专题6-2一次函数与实际应用（考点清单，知识导图+1个考点清单&14种题型解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

考点清单6-2 一次函数与实际应用 （1个考点梳理+14种题型解读+提升训练） 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数解析式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： 1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； 2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； 3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数解析式的常用方法 1）根据基本的量之间存在的关系列函数解析式； 2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 3.一次函数应用问题的求解思路： 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 【考点题型一】分配问题 1．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买1张办公桌必须买2把椅子，椅子每把元；若学校购进张甲种办公桌和张乙种办公桌共花费元；购买张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费元． (1)求甲、乙两种办公桌每张各多少元？ (2)若学校购买甲乙两种办公桌共张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案． 【答案】(1)甲种办公桌每张元，乙种办公桌每张元 (2)甲种办公桌购买张，购买乙种办公桌张，费用最少 【分析】（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，根据题意，得：，进行计算即可得； （2）设甲种办公桌购买a张，则购买乙种办公桌张，总费用为w元，则可得，根据得，根据得y随a的增大而减小，即可得当时，w取得最小值． 【详解】（1）解：设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元， 根据题意，得：， 整理，得， 解得：， 答：甲种办公桌每张元，乙种办公桌每张元； （2）解：设甲种办公桌购买a张，则购买乙种办公桌张，总费用为w元， 则 = ＝， ∵， ∴， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w取得最小值． 所以甲种办公桌购买30张，购买乙种办公桌10张时，费用最少 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，掌握解二元一次方程的方法，一次函数的性质． 2．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需26元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需28元． (1)求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？ (2)学校准备购进这两种型号的跳绳共40根，并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)一根型跳绳售价是8元，一根型跳绳的售价是10元 (2)当购买型跳绳30根，型跳绳10根时，最省钱 【分析】（1）设一根A型跳绳售价是x元，一根B型跳绳的售价是y元，根据：“2根A型跳绳和1根B型跳绳共需26元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需28元”列方程组求解即可； （2）首先根据“A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍”确定自变量的取值范围，然后得到有关总费用和A型跳绳之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可． 【详解】（1）设一根型跳绳售价是元，一根型跳绳的售价是元， 根据题意，得：，解得：， 答：一根型跳绳售价是8元，一根型跳绳的售价是10元； （2）设购进型跳绳根，总费用为元， 根据题意，得：， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵，解得：，而为正整数， ∴当时，最小， 此时， 答：当购买型跳绳30根，型跳绳10根时，最省钱． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用等知识，根据题意得出正确的等量关系是解题关键． 3．（2022·广东深圳·中考真题）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样． (1)求甲乙两种类型笔记本的单价． (2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少? 【答案】(1)甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元 (2)最低费用为1101元 【分析】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为元．列出方程即可解答； （2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，列出w关于a的函数，利用一次函数的增减性进行解答即可． 【详解】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为元． 由题意得： 解得： 经检验是原方程的解，且符合题意． ∴乙类型的笔记本单价为：（元）． 答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元． （2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，则乙类型笔记本购买了件． 由题意得：． ∴． ． ∵， ∴当a越大时w越小． ∴当时，w最小，最小值为（元）． 答：最低费用为1101元． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及一次函数的应用，掌握分式方程的应用，以及一次函数的应用是解题的关键． 4．（2022·江苏泰州·二模）溱湖水产远近闻名，尤其是鱼饼和虾球，堪称溱湖双璧，小明家前后两次购买鱼饼和虾球馈赠亲友，第一次购买鱼饼4盒，虾球2盒，共花费180元；第二次购买鱼饼2盒，虾球3盒，共花费210元，两次购买单价不变． (1)求鱼饼和虾球每盒各多少元？ (2)若小明家计划再次购买鱼饼和虾球两种礼品共6盒，且要求虾球的数量不少于鱼饼数量的一半，请设计出最省钱的方案，并求出最少费用． 【答案】(1)鱼饼每盒15元，虾球每盒60元 (2)鱼饼4盒，虾球2盒时费用最少，为180元 【分析】（1）设鱼饼每盒x元，虾球每盒y元，根据题意，列二元一次方程组，求解即可； （2）设购买鱼饼盒，则购买虾球盒，总价为元，根据题意，可得且，求解，再根据一次函数的增减性确定答案即可． 【详解】（1）解：设鱼饼每盒x元，虾球每盒y元，由题意得 ， 解得， 所以，鱼饼每盒15元，虾球每盒60元． （2）解：设购买鱼饼盒，则购买虾球盒，总价为元，由题意得 且， 解得， 由一次函数的性质可得，的值越大，越小， 当时，， ， 所以，鱼饼4盒，虾球2盒时费用最少，为180元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【考点题型二】最大利润问题 5．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）某手机专卖店销售一台A型手机的销售利润为100元，销售一台B型手机的销售利润为150元，该专卖店计划一次购进两种型号的手机共20台，其中B型手机的进货量不超过A型手机的3倍，设购进A型手机x台，这20台手机的销售总利润为y元. (1)求y关于x的函数表达式； (2)该专卖店购进A型手机、B型手机各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)该专卖店购进A型手机5台、B型手机15台时，才能使销售总利润最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）根据题意列出一次函数即可； （2）根据函数解析式得到y随x的增大而减小，求出即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即y关于x的函数表达式为； （2）解：B型手机的进货量不超过A型手机的3倍， ，解得， ，， y随x的增大而减小， 当时，y取得最大值，此时，， 答：该专卖店购进A型手机5台、B型手机15台时，才能使销售总利润最大，最大利润为2750元． 6．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．（利润售价进价） 种类 种配件 种配件 进价（元/件） 售价（元/件） (1)求种配件进价的值． (2)若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)260 (2)当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并正确列式是解题关键． （1）根据“用元可购进产品件和产品件”列方程求解即可； （2）设购进种配件件，则购进种配件件，根据“种配件进货件数不低于种配件件数的倍”列不等式，得出（为正整数），再设两种配件全部售出后获得的总利润为元，根据“利润售价进价”列函数关系式，根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， 答：的值为； （2）解：设购进种配件件，则购进种配件件， 依题意得：， 解得：， ∴（为正整数）， 设两种配件全部售出后获得的总利润为元， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为：， 此时， 答：当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元． 7．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏．随着春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．重庆某百货超市计划购进春联和灯笼这两种商品．已知第一次购进5个灯笼和4副春联花费185元，第二次购进3个灯笼和8幅春联花费195． (1)求每个灯笼和每副春联的进价各是多少元？ (2)由于灯笼和春联畅销，超市决定第三次用不超过5900元的资金购进灯笼和春联这两种商品共300件，其中春联的数量不多于灯笼的数量的3倍，且灯笼和春联的进价保持不变．若每个灯笼的售价为30元，每副春联的售价为25元，在销售中灯笼有的损坏，春联有的损坏．若第三次购进的灯笼和春联全部售出（损坏的灯笼和春联不能售出），请问当第三次购进灯笼多少个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个灯笼的进价是元，每副春联的进价是元； (2)第三次购进灯笼75个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是2220元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次列不等式组的应用，一次函数的应用，根据题意正确列方程求解是解题关键． （1）设每个灯笼的进价是元，每副春联的进价是元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设第三次购进灯笼个，则第三次购进春联幅，根据题意列不等式组，求出的取值范围，再设第三次销售获得的利润为，根据题意得出，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个灯笼的进价是元，每副春联的进价是元， 由题意得：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 答：每个灯笼的进价是元，每副春联的进价是元； （2）解：设第三次购进灯笼个，则第三次购进春联幅， 由题意得：， 解得：， 设第三次销售获得的利润为， 则， ， 当时，有最大值，最大值为， 答：第三次购进灯笼个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是元 8．某商店销售台型和台型电脑的利润为元，销售台型和台型电脑的利润为元． (1)求每台型电脑和型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的倍设购进型电脑台，这台电脑的销售总利润为元． ①求关于的函数关系式； ②该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大 (3)实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，且限定商店最多购进型电脑台若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使这台电脑的销售总利润最大的进货方案． 【答案】(1)每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元 (2)①；②商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大 (3)当时，商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大；当，只要满足（x为整数）利润保持不变；当，商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系列方程或不等式与函数关系式是解本题的关键． （1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；由销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元，再列方程组即可； （2）①设购进A型电脑x台，由总利润等于销售两种电脑的利润之和列函数关系式即可；②先求解自变量x的范围，再利用一次函数的性质可得答案； （3）先列一次函数关系式，再利用一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元； 根据题意得， 解得， 答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元； （2）解：①根据题意得，，即； ②根据题意得，，解得， ∵，而， ∴y随x的增大而减小， ∵x为正整数， ∴当时，y取最大值，则， ∴商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大； （3）解：根据题意得，，即， ， 当，即，y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最大值， ∴ ∴商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大； 当时，无论怎么购买，销售利润都为15000元； 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值， ∴， ∴商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大； 综上所述，当时，商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大；当，只要满足（x为整数）利润保持不变；当，商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大 【考点题型三】行程问题 9．（23-24八年级上·江苏南京·期末）一辆货车和一辆轿车先后从A地出发沿同一直道去B地．已知A、B两地相距，轿车的速度为，图中、分别表示货车、轿车离A地的距离与时间之间的函数关系． (1)货车的速度是______； (2)求两车相遇时离A地的距离； (3)在轿车行驶过程中，当______h时，两车相距． 