清单06 锐角三角函数（10个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版）

清单06锐角三角函数（10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；； 【清单02】 锐角三角函数的增减性 （1）在0°－90°之间，锐角的正弦值随角度的增大而增大 ； （2）在0°－90°之间，锐角的余弦值随角度的增大而减小 ； （3）在0°－90°之间，锐角的正切值随角度的增大而增大 . 【清单03】特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 【清单04】解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 【清单05】 解直角三角形的应用 (1)坡度坡角 　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. (2)仰角俯角问题 　仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　 (3)方位角问题 （1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　 (2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 注意： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.　　　 　3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 【考点题型一】锐角三角函数的定义 【典例1】如图，在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】在中，，设，，所对的边分别是a，b，c，则下列各等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】已知函数值求边长 【典例2】在中，，，，则边的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【变式2-1】在中，，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2-2】已知在中，，，，则等于（　　） A．6 B．16 C．12 D．4 【变式2-3】在中，，则 (  ) A． B． C． D． 【变式2-4】在中，，如果，，那么 ． 【考点题型三】求角的函数值 【典例3】如图，都在正方形网格的格点上，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在中，于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】在中，已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为 ． 【变式3-4】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，点都在格点上，则的值是 ． 【考点题型四】同角三角函数的关系 【典例4】若∠A是锐角，且cosA＝，则sinA＝ ． 【变式4-1】若锐角A满足tana＝，则sina的值是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】如果α是锐角，且cosα＝，那么sinα的值是（　　） A． B． C． D．2 【变式4-3】已知：则（      ） A． B． C． D． 【考点题型五】互余两角三角函数的关系 【典例5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则的值为 【变式5-1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB的值为 ． 【变式5-2】在中，，，则 ． 【变式5-3】在Rt△ABC中，∠C=90， sinA=，则tanB的值为 ． 【考点题型六】特殊角的三角函数值 【典例6】的值是（    ） A． B． C． D．1 【变式6-1】的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式6-2】计算的值是（    ） A． B．1 C． D．3 【变式6-3】计算：（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】解直角三角形及应用 【典例7】如图，在中，，． (1)求的长； (2)求的值． 【变式7-1】已知：如图，是的高，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 【变式7-2】如图，在中，，平分交于点D，于点E．若，，求的长． 【变式7-3】2001年竣工通车的湘潭三大桥是湘江上已建大桥中规模最大的双塔垂直双索面三跨连续体系斜拉桥（如图1），图2是从图1抽象出来的平面图，已知：拉索、与桥面所成角度分别为37°、45°，若米，求立柱的高度．（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，结果精确到1米） 【考点题型八】解直角三角形的应用-坡度坡角 【典例8】如图①是位于青岛的山东省内最大的海景摩天轮“琴岛之眼”，游客可以在碧海蓝天之间领略大青岛的磅礴气势．图②是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，小红在E处测得摩天轮顶端A的仰角为，她沿水平方向向左行走122m到达点D，再沿着坡度的斜坡走了20米到达点C，然后再沿水平方向向左行走40m到达摩天轮最低点B处（A，B，C，D，E均在同一平面内），求摩天轮的高度．（结果保留整数）（参考数据：，，） 【变式8-1】让每一个孩子在家门口就能“上好学”，衡东某中学依山而建．校门A处，有一斜坡，长度为13米，在坡顶B处看教学楼的楼顶C的仰角，离B点米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角，的延长线交校门处的水平面于D点，米． (1)求斜坡的坡度． (2)求的长． 【变式8-2】某通信公司欲在山上建设5G基站．