专题05 圆锥曲线压轴小题归类（5大基础题+7大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（安徽专用）

专题05 圆锥曲线压轴小题归类 经典基础题 题型1 轨迹 1．（2021高二上·安徽合肥·期末）给出下列说法： ①方程表示一个圆； ②若，则方程表示焦点在轴上的椭圆； ③已知点，若，则动点的轨迹是双曲线的右支； ④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切， 其中正确说法的个数是（    ） A． B． C． D． 2．（安徽合肥·）已知抛物线，过定点（，且）作直线交抛物线于两点，且直线不垂直轴，在两点处分别作该抛物线的切线，设的交点为，直线的斜率为，线段的中点为，则下列四个结论：①；②当直线绕着点旋转时，点的轨迹为抛物线；③当时，直线经过抛物线的焦点；④当时，直线垂直轴.其中正确的个数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2021安徽师大附中·期末）已知圆的圆心为，设为圆上任一点，点的坐标为 ，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹是 A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆 4．（23-24安徽·部分学校联考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，P是E上异于A，B的一个动点，若，则（    ） A．E的离心率为 B．直线PA与PB的斜率之积为 C．满足的点P有4个 D． 5．（高二上·安徽师大附中·）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，给出下列四个结论： ①曲线W关于原点对称； ②曲线W关于直线y＝x对称； ③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于； ④曲线W上的点到原点距离的最小值为 其中，所有正确结论的序号是 ． 题型2 立体几何中的圆锥轨迹 1．（20-21高二上·安徽淮南·期末）已知正方体的棱长为4，为的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列命题正确的个数为（    ）． ①若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为； ②若点到直线与直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线； ③若与所成的角为，则点的轨迹为双曲线的一支； ④若与平面所成的角为，则点的轨迹为圆． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（22-23高二下·安徽淮北树人中学·期末）已知空间直线、和平面满足：，，.若点，且点到直线、的距离相等，则点的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 3．（21-22高二上·安徽合肥·期末）在如图所示的棱长为1的正方体中，点P在侧面所在的平面上运动，则下列四个命题中真命题的个数是（     ） ①若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线 ②若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个周长为的圆 ③若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆 ④若点P到平面的距离与到直线CD的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·安徽六安一中）如图1，在等腰梯形中，，且为的中点，沿将翻折，使得点到达的位置，构成三棱锥（如图2），则（    ） A．在翻折过程中，与可能垂直 B．在翻折过程中，二面角无最大值 C．当三棱锥体积最大时，与所成角小于 D．点在平面内，且直线与直线所成角为，若点的轨迹是椭圆，则三棱锥的体积的取值范围是 5．（·安徽池州·）如图，直线平面，垂足为，直线是平面的一条斜线，斜足为，其中，过点的动直线交平面于点，，则下列说法正确的是 ．    ①若，则动点B的轨迹是一个圆； ②若，则动点B的轨迹是一条直线； ③若且，则动点B的轨迹是抛物线； ④若且，则动点B的轨迹是椭圆； ⑤若且，则动点B的轨迹是双曲线． 题型3第一、二、三定义 1．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二上·安徽六安·期中）已知实数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽）已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别是，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为（    ） A． B． C．2 D．4 4．（22-23高二安徽定远中学·期末）设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是（    ） A．双曲线离心率的最小值为4 B．离心率最小时双曲线的渐近线方程为 C．若直线同时与两条渐近线交于点，，则 D．若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值 5．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）已知椭圆的上、下顶点分别为M，N，点P为椭圆上任意一点（不同于M，N），若点Q满足，则点Q到坐标原点距离的取值范围为 ． 题型4 双曲线渐近线 1．（20-21高二上安徽皖北五校联盟·期末）已知实数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2021·安徽宣城期末）已知点F为抛物线的焦点，，点M为抛物线上一动点，当最小时，点M恰好在以A，F为焦点的双曲线C上，则双曲线C的渐近线斜率的平方是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22·安徽亳州·）已知点为双曲线上任意一点，、为其左、右焦点，为坐标原点．过点向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为、，则下列所述错误的是（    ） A．为定值 B．、、、四点一定共圆 C．的最小值为 D．存在点满足、、三点共线时，、、三点也共线 4．（23-24安徽蚌埠毛坦厂）已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列命题正确的是（   ） A．其中一条渐近线的倾斜角为 B．当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上 C．为定值 D．的最小值为 5．（2024安徽）倾斜角为锐角的直线经过双曲线的左焦点，分别交双曲线的两条渐近线于两点，若线段的垂直平分线经过双曲线的右焦点，则直线的斜率为 . 题型5 抛物线几何性质 1．（21-22·安徽安庆）已知抛物线的焦点到准线的距离为，点在抛物线上，点在圆上，直线分别与圆仅有1个交点，且与抛物线的另一个交点分别为，若直线的倾斜角为，则（    ） A． B．或 C．或 D． 2．（22-23安徽师大附中）已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2019·安徽宣城）若随机变量，且.已知为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，若点在抛物线上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·安徽芜湖·）已知抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q．则下列结论正确的是（    ） A． B．若，P是抛物线上一动点，则的最小值为 C．（O为坐标原点）的面积为 D．，则 5．（23-24高二上·安徽宣城·期末）已知抛物线与圆交于两点，且，直线过的焦点，且与交于两点，则的最小值为 . 优选提升题 题型01与向量结合型 1．（2024·安徽合肥·八中）已知双曲线，、分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P使得线段与y轴交于点E，，线段的中点H满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽蚌埠铁路中学）已知椭圆：与双曲线：有共同的焦点，，且在第一象限的交点为，满足（其中为原点）.设，的离心率分别为，，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 3．（20-21安徽师大附中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二上·安徽黄山·期末）已知椭圆分别为的左、右焦点，A，B分别为的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1.下列结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．存在点，使得 C．若，则外接圆的面积为 D．的最小值为 5．（23-24高二上·安徽淮北实验中学·期末）已知双曲线的方程为，其左右焦点分别为，已知点坐标为，双曲线上的点满足，设内切圆半径为，则 ， ． 