【答案】(1)60 (2)相遇时离A地 (3)或 【分析】本题考查一次函数的实际应用．利用待定系数法正确求出函数解析式是解题关键． （1）由图可知货车行驶，即可直接求出货车的速度； （2）求出点E坐标为，再利用待定系数法分别求出，，最后联立求解即可； （3）分类讨论：当货车在轿车前面时和当轿车在货车前面时，分别列出关于t的等式，解之即可． 【详解】（1）解：由图可知，货车行驶， ∴货车的速度是． 故答案为：60； （2）解：设的函数表达式为，将代入得， 解得， ∴， ∵， ∴， 设的函数表达式为，将，代入得： ， 解得， ∴， 由， 解得：， 此时， ∴相遇时离A地； （3）解：当货车在轿车前面时，， 解得：， 当轿车在货车前面时，， 解得：， 故答案为：或． 10．（23-24八年级上·江苏南京·期末）甲、乙两家快递公司都要将货物从地派送至地．甲公司运输车要先在地的集货中心拣货，然后直接发往地．乙公司运输车从地出发后，先到达位于、两地之间的地休息，再以原速驶往地．两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系如图所示．已知两车均沿同一道路匀速行驶，且同时到达地． (1)地与地之间的距离为______． (2)求线段对应的函数表达式． (3)已知地距离地，当为何值时，甲、乙两公司运输车相距？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、一次函数图像与性质、行程问题等知识，熟练掌握一次函数图像与性质是解决问题的关键． （1）根据题中两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图即可得到答案； （2）根据题中两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图，利用待定系数法将、代入解二元一次方程组即可得到答案； （3）根据题中两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图，数形结合，分四类讨论，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知地与地之间的距离为， 故答案为：； （2）解：由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知，线段过、， 设线段对应的函数表达式为， 则，解得， 线段对应的函数表达式为； （3）解： 地距离地， 由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知，乙车的速度为， 当时，甲乙两公司运输车相距； 由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知，乙车从地到地的时间是，则乙车在地休息的时间是， 在线段过程中，当离地的距离为时，两车相遇，此时， 在相遇前，当乙车在点休息阶段，即时，由（2）中线段对应的函数表达式为， 当，解得，即当时，甲乙两公司运输车相距； 在相遇后，当乙车在点休息阶段，即时，由（2）中线段对应的函数表达式为， ，解得，根据可知，此情况不存在； 设乙车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系式为， 将、代入可得，解得， ， 在时，当，解得，根据可知，此情况不存在； 综上所述，当或时，甲乙两公司运输车相距． 11．（21-22八年级上·江苏宿迁·期末）如图1，公路上依次有A、B、C三个汽车站，，，一辆汽车从离A站的P地出发，向C站匀速行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当到达B站时接到通知，要求中午准时到达C站，设汽车出发小时后离A站，图2中折线表示按到通知前y与x之间的函数关系． (1)根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为______千米/时； (2)求线段所表示的y与x之间的函数关系式； (3)接到通知后，汽车仍按原速行驶，能否准时到达？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了函数图象，一次函数解析式，一次函数的应用，从图象中获取正确的信息是解题的关键 （1）由图象可知，休息前汽车行驶的速度为，计算求解即可； （2）由题意知，休息后按原速继续前进的时间为小时，，，待定系数法求线段所表示的y与x之间的函数关系式即可； （3）由题意知，接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程总时间为小时，由，判断作答即可． 【详解】（1）解：由图象可知，休息前汽车行驶的速度为（千米/时）， 故答案为：； （2）解：由题意知，休息后按原速继续前进的时间为（小时），， ∴， 设线段所表示的y与x之间的函数关系式为， 将，代入得，， 解得，， ∴线段所表示的y与x之间的函数关系式为； （3）解：不能准时到达，理由如下： 由题意知，接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程总时间为（小时）， ∵， ∴不能准时到达． 12．（22-23八年级下·江苏南通·期中）如图1，A，B两地相距，在A，B之间有汽车站C站，客车由A地驶向C站、货车由B地驶向A地，两车同时出发，匀速相向行驶，图2是客车、货车离C站的路程y、y（单位：）与行驶时间x（单位：）之间的函数关系图象．    (1)客车的速度为______：货车的速度为______： (2)求两小时后，货车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式； (3)求图2中点E的坐标． 【答案】(1)60，45 (2) (3) 【分析】（1）根据题意并结合图象可知，货车从地驶向站花费了2小时，行驶了，根据“速度路程时间”即可求出货车的速度；再算出地与站的距离，由图象可知客车从地驶向站花费了9小时，根据“速度路程时间”即可求出客车的速度； （2）根据“路程速度时间”即可求解； （3）根据待定系数法先求出关于的函数解析式，再联立（2）所求的函数关系式，求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得：货车从地驶向站花费了2小时，行驶了， 则货车的速度为， 地与站的距离为， 客车的速度为； 故答案为：60，45； （2）由（1）知，货车的速度为， 2小时后货车的行驶时间为小时， ； （3）设， 因为，在的函数图象上， ， 解得：， ， 联立得：， 解得：， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式，解题关键联立两函数解析式得出方程组，求得点的坐标． 【考点题型四】工程问题 13．（2024七年级下·四川成都·专题练习）有一项工程，若请甲工程队单独做需4个月完成，每月要耗资9万元；若请乙工程队单独做需6个月完成，每月耗资5万元． (1)请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？ (2)现要求最迟5个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金． 【答案】(1)个月万元 (2)甲乙工程队合作个月，乙单独做个月 【分析】（1）设甲、乙两队合作需要x个月完成此项工作，根据题意得，解答即可． （2）设甲、乙两队合作x个月，剩下的乙队单独完成，总费用为w万元，根据题意，得，且，解不等式，利用一次函数的性质解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）设甲、乙两队合作需要x个月完成此项工作，根据题意得， 解得， 答：甲、乙两队合作需要个月完成此项工作． 费用为万元 （2）解：设甲、乙两队合作x个月，剩下的乙队单独完成，总费用为w万元，根据题意，得，且， 解不等式，得， 得w随x的增大而增大，为确保费用最低， 故x去最小值，此时， 答：甲、乙两队合作个月，剩下的乙队单独个月完成，费用最低且合题意． 14．（23-24八年级上·陕西西安·期末）甲、乙两个工程组同时挖掘延西高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示． (1)当时，求甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的函数关系式； (2)当时，甲组挖掘了多少天？ 【答案】(1) (2)40天 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，读懂题意是解决本题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入解析式求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，设甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的函数关系式为， 把，代入解析式得：， 解得：， 甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的函数关系式为； （2）解：在中，当时，， 解得：， 当时，甲组挖掘了天． 15．（23-24八年级下·全国·课后作业）在国道202公路改建工程中，某路段长，由甲、乙两个工程队拟在30天内（含30天）合作完成．已知两个工程队各有10名工人（设甲、乙两个工程队的工人全部参与改建，两工程队内每人每天的工作量相同）．甲工程队1天、乙工程队2天共修路；甲工程队2天、乙工程队3天共修路． (1)试问甲、乙两个工程队每天分别修路多少米？ (2)已知甲工程队每天的施工费用为万元，乙工程队每天的施工费用为万元，要使该工程的施工费用最低，甲，乙两队需各做多少天？最低费用为多少？ 【答案】(1)甲队每天修路，乙队每天修路 (2)甲队做30天，乙队做20天，最低费用为25万元 【分析】此题考查了一次函数、二元一次方程组、一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出方程组和一次函数是解题的关键． （1）设甲队每天修路x m，乙队每天修路y m，根据甲工程队1天、乙工程队2天共修路；甲工程队2天、乙工程队3天共修路列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设甲工程队需做a天，乙工程队需做b天，先求出.设总费用为W万元，得到 .再根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设甲队每天修路x m，乙队每天修路y m， 解得 答：甲队每天修路，乙队每天修路. （2）设甲工程队需做a天，乙工程队需做b天， ， ， ∵， ∴， 解得. 又∵， ∴. 设总费用为W万元，依题意，得 . ∵， ∴当时， (万元)， ∴ (天). ∴甲队做30天，乙队做20天，最低费用为25万元 16．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期中）某地计划修建一条长36千米的乡村公路，已知甲工程队修路的速度是乙工程队修路速度的倍，乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天． (1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？ (2)已知甲工程队修路费用为25万元/千米，乙工程队修路费用为20万元/千米．甲工程队先单独修路若干天后，接到其它任务需要离开，剩下的工程由乙工程队单独完成．若要使修路总时间不超过55天，总费用不超过820万元，且甲工程队所修路程需为整数，请问共有几种修路方案？哪种方案最省钱？ 【答案】(1)甲工程队每天修路千米，乙工程队每天修路千米 (2)共有13种方案，其中甲单独干10天，剩下的乙单独修完，最省钱． 【分析】（1）设乙工程队每天修路千米，则甲工程队每天修路千米，根据乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天，列出方程，进行求解即可； （2）设甲工程队修路天，根据修路总时间不超过55天，总费用不超过820万元，列出不等式组，求出的取值范围，确定方案，设花费的总费用为，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙工程队每天修路千米，则甲工程队每天修路千米， 由题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ； 答：甲工程队每天修路千米，乙工程队每天修路千米； （2）解：设甲工程队修路天，由题意，得∶ ，解得：， ∵为整数， ∴可以取：； ∴共有13种方案； 设共需花费万元，由题意，得： ， ∵，随着的增大而增大， ∴当时，的值最小， 即：甲单独干10天，剩下的乙单独修完，最省钱． 答：共有13种方案，其中甲单独干10天，剩下的乙单独修完，最省钱． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程，不等式组． 【考点题型五】分段计费问题 17．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）某市规定了每月用水18立方米以内（含18立方米）和用水18立方米以上两种不同的收费标准，该市的用户每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系如图所示． (1)当用水18立方米以上时，求y与x之间的函数关系式． (2)若小敏家某月交水费81元，求这个月用水量为多少立方米． 【答案】(1) (2)30立方米 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， ∵直线过点，， ∴ 解得 ∴． （2）∵， ∴当时，，解得． 答：这个月用水量为30立方米． 18．（23-24八年级上·江西九江·期中）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过200千瓦时时，按元/千瓦时计费；月用电量超过200千瓦时时，其中的200千瓦时仍按元/千瓦时计费，超过部分按元/千瓦时计费．设每户家庭的月用电量为千瓦时时，应交电费元． (1)当月用电量不超过200千瓦时时，与的函数关系式为__________； 当月用电量超过200千瓦时时，与的函数关系式为__________． (2)小新家十月份的用电量为160千瓦时，求他家十月份应交电费多少元． (3)小明家十月份交电费146元，求他家十月份用电多少千瓦时． 【答案】(1)；． (2)小新家十月份应交电费96元 (3)小明家十月份用电240千瓦时 【分析】本题主要考查一次函数的应用， （1）根据题意分别列出两个函数关系式即可； （2）根据题意将其代入（1）中第一个函数关系式即可； （3）根据题意得出用电量超过了200千瓦时，然后代入（1）中第二个函数关系式即可； 理解题意，列出相应的函数关系式是解题关键． 【详解】（1）解：当时，与的函数关系式是； 当时，与的函数关系式是，即． 故答案为；． （2）∵， ∴（元）． 答：小新家十月份应交电费96元． （3）∵小明家十月份的电费超过了120元， ∴用电量超过了200千瓦时． 把代入中，得． 答：小明家十月份用电240千瓦时． 19．（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）某出租车公司采用分段计费的方法来计算乘车费用，收费规则为；行车距离不超过时，只收起步价8元；行车距离超过时，每增加1km，加收元（不足的按算）． (1)当行车距离大于时，请写出乘车费用y（元）与行车距离之间的函数关系式； (2)若乘车费用总计为元时，请计算行车的最远距离． 【答案】(1) (2)此人行车的最远距离为21千米． 【分析】（1）由题意得：应付车费=起步价+超过3千米部分应付的钱，再列函数关系式即可； （2）把代入，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）∵， 把代入， 可得：， 解得： 答：此人行车的最远距离为21千米． 【点睛】本题考查的是一次函数的实际应用，已知函数值求解自变量的值，理解题意，列出正确的函数关系式是解本题的关键． 20．（20-21八年级上·江苏徐州·阶段练习）为促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中的折线反映了每户居民每月用电电费(单位：元)与用电量(单位：度)间的函数关系． 