专题03 直线与圆归类（5大基础题+9大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（安徽专用）

专题03 直线与圆归类 经典基础题 题型1待定系数求圆的方程 1．（23-24高二上·安徽六安·期末）圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设圆心再根据点在圆上求得，再应用圆的标准方程写出圆的方程即可. 【详解】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为， 则圆的方程为，又点在圆上， 所以，解得， 所以所求圆的方程为． 故选：A 2．（23-24高二安徽芜湖一中）已知圆：和定点，为圆外一点，直线与圆相切于点.若，则的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】先求点的轨迹方程，再数形结合求的最小值. 【详解】如图：    因为与圆相切，所以， 设，整理可得， 所以点轨迹是以为圆心，以4为半径的圆. 所以当点位于时，取得的最小值为. 故选：B 3．（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）经过原点和点且圆心在直线上的圆的方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令圆心为，由圆所经过的点及两点距离公式列方程求出圆心坐标，即可写出圆的方程. 【详解】由题设，令圆心为，又圆经过原点和点， 所以，整理可得，故圆心为， 所以半径平方，则圆的方程为. 故选：D 4．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）平面直角坐标系数Oxy中，已知，则使得动点P的轨迹为圆的条件有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设，根据选项中的条件列出方程，化简，结合化简结果可判断动点轨迹是否为圆，即可判断A，B，C；结合椭圆定义可判断D. 【详解】设，则， 对于A，由得， 此时动点P的轨迹为圆，A正确； 对于B，由得， 则，该式无意义，此时点P不存在，B错误； 对于C，由得， 整理得，即， 此时动点P的轨迹为圆，C正确； 对于D，由可知，动点P到两定点的距离之和为3， 且，此时动点P的轨迹为椭圆，D错误， 故选：AC 5．（22-23高二下·安徽阜阳·期末）已知圆的圆心坐标为.若直线与圆相切于点，则圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】 根据相切关系可得垂直，利用垂直关系可得，即可根据点点距离求解半径，进而可得圆的方程. 【详解】直线过点，可得直线，其斜率. 由相切可得，可得， 所以，则圆的标准方程为. 故答案为： 题型2 直线与圆的位置关系 1．（22-23·安徽阜阳·期末）已知 ，直线 ，若l与⊙O相离，则（    ） A．点 在l上 B．点在上 C．点在 内 D．点在外 【答案】C 【分析】 根据l与相离,可知圆心到直线的距离大于半径，由此列不等式，即可推出，即可得答案. 【详解】 由已知l与相离,可知圆心到直线的距离大于半径， 不妨设为的半径，即有， 故，由于，则，所以, 则点在内， 故选：C． 2．（22-23高二上·安徽宿州·期末）设，已知直线与圆，则“直线与圆相交”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的定义和直线与圆的位置关系可得结果. 【详解】若直线与圆相交， 由点到直线的距离公式可得：，解得：且，不一定有； 若，则圆心到直线的距离，所以直线与圆相交， 所以“直线与圆相交”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 3．（21-22·安徽·期末）已知m，n不全为0，则“直线与圆相离”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线与圆相离求得的关系，再根据点在圆内得出的关系，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出结论. 【详解】解：因为直线与圆相离， 所以圆心到直线的距离， 所以， 所以点在圆内， 若点在圆内， 则，不能推出， 即不能推出直线与圆相离， 所以“直线与圆相离”是“点在圆内”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知直线，圆，则下列结论正确的有（    ） A．直线过定点 B．直线与圆恒相交 C．直线被圆截得的弦长最短为4 D．若直线被圆截得的弦长为，则 【答案】ABD 【分析】利用直线的点斜式方程可判断A；利用定点与圆的位置关系可判断B；根据定点为弦的中点时，直线被圆截得的弦长最短可判断C；利用弦长公式可判断D. 【详解】对于A，直线，即，则直线恒过定点，故A正确； 对于B，因为，所以定点在圆内部，所以直线与圆恒相交，故B正确； 对于C，直线与轴垂直时，直线被圆截得的弦长最短，此时， 直线被圆截得的弦长为，故C错误； 对于D，直线，圆心到直线的距离， 得，故D正确. 故选：ABD 5．（2024安徽滁州滁州中学期末）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可； 【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上， 所以所在直线即为直线，所以直线为，即； 圆，圆心，半径， 依题意圆心到直线的距离， 即，解得，即； 故答案为： 题型3 圆与圆的位置关系 1．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）若圆：与圆：内切，则（ ） A．29 B．9 C． D．19 【答案】C 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，结合圆与圆的位置关系即可求解. 【详解】由圆：，可得圆心，半径； 圆：可化为， 可得圆心，半径， 所以， 由圆圆内切，所以，即， 解得：. 故选：C. 2．（23-24高二上·安徽·期末）已知圆：及圆：，若存在点P，使得，关于点P对称，则，的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】C 【分析】要存在点P，使得，关于点P对称，则，的半径相等，再利用圆与圆的位置关系判断即可. 【详解】结合题意：圆的标准方程为，圆心， 圆的标准方程为，圆心， 要存在点P，使得，关于点P对称，则，的半径相等， 所以，， 此时，的半径都是， 又， 所以，外切． 故选: C. 3．（23-24高二上·安徽合肥一中期末）若圆上存在点，点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易得出圆关于直线对称的圆为，将问题转化为与有交点即可求解. 【详解】由题知，如图所示：    因为圆的圆心为， 所以关于直线对称的点为， 所以圆关于直线对称的圆为， 若要圆上存在点，点关于直线的对称点 在圆上， 其中圆的圆心为，半径为2， 则只需与有交点即可， 又 所以在外， 根据两圆有交点，则两圆心的距离大于半径等于之差的绝对值，小于等于半径之和. 可得：，两圆分别内切与外切的时候取等号， 解得：. 故选：A. 4．（22-23安徽阜阳阜南县期末）已知圆：，：，则（    ） A．圆的圆心坐标是 B．圆的半径等于4 C．圆与圆相离 D．圆与轴相交，且截得的弦长等于 【答案】ACD 【分析】由圆的标准方程解出圆心坐标、半径去判断选项AB；由两圆圆心距与两圆半径和差的关系去判断选项C；解得圆截轴所得的弦长去判断选项D. 【详解】由，得圆心，半径 故选项A判断正确； 选项B判断错误； 由，得圆心，半径 两圆圆心距，， 由，可知圆与圆相离. 选项C判断正确； 圆截轴所得的弦长为.选项D判断正确. 故选：ACD 5．（14-15高二上·安徽蚌埠·期末）如果圆x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆x2＋y2＝4总相交，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】试题分析：将圆变形为，可知圆心，半径为．圆的圆心为，半径为．当两圆总相交时，即，解得． 考点：两圆的位置关系． 题型4 圆的切线 1．（23-24高二上·安徽淮北·期末）从原点向圆引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与圆相切求得直线的斜率，得到切线的倾斜角，结合图形求得两条切线间圆的劣弧所对的圆心角，用弧长公式即得. 【详解】   由配方得：，即圆心为,半径为. 如图，设过原点的圆的两条切线与圆切于点,连接. 设切线的方程为：，由圆心到切线的距离为，解得：， 设其中一条切线的倾斜角为，满足，解得：，故, 则两条切线间圆的劣弧长为. 故选：B. 2．（23-24·安徽池州·期末）已知过点与圆：相切的两条直线分别是，若的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得该圆圆心，半径，借助切线定义可得 【详解】，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为M，N， ，则， 则，故， 故为钝角，则. 故选：D. 3．（22-23安徽合肥一六八·期末）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】圆的方程化为，求出圆心和半径，利用直角三角形求出，由二倍角公式可得的值． 【详解】圆可化为，则圆心，半径为； 设，切线为、，则， 中，，所以． 故选：A． 4．（23-24高二上·安徽六安一中期末）已知直线l的方程为（k为常数），点Q在直线l上，过点Q作圆的一条切线QM，M为切点，若的面积的最小值为，此时（　　） A． B． C．直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为2 D．直线l上的动点E与圆C上的动点F的距离的最大值为4 【答案】AC 【分析】求出圆心坐标和半径，由的面积的最小值为，可得可判断A；再由点到直线的距离公式求出k的值可判断B；由k的值可得直线l的方程，求出圆心到直线的距离再减半径可得最小值，没有最大值，即可判断CD，进而可得正确选项. 【详解】由可得，圆的圆心，半径，，又因为，所以当取得最小值时， 取最小值，，此时，可得，， 所以，整理可得， 解得或，故选项A正确，选项B不正确； 当时，直线l的方程为， 则直线l上的动点E与圆C上动点F的距离|EF|最小值为， 直线l上的动点E与圆C上动点F的距离没有最大值， 当时，直线l的方程为， 则直线l上的动点E与圆C上动点F的距离最小值为． 直线l上的动点E与圆C上动点F的距离没有最大值， 故选项C正确，D错误.    故选：AC. 5．（23-24高二上·安徽滁州·）已知过原点作圆：的两条切线，切点分别是，，则 ． 【答案】/0.28 【分析】由圆的切线的性质，结合三角函数的二倍角公式可得答案. 【详解】由题意知，圆的圆心坐标为，半径， 所以，， 所以， 故答案为： 题型5 两圆公切线 1．（22-23安徽涡阳一中期末）直角坐标平面内，与点的距离为2，且与点的距离为3的直线的条数为 （    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】将问题转化为求以点为圆心，以2为半径的圆和以点为圆心，以3为半径的圆的公切线的条数求解.， 【详解】到点距离为2的直线可看作以A为圆心2为半径的圆的切线， 同理到点距离为3的直线可看作以B为圆心3为半径的圆的切线， 故所求直线为两圆的公切线， 又， 故两圆外切， 所以公切线有3条， 故选：C. 2．（22-23安徽六安一中期末）与圆都相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】求得两圆的圆心坐标和半径，利用两圆的位置关系的条件判定两圆相外切，从而得到公切线的条数. 【详解】的圆心坐标为,半径为； 化为标准方程为, 圆心坐标为,半径为， 圆心距, ∴两圆相外切， 故两圆的公切线有3条. 故选：C. 【点睛】本题考查两圆的公切线的条数，关键是判定两圆的位置关系，当两圆相离时有4条公切线，当两圆外切时，有3条公切线，当两圆内切时有1条公切线，当两圆相交时，有2条公切线，当两圆内含时没有公切线. 3．（19-20高二上·安徽池州·期末）圆与圆的公切线条数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】先将两个圆的方程化为标准方程，求得两个圆的圆心距，与半径比较即可判断两个圆的位置关系，进而判断出公切线数量. 【详解】圆与圆 则化为标准方程可得圆，圆， 故； 而， 所以圆相离，故两圆有4条公切线， 故选：A. 【点睛】本题考查了圆的一般式与标准方程的转化，圆与圆位置关系的判断方法，由圆与圆的位置关系判断公切线数量，属于基础题. 4．（23-24安徽淮北实验中学期末）已知圆与圆，则（    ） A．两圆的圆心距为 B．两圆的公切线有3条 C．两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 D．两圆相交，且公共弦的长度为 【答案】AC 【分析】根据圆的方程确定圆心坐标，求出两圆圆心距，判断A；判断两圆的位置关系，即可判断B；将两圆方程相减，即可得两圆公共弦所在的直线方程，判断C；利用几何法求得公共弦长，判断D. 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为 与圆的圆心为，半径为， 故两圆的圆心距为，A正确； 对于B，由于， 即圆与圆相交，两圆的公切线有2条，B错误； 对于C，由B可知两圆相交， 将圆与圆的方程相减， 得，即公共弦所在的直线方程为，C正确； 对于D，由B可知两圆相交，而， 到直线的距离为， 故两圆公共弦的长度为，D错误， 故选：AC 25．（21-22安徽合肥六校联盟）已知圆，圆，则两圆的公切线条数是 . 【答案】 【分析】首先把圆的一般方程化为标准方程，进一步求出两圆的位置关系，可得两圆的公切线条数. 【详解】解：由圆，可得：， 可得其圆心为，半径为； 由，可得， 可得其圆心为，半径为2； 所以可得其圆心距为：， 可得：， 故两圆相交，其公切线条数为, 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查两圆的位置关系及两圆公切线条数的判断，属于中档题. 优选提升题 题型01 圆轨迹：阿圆 1．（23-24高三上·安徽六安·）在平面直角坐标系中，，，若直线上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点得轨迹方程，要使直线上存在点满足，只需满足直线与圆有公共点. 【详解】设点的坐标为，因为，，, 所以,整理得：， 所以点得轨迹是以圆心，半径为的圆； 所以圆心到的距离为， 要使直线上存在点满足，只需满足直线与圆相交或相切. 即，解得：. 故选：A. 2．（23-24高二·安徽·）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，动点满足，则点的轨迹与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出点的轨迹的方程，即可得到其圆心与半径，再得到圆的圆心与半径，即可判断两圆相交，再两圆方程作差即可得到公共弦方程，求出圆心到公共弦所在直线的距离，最后由计算可得. 【详解】由题意知，化简得，其圆心为，半径， 又圆的圆心为，半径， 所以，且，所以两圆相交， 其公共弦所在的直线方程为， 圆心到公共弦所在直线的距离， 故公共弦长为. 故选：C 3．（20-21高二上·安徽合肥·期末）若平面上两点，，动点满足，则动点的轨迹与直线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．与实数的取值有关 【答案】C 【分析】设出点，直接法求出点的轨迹方程，再联立直线方程，用根的判别式判断公共点的个数. 【详解】设点，由题意：得：， 整理得到点的轨迹方程为，即， 联立，得：， 则，故直线和圆2个交点， 故选：C． 4．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）平面直角坐标系数Oxy中，已知，则使得动点P的轨迹为圆的条件有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设，根据选项中的条件列出方程，化简，结合化简结果可判断动点轨迹是否为圆，即可判断A，B，C；结合椭圆定义可判断D. 【详解】设，则， 对于A，由得， 此时动点P的轨迹为圆，A正确； 对于B，由得， 则，该式无意义，此时点P不存在，B错误； 对于C，由得， 整理得，即， 此时动点P的轨迹为圆，C正确； 对于D，由可知，动点P到两定点的距离之和为3， 且，此时动点P的轨迹为椭圆，D错误， 故选：AC 5．（22-23高二·安徽滁州·）已知两定点，，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】 由已知条件可求得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，则的最大值为两圆圆心距加两圆半径. 【详解】 设点坐标，，， ，即，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又点是圆上的动点，如图， 由图可知，的最大值为两圆圆心距加两圆半径，即． 故答案为：． 题型02 残圆与直线交点 4．（23-24高二上·安徽马鞍山当涂县一中·期末）若直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线过定点以及曲线形状，由直线和圆的位置关系利用点到直线距离公式可得. 【详解】易知直线过定点， 曲线可化为，曲线表示的是圆心在坐标原点，半径为1的上半圆，如下图所示： 当直线与半圆相切时可得，解得， 结合图象可得， 若直线和曲线有两个不同的交点，由图可得， 即实数的取值范围是. 故选：B 2．（23-24高二上·安徽亳州·期末）已知直线和曲线，当时，直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据直线所过定点，结合图象即可判定. 【详解】直线的方程可化为， 所以直线恒过点， 曲线即， 表示圆心为坐标原点，半径为3的圆的上半部分（如图）， 由图可知，当时，直线与曲线的交点个数为1. 故选：B. 3．（20-21高二安徽亳州一中期末）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，化简曲线为，再由直线恒过定点，结合图象和圆心到直线的距离，列出方程，即可求解. 【详解】由曲线，可得， 又由直线，可化为，直线恒过定点， 作出半圆与直线的图象，如图所示， 结合图象，可得，所以， 当直线与半圆相切时，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 4．（2024高二上·安徽池州·）直线与曲线恰有两个交点，则实数的值可能是（    ） A．4 B．5 C．3 D． 【答案】AD 【分析】做出函数图象，数形结合，求出的取值范围，再进行选择. 【详解】做出函数与的草图.    设与圆相切，则或（舍去）. 因为函数与有两个交点，所以. 故选：AD 5．（2024·安徽黄山·）若函数有两个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】． 【分析】令，则有，将问题转化为半圆与直线有两个交点，作出图象，结合图象求解即可． 【详解】令， 则，所以， 又因为，即为，表示单位圆位于轴上及上方部分； 而，表示过点且斜率为的直线， 所以将问题转化为半圆与直线有两个交点， 当直线与半圆相切时；，解得， 当直线过点时，则有，解得， 综上，． 故答案为：． 题型03 弦长最值与求参 1．（22-23高二安徽阜阳红旗中学期末）已知圆，过点的直线，，…，被该圆M截得的弦长依次为，，…，，若，，…，是公差为的等差数列，则n的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n的最大值 【详解】解：由题意在圆中∴圆心，半径为3， 过点的直线，，…，被该圆M截得的弦长依次为，，…， 过圆心作弦的垂线，交圆于两点，如下图所示：由几何知识得，当时， 为最短弦长；为最长弦长，为6. 此时，直线的解析式为： 直线的解析式为：圆心到弦BC所在直线的距离： 连接,由勾股定理得，∴， ∴最短弦长，∵，，…，是公差为的等差数列∴设 ∵最长弦长为6∴解得：故选：D. 2．（21-22·安徽亳州·期末）直线：被圆：截得的最短弦长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】首先确定直线过的定点，然后明确直线何种情况下被圆截得的弦长最炫，由此计算即可. 【详解】直线：即为 ， 当时， ，故直线线过定点 ，设该点为P, 又，故点在圆内， 当圆心和P点连线垂直于直线l时，l被圆解得的弦长最短， 而即 ，半径 ，圆心为 , 故 , 故弦长为 ， 故答案为：2. 3．（20-21高二上·安徽黄山·期末）若直线与圆交于两点，当最小时，劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知直线过定点，当弦长最短时直线，由此可求圆心角及劣弧的长. 【详解】因为直线过定点，当最小时，， 因为，，， 所以劣弧的长为. 故选:A. 4．（23-24高二 ·安徽芜湖·期末）已知直线，圆，则下列结论正确的有（    ） A．直线过定点 B．直线与圆恒相交 C．直线被圆截得的弦长最短为4 D．若直线被圆截得的弦长为，则 【答案】ABD 【分析】利用直线的点斜式方程可判断A；利用定点与圆的位置关系可判断B；根据定点为弦的中点时，直线被圆截得的弦长最短可判断C；利用弦长公式可判断D. 【详解】对于A，直线，即，则直线恒过定点，故A正确； 对于B，因为，所以定点在圆内部，所以直线与圆恒相交，故B正确； 对于C，直线与轴垂直时，直线被圆截得的弦长最短，此时， 直线被圆截得的弦长为，故C错误； 对于D，直线，圆心到直线的距离， 得，故D正确. 故选：ABD 5．（21-22高二上·安徽滁州定远育才中学·期末）已知圆，直线（不同时为0），当变化时，圆被直线l截得的弦长的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意知直线恒过定点，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆被直线l截得的弦长为最小值，即可求出答案. 【详解】把直线化为 ，恒过定点，当圆被直线l截得的弦长的最小值时，圆心到定点的距离为，圆心到直线距离最大值时即为，此时直线弦长为最小值. 故答案为：. 题型04 切线长最值与范围 1．（2023·安徽合肥六校联盟期末）已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】连接，，当最小时，最小，计算点到直线的距离得到答案. 【详解】如图所示：连接，则， 当最小时，最小，， 故的最小值为.故选：C. 2．（22-23高二上·安徽滁州·期末）已知圆：，为直线：上的一点，过点作圆的切线，切点分别为，，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 首先根据题意得到当时，此时取得最小值，求出以为直径的圆的方程为，再求两圆的公共弦方程即可. 【详解】 由圆的知识可知，，，，四点共圆，且， 所以， 又，当时，此时取得最小值， 此时直线的方程为，即， ，解得，即. 所以的中点为， 所以以为直径的圆的方程为， 又圆：，即， 两圆的方程相减可得：，即直线的方程为． 故选：D 3．（22-23高二·安徽六安·期末）已知圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为A、B，则切线段的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据切线长公式和点到直线的距离公式求解. 【详解】，所以当时，的长最小， C到l的距离为，所以， 故选:B． 4．（22-23高二上·安徽宣城·期末）圆，直线，点在圆上，点在直线上，则下列结论正确的是（    ） A．圆关于直线对称 B．的最大值是9 C．从点向圆引切线，切线长的最小值是3 D．直线被圆截得的弦长取值范围为 【答案】CD 【分析】 根据不在直线上判断A；根据判断B；根据时，切线长最小求解判断C；根据直线过定点，再结合弦长公式判断D. 