题型02 焦点三角形内切圆 1．（2020·安徽安庆·）双曲线：的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为1，直线，的斜率分别为，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 2．（2022·安徽黄山·）已知椭圆C：的焦点为，，第一象限点在C上，且，则的内切圆半径为（    ） A． B． C．1 D． 3．（2023·安徽就安庆）双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高二上·安徽·期末）已知椭圆左右焦点分别为，点是椭圆上任意一点，，则下列结论正确的是（    ） A．的内切圆半径的最大值为 B． C． D．的内心在一定圆上 5．（2023安徽安庆）抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为 ． 题型03 圆锥曲线切线 1．（高二上·安徽池州·）已知点是椭圆上的动点，过点作圆的切线，为其中一个切点，则的取值范围为 A． B． C． D． 2．（安徽淮北）已知椭圆，，分别为左、右焦点．P为平面内一点，过P作椭圆的一条切线，切点为点A．若恒成立，则满足条件的P的轨迹为（    ） A．两个椭圆 B．两个圆 C．两条双曲线的一部分 D．两条抛物线的一部分 3．（2021·安徽）已知椭圆：的两个顶点在直线上，，分别是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过点作椭圆的切线与直线交于点，设直线，的斜率分别为，，则的值为（    ） A．- B． C．- D．- 4．（23-24高二上安徽·期末）如图，双曲线的光学性质:是双曲线的左、右焦点，从发出的光线m射在双曲线右支上一点P，经点P反射后，反射光线的反向延长线过；当P异于双曲线顶点时，双曲线在点P处的切线平分.若双曲线C的方程为，则下列结论正确的是（　　） A．若射线n所在直线的斜率为k，则 B．当时， C．当时， D．若点T的坐标为，直线与C相切，则 5．（2021安徽淮南）已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于、两点，且（为非零常数）.以为切点作抛物线的切线交直线于点，则的长度为 .（结果用含式子表示）. 题型04 圆锥曲线切线切点弦 1．（安徽芜湖·）已知椭圆的右焦点为．圆上所有点都在椭圆的内部，过椭圆上任一点作圆的两条切线，为切点，若，则椭圆C的离心率为 A． B． C． D． 2．（20-21高二上·安徽宿州·期末）定义：若点在椭圆上，则以 为切点的切线方程为：.已知椭圆 ，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线 ，，切点分别为，，则直线恒过定点（ ） A． B． C． D． 3．（21-22安徽·期末）已知抛物线，点P为直线上的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线AB的距离的最大值为（    ） A．1 B．4 C．5 D． 4．（23-24安徽）已知双曲线的一条渐近线方程为，圆上任意一点处的切线交双曲线于两点M、N（   ） A．或2 B．若与双曲线左、右两支相交，则的斜率的取值范围是 C．满足的直线有且仅有一条 D．为定值，且定值为2 5．（高二下·安徽宿州·期末）直线为曲线，的一条切线，若直线与抛物线相切于点，且，，则的值为 . 题型05双曲线渐近线型 1．（2021·安徽宣城期末）已知点F为抛物线的焦点，，点M为抛物线上一动点，当最小时，点M恰好在以A，F为焦点的双曲线C上，则双曲线C的渐近线斜率的平方是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24安徽皖北五校·期末）已知实数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽）已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别是，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为（    ） A． B． C．2 D．4 4．（23-24安徽合肥一六八）双曲线：，左、右顶点分别为，，为坐标原点，如图，已知动直线与双曲线左、右两支分别交于，两点,与其两条渐近线分别交于，两点,则下列命题正确的是（    ） A．存在直线，使得 B．在运动的过程中，始终有 C．若直线的方程为，存在，使得取到最大值 D．若直线的方程为，，则双曲线的离心率为 5．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知双曲线的离心率为，左焦点为．若过点的直线斜率为，且与双曲线左支交于两点，则的取值范围为 ；过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且与另一条渐近线交于点，若，则 ． 题型06 焦点弦 1．（2024·安徽蚌埠·）已知抛物线，过其焦点F的直线交C于A，B两点，M为AB中点，过M作准线的垂线，垂足为N，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（高二上·安徽· ）设抛物线的焦点为，过的直线交该抛物线于、两点，则的最小值为（    ） A．13 B．11 C．9 D．7 3．（21-22·安徽·）已知双曲线的左右焦点为，，过的直线交双曲线于M，N两点在第一象限），若与的内切圆半径之比为3：2，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽合肥）椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．过点的直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为8 B．若上存在点，使得，则的取值范围为 C．若直线与恒有公共点，则的取值范围为 D．若为上一点，，则的最小值为 5．已知椭圆（）的离心率为，其上焦点与抛物线的焦点重合．若过点的直线交椭圆于点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图所示），则四边形面积的最小值为 ． 专题07 范围与最值 1．（2021·安徽马鞍山·）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px()的焦点为F，直线x=3与抛物线C交于A，B两点，｜AF|=4，圆E为的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023安徽合肥六中）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于点，以线段为直径的圆上存在点，使得以为直径的圆过点，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽宣城）已知双曲线C：的右焦点为F，离心率为，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23·安徽芜湖·期末）已知椭圆：的左、右焦点为，，点，，为椭圆上一动点，过点的直线交椭圆于，两点，则下列说法正确的有（    ） A．若的垂直平分线过点，则 B．的最小值为 C．若，则的面积的最大值为 D．若的面积取最大值时的直线不唯一，则 5．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）已知椭圆的上、下顶点分别为M，N，点P为椭圆上任意一点（不同于M，N），若点Q满足，则点Q到坐标原点距离的取值范围为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 圆锥曲线压轴小题归类 经典基础题 题型1 轨迹 1．（2021高二上·安徽合肥·期末）给出下列说法： ①方程表示一个圆； ②若，则方程表示焦点在轴上的椭圆； ③已知点，若，则动点的轨迹是双曲线的右支； ④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切， 其中正确说法的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，依次分析题目中的四个命题，综合即可得答案. 【详解】根据题意， 对于①，方程变形为，不是圆的方程， 故①错误； 对于②，方程变形为，若，则有，则方程表示焦点在轴上的椭圆，故②错误； 对于③，点，则，若，则动点的轨迹是一条射线（以为端点向右的射线），故③错误； 对于④，设抛物线方程为，焦点坐标为，准线方程为， 过焦点的弦为，过端点，分别做准线的垂线，垂足为，，由抛物线的定义知， ，，则， 由梯形的中位线知，，即以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切，故④正确. 综上，正确说法的个数为个. 故选：B. 【点睛】本题考查曲线与方程，注意常见圆锥曲线的定义与方程的形式，属于基础题. 2．（安徽合肥·）已知抛物线，过定点（，且）作直线交抛物线于两点，且直线不垂直轴，在两点处分别作该抛物线的切线，设的交点为，直线的斜率为，线段的中点为，则下列四个结论：①；②当直线绕着点旋转时，点的轨迹为抛物线；③当时，直线经过抛物线的焦点；④当时，直线垂直轴.其中正确的个数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】分析：先求出直线AB的方程，再联立抛物线的方程，结合韦达定理得到①④正确. 