根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表： 档次 第一档 第二档 第三档 每月用电量（度） 小明家某月用电度，需交电费 元， 求第二档每月电费(元）与用电里(单位：度）之间的函数表达式； 在每月用电量超过度时，每度电比第二档多元，小刚家某月用电度，缴纳电费元，求的值． 【答案】（1）表格见解析；（2）31.5；（3）y=0.5x﹣7（140＜x≤230）；（4）m的值为0.4 【分析】（1）利用函数图象可以得出，阶梯电价方案分为三个档次，利用横坐标可得出：第二档，第三档中x的取值范围； （2）设第一档y与x的解析式为：y=kx，将（140，63）代入即可求出函数解析式，然后将x=70代入即可求出结论； （3）设第二档每月电费y（元）与用电量x（度）之间的函数关系式为：y=ax+c，将（140，63），（230，108）代入得出即可； （4）求出第三档每月电费y1（元）与用电量x（度）之间的函数关系式，将（290，153）代入即可求出m的值． 【详解】解：（1）根据图象，填表如下： 档次 第一档 第二档 第三档 每月用电量x（度） 0＜x≤140 140＜x≤230 x＞230 （2）设第一档y与x的解析式为y=kx， 将（140，63）代入得出： k==0.45． ∴y=0.45x． 当x=70时，y=0.45×70=31.5 故答案为：31.5． （3）设第二档每月电费y（元）与用电量x（度）之间的函数关系式为：y=ax+c， 将（140，63），（230，108）代入得： ， 解得：． ∴第二档每月电费y（元）与用电量x（度）之间的函数关系式为：y=0.5x﹣7（140＜x≤230）； （4）根据题意，第二档每度为（108－63）÷（230－140）=0.5（元） 第三档每月电费y1（元）与用电量x（度）之间的函数关系式为 ． ∵小刚家某月用电290度，交电费153元， ∴153=0.5×230+（290-230）（0.5+m）, 解得m=0.4． 答：m的值为0.4． 【点睛】此题考查的是一次函数的应用，利用数形结合分析问题，用待定系数法求函数解析式是关键． 【考点题型六】调度问题 21．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）我市某镇组织辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共吨到外地销售．按计划，辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙．且必须装满，根据下表组织的信息，解答以下问题． 脐橙品种 A B C 每辆汽车运载量（吨） 每吨脐橙获利（元） (1)设转运A种脐橙的车辆数为x，转运B种脐橙的车辆数为y，求y与x的函数表达式； (2)如果转运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？ (3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值． 【答案】(1) (2)种 (3)当转运A种脐橙的车辆，转运B种脐橙的车辆，转运C种脐橙的车辆时，利润最大为元 【分析】（1）根据题意列式：，整理后即可得到； （2）根据装运每种水果的车辆数都不少于4辆，，，解不等式组即可； （3）设利润为W元，则，根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）根据题意，装运A种水果的车辆数为x，装运B种水果的车辆数为y， ∴装运C种水果的车辆数为， ∴， 整理得． （2）由（1）知，装运A，B，C三种水果的车辆数分别为x，，x， 由题意得， 解得， ∵， ∴． ∵x为整数， ∴x的值为，，，，， ∴安排方案共有种． （3）设利润为W元， ∴ ， 因为，且x的值为，，，，， ∴W的值随x的增大而减小， ∴当时，销售利润最大． 当装运A种水果4车，B种水果12车，C种水果4车，销售获利最大． 最大利润（元）． 【点睛】主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意要根据自变量的实际范围确定函数的最值． 22．（2024·河南信阳·一模）西亚电器公司新进了40台空调机，60台冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲店，30台给乙店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表． 空调机 冰箱 甲连锁店 200 170 乙连锁店 160 150 设公司调配给甲店空调机x台． (1)则调配给甲店冰箱________台；调配给乙店空调机________台，冰箱________台；（用含x的代数式表示） (2)若公司卖出这100台电器的总利润为y（元），求y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； (3)为了促销，公司决定仅把甲店的空调机每台让利25元，其他销售利润不变，当x的值为________时，总利润最大，最大值为________． 【答案】(1)；； (2) (3)10；16750 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，列代数式： （1）甲店一共调去空调和冰箱共70台，则调配给甲店冰箱台，剩余的空调全部调去乙，则调配给乙店空调机台，则冰箱台； （2）根据总利润甲连锁店空调机利润甲连锁店电冰箱利润乙连锁店空调机利润乙连锁店电冰箱利润即可求解； （1）根据题意可重新列出总利润与的关系，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，调配给甲店冰箱台，调配给乙店空调机台，冰箱台， 故答案为：；； ； （2）解：由题意得， ∴，                                                  ∴，                                 ∴； （3）解：由题意得，     ∴， ∵， ∴y随x增大而减小， ∴当时，y最大，最大为， 故答案为：10；16750. 23．（22-23八年级下·重庆长寿·期末）某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表： 空调机 电冰箱 甲连锁店 200 170 乙连锁店 160 150 设集团调配给甲连锁店台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为（元）． (1)求关于的函数关系式，并求出的取值范围； (2)为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利元销售，其它的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配的方法，使总利润达到最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)①当时，调配给甲连锁店空调机40台，电冰箱30台，乙连锁店空调机0台，电冰箱30台；最大利润为元；当 时，内的所有方法利润相同，最大利润为元；当时，调配给甲连锁店空调机10台，电冰箱60台，乙连锁店空调机30台，电冰箱0台，最大利润为元 【分析】（1）根据总利润=甲连锁店空调机利润+甲连锁店电冰箱利润+乙连锁店空调机利润+乙连锁店电冰箱利润即可求解； （2）根据题意可重新列出总利润与的关系，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意知：调配给甲连锁店电冰箱台，调配给乙连锁店空调机台，电冰箱台，                     则 即                                                  ∴，                                 ∴ ； （2）解：按题意知：，     即， ∵， ∴．                                 ①当时，，即调配给甲连锁店空调机40台，电冰箱30台，乙连锁店空调机0台，电冰箱30台；最大利润为元． ②当 时，的取值在10≤≤40内的所有方法利润相同；最大利润为16800元． ③当时，，即调配给甲连锁店空调机10台，电冰箱60台，乙连锁店空调机30台，电冰箱0台；最大利润为元． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用．根据实际问题建立正确的一次函数模型，然后利用一次函数的性质解决问题是本题的关键． 24．（22-23八年级上·安徽宣城·期中）某商业集团准备购进A，两款口袋打印机在甲、乙两个商场进行销售，这两款口袋打印机每台的利润如表： 打印机 利润 商场 甲商场 乙商场 A款（元/台） 95 60 款（元/台） 70 45 为迎接双十二，该商业集团新进了40台A款，60台款调配给甲，乙两个商场，其中70台给甲商场，30台给乙商场． (1)设该集团调配给甲商场A款台，求总利润与的函数关系式． (2)①若这100台口袋打印机全部销售出去，如何调配才能让商业集团的利润最大，并求出利润的最大值． ②为了促销，该商业集团决定对甲商场的A款，款每台分别让利元和元（），其他销售利润不变，当天结算时发现销售总利润与调配方案无关．当总利润最大时，求此时的值． 【答案】(1) (2)①要使商业集团的利润最大，这100台打印机的调配方案为：甲商场A款40台，B款30台，乙商场A款0台，B款30台，最大利润为7250元；② 【分析】（1）根据总利润等于单个的利润×总数量列出关系式即可； （2）①根据一次函数的增减性，结合x的取值范围求出结果即可； ②先列出y与x的函数关系式并整理得出，根据销售总利润与调配方案无关，得出，，根据当时，y的值最大，求出a的值即可． 【详解】（1）解：设该集团调配给甲商场A款x台，根据题意得， ， 即， ， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，其最大值为（元）， ∴要使商业集团的利润最大，这100台打印机的调配方案为：甲商场A款40台，B款30台，乙商场A款0台，B款30台； ② ∵销售总利润与调配方案无关， ∴，， ∵， ∴当时，y的值最大， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是列出函数解析式，熟练掌握一次函数的增减性． 【考点题型七】心跳速率问题 25．（22-23七年级上·广东深圳·期中）人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关．如果用a表示一个人的年龄，用b表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么． (1)正常情况下，在运动时一个14岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？ (2)一个45岁的人运动时10秒钟心跳的次数为22次，请问他有危险吗？ (3)某人今年a岁，经过10年他的最高心跳次数变化了多少？ 【答案】(1)164次 (2)他没有危险 (3)经过10年他的最高心跳次数变化了10次 【分析】（1）当时，带入即可求解． （2）当时，带入即可求解． （3）当岁数为：时，带入中，再利用减法即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： 当时，， 心跳的次数为整数， 正常情况下，在运动时一个14岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是164次． （2）当时，（次）， ， 所示他没有危险． （3）当岁数为：时，， （次）， 答：经过10年他的最高心跳次数变化了10次． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握基础知识是解题的关键． 26．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）人在运动时心跳速率通常和人的年龄有关，用表示一个人的年龄，用表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，则 (1)正常情况下，一个15岁的学生运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？ (2)当一个15岁学生长到而立之年时（30岁），他运动时所能承受的每分钟心跳最高次数有何变化？变化次数是多少？ (3)一个50岁的人运动时，10秒心跳次数为22次，请问他有危险吗？为什么？ 【答案】(1)一个15岁的少年运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是164次 (2)当一个15岁学生长到而立之年时（30岁），他运动时承受的每分钟心跳最高次数减少，减少了12次 (3)他无危险，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的实际应用，掌握函数关系、函数值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）将代入求y值即可； （2）用代入求出y值，再减去原先y的值即可； （3）令，求出y的值，然后计算出10秒所能承受的每分钟心跳最高次数，作比较即可解题． 【详解】（1）当时，次/分， 故一个15岁的少年运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是164次． （2）当时，次， 原来为次， 变化的次数为（次/分）， 故当一个15岁学生长到而立之年时（30岁），他运动时承受的每分钟心跳最高次数减少，减少了12次． （3）当x=50时， （次/分）， 每秒为（次/秒）， 10秒为次， 次次，所以他无危险． 【考点题型八】古代计时问题 27．（24-25八年级上·陕西西安·期中）某学校社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（如图）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，精密电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取精密电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．实验小组通过观察，发现精密电子秤的读数y（）与漏沙时间t（）满足一次函数关系，下表中列出了t与y的几组对应值： 漏沙时间t（） 0 2 4 6 8 精密电子秤读数y（） 6 (1)请你根据表格求出精密电子秤读数与漏沙时间之间的函数表达式： (2)若本次实验开始记录的时间是上午，那么当精密电子秤的读数为 时，其所对应的时间是几点？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式．熟练掌握一次函数的应用，一次函数解析式是解题的关键． （1）设精密电子秤读数与漏沙时间之间的函数表达式为，将代入得，，计算求解，然后作答即可； （2）当时，，可求，然后求解时间即可． 【详解】（1）解：设精密电子秤读数与漏沙时间之间的函数表达式为， 将代入得，， 解得，， ∴精密电子秤读数与漏沙时间之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴当精密电子秤的读数为 时，其所对应的时间是． 28．（23-24八年级上·四川成都·期末）漏刻是中国古代的一种计时工具．中国最早的漏刻出现在夏朝时期，在宋朝时期，中国漏刻的发展达到了巅峰，其精确度和稳定性得到了极大的提高．漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间．水从上面漏壶源源不断地补充给下面的漏壶，再均匀地流入最下方的箭壶，使得壶中有刻度的小棍匀速升高，从而取得比较精确的时刻．某学习小组复制了一个漏刻模型，研究中发现小棍露出的部分（厘米）是时间（分钟）的一次函数，且当时间分钟时，厘米．表中是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误． （分钟） …… 10 20 30 40 （厘米） …… (1)你认为的值记录错误的数据是________； (2)利用正确的数据确定函数表达式； (3)当小棍露出部分为8厘米时，对应的时间为多少? 【答案】(1) (2) (3)对应的时间是100分钟． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的性质、一次函数的应用等知识点，求出函数解析式是关键． （1）分析表格中数据即可得到结论； （2）利用正确的数据，由待定系数法求函数解析式即可； （3）把代入（2）中解析式，求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴y的值记录错误的数据是． 故答案为：． （2）解：设， ∵， ∴， 解得：， ∴y与x的解析式为． （3）解：将代入函数解析式得：， 解得． 答：对应的时间是100分钟． 29．（2024·广西·三模）【综合与实践】 【问题背景】 如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，古诗“金炉香尽漏声残，翦翦轻风阵阵寒”，描绘了“漏刻”不断漏水的情景． 如图②，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置． 【实验操作】上午，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表： 记录时间 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度 30 29 28.1 27 25.8 【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 【问题解决】 (1)利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式； (2)利用（1）中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ (3)经检验，发现有两组表中观察值不满足（1）中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据（1）中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．请根据表中数据计算出（1）中得到的函数解析式的w值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数、新定义偏差w的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值是解题的关键． （1）水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解； （2）令（1）解析式中，代入求解即可； （3）根据w的定义代入计算. 【详解】（1）设水面高度h与流水时间t的函数解析式为， 时，；时，； ， 解得：， 水面高度h与流水时间t的函数解析式为； （2）将代入解析式得： 解得：    又初始时间为                                                      水面高度为时的时间是 （3）根据（1）中解析式求出所对应的函数值 t 0 10 20 30 40 30 29 28 27 26 根据w的定义得： ． 【考点题型九】体积问题 30．（2024·浙江宁波·模拟预测）某种溶液的体积与温度之间的关系在一定范围内符合一次函数关系．现测得一定量的这种溶液在时的体积为，在时的体积为． (1)求该溶液体积与温度的函数关系式，并求当时，该溶液的体积． (2)若用容积为的容器来盛这些溶液，为了不使溶液溢出，温度应控制在多少摄氏度内？ 【答案】(1)； (2)温度应控制在内 【分析】本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求出与的函数关系式，将代入函数关系式，计算即可得出答案； （2）将（1）中求得的关系式代入并求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：设， 由已知，时，；时，． ， 解得：， ． 当时，， ∴该溶液的体积为． （2）解：由题意得：， 解得． 答：温度应控制在内． 31．（23-24八年级上·广东佛山·期中）受《乌鸦喝水》故事的启发，利用水桶和体积相同的小球进行了如图操作： (1)已知放入小球后量筒中水面的高度是放入小球个数(个)的一次函数，从图中可以看出函数经过点与点，试确定该函数表达式； (2)当水桶中至少放入_______个小球时，有水溢出． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题主要考查一次函数实际应用问题，综合考查同学们识图能力、处理信息能力、待定系数法以及函数所反映的对应与变化思想的应用． （1）利用待定系数法即可得到y与x的一次函数关系式； （2）根据（1）可以得出，再进行求解即可得出答案． 【详解】（1）设， 把，，代入得：， 解得， 即； （2）由， 得， 即至少放入个小球时有水溢出． 32．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示，根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系；（以上两空选填“甲”或“乙”） (2)点的纵坐标表示的实际意义是 ； (3)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？ (4)若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积． 【答案】(1)乙，甲； (2)乙槽中铁块的高度为14厘米； (3)注水2分钟； (4)84立方厘米． 【分析】本题考查的是用一次函数解决实际问题．解题时注意应用一次函数的性质，理解图象的实际意义． （1）根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，相应的线段表示表示的意义可求； （2）点B表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平； （3）分别求出两个水槽中y与x的函数关系式，令y相等即可得到水位相等的时间； （4）用水槽的体积减去水槽中水的体积即可得到铁块的体积． 【详解】（1）图2中折线表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示甲槽中水的深度与注水时间之间的关系． 故答案为：乙，甲； （2）由图象可知，水面上升到与铁块上面重合后，水面上升的速度发生变化，故到点B的纵坐标表示的实际意义是乙槽中铁块的高度为14厘米． 故答案为：乙槽中铁块的高度为14厘米； （3）设线段、的解析式分别为： ， ， ∵经过点和，DE经过和 ，解得， ，解得， ∴解析式为，解析式为， 令， 解得， ∴注水2分钟时，甲、乙两个水槽中水的深度相同； （4）若乙槽中没有铁块，则乙槽水位上升高度为厘米， ∴乙槽中铁块体积为立方厘米． 33．（2024·山西阳泉·模拟预测）阅读与思考 物理现象中的一次函数 实验结果：浸在液体中的物体会受到向上的浮力，浮力的大小等于它排开的液体所受的重力，即，g是一个常数，近似取值为，表示液体的密度，表示排开液体的体积．当液体的密度不变时，物体在液体中所受浮力F是它浸没在液体中的体积V的函数，且物体浸在液体中的体积越大，浮力就越大． 例如：现有一个长方体物品，当它浸在水中时受到的浮力，水的密度为，若该长方体物品的底面积为，那么该物品浸入水中的深度为多少米？ 解：设该物品浸入水中的深度为． 由题意，得．解得． 该物品浸入水中的深度为． 实验探究：某兴趣小组想测一测一个空食品盒在水中漂浮时的装载质量．他们将一个底面积为的圆柱形平底空食品盒放入装水的桶中，桶中水足够深，食品盒下表面始终与水面平行，如图①所示．该兴趣小组将装载质量与食品盒浸入水中的深度的关系绘制成了图②所示的函数关系图，实验发现当装载质量为0时，食品盒浸入水中的深度为． (1)请结合实验现象，观察图②，解释点A的实际意义：__________； (2)根据以上材料，当装载质量不超过时，装载质量与食品盒浸入水中的深度成一次函数关系，若装载质量为时，食品盒浸入水中的深度是．请你帮助该小组求出这个一次函数的解析式； (3)若这个食品盒的高度是，最大装载质量为，请求出a的值． 【答案】(1)空食品盒未装载物品时，浸入水中的深度为 (2) (3)a的值为 【分析】本题考查的是用一次函数解决实际问题，利用待定系数法求出相关函数关系式是解答本题的关键． （1）根据题意结合图象解答即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据（2）的结论计算即可． 【详解】（1）根据题意和图象可知：点A的实际意义是：空食品盒未装载物品时，浸入水中的深度为． （2）设此一次函数的解析式为． 当时，， ， ． ． （3）该食品盒完全浸入水中时，． 由（2）知，， ， 解得． 答：a的值为． 【考点题型十】方案问题 34．（20-21八年级下·河南郑州·期中）为了节能减排，我区某校准备购买某种品牌的节能灯，已知4只A型节能灯和5只B型节能灯共需55元，2只A型节能灯和1只B型节能灯共需17元． (1)求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？ (2)学校准备购买这两种型号的节能灯共300只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元； (2)当购买A型号节能灯200只，B型号节能灯100只时最省钱，理由见解析． 【分析】（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）根据题意可以得到费用与购买A型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题． 本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 【详解】（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元， 根据题意得：， 解得， 答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元； （2）设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯只，费用为w元， ， ∵， ∴， ∴当时，w取得最小值，此时， 答：当购买A型号节能灯200只，B型号节能灯100只时最省钱． 35．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）某汽车运输公司推出商务车和轿车对外租赁业务．每辆商务车可载客6人，每辆轿车可载客4人． (1)单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，单程租赁1辆商务车和7辆轿车共需付租金1980元，求一辆轿车的单程租金为多少元？ (2)某公司准备组织34名职工到外地参加业务培训，拟单程租用车辆前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？ 【答案】(1)租用一辆轿车的租金为元 (2)租用商务车辆和轿车辆时，所付租金最少为元 【分析】（1）设一辆商务车的单程租金为x元，一辆轿车的单程租金为y元，根据“单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，单程租赁1辆商务车和7辆轿车共需付租金1980元，”列二元一次方程组求解即可； （2）方法1：①求出只租用商务车时的租金，②求只租用轿车时的租金；③求出回合租用时的租金，比较即可得解．方法2：设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元．有  ，进而求解得，分类讨论求解即可得解． 【详解】（1）解：设一辆商务车的单程租金为x元，一辆轿车的单程租金为y元，则 ， 解得， ∴一辆轿车的单程租金为240元； （2）解：方法1：①若只租用商务车，∵， ∴只租用商务车应租6辆，所付租金为（元）； ②若只租用轿车，∵， ∴只租用轿车应租9辆，所付租金为（元）； ③若混和租用两种车，设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元． 由题意，得   由，得 ， ∴， ∵，∴， ∴，且为整数， ∵随的增大而减小， ∴当时，有最小值，此时， 综上，租用商务车辆和轿车辆时，所付租金最少为元． 方法2：设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元． 由题意，得   由，得 ， ∴， ∵为整数， ∴只能取0，1，2，3，4，5，故租车方案有： 不租商务车，则需租9辆轿车，所需租金为（元）； 租1商务车，则需租7辆轿车，所需租金为（元）； 租2商务车，则需租6辆轿车，所需租金为（元）； 租3商务车，则需租4辆轿车，所需租金为（元）； 租4商务车，则需租3辆轿车，所需租金（元）； 租5商务车，则需租1辆轿车，所需租金为（元）； 由此可见，最佳租车方案是租用商务车辆和轿车辆， 此时所付租金最少，为元． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 36．（23-24八年级下·江苏南通·期末）甲、乙两个水果店都销售一种芒果．若购买芒果千克，请根据以下信息解决问题． 信息1 在甲店购买付款金额为元，满足，且与的对应关系如下表： 一次购买芒果的数量/千克 1 2 3 甲店付款金额/元 8 16 24 信息2 乙店芒果每千克价格比甲店高2元，但乙店打出促销活动：一次购买千克以上，超过千克的部分打折销售．在乙店付款金额为元，与的对应关系如图所示； 信息3 当付款48元时，在甲、乙两店能购买到相同重量的芒果． (1)根据题意，可得_______，_______； (2)求一次购买芒果的重量超过千克时，关于的函数解析式； (3)如何购买更省钱？请结合图象，设计购买方案． 【答案】(1)8， 2 (2) (3)当时， 甲店比较省钱；当时，甲、乙店的费用一样；当时，乙店比较省钱 【分析】（1）由待定系数法求出k的值即可； （2）设一次购买芒果的重量超过m千克时，关于x的函数解析式为再由待定系数法求出c、b的值即可； （3）根据函数图象即可判断出哪家店更省钱． 本题主要考查一次函数的实际应用，根据待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵函数过点， 即甲店的苹果价格为每千克8元， ∵乙店芒果每千克价格比甲店高2元， ∴乙店芒果每千克价格为元， 即10元， 由图可知，关于x的函数图象过点， 故答案为：8， 2； （2）解：由（1） 时， ∴ 设一次购买芒果的重量超过m千克时，关于x 的函数解析式为： 由题意得： 解得： ∴一次购买芒果的重量超过2千克时，关于x的函数解析式为：； （3）解：由图象可知，当时， 甲店比较省钱； 当时，甲、乙店的费用一样； 当时，乙店比较省钱． 37．（23-24八年级下·江苏南通·期中）家电超市出售某品牌手机充电器，每个进价50元，了解到有A，B两个厂家可供选择，为了促销、两个厂家给出了不同的优惠方案： A厂家：一律打8折出售； B厂家：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 该家电超市计划购买充电器x个，设去A厂家购买应付元，去B厂家购买应付元． (1)分别求出、与x之间的函数关系； (2)若该商家只在一个厂家购买，怎样买过算？ 【答案】(1)， (2)当时，在厂家购买划算；当时，两个厂家付款一样；当时，在厂家购买划算 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、根据题意写出函数关系式并掌握一元一次不等式的解法是本题的关键． （1）根据“去厂家购买应付款进价折扣购买数量”求出与之间的函数关系；分别求出当且为整数时、当且为整数时与之间的函数关系即可； （2）根据不同的取值范围，分别求出当、、时对应的的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据题意，得且为整数）； 当且为整数时，； 当且为整数时，； 综上，， 与之间的函数关系为，与之间的函数关系为． （2）解：当且为整数时：； 当且为整数时： 若，得，解得； 若，得，解得； 若，得，解得； 综上，当时，；当时，；当时，． 当时，选择厂家购买比较划算；当时，选择厂家和厂家一样划算；当时，选择厂家购买比较划算． 【考点题型十一】从函数图像上获取信息 38．（23-24八年级上·江苏·期末）某容器有一根进水管和两根出水管，进水管的进水速度恒定的．从某时刻开始计时，前5分钟内只打开进水管，在第5分钟时，又打开出水管，第13分钟时关掉两根水管．