清单05 反比例函数（10个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版）

清单05 反比例函数（10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 反比例函数的概念 （1）定义：形如y＝(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式： ①y＝；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0) 【清单02】 反比例函数的图象和性质 k的符号 图象 经过象限 y随x变化的情况 k>0 图象经过第一、三象限 （x、y同号） 每个象限内，函数y的值随x的增大而减小. k<0 图象经过第二、四象限 （x、y异号） 每个象限内，函数y的值随x的增大而增大. 【清单03】 反比例函数图像特征 （1）由两条曲线组成，叫做双曲线； （2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交； （3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线． 【清单04】 反比例函数中系数k的几何意义 （1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|. （2）常见的面积类型： 【清单05】 反比例函数与一次函数的综合 （1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）. 【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 【清单06】 反比例函数的实际应用 （1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 【考点题型一】反比例函数的定义 【典例1】下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各点在反比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】若反比例函数经过点，则k的值为（　　） A．4 B．2 C． D． 【变式1-3】已知函数是反比例函数，则 ． 【考点题型二】 反比例函数系数K的几何意义 【典例2】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是6，则k的值（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，则的面积为（    ）      A．8 B．6 C．4 D．2 【变式2-2】如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点若点是轴上任意一点，连接，，则的面积为 ． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线 轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于，两点，若，则的值为 ．    【考点题型三】反比例函数的图像 【典例3】反比例函数 的图象位于（     ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【变式3-1】反比例函数的图象位于（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 【变式3-2】反比例函数的图象在第二、第四象限，则可能取的一个值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点题型四】 反比例函数图像的对称性 【典例4】如图，双曲线与直线相交于A、两点，点坐标为，则A点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知正比例函数y=k1x（k1≠0）与反比例函数的图象有一个交点的坐标为（﹣2，﹣1），则它们的另一个交点的坐标是（　　） A．（ 2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1） 【变式4-2】如图，已知直线与反比例函数的图象交于M，N两点．若点M的坐标是，则点N的坐标是 ． 【考点题型五】 反比例函数的性质 【典例5-1】关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点和都在该图像上 D．当时， 【典例5-2】在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大．则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【典例5-3】若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知反比例函数则下列结论不正确的是（    ） A．图像必过点 B．若，则 C．y随x的增大而增大 D．图像在第二、四象限内 【变式5-2】若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】如果在反比例函图象的每一支上，y随x的增大而增大，那么t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型六】待定系数法求反比例函数解析式 【典例6】若反比例函数的图象经过点，则图象必经过点(   ) A． B． C． D． 【变式6-1】已知点在反比例函数的图象上，则k的值是 ． 【变式6-2】已知点，都在反比例函数的图象上，则k的值是 ． 【变式6-3】反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式是 ． 【考点题型七】 反比例函数的实际应用 【典例7】在对某物体做功一定的情况下，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，且当时，． (1)试确定与之间的函数表达式； (2)求当力时，物体在力的方向上移动的距离． 【变式7-1】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)这个反比例函数的解析式是 （）． (2)若使用时电阻，则电流I是 ； (3)如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻至少是多少？ 【变式7-2】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求该函数的表达式； (2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 【变式7-3】如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高y（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：）的反比例函数，当时，，请你解答下列问题． (1)求y关于x的函数表达式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【考点题型八】 反比例函数与一次函数的交点问题 【典例8】如图，若反比例函数与一次函数交于A、B两点，当时，x的取值范围是 ． 【变式8-1】如图，一次函数和（和均为常数且）与反比例函数（为常数且）的图象交于两点，其横坐标为和3，则关于的不等式的解集是 ． 的解集为 ． 【考点题型九】 反比例函数与一次函数的综合 【典例9】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与x轴交于点B，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出x的取值范围． 