详解： 设点Q,则AB的方程为: 因为直线AB过点M(m,0),所以所以AB: 又因为，所以所以，所以 所以所以PQ垂直y轴.所以①④正确.故答案为C 点睛：（1）本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.(2)韦达定理在解析几何中用的比较普遍，对于方程， 3．（2021安徽师大附中·期末）已知圆的圆心为，设为圆上任一点，点的坐标为 ，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹是 A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆 【答案】D 【分析】结合图形根据椭圆的定义求解. 【详解】如图： 连接，则，所以， 所以动点的轨迹是以为焦点，长轴为8的椭圆. 故选D. 【点睛】本题考查椭圆的定义. 4．（23-24安徽·部分学校联考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，P是E上异于A，B的一个动点，若，则（    ） A．E的离心率为 B．直线PA与PB的斜率之积为 C．满足的点P有4个 D． 【答案】ACD 【分析】根据求得离心率，根据关系求得判断B， 根据关系判断C，设，计算的范围判断D. 【详解】对于A，设椭圆的半焦距为，离心率为， 因为，所以，左边分子分母同时除以，得，解得，故A正确; 对于B，设，因为，所以， 则，故B错误; 对于C，因为，所以的上、下顶点在以为直径的圆内，故该圆与E有4个交点， 因此满足的点有4个，故C正确; 对于的方程可写为，设， 则 ，当时取等号，则，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：椭圆的左、右顶点分别为A，B， P是E上异于A，B的一个动点，则. 5．（高二上·安徽师大附中·）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，给出下列四个结论： ①曲线W关于原点对称； ②曲线W关于直线y＝x对称； ③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于； ④曲线W上的点到原点距离的最小值为 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【详解】试题分析：由题意，化简得，用代方程中的所得方程与原方程不相同，因此①错；把原方程中互换，方程不变，因此曲线关于直线对称，②正确；当时，方程为，即，记，曲线 在内部，而，因此③正确；当时，曲线方程为，当时，方程为或，由于曲线关于直线对称，由，解得或，曲线上点到原点的最短距离为，④正确，故填②③④. 考点：曲线的方程与方程的曲线． 【名师点晴】本题考查曲线的方程与方程的曲线．解析几何的本质就是用代数方法研究几何的性质，为了研究曲线的性质，我们就要求出曲线的方程，求曲线方程的基本步骤: （1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标; （2）写出适合条件p的点M的集合P={M|p（M）}; （3）用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）=0; （4）化方程f（x，y）=0为最简形式; （5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 题型2 立体几何中的圆锥轨迹 1．（20-21高二上·安徽淮南·期末）已知正方体的棱长为4，为的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列命题正确的个数为（    ）． ①若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为； ②若点到直线与直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线； ③若与所成的角为，则点的轨迹为双曲线的一支； ④若与平面所成的角为，则点的轨迹为圆． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对于①，根据勾股定理求出，再根据中位线定理求出点到的中点的距离，可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，根据圆的面积公式可得结果； 对于②，将点到直线的距离转化为点到点的距离，再根据抛物线的定义可得结果； 对于③，建立空间直角坐标系，利用空间向量可求得结果； 对于④，根据线面角可得，可知的轨迹为以为圆心，为半径的圆. 【详解】①若，因为，，所以，所以点到的中点的距离为，又因为点到平面的距离等于为定值，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其面积为，故①正确； ②因为平面，所以点到直线的距离为，即点到点的距离与到直线的距离相等，又不在直线上，所以点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，故②正确； ③以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，，设， 则，， 因为与所成的角为，所以即，化简得，所以点的轨迹为双曲线，不是双曲线的一支，故③不正确； ④因为与平面所成的角为，即，所以，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故④正确. 所以正确命题的个数为3个. 故选：C 【点睛】关键点点睛：掌握圆、双曲线、抛物线的定义是解题关键. 2．（22-23高二下·安徽淮北树人中学·期末）已知空间直线、和平面满足：，，.若点，且点到直线、的距离相等，则点的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【分析】画图分析，根据题意建立等量关系即可得到点的轨迹是双曲线. 【详解】如图：   不妨设在平面内射影为，则与相交，与垂直， 设直线与平面的距离为，则在平面内，以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则到的距离为，到的距离为，从而到直线的距离为， 所以，即，故轨迹为双曲线， 故选：C. 3．（21-22高二上·安徽合肥·期末）在如图所示的棱长为1的正方体中，点P在侧面所在的平面上运动，则下列四个命题中真命题的个数是（     ） ①若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线 ②若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个周长为的圆 ③若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆 ④若点P到平面的距离与到直线CD的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据线面关系、距离关系可分别对每一个命题判断. 【详解】若点P总满足，又，，，可得对角面，因此点P的轨迹是直线，故①正确． 若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是以点B为圆心，以1为半径的圆（在平面内），因此圆的周长为，故②正确． 点P到直线AB的距离PB与到点C的距离PC之和为1，又，则动点P的轨迹是线段BC，因此③不正确． 点P到平面的距离（即到直线的距离）与到直线CD的距离（即到点C的距离）相等，则动点P的轨迹是以线段BC的中点为顶点，直线BC为对称轴的抛物线（在平面内），因此④正确． 故有①②④三个. 故选:C． 4．（2024·安徽六安一中）如图1，在等腰梯形中，，且为的中点，沿将翻折，使得点到达的位置，构成三棱锥（如图2），则（    ） A．在翻折过程中，与可能垂直 B．在翻折过程中，二面角无最大值 C．当三棱锥体积最大时，与所成角小于 D．点在平面内，且直线与直线所成角为，若点的轨迹是椭圆，则三棱锥的体积的取值范围是 【答案】AC 【分析】先确定未翻折之前，图形中的数量关系和位置关系，翻折时，当时可证平面平面，从而可证，判断A；且此时二面角取得最大值，判断B；还是此时，当三棱锥体积最大，可求异面直线与所成角，判断C；对D，根据圆锥曲线的定义，判断二面角的取值范围，求出高的取值范围，从而的三棱锥的体积的取值范围，判断D. 【详解】如图1： 在未折起之前，有，， ，.. 又，，所以. 沿将翻折，则点轨迹为一个圆，且圆面一直和垂直，如图： 当时，，又，平面， 所以平面，平面，所以平面平面， 又平面，平面平面，，所以平面. 平面，所以.故A正确. 此时，，所以即为二面角的平面角为，是二面角的最大值，故B错误； 此时三棱锥的高等于，高取得最大值，又底面不变，所以三棱锥的体积最大. 如图： 取中点，连接，，则即为一面直线与所成角， 在中，，，， 所以， 所以，故C正确； 对D：点在平面内，且直线与直线所成角为，若点的轨迹是椭圆，根据圆锥曲线的概念，二面角应该在之间取值，且不能为（此时点的轨迹是圆）， 当二面角或时，， 当二面角时，， 所以点在平面内，且直线与直线所成角为，且点的轨迹是椭圆时，，故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：用一个平面截圆锥体，要想得到的截面是一个椭圆，截面不能和圆锥的母线相交，且截面不能与圆锥的轴垂直（此时的截面是圆）. 5．（·安徽池州·）如图，直线平面，垂足为，直线是平面的一条斜线，斜足为，其中，过点的动直线交平面于点，，则下列说法正确的是 ．    ①若，则动点B的轨迹是一个圆； ②若，则动点B的轨迹是一条直线； ③若且，则动点B的轨迹是抛物线； ④若且，则动点B的轨迹是椭圆； ⑤若且，则动点B的轨迹是双曲线． 