如图，某处斜坡的坡比为，通讯塔垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为，在D处测得塔顶A的仰角为，斜坡路段长26米． (1)求点D到水平地面的距离； (2)求通讯塔的高度、（参考数据：） 【变式8-3】为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为的改造为坡角为的，已知米，点，，，，，在同一平面内． (1)求的距离；(结果保留根号) (2)一辆货车沿斜坡从处行驶到处，货车的高为米，，若米，求此时货车顶端到水平线的距离．(精确到米，参考数据：，) 【考点题型九】解直角三角形的应用-仰角俯角 【典例9】如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长． (2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 【变式9-1】数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶长26米，台阶坡面的坡度，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角，则 (1)点B到的距离为多少米？ (2)塔顶到地面的高度约为多少米？ （参考数据：，，，） 【变式9-2】如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：） 【变式9-3】如图，小明家所在居民楼高为，从楼顶C 处测得另一座大厦顶部A的仰角α是 ，大厦底部 B的俯角β是． (1)求两楼之间的距离； (2)求大厦的高度． (结果保留整数，参考数据：： ，，) 【考点题型十】解直角三角形的应用-方向角 【典例10】为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的、两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在处海域．如图所示，海里，在处测得在北偏东的方向上，处测得在北偏西的方向上，在海岸线上有一灯塔，测得海里． (1)求出A与C距离（结果保留根号）． (2)已知在灯塔周围100海里范围内有暗礁群，我在处海监船沿前往处盘查，途中有无触礁的危险（参考数据：，，． 【变式10-1】如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向，距离小岛80海里的点A处，它沿着点A的南偏东方向航行．（结果保留根号） (1)渔船航行多远与小岛B的距离最近？ (2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？ 【变式10-2】小明和小红相约周末游览合川钓鱼城，如图，为同一平面内的五个景点．已知景点位于景点的东南方向米处，景点位于景点的北偏东方向米处，景点位于景点的北偏东方向，若景点与景点，都位于东西方向，且景点在同一直线上． (1)求景点与景点之间的距离．（结果保留根号） (2)小明从景点出发，从到到，小红从景点出发，从到到，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知两人同时出发且速度相同，请通过计算说明谁先到达景点．（参考数据：） 【变式10-3】如图，某小区有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小红自小区北门A处出发，沿南偏西方向前往小区居民活动中心C处；小强自南门B处出发，沿正西方向行走300m到达D处，再沿北偏西方向前往小区居民活动中心C处与小红汇合，两人所走的路程相同，求该小区北门A与南门B之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06锐角三角函数（10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；； 【清单02】 锐角三角函数的增减性 （1）在0°－90°之间，锐角的正弦值随角度的增大而增大 ； （2）在0°－90°之间，锐角的余弦值随角度的增大而减小 ； （3）在0°－90°之间，锐角的正切值随角度的增大而增大 . 【清单03】特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 【清单04】解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 【清单05】 解直角三角形的应用 (1)坡度坡角 　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. (2)仰角俯角问题 　仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　 (3)方位角问题 （1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　 (2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 注意： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.　　　 　3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 【考点题型一】锐角三角函数的定义 【典例1】如图，在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦的定义是解题的关键． 【详解】解：，， 故选A． 【变式1-1】在中，，设，，所对的边分别是a，b，c，则下列各等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意可得： ，，， ∴，，，， 故A选项成立，B，C，D不成立， 故选A． 【点睛】本题考查锐角三角函数，理解锐角三角函数的定义是正确解答的关键． 【变式1-2】如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义即可判断A，B，再在中，利用锐角三角函数的定义即可判断C，最后利用同角的余角相等可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义即可求出，即可判断D． 