【变式9-1】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点 ，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)观察函数图象，直接写出不等式的解集； (3)连接，求的面积． 【变式9-2】如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出的x的取值范围； (3)求的面积． 【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A，C在坐标轴上，反比例函数在第一象限内的图象分别与交于点和点E，且D为的中点． (1)求反比例函数的解析式和点E的坐标； (2)若一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于点D、E两点，直接写出不等式的解集． (3)x轴上是否存在点P使得为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，如不存在请说明理由； 【考点题型十】 反比例函数与几何综合 【典例10】如图1，四边形为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C． (1)求点C的坐标； (2)如图2，将正方形沿x轴向右平移得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式10-1】如图，四边形为菱形，且点A在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数 的图象经过点，且与边交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)判断点是否为边的中点，并说明理由． 【变式10-2】如图，点在双曲线上． (1)求双曲线的解析式； (2)若矩形ABCD的顶点在双曲线上，顶点分别在x轴，y轴的正半轴上，且，求点C的坐标． 【变式10-3】如图，已知反比例函数的图像经过点，过作轴于点．点为该反比例函数图像上的一点，过点作轴于点，连接．直线与轴的负半轴交于点．    (1)求反比例函数表达式； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 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【分析】此题主要考查了反比例函数的概念，解题的关键是掌握反比例函数的定义．根据反比例函数的概念形如为常数，的函数称为反比例函数进行分析即可． 【详解】解：A、不是反比例函数，选项A不符合题意； B、是反比例函数，选项B符合题意； C、不是反比例函数，选项C不符合题意； D、不是反比例函数，选项D不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】下列各点在反比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数解析式可得，然后对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：∵ ∴ A.，该选项错误； B. ，该选项正确； C. ，该选项错误； D. ，该选项错误. 故答案选：B. 【变式1-2】若反比例函数经过点，则k的值为（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．反比例函数图象上所有点的坐标均满足该函数解析式．把点代入函数解析式来求k的值即可． 【详解】解：∵反比例函数经过点， ∴． 故选：A． 【变式1-3】已知函数是反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的定义，一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数，根据和即可得到答案． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，且， 解得， 故答案为：． 【考点题型二】 反比例函数系数K的几何意义 【典例2】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是6，则k的值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了考查了反比例函数系数的几何意义，熟记反比例函数面积与k的关系是解题关键． 连接、，设与y轴交点为M，得到，再利用反比例函数系数的几何意义，得到，，然后根据列方程求出k的值，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接、，设与y轴交点为M， 轴， 轴，， 点A在双曲线点B在双曲线上， ，， ， ， 解得：， ， ， 故选：D． 【变式2-1】如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，则的面积为（    ）      A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 连接，利用，结合三角形面积公式解题． 【详解】解：连接，    ∴点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴， ∴， ， ∵轴， 轴， ， 故选：C． 【变式2-2】如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点若点是轴上任意一点，连接，，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所均成的三角形的面积是，保持不变．先设，由直线轴，则两点的纵坐标都为而分别在反比例函数和的图象上，可得到A点坐标为，B点坐标为，从而求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：设， ∵直线轴， ∴两点的纵坐标都为而点A在反比例函数的图象上， ∴当 即点Ａ的坐标为， 又∵点B在反比例函数的图象上， ∴当 ∴B点坐标为， ∴， ∴ 故答案为：3． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线 轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于，两点，若，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 由于，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，然后结合函数的图象所在的象限解方程得到满足条件的的值． 【详解】解：∵， ， ， 而， ． 故答案为：． 【考点题型三】反比例函数的图像 【典例3】反比例函数 的图象位于（     ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数图象与性质是解题的关键．根据平方非负性得到，由反比例函数图象与性质即可确定图象所在象限． 【详解】解： ， 反比例函数 的图象位于第一、三象限． 故选：A． 【变式3-1】反比例函数的图象位于（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，，位于一、三象限；，位于二、四象限． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象位于第二、四象限． 故选：B． 