【答案】②③． 【分析】 根据空间双锥模型中圆锥曲线轨迹特点，判断各项描述对应的圆锥曲线即可. 【详解】 由①，与重合，动直线形成一个平面与平面M的平行，动点的轨迹不存在，故错误； 由②，则，所以动直线形成一个平面与垂直，平面与平面M交于一条直线，则是动点的轨迹，故正确； 由③且，则动直线形成一个以为轴线的圆锥，圆锥母线与轴线的夹角是， 由，则圆锥的一条母线与平面M平行，所以动点的轨迹看成一个平行于圆锥母线的平面截圆锥所成的图形是抛物线，则动点B的轨迹是抛物线，故正确； 由④时，动点的轨迹看成一个与圆锥母线成一个角度的平面截圆锥所成的图形，此时的轨迹是双曲线，故错误； 由⑤动点的轨迹看成一个与圆锥母线成一个角度的平面截圆锥所成的图形，此时的轨迹是椭圆，故错误. 故答案为：②③ 题型3第一、二、三定义 1．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的性质求出的最大值，由点与抛物线右支的位置求出的最小值，再利用双曲线定义求解即得. 【详解】双曲线的半焦距，圆的圆心是双曲线的左焦点，令右焦点为， 圆半径为，显然点在圆外，，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号，由双曲线的定义， 所以，即的最小值为. 故选：D    【点睛】结论点睛：设为圆的圆心，半径为，圆外一点到圆上的距离的最小值为，最大值为. 2．（21-22高二上·安徽六安·期中）已知实数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】实数，满足，通过讨论，得到其图象是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图象分析可得的取值就是图象上一点到直线距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案. 【详解】因为实数，满足， 所以当时，，其图象是位于第一象限，焦点在轴上的椭圆的一部分（含点）， 当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的双曲线的一部分， 当时，其图象是位于第二象限，焦点在轴上的双曲线的一部分， 当时，其图象不存在， 作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下： 任意一点到直线的距离 所以，结合图象可得的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍， 双曲线，其中一条渐近线与直线平行 通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，小于两平行线与之间的距离的倍， 设与其图像在第一象限相切于点， 由 因为或（舍去） 所以直线与直线的距离为 此时，所以的取值范围是．故选：C． 3．（2024·安徽）已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别是，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】延长，交于点,由已知是的平分线，且，所以得到等腰三角形，所以,且点是中点，结合原点是中点，由中位线结合双曲线定义得到，进而求出；最后距离之积利用点到直线距离公式计算即可. 【详解】如图，延长，交于点,由已知是的平分线，且， 所以,且点是中点. 由原点是中点，可得，又， 所以，又离心率为，，. 设点，所以，即， 所以点P到两条渐近线距离之积为： .故选：B.    【点睛】结论点睛：本题利用三线合一结合中位线、双曲线定义得出是关键，这个具有一般性，可以作为相应的二级结论，最后双曲线上点到两条渐近线距离之积也具有一般性. 4．（22-23高二安徽定远中学·期末）设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是（    ） A．双曲线离心率的最小值为4 B．离心率最小时双曲线的渐近线方程为 C．若直线同时与两条渐近线交于点，，则 D．若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值 【答案】BCD 【分析】由离心率公式，结合基本不等式可判断A；根据可得双曲线方程，然后可得渐近线方程，可判断B；将问题转化为AB的中点与CD的中点是否重合的问题，设直线方程，联立渐近线方程求C，D坐标，再由点差法求AB的中点坐标，然后可判断C；结合图形可知，利用导数求切线方程，联立渐近线方程求E，F的横坐标，代入化简可判断D. 【详解】由题知，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，的最小值为2，故A错误； 当时，双曲线方程为， 此时渐近线方程为，即，B正确； 若直线的斜率不存在，由对称性可知；当斜率存在时，设直线方程为，，AB的中点为，CD的中点为 则，由点差法可得，所以， 所以，又双曲线渐近线方程为，联立分别求解可得，所以， 所以M，N重合，则，或，故C正确；      若，则双曲线方程为，渐近线方程为， 不妨设点A在第一象限，双曲线在第一象限的方程为， ，得切线斜率为，方程为， 设点E，F坐标分别为，分别作垂直于y轴，垂足分别为P，Q，E在第一象限，F在第四象限，则 又，所以， 联立渐近线方程和切线方程可解得， 整理得，两式相乘得，所以， 所以，D正确. 故选：BCD   【点睛】本题考察圆锥曲线的综合运用，C选项需要灵活处理，将问题转化为AB的中点与CD的中点是否重合的问题，利用点差法和直接计算可解；D选项需结合图象将面积灵活转化，在求解时，要结合式子的结构特征灵活处理. 5．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）已知椭圆的上、下顶点分别为M，N，点P为椭圆上任意一点（不同于M，N），若点Q满足，则点Q到坐标原点距离的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，代入椭圆方程可得，再由题意可得，设，直接列方程即可出轨迹的方程，所以，由两点间的距离公式结合三角函数的性质可求出答案. 【详解】设，由已知， ，，所以， 设，因为，所以， 所以，，即，∴轨迹的方程为. 所以，点Q到坐标原点距离为， 因为，，所以.点Q到坐标原点距离的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键是求出，即可求出轨迹的方程，设，由两点的距离公式结合三角函数的性质即可得出答案. 题型4 双曲线渐近线 1．（20-21高二上安徽皖北五校联盟·期末）已知实数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将实数，满足通过讨论，得到其图像是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图像分析可得的取值就是图像上一点到直线距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案. 【详解】解：因为实数，满足， 所以当时，其图像位于焦点在轴上的椭圆第一象限， 当时，其图像位于焦点在轴上的双曲线第四象限， 当时，其图像位于焦点在轴上的双曲线第二象限， 当时，其图像不存在， 作出圆锥曲线和双曲线的图像如下，其中图像如下： 任意一点到直线的距离所以 结合图像可得的范围就是图像上一点到直线距离范围的2倍， 双曲线，其中一条渐近线与直线平行 通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值 当曲线上一点靠近双曲线的渐近线时取得最大值，不能取等号 设与其图像在第一象限相切于点 由因为或（舍去）所以直线与直线的距离为此时直线与直线的距离为 此时所以的取值范围是故选：B 2．（2021·安徽宣城期末）已知点F为抛物线的焦点，，点M为抛物线上一动点，当最小时，点M恰好在以A，F为焦点的双曲线C上，则双曲线C的渐近线斜率的平方是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知与抛物线相切时，取得最小值，求出点的坐标，利用双曲线定义求出2a，结合，可求得，再利用求得结果. 【详解】由抛物线的对称性，不妨设为抛物线第一象限内点，如图所示： 故点作垂直于抛物线的准线于点B，由抛物线的定义知，易知轴，可得 当取得最大值时，取得最小值，此时与抛物线相切， 设直线方程为：，联立，整理得， 其中，解得：，由为抛物线第一象限内点，则， 则，解得：，此时，即或 所以点的坐标且由题意知，双曲线的左焦点为，右焦点为 设双曲线的实轴长为2a，则，，又，则，故渐近线斜率的平方为 故选：B 3．（21-22·安徽亳州·）已知点为双曲线上任意一点，、为其左、右焦点，为坐标原点．过点向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为、，则下列所述错误的是（    ） A．为定值 B．、、、四点一定共圆 C．的最小值为 D．存在点满足、、三点共线时，、、三点也共线 【答案】D 【分析】对于A，设，表示出，即可判断A；对于B，由题目可得，M，N两点在以OP为直径的圆上，故可判断B；对于C，由双曲线的对称性可知， 由，故可判断C；对于D，利用双曲线的对称性，不妨设直线垂直一条渐近线，垂足为N；直线垂直另一条渐近线且交双曲线于点P，易知直线与直线的交点始终落在y轴上，可判断D. 【详解】解：设，点到渐近线的距离为， 同理，则， ∵，即，∴（定值），故A正确； ∵，∴和均为直角三角形，，两点在以为直径的圆上，故B正确； 由双曲线的对称性可知，其中， ∵∴成立，故C正确； 如图利用双曲线的对称性，不妨设直线垂直一条渐近线，垂足为；直线垂直另一条渐近线且交双曲线于点，易知直线与直线的交点始终落在轴上，故D不正确. 