清单07 二次函数（13个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版）

清单07 二次函数（13个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数 【清单02】 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 【清单03】二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 【清单04】抛物线的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 【清单05】 二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 【清单06】 用二次函数的性质解决实际问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 【清单07】 用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的 【考点题型一】二次函数的概念 【典例1-1】下列函数中属于二次函数的是 （      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据形如的函数叫作二次函数可得答案． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【典例1-2】关于的函数是二次函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的概念：关于自变量的二次三项式，一般形式为，a、b、c是常数；根据概念得，，求解即可． 【详解】解：由题意得：，， 解得：； 故答案为：． 【变式1-1】下列属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般地，把形如其中a，b，c 是常数的函数叫做二次函数．根据二次函数定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，是二次函数，故本选项符合题意； B、，是一次函数，故本选项不符合题意； C、，是反比例函数，故本选项不符合题意； D、，是一次函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】若表示y是x的二次函数，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义得出关于的不等式是解题的关键． 根据形如的函数，叫做二次函数，可得答案． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为： ． 【变式1-3】若是关于的二次函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数定义，掌握形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数是解题的关键． 利用二次函数定义可得，且，计算出m的值即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，且，解得：． 故答案为：． 【考点题型二】特殊二次函数的图像和性质 【典例2】对于抛物线，下列判断正确的是（    ） A．函数最小值是3 B．当时，y随x的增大而增大 C．抛物线的顶点坐标是 D．对称轴为直线 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，由抛物线可得出抛物线开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为：，进而可得出函数的最大值为3，且当时，y随x的增大而减小，即可判断． 【详解】解：∵抛物线，， ∴抛物线开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为：， ∴函数的最大值为3，且当时，y随x的增大而减小， 故选：D． 【变式2-1】若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较函数值的大小，根据二次函数的对称轴为轴，以及开口向上可知，离对称轴越远，函数值越大，判断即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为：， ∴对称轴为轴， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∵， ∴，故C正确． 故选：C． 【变式2-2】抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线的顶点式及顶点坐标；根据二次函数的顶点式，顶点坐标为，即可解答． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 【变式2-3】设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线， ，即， 离直线的距离最远，点离直线最近， ． 故选：A． 【变式2-4】已知关于的二次函数，当时，的取值范围为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当，函数有最大值1；当时函数有最小值，进而求得它们的范围． 【详解】解：抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线顶点坐标为， 在范围内，当，函数有最大值为1；当时函数有最小值：， 故答案为：． 【考点题型三】与特殊二次函数有关的几何知识 【典例3】如图，抛物线的对称轴为直线，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，则图中的两条抛物线、直线与轴所围成的图形（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，平移的性质，理解图中阴影部分为平行四边形是解题的关键．先求出的顶点坐标，再根据平移的性质求出的顶点坐标，的坐标，求出平行四边形的面积即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为，顶点为 ∵抛物线向上平移个单位长度得到抛物线， ∴点坐标为，点坐标为． 故两条抛物线、直线与轴所围成的图形（阴影部分）的面积为． 故答案为： 【变式3-1】如图，已知抛物线，，将向下平移2个单位长度后得抛物线，则图中阴影部分的面积 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．根据已知得出阴影部分即为平行四边形的面积． 【详解】解：根据题意知，图中阴影部分的面积可以转化成平行四边形的面积，故阴影部分面积为：． 故答案为：8． 【变式3-2】如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识；运用三角形中位线定理是本题的关键和难点． 连接，根据函数解析式，求坐标，然后求出，是线段的中点，是线段的中点，故是的中位线，当、、三点共线，且点在之间时，最大，即可求解． 【详解】解：连接，， ∵抛物线与轴交于、两点， 令即， 解得或， ， ， ∵， ， ， 是线段的中点，是线段的中点， 故是的中位线， ， 最大，即最大， 即、、三点共线，且点在之间时，最大， ， ， 故答案为：． 【变式3-3】将抛物线向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联接如果是等边三角形，那么点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图像与几何变换，等边三角形的性质，二次函数图像上点的坐标特征，根据题意得到关于的方程是解题的关键．由题意设点坐标为，根据等边三角形的性质得到，解出的值即可得到答案． 【详解】解：点A在抛物线上， 设点坐标为， 是等边三角形， ，， 或（舍）， ． 故答案为：． 【变式3-4】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题． 【详解】解：∵正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、． ∴， 当抛物线经过点时，则， 当抛物线经过时，， 观察图象可知，抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是， 故答案为：． 【考点题型四】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 【典例4】已知二次函数，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．函数的最大值为 C．当时，随的增大而减小 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象和性质，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．先利用配方法得到，可根据二次函数的性质进行判断． 【详解】解：， 抛物线顶点坐标为， 抛物线的开口向上，顶点坐标为，函数的最小值为，抛物线的对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 若，则， 选项A，B，C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意， 故选：D 【变式4-1】下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是（    ） A．点在函数图象上 B．开口方向向上 C．对称轴是直线 D．与直线有两个交点 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．求出时，的值即可判断选项A；根据即可判断选项B；将二次函数的解析式化成顶点式即可判断选项C；联立二次函数与直线可得一个关于的一元二次方程，由此即可判断选项D． 【详解】解：当时，， 则点不在函数图象上，选项A错误； ∵， ∴抛物线的开口方向向下，选项B错误； ， 则对称轴是直线，选项C错误； 联立，得， 解得， 则与直线有两个交点，选项D正确； 故选：D． 【变式4-2】已知二次函数经过点，点，点，那么的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用二次函数性质比较函数值大小，涉及二次函数图像与性质、比较二次函数值大小等知识，根据二次函数图像与性质，利用图像上点到对称轴距离比较函数值大小即可得到答案，熟练掌握利用距离比较二次函数值大小的方法是解决问题的关键． 【详解】解：由二次函数可知抛物线开口向下，对称轴为， 抛物线上点到对称轴距离越近，函数值越大， 二次函数经过点，点，点， 三个点到对称轴的距离为， ， 故选：B． 【变式4-3】二次函数的图象与x轴交于、B两点，下列说法正确的是（    ） A．它的对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．点B的坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点．待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于， ∴，解得：， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为， 故A，B选项不正确，不符合题意； ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， 故D选项不正确，不符合题意； 当时，， 解得：， ∴点B的坐标为， 故C选项正确，符合题意； 故选：C． 【变式4-4】抛物线，y与x的部分对应值如表所示，下列说法错误是（    ） x 0 1 2 m y 3 4 3 A．开口向下 B．顶点坐标为 C．当时，y随x的增大而减小 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性、增减性以及二次函数的顶点坐标． 根据图表信息判断出抛物线的开口向下对称轴为直线，顶点坐标为，再根据抛物线的对称性解答． 【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 时，最大， 抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当与时，值相等， 时，， 时，． 故选项A、B、D正确，选项C错误， 故选：C． 【考点题型五】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 【典例5】已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为3，则a的值为（    ） A．1或0 B．1或 C．或 D．0或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据二次函数，可以得到该函数的对称轴，再根据当时，函数的最大值与最小值的差为3和二次函数的性质，分类讨论列出方程，然后求解即可． 【详解】解：二次函数， ∴该函数的对称轴为直线，函数的最小值为， ∵函数的最大值与最小值的差为3， ∴函数的最大值为2， ∵当时，函数的最大值与最小值的差为3， ∴当，即时，时，， ， 解得，（舍去）， 当，即时，时，， ， 解得（舍去），， 故选：C． 【变式5-1】已知二次函数，当时，函数有最小值，则b的值为（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握根据二次函数的最值求系数值是解题的关键． 分三种情况：当时，即时，当时，函数有最小值；当时，即时，当时，函数有最小值；当时，即时，当时，函数有最小值；分别求解即可． 【详解】解：∵， 又∵当时，函数有最小值， ∴当时，即时，当时，函数有最小值， ∴， 解得：， ∴， 当时，即时，当时，函数有最小值， ∴， 解得：； 当时，即时，当时，函数有最小值， ∴， 解得：（舍去）， 综上，当时，函数有最小值，b的值为或． 故选：A． 【变式5-1】已知二次函数，其中．若当时，对应的y的整数值有6个，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； 由，可知函数的最小值为，当时，最大值为1，对应的y的整数值有6个，则，解得即可． 【详解】 ， ， 抛物线的顶点坐标为， 当或时，， 当时，y有最小值为， ∵， ∴当时，的最大值为1， ，当时，对应的y的整数值有6个， 这6个整数值为：1、0、、、、， 解得： 故选：D 【变式5-2】已知抛物线 ，若当时，函数的最大值为1，则a的值为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，解题关键是根据二次函数的性质，分类讨论．先求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性并结合，分类讨论解答即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， ①当，即时，此时二次函数在上y随x的增大而减小，在取最大值，即，解得，与不符； ②当即时，此时离二次函数对称轴更远， ∴二次函数在取最大值，即，解得； ③当即时，此时离二次函数对称轴更远， ∴二次函数在取最大值，即，解得； ④当即时，此时二次函数在上y随x的增大而增大，在取最大值，，解得与不符． 综上，的值为或． 故答案：或． 【考点题型六】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息 【典例6】二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键． ①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上，则， ∵对称轴为直线，则， ∴，故②正确 抛物线与轴交于负半轴，则， ∴，故①错误； ∵当时，取得小值， ∴， 当m为任意实数，则，故③正确， ④∵抛物线关于对称， ∴和的函数值相同， 即：， 由图象知，当时，函数值大于0， ∴，故④正确； ⑤当关于对称时：即：时， 对应的函数值相同， 即：， ∴ ∴若，且，则；故⑤正确； 综上所述，正确的是②③④⑤，共4个， 故选：C． 【变式6-1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数）．其中错误结论的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，分别进行判断得到答案即可．由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由抛物线可知：， 对称轴， ， ，故①正确； ②由对称轴可知：， ， 抛物线过点， ， ，故②正确； ③关于的对称点为， 时，，故③正确； ④抛物线与轴有两个交点， ， 即， ，故④错误； ⑤当时，y的最小值为， ∴时，， ∴， 即，故⑤错误； 故错误的有：④⑤． 故选：B． 【变式6-2】如图，已知顶点为的抛物线过，则下列结论：①；②对于任意的，均有；③；④若，则；⑤；其中正确的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与轴的交点，即可判断的符号，即可判断①，根据顶点坐标求得最值，即可判断②，把代入，得，故③正确，由关于直线对称的点为，进而得若，则或，故④错误；由抛物线的顶点为，，得，再由，得，故⑤正确． 【详解】解：抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； 抛物线的顶点坐标为，即时，函数有最小值， ， ∴对于任意的，均有，故②错误； 抛物线过， ∴，故③正确； ∵抛物线过，关于直线对称的点为， ∴若，则或，故④错误； 抛物线的顶点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，故⑤正确． ∴正确的个数为 故选：． 【变式6-3】如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置确定．利用数形结合的思想是解题的关键．根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴图象与x轴的另一个交点为， ∴当时，， ∴，故①错误； ②∵函数开口方向向上， ∴， ∵抛物线与y轴交点在和之间，对称轴为直线， ∴顶点纵坐标要小于， ∴，且， ∴，故②正确； ③∵图象与y轴的交点在和之间， ∴， ∵图象与x轴交于点和， ∴的两根为和3， 由韦达定理可知：， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵对称轴为直线为， ∴， ∵，， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有②③④， 故选：C． 【变式6-4】如图，二次函数的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据二次函数图象反映出的数量关系，逐一判断正确性． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线与轴有2个交点， ∴，所以②正确； ∵抛物线的对称轴为， ∴和对应的函数值相等， ∴时，，即，所以③错误； ∵， ∴，所以④正确； ∵顶点坐标纵坐标为， ∴， ∴，所以⑤正确． 故选：D． 