专题05 指数对数运算及指数对数函数（9基础题型+4提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（新疆专用）

专题05 指数对数运算及指数对数函数 指数、对数的运算 1．（23-24高一上·新疆·期末）（多选）设，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·新疆·期末）计算，其结果是 3．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末） （1）计算： （2）计算: 4．（23-24高一上·新疆·期末）化简求值： (1)； (2). 5．（23-24高一上·新疆·期末）求值： (1)； (2). 6．（23-24高一上·新疆·期末）求下列各式的值. (1) (2). 7．（23-24高一上·新疆和田·期末）化简求值: (1) (2) (3). 指数、对数不等式 1．（23-24高一上·新疆昌吉·期末）函数的定义域为 ． 2．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）函数的定义域是 ． 3．（23-24高一上·新疆·期末）不等式的解集为 ． 4．（23-24高一上·新疆·期末）已知指数函数（a＞0，且）的图象过点． (1)求a的值； (2)若，，求m＋n的值； (3)求不等式的解集． 指数对数函数恒过定点问题 1．（23-24高一上·新疆·期末）函数（且）的图像过定点，则定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22高一上·新疆阿克苏·期末）已知幂函数的图象经过点，则 ． 3．（23-24高一上·新疆·期末）函数(且)的图象恒过定点 4．（23-24高一上·新疆·期末）函数（且）的图象恒过定点 ． 5．（23-24高一上·新疆·期末）函数（）的图象经过定点，则点的坐标为 ． 反函数 1．（23-24高一上·新疆·期末）与的图象关于（　　） A．x轴对称 B．直线对称 C．原点对称 D．y轴对称 2．（21-22高一上·新疆·期末）若函数是函数（且）的反函数，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·新疆·期末）在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·新疆·期末）函数与互为反函数，且过点，则 . 指对复合函数单调性 1．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）函数的单调递增区间为 . 2．（23-24高一上·新疆·期末）求下列函数的单调区间： （1）； （2）. 3．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求不等式的解集. 4．（23-24高一上·新疆·期末）已知函数（，且）. (1)若，求函数在上的最值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 指对型函数的综合性质 1．（23-24高一上·新疆喀什·期末）的值域是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·新疆·期末）（多选）若函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数定义域为 B．时， C．的解集为 D． 3．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）（多选）已知函数，则下列有关该函数叙述正确的有（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．在和上单调递减 4．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数值域为 B．函数是增函数 C．不等式的解集为 D． 5．（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知函数，，设． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)若，求的取值范围． 指对幂比较大小 1．（23-24高一上·新疆·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·新疆·期末）设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·新疆·期末）已知，，，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）设，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·新疆·期末）已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·新疆·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·新疆·期末）已知幂函数在上单调递减，设，则大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·新疆·期末）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 指对函数图像及其性质 1．