故选：D. 4．（23-24安徽蚌埠毛坦厂）已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列命题正确的是（   ） A．其中一条渐近线的倾斜角为 B．当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上 C．为定值 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径求得，即可得渐近线判断A；设出的内切圆与其三边的切点，利用切线的性质得出点横坐标判断B；设点，求出，代入点在双曲线上的条件判断C；利用余弦定理求，并由基本不等式求最小值判断D. 【详解】双曲线，左右焦点为，且渐近线为， 由圆与渐近线相切，且圆心为，半径为1， 所以（负值舍），故渐近线方程为， 其中一条渐近线斜率为，即倾斜角为，A对； 由点为双曲线右支上（异于右顶点），设内切圆与三边切点分别为，如图， 由圆的切线性质知， ，即， 所以，当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上，B错； 设双曲线右支上的动点，则， 又双曲线的渐近线方程为，则为定值，C对； 由A分析，知直线为，倾斜角为，如下图示， 所以，则，结合C项的分析， 故， 当且仅当时等号成立，D对. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：利用双曲线渐近线与圆相切及点线距离公式求参数，确定双曲线方程，综合运用双曲线定义、圆的切线性质、余弦定理、基本不等式知识判断各选项. 5．（2024安徽）倾斜角为锐角的直线经过双曲线的左焦点，分别交双曲线的两条渐近线于两点，若线段的垂直平分线经过双曲线的右焦点，则直线的斜率为 . 【答案】/ 【分析】设，，依题意，利用点差法推出，结合图形得到，即得，与前式联立消去，计算即得. 【详解】  设中点为，两渐近线可写成，设， 则，且①-②可得， 整理得，，即(*)， 如图，在中，，则, 故，即， 将此式代入（*）得，解得依题意，，则. 故答案为：. 题型5 抛物线几何性质 1．（21-22·安徽安庆）已知抛物线的焦点到准线的距离为，点在抛物线上，点在圆上，直线分别与圆仅有1个交点，且与抛物线的另一个交点分别为，若直线的倾斜角为，则（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意求得，得到，设过点与圆相切直线的斜率为，得到切线方程，利用，结合韦达定理，求得，联立方程组 ，取得，得到， 结合，列出方程，即可求解. 【详解】由抛物线的焦点到准线的距离为，可得， 所以抛物线的方程为， 又由，可得圆心坐标为，半径， 设过点与圆相切的直线的斜率为， 可得方程为，即，即， 则圆心到直线的距离为， 整理得，可得， 联立方程组 ，可得， 即，所以， 所以， 因为直线的倾斜角为，所以 可得， 解得或. 故选：C. 2．（22-23安徽师大附中）已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，进而得，再结合余弦定理得，进而根据基本不等式求解得. 【详解】解：设， 过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则， 因为点为线段的中点， 所以根据梯形中位线定理得点到抛物线的准线的距离为， 因为， 所以在中，由余弦定理得， 所以， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故. 所以的最大值为. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，余弦定理，基本不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，设，进而结合抛物线的定于与余弦定理得， ，再求最值. 3．（2019·安徽宣城）若随机变量，且.已知为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，若点在抛物线上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件先得到的值即得到了的值，再利用抛物线的定义由的值可得到点的坐标为，要求的最小值即要在准线上找一点到两个定点的距离之和最小，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值. 【详解】随机变量，且， 1和关于对称， 即， 设为第一象限中的点，， 抛物线方程为：，， 解得即， 关于准线的对称点为， 根据对称性可得： 当且仅当三点共线时等号成立.如图 故选：D 【点睛】本题考查了利用抛物线的定义求解距离，定直线上的动点到两个定点的距离之和的最小值，关键是利用对称性把距离之和最小值转化为三点共线问题，属于较难题. 4．（22-23高二上·安徽芜湖·）已知抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q．则下列结论正确的是（    ） A． B．若，P是抛物线上一动点，则的最小值为 C．（O为坐标原点）的面积为 D．，则 【答案】ABD 【分析】利用求得，然后结合导数、抛物线的定义、三角形的面积、两角差的正切公式对命题进行分析，从而确定正确选项. 【详解】抛物线的焦点为， 直线的方程为，设， 由消去并化简得，， ， 由得， 所以抛物线方程，， 不妨设在第一象限，在第四象限，则， ，则， ，则， 所以， 所以，故A正确； 过点作准线的垂线，垂足为点， 则， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值是，故B正确； 到直线的距离为， 所以，故C错误； ， ，故D正确.故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：求解直线和抛物线相交所得交点有关的问题，关键是联立直线的方程和抛物线的方程，写出根与系数关系，结合根与系数关系，设而不求来对问题进行求解. 5．（23-24高二上·安徽宣城·期末）已知抛物线与圆交于两点，且，直线过的焦点，且与交于两点，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由已知可求得抛物线方程，设直线与抛物线联立方程组可求得，进而根据基本不式求|的最小值即可. 【详解】抛物线与圆交于两点，且， 得到第一象限交点(1，2)在抛物线上，所以， 解得，所以C：，则， 设直线，与联立得， 设，所以， ， ， ， 当且仅当时等号成立. 即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛： 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 优选提升题 题型01与向量结合型 1．（2024·安徽合肥·八中）已知双曲线，、分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P使得线段与y轴交于点E，，线段的中点H满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，设，表示出的方程求得，则，由表示出P的坐标，代入双曲线方程，整理计算即可求解. 【详解】由，得的横坐标为，设， 则直线的方程为，令，得，即， 所以线段的中点，则， 由，得，则， 即，代入双曲线方程得，即，整理得， 由，解得.故选：A 【点睛】思路点睛：解答本题的思路是根据点的坐标表示出点的坐标，由中点坐标公式表示出点的坐标，结合平面向量数量积的坐标表示求得，代入双曲线方程计算即可. 2．（23-24高二上·安徽蚌埠铁路中学）已知椭圆：与双曲线：有共同的焦点，，且在第一象限的交点为，满足（其中为原点）.设，的离心率分别为，，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，利用椭圆与双曲线的定义表示出，，由得出点的横坐标为，利用勾股定理可得，即，再利用基本不等式可求出最值，即可求出此时的值. 【详解】如图，作，垂足为， 根据椭圆与双曲线的定义可得， 解得，，，， 设点，则在中， 即点的横坐标为，即，，由勾股定理可得，整理得，即， ，当且仅当时等号成立，.故选：C. 3．（20-21安徽师大附中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，由此求得的坐标，将的坐标代入双曲线方程，化简求得，从而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】依题意， 所以， ，设直线的倾斜角为，则为钝角，， 结合解得， 设，则，， 将点坐标代入双曲线方程得，而， 所以，化简得， ，， ，，所以双曲线的渐近线方程为.故选：A 【点睛】本题主要解题的两个关键点，一个是根据向量的数量积为零判断出，另一个是将坐标代入双曲线方程后的运算. 4．（2024高二上·安徽黄山·期末）已知椭圆分别为的左、右焦点，A，B分别为的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1.下列结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．存在点，使得 C．若，则外接圆的面积为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】A由题可得，然后可计算离心率；B等价于判断方程组是否有解；C设，由余弦定理及题目条件可得，然后由正弦定理可得外接圆半径，即可判断选项正误；D设，可将化为，后由基本不等式可得最小值. 