精品解析：安徽省淮南市淮南第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

淮南二中 2026 届高二第一学期期中教学检测 数学试题 （考试时间: 120 分钟， 试题满分: 150 分） 注意事项: 1. 答题前， 务必在答题卷规定位置填写自己的姓名、班级、准考证号 （智学号）; 2. 在答题卷上答题时，选择题必须用 铅笔将对应题号的答案涂黑，非选择题必须用 黑色墨水签字笔在指定区域作答， 超出规定区域作答无效; 3. 考试结束只需提交答题卷， 试题卷学生自己保存. 一、选择题: 本题共 8 个小题， 每小题 5 分， 共 40 分.在每小题所给四个选项中， 只有一项是符合题意的. 1. 直线的倾斜角为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】由直线， 则， 设直线的倾斜角为， 所以， 所以. 故选：A 【点睛】本题考查了直线斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题. 2. 设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可． 【详解】椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=， P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2． 故选C． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，属于基础题． 3. 如图，在平行六面体中，与的交点为．设，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算即可求得结果. 【详解】几何体为平行六面体，各个面均为平行四边形， 为，中点， . 故选：A. 4. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】充分必要条件的判断：把两个命题分别作为条件和结论，判定由条件能否推出结论即可. 【详解】当时，，，显然，两直线平行，满足充分条件； 当与直线平行时，，则 ∴或， 当时显然成立，当时，，， 整理后与重合，故舍去， ∴，满足必要条件； ∴“”是“直线与直线平行”的充要条件 故选：C 5. 已知正四面体P-ABC的棱长为3，动点M满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理得点M在平面ABC内，当平面ABC时，最小，利用勾股定理求解即可. 【详解】因为，， 所以，所以， 因为，不共线，所以，，共面，所以点M在平面ABC内， 所以当平面ABC时，最小，如图，取BC的中点D，连接AD， 则点M在AD上，且， 所以，即的最小值为. 故选：B 6. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算两个已知圆的圆心和半径，根据圆的位置关系得到动圆圆心到两已知圆圆心距离和为定值，结合椭圆的定义即可得到结果. 【详解】圆可化为，圆心，半径为. 圆可化为，圆心，半径为. 设动圆圆心点，半径为，圆与圆外切于点，圆与圆内切于点，如图所示： 由题意得，三点共线，三点共线，，， ∴， ∴点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，， ∴， ∴点的轨迹方程为. 故选：C. 7. 过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，得到圆心为，半径为，从而得到，，再利用等面积法，即可求出结果. 【详解】因为，即，故圆心为，半径为， 又，所以，故切线长， 由，得到， 故选：C. 8. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，边上的高所在直线方程为，得到边所在直线的方程，再与边上的中线所在直线方程联立求得点C，设，由点B在AC的高线上和AB的中线上求解. 【详解】解：因为，边上的高所在直线方程为， 所以， 所以边所在直线的方程为，即. 又边上的中线所在直线方程为， 由，解得， 所以. 设，则线段的中点， 则 解得 即， 所以所在直线的方程为. 故选：D 二、选择题: 本题共 3 个小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全 部选对的得 6 分， 有选错的得 0 分， 部分选对的得部分分. 9. 已知，两点到直线l：的距离相等，则实数a的值可能为（ ） A. B. 3 C. D. 1 【答案】AC 【解析】 【分析】分AB所在的直线平行于直线l和AB的中点在直线l上两种情况进行讨论求解. 【详解】因为，两点到直线l：的距离相等，所以AB所在的直线平行于直线l或AB中点在直线l上， 当AB所在的直线平行于直线l时，因为，所以直线l的斜率，所以； 当AB的中点在直线l上时， ，解得， 故选：AC. 10. 数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点，距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹围成区域的面积为 B. 面积的最大值为 C. 点到直线距离的最大值为 D. 若圆上存在满足条件的点，则半径的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直接法求点的轨迹方程，再根据直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系分别判断各选项. 【详解】由题意，设点， 又， 所以， 化简可得， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 所以点的轨迹围成的区域面积为，A选项正确； 又点满足， 所以，B选项正确； 点到直线的距离， 所以直线与圆相离，所以点到直线距离的最大值为，C选项错误； 由D选项可知圆与圆有公共点，所以， 且， 即， 所以，D选项正确； 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ） A. 