（22-23高一上·新疆·期末）已知函数的图象如图所示，则函数与在同一坐标系中的图像是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·新疆·期末）已知幂函数与的部分图像如图所示，直线，与，的图像分别交于A，B，C，D四点，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·新疆·期末）（多选）已知且，，则函数.与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·新疆·期末）（多选）如图某池塘中的浮萍蔓延后的面积与时间（月）的关系：（且），以下叙述中正确的是（    ） A．这个指数函数的底数是2 B．第5个月时，浮萍的面积就会超过 C．浮萍从蔓延到需要经过2个月 D．浮萍每个月增加的面积都相等 指数、对数函数的实际应用 1．（23-24高一上·新疆喀什·期末）浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡（观光或消费），某校数学建模社团根据调查发现：该购物中心开业10天（含10天）内，每天打卡人数与第天近似地满足函数（万人），k为正常数，且第8天的打卡人数为9万人. (1)求k的值； (2)求第10天的打卡人数 2．（23-24高一上·新疆·期末）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系为： 2 3 4 5 6 8 4 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择： ①，②，③. (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)利用和这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到6百万个. 3．（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示： 时间月 1 2 3 4 浮萍的面积 3 5 9 17 现有以下两种函数模型可供选择：①，②，其中，，，，均为常数，且． (1)直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出关于的函数解析式； (2)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到，，所经过的时间分别为，，，写出一种，，满足的等量关系式，并说明理由． 4. （23-24高一上·新疆·期末）投资理财是指投资者通过合理安排资金，运用合法的投资理财工具对资产进行管理和分配，达到保值增值的目的，从而加速资产的增长.小薛有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报20元. 方案二：第一天回报5元，以后每天比前一天多回报5元. 方案三：第一天回报0.8元，以后每天的回报比前一天翻一番. 设第天所得回报是元. (1)若小薛采用方案三进行投资，试写出关于的函数关系式. (2)若小薛计划用该笔资金投资8天，试问哪种方案所得的总回报最多？最多为多少元？ 指数、对数运算的实际应用 1．（23-24高一上·新疆·期末）已知函数，若，则 ． 2．（23-24高一上·新疆·期末）把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得.若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过，则至少要经过（取：）（   ） A． B． C． D． 利用换底公式比较大小 1．（23-24高一上·新疆·期末）设，，，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·新疆·期末）已知，，，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·新疆·期末）（多选）若，，，则下列a，b，c的大小关系表达正确的为（    ） A． B． C． D． 指数、对数函数含参综合问题 1．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）（多选）已知函数（，且），则下列结论正确的是（    ） A．函数恒过定点 B．函数的值域为 C．函数在区间上单调递增 D．若直线与函数的图像有两个公共点，则实数的取值范围是 2．（21-22高一上·新疆·期末）（多选）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则； B．若的值域为，则或； C．若，则的单调递减区间为； D．若在上单调递减，则. 3．（23-24高一上·新疆·期末）设函数，（且），若. （1）求函数的定义域； （2）判断的奇偶性，并说明理由； （3）求使成立的的集合. 4．（23-24高一上·新疆·期末）设，已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)若，判断并证明函数的单调性； (3)在（2）的条件下，函数在区间上的值域是，求的取值范围. 5．（23-24高一上·新疆·期末）已知指数函数. (1)若在上的最大值为8，求的值； (2)当时，若对恒成立，求的取值范围. 6．（23-24高一上·新疆·期末）已知函数. (1)求的值域； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 7．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数（，且）在上的最大值与最小值之和为20，记. (1)求的值； (2)求的值. 指数对数函数与二次函数综合 1．