【详解】解：∵， ∴， 在中， 故A、B不符合题意； 在中，， 故C符合题意； ∵，， ∴， 在中，， ∴， 故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【变式1-3】在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角函数的知识，熟记正弦、余弦和正切的定义是解题的关键．正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边，据此可判断． 【详解】解：如下图， A. ，故该选项不成立，不符合题意； B. ，故该选项不成立，不符合题意； C. ，故该选项不成立，不符合题意； D. ，故该选项成立，符合题意． 故选：D． 【考点题型二】已知函数值求边长 【典例2】在中，，，，则边的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正弦，勾股定理．熟练掌握正弦的概念是解题的关键． 如图，由题意知，，可求，然后根据勾股定理求即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，即， 解得，， 由勾股定理得，， 故选：B． 【变式2-1】在中，，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了三角函数的变形计算，根据，求得，再利用勾股定理计算即可． 【详解】∵，，， ∴， 解得， ∴， 故选A． 【变式2-2】已知在中，，，，则等于（　　） A．6 B．16 C．12 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了正切值的定义．根据题意作图，由正切值的定义可得，，结合勾股定理，即可求得的值． 【详解】解：如图， ∵在中，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， 故选：D． 【变式2-3】在中，，则 (  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求正弦值，根据正弦的概念，即可解答． 【详解】 由题意得：． 故选：A． 【变式2-4】在中，，如果，，那么 ． 【答案】8 【分析】本题考查了解直角三角形，利用直角三角形的边角间关系，可得结论． 【详解】解：∵，， ． 故答案为：8． 【考点题型三】求角的函数值 【典例3】如图，都在正方形网格的格点上，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定理，取格点E，连接，由网格的特点可知 则，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，则，即． 【详解】解：如图所示，取格点E，连接， 由网格的特点可知 ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3-1】如图，在中，于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题目已知条件推出∽，则可得，然后根据，设，，利用对应边成比例表示出的值，进而得出的值， 【详解】∵在中，， ∴, ∵于点， ∴， ∴，， ∴∽， ∴，即，， ∵， ∴设，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、相似比、锐角三角函数的定义、直角三角形的性质，解题的关键是根据垂直证明三角形相似，根据对应边成比例求边长． 【变式3-2】在中，已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一个锐角的正弦与正切值．根据题意设，则，得出，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，， 设，则， ∴， ∴    故选：B． 【变式3-3】在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为 ． 【答案】/0.8 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，过作于，利用勾股定理可以求出的长，再根据余弦的定义即可求出的值，正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】如图，过作于， ∴， 由网格可知：，， ∴， 故答案为：． 【变式3-4】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，点都在格点上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形和勾股定理，能求出是解此题的关键根据已知图形得出，再求解即可 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得：，， ∴ ， ， ∴， ∴ 故答案为： 【考点题型四】同角三角函数的关系 【典例4】若∠A是锐角，且cosA＝，则sinA＝ ． 【答案】/0.8 【分析】根据cosA=，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出sinA的值． 【详解】解：如图，在中，cosA＝=， 设，则 故答案为：． 【点睛】此题考查了同角三角函数的知识，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值． 【变式4-1】若锐角A满足tana＝，则sina的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由tana＝，可得sina=． 【详解】解：∵tana＝， ∴sina＝＝， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，解题的关键是结合三角函数的定义． 【变式4-2】如果α是锐角，且cosα＝，那么sinα的值是（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据锐角三角函数正、余弦的关系sin2α十cos2α =1即可解得． 【详解】根据sin2α十cos2α =1，所以sinα=1-=，选择答案C． 【点睛】本题考查锐角三角函数正、余弦的关系． 【变式4-3】已知：则（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把sinα=代入sin2α+cos2α=1求出即可． 