【变式3-2】反比例函数的图象在第二、第四象限，则可能取的一个值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象与比例系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、第四象限， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有A选项中的0符合题意， 故选A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与比例系数的关系，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 【考点题型四】 反比例函数图像的对称性 【典例4】如图，双曲线与直线相交于A、两点，点坐标为，则A点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：点A与关于原点对称， 点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，解题的关键是熟练掌握横纵坐标分别互为相反数． 【变式4-1】已知正比例函数y=k1x（k1≠0）与反比例函数的图象有一个交点的坐标为（﹣2，﹣1），则它们的另一个交点的坐标是（　　） A．（ 2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1） 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象的对称性得到反比例函数图象与正比例函数图象的两个交点关于原点对称，所以写出点（﹣2，﹣1）关于原点对称的点的坐标即可． 【详解】解：∵正比例函数y=k1x（k1≠0）与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， 而一个交点的坐标为（﹣2，﹣1）， ∴它们的另一个交点的坐标是（2，1）． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的中心对称性，掌握反比例函数与正比例函数的交点一定关于原点对称，是解题的关键． 【变式4-2】如图，已知直线与反比例函数的图象交于M，N两点．若点M的坐标是，则点N的坐标是 ． 【答案】（－1，－2） 【分析】直接利用正比例函数和反比例函数的性质得出M，N两点关于原点对称，进而得出答案． 【详解】解：∵直线与反比例函数的图象交于M，N两点， ∴M，N两点关于原点对称， ∵点M的坐标是（1，2）， ∴点N的坐标是（-1，-2）． 故答案为：（－1，－2）. 【点睛】此题主要考查了反比例函数与正比例函数图象的性质，正确得出M，N两点位置关系是解题关键． 【考点题型五】 反比例函数的性质 【典例5-1】关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点和都在该图像上 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，根据题意，利用反比例函数图像与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、由于，反比例函数图像在第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，该选项说法正确，不符合题意； B、由于，反比例函数图像在第二、四象限，该选项说法正确，不符合题意； C、由于点在函数的图像上，则，从而点和都在函数的图像上，该选项说法正确，不符合题意； D、当时，，由于反比例函数图像在第二、四象限，则当时，，该选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【典例5-2】在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大．则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出，解不等式即可求解． 【详解】解：在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大． ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【典例5-3】若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质，根据题意，反比例函数的比例系数，图像在每个象限，函数值随自变量的增大而增大，由此即可求解，掌握反比例函数图象的性质，增减性比较自变量、函数值的大小的知识是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图象在第二、四象限，在每个象限，随的增大而增大，且当时，；当时，； ∵，即， ∴， ∴， 故选：． 【变式5-1】已知反比例函数则下列结论不正确的是（    ） A．图像必过点 B．若，则 C．y随x的增大而增大 D．图像在第二、四象限内 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，把代入可判断A；根据反比例函数的性质可判断B，C，D，能熟练地根据反比例函数的性质进行判断是解此题的关键． 【详解】A．当代入，即该函数过点，故结论正确，选项A不符合题意； B．∵当时，， ∴若，则，故结论正确，选项B不符合题意； C．∵反比例函数， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故结论错误，选项C符合题意； D．∵反比例函数， ∴该函数图象位于第二、四象限，故结论正确，选项D不符合题意； 故选：C． 【变式5-2】若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特点，根据题意判断出反比例函数的图像所在的象限及在各象限内的增减性是解答此题的关键． 【详解】解：点，，在反比例函数的图像上， ，，， ，在反比例函数的图像上，在每一象限内随的增大而减小， ， ，，的大小关系是：． 故选：B． 【变式5-3】如果在反比例函图象的每一支上，y随x的增大而增大，那么t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的增减性与系数之间的关系进行求解即可． 【详解】解：∵在反比例函图象的每一支上，y随x的增大而增大， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟知对于反比例函数，当时，在反比例函数图象的每一支上y随x的增大而减小，时，在反比例函数图象的每一支上y随x的增大而增大是解题的关键． 【考点题型六】待定系数法求反比例函数解析式 【典例6】若反比例函数的图象经过点，则图象必经过点(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解函数图象上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．根据反比例函数的图象经过点可求出，再逐一验证坐标是否符合该解析式即可得解． 【详解】解： 反比例函数的图象经过点， ，解得 反比例函数为， 满足，而，，都不满足， 图象必经过点． 故选：B． 【变式6-1】已知点在反比例函数的图象上，则k的值是 ． 【答案】5 【分析】本题主经考查了反比例函数图象上点的坐标特征．熟练掌握反比例函数上的点的坐标适合解析式，从而确定比例系数，是解决本题的关键． 将点代入反比例函数即可求出k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 故答案为：5 【变式6-2】已知点，都在反比例函数的图象上，则k的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特征．熟练掌握反比例函数图象上点的横纵坐标之积等于，是解题的关键．根据反比例函数图象上点的横纵坐标之积等于，列式计算即可． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或； 当时：， 解得：， 当时：（不符合题意，舍去）； ∴； 故答案为：0． 【变式6-3】反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 把点代入中得， ∴， ∴反比例函数解析式为， 故答案为：． 【考点题型七】 反比例函数的实际应用 【典例7】在对某物体做功一定的情况下，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，且当时，． (1)试确定与之间的函数表达式； (2)求当力时，物体在力的方向上移动的距离． 【答案】(1) (2)当力时，物体在力的方向上移动的距离为 【分析】本题考查的是反比例函数系数等于函数图象上点的横纵坐标的积，比较简单． （1）设函数关系式为，再利用待定系数法计算即可得出答案； （2）把代入函数关系式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵力与此物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系， 其函数关系式为， 点是反比例函数图象上的点， ∴． 此函数的解析式为； （2）解：把代入函数关系式得：， ． 即当力时，物体在力的方向上移动的距离为． 【变式7-1】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)这个反比例函数的解析式是 （）． (2)若使用时电阻，则电流I是 ； (3)如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻至少是多少？ 【答案】(1) (2) (3)用电器的可变电阻至少是 【分析】本题考查了反比例函数的应用； （1）先由电流是电阻的反比例函数，可设，结合点在函数图象上，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式； （2）中，令，求出对应的的值即可； （3）将代入所求的函数解析式，即可确定电阻的取值范围． 【详解】（1）设反比例函数式． 把代入反比例函数式， ． ． 故答案为：． （2）当，． 故答案为：； （3）当时，则， ， 用电器的可变电阻至少是． 【变式7-2】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求该函数的表达式； (2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，应用反比例函数解决实际问题，理解气压和气球体积的关系是解题的关键． （1）设反比例函数关系式，再将点A的坐标代入即可得出答案； （2）将代入关系式，求出解，再判断即可． 【详解】（1）设， 将代入，得，解得， ∴所求函数的表达式为； （2）∵， ∴在第一象限内，p随V的增大而减小． 当时，． ∴为了安全起见，气体的体积应不小于． 【变式7-3】如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高y（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：）的反比例函数，当时，，请你解答下列问题． (1)求y关于x的函数表达式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】(1) (2)小孔到蜡烛的距离为 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．熟练掌握反比例函数的图象和性质，待定系数法求解析式，是解决问题的关键． （1）设．把，代入，求得k的值，即得； （2）把代入，求得x值即可． 【详解】（1）根据题意，设． 把，代入， 得， ∴y关于x的函数表达式为． （2）把代入， 得． 故小孔到蜡烛的距离为． 【考点题型八】 反比例函数与一次函数的交点问题 【典例8】如图，若反比例函数与一次函数交于A、B两点，当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，写出在x轴的上方，且一次函数的图象不在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可． 【详解】解：观察图象可知，当时，x的取值范围是． 故答案为：． 【变式8-1】如图，一次函数和（和均为常数且）与反比例函数（为常数且）的图象交于两点，其横坐标为和3，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数图象的交点问题的综合，掌握一次函数图象的性质，反比例函数图象的性质，图形结合分析解不等式的知识是解题的关键．依题意且结合图象，运用数形结合思想进行作答即可． 【详解】解：∵一次函数和（和均为常数且）与反比例函数（为常数且）的图象交于两点，其横坐标为和3， ∴关于的不等式的解集是或 故答案为：或 【变式8-3】如图，一次函数与反比例函数在第一象限内交于点，则当时，的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．根据，结合图像得出答案． 【详解】解：结合图像可知，的解集为． 故答案为：． 【考点题型九】 反比例函数与一次函数的综合 【典例9】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与x轴交于点B，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，三角形面积，解题的关键是数形结合； （1）先求出点的坐标，然后代入反比例函数解析式，求出的值即可； （2）由一次函数的解析式求得点的坐标，利用反比例函数的对称性求得点的坐标，然后根据即可求解； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1）解：在一次函数的图象上， ， 解得， 点的坐标为， ， 反比例函数的对应的函数关系为； （2）解：当时，， 解得， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ，根据对称性， 点的坐标为， ； （3）解：由图象可得， 当或时，直线的图象在反比例函数的图象的上面 ∴当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，或． 【变式9-1】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点 ，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)观察函数图象，直接写出不等式的解集； (3)连接，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合题型，掌握待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据解析式求点坐标是解题的关键． （1）将代入中，即可求出m的值，再代入即可求得n的值； （2）观察函数图象，即可得出的解集； （3）采用待定系数法求得直线的解析式，再令，即可求出，根据即可求出的面积． 【详解】（1）解：将代入中， 得： 解得： 将代入， 得： 解得：． （2）解：根据图象可得，的解集为：或． （3）解：将、代入 得： 解得： ∴直线的解析式为： 将代入得   ∴，即， 连接， ∴． 【变式9-2】如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出的x的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)的面积为8 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）先求出点A和点B的坐标，再将点A和点B的坐标代入，求出k和b的值，即可得出一次函数解析式； （2）根据函数图象，写出当一次函数图象低于反比例函数图象时自变量的取值范围即可； （3）令直线与y轴相交于点C，与x轴相交于点D，先求出与x轴和y轴的交点坐标，再根据，即可解答． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得：， ∴， 把代入得， ∴， 把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式的解析式为； （2）解：∵，， ∴由图可知，当或时，， ∴当或时，； （3）解：令直线与y轴相交于点C，与x轴相交于点D， 把代入得， ∴，则， 把代入得， 解得：， ∴，则， ∴ ． 【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A，C在坐标轴上，反比例函数在第一象限内的图象分别与交于点和点E，且D为的中点． (1)求反比例函数的解析式和点E的坐标； (2)若一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于点D、E两点，直接写出不等式的解集． (3)x轴上是否存在点P使得为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，如不存在请说明理由； 【答案】(1)， (2)或 (3)存在点，坐标为或或或 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，再由是的中点得到，从而得到点E的纵坐标为2，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E的坐标即可； （2）根据一次函数与反比例函数图像求解即可． （3）分情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形，点在坐标轴上， 轴，轴． ，且为的中点， ∴点的纵坐标为2． 反比例函数的图象过和点， ∴反比例函数的解析式为 把代入，得 （2）解：由图像可得，当 或时，， 故的解集为或． （3）解：存在，理由如下： 设点，由题可知 ①当时，则 解得． ②当时，则 解得，或 当时，三点共线，不能构成三角形，所以（舍） ③当时，则 解得，或 或 综上所述：存在点，且坐标为或或或． 【考点题型十】 反比例函数与几何综合 【典例10】如图1，四边形为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C． (1)求点C的坐标； (2)如图2，将正方形沿x轴向右平移得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)点Q的坐标为或或或． 【分析】（1）过点C作轴，交于点H，设，则，根据正方形的性质及各角之间的关系得出，利用全等三角形的判定和性质得出，，即可确定点C的坐标； （2）利用（1）中方法确定，由点恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方式即可得出点的坐标； （3）根据题意进行分类讨论：当时；当时；当为对角线时；分别利用菱形的性质及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点C作轴，交于点H， ∵，∴设，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C， ∴， ∴； ∴； （2）解：如图所示，过点D作轴，，， 同（1）方法可得：， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵点恰好落在反比例函数的图象上， ∴当时，，即点A向右平移个单位得到点， ∴即； （3）解：分三种情况讨论， 由（2）得点A向右平移个单位得到点， ∴， ∴， 当时，则且， ∴，，即，； 当时，此时点与点Q关于y轴对称，； 当为对角线时，此时， 设， ∴， 解得，即，且， ∴，即， 综上可得：点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理等，理解题意，（3）中根据菱形的性质进行分类讨论是解题关键． 【变式10-1】如图，四边形为菱形，且点A在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数 的图象经过点，且与边交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)判断点是否为边的中点，并说明理由． 【答案】(1)， (2)点D不是边的中点，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标满足函数解析式是关键． （1）根据点坐标求出菱形边长，根据平移性质得到点坐标即可； （2）先求出线段的中点坐标，再代入反比例函数解析式验证即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∵四边形为菱形， ∴， 根据平移性质可得点B的坐标为． （2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为：， ，， 线段的中点坐标为， 在反比例函数中，当时，， 点不是边的中点 【变式10-2】如图，点在双曲线上． (1)求双曲线的解析式； (2)若矩形ABCD的顶点在双曲线上，顶点分别在x轴，y轴的正半轴上，且，求点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了反比例函数与几何综合． （1）将点的坐标代入双曲线解析式中解答即可； （2）过点作于点，过点作于点，易证得，得到，解得的值，即可求出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵点在双曲线上， ∴； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，如图， ∵四边形是矩形， ∴，, ∴， ∵，∴， ∴， ∴， 又∵，∴， ∴，, 同理，， 设，， ∴，， ∴，， 则， ∵点、在双曲线上， ∴， ∵点、在轴、轴正半轴上，∴， ∴． 【点睛】待定系数法求函数的解析式、矩形的性质与判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，综合性很强，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 【变式10-3】如图，已知反比例函数的图像经过点，过作轴于点．点为该反比例函数图像上的一点，过点作轴于点，连接．直线与轴的负半轴交于点．    (1)求反比例函数表达式； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)四边形为平行四边形 【分析】（1）根据题意直接利用待定系数法将A点坐标代入即可得出答案． （2）由题意求出直线的解析式，可得E点坐标，求出，，，即可解决问题． 【详解】（1）把，代入反比例函数的解析式得， 解得：， ∴反比例函数表达式为：． （2）反比例函数表达式为：， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴点B的纵坐标为4，代入中，得，解得， ∵， ∵，设直线的解析式为：， 则有，解得， ∴直线的解析式为：，令，得，解得， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，待定系数法，平行四边形的判定． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 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