（23-24高一上·新疆·期末）已知二次函数，且关于x的不等式的解集为． (1)求实数a，b的值； (2)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围． 2．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，且的反函数为. (1)求的值； (2)若函数，问：是否存在零点，若存在，请求出零点及相应实数的取值范围：若不存在，请说明理由 3．（23-24高一上·新疆·期末）已知函数奇函数． (1)求a的值； (2)判断在上的单调性并用定义证明； (3)设，求在上的最小值． 4．（23-24高一上·新疆喀什·期末）已知幂函数在上单调递增. (1)求m的值，并确定的解析式； (2)，求的定义域和值域. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 指数对数运算及指数对数函数 指数、对数的运算 1．（23-24高一上·新疆·期末）（多选）设，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据对数的运算求解. 【详解】对A，，A正确； 对B，，B正确； 对C，，C正确； 对D，，D错误； 故选:ABC. 2．（23-24高一上·新疆·期末）计算，其结果是 【答案】 【分析】根据指数与对数的运算法则求解即可. 【详解】 故答案为 【点睛】本题主要考查了对数与指数幂的运算，熟知对数运算法则及恒等式是关键，属于基础题型. 3．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）（1）计算： （2）计算: 【答案】（1）－1；（2）16 【分析】（1）根据对数的运算性质求解即可； （2）利用分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】（1） ； （2） . 4．（23-24高一上·新疆·期末）化简求值： (1)； (2). 【答案】(1)1 (2)7 【分析】(1)根据分数指数幂的定义和根式的运算性质化简； (2)根据对数的运算法则和性质运算即可. 【详解】（1）因为，所以，， 所以原式； （2） . 5．（23-24高一上·新疆·期末）求值： (1)； (2). 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用分数指数幂运算和根式运算法则计算出答案； （2）利用指数和对数运算法则计算. 【详解】（1）原式= （2）原式= 6．（23-24高一上·新疆·期末）求下列各式的值. (1) (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实数指数幂的运算公式，准确运算，即可求解； （2）根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：由 . （2）解：由 . 7．（23-24高一上·新疆和田·期末）化简求值: (1) (2) (3). 【答案】(1) (2)1 (3)1 【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解， （2）根据对数的运算性质即可求解， （3）根据诱导公式即可求解. 【详解】（1） （2） （3） 指数、对数不等式 1．（23-24高一上·新疆昌吉·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数特征得到不等式，根据指数函数单调性得到解集. 【详解】根据函数，可得，即， ∴， 解得， 故答案为：. 2．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）函数的定义域是 ． 【答案】/ 【分析】由真数大于0，列出不等式，解得函数的定义域. 【详解】由题意，可知，即， 解得，函数定义域为. 故答案为：． 3．（23-24高一上·新疆·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性、一元二次不等式的解法求得正确答案. 【详解】依题意，，即， 由于在上单调递增，所以， ， 解得或，所以不等式的解集为. 故答案为： 4．（23-24高一上·新疆·期末）已知指数函数（a＞0，且）的图象过点． (1)求a的值； (2)若，，求m＋n的值； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由于函数过点，将点代入函数解析式即可求得a的值. （2）将，分别代入函数中，分别求得，再用对数的运算性质求得的值。 （3）将中的代换成，再由函数的单调性即可求得不等式的解集. 【详解】（1）函数(，且)的图象过点， 所以，解得.又，故 a的值为. （2）由（1）知，因为， ， 即，，所以， ， （3）不等式， 因为，所以，                 因为，在上单调递减函数， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 指数对数函数恒过定点问题 1．（23-24高一上·新疆·期末）函数（且）的图像过定点，则定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据且恒成立可解决此题． 【详解】由函数（且） 令，即， 可得， 所以函数的图象恒过定点． 故选：A． 2．（21-22高一上·新疆阿克苏·期末）已知幂函数的图象经过点，则 ． 【答案】3 【分析】将点坐标代入计算得到，计算得到答案. 【详解】的图象过点，，则，，. 故答案为：. 3．