【详解】解：∵sin2α+cos2α=1，， ∴+cos2α=1， ∴cos2α=， ∵α是锐角， ∴cosα=， 故选D． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，能熟记sin2α+cos2α=1是解此题的关键． 【考点题型五】互余两角三角函数的关系 【典例5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则的值为 【答案】 【分析】根据特殊的三角函数值计算出∠B，然后计算出∠A，在计算的值即可． 【详解】解：∵，， ∴∠B＝60°， ∴∠A＝30°， ∴sinA＝． 故答案为： 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系式，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【变式5-1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB的值为 ． 【答案】 【分析】根据∠A的正切值，设两直角边分别为5k，12k，然后利用勾股定理求出斜边，则∠B的正弦值即可求出． 【详解】解：如图， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝， ∴设AC＝12k，BC＝5k， 则AB＝＝13k， ∴sinB＝＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数的关系，作出草图，利用数形结合思想更形象直观，此类题目通常都用到勾股定理． 【变式5-2】在中，，，则 ． 【答案】 【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查三角函数的定义，由定义推出互余两角的三角函数的关系：若，则是解题关键． 【变式5-3】在Rt△ABC中，∠C=90， sinA=，则tanB的值为 ． 【答案】 【详解】试题分析：根据题意作出Rt△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC=12x，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B==． 故答案为. 考点：互余两角三角函数的关系． 【考点题型六】特殊角的三角函数值 【典例6】的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值问题，根据特殊角的三角函数值进行解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 【变式6-1】的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．代入特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：． 故选B． 【变式6-2】计算的值是（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，二次根式的乘法计算，先计算，再计算二次根式乘法即可． 【详解】解；， 故选：C． 【变式6-3】计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，直接根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】． 故选：B． 【考点题型七】解直角三角形及应用 【典例7】如图，在中，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，解直角三角形的应用，勾股定理，三角函数值相等，引出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）作，根据求出，再根据勾股定理求出，利用等腰三角形的三线合一的性质得到； （2）作，根据，得出，根据勾股定理得，即可得出； 【详解】（1）如图，过点作于点， ， ， 在中， ， ， ， 则． （2）如图，过点作于， ， ， ， 【变式7-1】已知：如图，是的高，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）本题考查解直角三角形，根据，进行计算，即可解题． （2）本题考查求角的正切值，掌握正切的定义，并根据进行计算，即可解题． 【详解】（1）解： 是的高，，， ， ； （2）解： ， ， ． 【变式7-2】如图，在中，，平分交于点D，于点E．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质； 先根据，求出的长度，即可根据勾股定理求出，再根据角平分线的性质可得，即可求出的长度，再根据，求出的长度，即可根据勾股定理求出． 【详解】解：∵，，， ∴在中，， 在中，根据勾股定理可得：， ∵平分， ，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 【变式7-3】2001年竣工通车的湘潭三大桥是湘江上已建大桥中规模最大的双塔垂直双索面三跨连续体系斜拉桥（如图1），图2是从图1抽象出来的平面图，已知：拉索、与桥面所成角度分别为37°、45°，若米，求立柱的高度．（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，结果精确到1米） 【答案】立柱的高度约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 在中，利用的正切值表示出，然后表示出，，列出方程即可解答． 【详解】解：∵，垂足为点，在中，，设立柱米， ∴，即米， 又∵在中，， ∴米， ∵米， ∴， 解得：． 答：立柱的高度约为米． 【考点题型八】解直角三角形的应用-坡度坡角 【典例8】如图①是位于青岛的山东省内最大的海景摩天轮“琴岛之眼”，游客可以在碧海蓝天之间领略大青岛的磅礴气势．图②是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，小红在E处测得摩天轮顶端A的仰角为，她沿水平方向向左行走122m到达点D，再沿着坡度的斜坡走了20米到达点C，然后再沿水平方向向左行走40m到达摩天轮最低点B处（A，B，C，D，E均在同一平面内），求摩天轮的高度．