【详解】A选项，因为点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1， 故有：，解得：， 椭圆的离心率，故A正确； B选项，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上， 又因为方程组无解，故B错误； C选项，设，则，若，即， 在中，由余弦定理可得 ，因为，所以， 根据正弦定理可知，，故C正确； D选项，设，则： ， 令，则，所以， 当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：对于外接圆问题，常联想正弦定理，外心，向量等知识；对于最值问题，常联想基本不等式，函数单调性，导数等知识. 5．（23-24高二上·安徽淮北实验中学·期末）已知双曲线的方程为，其左右焦点分别为，已知点坐标为，双曲线上的点满足，设内切圆半径为，则 ， ． 【答案】 2 8 【分析】利用内切圆性质结合双曲线定义，可推出内切圆圆心的横坐标即为a，再结合向量数量积的运算推出P点在角平分线上，从而确定内切圆圆心即为P，从而求得内切圆半径，根据三角形面积公式结合双曲线定义，即可求得的值. 【详解】设内切圆与三边的切点分别为，如图， 则，， Q在双曲线右支上，由双曲线定义得，则，又，故， 即E点横坐标为a，即内切圆的圆心横坐标为a，由，得，即，即为的角平分线，由于点坐标为，内切圆的圆心横坐标为，则P即为内切圆的圆心，E为切点，则内切圆半径为；， 故答案为：2；8 【点睛】关键点睛：本题考查双曲线定义的应用以及焦点三角形内切圆半径的求解，综合了向量数量积的应用，解答的关键是利用内切圆性质结合双曲线定义，推出内切圆圆心的横坐标即为a，再结合向量数量积的运算推出P点在角平分线上，从而确定内切圆圆心. 题型02 焦点三角形内切圆 1．（2020·安徽安庆·）双曲线：的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为1，直线，的斜率分别为，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，设圆与三边的切点分别为，，，得到，故，计算得到答案. 【详解】如图，设圆与三边的切点分别为，，， 根据圆切线的性质和双曲线的定义，有. 又，所以， 所以，即点的横坐标为3，所以. 因为，，所以.故选：B. 【点睛】本题考查了双曲线中的斜率问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 2．（2022·安徽黄山·）已知椭圆C：的焦点为，，第一象限点在C上，且，则的内切圆半径为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义可知，由椭圆方程可知,进而利用向量数量积的坐标运算和第一象限点在C上可求出点的纵坐标，最后利用内切圆的性质和三角形面积公式即可求出答案. 【详解】由已知条件得，，，则,, 设点的坐标为，则，， ，即①， ∵第一象限点在C上，∴则，即②，联立解得, 由椭圆的定义得， 设的内切圆半径为，则， 又∵,∴，即.故选：. 3．（2023·安徽就安庆）双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意画出图，由已知求出的值，找出的坐标，由的内切圆圆心分别为，进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出的底和高，利用三角形的面积公式计算即可. 【详解】由题意如图所示：由双曲线，知， 所以，所以，所以过作垂直于轴的直线为， 代入中，解出，由题知的内切圆的半径相等， 且，的内切圆圆心的连线垂直于轴于点， 设为，在中，由等面积法得： 由双曲线的定义可知：由，所以，所以，解得：， 因为为的的角平分线，所以一定在上，即轴上，令圆半径为， 在中，由等面积法得：， 又所以， 所以，所以，， 所以，故选：A. 4．（2025高二上·安徽·期末）已知椭圆左右焦点分别为，点是椭圆上任意一点，，则下列结论正确的是（    ） A．的内切圆半径的最大值为 B． C． D．的内心在一定圆上 【答案】ABC 【分析】根据椭圆的定义、焦点三角形的性质、三角函数的和差公式等知识，运用椭圆的性质求出焦点三角形的一些关系，再利用三角函数知识对每个选项进行分析判断. 【详解】椭圆，，，则，，. 分析选项A，设，，.根据椭圆的定义. 设的内切圆半径为，根据三角形面积（为点纵坐标）. ，因为在椭圆上，，所以，故选项A正确. 分析选项B，在中，根据正弦定理. ，故选项B正确. 分析选项C，设离心率为，则，由正弦定理可得， 即，又，而，即，因为， ， 所以，即，化简得，即， 所以，故选项C正确. 分析选项D，令，则．的面积：， 其中为内切圆的半径，解得.另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得： 从而有．消去得到点的轨迹方程为：.本题中：，代入上式可得轨迹方程为：. 所以的轨迹是以为长轴的椭圆去掉点，选项D错误.   故选：ABC. 5．（2023安徽安庆）抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或．当时，，故舍去，所以抛物线方程为∴，所以是正三角形，边长为，其内切圆方程为，如图所示，∴．设点（为参数），则，∴．    【点睛】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点的坐标，可利用内切圆的方程设出点含参数的坐标，进而得到，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键. 题型03 圆锥曲线切线 1．（高二上·安徽池州·）已知点是椭圆上的动点，过点作圆的切线，为其中一个切点，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 因为，所以. 故选B. 点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法： （１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系； （２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形； （３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小． 2．（安徽淮北）已知椭圆，，分别为左、右焦点．P为平面内一点，过P作椭圆的一条切线，切点为点A．若恒成立，则满足条件的P的轨迹为（    ） A．两个椭圆 B．两个圆 C．两条双曲线的一部分 D．两条抛物线的一部分 【答案】B 【解析】略 3．（2021·安徽）已知椭圆：的两个顶点在直线上，，分别是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过点作椭圆的切线与直线交于点，设直线，的斜率分别为，，则的值为（    ） A．- B． C．- D．- 【答案】A 【分析】根据题意求出，，进而写出椭圆的方程，设点的切线方程为，与椭圆联立，由得到，然后依次表示出相关点的坐标，利用斜率公式表示出，进而化简整理即可求出结果. 【详解】∵椭圆的两顶点在直线上，∴，，∴椭圆的方程为，∴，，设点的切线方程为，，联立，消去得，∵直线与椭圆相切，∴，即，∴，，∴，∴点，又，∴，∴，设点，又在切线上，∴，∴，∴， 故选：A. 【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 4．（23-24高二上安徽·期末）如图，双曲线的光学性质:是双曲线的左、右焦点，从发出的光线m射在双曲线右支上一点P，经点P反射后，反射光线的反向延长线过；当P异于双曲线顶点时，双曲线在点P处的切线平分.若双曲线C的方程为，则下列结论正确的是（　　） A．若射线n所在直线的斜率为k，则 B．当时， C．当时， D．若点T的坐标为，直线与C相切，则 【答案】ABD 【分析】对于A，由题意直线与双曲线有两个交点，结合渐近线斜率即可判断；对于B，结合双曲线定义勾股定理进行验算即可判断；对于C，由双曲线定义、余弦定理以及三角形面积公式即可判断；对于D，由双曲线定义结合角平分线定理即可验证. 【详解】因为双曲线C的方程为，所以，渐近线方程为. 对于A，因为从发出的光线m射在双曲线右支上一点P，经点P反射后，反射光线的反向延长线过. 所以直线与双曲线有两个交点，所以，故A正确； 对于B，由双曲线的定义，结合图形，可得，又， 所以， 因为， 所以，解得，故B正确； 对于C，设，在中，由余弦定理得， 又，， 所以， ，故C错误； 对于D，因为平分，由角平分线定理知，， 所以，又，所以，解得，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：充分利用双曲线定义以及解三角形知识、灵活转换利用已知条件，并通过数学结合思想是顺利解题的关键. 5．（2021安徽淮南）已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于、两点，且（为非零常数）.以为切点作抛物线的切线交直线于点，则的长度为 .（结果用含式子表示）. 【答案】 【分析】设直线的方程为，联立直线的方程与抛物线的方程，列出韦达定理，结合得出点的横坐标，然后利用导数求出抛物线在点处的切线方程，并求出点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出的长度. 【详解】设点、，抛物线的焦点为，设直线的方程为， 联立直线的方程与抛物线的方程，消去得， 由韦达定理得，. ，，，，， ，得. 抛物线的函数解析式为，求导得， 则抛物线在点处的切线方程为，即， 联立，解得，所点， 因此，， 故答案为. 