（23-24高一上·新疆·期末）函数(且)的图象恒过定点 【答案】 【分析】令对数的真数为，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可； 【详解】解：因为函数(且)， 令，解得，所以，即函数恒过点； 故答案为： 4．（23-24高一上·新疆·期末）函数（且）的图象恒过定点 ． 【答案】 【详解】试题分析：时，，图象恒过点． 考点： 对数函数的性质． 5．（23-24高一上·新疆·期末）函数（）的图象经过定点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】借助对数函数的定点问题，令，计算即可. 【详解】令，得，所以点的坐标为． 故答案为：. 反函数 1．（23-24高一上·新疆·期末）与的图象关于（　　） A．x轴对称 B．直线对称 C．原点对称 D．y轴对称 【答案】B 【分析】利用反函数的性质求解即可. 【详解】函数与函数互为反函数， 故它们的图象关于直线对称． 故选：B. 2．（21-22高一上·新疆·期末）若函数是函数（且）的反函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得出，结合可得出的值，进而可求得函数的解析式. 【详解】由于函数是函数（且）的反函数，则， 则，解得，因此，. 故选：B. 3．（23-24高一上·新疆·期末）在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题得根据即得解. 【详解】解：因为函数的图象与的图象关于直线对称， 所以 因为，所以. 故选：D 4．（23-24高一上·新疆·期末）函数与互为反函数，且过点，则 . 【答案】-1 【解析】由题意可得，再根据互为反函数的两函数图象的关系求出a的值，即可直接计算. 【详解】由题意可得，又过点，则在上， 即，解得，所以， 所以. 故答案为： 【点睛】本题考查对数函数与指数函数的关系、对数的计算，属于基础题. 指对复合函数单调性 1．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】首先求函数的定义域，再根据复合函数单调性的求解方法，即可求解. 【详解】由题得或. 函数在定义域的单调递增区间为，单调递减区间为， 又函数是减函数，所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 2．（23-24高一上·新疆·期末）求下列函数的单调区间： （1）； （2）. 【答案】（1）增区间，减区间；（2）增区间，减区间 【解析】（1）先求定义域，在定义域内研究的单调性，然后由复合函数单调性得单调区间； （2）换元，令，它是递减的，讨论的单调性，由的范围得的范围，再由复合函数单调性得单调区间． 【详解】（1）由题意知，依据二次函数的图象可得或. 且在上单调递减，在上单调递增. 又是上的减函数， ∴所求函数的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）令，且在上单调递减. 又在上单调递增，在上单调递减， 由，得， 由，得. 故所求函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，求单调区间时先求定义域，然后再由复合函数单调性得单调区间． 3．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解不等式，求出定义域，根据复合函数单调性得到单调递增区间； （2）求出，根据对数函数单调性得到，结合，求出不等式解集. 【详解】（1）令，解得或， 所以的定义域为， 由于在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 由复合函数单调性可知，的单调递增区间为； （2），故，， 即， 故，所以， 又，故不等式的解集为， 4．（23-24高一上·新疆·期末）已知函数（，且）. (1)若，求函数在上的最值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先判断复合函数的单调性，再根据单调性求最值； （2）首先求解内层函数的单调性，再讨论外层函数的单调性和定义域，即可求解参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，设， 函数在上递减，在上递增，函数在上递减， 则函数在上递增，在上递减，，，， 所以当，时，，. （2）函数在上递减，在上递增 当时，函数在上递增，所以函数在上递减，在上递增， 又，则函数在区间上递增，故满足题意； 当时，函数在上递减，所以函数在上递增，在上递减， 又，若需满足题意，则，得. 综上，的取值范围是. 指对型函数的综合性质 1．（23-24高一上·新疆喀什·期末）的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性，即可求解函数的值域. 【详解】函数单调递减，所以函数的最大值为， 最小值为，所以函数的值域为. 故选：D 2．（23-24高一上·新疆·期末）（多选）若函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数定义域为 B．时， C．的解集为 D． 【答案】BD 【分析】根据对数函数得图像性质解决即可. 【详解】由题知，， 对于A，函数定义域为，故A错误； 对于B，在上单调递减， 当时，，故B正确； 对于C，在上单调递减，，即，解得，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD 3．