（结果保留整数）（参考数据：，，） 【答案】68m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 延长交的延长线于M，于N，先在中，解直角三角形求出，，再根据锐角三角函数构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点M，于N， 由题意得：， 则，， 在中，， ∴设，， ∴， 解得, ∴，， ∴，, 在中，, ∴, ∴ ∴摩天轮的高度约为68m． 【变式8-1】让每一个孩子在家门口就能“上好学”，衡东某中学依山而建．校门A处，有一斜坡，长度为13米，在坡顶B处看教学楼的楼顶C的仰角，离B点米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角，的延长线交校门处的水平面于D点，米． (1)求斜坡的坡度． (2)求的长． 【答案】(1) (2)17米 【分析】（1）过B作于G，则四边形是矩形，求得米，然后根据勾股定理求得，即可求得斜坡的坡度． （2）解得出，解得出，根据列出方程，解方程求出，进而得到的长． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡比的概念，特殊角的函数值，锐角三角函数的定义是解题的关键. 【详解】（1）如图，过B作于G，则四边形是矩形， ∴米， ∵米， ∴米， ∴的坡度． 答：斜坡的坡度为． （2）∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵米， ∴， 解得：． ∴米． 答：的长为17米． 【变式8-2】某通信公司欲在山上建设5G基站．如图，某处斜坡的坡比为，通讯塔垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为，在D处测得塔顶A的仰角为，斜坡路段长26米． (1)求点D到水平地面的距离； (2)求通讯塔的高度、（参考数据：） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题，根据题意添加辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据已知得到，从而设，则，利用勾股定理即可得到答案． （2）延长交于点交于点，过点作，根据题意得到米，设，则米，根据锐角三角函数得到米，列出关于的方程即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 斜坡的坡比为， ， 而设，则， 在中，， ， ， 解得或（舍去）， 米，米． 求点D到水平地面的距离为米． （2）解：延长交于点交于点，过点作， 根据题意得到米，， 米， 在中，， ， 米， 在中，， ， ， ， ， 米，米， 斜坡的坡比为， ， 米， 米．    故通讯塔的高度为米． 【变式8-3】为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为的改造为坡角为的，已知米，点，，，，，在同一平面内． (1)求的距离；(结果保留根号) (2)一辆货车沿斜坡从处行驶到处，货车的高为米，，若米，求此时货车顶端到水平线的距离．(精确到米，参考数据：，) 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题； （1）过点作，交的延长线于点，在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得： ，，从而可得，，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，再根据垂直定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，进而求出的长，最后在中，利用含度角的直角三角形的性质求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点， 在中， 米，， 米， 米， 在中，， 米， 米， 的距离为 米； （2）延长交于点， 由题意得：，， ， ， ， ， ， ， 在中，米， 米， 米， 米， 米， 在中，， 米， 米， 此时货车顶端到水平线的距离约为米． 【考点题型九】解直角三角形的应用-仰角俯角 【典例9】如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长． (2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 【答案】(1)的长为 (2)塔的高度约为 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用， （1）根据含角的直角三角形的性质即可求解； （2）根据含角的直角三角形的性质可得，设，根据等腰直角三角形的性质可得，，如图，过点作．垂足为，在中，，根据角的正切值可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，在中，，， ∴, ∴的长为． （2）解：由题意得，在中，，， ∴， 在中，设， ∵， ∴， ∴， 如图，过点作．垂足为， 由题意得，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：塔的高度约为． 【变式9-1】数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶长26米，台阶坡面的坡度，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角，则 (1)点B到的距离为多少米？ (2)塔顶到地面的高度约为多少米？ （参考数据：，，，） 【答案】(1)10米 (2)47米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）过点B作于点P，依据坡度的定义并结合勾股定理解直角三角形即可． （2）延长交于点H，可证四边形为矩形，设米，在直角三角形中可表示米，即，于是可得，，再在中得到，可解得米，从而得解． 【详解】（1）解如图，过点B作于点P， ∴为直角三角形． 由，可设，则， 由可得， 解得或（舍去）， ∴米 ∴点B到的距离为10米． （2）延长交于点H，则，则四边形为矩形， ∴， 由（1）可知， 设米，在中，， 即 ∴米， 在中，， 即： 解得（米）． 