【考点题型七】二次函数的平移变换 【典例7】将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律． 根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可； 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度后可得：， 故选：A． 【变式7-1】将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数得图像与几何变换，熟知二次函数图像平移得法则是解题的关键． 根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是． 故选C． 【变式7-2】要得到二次函数的图象，需将的图象（　　） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 根据函数图象平移的法则解答即可． 【详解】解：根据“左加右减，上加下减”规律： 二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位即可得到二次函数的图象． 故选：B． 【变式7-3】在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新的抛物线的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据图象的平移规律，可得答案． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新的抛物线的函数解析式为，即． 故选：A． 【考点题型八】二次函数的交点问题 【典例8】抛物线和直线的图象如图所示，那么不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图像，写出抛物线在直线上方部分的的范围，即可求解，本题考查了二次函数交点确定不等式解集，解题的关键是：应用数形结合方法，将函数图像与不等式解集联系起来． 【详解】解：由图像可知，抛物线与直线其中一个交点坐标为， 另一交点横坐标为，代入，解得， 另一交点坐标为， 不等式的解集是， 故选：． 【变式8-1】二次函数的图象如图，当函数值时，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量的取值范围，就是求当函数图象在轴下方时，对应的的取值范围，由此得到答案． 【详解】解：观察图象知，当函数值时， 自变量的取值范围是， 故答案为：． 【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点O和点A，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数和不等式的关系，解题关键是通过数形结合求解；通过抛物线与直线的交点即可求解． 【详解】解：∵抛物线和直线交于点和点， ∴或时，抛物线在直线的上方， ∴不等式的解集为：或， 故答案为：或． 【变式8-3】如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则关于的不等式的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与不等式．熟练掌握数形结合法求不等式的解集是解题的关键． 根据不等式的解为二次函数图象在一次函数图象上方所对应的的取值范围，结合图象作答即可． 【详解】解：由题意知，不等式的解为二次函数图象在一次函数图象上方所对应的的取值范围， 由图象可知，或， 故答案为：或． 【考点题型九】二次函数应用-类抛物线问题 【典例9】【综合与实践】 为响应国家“双减”政策号召，落实“五育并举”举措，我县各校开展了丰富多彩的社团活动．球类运动课上，甲乙两人打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动，从侧面看乒乓球台如图所示，为球台，为球网，点为中点，，，甲从正上方的处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的处再弹起到另一侧的处，从处再次弹起到，乙再接球．以所在直线为轴，为原点作平面直角坐标系，表示球与的水平距离，表示球到球台的高度，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线，段抛物线的表达式为，设段抛物线的表达式为． (1)①点的坐标为______； ②用含的式子表示：点的坐标为______；点的坐标为______； (2)当球在球网正上方时到达最高点，求此时球与的距离； (3)若球第二次的落点在球网右侧处，球再次弹起最高为，乙的球拍在处正上方如线段，将球拍向前水平推出接球，如果接住了球，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)此时球与的距离为 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质及应用，需认真审题，完成由实际问题到理论知识的转化，采用顺利解题． （1）①依题意求得坐标即可；②求抛物线与轴的交点即可； （2）先求出解析式，再求得球与的距离； （3）将实际问题转化为求抛物线与直线的交点问题即可． 【详解】（1）解：①点为中点，，， ， ， 故答案为：； ②，是轴与抛物线的交点， 令，则， 解得：，， ， 故答案为：； （2）解：段抛物线与轴交于， 段抛物线的对称轴为直线：， 当球在上方到达最高点时，即， ，即：段抛物线为， 当时，， ． 此时球与的距离为； （3）解：∵球第二次的落点在球网右侧处，球再次弹起最高为， ∴球过，且最高点为1.25， ， 解得或14（舍去）， 当时， 解得：或21， 又，，， ． 【变式9-1】如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了投球问题，实际问题与二次函数，如图，实际是求的长，而已知，所以只需求出即可，就是点的横坐标． 【详解】解：如图， 把点纵坐标代入中得： (舍去负值)，即， 所以． 故选：C． 【变式9-2】“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度（米）与水平距离（米）接近于抛物线，烟花可以达到的最大高度是 米． 【答案】12 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．将原抛物线解析式化为顶点式，结合二次函数的图像与性质即可获得答案． 【详解】解：∵， 又∵， ∴当（米）时，烟花可以达到的最大高度，最大高度为12米． 故答案为：12． 【变式9-3】图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，． (1)求抛物线的表达式； (2)在斜坡上的点A建有垂直于水平线的城墙，且，，，点D，A，B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙． 【答案】(1)抛物线的表达式为y＝ (2)石块不能飞越城墙 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数的应用． （1）由抛物线的顶点坐标是可设石块运行的函数关系式为，把点C坐标代入即可解答； （2）由得到点D的横坐标为75，将代入函数，可求得石块飞到点D的竖直方向上时距的高度为，又，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设石块运行的函数关系式为， ∵ ∴点C的坐标为， ∵抛物线过点， ∴，代入，得， 解得： ∴抛物线的表达式为， 即； （2）∵， ∴点D的横坐标为75， 将代入函数，得， 即石块飞到点D的竖直方向上时距的高度为， ∵，， ∴， ∴石块不能飞越城墙． 【变式9-4】某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：    (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式． （1）由题意知抛物线的顶点，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式； （2）令可得或，故，；再比较，的大小即可． 【详解】（1）解：由题意知，方案一中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得：， ， 方案一中抛物线的函数表达式为； （2）在中，令得：； 解得或， ， ， ， ． 【考点题型十】二次函数应用-面积问题 【典例10】以农业和农村为载体的生态农业观光园，不仅具有生产性功能，还具有改善生态环境质量，为人们提供观光、休闲、度假的生活性功能．数学探究小组以“设计矩形生态农业观光园”为主题开展数学实践活动． 如图，是一块用篱笆围出的直角三角形田地，其中，，，数学探究小组准备继续用篱笆在该田地中围出“矩形生态农业观光园”．该观光园为矩形，落在边上，在边上，在边上，（其中即为数学探究小组新添加的篱笆）． (1)若，请求出矩形生态农业观光园边的长； (2)因材料限制，新添加的篱笆总长最多只能为．请求出该矩形生态农业观光园的面积最大值． 【答案】(1) (2)该矩形生态农业观光园的面积最大值为 【分析】（1）过点C作于点H，交于点K，根据勾股定理求出，根据等积法求出，证明四边形为矩形，得出，证明，得出，代入数据求出结果即可； （2）设，，则，证明，得出，求出，得出，根据新添加的篱笆总长最多只能为，得出，即，求出，根据，得出，在范围内求出二次函数的最大值即可． 【详解】（1）解：过点C作于点H，交于点K，如图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 即矩形生态农业观光园边的长为． （2）解：设，，则， 根据解析（1）可知：， ∴， 即， 解得：， ∴ ， ∵新添加的篱笆总长最多只能为， ∴， 即， 把代入得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∵，对称轴为直线， ∴当时，取最大值，且最大值为： ， 即该矩形生态农业观光园的面积最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，不等式组的应用，求二次函数的最值，矩形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的性质． 【变式10-1】如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米．设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米， (1)分别用含x的代数式表示与S； (2)若，求x的值； (3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)9 (3)当时，S有最大值，最大值为． 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的代数式，方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据矩形的性质列式求出，再根据矩形面积公式求出S即可； （2）根据（2）所求得到方程，进而解方程并检验即可得到答案； （3）先求出，再求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 则矩形菜园的面积为； （2）解：当时，由得， 解得，， ∵墙长为12米， ∴，则， ∴， 答：x值为9； （3）解：由题意，， ∴， ∵墙长为12米，篱笆长为33米， ∴， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为． 【变式10-2】综合与实践 在综合实践课上，小明想做一些矩形木板零件，他找到了一些木板余料： (1)如图，已知三角形小木块，边，高，小明要利用它做一个正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．求加工成的正方形零件的边长是多少？ (2)如图，已知三角形小木块，边，高，小明要利用它做一个矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．求加工成的矩形零件面积的最大值是多少？（用含，的代数式表示） (3)如图3，已知四边形的小木块，测得，，，，小明要利用它做一个矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．求加工成的矩形零件面积的最大值是多少？ 【答案】(1)加工成的正方形零件的边长是； (2)加工成的矩形零件面积的最大值是； (3)加工成的矩形零件面积的最大值为． 【分析】（）设正方形零件的边长，由四边形是正方形得，则，故，即可解得加工成的正方形零件的边长是； （）设，由可得，故，从而，由二次函数性质可得答案； （）延长与交于点，过点作于点，交于点，交于点，由得是等边三角形，有，，设，则，故，由二次函数性质可得答案； 本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长、三角形的边与该边上的高的关系是解题的关键． 【详解】（1）设正方形零件的边长， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是的高， ∴是的高， ∵， ∴， ∴（相似三角形对应高的比等于相似比）， ∴， 解得， ∴加工成的正方形零件的边长是； （2）设， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴（相似三角形对应高的比等于相似比）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为， ∴加工成的矩形零件面积的最大值是； （3）延长与交于点，过点作于点，交于点，交于点，如图， ∵， ∴是等边三角形； ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是等边三角形， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， ∴加工成的矩形零件面积的最大值为． 【变式10-3】如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)如果筝形的两条对角线长分别为、，求筝形的面积？ (2)已知筝形的对角线的长度为整数值，且满足．试求当的长度为多少时，筝形的面积有最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)24平方厘米 (2)时，面积有最大值，最大为 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，二次函数的性质，能用长表示出筝形的面积是解题的关键． （1）由可得出点B和点D都在的垂直平分线上，所以，由 求解即可； （2）设的长为， 则，用x表示出筝形的面积，再根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解： ， 点在的垂直平分线上． 同理点在的垂直平分线上． 垂直平分． 所以． ，， 则 ． 又筝形的两条对角线长分别为，， 所以． （2）解：令，则， 由（1）知， ， 又的长度为整数值， 则当时，有最大值，最大值为． 此时． 【考点题型十一】二次函数应用-利润问题 【典例11】某款网红产品很受消费者喜爱，每个产品的进价为40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天的销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． (1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围． (2)将产品的销售单价定为多少元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ (3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，求销售单价的值． 【答案】(1) (2)将产品的销售单价定为52元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大，最大利润是2640元． (3)为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，销售单价为50元 【分析】本题主要了考查二次函数应用，一元二次方程的应用的等知识点， （1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润； （3）根据题意得剩余利润为，利用函数性质求出时的x的取值范围即可； 解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）根据题意，得， 与之间的函数关系式为； （2）根据题意，得． ，又对称轴直线，且， 当时，有最大值，最大值为2640， 将产品的销售单价定为52元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大，最大利润是2640元； （3）依题意可得剩余利润为元． 捐款后每天剩余利润等于2200元， ，即， 解得或（舍去）， 为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，销售单价为50元． 【变式11-1】某商店销售一种进价60元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表： 售价x/（元/件） 80 100 销售量y/件 100 60 (1)求销售量y关于售价x的函数关系式． (2)①设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式． ②若规定售价高于进价且不超过进价的1.5倍，问当售价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)①；②W有最大值．最大值为2400 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键． （1）设，待定系数法求函数解析式即可； （2）①利用总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数解析式；②利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设销售量y关于售价x的函数关系式为． 根据题意，得 解得：， 销售量y关于售价x的函数关系式为：． （2）解：①由（1）知每天的销售量． ∵商品进价为60元/件， ∴W与x之间的函数关系式为 即； ②∵． ∴， ∴． ∵． ∴当时．W有最大值．最大值为2400． 【变式11-2】某超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量（千克）与销售单价（元）存在如下图所示的一次函数关系． (1)试求出与的函数关系式； (2)设该超市销售该绿色食品每天获得利润元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)根据市场调查，该超市经理要求每天利润不得低于4320元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围（直接写出）． 