5.3 平面向量的数量积及其应用学案-2025届高三数学一轮复习

5.3 平面向量的数量积及其应用 学习目标：1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α .2.掌握诱导公式，并会简单应用． 1、 课前自测 1.易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的夹角的取值范围是． (　　) (2)两个向量的数量积是一个实数． (　　) (3)若a·b＝a·c，则b＝c． (　　) (4)(a·b)c＝a(b·c)． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．已知向量m＝(2x，1)与向量n＝垂直，则x等于(　　) A. B．－ C. D．－ 解析　C ∵m＝(2x，1)与n＝垂直， ∴m·n＝(2x，1)·＝x－＝0，即x＝. 3.(人教A版必修第二册P20练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为________. 解析 －e　 向量b在向量a上的投影向量为e＝－e. 4. (2023·郑州模拟)已知向量a，b满足|b|＝2|a|＝2，且a与b的夹角为，则(2a＋b)·a等于(　　) A．12 B．4 C．3 D．1 解析　D 因为|b|＝2|a|＝2， 所以(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝2|a|2＋|a||b|·cos ＝2＋2×1×＝1. 5.(人教A版必修第二册P23习题6.2T11改编)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________． 解析 2　 a·b＝|a||b|cos 60°＝1，|a＋2b|＝＝＝2. 二、知识梳理 1．向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ就是向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是[0，π]． 当θ＝时，a与b垂直，记作a⊥b； 当θ＝0时，a与b共线且同向； 当θ＝π时，a与b共线且反向． 2．平面向量的数量积 定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：0·a＝0． 3．投影向量 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量，记为|a|cos θ e． 提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ＝. 4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 5．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2． (2)模：|a|＝＝． (3)夹角：cos θ＝＝． (4)a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0． (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立). 6．平面几何中的向量方法 (1)用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． [常用结论] 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2； (3)a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2](该式又称作极化恒等式)． 2．有关向量夹角的两个结论 两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线． 三、典例分析 典例一、平面向量数量积的运算 例1.(1)已知向量a＝(1，m)，b＝(m，2)，若a·b＝4，则实数m等于(　　) A．－ B．0 C．1 D. 解析　D 向量a＝(1，m)，b＝(m，2)，则a·b＝m＋2m＝3m＝4，解得m＝. (2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为________． 解析 1　1　 法一(投影法)：设向量的夹角为θ，则＝＝||·||cos θ，由图可知，||cos θ＝||，所以原式等于||2＝1．要使最大，只要使向量在向量上的投影向量的长度达到最大即可，因为在向量上的投影向量的长度最大为||＝1，所以()max＝||2＝1. 法二(基向量法)：因为＝且⊥，所以＝()·＝||2＝1，＝()·＝＝||||＝||，所以要使 最大，只要||最大即可，显然随着E点在AB边上移动，||max＝1，故()max＝1. 法三(坐标法)：以D为坐标原点，DC与DA所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，可知E(x，1)，0≤x≤1，所以＝(x，1)，＝(0，1)，可得＝1．因为＝(1，0)，所以＝x，因为0≤x≤1，所以()max＝1．] 变式1(2024·山东济南模拟)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，则a·b＝________，a在b上的投影向量是________． 解析 (2)－2　 ∵a＝(1，2)，b＝(2，－2)， ∴a·b＝1×2＋2×(－2)＝－2， ∵|a|＝＝，|b|＝＝2，设向量a，b的夹角为θ，∴cos θ＝＝＝－，则a在b上的投影向量是|a|cos θ·＝(2，－2)＝.] 总结 典例二、平面向量数量积的应用 例2.(1)(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________． 解析 　 由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3．由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，a2－2a·b＝0，所以a2－(a2＋b2－3)＝0，所以b2＝3，所以|b|＝. (2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________． 解析 因为2a－3b与c的夹角为钝角， 所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2，1)＜0， 所以4k－6－6＜0，所以k＜3．若2a－3b与c反向共线，则＝－6，解得k＝－，此时夹角不是钝角，综上所述，k的取值范围是∪.] (3)(2023·新高考全国Ⅰ)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 解析　D 因为a＝(1,1)，b＝(1，－1)， 所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)， 由(a＋λb)⊥(a＋μb)， 可得(a＋λb)·(a＋μb)＝0， 即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0， 整理得λμ＝－1. 