空间向量与立体几何同步练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

复习课 第1课时　空间向量与立体几何 1.已知A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0),令a=,b=,则a+b为(　　) A.(5,-9,2) B.(-5,9,-2) C.(5,9,-2) D.(5,-9,-2) 2.如图,设=a,=b,=c,若=2,则=(　　) A.a+b-c B.-a-b+c C.a-b-c D.-a+b+c 3.若向量a=(x,4,5),b=(1,-2,2),且a与b夹角的余弦值为,则x=(　　) A.3 B.-3 C.-11 D.3或-11 4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 5.如图,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是等边三角形,四边形ABCD是矩形,PC与平面ABCD成30°角,则的值等于(　　) A.1 B.2 C. D. 6.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1和C1D1的中点,则下列结论正确的是(　　) A.A1C1∥平面CEF B.B1D⊥平面CEF C. D.CE与AD1所成角的余弦值为 7.(多选题)如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是(　　) A.()2=2 B.·()=0 C.向量的夹角是60° D.BD1与AC所成角的余弦值为 8.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且向量a与b共线,则x=　　　　　,y=　　　　　.  9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为BB1,CD的中点,则点F到平面A1D1E的距离为　　　　　.  10.已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PA⊥底面ABCD,AP=4,过点A的平面垂直于侧棱PD,交侧棱PC于点H,则点H分线段PC的比等于　　　　　. 11.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD且∠ADC=90°, AD=1,CD=,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点. (1)求直线A1B1到平面ABE的距离; (2)求平面ABE与平面BEC的夹角的余弦值. 参考答案 1．B 解析:a==(-1,0,-2),b==(-4,9,0), 则a+b=(-5,9,-2). 2．A 解析:由题可知,)-)=a+b-c. 3．A 解析:因为a·b=(x,4,5)·(1,-2,2)=x-8+10=x+2,且a与b夹角的余弦值为, 所以, 解得x=3或-11(舍去). 故选A. 4．D 解析:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略),则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1). ∵=(-2,0,1),=(-2,2,0),且为平面BB1D1D的一个法向量. ∴cos<>=. 设BC1与平面BB1D1D所成的角为θ, 则sin θ=|cos<>|=. ∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为. 5．C 解析:取AD的中点O,连接OP,OC. 由题意知OP⊥AD,因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以OP⊥平面ABCD.以O为原点,OD所在直线为x轴,过点O,平行于DC的直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.设AD=2a,AB=2b,则P(0,0,a),C(a,2b,0),于是=(a,2b,0),=(a,2b,-a). ∵OP⊥平面ABCD, ∴PC与平面ABCD所成的角即∠PCO. ∴cos∠PCO=,可得b=a. ∴. 6．ACD 解析:如图,对于A,因为E,F分别是A1D1和C1D1的中点, 故EF∥A1C1,故A1C1∥平面CEF,A正确.　 对于B,建立空间直角坐标系,如图所示,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2, 则=(-2,-2,-2),=(0,1,-2). 故=0-2+4=2≠0.故不互相垂直, 又CF⊂平面CEF,故B1D⊥平面CEF不成立,B错误. 对于C,同B中空间直角坐标系, 有=(1,-2,2),(2,0,0)+(0,0,2)-(0,2,0)=(1,-2,2), 故成立,C正确. 对于D,同B中空间直角坐标系,有=(1,-2,2),=(-2,0,2), 所以cos<>=,故D正确. 7．AB 解析:以顶点A为端点的三条棱长都相等,它们彼此的夹角都是60°,可设棱长为1,则=1×1×cos 60°=,()2=+2+2+2=1+1+1+3×2×=6, 而2=2()2=2(+2)=2=2×3=6,所以A正确. ·()=()·()==0,所以B正确. 向量,显然△AA1D为等边三角形,则∠AA1D=60°. 所以向量的夹角是120°,向量的夹角是120°,则C不正确. 又, 则, ||==()·()=1, 所以cos<>=,所以D不正确. 8．　- 解析:由题意得y≠0,,解得x=,y=-. 9． 解析:以AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示, 则A1(0,0,1),E,D(0,1,0),F,D1(0,1,1), 所以=(0,1,0). 设平面A1D1E的法向量为n=(x,y,z), 则所以 取n=(1,0,2). 连接A1F,则,所以点F到平面A1D1E的距离d=. 10．4 解析:由题意,以AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),P(0,0,4),所以=(0,2,-4),=(2,2,-4),设=t,则=(2t,2t,-4t),所以=(2t,2t,4-4t),因为过点A的平面垂直于侧棱PD,交侧棱PC于点H,所以,所以(0,2,-4)·(2t,2t,4-4t)=0,所以2×2t-4(4-4t)=0,所以t=,所以点H分线段PC的比=4. 11.解:(1)由题意知AD,DC,DD1两两垂直,故可建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示. 由已知条件可得A(1,0,0),C(0,,0),B(1,2,0),E(0,,1),A1(1,0,2), (1)=(0,2,0),=(-1,,1). 设n=(x,y,z)是平面ABE的法向量, 则所以 取x=1,则z=1. 所以,n=(1,0,1)是平面ABE的一个法向量. 又因为=(0,0,2),所以点A1到平面ABE的距离为. 因为易证A1B1∥平面ABE,所以直线A1B1到平面ABE的距离即为点A1到平面ABE的距离.所以直线A1B1到平面ABE的距离为. (2)=(-1,-,0),=(0,0,1), 设平面BEC的法向量为m=(x0,y0,z0),则m·=0,m·=0. 所以所以 取m=(,-1,0). 所以cos<m,n>=. 设平面ABE与平面BEC的夹角为θ, 则cos θ=|cos<m,n>|=. 所以平面ABE与平面BEC的夹角的余弦值为. 4 学科网（北京）股份有限公司 $$