【答案】(1) (2)当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润，最大利润是4500元 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的实际应用： （1）由图象过点和易求直线解析式； （2）每天利润每千克的利润销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答； （3）求出当时，x的直即可得到答案． 【详解】（1）解：设，由图象可知 解得 ， 与的函数关系式为：； （2）解：由题意得 ． ， 有最大值． ∴当时，P有最大值，最大值为． ∴当销售单价为35元千克时，每天可获得最大利润，最大利润是4500元． （3）解：当时，则， 整理得， 解得，， ， 抛物线的开口向下， ∴当每天利润不得低于4320元时，销售单价的范围为． 【变式11-3】著名作家史铁生用他积极乐观的人生态度影响着无数的读者，他是当之无愧的“时代巨人”．近日华南书苑直播平台直播带货史铁生散文集《病隙碎笔》，赢得了众多粉丝的青睐．已知这本书的成本价为每本10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700本，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200本．设每天的销售量为y（本），销售单价为x（元/本） (1)直接写出y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若销售该书每天的利润为7500元，求该书的销售单价； (3)甘肃地震牵动着全国人民的心，该主播决定，每销售一本书就捐赠a元给灾区，当每天销售最大利润为6000元时，求a的值． 【答案】(1) (2)单价为25元 (3)5 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答． （1）依据题意，根据原销售件数减去减少的件数即为所求； （2）依据题意，根据销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解； （3）依据题意，根据单件利润减去捐赠数为最后单件利润，再根据销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解． 【详解】（1）由题意，． ∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍， ∴． （2）由题意，得：， 解之得：，． ∵， ∴． 答：该书的销售单价为25元． （3）由题意，设每天的销售利润为w元， ∴ ∴对称轴为直线 ． ∵在对称轴左侧，且抛物线开口向下， ∴w随x的增大而增大． ∴时，w最大． ∴． ∴． 答：a的值为5． 【考点题型十二】二次函数与几何综合应用 【典例12】如图1，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，点是坐标平面内一点，点坐标． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，若点在抛物线上且，求点D的坐标； (3)如图2，将抛物线当时的函数图象记为，将图象在轴上方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象．若经过点的一次函数的图象与图象在第四象限内恰有两个公共点，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)且 【分析】（1）设交点式，然后把点坐标代入求出的值即可得到抛物线的解析式； （2）如图1中，如图1中，作于．由，推出，由，， 推出，推出，设交轴于，则，可得直线的解析式为，利用方程组即可求出点坐标，同法求出； （3）当直线经过，时，则有，解得，可得一次函数的解析式为，观察图象即可解决问题． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为， 即； （2）解：如图1中，作于． ， ， ，， ， ，设交轴于，则， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， 直线的解析式为， 由， 解得或， ． 当点在轴下方时，同理可求得直线的解析式为， 由， 解得或． ． （3）解：如图2中， 当直线经过，时，则有， 解得， 一次函数的解析式为， 当时，， 当直线经过，时，则有， 解得， 一次函数， 观察图象可知：且时，直线经过点的一次函数的图象与图象在第四象限内恰有两个公共点． 【点睛】本题考查二次函数综合题，折叠的性质，一次函数的应用，二次函数图象性质，解直角 三角形，待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 【变式12-1】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的表达式，并求出点的坐标． (2)点是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接，，当面积最大时，求点的坐标． (3)若点坐标固定为，是抛物线上除点之外的一个动点，当与的面积相等求出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为或或 【分析】本题考查二次函数的综合问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出直线的解析式，然后过点M作轴交于点N，设点M的坐标为，则点N的坐标为，即可得到的长，然后利用求出解析式得到最值即可； （3）分为点Q在上方和点Q在下方两种情况，求出过点Q的直线解析式，然后求直线与抛物线的交点即可解题． 【详解】（1）解：把，两点代入得： ，解得， ∴抛物线的表达式为， 令，则， 解得：或， ∴点C的坐标为； （2）设直线的解析式为，代入得 ，解得， ∴直线的解析式为， 过点M作轴交于点N， 设点M的坐标为，则点N的坐标为， ∴， ∴， ∴当时，最大，这时点M的坐标为； （3）解：∵当时， ∴点在抛物线上， ∴， 当点Q在上方时，设过点Q且与平行的直线解析式为， 把代入得，解得， ∴， 解方程组得，， ∴点Q的坐标为； 当点Q在下方时，则过点Q且与平行的直线为直线向下平移3个单位长度，即为， 解方程组得，， ∴点Q的坐标为或； 综上所述，点Q的坐标为或或； 【变式12-2】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，． (1)求抛物线的表达式； (2)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积及此时E点的坐标； (3)在坐标平面内是否存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)有最大值为8，； (3)存在，P点的坐标为或或． 【分析】（1）将，坐标分别代入抛物线解析式得方程组，然后解方程组求出、即可得到抛物线解析式； （2）先求出直线的解析式，设，则，得出，再求出 ，再求其最大值即可； （3）先求出对称轴为直线，得，设P点的坐标为，再根据平行四边形的性质进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将，代入， 得，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， ∴，      设直线的解析式为， 将B、C点坐标代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设， 轴于点H，则， ∴ ， ． ∴ ∵是关于x的二次函数，， ∴当时，有最大值为8， 此时； （3）解：由，可知对称轴为直线， ∴， ∵，， 设P点的坐标为， ①当为对角线时，，， 解得，， ∴P点的坐标为； ②当为对角线时，      ，， 解得，， ∴P点的坐标为；     ③当为对角线时， ，， 解得，， ∴P点的坐标为； 综上，P点的坐标为或或 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，正确掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积和平行四边形的性质，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质是解题关键． 【变式12-3】如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，已知，． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴，垂足为，连接，若与相似，请求出满足条件的点坐标；若没有满足条件的点，说明理由． 【答案】(1)该二次函数的表达式为； (2)满足条件的点坐标为． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的性质，一元二次方程法解法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）设，由题意得：，，，再利用相似三角形的性质得出比例式，解关于的方程即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ，， ． ，， 二次函数的图象经过点，，， ， 解得：， 该二次函数的表达式为； （2）解：设， 轴，为第一象限内抛物线上一点， ，，， ， 与相似， 或， 或． 解得：，或，． ， ． 与相似，满足条件的点坐标为． 【变式12-4】如图，点为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于两点（点在轴上），与二次函数图象的对称轴交于点． (1)求的值及点坐标； (2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围； (3)连接、，求的面积； (4)在该二次函数的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) (4)存在，的坐标为或或或． 