与平面的夹角的正弦值为 B. 点到的距离为 C. 线段的长度的最大值为 D. 与的数量积的范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】建系，标点，设，根据向量垂直可得.对于A：利用空间向量求线面夹角；对于B：利用空间向量求点到线的距离；对于C：根据空间向量的模长公式分析求解；对于D：根据空间向量的数量积分析求解. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得，， 若，则，可得， 则，解得，即. 对于选项A：可知平面的法向量， 则， 所以与平面的夹角的正弦值为，故A正确； 对于选项B：因为， 所以点到的距离为，故B正确； 对于选项C：因为， 则， 且，可得当且仅当时，取到最大值， 所以线段的长度的最大值为3，故C错误； 对于选项D：因为，， 则， 且，可知当时，取到最小值； 当时，取到最大值； 所以与的数量积的范围是，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题: 本题共 3 个小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 已知，则P点关于直线的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用先求垂足，把点关于直线对称转化为点关于垂足对称，即可用中点坐标公式求解. 【详解】由直线，可知其斜率为，则与直线垂直的直线斜率为, 则过点与直线垂直的直线方程为：，整理得， 联立方程组： ，解得，即过点作直线垂线的垂足为， 根据对称性可知，两点的中点就是，所以可求得点， 故答案为：. 13. 若直线 与曲线 恰有两个公共点，则实数 的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】曲线表示半径的半圆，再利用数形结合表示直线与圆的位置关系，求参数的取值范围. 【详解】由题意，曲线表示半径的半圆，且， 设直线与半圆相切， 则，解得或（舍）， 因为直线与曲线恰有两个公共点， 如图所示，当直线经过时为临界值， 即， 所以当时，直线与曲线恰有两个公共点. 故答案为：. 14. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，过点 的直线与椭圆 交于 两点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】设，根据已知条件及椭圆定义表示其他边长，利用勾股定理得出和的关系，分别在和直角中表示，建立等量关系求椭圆离心率. 详解】设，则, 由椭圆的定义得，， 由得，, 即， 整理得，解得或（舍去）， 所以，故点在轴上. 如图，在直角中，, 在中，， 化简得， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 四、解答题: 本题共 5 个小题， 共 77 分.解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中的三个点 . （1）已知点 ，且 ，求实数 的值； （2）求 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求空间向量坐标，再根据向量垂直的数量积运算求参 ； （2）先求空间向量坐标，再求模长，最后应用向量数量积公式计算即可. 【小问1详解】 由题可得 ，又 ， 所以 ， 解得 . 【小问2详解】 ， ， . 16. 已知直线 过直线 和 的交点 . （1）若直线 与直线 垂直，求直线 方程; （2）若直线 与 轴、 轴的正半轴分别交于 两点， 为原点. 若 的面积为 ，求直线 的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求两直线交点坐标，再利用垂直关系求直线斜率，最后点斜式写出直线方程； （2）先设截距式直线方程，再利用直线过定点和已知面积，联立方程组即可求解. 【小问1详解】 由直线 和 相交得： ，解得：，即交点的坐标为， 由化为，可知直线的斜率为， 再由直线与直线 垂直， 根据这两直线斜率之积为，可知直线的斜率为， 又由直线过点，所以由点斜式方程可得：， 整理得：， 所以直线 的方程为 . 【小问2详解】 解:设直线 的方程为 ， 由直线过点，所以有， 再由，可得， 联立上两式方程组可解得： 所以直线 的方程为 ， 即直线 的方程为 . 17. 已知圆 关于直线对称，且过点. （1）求圆的圆心和半径； （2）若过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）圆心坐标为，半径为 （2）或 【解析】 分析】（1）根据圆关于直线对称可得，代入点，即可得，进而可得圆心和半径； （2）可知：圆心到直线的距离为，分类讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解. 【小问1详解】 圆化为标准方程，即， 可知圆心为，半径， 则因为圆关于直线对称，所以，所以， 因为圆过点，所以，且，所以， 得，所以圆方程为 ， 故圆心坐标为，半径为. 【小问2详解】 由题意可知：圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，，符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线方程为 ，即， 所以，得，则直线的. 故直线或 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若，，．求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）添加适当辅助线，证明出四边形为平行四边形，再通过线线平行证明线面平行； （2）由线面垂直得出线线垂直，再证明为正三角形，得出，建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量，再利用公式求解，即可求出二面角． 