角的相似来求解． 15．（20-21八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 【答案】或； 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴， ， ∴ ，， ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 类型六、相似三角形与折叠问题 16．（24-25九年级上·河南·期中）如图，已知在三角形纸片中，．折叠纸片，使点A落在边上的点D处，折痕为（点E在上，点F在上）．若与相似．则折痕的长度等于 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质等等，先由勾股定理得到，由折叠的性质可得，，设，则，再分当时，，当时，，两种情况根据相似三角形对应边成比例建立方程讨论求解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得，， 设，则， ∵， ∴当时，， ∴，即 解得， ∴， ∵， ∴三点共线，即此时点F与点C重合， ∴； 当时，， ∴，即， 解得， ∴， 由折叠的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴； 综上所述，或； 故答案为：或． 17．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．利用矩形的性质和翻折的性质，得到，，，可得，从而证明，得到的长，同理可得，即可求得的长． 【详解】四边形是矩形， ，， 将矩形分别沿，翻折后点A，点C都落在点H上， ∴， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即， 解得或（舍去）， 同理可得， ， 即， 解得， 即． 故答案为：． 18．（2023·黑龙江大庆·中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．    【答案】 【分析】由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键． 类型七、利用相似三角形证明线段之间的关系 19．（2024·上海金山·二模）如图，已知：D是的边上一点，点E在外部，且，，交于点F． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）由得到，根据“角边角”推得，即可证得答案； （2）先证明，得到，再证明，得到，所以，由此即得答案． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 20．（2023·上海松江·一模）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由可证，得到，再由得到，即可证明； （2）由得到，得到，进而得到，即可得到． 【详解】（1）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键． 21．（2022·广东深圳·一模）如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：； (2)如图②，若，，求的值． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）要证，过点B作，交的延长线于H，证得，得出与的数量关系，再证得，得出根据线段间关系，即可求证； （2）要求的值，根据角度间的转化，得出，即可求出的值，根据，推出，即可得到最后结果． 【详解】（1）证明：如图，过点B作，交的延长线于H， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ,， ， ， ． （2）解：，， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 设，则， ，, ， 解得（舍去），， ， 又， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求证三角形相似和全等，正确做出辅助线，利用直角三角形特殊三角函数求角，是解本题的关键． 类型八、相似三角形与动点问题 22．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，中，厘米，厘米，点从出发，以每秒2厘米的速度向运动，点从同时出发，以每秒3厘米的速度向运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，运动时间是多少？ 【答案】运动时间是秒 【分析】此题考查了相似三角形的性质．首先设运动了秒，根据题意得：，，然后分别从当与当时去分析得出t的值，再由“其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动”可得t的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：设运动了秒． 根据题意得：，，则， 当时，， 即， 解得：， 当时，， 即， 解得：， ∵其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动， ∴点运动时长最多为秒，点运动时长最多为秒， ， ∵，， ， 故当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，运动时间是秒． 23．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，已知，，于D， 点E，F分别从B，C两点同时出发，其中点E沿向终点C运动，速度为；点F沿向终点A运动速度为，一个点到达终点时另一个点也随之停止． 设它们运动的时间为． (1)是否存在这样的t值使的面积为18？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (2)t为何值时，和相似？ 【答案】(1)或 (2)或2 【分析】（1）由勾股定理求出的长，证明，由相似三角形的性质得出，求出，根据三角形的面积可得出答案； （2）点在上，点在上时，①当时，，②当时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过点作于， 由题意得，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得或， 或时，的面积为18； （2）解：如图1中， 点在上，点在上时， ①当时，， ， ， ②当时，即， ， 当点在上，点在上时，不存在和相似， 综上所述，或2时，和相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，由相似三角形的性质得出方程是解题的关键． 24．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是 /秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1) ___________，___________．