【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）先求出点B的坐标，再由图象直接可求得一次函数值大于二次函数值的的取值范围； （2）先求出，然后根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和两点距离公式可求解． 【详解】（1）∵直线过点， ∴， ∴， ∴， 二次函数解析式为， 顶点坐标为； （2）将代入得：， ，且， 由图象直接可得一次函数值大于二次函数值的的取值范围为：； （3）由（1）知，直线的解析式为，，二次函数对称轴为， ∵直线与二次函数图象的对称轴交于点D， ∴设点， ∴， ∴， ∴， ∴的面积 （4）∵顶点坐标为， ∴对称轴为， ∴设点， 又∵，点， ∴， 当时，则， ∴（舍去）， ∴点坐标为， 当时，则， ∴点坐标为或； 当时，则， ∴， ∴点坐标为； 综上所述：点的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【变式12-5】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在第二象限的抛物线上，且与面积相等，求D点坐标； (3)若P为线段上一点，，求的长； (4)在（3）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，、、 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可； （2）易求的面积为6，，故D到x轴的距离为4，把代入即可得，即可得到点D坐标； （3）求出，，，利用相似三角形的性质求解即可； （4）分两种情况：①为平行四边形的边时，点的横坐标可以为，求出点的坐标即可；②当为平行四边形的对角线时，点的横坐标为，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：令直线中，则， ∴点B的坐标为， 抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：令中，则，， ∴点A的坐标为， ∴， ∵与面积相等， ∴D到x轴的距离为4， 将代入，得， ∴点D坐标； （3）解：令，则， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴，，， ∴， ∵，且， ∴， ∴，即， ∴； （4）解：存在， 过作轴于， ∵，，， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 当在的上方时，过点作轴于点，如图： ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时，， ∴点N的坐标， 当在的下方时，过点作轴于点，如图： 同理可得：， ∴， 当时，， ∴点N的坐标， 当为平行四边形的对角线时，点的横坐标为， ∴， 综上，点N的坐标为或或． 【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查待定系数法，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 【考点题型十三】二次函数与其他实际应用综合 【典例13】【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况 在大自然里，有很多数学的奥秘.图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标； 【探究二】研究心形叶片的宽度： （2）如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于另一点C，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度； 【探究三】探究幼苗叶片的长度 （3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数．已知直线（点P为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度． 【答案】（1），D坐标为；（2）；（3） 【分析】（1）把原点代入解析式，求得值，将抛物线化成顶点式即可确定顶点坐标； （2）先根据抛物线确定点，再确定A，B，E的坐标，根据等腰直角三角形的性质，对称的性质，计算求解即可； （3）设P的坐标为，则，过点D作x轴的平行线，过点P作于点F，根据题意计算求解即可． 【详解】（1）∵二次函数的图象过原点 ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为 其顶点D坐标为． （2）由（1）可知，抛物线的解析式为， 令，得， 解得，， ∴． 过点作轴，交直线于， 将代入直线，得， ∴， ∴ ∵直线与坐标轴交于A，B两点， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， 又∵C，是关于对称轴直线的一对对称点， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 解得． ∴； （3）∵点P在抛物线上，点D坐标为 ∴设P的坐标为，则， 过点D作x轴的平行线，过点P作于点F，依题意有， ∴，即， 解得（舍去） ∴， ∴幼苗叶片的长度． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，抛物线与坐标轴的交点，对称思想，两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【变式13-1】综合与实践：设计公交车停靠站的扩建方案． 【素材1】图1为某公交车停靠站，顶棚截面由若干段形状相同的抛物线拼接而成．图2为某段结构示意图，，皆为轴对称图形，且关于点成中心对称，该段结构水平宽度为8米．    【素材2】图3为停靠站部分截面示意图，两根长为2.5米的立柱，竖直立于地面并支撑在对称中心，处．小温将长为2.8米的竹竿竖直立于地面，当点触碰到顶棚时，测得为1米． 【素材3】将顶棚扩建，要求截面为轴对称图形，且水平宽度为27米．计划在顶棚两个末端到地面之间加装垂直于地面的挡风板． 【任务】 (1)确定中心：求图2中点到该结构最低点的水平距离． (2)确定形状：在图3中建立合适的直角坐标系，求的函数表达式． (3)确定高度：求挡风板的高度． 【答案】(1)2米 (2)见解析 (3)2.675m或2.325m 【分析】本题考查了用待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象和性质，根据题意建立适当的平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据对称性求解即可； （2）以点为原点，按如图形式建立直角坐标系，由条件可求对称轴为，设顶点式为，把、代入求解即可； （3）把，分别代入（2）中解析式求解即可． 【详解】（1）解：由中心对称性得：米，由轴对称性得：米． 即图2中点到该结构最低点的水平距离为2米； （2）解：以点为原点，按如图形式建立直角坐标系， 由条件得，过、，对称轴为， 设顶点式为， 将、代入得， 解得：，， ； （3）解：，    情况①：当时，，    情况②：将时，，    综上，挡风板的高度为2.675m或2.325m． 【变式13-2】图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是桥拱的横截面示意图，测得水面宽度米，拱顶离水面的距离为米．        (1)在图2中建立合适的直角坐标系后，求这条抛物线的函数表达式． (2)拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，露出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．测得相关数据如下：米，米，米，米．为确保安全，拟在石拱桥下面的P，Q两处设安置航行警戒线，要求如下：①游船底部在P，Q之间通行；②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.5米．求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值为16.6米 【分析】此题考查了二次函数的应用． （1）以点D为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，得到点B的坐标为，顶点C的坐标为，设抛物线解析式为，把点B的坐标代入即可求解； （2）过点E作于点M，得到米．由题意可知，当最大时，点E的纵坐标为，把代入函数得，解方程的，由米得到米，游船底部在P，Q之间通行，即可求得的最大值． 【详解】（1）以点D为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图所示，    ∵米，米， ∴点B的坐标为，顶点C的坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入得， ∴， ∴这条抛物线的函数表达式为； （2）过点E作于点M，    ∵米，米， ∴（米） ∴在中，（米）． 由题意可知，当最大时，点E的纵坐标为． 