答：塔顶到地面的高度约为47米． 【变式9-2】如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：） 【答案】 【分析】过点C作于点M， 设， 则，根据仰角，解直角三角形计算即可． 本题考查了仰角解直角三角形，分式方程的应用，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 【详解】解：过点C作于点M， 设， 则， 在中， ， 则， 则； 在中， ， 则 解得：， 经检验，是该分式方程的解． ∴． 答：无人机在C处时离地面． 【变式9-3】如图，小明家所在居民楼高为，从楼顶C 处测得另一座大厦顶部A的仰角α是 ，大厦底部 B的俯角β是． (1)求两楼之间的距离； (2)求大厦的高度． (结果保留整数，参考数据：： ，，) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 在中，， ， ， 两楼之间的距离为； （2）解：在中，，， ， ， 大厦的高度约为． 【考点题型十】解直角三角形的应用-方向角 【典例10】为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的、两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在处海域．如图所示，海里，在处测得在北偏东的方向上，处测得在北偏西的方向上，在海岸线上有一灯塔，测得海里． (1)求出A与C距离（结果保留根号）． (2)已知在灯塔周围100海里范围内有暗礁群，我在处海监船沿前往处盘查，途中有无触礁的危险（参考数据：，，． 【答案】(1)与的距离为海里 (2)海监船沿前往处盘查，无触礁的危险 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目中所给方向角构造直角三角形，然后利用三角函数的知识求解，难度适中． （1）如图所示，过点作于点，可求得，，设，在与中，分别表示出、的长度，然后根据海里，代入、的式子，求出的值，继而可求出的长度； （2）如图所示，过点作于点，在中，根据的值，利用三角函数的知识求出的长度，然后与100比较，进行判断． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， 可得，， 设， 在中，， 在中，， 海里， ， 解得：， 则， 答：与的距离为海里； （2）解：如图所示，过点作于点， 在中， ，， ， 故海监船沿前往处盘查，无触礁的危险． 【变式10-1】如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向，距离小岛80海里的点A处，它沿着点A的南偏东方向航行．（结果保留根号） (1)渔船航行多远与小岛B的距离最近？ (2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？ 【答案】(1)渔船航行海里与小岛的距离最近． (2)救援队从处出发沿着点的南偏东方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题： （1）过点作于点，根据题意可得，解直角三角形求出的长即可； （2）解直角三角形得到的度数，进而求出的度数和的长，据此可得答案． 【详解】（1）解：过点作于点，如图所示． 由题意，知． 在中，，海里， ∴海里． 答：渔船航行海里与小岛的距离最近． （2）解：由（1）得海里， ∵海里， ∴． ∴． ∵， ∴． 在中，，海里， ∴海里． 答：救援队从处出发沿着点的南偏东方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里． 【变式10-2】小明和小红相约周末游览合川钓鱼城，如图，为同一平面内的五个景点．已知景点位于景点的东南方向米处，景点位于景点的北偏东方向米处，景点位于景点的北偏东方向，若景点与景点，都位于东西方向，且景点在同一直线上． (1)求景点与景点之间的距离．（结果保留根号） (2)小明从景点出发，从到到，小红从景点出发，从到到，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知两人同时出发且速度相同，请通过计算说明谁先到达景点．（参考数据：） 【答案】(1)景点与景点之间的距离为米 (2)小红先到达景点，理由见解析 【分析】（）过点作于点，解直角三角形求出，即可求出点与景点之间的距离； （）过点作于点，过点作于点，解直角三角形求出，分别计算出两人所走的路程，即可判断求解； 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，矩形的性质，根据题意，作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作于点， 在中，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 答：景点到景点的距离为米； （2）解：过点作于点，过点作于点， 则， ∴四边形为矩形， 在中，， ∴， ∴，， 又∵四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴小明所走的路程为米， 小红所走的路程为米， ∵且两人速度相同， ∴小红先到达景点． 【变式10-3】如图，某小区有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小红自小区北门A处出发，沿南偏西方向前往小区居民活动中心C处；小强自南门B处出发，沿正西方向行走300m到达D处，再沿北偏西方向前往小区居民活动中心C处与小红汇合，两人所走的路程相同，求该小区北门A与南门B之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形：方位角的应用；过点C作于M，过D作于N，则可得四边形是矩形；设，则可表示出，利用两人所走的路程相同建立方程，求得x，即可求出小区北门A与南门B之间的距离． 【详解】解：过点C作于M，过D作于N， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，； 设，则； ∵， ∴，， ∴； ∵， ∴，， ∵两人所走的路程相同， ∴，解得：； ∵， ∴ 即小区北门A与南门B之间的距离为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$