【详解】解：对于A选项，圆，∴圆心，半径， ∵，∴圆不关于直线对称，故A选项错误； 对于B选项，由圆心到直线的距离为：， 的最小值是，故，故B选项错误； 对于C选项，从点向圆引切线，当时，切线长最小，最小值是，故C正确； 对于D选项，直线过定点，该定点在圆C内， 所以直线被圆截得的弦长最长时，所截弦长为过点和圆心的圆的直径，即弦长的最大值为8， 最短的弦长为垂直与该直径的弦长，和圆心的距离为，最短弦长为， 故直线被圆截得的弦长取值范围为，D正确． 故选：CD． 5．（安徽宿州重点中学联盟期末）由直线上的任意一个点向圆引切线，则切线长的最小值为 . 【答案】 【分析】利用切线和点到圆心的距离关系即可得到结果. 【详解】圆心坐标，半径 要使切线长最小，则只需要点到圆心的距离最小， 此时最小值为圆心到直线的距离， 此时， 故答案为： 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，同时考查了点到直线的距离公式，属于基础题. 题型05 切线与三角形四边形面积最值 1．（21-22高二上·安徽芜湖·期末）已知：，直线l：，M为直线l上的动点，过点M作的切线MA，MB，切点为A，B，则四边形MACB面积的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】易知四边形MACB的面积为，然后由最小，根据与直线l：垂直求解. 【详解】：化为标准方程为：, 由切线长得：, 四边形MACB的面积为， 若四边形MACB的面积最小，则最小， 此时与直线l：垂直， 所以， 所以四边形MACB面积的最小值， 故选：B 2．（22-23高二上·安徽滁州定远育才中学·期末）已知双曲线的右顶点为，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先求出点A的坐标，设出过点A的直线方程，然后利用点到直线的距离公式列方程求出直线方程，从而可求出的面积 【详解】双曲线的右顶点为，设过点的直线方程为， 因为直线与圆相切，所以，解得或， 不妨设直线与圆交于由，得解得，得， 同理可得所以的面积为，故选：A 3．（23-24安徽安庆七中·期末）已知点是直线上一动点，与是圆C：的两条切线，M、N为切点，则四边形的最小面积为（   ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离为的最小值，此时也最小,四边形的面积也最小，即可求解. 【详解】由题意知，圆C：的圆心,半径， 因为与是圆C：的两条切线，所以， ,则，当最小时，也最小, 又点是直线上一动点， 故圆心到直线的距离，为的最小值，此时， 则此时四边形的面积也最小，最小值为. 故选：C. 4．（21-22高二上·安徽六安一中期末）已知直线l的方程为（k为常数），点Q在直线l上，过点Q作圆的一条切线QM，M为切点，若的面积的最小值为，此时（　　） A． B． C．直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为2 D．直线l上的动点E与圆C上的动点F的距离的最大值为4 【答案】AC 【分析】求出圆心坐标和半径，由的面积的最小值为，可得可判断A；再由点到直线的距离公式求出k的值可判断B；由k的值可得直线l的方程，求出圆心到直线的距离再减半径可得最小值，没有最大值，即可判断CD，进而可得正确选项. 【详解】由可得，圆的圆心，半径，，又因为，所以当取得最小值时， 取最小值，，此时，可得，， 所以，整理可得， 解得或，故选项A正确，选项B不正确； 当时，直线l的方程为， 则直线l上的动点E与圆C上动点F的距离|EF|最小值为， 直线l上的动点E与圆C上动点F的距离没有最大值， 当时，直线l的方程为， 则直线l上的动点E与圆C上动点F的距离最小值为． 直线l上的动点E与圆C上动点F的距离没有最大值， 故选项C正确，D错误.    故选：AC. 5．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为A，B，则当四边形PAOB面积最小时，直线AB的方程为 ． 【答案】 【分析】由，得当最小，也即OP垂直直线：时，四边形PAOB面积最小，即可求解. 【详解】解：圆，所以圆心为，半径， ， 所以当最小，也即OP垂直直线：时，四边形PAOB面积最小， 此时直线OP的方程为，由，解得， 即，对应，， 以P为圆心，半径为2的圆的方程为：，即， 由，两式相减并化简得，即直线AB的方程为． 故答案为： 题型06 切点弦最值与范围 1．（2023·安徽·皖南八校）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合点在直线上，求出切点弦AB的方程，确定其所经过的定点，确定当时，C到直线AB的距离最大，M到直线AB的距离也最大，即可求得答案. 【详解】根据题意，设点，则， 过点作圆的切线，切点分别为A，B， 则有，，则点A，B在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径， 则其方程为，变形可得， 联立，可得圆D和圆O公共弦为：， 又由，则有，变形可得， 则有，可解得，故直线恒过定点， 点在圆上，， 当时，C到直线AB的距离最大，M到直线AB的距离也最大， 则点到直线距离的最大值为. 故选:B. 2．（22-23高二上·安徽合肥庐阳中学）已知点在直线：上，过点的两条直线与圆：分别相切于两点，则圆心到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】得到四点共圆，且圆的直径为，从而设出，表达出圆心和半径，写出圆的方程，与相减后得到直线的方程为，利用点到直线距离公式得到圆心到直线的距离，配方求出的最小值，从而得到的最大值. 【详解】由题意得：四点共圆，且圆的直径为， 设，则， 则的中点为圆心，圆心坐标为，半径为， 所以圆的方程为：， 整理得：， 将与相减得：， 故直线的方程为， 圆心到直线的距离， 因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故. 故选：D 3．（21-22高三上·安徽宣城·）已知圆与直线，过l上任意一点P向圆C引切线，切点为A，B，若线段长度的最小值为，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，则由题意可求得，从而可得，而的最小值是圆心到直线的距离，然后列方程可求出实数m的值 【详解】圆，设，则，因为，所以，又，所以，又， 所以，即，又，所以．故选：D． 4．（22-23安徽淮北）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法错误的是（   ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．切线长的最小值为1 C．四边形面积的最小值为2 D．直线恒过定点 【答案】AC 【分析】由圆心到直线的距离为，可判定A正误；由圆的切线长，可判定B正误；由四边形的面积计算公式，可判定C正误；设，求得以为直径的圆的方程，进而得到两圆的相交弦的方程，联立方程组，可判定D正误． 【详解】对于A,由圆，可得圆心，半径， 圆心到直线的距离为， ，故圆有两个点到直线的距离为，故A错误； 对于B，由圆的性质，可得切线长， 当最小时，达到最小，又，则，所以B正确； 对于C，由四边形的面积为，所以四边形的面积的最小值为1，故C错误； 对于D，设，由题知，在以为直径的圆上， 又由，的中点为，故圆的方程为， 即， 因为圆，即． 两圆的方程相减得直线，即， 由，解得，，即直线恒过定点，故D正确． 故选：AC． 5．（23-24高二上·安徽·）过直线上任意点作圆的两条切线，切点分别为，直线过定点 ；记线段的中点为，则点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【分析】设，则可得以为直径的圆的方程为，结合点在直线上，也在圆上化简可得，从而可得直线的方程，进而可求得直线过的定点，设，则由可求出点的轨迹方程，从而可求出点到直线的距离的最小值. 【详解】设，因为是直线上一点， 所以，以为直径的圆的方程为， 即，所以，即直线的方程为， 又直线的方程为，故直线过定点. 设，直线过定点为，则， 由，得， 整理得点的轨迹方程为， 因为点到直线的距离， 所以直线与圆相离， 所以点到直线的距离的最小值为. 故答案为：， 专题07 切线与角度 1．（23-24高二上·安徽亳州蔚华中学）已知圆：，过圆外一点作的两条切线，切点分别为.