把代入函数中，得， 解得，， ∵米， ∴（米）， ∵游船底部在P，Q之间通行， ∴的最大值为（米）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单07 二次函数（13个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数 【清单02】 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 【清单03】二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 【清单04】抛物线的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 【清单05】 二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 【清单06】 用二次函数的性质解决实际问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 【清单07】 用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的 【考点题型一】二次函数的概念 【典例1-1】下列函数中属于二次函数的是 （      ） A． B． C． D． 【典例1-2】关于的函数是二次函数，则的值是 ． 【变式1-1】下列属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】若表示y是x的二次函数，则m的取值范围为 ． 【变式1-3】若是关于的二次函数，则m的值为 ． 【考点题型二】特殊二次函数的图像和性质 【典例2】对于抛物线，下列判断正确的是（    ） A．函数最小值是3 B．当时，y随x的增大而增大 C．抛物线的顶点坐标是 D．对称轴为直线 【变式2-1】若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2-2】抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】已知关于的二次函数，当时，的取值范围为 【考点题型三】与特殊二次函数有关的几何知识 【典例3】如图，抛物线的对称轴为直线，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，则图中的两条抛物线、直线与轴所围成的图形（阴影部分）的面积为 ． 【变式3-1】如图，已知抛物线，，将向下平移2个单位长度后得抛物线，则图中阴影部分的面积 ． 【变式3-2】如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ． 【变式3-3】将抛物线向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联接如果是等边三角形，那么点B的坐标是 ． 【变式3-4】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是 ．    【考点题型四】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 【典例4】已知二次函数，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．函数的最大值为 C．当时，随的增大而减小 D．若，则 【变式4-1】下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是（    ） A．点在函数图象上 B．开口方向向上 C．对称轴是直线 D．与直线有两个交点 【变式4-2】已知二次函数经过点，点，点，那么的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】二次函数的图象与x轴交于、B两点，下列说法正确的是（    ） A．它的对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．点B的坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 【变式4-4】抛物线，y与x的部分对应值如表所示，下列说法错误是（    ） x 0 1 2 m y 3 4 3 A．开口向下 B．顶点坐标为 C．当时，y随x的增大而减小 D． 【考点题型五】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 【典例5】已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为3，则a的值为（    ） A．1或0 B．1或 C．或 D．0或 【变式5-1】已知二次函数，当时，函数有最小值，则b的值为（    ） A．或 B．或 C． D．或 【变式5-1】已知二次函数，其中．若当时，对应的y的整数值有6个，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知抛物线 ，若当时，函数的最大值为1，则a的值为 ． 【考点题型六】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息 【典例6】二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式6-1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数）．其中错误结论的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-2】如图，已知顶点为的抛物线过，则下列结论：①；②对于任意的，均有；③；④若，则；⑤；其中正确的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-3】如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-4】如图，二次函数的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点题型七】二次函数的平移变换 【典例7】将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】要得到二次函数的图象，需将的图象（　　） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【变式7-3】在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新的抛物线的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【考点题型八】二次函数的交点问题 【典例8】抛物线和直线的图象如图所示，那么不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】二次函数的图象如图，当函数值时，自变量的取值范围是 ． 【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点O和点A，则关于x的不等式的解集为 ． 【变式8-3】如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则关于的不等式的解是 ． 【考点题型九】二次函数应用-类抛物线问题 【典例9】【综合与实践】 为响应国家“双减”政策号召，落实“五育并举”举措，我县各校开展了丰富多彩的社团活动．球类运动课上，甲乙两人打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动，从侧面看乒乓球台如图所示，为球台，为球网，点为中点，，，甲从正上方的处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的处再弹起到另一侧的处，从处再次弹起到，乙再接球．以所在直线为轴，为原点作平面直角坐标系，表示球与的水平距离，表示球到球台的高度，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线，段抛物线的表达式为，设段抛物线的表达式为． (1)①点的坐标为______； ②用含的式子表示：点的坐标为______；点的坐标为______； (2)当球在球网正上方时到达最高点，求此时球与的距离； (3)若球第二次的落点在球网右侧处，球再次弹起最高为，乙的球拍在处正上方如线段，将球拍向前水平推出接球，如果接住了球，求的取值范围． 【变式9-1】如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　） A． B． C． D． 【变式9-2】“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度（米）与水平距离（米）接近于抛物线，烟花可以达到的最大高度是 米． 【变式9-3】图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，． (1)求抛物线的表达式； (2)在斜坡上的点A建有垂直于水平线的城墙，且，，，点D，A，B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙． 【变式9-4】某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：    (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小． 【考点题型十】二次函数应用-面积问题 【典例10】以农业和农村为载体的生态农业观光园，不仅具有生产性功能，还具有改善生态环境质量，为人们提供观光、休闲、度假的生活性功能．数学探究小组以“设计矩形生态农业观光园”为主题开展数学实践活动． 如图，是一块用篱笆围出的直角三角形田地，其中，，，数学探究小组准备继续用篱笆在该田地中围出“矩形生态农业观光园”．该观光园为矩形，落在边上，在边上，在边上，（其中即为数学探究小组新添加的篱笆）． (1)若，请求出矩形生态农业观光园边的长； (2)因材料限制，新添加的篱笆总长最多只能为．请求出该矩形生态农业观光园的面积最大值． 【变式10-1】如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米．