变式2(多选)已知向量a＝(m，－1)，b＝(－2,1)，则下列说法正确的是(　　) A．若m＝1，则|a－b|＝ B．若a⊥b，则m＝2 C．“m<－”是“a与b的夹角为锐角”的充要条件 D．若m＝－1，则b在a上的投影向量的坐标为 解析　ACD 对于选项A，因为m＝1，所以a＝(1，－1)，又b＝(－2,1)，所以a－b＝(3，－2)，故|a－b|＝＝，所以选项A正确； 对于选项B，因为a⊥b，所以－2m－1＝0，解得m＝－，所以选项B错误； 对于选项C，当a与b的夹角为锐角时，由cos〈a，b〉＝>0，得a·b>0， 即－2m－1>0，得m<－； 当m<－时，可得cos〈a，b〉＝>0，而〈a，b〉∈[0，π]， 又当a∥b时，m－2＝0得m＝2，此时a＝(2，－1)， b＝(－2,1)，a，b反向共线， 所以〈a，b〉∈，即“m<－”可以得出“a与b的夹角为锐角”，所以选项C正确； 对于选项D，当m＝－1时，a＝(－1，－1)，b＝(－2,1)，b在a上的投影向量为·＝×(－1，－1)＝，所以选项D正确． 总结 典例三、平面向量的应用 例3.(多选)在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为，且|＝与的夹角为θ.给出以下结论，其中正确的是(　　) A．θ越大越费力，θ越小越省力 B．θ的取值范围为[0，π] C．当θ＝时，|＝|G| D．当θ＝时|＝|G| 解析 AD　 对于A，由G＝－(F1+F2)，所以|G|2＝|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos θ＝2|F1|2(1+cos θ)，解得|F1|2＝.由题意知θ∈(0，π)时，y＝cos θ单调递减，所以|F1|2单调递增，即θ越大越费力，θ越小越省力，A正确；对于B，由题意知，θ的取值范围是(0，π)，故B错误；对于C，当θ＝时，|F1|2＝，所以|F1|＝|G|，故C错误；对于D，当θ＝时，|F1|2＝|G|2，所以|F1|＝|G|，故D正确.故选AD. 用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤 变式3-1.长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝ 10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝6 km/h，如图，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于(　　) A．－ B．－ C．－ D. 解析　B 由题意知(v1＋v2)·v2＝0， 则v1·v2＋v＝|v1||v2|·cos θ＋v＝60cos θ＋36＝0， 所以cos θ＝－. 总结 四、课堂总结 5、 检测练习 1．(2024·河北邯郸模拟)已知向量a，b的夹角为，且|a|＝2，|b|＝1，则a·(b－a)＝(　　) A．－4　　　　　　 B．3－4 C．－2 　 D．1 解析 A　 a·(b－a)＝a·b－a2＝2×1×cos －22＝－4，故选A. 2．(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 解析　C 由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)， 所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t， b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t. 因为〈a，c〉＝〈b，c〉， 所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉， 即＝， 即＝3＋t，解得t＝5. 3．已知向量a＝(1，2)，b＝(4，k)，若a与b垂直，则a与a＋b夹角的余弦值为(　　) A．　　 B． C．　　 D． 解析 A　 根据题意，设a与a＋b夹角为θ， 因为a与b垂直，所以a·b＝1×4＋2k＝0，解得k＝－2，则b＝(4，－2)，a＋b＝(5，0)，则cos θ＝＝＝.故选A. 4．2023·大同模拟)平面向量a与b相互垂直，已知a＝(6，－8)，|b|＝5，且b与向量(1,0)的夹角是钝角，则b等于(　　) A．(－3，－4) B．(4,3) C．(－4,3) D．(－4，－3) 解析　D 设b＝(x，y)， ∵a⊥b，∴a·b＝6x－8y＝0，① ∵b与向量(1,0)夹角为钝角，∴x<0，② 又|b|＝＝5，③ 由①②③解得∴b＝(－4，－3)． 5．已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a－b在b上的投影向量为(　　) A．－a　　 B．－b C．a　　 D．b 解析 B　 ∵|a＋b|＝|a－b|， ∴a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，可得a·b＝0， ∴a－b在b上的投影向量为＝·b＝－b.故选B. 6．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝________． 解析 －　 法一：由a＋b＋c＝0⇒(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝0， ∴a·b＋b·c＋a·c＝－. 法二：由a＋b＝－c⇒a2＋b2＋2a·b＝c2⇒a·b＝－， 由a＋c＝－b⇒a2＋c2＋2a·c＝b2⇒a·c＝－， 由b＋c＝－a⇒b2＋c2＋2b·c＝a2⇒b·c＝－， ∴a·b＋b·c＋c·a＝－. 7．(2023·青岛模拟)如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M. (1)求∠EMF的余弦值； (2)设＝λ，求λ的值及点M的坐标． 解析 (1)∠EMF的余弦值为;(2)M. (1)如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系， 则D(0,6)，E(3,0)， A(0,0)，F(6,2)， ∴＝(3，－6)，＝(6,2)， 由于∠EMF就是，的夹角， ∴cos∠EMF＝cos〈，〉＝＝，∴∠EMF的余弦值为. (2)∵＝λ， 则＝(6λ，2λ)，则M(6λ，2λ)， 又D，M，E三点共线， 则设＝t，0<t<1， 即(6λ，2λ－6)＝t(3，－6)， 则解得λ＝， 故M. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3 平面向量的数量积及其应用 学习目标：1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α .2.