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示． (1)当时，求y关于x的关系式； (2)求出水管的出水速度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式、一次函数的应用，根据题意，能正确分析函数图象是解题关键． （1）由图可设当时，y关于x的关系式为，根据待定系数法即可求解； （2）根据图象可求出进水速度，同时打开一根进水管和一根出水管的速度，再用进水速度减去同时打开一根进水管和一根出水管的速度即可得到出水速度． 【详解】（1）解：设， 由图可知点在该段函数图象上， ， ， ∴当时，y关于x的关系式为； （2）解：根据图象可得，进水速度为， 同时打开一根进水管和一根出水管的速度为：， 则出水速度为． 39．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）某仓库调拨一批物资，调进物资共用8小时．调进物资4小时后同时开始调出物资（调进与调出物资的速度均保持不变）．该仓库库存物资y（吨）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．    (1)这批物资调入的速度为 吨/小时； (2)求段的函数表达式； (3)求这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间． 【答案】(1)15 (2) (3)8.8 【分析】（1）根据函数图象求出结果即可； （2）利用待定系数法求出段的函数表达式即可； （3）通过分析题意和图象可以求出调进物资的速度，调出物资的速度，即可求出结果． 【详解】（1）解：调进物资的速度是：（吨/小时）， 故答案为：15； （2）解：设段的函数表达式为，把，代入得： ， 解得：， ∴段的函数表达式为． （3）解：∵当在第4个小时时，库存物资有60吨，在第8个小时时，库存物资是20吨， ∴调出速度是：（吨/小时）， ∴剩余的20吨完全调出需要：（小时）， ∴这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是：（小时）． 故答案是：8.8． 【点睛】本题考查一次函数图象的实际应用，求一次函数解析式，解题的关键是将函数图象与实际意义相联系，分析出关键信息进行求解． 40．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）小强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快.在一段时间内，水温（℃）与加热时间之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图像如下：      (1)加热前水温是________℃. (2)分别求甲壶、乙壶中水温关于加热时间的函数解析式. (3)当甲壶中水温刚达到℃时，乙壶中水温是多少℃？ 【答案】(1)20 (2)当时甲壶中水温关于加热时间的函数解析式为，当时甲壶中水温关于加热时间的函数解析式为； (3) 【分析】（1）根据图象即可求解； （2）由待定系数法即可求出函数解析式； （3）求出甲壶中水温刚达到℃时的加热时间，即可求解． 【详解】（1）解：由图象得时， ∴加热前水温是20℃． （2）解：当时，设甲壶中水温关于加热时间的函数解析式为， 将，代入得， 解得， ∴当时甲壶中水温关于加热时间的函数解析式为， 当时甲壶中水温关于加热时间的函数解析式为； 设乙壶中水温关于加热时间的函数解析式为， 将，代入得， 解得， ∴． （3）解：令时，，∴， 将代入得． 即：乙壶中水温是℃ 【点睛】本题考查一次函数图象、待定系数法求解一次函数解析式等知识点．根据图象得出所需信息是解题关键． 41．（22-23八年级下·四川广元·期末）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，甲、乙两个商店的优惠活动如下： 甲：所有商品按原价折出售； 乙：一次购买商品总额不超过元的按原价付费，超过元的部分打折． 在两家商店购买的实付款（单位：元）与商品原价（单位：元）之间的关系如图所示． (1)分别写出在两家商店购买的实付款（单位：元）与商品原价（单位：元）之间的函数关系式；（其中乙商店只写出当时的函数关系式） (2)两图象交于点，求点的坐标，并说明其实际意义； (3)请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育用品专卖店购买体育用品更合算． 【答案】(1)到甲商店：，到乙商店：； (2)点的坐标为，点的实际是当一次性购买商品总额为元时，到甲乙两家商店的实际付都是元； (3)当时，去甲体育专卖店购买体育用品更合算；当时，去两家体育专卖店购买体育用品一样合算；当时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算． 【分析】（）根据已知和函数图象，分别列出函数关系式即可； （）由题意列出，求解即可得到答案； （）观察图象，直接写出答案即可； 本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）根据题意得， 到甲商店：， 到乙商店：当时，， （2）令， 解得， 将代入得：， ∴点的坐标为， 则点的实际是当一次性购买商品总额为元时，到甲乙两家商店的实际付都是元； （3）由图象可得， 当时，去甲体育专卖店购买体育用品更合算； 当时，去两家体育专卖店购买体育用品一样合算； 当时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算． 【考点题型十二】其它问题 42．（22-23七年级下·山东青岛·期中）某经销商销售了一种水果，进价是元/千克，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系： 每千克售价（元） … … 每天销量 （千克） … … (1)从表格可以看出售价每下调元销售量就增加 　 　千克，每上涨元销售量就减少 　 　千克，直接写出每天销量（千克）与每千克售价（元）的函数关系式． (2)求出当售价从元/千克调整到元/千克时，求这一天的销售量是多少千克？利润多少元？ 【答案】(1)，， (2)这一天的销售量是，利润元 【分析】（1）根据表格中的数据可得售价每下调元销售量就增加千克，每上涨元销售量就增减少千克，根据此关系可得当售价从元/千克下调到元/千克时，得出其销售量，以此即可得到与的函数关系式； （2）将代入（1）中求得的函数关系式中，求出这一天的销售量，再根据“利润（售价成本）销售量”即可解答． 【详解】（1）解：从表格可以看出售价每下调元销售量就增加千克，每上涨元销售量就增减少千克，当售价从元/千克下调到元/千克时，， ∴每天销量（千克）与每千克售价（元）的函数关系式为， 故答案为：，． （2）解：当售价从元/千克调整到元/千克时，， ∴这一天的销售量是， ∵这种水果进价是元/千克 ∴利润为（元）， ∴这一天的销售量是，利润元． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题关键是从表格中得出售价每下调元销售量就增加千克，每上涨元销售量就增减少千克． 43．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题： 材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何意义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为． (1)若，则 ； (2)利用数轴探究： ①的最小值是 ，取得最小值时的取值范围是 ； ②对任意的有理数都满足，则的取值范围为 ； (3)在一条公路上每隔千米有一个仓库（如图），共有五个仓库．号仓库存有吨货物，号仓库存有吨货物，号仓库存有吨货物，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输千米需要元的运费，那么最少要花 元运费． 【答案】(1)或 (2)①，② (3) 【分析】本题考查了数轴表示数的意义，数轴上两点间的距离，一次函数的应用，理解数轴上两点距离的计算方法是正确解答的前提． （1）根据所表示的意义，分两种情况进行解答即可； （2）①表示数轴上表示的点，到表示和的点距离之和，使距离之和最小，在与之间即可，即可得出答案； ②表示的意义：数轴上表示的点，到表示和的点的距离之和大于，根据图象法可得解集； （3）设把所有的货物集中存放在号仓库里，需要的总运费为元，分及两种情况，根据总运费号仓库货物转运需要的费用号仓库货物转运需要的费用号仓库货物转运需要的费用，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质可求出每段的最小值，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：表示数轴上到表示的点距离为的点所表示的数， 因此在的左侧时，此数为，在的右侧时，此数为， 故答案为：或． （2）解：①表示：数轴上表示的点，到表示的点和表示的点距离之和， 当在与之间时，这个距离之和最小，最小值为，此时的取值范围为， 故答案为：，； ②表示的意义：数轴上表示的点，到表示的点和表示的点的距离之和大于， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：． （3）解：设把所有的货物集中存放在号仓库里，需要的总运费为元， 当时，， 整理得：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值； 当时，， 整理得：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值． ∵， ∴最少要花元运费才行． 故答案为：． 44．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，某高速路有一段区间测速，限速．现有一辆大货车经过测速区，以测速区起始线为轴，以高速路路边的围栏为轴，建立平面直角坐标系如图，为区间测速货车行驶的笔直路线（轴）．． (1)该货车通过测速区间的时间为分钟（车身长忽略不计），该货车行驶的平均速度为 千米/小时，是否超速 （填“是”或“否”）； (2)在测速区起始线且距车头米的点处有一个固定激光测速仪，激光射线与 交于点； 在点 处设置可转动的另一台测速仪， 射出的激光线追踪货车头点，当车头刚好在测速区起始线时． ①求射线 所在直线的函数表达式， ②射线、射线的交点坐标； (3)若车头刚好在测速区起始线时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长． 【答案】(1)，否； (2)①；②； (3)． 【分析】（）根据速度路程时间即可求出货车行驶的平均速度，进而根据限速即可判断是否超速； （）①利用待定系数法即可求解；②利用待定系数法求出射线的函数表达式，再联立两函数表达式得到方程组，解方程组即可求解； （）当时，激光射线与射线没有交点，设此时，射线所在直线的函数表达式为，利用待定系数法可得，把代入得，据此即可求出激光射线与射线有交点的时长； 本题考查了一次函数的应用，根据题意求出一次函数函数表达式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，该货车行驶的平均速度为， ∵限速， ∴该货车没有超速， 故答案为：，否； （2）解：①设射线所在直线的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴； ②设射线的函数表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴， 由，解得， ∴射线、射线的交点坐标为； （3）解：当时，激光射线与射线没有交点，设此时，射线所在直线的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴， 把代入得，， 解得， ∵， ∴， ∴激光射线与射线有交点的时长为． 45．（22-23八年级上·江苏·期末）高度为120厘米的圆柱形容器注满了水（即容器的水位高度为120厘米），上端有一关闭状态的注水口，底端有一关闭状态的放水口，如图1所示．现先打开放水口，放水速度为12厘米/分钟（即：仅打开放水口时，每分钟能使圆柱形容器内的水位高度下降12厘米），放水口打开一段时间后，再打开注水口，同时保持放水口开放状态，继续经过一段时间后关闭放水口，同时注水口仍保持开放状态，直至容器注满水时立即关闭注水口．圆柱形容器的水位高度记为（厘米），从打开放水口时开始计时，至容器注满水时停止计时，时间记为（分钟），已知关于的函数图象如图2所示．根据图中所给信息，解决下列问题： (1)的值为______； (2)求注水速度（注水速度即：仅打开注水口时，每分钟能使圆柱形容器内的水位高度上升的高度）； (3)求图2中线段所在直线的解析式； (4)在圆柱形容器的水位高度变化过程中，当满足：（厘米）时，时间（分钟）的取值范围是______． 【答案】(1) (2)注水速度为16厘米/分钟 (3) (4) 【分析】（1）根据关于的函数图象给出的信息结合放水速度求解即可； （2）根据关于的函数图象信息结合值，先求出段的进水速度（段的进水速度注水速度放水速度），再求段的注水速度，列方程求解即可； （3）设所在直线的解析式为，将点和点的坐标代入求解即可； （4）计算出时对应的两个时间，取两者之间即可． 【详解】（1）（厘米），（分钟）， ∴的值为， 故答案为：； （2）段的进水速度为：（厘米/分钟）， 段的注水速度为：（厘米/分钟）， ∴， 解得， ∴，， ∴注水速度为16厘米/分钟； （3）设所在直线的解析式为， 由（2）可知， ∴，， 将点，代入， 得，解得， 所在直线的解析式为； （4）∵， ∴结合图象可知，在线段和线段上， 当在线段上时，（分钟）， 在线段上时，（分钟）， ∴当满足：（厘米）时，时间（分钟）的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合来解决问题． 【考点题型十三】几何问题 46．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A、B、C的坐标分别为、、． (1) ； (2)画出关于y轴对称的 (3)已知点P在x轴上，且，则点P的坐标是 ； (4)若y轴上存在点Q，使的周长最小，则点Q的坐标是 ． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）利用割补思想，梯形面积减去两个直角三角形面积即可求得； （2）画出三点关于y轴的对称点，并依次连接即可； （3）设，由勾股定理可分别表示出、，由建立方程并解方程即可求得点P的坐标； （4）因长为定值，只需最小即可，利用对称性，作点A关于x轴的对称点E，连接与x轴的交点即为求作的点Q，求出直线的解析式，再求得直线与x轴的交点即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：4； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：设，由勾股定理得、， ， ， 解得： ； 故答案为：； （4）解：因长为定值，最小时的周长最小， 作点A关于x轴的对称点E，连接与x轴的交点即为求作的点Q，连接，如图， ， ， 即当、Q、E三点在同一直线上时，最小； 、E关于x轴对称， ，   设直线的解析式为， 把C、E两点坐标代入得：， 解得：， 则直线的解析式为， 令，得， 直线与x轴的交点为． 即Q点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，作轴对称图形，两点间线段最短，勾股定理等知识，有一定的综合性，善于应用函数思想、方程思想解决问题是关键． 47．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，P为线段上的一个动点，Q为第二象限内的一个动点，且满足 (1)求直线对应的函数表达式； (2)若为直角三角形，试求点P的坐标，并判断点Q是否在直线上． 【答案】(1) (2)，在直线上 【分析】（1）设直线为，再利用待定系数法求解解析式即可； （2）设，分三种情况讨论：当时，当时， 当时，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：设直线为， ∵直线交x轴于点，交y轴于点， ∴， 解得；， ∴直线为； （2）解：∵，， ∴， 设，而， ∴， 当时， ∴， 解得：， ∴， ∴， 如图，过作于， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴在直线上； 当时，，重合，不符合题意，舍去， 当时， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴此时不符合题意，舍去． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的性质，勾股定理的应用，完全平方公式的应用，非负数的性质，选择合适的方法解题是关键． 48．（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”． 【问题描述】 如图，在直线上找一点使得最小？ 【问题解决】 作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当三点共线的时候，，此时为最小值（两点之间线段最短） 【应用模型】 （1）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，求使四边形周长最小的点的坐标？ （2）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在原点，点在坐标轴上，点的坐标为，为的中点，点为边上两个动点，且，要使四边形的周长最小，求点的坐标？ （3）如图，矩形中，，，点分别在矩形各边上，且，，求四边形周长的最小值？ 【拓展延伸】 如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，为函数的图象上的两个动点，则的最小值为____________． 【答案】（） ；（） ；（） ；【拓展延伸】:． 【分析】（）作关于直线的对称点，连接交于，则此时四边形周长最小，，求出直线的解析式为，联立求解即可； （）点向右平移个单位到，点关于的对称点, 连接, 交于，此时最小，要使四边形的周长最小，只要最小即可，即，过作于，设，则，利用相似三角形的判定与性质即可求解； （）作点关于的对称点, 连接交于点，此时四边形周长取最小值，过点作于点，由勾股定理和两点之间线段最短即可求解； 【拓展延伸】：直线轴关于直线对称，直线、直线关于轴对称, 点是点关于直线的对称点，作垂足为，交轴于点交直线于，作直线垂足为，由勾股定理即可求解． 【详解】（）∵在中，，， ∴，， ∵，点为的中点， ∴，， ∴，， 作关于直线的对称点，连接交于，则此时四边形周长最小，， ∵直线经过点， ∴直线的解析式为, 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为； 联立，解得， ∴； （）解：点向右平移个单位到，点关于的对称点, 连接, 交于，此时最小， ∴，，， ∴要使四边形的周长最小，只要最小即可，即，过作于， 设，则， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得：， ∴， 故点的坐标为：， 故答案为：； （）作点关于的对称点, 连接交于点，此时四边形周长取最小值，过点作于点，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的周长为； 【拓展延伸】：如图所示， 直线轴关于直线对称，直线、直线关于轴对称, 点是点关于直线的对称点，作垂足为，交轴于点交直线于，作直线垂足为， ∵，， ∴最小（垂线段最短）， ∵正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称——最短问题，垂线段最短，两点之间线段最短，直角三角形度角的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，一次函数的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 49．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，与直线交于点． (1)求t，b的值； (2)若点在线段上运动，过点M作直线平行于y轴，该直线与直线交于点N，与x轴交于点D，如图所示． ①若，求四边形的面积； ②若M是线段的3等分点，求m的值． 【答案】(1)， (2)①7；②3或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）①若，先求出M、D、N的坐标，再求出、的长，然后根据即可求出四边形的面积． ②若M是线段的3等分点，则分两种情况：（ⅰ），（ⅱ），分别求解即可． 本题考查一次函数的性质，坐标与图形；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将代入中，得， ， 将代入中，得， 解得． （2）解：如图， ①由（1）得， ∴直线的表达式为：， 若，则， ， 则， 过C点作于E， 则，， ． ②∵点在上， ， ， ，， ，． M是线段的3等分点，分两种情况： （ⅰ）， ， 解得：． （ⅱ）， ， 解得：． 综上，m的值为：3或． 【考点题型十四】动态几何问题 50．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知为正比例函数的图象上一点，轴，垂足为点B． (1)求m的值； (2)点P从O出发，以每秒4个单位的速度，沿射线方向运动．设运动时间为． ①过点P作交直线于点，若，求t的值； ②在点P的运动过程中，是否存在这样的t，使得为等腰三角形？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6 (2)①1或4；②或或 【分析】（1）根据为正比例函数的图像上一点即可解答； （2）①根据平面直角坐标系内点到轴和轴的距离可知，，，再根据全等三角形的判定分点在线段上和点在的延长线上两种情况即可解答；②根据等腰三角形的性质分，，三种情况即可解答． 【详解】（1）解：∵为正比例函数的图像上一点， ∴， 即的值为6； （2）解：① 由（1）知道， ∵轴 ∴，， ∴， 要使，则必须有， 如图，当点在线段上时， ∴， ∵点从出发以每秒个单位的速度沿射线方向运动，点的运动时间为 ∴， ∴， 解得：；    当点在的延长线上时， ∴， ∴， ∴；    综上，的值为或1，． ②当时，点在线段的垂直平分线上， ∴点P在直线上， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， 解得；   当时，则， ∴；    当时， 过点作， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；    综上，的值为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的定义，全等三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． 51．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点．动点P从点O出发沿路线运动到点B停止运动．    (1)求直线的解析式； (2)当的面积等于时，求此时点P的坐标； (3)设动点P每秒运动个单位，运动时间为t（秒）．在运动过程中是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，直接写出点P运动时间t值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)的值为或 【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论； （2）先求出的面积，进而求出的面积，进而求出点的纵坐标，再分两种情况，代入直线解析式中即可得出结论； （3）分点在和上两种情况，根据等腰三角形建立方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）点的坐标为， 设直线的解析式为， 点在直线上， ， ， 直线的解析式为； （2）由（1）知，直线的解析式为， 令， ， ， ， 设的纵坐标为， ， ， ， 直线的解析式为， 当点在上时，， ， 当点在上时，，， ， 综上所述，点P的坐标为或； （3）①当点在上时，如图1，只有，    由（2）知，直线的解析式为， 设， ， ， ，解得（舍去）或， ，， ， 动点每秒运动个单位， ； ②当点在上时，如图2，只有，   直线的解析式为， 设， ，， ，解得， ， ， ， 动点每秒运动个单位， ； 综上所述，的值为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，等腰三角形等知识，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 52．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知正方形边长为3，点D为x轴上一点，其坐标为，连接，点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线C→B→A的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒． (1)求线段的函数解析式； (2)连接，求的面积S关于t的函数解析式； (3)点P在运动过程中，是否存在某个位置使得为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)线段CD的解析式为： (2) (3)点P的坐标为：， ， 【分析】（1）设直线的函数解析式为，经过，构建方程组求解函数解析式即可； （2）点P运行至点B时，（秒），分情况讨论，当点P在上时，，；当点P运行至点A时，（秒），当点P在上时，， ； （3）①当点P在线段上时，若使得为等腰三角形，则，设，构建方程求解得；当点P在上时，设，则 ，，分情况讨论：若，若，若，分别构建方程求解． 【详解】（1）解：线段的函数解析式为，经过，则解得， ∴线段的函数解析式为 （2）解：点P运行至点B时，（秒） 当点P在上时，，；    当点P运行至点A时，（秒）， 当点P在上时，， ； ∴    （3）解：①当点P在线段上时，若使得为等腰三角形，则， 设，则，解得， ∴    ②当点P在上时，设，则，， 若，则，即，， ∴ （舍去） ∴． 若，则，解得 ∴． 若，则，解得（舍去）， ∴ 综上，点P的坐标为：， ，    【点睛】本题考查确定一次函数解析式，直角坐标系内与几何图形有关的动点问题，等腰三角形的性质；结合动点运行情况分类讨论是解题的关键． 53．（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，直线经过点A，并与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标及b的值； (2)动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线AB，AC于点D，E．设点P运动的时间为秒， ①点D的坐标__________，点E的坐标为__________（均用含的式子表示） ②点P在运动过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，求出此时t的值；若不存在请说明理由． ③若设的面积为S，请直接写出S与的函数关系式． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为，； (2)① ；②存在，t的值为或；③ 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、动点问题、三角形面积的计算等； （1）分别令、即可求出A，B两点的坐标，将A点的坐标代入即可求出； （2）①把代入即可求出点D的坐标，代入求出点E的坐标； ②根据①求出，列方程求解即可； ③根据计算即可． 【详解】（1）令可得， ∴B点的坐标 令可得，解得， ∴A点的坐标 把代入可得， 解得； （2）①把代入得， ∴ 把代入代入得， ∴ ②∵，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或 ∴存在，t的值为或； ③∵， ∴， ∴， ∴． 54．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与相交于点． (1)请直接写出点、点、点的坐标：______，______，______； (2)如图2，动直线分别与直线，交于，两点． ①若，求的值． ②若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①或；②存在，， 【分析】本题考查了一次函数的应用，平行线的性质，根据题意，分类求解，熟悉相关性质是解答本题的关键． （1）根据题意，分别令，，分别得到点，点的坐标，联立，得到点的坐标． （2）①当时，点，的坐标分别为：，，故，由此得到答案． ②在点下方取点使，则点，由此得到点的坐标，在点上方取点使，则点，由此得到点的坐标． 【详解】（1）解：根据已知条件， 令， 解得：， 点； 令， 解得：， 点； 联立， 解得：， 点， 故答案为：，，． （2）①当时，点，的坐标分别为： ，， 则， 解得：或； ②存在，理由如下： 设直线和轴交于点，则点， 过点作直线，交轴于点， 则此时，， 由点知，直线的表达式为： ， 则点，， 在点下方取点使， 则点， 直线的表达式为：， 联立，， 解得：， 点， 在点上方取点使， 则点， 同理可得，点， 综上，点坐标为：，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点清单6-2 一次函数与实际应用 （1个考点梳理+14种题型解读+提升训练） 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数解析式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： 1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； 2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； 3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数解析式的常用方法 1）根据基本的量之间存在的关系列函数解析式； 2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 3.一次函数应用问题的求解思路： 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 【考点题型一】分配问题 1．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买1张办公桌必须买2把椅子，椅子每把元；若学校购进张甲种办公桌和张乙种办公桌共花费元；购买张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费元． (1)求甲、乙两种办公桌每张各多少元？ (2)若学校购买甲乙两种办公桌共张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案． 2．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需26元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需28元． (1)求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？ (2)学校准备购进这两种型号的跳绳共40根，并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 3．（2022·广东深圳·中考真题）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样． (1)求甲乙两种类型笔记本的单价． (2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少? 4．（2022·江苏泰州·二模）溱湖水产远近闻名，尤其是鱼饼和虾球，堪称溱湖双璧，小明家前后两次购买鱼饼和虾球馈赠亲友，第一次购买鱼饼4盒，虾球2盒，共花费180元；第二次购买鱼饼2盒，虾球3盒，共花费210元，两次购买单价不变． (1)求鱼饼和虾球每盒各多少元？ (2)若小明家计划再次购买鱼饼和虾球两种礼品共6盒，且要求虾球的数量不少于鱼饼数量的一半，请设计出最省钱的方案，并求出最少费用． 【考点题型二】最大利润问题 5．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）某手机专卖店销售一台A型手机的销售利润为100元，销售一台B型手机的销售利润为150元，该专卖店计划一次购进两种型号的手机共20台，其中B型手机的进货量不超过A型手机的3倍，设购进A型手机x台，这20台手机的销售总利润为y元. (1)求y关于x的函数表达式； (2)该专卖店购进A型手机、B型手机各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润为多少？ 