若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心和半径以及切线性质可知为正三角形，即可得. 【详解】易知圆的圆心坐标为，半径，连接，如下图所示： 利用对称性由可知，又易知，所以可得， 即，又， 所以为正三角形，即可得； 故选：B 2．（2024·安徽六安一中）在平面直角坐标系中，设，，动点P满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点，利用数量积的坐标表示得到点的轨迹，结合直线与圆的关系进行求解即可. 【详解】设，则，， 则，即， 化为，则点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆， 又，所以三点共线， 显然当直线与此圆相切时，的值最大. 又, 则, 则. 故选：C. 3．（2021高二上·安徽合肥·期末）已知点是直线的动点，过点引圆的两条切线，切点为，当的最大值为时，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】根据圆的几何性质分析，当最大时，点到圆心的距离最小，根据角的关系即可求解. 【详解】由圆的几何性质可得： 当最大时，点到圆心的距离最小， 即到直线的距离， 此时，则. 故选：C 【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，通过切线形成的角的关系求解半径，考查数形结合思想. 4．（2023安徽宣称宣称中学）如图，在平面直角坐标系中，线段过点，且，若，则下列说法正确的是（    ） A．点A的轨迹是一个圆 B．的最大值为 C．当三点不共线时，面积的最大值为2 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】由条件可得，设，由此可化得，即可判断A，当直线与圆相切时，最大，由此可判断B，，求出的最大值可判断C，当三点共线且点位于之间时，最小，求出最小值可判断D. 【详解】因为、， 所以，设，则， 化简得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故A正确， 当直线与圆相切时，最大， 设直线的方程为，则有，解得， 所以此时直线的倾斜角为，即的最大值为，故B正确， 因为，所以， 因为，的最大值为， 所以的最大值为，的最大值为，故C正确， 当三点共线且点位于之间时，最小，最小值为，故D错误， 故选：ABC 5．（2024·安徽·A10联盟）已知曲线与曲线在第一象限交于点A，记两条曲线在点A处的切线的倾斜角分别为，则 ． 【答案】/ 【分析】求出交点后，借助圆的切线的性质与导数的几何意义计算即可得. 【详解】，解得，，故， 设曲线在点A处的切线为，即， 曲线在点A处的切线为，由可得其圆心为，半径为，则有，即，解得， 对，有，则，则，即，， 则.故答案为：. 专题08 圆定点定值 1．（2022·安徽黄山·）若圆关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线、，切点分别为、，则直线恒过定点，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆关于直线对称，求得b， 设 ，求出以为直径的圆的方程，可得直线MN为圆C与以为 直径的圆的公共弦所在的直线，联立两圆的方程，即可得直线MN的方程， 再由直线系方程得答案． 【详解】由题意可知：圆的圆心在直线上， 即有 ， 设点 ，则 ， 故以为直径的圆的方程为： ， 将和相减， 即可得直线的方程，即 ， 则直线恒过定点， 故选：C 2．（23-24高二上·安徽）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则以下正确的序号为（    ） ①存在轴上的唯一点对，，使得为常数 ②存在轴上的无数个点对，，使得为常数 ③存在直线（）上的唯一点对，，使得为常数 ④存在直线（）上的无数个点对，，使得为常数 A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】易得圆关于直线轴对称，设，（），，再根据对恒成立求出的关系式，再根据关于的方程的解的个数即可得出答案. 【详解】圆心坐标为，圆心在轴上， 所以圆关于直线轴对称， 设，（），， 则， 即对恒成立， 所以，所以，所以， 所以且，所以且且， 即有无数组解，所以①错误，②正确； 因为直线（）定点， 所以圆关于直线（）对称， 根据上推理得，存在直线上的无数个点对，，使得的值与的位置无关， 所以③错误，④正确． 故选：B. 【点睛】关键点点睛：设，（），，再根据对恒成立求出的关系式，判断出关于的方程的解的个数是解决本题的关键. 3．（22-23高二上·安徽淮南）已知圆与轴交于两点，点的坐标为．圆过三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则此定直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆为，根据圆与圆都经过两点，可用表示，又点在圆上，可用表示，进而可得含参数的圆的方程，再由圆系方程求解即可. 【详解】圆方程为，令，得， 设圆的方程为，令，得， 由题意，圆与圆都经过两点， ∴方程与等价，∴，， ∴圆的方程为， ∵点在圆上，∴，∴， ∴圆：，整理得， ∴圆经过直线与圆的交点， ∴当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值， 故选：C. 4．（23-24高二上·安徽合肥一六八）已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，.则下列说法正确的是（    ） A．最短为 B．最短时，弦所在直线方程为 C．存在点，使得 D．直线过定点为 【答案】ABD 【分析】确定当时，最小，即可求得的最小值，判断A；结合A的分析，设出的方程，求出弦心距，利用点到直线的距离公式求出参数，即可判断B；假设存在点，使得，求出此时，和M到直线l的最短距离比较，即可判断C；求出切点弦的方程，结合点在直线上运动，求出所过定点，判断D. 【详解】由题意知，圆的半径为，且，， 故, 即当最小时，最短，当时，最小， 最小值为，故的最小值为，A正确； 当最短时，，故的斜率为-1， 又，故的斜率为1，设其方程为， 由于此时，，故， 所以M到的距离为. 则有，解得或， 由于，结合图形可知二者之间的距离应小于， 当时，和间的距离为， 时，的方程为和间的距离为， 故最短时，弦所在直线方程为，B正确； 假设存在点，使得，则， 此时为等腰直角三角形，则，结合， 则为等腰直角三角形，而，故， 由于M到直线l的最短距离为，故不存在点，使得，C错误； 设，由于直线，分别与圆相切， 故直线，的方程分别为， 将代入，即， 可得的方程为， 由于，即，故 即，由于，故令， 即直线过定点为，D正确， 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题综合考查了直线和圆相切的问题，涉及最值、定点以及切点弦方程问题，综合性较强，难点在于选项D的判断，解答时要注意根据圆的切线方程，推出切点弦方程，进而求解直线过定点问题. 5．（21-22高二上·安徽合肥·期中）已知圆，过动点分别作直线、与圆相切，切点为、，设经过、两点的直线为，则动直线恒过的定点坐标为 ． 【答案】 【分析】求出直线的方程为，变形为，解方程组，可得出直线所过定点的坐标. 【详解】设点为圆上一点，当的斜率存在且不为零时，直线的斜率为， 此时，圆在点处的切线方程为， 即， 当与轴重合时，，，此时切线方程为，满足， 当与轴重合时，，，此时切线方程为，满足. 综上所述，圆在其上一点处的切线方程为. 设点、，则直线的方程为， 直线的方程为， 由题意可得， 所以，点、的坐标满足方程， 故直线的方程为，即， 由，解得，因此，直线恒过的定点坐标为. 故答案为：. 专题09数形结合应用 1．（·安徽滁州·期末）过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：（）作切线，切点分别为，，若的最小值为58，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线的左右焦点为，，连接，，，，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值． 【详解】解：圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为， 设双曲线的左右焦点为，， 连接，，，，可得 ， 当且仅当为右顶点时，取得等号， 即，则 故选：B． 2．（20-21高二上安徽皖西南联盟·期末）已知为直线：上一个定点，，为圆：上两个不同的动点.若的最大值为，则点的横坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先分析出当，分别为圆的切线时，最大，过圆心作直线的垂线，垂足即为取得最大值时的点，可得，在中，可得 ，设可列方程，结合点满足直线的方程，即可求的坐标. 【详解】由圆：可得， 所以圆心为，半径. 因为点到的距离，所以与圆相离， 由图知当，分别为圆的切线时，最大， 若最大，则最大， 因为， 所以最小时，最大， 当时，最小，最大，则最大， 因为此时，所以， 在中，， 设，则①， ②， 由可得代入②可得： 解得：. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分析出时，且，分别为圆的切线时最大，设列方程，可求点的坐标. 3．（23-24高二上·安徽·）设过定点A的直线和过定点B的直线交于点P，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出定点的坐标，然后根据两直线垂直关系找到，然后根据直线与圆的位置关系求得的最值. 【详解】由题意可得动直线可化为， 斜率，过定点， 直线可化为，斜率，过定点， 又因为，故两直线垂直， 所以,即 所以P点轨迹为圆，结合圆与直线位置关系， 设则有 设，则有直线方程为，当直线与圆相切时，取得最值， 根据点到直线的距离， 解得：. 故选：A. 4．（22-23高二上·安徽芜湖师大附中）实数满足，则取值可能是（    ）. A． B．1 C． D．3 【答案】BC 【分析】根据点到直线的距离和两点间距离公式模型，结合圆的切线性质进行求解即可. 【详解】设直线的方程为：， 显然圆心到该直线的距离为，因此该直线与圆相离， 圆上任意一点，过作，垂足为， 因此，显然， 于是有， 因为圆心到纵轴的距离为1等于半径，所以直线是该圆的一条切线， 设直线与该圆相切，则有， 所以过原点的该圆的切线为，和，切点分别为、， 在中，当时，，即， 把代入中，解得，，即， 分别过、作，垂足分别这、， 所以， 显然，， 因此， 于是， 故选：BC    【点睛】关键点睛：本题的关键是根据点到直线距离和两点间距离公式模型把所求代数式转化为图形问题，应用数形结合思想. 5．（22-23高二上·安徽滁州·期末）已知实数，，，满足，，，则的最大值是 ． 【答案】24 【分析】根据几何知识，将问题转化为圆上的两点到直线的距离和最大问题，根据两个点形成的夹角结合圆的性质即可求出最大值. 【详解】由题意，实数，，，满足，，， 设，，∴,是圆：上两点，且，， ，∴， 记：，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为． 设的中点为，过作的垂线，垂足为，如图所示． 表示的是,两点到直线的距离之和的倍，又， ∴表示的是到直线的距离的倍．∵是直角三角形，∴， ∴在圆上运动，∴到直线的距离最大值为， 又，∴的最大值是24． 故答案为：24. 题型10直线与圆压轴第19题 1．（安徽六安金安区一中）已知椭圆的方程为，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于、两点，且，如图1. （1）求圆的方程； （2）如图1，过点的直线与椭圆相交于、两点，求证：射线平分； （3）如图2所示，点、是椭圆的两个顶点，且第三象限的动点在椭圆上，若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试问：四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）是，. 【分析】（1）根据已知条件设出圆心坐标,半径为圆心纵坐标,利用弦长公式,可求出圆的方程; （2）先求出点坐标,设出直线方程,与椭圆方程联立,利用韦达定理,即可求得,命题得证; （3）设,求出直线、直线方程，进而求出点与点的坐标,然后四边形的面积用点与点的坐标表示,计算可得定值. 【详解】（1）依题意,设圆心， ，解得 所求的方程为; （2）代入圆方程，得或 若过点的直线斜率不存在,此时在轴上, ,射线平分, 若过点的直线斜率存在，设其方程为 联立，消去得, 设,, , , 射线平分, （3）设, 直线方程为,令 得，即, 直线方程为,令 得，即,, , 四边形的面积为定值. 【点睛】本题考查了圆的标准方程求法,直线与圆锥曲线相交问题韦达定理的应用,以及定值问题,是综合类题目,考虑到证两条直线的斜率互为相反数是解决问题的关键,属于难题. 2．（22-23高二上·安徽马鞍山·）在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为圆心的圆与线段相切． (1)求圆O的方程； (2)若直线与圆O相交于M，N两点，且，求c的值； (3)在直线上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，且 【分析】（1）根据圆和直线的位置关系求得圆的方程. （2）根据圆心到直线的距离列方程，化简求得的值. （3）设出的坐标，根据列方程，利用特殊值求得的值，同时求得点的坐标. 【详解】（1）由于，，则线段与轴平行，且与圆相切. 所以圆的圆心为，半径为， 所以圆的方程为. （2）由于，所以， 由于三角形是等腰直角三角形，所以到直线的距离为， 所以.    （3）直线的方程为，假设存在符合题意的点，设， 则①， 由于的任意性，不妨设或，带入①得， ，解得或（舍去）， 所以（负根舍去）， 将带入①得， 整理得，则在圆上. 所以，这样的点是存在的，坐标为，此时.    【点睛】关键点睛：求解圆的方程，关键点在于求得圆心和半径.求解直线和圆的位置关系有关问题，可以利用圆心到直线的位置关系来进行求解.求解存在性问题，可先假设存在，然后根据需要满足的条件列式，再结合已知条件来进行判断. 3．（安徽卓越县中联盟·期末）在平面直角坐标系中，已知为三个不同的定点，且A，B，C不共线，.以原点为圆心的圆与线段都相切. （Ⅰ）求圆的方程及的值； （Ⅱ）若直线与圆相交于两点，且，求的值； （Ⅲ）在直线上是否存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有为常数？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）, ；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析 【分析】（Ⅰ）根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径求解；（Ⅱ）用坐标表示向量积，再联立直线与圆方程，消元代入向量积求解；（Ⅲ）假设A、P的坐标，根据两点距离公式与建立等式，再根据A、P分别满足直线和圆的方程化简等式，最后根据等式恒成立的条件求解. 【详解】（Ⅰ）由于圆与线段相切，所以半径. 即圆的方程为. 又由题与线段相切， 所以线段方程为.即. 故直线的方程为. 由直线和圆相切可得：， 解得或.由于为不同的点，所以. （Ⅱ）设，，则. 由可得， ，解得.所以. 故. 所以.所以. 故. （Ⅲ）设. 则，. 若在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点， 都有为常数, 等价于对圆上任意点恒成立. 即. 整理得. 因为点在直线上，所以. 由于在圆上，所以. 故对任意恒成立. 所以显然，所以. 故， 因为，解得或. 当时，，此时重合，舍去. 当时，， 综上，存在满足条件的定点，此时. 【点睛】本题考查直线与圆的综合应用.主要知识点有：点到直线的距离公式及应用，向量数量积的坐标表示，两点距离公式. 4．若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上. (1)求圆的标准方程. (2)若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为. （i）求的方程. （ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）直线过定点 【分析】（1）设，根据解得，即可得圆心和半径，进而可得圆的方程； （2）（i）分析可知，可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆；（ii）分类讨论直线l的斜率是否存在，根据斜率公式以及韦达定理分析求解即可. 【详解】（1）因为圆心在直线上，设， 且点，均在圆上，则， 可得，解得， 即圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. （2）（i）因为，由题意可得：， 可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆， 所以的方程为； （ⅱ）若直线l的斜率存在，设直线l：，， 联立方程，消去y可得， 则，且， 因为， 整理可得， 则 可得，即或， 当，直线过定点； 当，直线过定点，不合题意； 可知直线过定点； 若直线l的斜率不存在，设， 则，即， 且在圆上，则， 即，解得，不合题意； 综上所述：直线过定点. 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 1.动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将b用k表示为，得，故动直线过定点； 2.动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 5．（2024·安徽铜陵）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)圆：是直线族的包络曲线，求，满足的关系式； (2)若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程； (3)在（1）（2）的条件下，过曲线上动点向圆做两条切线，，交曲线于点，，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)，曲线的方程为. (3) 【分析】（1）根据直线与圆相切得到方程，化简即可； （2）转化为方程无实数解，则判别式小于0，则得到范围，再根据直线族：为抛物线的切线即可； （3）设，，，根据直线与圆相切得到，再将直线与联立得得到，再根据弦长公式得到面积表达式，最后利用导数求出其最值即可. 【详解】（1）由题可得，直线族为圆M的切线， 故满足，，所以满足． （2）将点代入，可得关于的方程， 因为点不在直线族上，故方程无实数解， 所以，那么，故， 因为区域的边界为抛物线， 下证：是的包络曲线． 证明：联立直线与，可得，所以， 故直线族：为抛物线的切线. 因此直线族的包络曲线的方程为. （3）设，，， 则， 故 由直线与相切，所以， 整理得，① 同理可得，，② 由①②可得直线． 直线与联立得，（显然） 可得， 由韦达定理可得． 因此， 由于点到直线的距离， 所以面积为， 令，则， 由，解得， 当，，当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 那么（当且仅当时取到）， 所以面积的最小值是.    【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是通过相切得到方程，从而得到直线的方程，再联立抛物线得到得到韦达定理式，最后利用弦长公式得到面积表达式，利用导数求出最值即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！44 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 直线与圆归类 经典基础题 题型1待定系数求圆的方程 1．（23-24高二上·安徽六安·期末）圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二安徽芜湖一中）已知圆：和定点，为圆外一点，直线与圆相切于点.若，则的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．6 3．（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）经过原点和点且圆心在直线上的圆的方程为 （    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）平面直角坐标系数Oxy中，已知，则使得动点P的轨迹为圆的条件有（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二下·安徽阜阳·期末）已知圆的圆心坐标为.若直线与圆相切于点，则圆的标准方程为 . 题型2 直线与圆的位置关系 1．（22-23·安徽阜阳·期末）已知 ，直线 ，若l与⊙O相离，则（    ） A．点 在l上 B．点在上 C．点在 内 D．点在外 2．（22-23高二上·安徽宿州·期末）设，已知直线与圆，则“直线与圆相交”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（21-22·安徽·期末）已知m，n不全为0，则“直线与圆相离”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知直线，圆，则下列结论正确的有（    ） A．直线过定点 B．直线与圆恒相交 C．直线被圆截得的弦长最短为4 D．若直线被圆截得的弦长为，则 5．（2024安徽滁州滁州中学期末）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． 题型3 圆与圆的位置关系 1．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）若圆：与圆：内切，则（ ） A．29 B．9 C． D．19 2．（23-24高二上·安徽·期末）已知圆：及圆：，若存在点P，使得，关于点P对称，则，的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 3．（23-24高二上·安徽合肥一中期末）若圆上存在点，点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23安徽阜阳阜南县期末）已知圆：，：，则（    ） A．圆的圆心坐标是 B．圆的半径等于4 C．圆与圆相离 D．圆与轴相交，且截得的弦长等于 5．（14-15高二上·安徽蚌埠·期末）如果圆x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆x2＋y2＝4总相交，则a的取值范围是 ． 题型4 圆的切线 1．（23-24高二上·安徽淮北·期末）从原点向圆引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24·安徽池州·期末）已知过点与圆：相切的两条直线分别是，若的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23安徽合肥一六八·期末）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·安徽六安一中期末）已知直线l的方程为（k为常数），点Q在直线l上，过点Q作圆的一条切线QM，M为切点，若的面积的最小值为，此时（　　） A． B． C．直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为2 D．直线l上的动点E与圆C上的动点F的距离的最大值为4 5．（23-24高二上·安徽滁州·）已知过原点作圆：的两条切线，切点分别是，，则 ． 题型5 两圆公切线 1．（22-23安徽涡阳一中期末）直角坐标平面内，与点的距离为2，且与点的距离为3的直线的条数为 （    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（22-23安徽六安一中期末）与圆都相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．