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）（多选）已知函数，则下列有关该函数叙述正确的有（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．在和上单调递减 【答案】BCD 【分析】求出函数的定义域，结合奇偶性、单调性逐项判断即得. 【详解】函数，由，解得， 因此的定义域为， 显然，函数是奇函数，不是偶函数，A错误，B正确； 函数，显然在单调递增， 当时，，函数在上单调递增， 于是在上单调递增，C正确； 当或时，，函数在，上单调递减， 于是在，上单调递减，D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可． 4．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数值域为 B．函数是增函数 C．不等式的解集为 D． 【答案】ACD 【分析】对于A，令，利用换元法和对数函数的性质即可求得；对于B，令由复合函数的单调性进行判断即可；对于C，利用函数的奇偶性和单调性进行解不等式；对于D，由即可求解. 【详解】对于A，令，又因为在上递增，所以，由对数函数的性质可得，的值域为R，故A正确； 对于B，因为在上递增，在上递减，由复合函数的单调性可知，为减函数，故B错误； 对于C，因为的定义域为，且, ，所以为奇函数，且在上为减函数， 不等式等价于即， 等价于，解得，故C正确； 对于D，因为且，所以 ，故D正确. 故选：ACD. 5．（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知函数，，设． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)为奇函数，理由见解析 (3) 【分析】（1）由函数特征得到不等式，求出定义域； （2）由函数奇偶性定义作出判断； （3）结合函数单调性得到不等式，求出解集. 【详解】（1）， 由，得，即的定义域为． （2）为奇函数，理由如下： 由（1）知，函数的定义域关于原点对称． ∵， ∴， ∴，故为奇函数． （3）由， 得， 解得，故的取值范围是． 指对幂比较大小 1．（23-24高一上·新疆·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和对数函数单调性和中间值比较大小 【详解】因为，所以 故选：A 2．（23-24高一上·新疆·期末）设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算，，，得到答案. 【详解】，，， 故. 故选：D 3．（23-24高一上·新疆·期末）已知，，，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合对数函数和幂函数的性质即可判断大小关系. 【详解】因为函数在上单调递增，则，即. 又因为，所以. 故选：D. 4．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性比较即可. 【详解】因为在上单调递增，且， 所以，即， 因为在上单调递减，且， 所以，即， 因为， 所以. 故选：C 5．（23-24高一上·新疆·期末）已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出、，即可判断，再利用作差法判断，即可得到，再判断，即可得解； 【详解】解：由，所以，可知，又由，有，又由，有，可得，即，故有. 故选：B 6．（23-24高一上·新疆·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，然后根据对数函数的性质，得到构造函数的单调性，即可得出结论. 【详解】由题意， 在中， 的图象在函数图象的上方，且随着的增大，两条曲线越来越接近.这说明，随着的增大，两个函数的值越来越接近. ∵所以随着的增大，比值越来越小，且趋向1. ∴是上的减函数； ∴， 故选：B. 7．（23-24高一上·新疆·期末）已知幂函数在上单调递减，设，则大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性以及定义，可得其函数解析式，利用对数函数和指数函数的单调性，比较大小，结合幂函数的奇偶性和单调性，可得答案. 【详解】由题意，可得，解得，则，显然该函数为偶函数， 由函数在其定义域上单调递增，则， 由函数在其定义域上单调递增，则， 故，即， 由函数在上单调递减，则. 故选：C. 8．（23-24高一上·新疆·期末）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出的图象，结合图象可知在上为减函数，即可得到，再由对数的运算比较、的关系，即可得解. 【详解】解：，作出的图象如图   在上为减函数. ，即. 又 故选： 【点睛】本题考查对数函数的应用，属于中档题. 指对函数图像及其性质 1．（22-23高一上·新疆·期末）已知函数的图象如图所示，则函数与在同一坐标系中的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象易得，结合指对数函数性质判断函数图象. 【详解】由幂函数图象知：， 所以与在各自定义域内都递减，显然只有D满足. 故选：D 2．（23-24高一上·新疆·期末）已知幂函数与的部分图像如图所示，直线，与，的图像分别交于A，B，C，D四点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】表示出，由幂函数的图象可得，从而得，，再由，代入化简计算，即可求解出答案. 【详解】由题意，，，根据图象可知，当时，，，因为，所以，因为，可得. 