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 【答案】(1)， (2)秒或秒 (3) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用． （1）设运动的时间为t秒，根据题意可得出、含t的代数式； （2）分类：当，即时，；当，即时，，然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出的值； （3）先计算出，若，则易证得，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出． 【详解】（1）解：∵的两条直角边，，， ∴， ∵点D沿从A向B运动，速度是 /秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒， ∴， ， ∴，， 故答案为：， （2）解：当，即时，， ， ， ； 当，即时，， ， ， ； 所以当动点运动秒或秒时，与相似； （3）解： 如图，过点作于， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， （秒）． 类型九、相似三角形综合问题 25．（2023·吉林四平·三模）在中，，分别为，上一点，，交于点．    (1)设的面积为，的面积为，且． ①如图①，连接．若，求证：； ②如图②，若，，求的值． (2)如图③，若，，，，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①由可证，即可证，可进一步推出结论；②连接，作于点，作于点，过点作于点．可证，推出，设，则，则可分别求出，的长，即可求出结论； （2）过点作，且，连接，，构造平行四边形，证，推出，证明再证明为直角三角形，且可求出其三边的比，即可求出的值． 【详解】（1）解：①， ，． ， ，即． 又， ， ． 如图②，连接，作于点，作于点，过点作于点．    ， ， 又， ， ． 又， ， ， ， 设，则， ． （2） 如答图（2），过点作，且，连接，，    则四边形为平行四边形． ， ． ， ， ． 又， ， ，即． ， ． ， 设，， 则在中，． ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够通过作出合适的辅助线构造相似三角形，并且能够灵活运用相似三角形的判定与性质． 26．（2021·河南商丘·二模）如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）有最大值，最大值为1． 【分析】（1）连接，证明，即可求证； （2）分别过点、作、交于点，根据三角形相似对应边成比例，求得DF与DE的数量关系； （3）由题意可知，设，求出与的函数关系式，根据函数性质即可求解． 【详解】解：（1）连接，如下图： ∵点D为BC边中点 ∴ 又∵为等腰直角三角形 ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ （2）分别过点、作、交于点 ∵为等腰直角三角形 ∴ 又∵、 ∴、为等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，即 （3）∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 设， ∴ ∴当时，最大，最大为1． 【点睛】此题考查了三角形的综合应用，涉及到三角形全等、相似以及二次函数的性质，其中多次利用了“一线三等角”模型，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，正方形内接于，点M、N在上，点P、Q分别在和边上，且上的高，，则正方形的周长为（   ） A．2 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 设正方形边长为，则，证明四边形是矩形，得出，证明，得出，即，解出的值即可． 【详解】解：设正方形边长为，则， ∵正方形内接于上的高， ∴， ∴四边形是矩形， ， ， ， ，即， 解得：， ∴正方形的周长为8， 故选：C． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，再由题意可得只存在和这两种情况，据此分两种情况根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：D． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图已知平面直角坐标系中，的直角顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象交于点，交于点，连接，若，的面积是8，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数比例系数的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键． 过点C作轴于点E，连接，利用反比例函数k的几何意义得到，根据以及可得，，可得结论． 【详解】解：过点C作轴于点E，连接，则，    ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∵的面积是8， ∴， ∵反比例函数的图象交于点，交于点， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：A 4．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，过点作于，设与相切于点，连接，并延长交于，则，根据勾股定理求出，再根据等面积法求出，，进而得到，证明，得到，由于是定值，所以若要最小，则最大，当与重合时，，此时有最大值，即，即可求解． 【详解】解：过点作于，过点作于， 设与相切于点，连接，并延长交于， 则， 在矩形中，，， ， ，即， ， 同理可得：， ， ，， ， 又 ， ， ， 是定值， 若要最小，则最大， 当与重合时，，此时有最大值，即， 的最小值是， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线． 二、填空题 5．（24-25九年级上·上海·期中）在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”．如果是“中垂三角形”，是中线，，，那么的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的性质以及三角形中位线性质等知识，分、、三种情况讨论，运用相似三角形的判定与性质，勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵为“中垂三角形”，即于点P， 又∵， ∴ ∴， ∵分别是中线，连接， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 在中， ∴， ∴； 如图，当时， 同理可得，，， 在中， ∴ ∴； 如果是“中垂三角形”，设三条中线相交于P，当时，取中点G，连接，过G作于H， ∵为中点， ∴， ∵G为中点， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴，这与垂线段最短相矛盾， ∴不存在； 综上，的长为或． 故答案为：或． 6．