福建省2023-2024学年高三下学期重点中学联考数学试题

福建省2024届高三重点中学联考 数学 限时120分钟 满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数在复平面内的对应点为，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是（参考数据：，）（ ） A. 1.587 B. 1.442 C. 0.587 D. 0.442（ ） 4. 孪生素数也称为孪生质数，是指一对素数，它们之间相差2，例如3和5，11和13.从不大于20的素数中任意选取2个，则这2个素数为孪生素数的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限，且，，点在第四象限，且，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列通项公式为，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间恰有2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知O为坐标原点A，B，C为椭圆E：上三点，且，，直线BC与x轴交于点D，若，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正六边形中，（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 10. 如图，在直三棱柱中，，，，点M为的中点，则（ ） A. 直线与直线为异面直线 B. 线段上存在点N，使得平面 C. 点C到平面的距离为 D. 线段上存在点E，使得平面 11. 已知定义在的函数满足：①对恒有；②对任意的正数，恒有．则下列结论中正确的有（ ） A. B. 过点的切线方程 C. 对，不等式恒成立 D. 若为函数的极值点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若为偶函数，则______． 13. 已知点，是抛物线C：上不同的两点，，若C的焦点F到直线AB的距离为3，则直线AB斜率的绝对值为______. 14. 已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，平面，，，且与平面所成角的正弦值为，则该球的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且. （1）求； （2）若的面积为，求的周长. 16. 随着科技的发展，网购成了人们购物的重要选择，并对实体经济产生了一定影响．为了解实体经济的现状，某研究机构统计了一个大商场2018—2022年的线下销售额如下： 年份编号 1 2 3 4 5 年份 2018 2019 2020 2021 2022 销售额（单位：万元） 1513 1465 1202 1060 860 （1）由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合销售额与年份编号的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立关于的回归方程，并预测2023年该商场的线下销售额． 参考公式及数据：， ， 17. 如图，在四棱台中，已知底面为正方形，M为的中点，，且平面，. （1）求证：平面平面； （2）若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求的长. 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：，点，点P为圆A上任意一点，线段BP的垂直平分线和半径AP所在直线相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为C. （1）求C的方程. （2）斜率存在且不为0的直线l与C交于M，N两点，点D在C上.从下面①②③中任选两个作为已知条件，证明另外一个成立. ①轴；②直线l经过点；③D，B，N三点共线. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 19. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）设.如果对任意，，求的取值范围． 福建省2024届高三重点中学联考 数学 限时120分钟 满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】CD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1），因为非常接近1，所以可用线性回归模型拟合销售额与年份编号的关系； （2），预测2023年该商场的线下销售额为706.7万元． 【17题答案】 【答案】（1） 在棱台中，易知，则四点共面， 又平面，平面平面，平面， 所以， 因为，底面为正方形， 所以， 因为平面， 所以平面， 因为，所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （2）2或. 【18题答案】 【答案】（1） （2） 若选择①②证明③： 轴，且点D在C上，则， 直线l经过点，故，即， 此时, 故, 其中 ， ，故，即，， 所以D，B，N三点共线. 若选择①③证明②： 轴，且点D在C上，则， 由D，B，N三点共线，知， 故， 化简得：，即， 故直线l的方程为：，过定点. 若选择②③证明①： 直线l经过点，故，即， 由D，B，N三点共线，知， 故 化简得：， 故直线和直线关于对称，所以关于对称， 故轴， 【19题答案】 【答案】（1）当a≥0时，＞0，故f(x)在(0，+)单调增加；当a≤－1时，＜0， 故f(x)在(0，+)单调减少；当－1＜a＜0时，f(x)在（0，）单调增加，在（，+） （2）a≤－2 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $