专题04 圆锥曲线离心率归类（5大基础题+10大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（安徽专用）

专题04 圆锥曲线离心率归类 经典基础题 题型1 定义型 1．（23-24高二上·安徽宣城·）与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出双曲线的离心率和渐近线方程，然后逐项求解即可判断. 【详解】双曲线中，，，，渐近线， 对于A：，，，，渐近线，故A错误； 对于B ：，，，，渐近线，故B错误； 对于C ：，，，，渐近线，故C正确； 对于D：，，，，渐近线，故D错误.   故选：C. 2.（2024安徽重点高中联盟）已知椭圆（且），则“C的离心率，是”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据椭圆离心率定义，对参数的取值进行分类讨论，分别判断充分性和必要性即可. 【详解】椭圆（且）， 当C的离心率，若，有，解得，即充分性不成立； 当时，得椭圆，此时离心率为，即必要性成立. 所以“C的离心率，是”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（23-24高二上·安徽亳州涡阳县）已知分别是椭圆的右顶点和上顶点，若原点到直线的距离是椭圆的短轴长的，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据直线截距式方程求出所在的直线方程，再根据题意建立关于，的等式，化简求出的值后，代入离心率公式即可. 【详解】由题意知，所以直线的方程为，即， 原点到直线的距离，整理得， 所以椭圆的离心率.故选：D. 4．（23-24高二下·安徽淮北·、）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线为椭圆 B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C．“或”是“曲线为双曲线”的充要条件 D．不存在实数使得曲线为离心率为的双曲线 【答案】CD 【分析】根据椭圆双曲线方程的特点分别判断每个选项即可. 【详解】若，则曲线方程为表示圆，故A错误； 当时，曲线方程为，表示双曲线，其渐近线方程为，故B错； 要使曲线为双曲线，，解得或，故“或”是“曲线为双曲线”的充要条件，故C对； 若曲线为离心率为，则，又，所以， 则，或，两个方程均无解，故D正确. 故选：CD 5．（2022·安徽合肥·）已知双曲线C：（），以C的焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据圆心到直线的距离小于半径，即可得的范围，进而可得离心率范围. 【详解】双曲线C的渐近线方程为，右焦点，∵渐近线与圆相交， ∴，即，∴，可得， ∴双曲线C的离心率为：，且．∴．故答案为： 题型2 点差法（第三定义） 1．（2023安徽池州·期末）过点作直线与椭圆相交于两点，若是线段的中点，则该椭圆的离心率是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由直线的斜率公式、中点坐标公式及点差法可得，再由椭圆离心率公式即可得解. 【详解】设，，由直线的斜率为可得， 由线段的中点为可得，， 由点在椭圆上可得，作差得， 所以，即，所以， 所以该椭圆的离心率.故选：B. 【点睛】本题考查了直线与椭圆的综合应用、点差法的应用及椭圆离心率的求解，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题. 5．（2023安徽淮北）已知过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于两点.若椭圆上存在一点，满足（其中点为坐标原点），则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：根据平方差法得到直线的方程为，联立方程组，解得点的坐标，再根据，得，把点代入椭圆的方程，即可求解离心率的值. 详解：设的中点，由题意知， 两式相减得，则，而，所以，所以直线的方程为，联立，解得， 又因为，所以, 所以点代入椭圆的方程，得，所以，故选A. 点睛：本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)． 3．（安徽铜陵·期末）已知直线的斜率为2，、是直线与双曲线C：，的两个交点，设、的中点为（2，1），则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】设则,点（2，1）是AB的中点, ,,直线的斜率为2, , 得,,. 4．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的面积为1 C．直线的方程为 D． 【答案】AC 【分析】对A：根据椭圆方程求得，则离心率得解；对B：根据三角形面积公式以及点的坐标，则可求得结果；对C：利用点差法求得直线斜率，结合点坐标，即可求得直线方程；对D：联立直线与椭圆方程，利用弦长公式，借助韦达定理，即可求得. 【详解】根据题意，作图如下： 对A：由题知，，则，所以离心率为，A正确； 对B：，B错误； 对C:设，，则，，两式相减得，因为为线段的中点，所以，，所以，即直线的斜率为，所以直线的方程为，即， 经检验符合题意，C正确； 对D：联立得，，； 所以，D错误. 故选：AC. 5．（22-23高二上·安徽蚌埠·期末）已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若恰为弦的中点，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】设，代入椭圆方程相减，利用中点坐标求得关系，从而可得离心率． 【详解】解：设，， 是线段的中点， ，两式相减可得， 整理得，即，∵弦的斜率为 ，即．故答案为：． 题型3 双曲线：渐近线型 1．（2024·安徽黄山）已知双曲线：，圆与圆的公共弦所在的直线是的一条渐近线，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】两圆的方程相减可得双曲线的一条渐近线方程，据此可求双曲线的离心率. 【详解】因为，，所以两圆方程相减可得， 由题意知的一条渐近线为，即， 双曲线的离心率． 故选：C． 2．（22-23安徽淮南）已知抛物线在点处的切线与双曲线的一条渐近线平行，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先求得在点处的切线的斜率，进而得到双曲线的一条渐近线的斜率求解. 【详解】解：因为，所以时，，则，所以在点处的切线的斜率为，即双曲线的一条渐近线的斜率为， 所以曲线C的离心率为，故选：C 4．（2021安徽皖南名校联盟）已知双曲线的左、右焦点分别为，其右支上存在一点，使得，直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设直线平行于双曲线的渐近线，得到的方程为，联立方程组求得的坐标，将点的坐标代入双曲线方程，化简得到，即可求得双曲线的离心率. 【详解】由，直线平行于双曲线的一条渐近线，可得， 不妨设直线平行于双曲线的渐近线， 从而得是线段的垂直平分线，且直线的方程为，设与相交于点， 联立方程组，解得，即， 又由，根据中点坐标公式，可得， 将点的坐标代入，可得， 整理得，所以双曲线的离心率为.故选：D. 5．（23-24高二上·安徽淮北）已知双曲线：，左右焦点分别为，若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．若轴，则 C．若双曲线上一点满足，则的周长为 D．存在双曲线上一点，使得点到C的两条渐近线的距离之积为 【答案】BC 【分析】求出渐近线方程，圆心、半径，根据已知列出方程，求出的值，即可得出离心率；求出的方程，代入双曲线得出点坐标，即可得出B项；根据双曲线的定义结合已知求出的值，即可得出C项；设，求出距离之积，结合双曲线的方程，即可判断D项. 【详解】对于A项，由，可得双曲线的渐近线方程为. 圆的圆心为，半径为. 因为双曲线的渐近线与圆相切， 所以有到的距离，解得， 所以双曲线的方程为，，，， 所以，离心率，故A项错误； 对于B项，由A知，，所以的方程为. 代入双曲线方程可得，，所以，故B项正确； 对于C项，由已知， 根据双曲线的定义可知，，所以有. 又，所以的周长为，故C项正确； 对于D项，设，双曲线的渐近线方程为， 则点到直线的距离，到直线的距离，所以.又在双曲线上，所以有，，故D项错误. 故选：BC. 5．（2024·安徽亳州）双曲线：的左焦点为，右顶点为，点到渐近线的距离是点到渐近线距离的2倍，则的离心率为 . 【答案】2 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，得到，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】由双曲线：，可得右焦点，右顶点， 其中一条渐近线的方程为，即，则顶点到的距离为，焦点到的距离为， 由题可得，即，所以，所以双曲线的离心率为.故答案为：2. 题型4 a、b、c齐次型 1．（2020·安徽黄山）过双曲线左焦点的直线交的左支于两点，直线（是坐标原点）交的右支于点，若，且，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，设双曲线的右焦点为，连接并延长交右支于，连接，设，利用双曲线的几何性质可以得到，，结合、可求离心率. 【详解】 如图，设双曲线的右焦点为，连接，连接并延长交右支于. 因为，故四边形为平行四边形，故. 又双曲线为中心对称图形，故. 设，则，故，故. 因为为直角三角形，故，解得. 在中，有，所以.故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于的方程，本题属于难题. 2．（23-24高二上·安徽）已知M是椭圆上一点，椭圆的左、右顶点分别为A，B.垂直椭圆的长轴，垂足为N，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据点在椭圆上结合得到方程组，解出即可得到离心率. 【详解】设，则，， ，， 因为，即， 整理得，即，即， 由题可知，则，即， 则，则，则， 故选：B. 3．（2021安徽滁州）已知F是椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：由于PF⊥x轴，则令x=-c，代入椭圆方程，解得，， ，又|PF|=|AF|，即，即有， 即有（3a-4c）（a+c）=0，则． 考点：椭圆的简单性质 4．（20-21高二上·安徽黄山）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为椭圆的下顶点和上顶点，为椭圆的右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分析可得，可得出关于的二次不等式，结合可求得的取值范围，即得出结果. 【详解】如下图所示，可得、、、，则，， 因为为钝角，则，可得， 即，因为，解得. 所以，ABD选项满足条件.故选：ABD. 5．（2022安徽合肥）已知椭圆的左、右准线分别为l1、l2，且分别交x轴于C、D两点，从l1上一点A发出一条光线经过椭圆的左焦点F被x轴反射后与l2交于点B，若，且，则椭圆的离心率等于 ． 【答案】 【详解】由题意得： 题型5焦点三角形型 1．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知椭圆的左焦点为，点在上，的中点为为坐标原点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据中位线定理、椭圆定义求得，再结合即可列方程求解. 【详解】 设C的右焦点为，因为，所以，所以，所以， 设， 因为，所以， 所以 ，解得. 故选：C. 2．（23-24高二上·安徽铜陵·期末）已知椭圆的两个焦点为，，且焦距为4，点在上，若的最大值为25，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆定义利用不等式可知当时，取得最大值，可得，由焦距为4可知，即可得离心率. 【详解】由椭圆定义可得， 所以，当且仅当时，等号成立． 由题可知的半焦距，所以离心率．故选：B 3．（22-23高二上安徽淮北相山区联考）已知，分别为双曲线C：左、右焦点，过点的直线与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，且，，则双曲线C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理和双曲线的定义可得是正三角形，从而．在中，由余弦定理即可得到答案. 【详解】由，结合正弦定理得， 因为，所以，．又，即，则，所以．设，则，又，则，解得， 所以，，所以是正三角形，从而． 在中，由， 得，得，所以．故选：C． 4．（23-24高二上·安徽六安一中期末）设椭圆:的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列结论中正确的有（    ） A．离心率 B． C．面积的最大值为 D．直线与以线段为直径的圆相切 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的定义、性质及直线与圆的位置关系一一判定选项即可. 【详解】由椭圆方程可知椭圆离心率为，故A错误； 由椭圆定义可知，故B正确； 当P在上下顶点时的面积可取得最大值为，故C正确； 以为直径的圆的圆心为原点，半径为， 而圆心到直线的距离，即与直线相切，故D正确. 故选：BCD 5．（安徽合肥L联考·）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义与几何性质判断为正三角形，且轴，设，可得，从而可得结果. 【详解】   因为关于的对称点在椭圆上， 则，， 为正三角形，， 又， 所以轴， 设，则， 即，故答案为. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解． 优选提升题 题型01焦点弦定比分点型 1．（2024·安徽 淮北）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据题目条件和椭圆定义表示其他边长，利用勾股定理得出和的关系，分别在和直角中表示，建立等量关系求椭圆离心率. 【详解】设，则， 由椭圆的定义得，， 由得，即， 整理得，解得或（舍去）， ∴，故点在轴上. 如图，在直角中，， 在中，， 化简得， ∴椭圆的离心率. 故选：C. 2．（2024·安徽黄山）已知双曲线，两焦点分别为，，过右焦点作直线交右支于，点，且，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，假设，进而得到所需线段关于的表达式，两次利用余弦定理得到关于的等式，从而得到的比例，由此得解. 【详解】如图，因为，令，则，，    由双曲线定义，， 在中，， 由余弦定理， 得， 整理得，解得或（舍去）， 则，， 故在中，由余弦定理， 得， 整理得，则. 故选：C. 3．设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据椭圆定义结合勾股定理解得，进而可得，在△中，利用勾股定理列式求解即可. 【详解】设， 因为，则，， 由椭圆的定义可得，， 因为，即， 在中，则，即， 解得，可得， 在△中，可得，整理得， 所以椭圆E的离心率为. 故选：B． 4．（23-24安徽滁州期末）已知是双曲线C：（，）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．离心率 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据点F到两条渐近线的距离相等，结合对称性几面积关系即可判断A；根据长度关系可求得，进而可判断；根据渐近线的斜率可算出离心率，进而了判断C；解三角形可得，所以，，，求出直角三角形的面积，列出方程即可判定D. 【详解】 如图，∵，∴，， ∵点F到两条渐近线的距离相等，∴，故A正确； ∵AB⊥OA，，∴，，，，故B正确； 由B知，一条渐近线的斜率，则，故C不正确； 由C知，，所以，，，∴，∴，，，故D正确， 故选：ABD． 5．（23-24安徽铜陵）已知椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M位于第一象限，直线MF与椭圆C交于另外一点A，且，若，，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】 【分析】设椭圆的左焦点为，连接，根据椭圆的定义可得，，再根据，两边平方可求椭圆C的离心率． 【详解】设椭圆的左焦点为，连接，则四边形为为平行四边形， 设， 因为，，则， 且，可得，， 又因为，则， 在中，则， 可得， 即，解得， 所以椭圆C的离心率． 故答案为：． 题型02焦点三角形余弦定理型 1．（2023·安徽合肥·）设双曲线()的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于点，连结，若，，则双曲线的离心率为. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本道题设,利用双曲线性质,计算x，结合余弦定理，计算离心率，即可． 【详解】结合题意可知,设 则结合双曲线的性质可得, 代入,解得,所以, 对三角形运用余弦定理,得到 ,解得 故选B. 【点睛】本道题考查了双曲线的性质，考查了余弦定理，关键利用余弦定理，解三角形，进而计算x，即可，难度偏难． 2．（2021合肥六中期末）已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意设椭圆的右焦点，根据正弦定理即可求得和的关系，即可求得椭圆的离心率． 【详解】解：设椭圆的右焦点，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形， 则，且由，可得， 所以，则， 由余弦定理可得 ， 即， ∴椭圆的离心率， 故选：A． 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，其中涉及到椭圆的定义以及余弦定理，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难. 3．（21-22安徽滁州定远）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线的右顶点，点是双曲线的右支上一点，．若是以为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】根据图象可知，，根据余弦定理运算得出，即可求出求出离心率. 【详解】解：已知点是双曲线的右支上一点，， 根据双曲线的定义，，求得， 因为是以为顶角的等腰三角形， 则：， 由图可知， 且，， 则由余弦定理得： 即：， 所以， 则：， 所以，即， 所以，即， 解得：或（舍去） 故选：D    . 【点睛】本题考查双曲线的定义和离心率，余弦定理的应用，考查计算能力. 4．（23-24高二上·安徽黄山·）如图所示．已知椭圆方程为，F1、F2为左右焦点，下列命题正确的是（    ） A．P为椭圆上一点，线段PF1中点为Q，则为定值 B．直线与椭圆交于R ，S两点，A是椭圆上异与R ，S的点，且、均存在，则 C．若椭圆上存在一点M使，则椭圆离心率的取值范围是 D．四边形 为椭圆内接矩形，则其面积最大值为2ab 【答案】ACD 【分析】利用椭圆的定义、直线斜率公式、离心率公式，结合椭圆和矩形的对称性、基本不等式、余弦定理逐一判断即可. 【详解】A：连接，由椭圆的定义可知， 线段中点为Q，所以， 于是有，所以本选项命题正确； B：直线与椭圆交于R ，S两点， 因为直线经过原点，而椭圆是关于原点的中心对称图形， 所以R ，S两点关于原点对称，不妨设，， ， 因为A是椭圆上异与R 的点， 所以有，两个式相减，得 ， 因此， 所以本选项命题是假命题； C：椭圆上存在一点M使， 由余弦定理可知：， 即， 即， 而 ，当且仅当时取等号，即M为上（下）顶点时取等号， 而，所以，因此本选项命题是真命题； D：因为矩形和该椭圆的对称轴和对称中心相同， 所以设矩形在第一象限的顶点为，即， 所以矩形的面积为， 因为， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 因此本选项命题是真命题， 故选：ACD 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用椭圆的定义、椭圆和矩形的对称性、基本不等式进行求解. 5．（22-23安徽蚌埠三中期末）设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】由与互补，得到两角的余弦值互为相反数，两次利用余弦定理得到关于的方程. 【详解】如图所示： 因为焦点到渐近线的距离为，所以，则，所以， 因为，所以， 解得：. 【点睛】求圆锥曲线的离心率主要有几何法和代数法，本题主要通过两次利用余弦定理进行代数运算，找到关系求得离心率. 题型03 双余弦定理型 1．（2020·安徽合肥·）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线左右两支交于，两点，以为直径的圆过，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得△MNF2为等腰直角三角形，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，运用双曲线的定义，求得|MN|＝4a，可得m，再由勾股定理可得a，c的关系，即可得到所求离心率． 【详解】因为即所以 在三角形中，有余弦定理可得： 所以即因为以MN为直径的圆经过右焦点F2，所以，又|MF2|＝|NF2|， 可得△MNF2为等腰直角三角形，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m， 由|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF1|﹣|NF2|＝2a，两式相加可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a， 即有m＝2a，在直角三角形HF1F2中可得4c2＝4a2+（2a+2a﹣2a）2， 化为c2＝3a2，即e．故选：B． 【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，注意根据条件判断三角函数为等腰直角三角形，再运用等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得到离心率，考查运算能力，题目具有一定的难度． 2．（2021·安徽滁州定远期末）已知，是双曲线：的左，右焦点，过点倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，.若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设，据双曲线的定义可用表示，作，构造直角三角形可计算得，并用勾股定理列出了，进而可求. 【详解】设，则，从而，进而. 过作，则.如图： 在中，，； 在中，，即，所以.故选：A 【点睛】（1）焦点三角形为条件求圆锥曲线的离心率，常利用圆锥曲线的定义； （2）求圆锥曲线的离心率，常利用有关三角形建立关于的齐次等式，再化为的等式可求； （3）此题的关键是作得直角三角形，即可求出边长，又可用来建立的齐次等式. 3．（2022安徽滁州定远学校）设椭圆的两个焦点是、，过的直线与椭圆交于、，若，且，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 则，又因为 则 即解得故选D 点睛：运用椭圆的定义结合题目条件可以求得各线段的表达式，在和中利用余弦定理，建立的数量关系，求解关于的方程即可，计算量较大． 4．（22-23安徽滁州·期末）已知椭圆的离心率为，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，的周长为，则下列选项正确的有（    ） A．椭圆的方程为 B． C．内切圆的面积的最大值为 D． 【答案】ABD 【分析】由椭圆焦点三角形周长为和离心率可构造方程组求得，由椭圆关系可得，进而确定椭圆方程，知A正确；利用基本不等式和椭圆定义可求得B正确；利用面积桥可知当为椭圆短轴端点时，内切圆的半径最大，由此可求得半径的最大值，确定C错误；若最小，则最大，可知当为椭圆短轴端点时最大，利用余弦定理可确定D正确. 【详解】对于A，的周长为，，又离心率， ，，，椭圆的方程为，A正确； 对于B，（当且仅当，即为椭圆短轴端点时取等号），B正确； 对于C，设内切圆的半径为，则； 当为椭圆短轴端点时，， ，内切圆面积的最大值为，C错误； 对于D，当为椭圆短轴端点时，取得最大值，此时取得最小值， 为椭圆短轴端点时，，， ， 当为椭圆上的动点时，，D正确. 故选：ABD. 5（2023·安徽蚌埠五河一中期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，所以存在点使等价于由可求的最小值，求得的范围，从而得到的取值范围. 【详解】 设，则.显然当靠近右顶点时，， 所以存在点使等价于， 在中由余弦定理得， 即，解得 ， 同理可得，所以， 所以， 所以，当且仅当时等号成立. 由得，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：求离心率范围关键是建立的不等式，此时将问题转化为，从而只需求的最小值，求最小值的方法是结合焦半径性质使用基本不等式求解. 题型04 焦点三角形双角度型 1．（2024·安徽合肥一六八）已知分别为双曲线的左、右焦点，点是上一点，点满足，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，过点作，交的延长线于点，由双曲线的定义结合余弦定理代入计算，再由离心率的计算公式，即可得到结果. 【分析】    由，得，． 因为，所以点在线段上，且． 如图，过点作，交的延长线于点，则， 所以，所以． 设，则，所以． 由双曲线的定义可知，所以， 则．设，则． 在中，由余弦定理，得， 即，所以， 则（负值已舍去）． 故选：B． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于结合双曲线的定义以及余弦定理代入计算. 2．（2023安徽滁州定远）已知、分别是椭圆的左、右焦点，是以为直径的圆与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，所以，因为，所以．在中，因为，所以，由椭圆定义可得，所以．故选A． 【点睛】求离心率的值或范围就是找的值或关系．由是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，得为直角三角形．由求出两锐角，根据斜边求两直角边，再根据椭圆定义得关于的关系式，可求离心率． 3．（22-23安徽六安新安中学）已知双曲线的离心率，对称中心为，右焦点为，点是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的点，的面积为，则双曲线的方程为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：由题意首先求得点A的坐标，结合离心率和三角形的面积得到关于a,b的方程组，求解方程组即可求得a,b的值，进一步可得双曲线的方程. 详解：由题意点A所在的渐近线为bx-ay=0， 设该渐近线的倾斜角为，则， 因为∠AOF=∠OAF，所以直线AF的倾斜角为， ， 联立方程组，解得，即， 所以. 因为曲线的离心率，，所以. 结合，得a=3，b=. 所以双曲线的方程为. 本题选择C选项. 点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可. 4．（23-24高二上·安徽安庆期末）已知双曲线与直线无公共点，过的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则的离心率可以是（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】BC 【分析】由题意可得：渐近线方程为，分析，，进而可得，再结合渐近线的结合性质可得，即可得离心率. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 则的右焦点到的距离，即，因为，则， 又因为，则，可得，又因为与直线无公共点，则， 所以的离心率．故选：BC． 5．（2022·安徽马鞍山二中）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若C与直线有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得，则双曲线离心率取值范围范围为 . 【答案】 【分析】由直线与双曲线有交点，得在一三象限的渐近线的斜率大于1，得出的一个范围．双曲线上存在不是顶点的P，使得，与轴交于点，由平面几何的知识及双曲线定义得，在直角三角形中由边的关系得不等式，得出的范围，同时由的范围又是一个不等关系，从而得出离心率范围． 【详解】双曲线C与直线有交点，则，，解得， 双曲线上存在不是顶点的P，使得，则点在右支上， 设与轴交于点，由对称性，所以， 所以， ， 所以，由得，所以， 又中，，， 所以，即， 综上，． 故答案为：． 题型05 多曲线离心率 1．（22-23高二上·安徽滁州定远·期末）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，离心率分别为，，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且 .若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，，进而在焦点三角形中由余弦定理即可得，由即可得的范围. 【详解】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴长为， 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，由椭圆定义， 可得，，又，由余弦定理得， 可得，得，即， 可得，即，又时，可得， 即，亦即，得.故选：B 2．（22-23高二上·安徽宿州期末）已知椭圆和双曲线的焦点相同，记左、右焦点分别为，，椭圆和双曲线的离心率分别为，，设点为与在第一象限内的公共点，且满足，若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，，(分别为椭圆的长半轴长及双曲线的实半轴长)，从而得，再代入中，求解即可. 【详解】设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，半焦距为，双曲线的实半轴长、虚半轴长分别为，半焦距为，则有， 又因为点为与在第一象限内的公共点，且满足，所以且， 由椭圆的定义可得，所以， 由双曲线的定义可得，所以， 所以所以，又因为， 解得(舍)或，故选：A. 3．（2023安徽阜阳三中）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ） A． B．3 C．6 D． 【答案】C 【分析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示，再利用均值不等式得到答案． 【详解】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，   又，，两式相减，可得：，， ． ，，当且仅当时取等号，的最小值为6，故选：C． 【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示是解题的关键，意在考查学生的计算能力． 4．（23-24高二上·安徽六安一中）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，记与的离心率分别为，，在第一象限的交点为P，下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】由离心率公式判断AB，利用椭圆与双曲线的定义及余弦定理得出的关系，从而得出关系判断CD． 【详解】由题意，，，所以，A正确，不能得出，B错误； 设，，则，解得，若，则，即，所以， ，，即，所以，C错，D正确． 故选：AD．    5．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设M，G分别是BC，BE与圆的切点，，设，在中，余弦定理求出，即可表示出、，在中，设，由余弦定理可得，，从而求解. 【详解】如图，设M，G分别是BC，BE与圆的切点，由圆的切线性质知， ，设， ，， 在中， ， 以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为， 以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则， 在中，设，，，， 由余弦定理可知： 从而得到，.由， ，． 【点睛】思路点睛： （1）充分利用所给图形，有利于分析数量关系； （2）借助“换元”，有利于从“数”的角度求解最值问题. 题型06 焦半径型 1．（2023安徽民办高中联考）设双曲线的中心为点，若直线和相交于点，直线交双曲线于，直线交双曲线于，且使则称和为“直线对”.现有所成的角为60°的“直线对”只有2对，且在右支上存在一点，使，则该双曲线的离心率的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线的对称性知，，因为所以 =，根据题意所成的角为60°的“直线对”只有2对，则， 又因为在右支上存在一点，使由焦半径公式得，得 ，故因为即 综上则该双曲线的离心率的取值范围是 故选 点睛：本题考查了双曲线的离心率问题，综合性较强，一定要理解题目中给出的条件意思，将其转化为数学语言，如“所成的角为60°的“直线对”只有2对”将其转化为离心率问题，需要熟练运用基础知识 2．（23-24安徽亳州）已知，，分别为双曲线（，）的左、右焦点，M为双曲线左支上任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线定义，变形后由基本不等式得最小值，从而得，再利用双曲线中的范围有，由此结合可得离心率的范围． 【详解】，是左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点， 则，即， 代入得， 当且仅当时取等号，即， 又点是双曲线左支上任意一点，所以，即，解得， 所以双曲线离心率e的取值范围是. 故选：C． 3．（23-24高二上安徽芜湖）双曲线：的左、右焦点为,，若点在双曲线右支上,且，则双曲线离心率的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义及其有界性，得到，根据离心率的性质求得其范围，结合选项，即可求解. 【详解】由点在双曲线右支上，且， 根据双曲线的定义，可得，可得， 结合双曲线的几何性质，可得，可得，所以， 又因为，所以离心率的取值范围为，结合选项，可得D项，不符合题意.故选：D. 4．（22-23高二上·安徽亳州·期末）已知，是椭圆C：的左、右焦点，点P在椭圆C上，则下列结论正确的有（    ） A．椭圆C的离心率为 B． C． D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的标准方程求出a、b、c，根据椭圆的几何性质即可逐项求解判断． 【详解】易得，，，则，椭圆的离心率为，故A错误，B正确； ∵，∴，故C正确； 当点P位于短轴的端点时，取得最大值，此时，，，故，即的最大值为，D正确． 故选：BCD． 5．（2022安徽马鞍山）已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为在中，由正弦定理得， 则由已知，得，即，, 由双曲线的定义知 ， 由双曲线的几何性质知 所以解得 又，故双曲线的离心率 专题07 焦点三角形：内切圆型 1．（2022安徽淮北宿迁联考·）椭圆的左、右焦点分别是、，斜率为的直线l过左焦点且交于，两点，且的内切圆的周长是，若椭圆的离心率为，则线段的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用等面积法可得：，求解出的值，然后根据弦长公式的取值范围. 【详解】设内切圆半径为r，由题意得 得，. 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆焦点三角形问题，考查弦长的取值范围问题，难度一般.解答时，等面积法、弦长公式的运用是关键. 2．（2022·安徽·模拟预测）已知椭圆）的左､右焦点分别为和为C上一点，且的内心为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用角平分线定理可得，进而可得，结合条件即得. 【详解】连接，延长交轴于，则，又，， 所以，故，即， 又，所以，即.故选：D. 3．（19-20高二上·安徽合肥·期末）已知点P是双曲线下支上的一点，、分别是双曲线的上、下焦点，M是的内心，且，则双曲线的离心率为（      ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】设的内切圆的半径为r，，即 ，故得解. 【详解】设，的内切圆的半径为r，则 由于 故因此：故选：C 【点睛】本题考查了双曲线的焦点三角形的综合问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题. 3．（2023·安徽淮南）双曲线的左、右焦点分别，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，双曲线和椭圆的离心率分别为的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则（    ） A．到轴的距离为 B．点的轨迹是双曲线 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义求得，可判断A；在等腰中，利用中位线结合双曲线的定义可求出，可判断B；设，由，即，由余弦定理代入化简可得，再结合椭圆和双曲线的定义可判断C；由，即可判断D. 【详解】设圆与三边的切点为， ， 又，故，故，所以到轴的距离为，故A正确；   过作直线的垂线，垂足为，延长交于点， 因为，则为的中点且，于是， 故点的轨迹是在以为圆心，半径为的圆上，故B不正确； 设椭圆的长半轴长为，它们的半焦距为，并设， 根据椭圆和双曲线的定义可得：，所以， 在中，由余弦定理得：， 即， 在中，由余弦定理得：， 即，由， 两式相加，则，又，所以， 所以，所以，即，故C正确； ，即，所以，即，故D正确. 故选：ACD. 5．（21-22高二上·安徽阜阳·期末）设O为坐标原点，F为双曲线的焦点，过F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，且的内切圆的半径为，则C的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】，作出渐近线图像，由题可知的内切圆圆心在x轴上，过内心作OA和AB的垂线，可得几何关系，据此即可求解. 【详解】 双曲线渐近线OA与OB如图所示，OA与OB关于x轴对称， 设△OAB的内切圆圆心为，则M在的平分线上，过点分别作于点于，由，则四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得， 又，∴，且，∴，∴， 则.故答案为：. 专题08 双曲线实轴圆型 1．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）如图，过双曲线的右焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点. 若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出的长，再利用双曲线定义和余弦定理求解即可. 【详解】取双曲线左焦点为，连接，由与圆相切于点得，， 令双曲线的焦距为，则，由得， 由双曲线的定义得，，在中，； 在中，由余弦定理得，整理得，即，所以，所以双曲线的离心率为.故选：B. 【点睛】方法点睛：求解双曲线的离心率的方法如下: (1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得的值，根据离心率的定义求解离心率的值； (2)齐次式法：由已知条件得出关于的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； (3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 2．（2024·安徽宣城）已知双曲线:的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线的右焦点为，连接，过作与，易得，，设，结合双曲线的定义分别求出对应边，在和中，由勾股定理得和之间的关系，即可求解. 【详解】 设双曲线的右焦点为，连接，过作与，则， 因为，，所以，因为，所以，即为线段的中点，因为为的中点，所以，所以，， 设，则，，， 所以，在中，由勾股定理可得，即， 解得，所以，，在中，由勾股定理得，即，解得，所以.故选：. 3．（23-24高二·安徽怀南·期末）已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆相切于点，且与及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线是的一条渐近线 C．若，则的离心率为 D．若，则的渐近线方程为 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，计算斜率判断A；由计算直线斜率判断B；求出点的坐标计算判断C，D. 【详解】对于A，根据题意，，设直线， 又因为直线与圆相切于点， 所以，A正确； 对于B，根据题意可知，可得， 所以直线是的一条渐近线，B正确； 对于C，若，根据题意，联立，解得， 同理联立，解得，由于，故，即，化简得，则的离心率为，C错误； 对于D，设，依题意知，则，故，得，故，代入，得， 所以，则，得，则的渐近线方程为，D正确； 故选：ABD 4．（2024·安徽池州）已知双曲线的左焦点为F，过F的直线l交圆于A，B两点，交C的右支于点P.若，，则C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】作出辅助线，结合题目条件得到方程组，求出，结合双曲线定义得到方程，求出离心率. 【详解】设双曲线的右焦点为，连接，取的中点，连接，则⊥， 因为，，所以，因为为的中点，所以⊥，且，因为，所以，， 由勾股定理得，即①，由垂径定理得， 即，即②，联立①②得，又由双曲线定义可得，即，化简得， 方程两边同除以得，，解得或1（舍去），故离心率. 故答案为： 5．（22-23高二下·安徽·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，在双曲线左支上取一点，若直线与以双曲线实轴为直径的圆相切于，若向量，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】连接，取双曲线的左焦点为，连接，过作的垂线，垂足为，可得相似于，且相似比为，结合双曲线的定义可得，在直角中，由勾股定理得出的等量关系，再由双曲线的离心率公式即可求解. 【详解】连接，取双曲线的左焦点为，连接，过作的垂线，垂足为， 直线与圆相切,， ，为的中点，，相似于，且相似比为， 故.. 在双曲线中，由双曲线定义知，. 为直角三角形，，即，解得，故双曲线的离心率为.故答案为:. 专题09三角换元型 1．（2021-2022安徽六安舒城）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设椭圆的左焦点为：,根据，得到四边形为为矩形，再由，结合椭圆的定义得到，然后由求解. 【详解】设椭圆的左焦点为：,因为，所以四边形为为矩形， 所以 因为，所以 由椭圆的定义得：， 所以，因为，所以， 所以，所以，所以， 故选：B 【点睛】方法点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等． 2．（21-22高二上·安徽卓越县中联盟·）椭圆的左右焦点分别为､，直线与交于A､两点，若，，当时，的离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题干条件得到，表达出，，利用椭圆定义得到关系，结合的范围求出离心率的最小值. 【详解】连接，由题知点A､关于原点对称，，，，则，，又，即，，由得，所以，D正确. 故选：D 3．（23-24高二上·安徽马鞍山）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，M为双曲线右支上的一点，若M在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，设，则，，则，进而可得，即可得出答案． 【详解】由于M在以为直径的圆上，故，设，则，，根据双曲线的定义，所以， 所以，，所以， 故在单调递增，当时，，当时，，所以，所以， 故选：D．   4．（23-24安徽部分学校联考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，P是E上异于A，B的一个动点，若，则（    ） A．E的离心率为 B．直线PA与PB的斜率之积为 C．满足的点P有4个 D． 【答案】ACD 【分析】根据求得离心率，根据关系求得判断B， 根据关系判断C，设，计算的范围判断D. 【详解】对于A，设椭圆的半焦距为，离心率为， 因为，所以， 左边分子分母同时除以，得，解得，故A正确; 对于B，设， 因为，所以， 则，故B错误; 对于C，因为，所以的上、下顶点在以为直径的圆内，故该圆与E有4个交点， 因此满足的点有4个，故C正确; 对于的方程可写为，设， 则 ，当时取等号，则，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：椭圆的左、右顶点分别为A，B， P是E上异于A，B的一个动点，则. 5．椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为、.一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为.则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的标准方程为 B．若点在椭圆上，则的最大值为 C．若点在椭圆上，的最大值为 D．过直线上一点分别作椭圆的切线，交椭圆于，两点，则直线恒过定点 【答案】ACD 【分析】利用椭圆的定义及离心率大小可求得椭圆方程，判断,利用余弦定理，可得顶角的最大为钝角，故最大值为，可判断;设出点的坐标为，利用两点间的距离公式求得范围即可判断;利用椭圆在点处的切线方程为，及点在直线上，求出，两点满足的方程，即可求得所过定点，判断 【详解】一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，如下图所示：所以可得即又椭圆的离心率为，可得，所以， 故椭圆方程为，所以正确； 由椭圆的定义知，不妨设，，因为，可得所以，当且仅当时等号成立，此时最大为钝角设为，则，故当时， 的最大值为，故错误； 易得,设点， 则 当时，，故正确； 易知椭圆在点处的切线方程为， 证明如下：当切线斜率存在时，设直线与相切与点， 联立， 所以，整理可得， 又易知，即，所以 整理可得①； 又切点在椭圆上，即，整理可得②， 联立①②，可得即， 所以切线方程为，化简得，经检验，直线斜率不存在时也符合上式，即椭圆在点处的切线方程为， 设，所以椭圆在点处的切线的方程为， 在点处的切线的方程为，两线相交于点，所以可得， 即点满足方程，所以直线的方程为， 整理可得，令，故直线的方程过定点，故正确，  故选： 【点睛】关键点睛：本题在求解直线过定点问题时，关键是利用结论:椭圆在点处的切线方程为，分别求得两个切线方程即可得出直线过的定点. 题型10综合难度 1．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得，再根据正弦定理可知外接圆半径，由等面积法可知内切圆半径，再根据面积比即可计算出离心率. 【详解】根据题意画出图象如下图所示：   利用椭圆定义可知，且； 又，利用余弦定理可知：， 化简可得；所以的面积为； 设的外接圆半径为，内切圆半径为； 由正弦定理可得，可得； 易知的周长为， 利用等面积法可知，解得； 又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即， 所以，即可得，所以； 离心率.故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆焦点三角形外接圆与内切圆半径问题，通常利用正弦定理计算外接圆半径，由等面积法公式可计算出内切圆半径，即可实现问题求解. 2．（·安徽安庆·期末）已知双曲线，直线过左焦点交双曲线于，两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题首先可以考虑“垂直轴”这种情况，通过计算得出离心率，然后考虑“直线斜率存在”这种情况，可先设出直线的方程，然后利用计算求出离心率，最后通过以上两种情况即可得出结果． 【详解】①当垂直轴时，，即，从而有 ，故； ②当直线斜率存在时，设直线的方程为：，交双曲线于，，右顶点为，由条件知，即 由 ， ，， ， 即， ，即 从而，，故， 综上所述，故选C． 【点睛】本题考查双曲线的相关性质，主要考查过双曲线的焦点的线段的相关性质以及圆的相关性质，可利用圆的半径相等以及圆的直径所对应的圆周角是直角列出方程求解，考查方程思想，考查计算能力，是难题． 3．（2021·安徽师大附中）已知F是椭圆的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴重合）与该椭圆相交于点M，N．记，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】设在轴上方，在轴下方，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，联立直线的方程与椭圆方程可求的坐标，同理可求的坐标，利用三点共线可得，利用离心率的范围可得，从而可判断为锐角. 【详解】   不失一般性，设在轴上方，在轴下方， 设直线的斜率为，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为， 则，，，且. 又.又直线的方程为， 由可得， 故，所以，故，同理，故， 因为共线，故，整理得到即，若，， 因为，，故，所以，故.故选：A. 【点睛】思路点睛：与椭圆有关的角的计算，一般利用其正切来刻画，因为角的正切与直线的斜率相关，注意运算结果的准确性. 4．（22-23高二下·安徽定远中学·期末）设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是（    ） A．双曲线离心率的最小值为4 B．离心率最小时双曲线的渐近线方程为 C．若直线同时与两条渐近线交于点，，则 D．若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值 【答案】BCD 【分析】由离心率公式，结合基本不等式可判断A；根据可得双曲线方程，然后可得渐近线方程，可判断B；将问题转化为AB的中点与CD的中点是否重合的问题，设直线方程，联立渐近线方程求C，D坐标，再由点差法求AB的中点坐标，然后可判断C；结合图形可知，利用导数求切线方程，联立渐近线方程求E，F的横坐标，代入化简可判断D. 【详解】由题知，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，的最小值为2，故A错误； 当时，双曲线方程为，此时渐近线方程为，即，B正确； 若直线的斜率不存在，由对称性可知；当斜率存在时，设直线方程为，，AB的中点为，CD的中点为 则，由点差法可得，所以， 所以，又双曲线渐近线方程为，联立分别求解可得，所以， 所以M，N重合，则，或，故C正确；      若，则双曲线方程为，渐近线方程为， 不妨设点A在第一象限，双曲线在第一象限的方程为， ，得切线斜率为，方程为， 设点E，F坐标分别为，分别作垂直于y轴，垂足分别为P，Q，E在第一象限，F在第四象限， 则 又，所以， 联立渐近线方程和切线方程可解得， 整理得，两式相乘得，所以， 所以，D正确. 故选：BCD    【点睛】本题考察圆锥曲线的综合运用，C选项需要灵活处理，将问题转化为AB的中点与CD的中点是否重合的问题，利用点差法和直接计算可解；D选项需结合图象将面积灵活转化，在求解时，要结合式子的结构特征灵活处理 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！45 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆锥曲线离心率归类 经典基础题 题型1 定义型 1．（23-24高二上·安徽宣城）与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 2.（2024安徽重点高中联盟）已知椭圆（且），则“C的离心率，是”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高二上·安徽亳州涡阳县）已知分别是椭圆的右顶点和上顶点，若原点到直线的距离是椭圆的短轴长的，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·安徽淮北·、）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线为椭圆 B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C．“或”是“曲线为双曲线”的充要条件 D．不存在实数使得曲线为离心率为的双曲线 5．（2022·安徽合肥·）已知双曲线C：（），以C的焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是 ． 题型2 点差法（第三定义） 1．（2023安徽池州·期末）过点作直线与椭圆相交于两点，若是线段的中点，则该椭圆的离心率是 A． B． C． D． 5．（2023安徽淮北）已知过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于两点.若椭圆上存在一点，满足（其中点为坐标原点），则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 3．（安徽铜陵·期末）已知直线的斜率为2，、是直线与双曲线C：，的两个交点，设、的中点为（2，1），则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 4．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的面积为1 C．直线的方程为 D． 5．（22-23高二上·安徽蚌埠·期末）已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若恰为弦的中点，则椭圆的离心率为 . 题型3 双曲线：渐近线型 1．（2024·安徽黄山）已知双曲线：，圆与圆的公共弦所在的直线是的一条渐近线，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 2．（22-23安徽淮南）已知抛物线在点处的切线与双曲线的一条渐近线平行，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 4．（2021安徽皖南名校联盟）已知双曲线的左、右焦点分别为，其右支上存在一点，使得，直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 5．（23-24高二上·安徽淮北）已知双曲线：，左右焦点分别为，若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．若轴，则 C．若双曲线上一点满足，则的周长为 D．存在双曲线上一点，使得点到C的两条渐近线的距离之积为 5．（2024·安徽亳州）双曲线：的左焦点为，右顶点为，点到渐近线的距离是点到渐近线距离的2倍，则的离心率为 . 题型4 a、b、c齐次型 1．（2020·安徽黄山）过双曲线左焦点的直线交的左支于两点，直线（是坐标原点）交的右支于点，若，且，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽）已知M是椭圆上一点，椭圆的左、右顶点分别为A，B.垂直椭圆的长轴，垂足为N，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2021安徽滁州）已知F是椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是 A． B． C． D． 【答案】B 4．（20-21高二上·安徽黄山）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为椭圆的下顶点和上顶点，为椭圆的右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率可以为（    ） A． B． C． D． 5．（2022安徽合肥）已知椭圆的左、右准线分别为l1、l2，且分别交x轴于C、D两点，从l1上一点A发出一条光线经过椭圆的左焦点F被x轴反射后与l2交于点B，若，且，则椭圆的离心率等于 ． 题型5焦点三角形型 1．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知椭圆的左焦点为，点在上，的中点为为坐标原点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽铜陵·期末）已知椭圆的两个焦点为，，且焦距为4，点在上，若的最大值为25，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上安徽淮北相山区联考）已知，分别为双曲线C：左、右焦点，过点的直线与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，且，，则双曲线C的离心率是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·安徽六安一中期末）设椭圆:的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列结论中正确的有（    ） A．离心率 B． C．面积的最大值为 D．直线与以线段为直径的圆相切 5．（安徽合肥L联考·）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的离心率为 ． 优选提升题 题型01焦点弦定比分点型 1．（2024·安徽 淮北）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽黄山）已知双曲线，两焦点分别为，，过右焦点作直线交右支于，点，且，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24安徽滁州期末）已知是双曲线C：（，）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．离心率 D．若，则 5．（23-24安徽铜陵）已知椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M位于第一象限，直线MF与椭圆C交于另外一点A，且，若，，则椭圆C的离心率为 ． 题型02焦点三角形余弦定理型 1．（2023·安徽合肥·）设双曲线()的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于点，连结，若，，则双曲线的离心率为. A． B． C． D． 2．（2021合肥六中期末）已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22安徽滁州定远）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线的右顶点，点是双曲线的右支上一点，．若是以为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B． C． D． 4．（23-24高二上·安徽黄山·）如图所示．已知椭圆方程为，F1、F2为左右焦点，下列命题正确的是（    ） A．P为椭圆上一点，线段PF1中点为Q，则为定值 B．直线与椭圆交于R ，S两点，A是椭圆上异与R ，S的点，且、均存在，则 C．若椭圆上存在一点M使，则椭圆离心率的取值范围是 D．四边形 为椭圆内接矩形，则其面积最大值为2ab 5．（22-23安徽蚌埠三中期末）设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 ． 题型03 双余弦定理型 1．（2020·安徽合肥·）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线左右两支交于，两点，以为直径的圆过，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2021·安徽滁州定远期末）已知，是双曲线：的左，右焦点，过点倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，.若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 3．（2022安徽滁州定远学校）设椭圆的两个焦点是、，过的直线与椭圆交于、，若，且，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 4．（22-23安徽滁州·期末）已知椭圆的离心率为，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，的周长为，则下列选项正确的有（    ） A．椭圆的方程为 B． C．内切圆的面积的最大值为 D． 5（2023·安徽蚌埠五河一中期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为 . 题型04 焦点三角形双角度型 1．（2024·安徽合肥一六八）已知分别为双曲线的左、右焦点，点是上一点，点满足，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2023安徽滁州定远）已知、分别是椭圆的左、右焦点，是以为直径的圆与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 3．（22-23安徽六安新安中学）已知双曲线的离心率，对称中心为，右焦点为，点是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的点，的面积为，则双曲线的方程为 A． B． C． D． 4．（23-24高二上·安徽安庆期末）已知双曲线与直线无公共点，过的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则的离心率可以是（   ） A． B．2 C．3 D．4 5．（2022·安徽马鞍山二中）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若C与直线有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得，则双曲线离心率取值范围范围为 . 题型05 多曲线离心率 1．（22-23高二上·安徽滁州定远·期末）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，离心率分别为，，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且 .若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·安徽宿州期末）已知椭圆和双曲线的焦点相同，记左、右焦点分别为，，椭圆和双曲线的离心率分别为，，设点为与在第一象限内的公共点，且满足，若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2023安徽阜阳三中）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ） A． B．3 C．6 D． 4．（23-24高二上·安徽六安一中）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，记与的离心率分别为，，在第一象限的交点为P，下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是 ． 题型06 焦半径型 1．（2023安徽民办高中联考）设双曲线的中心为点，若直线和相交于点，直线交双曲线于，直线交双曲线于，且使则称和为“直线对”.现有所成的角为60°的“直线对”只有2对，且在右支上存在一点，使，则该双曲线的离心率的取值范围是 A． B． C． D． 2．（23-24安徽亳州）已知，，分别为双曲线（，）的左、右焦点，M为双曲线左支上任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上安徽芜湖）双曲线：的左、右焦点为,，若点在双曲线右支上,且，则双曲线离心率的值不可能是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·安徽亳州·期末）已知，是椭圆C：的左、右焦点，点P在椭圆C上，则下列结论正确的有（    ） A．椭圆C的离心率为 B． C． D．的最大值为 5．（2022安徽马鞍山）已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 专题07 焦点三角形：内切圆型 1．（2022安徽淮北宿迁联考·）椭圆的左、右焦点分别是、，斜率为的直线l过左焦点且交于，两点，且的内切圆的周长是，若椭圆的离心率为，则线段的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·安徽·模拟预测）已知椭圆）的左､右焦点分别为和为C上一点，且的内心为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（19-20高二上·安徽合肥·期末）已知点P是双曲线下支上的一点，、分别是双曲线的上、下焦点，M是的内心，且，则双曲线的离心率为（      ） A．2 B． C．3 D． 3．（2023·安徽淮南）双曲线的左、右焦点分别，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，双曲线和椭圆的离心率分别为的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则（    ） A．到轴的距离为 B．点的轨迹是双曲线 C．若，则 D．若，则 5．（21-22高二上·安徽阜阳·期末）设O为坐标原点，F为双曲线的焦点，过F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，且的内切圆的半径为，则C的离心率为 ． 专题08 双曲线实轴圆型 1．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）如图，过双曲线的右焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点. 若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽宣城）已知双曲线:的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二·安徽怀南·期末）已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆相切于点，且与及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线是的一条渐近线 C．若，则的离心率为 D．若，则的渐近线方程为 4．（2024·安徽池州）已知双曲线的左焦点为F，过F的直线l交圆于A，B两点，交C的右支于点P.若，，则C的离心率为 . 5．（22-23高二下·安徽·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，在双曲线左支上取一点，若直线与以双曲线实轴为直径的圆相切于，若向量，则双曲线的离心率为 . 专题09三角换元型 1．（2021-2022安徽六安舒城）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二上·安徽卓越县中联盟·）椭圆的左右焦点分别为､，直线与交于A､两点，若，，当时，的离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽马鞍山）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，M为双曲线右支上的一点，若M在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24安徽部分学校联考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，P是E上异于A，B的一个动点，若，则（    ） A．E的离心率为 B．直线PA与PB的斜率之积为 C．满足的点P有4个 D． 5．椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为、.一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为.则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的标准方程为 B．若点在椭圆上，则的最大值为 C．若点在椭圆上，的最大值为 D．过直线上一点分别作椭圆的切线，交椭圆于，两点，则直线恒过定点 题型10综合难度 1．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为 . 2．（·安徽安庆·期末）已知双曲线，直线过左焦点交双曲线于，两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 A． B． C．2 D． 3．（2021·安徽师大附中）已知F是椭圆的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴重合）与该椭圆相交于点M，N．记，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 4．（22-23高二下·安徽定远中学·期末）设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是（    ） A．双曲线离心率的最小值为4 B．离心率最小时双曲线的渐近线方程为 C．若直线同时与两条渐近线交于点，，则 D．若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$