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）如图，正方形的顶点G正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形，， ∴，， ∵正方形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：3 7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，矩形中，，，是边上一点，且，是边上一动点，作，交边于点，将沿着所在直线折叠，点的对应点恰好落在边上，则的长为 ． 【答案】4或 【分析】设，则，过作于，则．先利用，即可得出；再利用，即可得出；在中，利用勾股定理列方程求解即可得到的值，进而得出结论． 【详解】解：设，则，如图所示，过作于，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 中，， ∴， 解得或， ∴或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理是解题的关键． 8．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在矩形中，，，分别在，，上，，，，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质求出和的长是解题的关键．由矩形的性质可求出，，证明，由相似三角形的性质得出，求出，同理可得出，由相似三角形的性质求出的长，则可求出答案． 【详解】解：， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，交于点F．点E在上，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似，即可证明． （2）根据（1）中，得出，再根据对顶角相等，，证得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵，对顶角相等， ∴， ∴． 10．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，平行四边形中，与相交于点O，点P为中点，交于点E，连接，． (1)求证：平行四边形为菱形； (2)若，， ①求的值． ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质等； （1）先利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质证明得到，再根据菱形的判定可证得结论； （2）①利用平行四边形的性质和平行线分线段成比例得到，设，则，，则有，进而求解即可；②设，则，利用勾股定理列方程求解x值，再根据、求解即可． 掌握平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：①∵平行四边形对角线的交点为O， ，，， ， ， ∵P为的中点， ， 设， 则，， ， 解得：， ， ， ； ②设，则，， 在中， ， 在中， ， ， 解得：， ， ． 11．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，．点E在线段上，交于点F，交于点G，交于点H，连结． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的值． (3)若E为的中点，，求的长． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得，由，可得，则，证明，则，进而可证； （2）证明，则，证明，则，可得，可求，证明，，则，计算求解即可； （3）由（1）知，，由E为的中点，可得，由（1）可知，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 同理，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）知，， ∵E为的中点， ∴， 由（1）可知， ∴，即， 解得，， ∴的长为6． 12．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，中，，，且点为边的中点．将绕点旋转，在旋转过程中，射线与线段相交于点，射线与射线相交于点，连结． (1)如图1，当点在线段上时， ①求证：； ②线段，，之间存在怎样的数量关系？请说明理由； (2)当为等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2)1或3 【分析】（1）①推导角度关系可得，结合即可得出结论． ②由①中相似可得，结合即可得出结论． （2）点可能在线段上或者线段的延长线上，分两种情况讨论，结合（1）中的相似三角形即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∴； （2）解：①当点在线段上时， ∵，为钝角， ∴为等腰三角形时有， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图：连接，， ∵， ∴， 当为等腰三角形时，有为等边三角形， ∵，点是的中点， ∴， 设， 在中，，， ∴，， 设，则， 由（1）得：， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 综上，的值为1或3． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 13．（24-25九年级上·山东青岛·期中）已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： (1)四边形是菱形时，求的值； (2)为何值时，点在边上； (3)连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)与之间的函数关系式为； (4)以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或． 【分析】（）根据菱形的性质得出即可求解； （）由（）得：四边形是平行四边形，，，证明，根据相似三角形的性质即可求解； （）设与交于点，由（）得：四边形是平行四边形，则，再由即可求解； （）根据相似三角形的性质和勾股定理得出，又，，然后分当时，当时，当时三种情况分析即可； 本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定理，建立函数关系式，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴，， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴， ∴； （2）解：如图，由（）得：四边形是平行四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，设与交于点， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∴与之间的函数关系式为； （4）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 当时，， ∴； 当时，，整理得：， 解得：（舍去）或； 当时，，整理得： 解得：（舍去）或； 综上可知：以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或． ( 53 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$