故选：B 3．（23-24高一上·新疆·期末）（多选）已知且，，则函数.与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据条件确定的范围，利用与的单调性分析即得. 【详解】因且，，则中必有一个大于1，一个小于1且大于零. 当时，有，则B项符合，当时，有，则D项符合. 故选：BD. 4．（23-24高一上·新疆·期末）（多选）如图某池塘中的浮萍蔓延后的面积与时间（月）的关系：（且），以下叙述中正确的是（    ） A．这个指数函数的底数是2 B．第5个月时，浮萍的面积就会超过 C．浮萍从蔓延到需要经过2个月 D．浮萍每个月增加的面积都相等 【答案】AC 【解析】由图像中的数据可求出函数关系式，然后逐个分析判断即可 【详解】解：将点代入中，得，所以，所以A正确， 当时，，所以B错误； 当时，，当时，，所以浮萍从蔓延到需要经过2个月，所以C正确； 由指数函数的性质可得浮萍每个月增加的面积不相等，所以D错误， 故选：AC 指数、对数函数的实际应用 1．（23-24高一上·新疆喀什·期末）浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡（观光或消费），某校数学建模社团根据调查发现：该购物中心开业10天（含10天）内，每天打卡人数与第天近似地满足函数（万人），k为正常数，且第8天的打卡人数为9万人. (1)求k的值； (2)求第10天的打卡人数 【答案】(1)8 (2)12万人 【分析】（1）根据题意，由即可求解得； （2）根据（1）中解析式直接计算即可. 【详解】（1）由题意知，， 所以，即， 解得. （2）由（1）知，， 所以， 即第10天的打卡人数约为12万人. 2．（23-24高一上·新疆·期末）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系为： 2 3 4 5 6 8 4 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择： ①，②，③. (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)利用和这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到6百万个. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）根据函数的增长速度可求解； （2）将所选的两点坐标代入函数解析式，求出参数值，可得出函数模型的解析式，再由即可求解. 【详解】（1）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小， 而在对称轴右方，随着自变量的增加，函数值的增长速度变大， 随着自变量的增加，函数值的增长速度变大， 故选择函数. （2）由题意可得，解得， 所以. 令，解得. 故至少再经过小时，细菌数列达到6百万个. 3．（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示： 时间月 1 2 3 4 浮萍的面积 3 5 9 17 现有以下两种函数模型可供选择：①，②，其中，，，，均为常数，且． (1)直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出关于的函数解析式； (2)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到，，所经过的时间分别为，，，写出一种，，满足的等量关系式，并说明理由． 【答案】(1)应选择函数模型②， (2)，理由见解析 【分析】（1）根据给定数据，选出函数模型并取3组数建立方程组求解即得. （2）利用（1）中函数模型，代入计算判断即得. 【详解】（1）由表中数据知，时间每增加1个月，浮萍的面积增加量逐渐变大，而函数模型①成线性关系， 因此应选择函数模型②， 当依次取1，2，3得，解得，即，当时，，符合题意， 所以关于的函数解析式为． （2）由（1）知，，则有，理出如下： 依题意，得，，， 即，，，于是， 则， 所以． 4．投资理财是指投资者通过合理安排资金，运用合法的投资理财工具对资产进行管理和分配，达到保值增值的目的，从而加速资产的增长.小薛有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报20元. 方案二：第一天回报5元，以后每天比前一天多回报5元. 方案三：第一天回报0.8元，以后每天的回报比前一天翻一番. 设第天所得回报是元. (1)若小薛采用方案三进行投资，试写出关于的函数关系式. (2)若小薛计划用该笔资金投资8天，试问哪种方案所得的总回报最多？最多为多少元？ 【答案】(1)， (2)第三种方案所得的总回报最多，最多为204元. 【分析】（1）由题意，若小薛采用方案三进行投资，则第天所得回报成指数型函数增长，由此可直接写出关于的函数关系式； （2）分别计算按照三种投资方案投资的回报，比较即可得出结果. 【详解】（1）由题意，若小薛采用方案三进行投资，则，. （2）若小薛采用方案一进行投资8天，则所得的总回报元； 若小薛采用方案二进行投资8天，则所得的总回报元； 若小薛采用方案三进行投资8天，则所得的总回报元. 因为，所以第三种方案所得的总回报最多，最多为204元. 指数、对数运算的实际应用 1．（23-24高一上·新疆·期末）已知函数，若，则 ． 【答案】1 【详解】由题意,函数f(x)=|lnx|，∵f(m)=f(n)，∴|lnm|=|lnn| ∵m>n>0，∴−lnm=lnn，即lnm+lnn=0，可得nm=1， 则 . 2．