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，涉及到切线方程以及两点间的距离公式的应用，对于直线与抛物线的综合问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行求解，考查计算能力，属于中等题. 题型04 圆锥曲线切线切点弦 1．（安徽芜湖·）已知椭圆的右焦点为．圆上所有点都在椭圆的内部，过椭圆上任一点作圆的两条切线，为切点，若，则椭圆C的离心率为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：分析可知，当且仅当点为椭圆的左、右顶点时，取得最小值和大值，根据条件列出的方程组，可解出的值，求解离心率. 详解：如下图可知，当且仅当点为椭圆的左顶点时，最小， 即， 在中，，则， 同理，当点为椭圆的右顶点时，最大，可得 解得，离心率，故选B. 点睛：本题的关键是能够分析出当取得最大值及最小值时，点的位置，再结合平面几何知识列出方程，联立而后求出的值. 2．（20-21高二上·安徽宿州·期末）定义：若点在椭圆上，则以 为切点的切线方程为：.已知椭圆 ，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线 ，，切点分别为，，则直线恒过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，，即可表示出的方程，又在上，即可得到，即可得到直线的方程，从而求出直线过的定点； 【详解】解：因为点在直线上，设，，，所以的方程为，又在上，所以①，同理可得②； 由①②可得的方程为，即，即，所以，解得，故直线恒过定点 故选：C 3．（21-22安徽·期末）已知抛物线，点P为直线上的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线AB的距离的最大值为（    ） A．1 B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】先求得直线AB的方程，再去求点到直线AB的距离的最大值即可解决. 【详解】设，切点， 由题意知在点A处的切线斜率存在且不为0，设在点A处切线斜率为 在点A处切线方程可设为由，可得 由，可得则在点A处切线方程可化为，即由题意知在点B处的切线斜率存在且不为0，设在点B处切线斜率为 在点B处切线方程可设为由，可得由，可得则在点B处切线方程可化为，即又两条切线均过点P，则， 则直线AB的方程为，即则直线AB恒过定点 点到直线AB的距离的最大值即为点到的距离 故点到直线AB的距离的最大值为.故选：D 4．（23-24安徽）已知双曲线的一条渐近线方程为，圆上任意一点处的切线交双曲线于两点M、N（   ） A．或2 B．若与双曲线左、右两支相交，则的斜率的取值范围是 C．满足的直线有且仅有一条 D．为定值，且定值为2 【答案】BD 【分析】根据渐近线方程可得双曲线方程为，即可求解A，联立直线与双曲线方程，根据二次方程根的分布，即可求解B，根据弦长公式，结合直线有无斜率即可求解C，根据勾股定理，代入韦达定理即可化简求解D. 【详解】若焦点在轴上，则渐近线方程为，所以，解得， 当焦点在轴上，则渐近线方程为，所以,无解，故A错误， 故双曲线方程为，设切线方程为，则， 联立，要使与双曲线左、右两支相交， 则需要，化简可得，故，解得，故B正确， 当直线有斜率时，设,则，且， 则解得，当直线无斜率时，，代入双曲线中可得，此时，故满足的直线有2条，故C错误， 代入以及可得 所以，故选：BD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 5．（高二下·安徽宿州·期末）直线为曲线，的一条切线，若直线与抛物线相切于点，且，，则的值为 . 【答案】1 【分析】分别根据两曲线设出切线方程，消去其中一个变量，转换为函数零点问题 【详解】设切线与曲线的切点为，则切线的方程为 又直线是抛物线的切线，故切线的方程为 且，消去得，即， 设，则 令，则， 在上递增，此时，上无零点； 在上递减，可得， 时，有解，即时符合题意，故 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数求切线方程及零点存在性定理的应用．需注意直线是两条曲线的共切线，但非公共点． 题型05双曲线渐近线型 1．（2021·安徽宣城期末）已知点F为抛物线的焦点，，点M为抛物线上一动点，当最小时，点M恰好在以A，F为焦点的双曲线C上，则双曲线C的渐近线斜率的平方是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知与抛物线相切时，取得最小值，求出点的坐标，利用双曲线定义求出2a，结合，可求得，再利用求得结果. 【详解】由抛物线的对称性，不妨设为抛物线第一象限内点，如图所示： 故点作垂直于抛物线的准线于点B，由抛物线的定义知，易知轴，可得 当取得最大值时，取得最小值，此时与抛物线相切， 设直线方程为：，联立，整理得， 其中，解得：，由为抛物线第一象限内点，则， 则，解得：，此时，即或 所以点的坐标且由题意知，双曲线的左焦点为，右焦点为 设双曲线的实轴长为2a，则，， 又，则， 故渐近线斜率的平方为故选：B 2．（23-24安徽皖北五校·期末）已知实数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将实数，满足通过讨论，得到其图像是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图像分析可得的取值就是图像上一点到直线距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案. 【详解】解：因为实数，满足， 所以当时，其图像位于焦点在轴上的椭圆第一象限， 当时，其图像位于焦点在轴上的双曲线第四象限， 当时，其图像位于焦点在轴上的双曲线第二象限， 当时，其图像不存在， 作出圆锥曲线和双曲线的图像如下，其中图像如下： 任意一点到直线的距离 所以 结合图像可得的范围就是图像上一点到直线距离范围的2倍， 双曲线，其中一条渐近线与直线平行 通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值 当曲线上一点靠近双曲线的渐近线时取得最大值，不能取等号 设与其图像在第一象限相切于点 由 因为或（舍去） 所以直线与直线的距离为 此时 直线与直线的距离为 此时 所以的取值范围是 故选：B 3．（2024·安徽）已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别是，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】延长，交于点,由已知是的平分线，且，所以得到等腰三角形，所以,且点是中点，结合原点是中点，由中位线结合双曲线定义得到，进而求出；最后距离之积利用点到直线距离公式计算即可. 【详解】如图，延长，交于点,由已知是的平分线，且， 所以,且点是中点. 由原点是中点，可得，又， 所以，又离心率为，，. 设点，所以，即， 所以点P到两条渐近线距离之积为： . 故选：B.    【点睛】结论点睛：本题利用三线合一结合中位线、双曲线定义得出是关键，这个具有一般性，可以作为相应的二级结论，最后双曲线上点到两条渐近线距离之积也具有一般性. 4．（23-24安徽合肥一六八）双曲线：，左、右顶点分别为，，为坐标原点，如图，已知动直线与双曲线左、右两支分别交于，两点,与其两条渐近线分别交于，两点,则下列命题正确的是（    ） A．存在直线，使得 B．在运动的过程中，始终有 C．若直线的方程为，存在，使得取到最大值 D．若直线的方程为，，则双曲线的离心率为 【答案】BD 【分析】根据与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点可对A项判断；设直线：分别与双曲线联立，渐近线联立，分别求出和 坐标，从而可对B、C项判断；根据，求出，从而可对D项判断. 【详解】对于A项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A项错误； 对于B项：设直线:，与双曲线联立，得：， 设，，由根与系数关系得：，， 所以线段中点， 将直线：，与渐近线联立得点坐标为， 将直线：与渐近线联立得点坐标为 所以线段中点， 所以线段与线段的中点重合，所以，故B项正确； 对于C项：由B项可得，，因为为定值， 当越来越接近渐近线的斜率时，趋向于无穷， 所以会趋向于无穷，不可能有最大值，故C项错误； 对于D项：联立直线与渐近线，解得， 联立直线与渐近线，解得由题可知，， 所以即 ，解得，所以，故D项正确. 故选：BD. 5．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知双曲线的离心率为，左焦点为．若过点的直线斜率为，且与双曲线左支交于两点，则的取值范围为 ；过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且与另一条渐近线交于点，若，则 ． 【答案】 或 【分析】由渐近线的性质与离心率定义计算可得空一；分、在轴同侧与在轴异侧进行讨论，结合倾斜角与斜率的关系，结合正切函数二倍角公式计算即可得，即可得离心率. 【详解】空一：由题意可得，则； 空二：不妨设渐近线，若、在轴同侧， 则，， 即，解得，则； 若、在轴异侧，则， ，即，解得，则；综上所述，或.故答案为：；或. 【点睛】关键点点睛：第二个空的关键点在于正确使用渐近线方程，由，故可从其倾斜角与斜率的关系入手建立相应等式. 题型06 焦点弦 1．