6．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．（利润售价进价） 种类 种配件 种配件 进价（元/件） 售价（元/件） (1)求种配件进价的值． (2)若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 7．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏．随着春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．重庆某百货超市计划购进春联和灯笼这两种商品．已知第一次购进5个灯笼和4副春联花费185元，第二次购进3个灯笼和8幅春联花费195． (1)求每个灯笼和每副春联的进价各是多少元？ (2)由于灯笼和春联畅销，超市决定第三次用不超过5900元的资金购进灯笼和春联这两种商品共300件，其中春联的数量不多于灯笼的数量的3倍，且灯笼和春联的进价保持不变．若每个灯笼的售价为30元，每副春联的售价为25元，在销售中灯笼有的损坏，春联有的损坏．若第三次购进的灯笼和春联全部售出（损坏的灯笼和春联不能售出），请问当第三次购进灯笼多少个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？ 8．某商店销售台型和台型电脑的利润为元，销售台型和台型电脑的利润为元． (1)求每台型电脑和型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的倍设购进型电脑台，这台电脑的销售总利润为元． ①求关于的函数关系式； ②该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大 (3)实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，且限定商店最多购进型电脑台若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使这台电脑的销售总利润最大的进货方案． 【考点题型三】行程问题 9．（23-24八年级上·江苏南京·期末）一辆货车和一辆轿车先后从A地出发沿同一直道去B地．已知A、B两地相距，轿车的速度为，图中、分别表示货车、轿车离A地的距离与时间之间的函数关系． (1)货车的速度是______； (2)求两车相遇时离A地的距离； (3)在轿车行驶过程中，当______h时，两车相距． 10．（23-24八年级上·江苏南京·期末）甲、乙两家快递公司都要将货物从地派送至地．甲公司运输车要先在地的集货中心拣货，然后直接发往地．乙公司运输车从地出发后，先到达位于、两地之间的地休息，再以原速驶往地．两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系如图所示．已知两车均沿同一道路匀速行驶，且同时到达地． (1)地与地之间的距离为______． (2)求线段对应的函数表达式． (3)已知地距离地，当为何值时，甲、乙两公司运输车相距？ 11．（21-22八年级上·江苏宿迁·期末）如图1，公路上依次有A、B、C三个汽车站，，，一辆汽车从离A站的P地出发，向C站匀速行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当到达B站时接到通知，要求中午准时到达C站，设汽车出发小时后离A站，图2中折线表示按到通知前y与x之间的函数关系． (1)根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为______千米/时； (2)求线段所表示的y与x之间的函数关系式； (3)接到通知后，汽车仍按原速行驶，能否准时到达？请说明理由． 12．（22-23八年级下·江苏南通·期中）如图1，A，B两地相距，在A，B之间有汽车站C站，客车由A地驶向C站、货车由B地驶向A地，两车同时出发，匀速相向行驶，图2是客车、货车离C站的路程y、y（单位：）与行驶时间x（单位：）之间的函数关系图象．    (1)客车的速度为______：货车的速度为______： (2)求两小时后，货车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式； (3)求图2中点E的坐标． 【考点题型四】工程问题 13．（2024七年级下·四川成都·专题练习）有一项工程，若请甲工程队单独做需4个月完成，每月要耗资9万元；若请乙工程队单独做需6个月完成，每月耗资5万元． (1)请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？ (2)现要求最迟5个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金． 14．（23-24八年级上·陕西西安·期末）甲、乙两个工程组同时挖掘延西高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示． (1)当时，求甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的函数关系式； (2)当时，甲组挖掘了多少天？ 15．（23-24八年级下·全国·课后作业）在国道202公路改建工程中，某路段长，由甲、乙两个工程队拟在30天内（含30天）合作完成．已知两个工程队各有10名工人（设甲、乙两个工程队的工人全部参与改建，两工程队内每人每天的工作量相同）．甲工程队1天、乙工程队2天共修路；甲工程队2天、乙工程队3天共修路． (1)试问甲、乙两个工程队每天分别修路多少米？ (2)已知甲工程队每天的施工费用为万元，乙工程队每天的施工费用为万元，要使该工程的施工费用最低，甲，乙两队需各做多少天？最低费用为多少？ 16．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期中）某地计划修建一条长36千米的乡村公路，已知甲工程队修路的速度是乙工程队修路速度的倍，乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天． (1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？ (2)已知甲工程队修路费用为25万元/千米，乙工程队修路费用为20万元/千米．甲工程队先单独修路若干天后，接到其它任务需要离开，剩下的工程由乙工程队单独完成．若要使修路总时间不超过55天，总费用不超过820万元，且甲工程队所修路程需为整数，请问共有几种修路方案？哪种方案最省钱？ 【考点题型五】分段计费问题 17．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）某市规定了每月用水18立方米以内（含18立方米）和用水18立方米以上两种不同的收费标准，该市的用户每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系如图所示． (1)当用水18立方米以上时，求y与x之间的函数关系式． (2)若小敏家某月交水费81元，求这个月用水量为多少立方米． 18．（23-24八年级上·江西九江·期中）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过200千瓦时时，按元/千瓦时计费；月用电量超过200千瓦时时，其中的200千瓦时仍按元/千瓦时计费，超过部分按元/千瓦时计费．设每户家庭的月用电量为千瓦时时，应交电费元． (1)当月用电量不超过200千瓦时时，与的函数关系式为__________； 当月用电量超过200千瓦时时，与的函数关系式为__________． (2)小新家十月份的用电量为160千瓦时，求他家十月份应交电费多少元． (3)小明家十月份交电费146元，求他家十月份用电多少千瓦时． 19．（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）某出租车公司采用分段计费的方法来计算乘车费用，收费规则为；行车距离不超过时，只收起步价8元；行车距离超过时，每增加1km，加收元（不足的按算）． (1)当行车距离大于时，请写出乘车费用y（元）与行车距离之间的函数关系式； (2)若乘车费用总计为元时，请计算行车的最远距离． 20．（20-21八年级上·江苏徐州·阶段练习）为促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中的折线反映了每户居民每月用电电费(单位：元)与用电量(单位：度)间的函数关系． 根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表： 档次 第一档 第二档 第三档 每月用电量（度） 小明家某月用电度，需交电费 元， 求第二档每月电费(元）与用电里(单位：度）之间的函数表达式； 在每月用电量超过度时，每度电比第二档多元，小刚家某月用电度，缴纳电费元，求的值． 【考点题型六】调度问题 21．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）我市某镇组织辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共吨到外地销售．按计划，辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙．且必须装满，根据下表组织的信息，解答以下问题． 脐橙品种 A B C 每辆汽车运载量（吨） 每吨脐橙获利（元） (1)设转运A种脐橙的车辆数为x，转运B种脐橙的车辆数为y，求y与x的函数表达式； (2)如果转运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？ (3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值． 22．（2024·河南信阳·一模）西亚电器公司新进了40台空调机，60台冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲店，30台给乙店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表． 空调机 冰箱 甲连锁店 200 170 乙连锁店 160 150 设公司调配给甲店空调机x台． (1)则调配给甲店冰箱________台；调配给乙店空调机________台，冰箱________台；（用含x的代数式表示） (2)若公司卖出这100台电器的总利润为y（元），求y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； (3)为了促销，公司决定仅把甲店的空调机每台让利25元，其他销售利润不变，当x的值为________时，总利润最大，最大值为________． 23．（22-23八年级下·重庆长寿·期末）某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表： 空调机 电冰箱 甲连锁店 200 170 乙连锁店 160 150 设集团调配给甲连锁店台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为（元）． (1)求关于的函数关系式，并求出的取值范围； (2)为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利元销售，其它的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配的方法，使总利润达到最大？最大利润为多少？ 24．（22-23八年级上·安徽宣城·期中）某商业集团准备购进A，两款口袋打印机在甲、乙两个商场进行销售，这两款口袋打印机每台的利润如表： 打印机 利润 商场 甲商场 乙商场 A款（元/台） 95 60 款（元/台） 70 45 为迎接双十二，该商业集团新进了40台A款，60台款调配给甲，乙两个商场，其中70台给甲商场，30台给乙商场． (1)设该集团调配给甲商场A款台，求总利润与的函数关系式． (2)①若这100台口袋打印机全部销售出去，如何调配才能让商业集团的利润最大，并求出利润的最大值． ②为了促销，该商业集团决定对甲商场的A款，款每台分别让利元和元（），其他销售利润不变，当天结算时发现销售总利润与调配方案无关．当总利润最大时，求此时的值． 【考点题型七】心跳速率问题 25．（22-23七年级上·广东深圳·期中）人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关．如果用a表示一个人的年龄，用b表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么． (1)正常情况下，在运动时一个14岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？ (2)一个45岁的人运动时10秒钟心跳的次数为22次，请问他有危险吗？ (3)某人今年a岁，经过10年他的最高心跳次数变化了多少？ 26．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）人在运动时心跳速率通常和人的年龄有关，用表示一个人的年龄，用表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，则 (1)正常情况下，一个15岁的学生运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？ (2)当一个15岁学生长到而立之年时（30岁），他运动时所能承受的每分钟心跳最高次数有何变化？变化次数是多少？ (3)一个50岁的人运动时，10秒心跳次数为22次，请问他有危险吗？为什么？ 【考点题型八】古代计时问题 27．（24-25八年级上·陕西西安·期中）某学校社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（如图）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，精密电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取精密电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．实验小组通过观察，发现精密电子秤的读数y（）与漏沙时间t（）满足一次函数关系，下表中列出了t与y的几组对应值： 漏沙时间t（） 0 2 4 6 8 精密电子秤读数y（） 6 (1)请你根据表格求出精密电子秤读数与漏沙时间之间的函数表达式： (2)若本次实验开始记录的时间是上午，那么当精密电子秤的读数为 时，其所对应的时间是几点？ 28．（23-24八年级上·四川成都·期末）漏刻是中国古代的一种计时工具．中国最早的漏刻出现在夏朝时期，在宋朝时期，中国漏刻的发展达到了巅峰，其精确度和稳定性得到了极大的提高．漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间．水从上面漏壶源源不断地补充给下面的漏壶，再均匀地流入最下方的箭壶，使得壶中有刻度的小棍匀速升高，从而取得比较精确的时刻．某学习小组复制了一个漏刻模型，研究中发现小棍露出的部分（厘米）是时间（分钟）的一次函数，且当时间分钟时，厘米．表中是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误． （分钟） …… 10 20 30 40 （厘米） …… (1)你认为的值记录错误的数据是________； (2)利用正确的数据确定函数表达式； (3)当小棍露出部分为8厘米时，对应的时间为多少? 29．（2024·广西·三模）【综合与实践】 【问题背景】 如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，古诗“金炉香尽漏声残，翦翦轻风阵阵寒”，描绘了“漏刻”不断漏水的情景． 如图②，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置． 