【小问1详解】 证明：如图，取中点，连接，， 在中，，分别为，的中点， 所以且， 在菱形中，因为且， 所以，，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面． 【小问2详解】 解：因为平面，，，平面， 所以，，． 连接，因为，，且， （或者证 所以，在菱形中，，即为正三角形， 又因为为中点，所以， 以为原点，，，所在的直线分别为，，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 因为且． 又因为为正三角形且，所以， 则，，，则，， 由平面，可得平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 所以，所以二面角的大小为． 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：长轴是短轴的倍，点(2，1)在椭圆C上. （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l与圆O：相切，切点在第一象限，与椭圆C相交于P，Q两点. ①求证：以PQ为直径的圆经过原点O； ②若△OPQ的面积为求直线l的方程. 【答案】（1）； （2）①证明见解析，②或. 【解析】 【分析】 （1）由题意，列出方程组，求得的值，进而得到方程； （2）①直线的方程为，联立方程，根据韦达定理，计算出，可得，即以为直径的圆过原点； ②根据弦长公式，三角形的面积公式，列出方程，求得的值，即可求得直线分方程. 【详解】（1）由题意椭圆C长轴是短轴的倍，点(2，1)在椭圆C上， 可得，解得，，所以椭圆的方程为. （2）①因为切点在第一象限，直线的斜率存在， 不妨设直线的方程为，即，且，， 因为直线与圆相切，所以，即， 联立，得， 设，，，，则有，， 所以 ， 所以， 所以，即，即以为直径的圆过原点. ②由①可得，，， 所以， 点到直线的距离为， 可得，解得，或， 当时，，当时，， 所以，，或，， 则直线方程为或. 【点睛】对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线的方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行转化求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 淮南二中 2026 届高二第一学期期中教学检测 数学试题 （考试时间: 120 分钟， 试题满分: 150 分） 注意事项: 1. 答题前， 务必在答题卷规定位置填写自己的姓名、班级、准考证号 （智学号）; 2. 在答题卷上答题时，选择题必须用 铅笔将对应题号的答案涂黑，非选择题必须用 黑色墨水签字笔在指定区域作答， 超出规定区域作答无效; 3. 考试结束只需提交答题卷， 试题卷学生自己保存. 一、选择题: 本题共 8 个小题， 每小题 5 分， 共 40 分.在每小题所给四个选项中， 只有一项是符合题意的. 1. 直线的倾斜角为 A. B. C. D. 2. 设是椭圆上动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行六面体中，与的交点为．设，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知正四面体P-ABC棱长为3，动点M满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 3 个小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全 部选对的得 6 分， 有选错的得 0 分， 部分选对的得部分分. 9. 已知，两点到直线l：的距离相等，则实数a的值可能为（ ） A. B. 3 C. D. 1 10. 数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点，距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹围成区域的面积为 B. 面积的最大值为 C. 点到直线距离的最大值为 D. 若圆上存在满足条件的点，则半径的取值范围为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ） A. 与平面的夹角的正弦值为 B. 点到的距离为 C. 线段的长度的最大值为 D. 与的数量积的范围是 三、填空题: 本题共 3 个小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 已知，则P点关于直线的对称点的坐标为______． 13. 若直线 与曲线 恰有两个公共点，则实数 的取值范围为_____. 14. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，过点 的直线与椭圆 交于 两点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为_____. 四、解答题: 本题共 5 个小题， 共 77 分.解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中的三个点 . （1）已知点 ，且 ，求实数 的值； （2）求 . 16. 已知直线 过直线 和 的交点 . （1）若直线 与直线 垂直，求直线 的方程; （2）若直线 与 轴、 轴的正半轴分别交于 两点， 为原点. 若 的面积为 ，求直线 的方程. 17. 已知圆 关于直线对称，且过点. （1）求圆的圆心和半径； （2）若过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若，，．求二面角大小． 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：长轴是短轴的倍，点(2，1)在椭圆C上. （1）求椭圆C方程； （2）设直线l与圆O：相切，切点第一象限，与椭圆C相交于P，Q两点. ①求证：以PQ为直径的圆经过原点O； ②若△OPQ的面积为求直线l的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$