掌握诱导公式，并会简单应用． 1、 课前自测 1.易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的夹角的取值范围是． (　　) (2)两个向量的数量积是一个实数． (　　) (3)若a·b＝a·c，则b＝c． (　　) (4)(a·b)c＝a(b·c)． (　　) 2．已知向量m＝(2x，1)与向量n＝垂直，则x等于(　　) A. B．－ C. D．－ 3.(人教A版必修第二册P20练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为________. 4. (2023·郑州模拟)已知向量a，b满足|b|＝2|a|＝2，且a与b的夹角为，则(2a＋b)·a等于(　　) A．12 B．4 C．3 D．1 5.(人教A版必修第二册P23习题6.2T11改编)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________． 二、知识梳理 1．向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ就是向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是_____． 当_____时，a与b垂直，记作a⊥b； 当_____时，a与b共线且同向； 当_____时，a与b共线且反向． 2．平面向量的数量积 定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量__________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：0·a＝_____． 3．投影向量 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b_____，叫做向量a在向量b上的__________，记为__________． 提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ＝. 4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 5．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝__________． (2)模：|a|＝＝_____． (3)夹角：cos θ＝＝__________． (4)a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔__________． (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立). 6．平面几何中的向量方法 (1)用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． [常用结论] 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2； (3)a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2](该式又称作极化恒等式)． 2．有关向量夹角的两个结论 两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线． 三、典例分析 典例一、平面向量数量积的运算 例1.(1)已知向量a＝(1，m)，b＝(m，2)，若a·b＝4，则实数m等于(　　) A．－ B．0 C．1 D. (2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为________． 变式1(2024·山东济南模拟)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，则a·b＝________，a在b上的投影向量是________． 总结 典例二、平面向量数量积的应用 例2.(1)(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________． (2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________． (3)(2023·新高考全国Ⅰ)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 变式2(多选)已知向量a＝(m，－1)，b＝(－2,1)，则下列说法正确的是(　　) A．若m＝1，则|a－b|＝ B．若a⊥b，则m＝2 C．“m<－”是“a与b的夹角为锐角”的充要条件 D．若m＝－1，则b在a上的投影向量的坐标为 总结 典例三、平面向量的应用 例3.(多选)在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为，且|＝与的夹角为θ.给出以下结论，其中正确的是(　　) A．θ越大越费力，θ越小越省力 B．θ的取值范围为[0，π] C．当θ＝时，|＝|G| D．当θ＝时|＝|G| 变式3-1.长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝ 10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝6 km/h，如图，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于(　　) A．－ B．－ C．－ D. 总结 四、课堂总结 5、 检测练习 1．(2024·河北邯郸模拟)已知向量a，b的夹角为，且|a|＝2，|b|＝1，则a·(b－a)＝(　　) A．－4　　　　　　 B．3－4 C．－2 　 D．1 2．(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 3．已知向量a＝(1，2)，b＝(4，k)，若a与b垂直，则a与a＋b夹角的余弦值为(　　) A．　　 B． C．　　 D． 4．2023·大同模拟)平面向量a与b相互垂直，已知a＝(6，－8)，|b|＝5，且b与向量(1,0)的夹角是钝角，则b等于(　　) A．(－3，－4) B．(4,3) C．(－4,3) D．(－4，－3) 5．已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a－b在b上的投影向量为(　　) A．－a　　 B．－b C．a　　 D．b 6．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝________． 7．(2023·青岛模拟)如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M. (1)求∠EMF的余弦值； (2)设＝λ，求λ的值及点M的坐标． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$