（23-24高一上·新疆·期末）把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得.若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过，则至少要经过（取：）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中定义的公式，代入相关数值，再列出不等式求解即可. 【详解】的物块经过后的温度， 的物块经过后的温度. 要使得两块物体的温度之差不超过，则， 即，解得. 故选：A. 利用换底公式比较大小 1．（23-24高一上·新疆·期末）设，，，则、、的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先根据对数函数的单调性比较出的大小，再根据的正负得到的大小关系，然后利用中间值 “”比较出的大小，由此判断出的大小关系. 【详解】因为，， 所以且在上单调递减，且 所以，所以， 又因为，，所以， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间值“”比较大小. 2．（23-24高一上·新疆·期末）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用中间特殊值法进行对数式比较大小，对于可通过作商进行比较即可. 【详解】由题意得，，，， 所以， 又因为，所以， 所以， 即, 又因为， 即． 故选：D． 3．（23-24高一上·新疆·期末）（多选）若，，，则下列a，b，c的大小关系表达正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用对数运算性质得到将化为底相同的对数，然后利用对数函数的相关性质得到，而，最终比较出三者大小关系. 【详解】，， 所以根据对数函数的图像与单调性知， 即， ，所以， 故选：AD. 指数、对数函数含参综合问题 1．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）（多选）已知函数（，且），则下列结论正确的是（    ） A．函数恒过定点 B．函数的值域为 C．函数在区间上单调递增 D．若直线与函数的图像有两个公共点，则实数的取值范围是 【答案】BD 【分析】根据函数解析式确定即可判断A；根据指数函数的值域来判断B；利用复合函数的单调性与指数函数的性质即可判断C；分情况作图分析，求直线与函数的图像有两个公共点时，可得实数a的取值范围，可判断D. 【详解】已知函数（，且），则， 对于A，，函数恒过定点，故A错误； 对于B，，则，所以， 函数的值域为，故B正确； 对于C，当时，则单调递减，又，所以， 所以，显然此时在上单调递减； 当时，则单调递增，又，所以， 所以，显然此时在上单调递减；故C错误； 对于D，的图象由的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方得到， 分和两种情况分别作图，如图所示：    当时，，显然不合题意； 当时，此时，即，故D正确. 故选：BD 2．（21-22高一上·新疆·期末）（多选）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则； B．若的值域为，则或； C．若，则的单调递减区间为； D．若在上单调递减，则. 【答案】BD 【分析】依次判断每个选项，根据定义域为得到，A错误；根据值域为得到或，B正确；取特殊值排除C，根据单调性得到，D正确，得到答案. 【详解】对选项A：的定义域为，则，解得，错误； 对选项B：的值域为，则，解得或，正确； 对选项C：，取不满足定义域，错误； 对选项D：在上单调递减，则,，解得，正确. 故选：BD 3．（23-24高一上·新疆·期末）设函数，（且），若. （1）求函数的定义域； （2）判断的奇偶性，并说明理由； （3）求使成立的的集合. 【答案】（1）；（2）奇函数，理由见解析；（3）时，；时， 【分析】（1）由题意得到解析式，得到关于的不等式，解得的范围，从而得到定义域；（2）对进行化简，得到，从而进行判断；（3）分和两种情况，分别得到关于的不等式，从而解出的范围，得到答案. 【详解】（1）函数，， 所以 所以，解得， 所以函数定义域为 （2）由（1）可知，定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数 （3），即 即 所以，当时，得到，解得， 当时，得到，解得， 综上所述，时，；时， 【点睛】本题考查求函数的定义域，判断函数的奇偶性，解对数不等式，属于简单题. 4．（23-24高一上·新疆·期末）设，已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)若，判断并证明函数的单调性； (3)在（2）的条件下，函数在区间上的值域是，求的取值范围. 【答案】(1)或1 (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）直接根据奇函数定义，代入解析式即可求出参数的值； （2）由（1）知，当时，得，代入解析式中，利用单调性的定义即可证明函数的单调性； （3）首先根据函数单调性可得，即，令，将原问题转化为在上有两个不同实根，然后根据二次函数根的分布与系数关系求解参数的取值范围即可. 【详解】（1）由函数为奇函数，有，有， 有， 有，有，得. ①当时，，定义域为，，符合题意； ②当时，，定义域为， ，符合题意. 由上知或1； （2）当时，有，即定义域为，结论为：在上单调递增. 设上任意两个实数，，且. ， 而，，， ∴，即得证，则在上单调递增； （3）由知，由知，所以， 由（2）知在上单调递增，结合题意有 得，即m，n是的两个不同实根， 令，则在上有两个不同实根， 有可得， 故实数的取值范围为. 