设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米， (1)分别用含x的代数式表示与S； (2)若，求x的值； (3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？ 【变式10-2】综合与实践 在综合实践课上，小明想做一些矩形木板零件，他找到了一些木板余料： (1)如图，已知三角形小木块，边，高，小明要利用它做一个正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．求加工成的正方形零件的边长是多少？ (2)如图，已知三角形小木块，边，高，小明要利用它做一个矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．求加工成的矩形零件面积的最大值是多少？（用含，的代数式表示） (3)如图3，已知四边形的小木块，测得，，，，小明要利用它做一个矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．求加工成的矩形零件面积的最大值是多少？ 【变式10-3】如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)如果筝形的两条对角线长分别为、，求筝形的面积？ (2)已知筝形的对角线的长度为整数值，且满足．试求当的长度为多少时，筝形的面积有最大值，最大值是多少？ 【考点题型十一】二次函数应用-利润问题 【典例11】某款网红产品很受消费者喜爱，每个产品的进价为40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天的销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． (1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围． (2)将产品的销售单价定为多少元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ (3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，求销售单价的值． 【变式11-1】某商店销售一种进价60元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表： 售价x/（元/件） 80 100 销售量y/件 100 60 (1)求销售量y关于售价x的函数关系式． (2)①设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式． ②若规定售价高于进价且不超过进价的1.5倍，问当售价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【变式11-2】某超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量（千克）与销售单价（元）存在如下图所示的一次函数关系． (1)试求出与的函数关系式； (2)设该超市销售该绿色食品每天获得利润元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)根据市场调查，该超市经理要求每天利润不得低于4320元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围（直接写出）． 【变式11-3】著名作家史铁生用他积极乐观的人生态度影响着无数的读者，他是当之无愧的“时代巨人”．近日华南书苑直播平台直播带货史铁生散文集《病隙碎笔》，赢得了众多粉丝的青睐．已知这本书的成本价为每本10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700本，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200本．设每天的销售量为y（本），销售单价为x（元/本） (1)直接写出y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若销售该书每天的利润为7500元，求该书的销售单价； (3)甘肃地震牵动着全国人民的心，该主播决定，每销售一本书就捐赠a元给灾区，当每天销售最大利润为6000元时，求a的值． 【考点题型十二】二次函数与几何综合应用 【典例12】如图1，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，点是坐标平面内一点，点坐标． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，若点在抛物线上且，求点D的坐标； (3)如图2，将抛物线当时的函数图象记为，将图象在轴上方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象．若经过点的一次函数的图象与图象在第四象限内恰有两个公共点，求n的取值范围． 【变式12-1】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的表达式，并求出点的坐标． (2)点是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接，，当面积最大时，求点的坐标． (3)若点坐标固定为，是抛物线上除点之外的一个动点，当与的面积相等求出点的坐标． 【变式12-2】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，． (1)求抛物线的表达式； (2)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积及此时E点的坐标； (3)在坐标平面内是否存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式12-3】如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，已知，． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴，垂足为，连接，若与相似，请求出满足条件的点坐标；若没有满足条件的点，说明理由． 【变式12-4】如图，点为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于两点（点在轴上），与二次函数图象的对称轴交于点． (1)求的值及点坐标； (2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围； (3)连接、，求的面积； (4)在该二次函数的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式12-5】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在第二象限的抛物线上，且与面积相等，求D点坐标； (3)若P为线段上一点，，求的长； (4)在（3）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点题型十三】二次函数与其他实际应用综合 【典例13】【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况 在大自然里，有很多数学的奥秘.图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标； 【探究二】研究心形叶片的宽度： （2）如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于另一点C，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度； 【探究三】探究幼苗叶片的长度 （3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数．已知直线（点P为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度． 【变式13-1】综合与实践：设计公交车停靠站的扩建方案． 【素材1】图1为某公交车停靠站，顶棚截面由若干段形状相同的抛物线拼接而成．图2为某段结构示意图，，皆为轴对称图形，且关于点成中心对称，该段结构水平宽度为8米．    【素材2】图3为停靠站部分截面示意图，两根长为2.5米的立柱，竖直立于地面并支撑在对称中心，处．小温将长为2.8米的竹竿竖直立于地面，当点触碰到顶棚时，测得为1米． 【素材3】将顶棚扩建，要求截面为轴对称图形，且水平宽度为27米．计划在顶棚两个末端到地面之间加装垂直于地面的挡风板． 【任务】 (1)确定中心：求图2中点到该结构最低点的水平距离． (2)确定形状：在图3中建立合适的直角坐标系，求的函数表达式． (3)确定高度：求挡风板的高度． 【变式13-2】图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是桥拱的横截面示意图，测得水面宽度米，拱顶离水面的距离为米．        (1)在图2中建立合适的直角坐标系后，求这条抛物线的函数表达式． (2)拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，露出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．测得相关数据如下：米，米，米，米．为确保安全，拟在石拱桥下面的P，Q两处设安置航行警戒线，要求如下：①游船底部在P，Q之间通行；②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.5米．求的最大值． 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