（2024·安徽蚌埠·）已知抛物线，过其焦点F的直线交C于A，B两点，M为AB中点，过M作准线的垂线，垂足为N，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线定义可求得点坐标，进一步求得直线的方程，联立与抛物线的方程后，利用韦达定理可求得中点的坐标，继而求得点的坐标，利用两点间的距离公式计算即可. 【详解】由题可知，,准线方程为，过点作于,于,于, 设，由抛物线的定义知, 所以，所以，，所以, 所以,则直线的方程为：，联立直线与抛物线方程： ，消去得，，则， 所以，，所以,则, 所以，故选：B. 2．（高二上·安徽· ）设抛物线的焦点为，过的直线交该抛物线于、两点，则的最小值为（    ） A．13 B．11 C．9 D．7 【答案】C 【分析】设,若直线的斜率存在,设出方程并与抛物线方程联立,可得到,再由焦半径公式,可得,利用基本不等式可求出最小值,若直线的斜率不存在,求出此时即可,比较两种情况的最小值,即可得到答案. 【详解】由题意,,设,若直线的斜率存在,设为,则直线的方程为,联立,即,, 又,,, 则,当且仅当时,取等号.若直线的斜率不存在,则直线的方程为,则,此时.综上,的最小值为9.故选:C. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的交点问题,考查了焦半径公式的应用,考查了一元二次方程及韦达定理的应用,考查了利用基本不等式求最值,考查了学生的计算求解能力,属于中档题. 3．（21-22·安徽·）已知双曲线的左右焦点为，，过的直线交双曲线于M，N两点在第一象限），若与的内切圆半径之比为3：2，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】数形结合，设，，，依据双曲线定义可知，利用直线的倾斜角与大小相等，简单计算即可 【详解】 设圆与的三边的切点分别为，如图， 令，，， 根据双曲线的定义可得，化简得， 由此可知，在中，轴于，同理轴于， 轴过圆心作的垂线，垂足为，易知直线的倾斜角与大小相等，不妨设圆的半径，设圆的半径，则，，所以根据勾股定理，，所以，；故选：B 【点睛】关键点睛：得到是关键，说明轴，同时直线的倾斜角与大小相等便于计算 4．（2024·安徽合肥）椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．过点的直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为8 B．若上存在点，使得，则的取值范围为 C．若直线与恒有公共点，则的取值范围为 D．若为上一点，，则的最小值为 【答案】BD 【分析】对于A：根据椭圆的定义结合焦点所在的位置分析判断；对于B：分析可知当位于短轴顶点时，最大，此时，分类讨论焦点所在位置分析求解；对于C：因为直线过定点，可知定点在椭圆内或椭圆上，列式求解即可；对于D：设，根据两点间距离公式结合二次函数分析求解. 【详解】对于选项A：由椭圆定义可得的周长为，但焦点不一定在轴上，故A错误； 对于选项B：若，则，当位于短轴顶点时，最大，此时， 可知，即，当时，由，解得； 当时，由，解得； 综上所述：的取值范围为，故B正确； 对于选项C：因为直线过定点，则，即， 又因为，且，所以的取值范围为，故C错误； 对于选项D：若，即椭圆， 设，可得， 当时，，故D正确．故选：BD． 5．已知椭圆（）的离心率为，其上焦点与抛物线的焦点重合．若过点的直线交椭圆于点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图所示），则四边形面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】先由条件求得椭圆方程，再分类讨论直线斜率存在与否，联立直线与椭圆方程求得，联立直线与抛物线方程求得，从而得到四边形面积关于的表达式，由此得解. 【详解】由题意得，即，又，所以， 由，得，所以椭圆的方程为.由题意得过点的直线的斜率不为零， 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 设，，，，联立，消去得，易知，则，， 所以， 抛物线的方程为，直线方程为， 联立，消去得，则， 所以， 所以， 因为，所以，，； 当直线的斜率不存在时，，，所以； 综上，，所以四边形面积的最小值为. 故答案为：. 专题07 范围与最值 1．（2021·安徽马鞍山·）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px()的焦点为F，直线x=3与抛物线C交于A，B两点，｜AF|=4，圆E为的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知及抛物线的定义，可求，进而得抛物线的方程，可求，，的坐标，直线的方程，可得圆的半径，求得圆心，设的坐标，求得的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围． 【详解】解：由题意，设，所以，解得， 所以抛物线的方程为，，，， 所以直线的方程为， 设圆心坐标为，，所以，解得，即， 圆的方程为，不妨设，设直线的方程为，则， 根据，解得，由，解得， 设，所以， 因为，所以． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是：首先求出圆的方程为，然后利用直线OM与圆E切于点M，求出M点的坐标，引入圆的参数方程表示N点坐标，再根据向量数量积的坐标表示及辅助角公式，可得所求范围．. 2．（2023安徽合肥六中）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于点，以线段为直径的圆上存在点，使得以为直径的圆过点，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题得直线AB的方程为即y=x-1,设A， 联立 所以，|AB|= 所以AB为直径的圆E的圆心为（3,2），半径为4. 所以该圆E的方程为. 所以点D恒在圆E外，圆E上存在点P,Q，使得以PQ为直径的圆过点D(-2,t)，即圆E上存在点P,Q，使得DP⊥DQ，显然当DP,DQ与圆E相切时，∠PDQ最大，此时应满足 ∠PDQ，所以，整理得.解之得 ，故选D. 点睛：本题的难点在于分析转化，本题的分析转化，主要是利用了数形结合的思想，通过数形结合把问题转化得简洁明了. 如果不用数形结合，本题解题会很复杂. 3．（23-24高二上·安徽宣城）已知双曲线C：的右焦点为F，离心率为，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由双曲线的对称性与定义得到，关于的表达式，从而利用题设条件与余弦定理得到关于的表达式，再利用基本不等式即可得解. 【详解】如图，记双曲线C的左焦点为，连接，由对称性可知，四边形是平行四边形， 则，因为，则， 设，则，又， 所以，即，，则， 因为，所以， 在中，， 即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 此时由于，当且仅当时，等号成立， 注意当时，，不满足题意， 故，所以当时，有解， 且由得，满足题意，所以的最小值为．   故选：B    【点睛】关键点睛：本题的关键是利用双曲线定义和余弦定理得到，最后利用基本不等式求出最值. 4．（22-23·安徽芜湖·期末）已知椭圆：的左、右焦点为，，点，，为椭圆上一动点，过点的直线交椭圆于，两点，则下列说法正确的有（    ） A．若的垂直平分线过点，则 B．的最小值为 C．若，则的面积的最大值为 D．若的面积取最大值时的直线不唯一，则 【答案】BCD 【分析】若的垂直平分线过点，可得，利用焦半径公式可求得点坐标，即可算出，可判断A错误；利用椭圆定义和三角形两边之和与差的关系可知当四点共线时取到最小值为，即B正确；设出直线方程与椭圆方程联立，写出的面积表达式，再根据基本不等式即可得出面积最大值，可判断C；若的面积取最大值时的直线不唯一，可知面积取最大值时的取值不唯一，利用基本不等式可得出，进而确定的取值范围即可判断D. 【详解】由题意可知，，椭圆离心率 对于A，若的垂直平分线过点，则， 设，由焦半径公式可知，，可得， 此时，所以A错误； 对于B，由，，可知，三点共线，如下图所示： 利用椭圆定义可知，，即 所以 ，当且仅当四点共线时等号成立； 所以， 即的最小值为，所以B正确； 对于C，若，则即为右焦点，设直线的方程为， 联立整理得，所以 的面积为 由于，所以，当且仅当时等号成立， 所以的面积，即的面积的最大值为，所以C正确； 对于D，设直线的方程为.联立直线和椭圆方程整理得， ，即 此时的面积为 而 若的面积取最大值时的直线不唯一，所以取最大值时，满足题意得不止一个，即等号成立 当且仅当时，即成立 而，时，直线唯一不合题意， 所以，又，所以，即D正确. 故选：BCD 5．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）已知椭圆的上、下顶点分别为M，N，点P为椭圆上任意一点（不同于M，N），若点Q满足，则点Q到坐标原点距离的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，代入椭圆方程可得，再由题意可得，设，直接列方程即可出轨迹的方程，所以，由两点间的距离公式结合三角函数的性质可求出答案. 【详解】设，由已知， ，， 所以， 设，因为， 所以， 所以，， 即，∴轨迹的方程为. 所以， 点Q到坐标原点距离为， 因为，，所以. 点Q到坐标原点距离的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键是求出，即可求出轨迹的方程，设，由两点的距离公式结合三角函数的性质即可得出答案. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！48 学科网（北京）股份有限公司 $$