5．（23-24高一上·新疆·期末）已知指数函数. (1)若在上的最大值为8，求的值； (2)当时，若对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)或2 (2) 【分析】（1）根据题意，结合指数函数的性质，分类讨论，即可求解； （2）方法一：由在上单调递减，转化为，即可求解； 方法二：根据题意，转化为对恒成立，令，结合哈市的单调性，得到，即可求解. 【详解】（1）解：当时.在上单调递增，可得，解得； 当时，在上单调递减，可得， 解得. 综上可得，实数的值为或2. （2）解：方法一：由函数在上单调递减， 当时，在上单调递增，且， 所以，即， 又因为，所以，所以实数的取值范围是. 方法二：由题意得，不等式对恒成立， 即对恒成立， 令， 因为，所以为增函数，所以，所以， 又因为，解得，所以实数的取值范围是. 6．（23-24高一上·新疆·期末）已知函数. (1)求的值域； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简函数表达式，分离常数，判断函数的单调性，进而求函数值域； （2）构造函数，明确函数单调性，把函数不等式转化为代数不等式，求参数的取值范围. 【详解】（1） 因为，所以，， 所以的值域为. （2）因为，是增函数.所以是减函数. 因为是增函数，所以是减函数. 令函数，则是减函数. ，即. 则，所以，化简得. 因为关于的不等式有解，所以，解得或. 故的取值范围为. 7．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数（，且）在上的最大值与最小值之和为20，记. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)1 (2)1011 【分析】（1）根据指数函数的单调性进行求得，再利用代入法，结合指数幂的运算性质进行求解即可； （2）结合（1）的结论进行求解即可. 【详解】（1）函数（，且）在上的最大值与最小值之和为20， 而函数在上是单调函数，∴， 解得或（舍去），则，故， 所以 ； （2）由（1）知，. ∵，，…，. ∴ 【点睛】关键点睛：利用指数函数的单调性、指数幂运算性质是解题的关键. 指数对数函数与二次函数综合 1．（23-24高一上·新疆·期末）已知二次函数，且关于x的不等式的解集为． (1)求实数a，b的值； (2)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三个二次之间的关系列式运算； （2）换元，根据恒成立问题利用参变分离可得对时恒成立，再结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）由题意可得：方程的两根为，且 则，解得， 故. （2）由（1）可得， 令，则对时恒成立， 故对时恒成立， ∵，当且仅当，即时成立， ∴，即实数m的取值范围为. 2．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，且的反函数为. (1)求的值； (2)若函数，问：是否存在零点，若存在，请求出零点及相应实数的取值范围：若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据反函数的概念求出函数的解析式，再利用对数的运算性质和对数恒等式可求得所求代数式的值； （2）设，对判别式的符号分类讨论，判断函数的零点个数，结合二次方程以及对数与指数的互化可得出函数的零点. 【详解】（1）由题意可得， 所以. （2）因为，令，则， 设，则， ①当，即时，函数无零点； ②当，即时，令解得， 由解得，所以此时的零点为； ③当，即时，的根为，， 由可得或，解得或， 此时的零点为和； 综上所述，当时，函数无零点； 当时，函数的零点为； 当时，函数的零点为和. 3．（23-24高一上·新疆·期末）已知函数奇函数． (1)求a的值； (2)判断在上的单调性并用定义证明； (3)设，求在上的最小值． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据是定义域为的奇函数，由求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）由，令，转化为二次函数，利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）解：是定义域为的奇函数， ； 经检验符合题意； （2）在上单调递增．证明如下： ， 则， 因为， 所以，所以，， 可得． 即当时，有 所以在上单调递增． （3） ， 令，又，则， 所以，，对称轴为， 则当时，； 当，； 当时，． 4．（23-24高一上·新疆喀什·期末）已知幂函数在上单调递增. (1)求m的值，并确定的解析式； (2)，求的定义域和值域. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据幂函数的定义求解，再由单调性检验即可得解； （2）根据对数型函数的定义域求定义域，由换元法结合对数函数性质求值域. 【详解】（1）因为函数为幂函数, 则，解得或. 当时，在上单调递增，满足条件. 当时，在上单调递减，不满足条件. 综上所述， （2）由(1)知， 由解得， 所以的定义域为. 设，则， 此时的值域，就是函数的值域. 在区间上是增函数，所以； 所以函数的值域为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 （23-24高一上·新疆·期末） $$