【实验操作】上午，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表： 记录时间 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度 30 29 28.1 27 25.8 【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 【问题解决】 (1)利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式； (2)利用（1）中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ (3)经检验，发现有两组表中观察值不满足（1）中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据（1）中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．请根据表中数据计算出（1）中得到的函数解析式的w值； 【考点题型九】体积问题 30．（2024·浙江宁波·模拟预测）某种溶液的体积与温度之间的关系在一定范围内符合一次函数关系．现测得一定量的这种溶液在时的体积为，在时的体积为． (1)求该溶液体积与温度的函数关系式，并求当时，该溶液的体积． (2)若用容积为的容器来盛这些溶液，为了不使溶液溢出，温度应控制在多少摄氏度内？ 31．（23-24八年级上·广东佛山·期中）受《乌鸦喝水》故事的启发，利用水桶和体积相同的小球进行了如图操作： (1)已知放入小球后量筒中水面的高度是放入小球个数(个)的一次函数，从图中可以看出函数经过点与点，试确定该函数表达式； (2)当水桶中至少放入_______个小球时，有水溢出． 32．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示，根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系；（以上两空选填“甲”或“乙”） (2)点的纵坐标表示的实际意义是 ； (3)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？ (4)若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积． 33．（2024·山西阳泉·模拟预测）阅读与思考 物理现象中的一次函数 实验结果：浸在液体中的物体会受到向上的浮力，浮力的大小等于它排开的液体所受的重力，即，g是一个常数，近似取值为，表示液体的密度，表示排开液体的体积．当液体的密度不变时，物体在液体中所受浮力F是它浸没在液体中的体积V的函数，且物体浸在液体中的体积越大，浮力就越大． 例如：现有一个长方体物品，当它浸在水中时受到的浮力，水的密度为，若该长方体物品的底面积为，那么该物品浸入水中的深度为多少米？ 解：设该物品浸入水中的深度为． 由题意，得．解得． 该物品浸入水中的深度为． 实验探究：某兴趣小组想测一测一个空食品盒在水中漂浮时的装载质量．他们将一个底面积为的圆柱形平底空食品盒放入装水的桶中，桶中水足够深，食品盒下表面始终与水面平行，如图①所示．该兴趣小组将装载质量与食品盒浸入水中的深度的关系绘制成了图②所示的函数关系图，实验发现当装载质量为0时，食品盒浸入水中的深度为． (1)请结合实验现象，观察图②，解释点A的实际意义：__________； (2)根据以上材料，当装载质量不超过时，装载质量与食品盒浸入水中的深度成一次函数关系，若装载质量为时，食品盒浸入水中的深度是．请你帮助该小组求出这个一次函数的解析式； (3)若这个食品盒的高度是，最大装载质量为，请求出a的值． 【考点题型十】方案问题 34．（20-21八年级下·河南郑州·期中）为了节能减排，我区某校准备购买某种品牌的节能灯，已知4只A型节能灯和5只B型节能灯共需55元，2只A型节能灯和1只B型节能灯共需17元． (1)求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？ (2)学校准备购买这两种型号的节能灯共300只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 35．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）某汽车运输公司推出商务车和轿车对外租赁业务．每辆商务车可载客6人，每辆轿车可载客4人． (1)单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，单程租赁1辆商务车和7辆轿车共需付租金1980元，求一辆轿车的单程租金为多少元？ (2)某公司准备组织34名职工到外地参加业务培训，拟单程租用车辆前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？ 36．（23-24八年级下·江苏南通·期末）甲、乙两个水果店都销售一种芒果．若购买芒果千克，请根据以下信息解决问题． 信息1 在甲店购买付款金额为元，满足，且与的对应关系如下表： 一次购买芒果的数量/千克 1 2 3 甲店付款金额/元 8 16 24 信息2 乙店芒果每千克价格比甲店高2元，但乙店打出促销活动：一次购买千克以上，超过千克的部分打折销售．在乙店付款金额为元，与的对应关系如图所示； 信息3 当付款48元时，在甲、乙两店能购买到相同重量的芒果． (1)根据题意，可得_______，_______； (2)求一次购买芒果的重量超过千克时，关于的函数解析式； (3)如何购买更省钱？请结合图象，设计购买方案． 37．（23-24八年级下·江苏南通·期中）家电超市出售某品牌手机充电器，每个进价50元，了解到有A，B两个厂家可供选择，为了促销、两个厂家给出了不同的优惠方案： A厂家：一律打8折出售； B厂家：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 该家电超市计划购买充电器x个，设去A厂家购买应付元，去B厂家购买应付元． (1)分别求出、与x之间的函数关系； (2)若该商家只在一个厂家购买，怎样买过算？ 【考点题型十一】从函数图像上获取信息 38．（23-24八年级上·江苏·期末）某容器有一根进水管和两根出水管，进水管的进水速度恒定的．从某时刻开始计时，前5分钟内只打开进水管，在第5分钟时，又打开出水管，第13分钟时关掉两根水管．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示． (1)当时，求y关于x的关系式； (2)求出水管的出水速度． 39．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）某仓库调拨一批物资，调进物资共用8小时．调进物资4小时后同时开始调出物资（调进与调出物资的速度均保持不变）．该仓库库存物资y（吨）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．    (1)这批物资调入的速度为 吨/小时； (2)求段的函数表达式； (3)求这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间． 40．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）小强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快.在一段时间内，水温（℃）与加热时间之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图像如下：      (1)加热前水温是________℃. (2)分别求甲壶、乙壶中水温关于加热时间的函数解析式. (3)当甲壶中水温刚达到℃时，乙壶中水温是多少℃？ 41．（22-23八年级下·四川广元·期末）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，甲、乙两个商店的优惠活动如下： 甲：所有商品按原价折出售； 乙：一次购买商品总额不超过元的按原价付费，超过元的部分打折． 在两家商店购买的实付款（单位：元）与商品原价（单位：元）之间的关系如图所示． (1)分别写出在两家商店购买的实付款（单位：元）与商品原价（单位：元）之间的函数关系式；（其中乙商店只写出当时的函数关系式） (2)两图象交于点，求点的坐标，并说明其实际意义； (3)请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育用品专卖店购买体育用品更合算． 【考点题型十二】其它问题 42．（22-23七年级下·山东青岛·期中）某经销商销售了一种水果，进价是元/千克，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系： 每千克售价（元） … … 每天销量 （千克） … … (1)从表格可以看出售价每下调元销售量就增加 　 　千克，每上涨元销售量就减少 　 　千克，直接写出每天销量（千克）与每千克售价（元）的函数关系式． (2)求出当售价从元/千克调整到元/千克时，求这一天的销售量是多少千克？利润多少元？ 43．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题： 材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何意义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为． (1)若，则 ； (2)利用数轴探究： ①的最小值是 ，取得最小值时的取值范围是 ； ②对任意的有理数都满足，则的取值范围为 ； (3)在一条公路上每隔千米有一个仓库（如图），共有五个仓库．号仓库存有吨货物，号仓库存有吨货物，号仓库存有吨货物，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输千米需要元的运费，那么最少要花 元运费． 44．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，某高速路有一段区间测速，限速．现有一辆大货车经过测速区，以测速区起始线为轴，以高速路路边的围栏为轴，建立平面直角坐标系如图，为区间测速货车行驶的笔直路线（轴）．． (1)该货车通过测速区间的时间为分钟（车身长忽略不计），该货车行驶的平均速度为 千米/小时，是否超速 （填“是”或“否”）； (2)在测速区起始线且距车头米的点处有一个固定激光测速仪，激光射线与 交于点； 在点 处设置可转动的另一台测速仪， 射出的激光线追踪货车头点，当车头刚好在测速区起始线时． ①求射线 所在直线的函数表达式， ②射线、射线的交点坐标； (3)若车头刚好在测速区起始线时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长． 45．（22-23八年级上·江苏·期末）高度为120厘米的圆柱形容器注满了水（即容器的水位高度为120厘米），上端有一关闭状态的注水口，底端有一关闭状态的放水口，如图1所示．现先打开放水口，放水速度为12厘米/分钟（即：仅打开放水口时，每分钟能使圆柱形容器内的水位高度下降12厘米），放水口打开一段时间后，再打开注水口，同时保持放水口开放状态，继续经过一段时间后关闭放水口，同时注水口仍保持开放状态，直至容器注满水时立即关闭注水口．圆柱形容器的水位高度记为（厘米），从打开放水口时开始计时，至容器注满水时停止计时，时间记为（分钟），已知关于的函数图象如图2所示．根据图中所给信息，解决下列问题： (1)的值为______； (2)求注水速度（注水速度即：仅打开注水口时，每分钟能使圆柱形容器内的水位高度上升的高度）； (3)求图2中线段所在直线的解析式； (4)在圆柱形容器的水位高度变化过程中，当满足：（厘米）时，时间（分钟）的取值范围是______． 【考点题型十三】几何问题 46．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A、B、C的坐标分别为、、． (1) ； (2)画出关于y轴对称的 (3)已知点P在x轴上，且，则点P的坐标是 ； (4)若y轴上存在点Q，使的周长最小，则点Q的坐标是 ． 47．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，P为线段上的一个动点，Q为第二象限内的一个动点，且满足 (1)求直线对应的函数表达式； (2)若为直角三角形，试求点P的坐标，并判断点Q是否在直线上． 48．（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”． 【问题描述】 如图，在直线上找一点使得最小？ 【问题解决】 作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当三点共线的时候，，此时为最小值（两点之间线段最短） 【应用模型】 （1）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，求使四边形周长最小的点的坐标？ （2）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在原点，点在坐标轴上，点的坐标为，为的中点，点为边上两个动点，且，要使四边形的周长最小，求点的坐标？ （3）如图，矩形中，，，点分别在矩形各边上，且，，求四边形周长的最小值？ 【拓展延伸】 如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，为函数的图象上的两个动点，则的最小值为____________． 49．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，与直线交于点． (1)求t，b的值； (2)若点在线段上运动，过点M作直线平行于y轴，该直线与直线交于点N，与x轴交于点D，如图所示． ①若，求四边形的面积； ②若M是线段的3等分点，求m的值． 【考点题型十四】动态几何问题 50．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知为正比例函数的图象上一点，轴，垂足为点B． (1)求m的值； (2)点P从O出发，以每秒4个单位的速度，沿射线方向运动．设运动时间为． ①过点P作交直线于点，若，求t的值； ②在点P的运动过程中，是否存在这样的t，使得为等腰三角形？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由． 51．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点．动点P从点O出发沿路线运动到点B停止运动．    (1)求直线的解析式； (2)当的面积等于时，求此时点P的坐标； (3)设动点P每秒运动个单位，运动时间为t（秒）．在运动过程中是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，直接写出点P运动时间t值，若不存在，请说明理由． 52．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知正方形边长为3，点D为x轴上一点，其坐标为，连接，点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线C→B→A的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒． (1)求线段的函数解析式； (2)连接，求的面积S关于t的函数解析式； (3)点P在运动过程中，是否存在某个位置使得为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 53．（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，直线经过点A，并与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标及b的值； (2)动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线AB，AC于点D，E．设点P运动的时间为秒， ①点D的坐标__________，点E的坐标为__________（均用含的式子表示） ②点P在运动过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，求出此时t的值；若不存在请说明理由． ③若设的面积为S，请直接写出S与的函数关系式． 54．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与相交于点． (1)请直接写出点、点、点的坐标：______，______，______； (2)如图2，动直线分别与直线，交于，两点． ①若，求的值． ②若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$