（19-20高二上·安徽池州·期末）圆与圆的公切线条数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（23-24安徽淮北实验中学期末）已知圆与圆，则（    ） A．两圆的圆心距为 B．两圆的公切线有3条 C．两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 D．两圆相交，且公共弦的长度为 25．（21-22安徽合肥六校联盟）已知圆，圆，则两圆的公切线条数是 . 优选提升题 题型01 圆轨迹：阿圆 1．（23-24高三上·安徽六安·）在平面直角坐标系中，，，若直线上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二·安徽·）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，动点满足，则点的轨迹与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高二上·安徽合肥·期末）若平面上两点，，动点满足，则动点的轨迹与直线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．与实数的取值有关 4．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）平面直角坐标系数Oxy中，已知，则使得动点P的轨迹为圆的条件有（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二·安徽滁州·）已知两定点，，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为 ． 题型02 残圆与直线交点 4．（23-24高二上·安徽马鞍山当涂县一中·期末）若直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽亳州·期末）已知直线和曲线，当时，直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 3．（20-21高二安徽亳州一中期末）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二上·安徽池州·）直线与曲线恰有两个交点，则实数的值可能是（    ） A．4 B．5 C．3 D． 5．（2024·安徽黄山·）若函数有两个零点，则实数的取值范围是 . 题型03 弦长最值与求参 1．（22-23高二安徽阜阳红旗中学期末）已知圆，过点的直线，，…，被该圆M截得的弦长依次为，，…，，若，，…，是公差为的等差数列，则n的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．（21-22·安徽亳州·期末）直线：被圆：截得的最短弦长为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（20-21高二上·安徽黄山·期末）若直线与圆交于两点，当最小时，劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二 ·安徽芜湖·期末）已知直线，圆，则下列结论正确的有（    ） A．直线过定点 B．直线与圆恒相交 C．直线被圆截得的弦长最短为4 D．若直线被圆截得的弦长为，则 5．（21-22高二上·安徽滁州定远育才中学·期末）已知圆，直线（不同时为0），当变化时，圆被直线l截得的弦长的最小值为 . 题型04 切线长最值与范围 1．（2023·安徽合肥六校联盟期末）已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 2．（22-23高二上·安徽滁州·期末）已知圆：，为直线：上的一点，过点作圆的切线，切点分别为，，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二·安徽六安·期末）已知圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为A、B，则切线段的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．3 故选:B． 4．（22-23高二上·安徽宣城·期末）圆，直线，点在圆上，点在直线上，则下列结论正确的是（    ） A．圆关于直线对称 B．的最大值是9 C．从点向圆引切线，切线长的最小值是3 D．直线被圆截得的弦长取值范围为 5．（安徽宿州重点中学联盟期末）由直线上的任意一个点向圆引切线，则切线长的最小值为 . 题型05 切线与三角形四边形面积最值 1．（21-22高二上·安徽芜湖·期末）已知：，直线l：，M为直线l上的动点，过点M作的切线MA，MB，切点为A，B，则四边形MACB面积的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 2．（22-23高二上·安徽滁州定远育才中学·期末）已知双曲线的右顶点为，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的面积为（    ） A． B．1 C． D． 3．（23-24安徽安庆七中·期末）已知点是直线上一动点，与是圆C：的两条切线，M、N为切点，则四边形的最小面积为（   ） A．4 B． C．2 D．1 4．（21-22高二上·安徽六安一中期末）已知直线l的方程为（k为常数），点Q在直线l上，过点Q作圆的一条切线QM，M为切点，若的面积的最小值为，此时（　　） A． B． C．直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为2 D．直线l上的动点E与圆C上的动点F的距离的最大值为4 5．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为A，B，则当四边形PAOB面积最小时，直线AB的方程为 ． 题型06 切点弦最值与范围 1．（2023·安徽·皖南八校）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·安徽合肥庐阳中学）已知点在直线：上，过点的两条直线与圆：分别相切于两点，则圆心到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D．1 3．（21-22高三上·安徽宣城·）已知圆与直线，过l上任意一点P向圆C引切线，切点为A，B，若线段长度的最小值为，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23安徽淮北）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法错误的是（   ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．切线长的最小值为1 C．四边形面积的最小值为2 D．直线恒过定点 5．（23-24高二上·安徽·）过直线上任意点作圆的两条切线，切点分别为，直线过定点 ；记线段的中点为，则点到直线的距离的最小值为 . 专题07 切线与角度 1．（23-24高二上·安徽亳州蔚华中学）已知圆：，过圆外一点作的两条切线，切点分别为.若，则（    ） A． B．1 C． D． 2．（2024·安徽六安一中）在平面直角坐标系中，设，，动点P满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2021高二上·安徽合肥·期末）已知点是直线的动点，过点引圆的两条切线，切点为，当的最大值为时，则（    ） A．1 B． C． D．2 4．（2023安徽宣称宣称中学）如图，在平面直角坐标系中，线段过点，且，若，则下列说法正确的是（    ） A．点A的轨迹是一个圆 B．的最大值为 C．当三点不共线时，面积的最大值为2 D．的最小值为 5．（2024·安徽·A10联盟）已知曲线与曲线在第一象限交于点A，记两条曲线在点A处的切线的倾斜角分别为，则 ． 专题08 圆定点定值 1．（2022·安徽黄山·）若圆关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线、，切点分别为、，则直线恒过定点，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则以下正确的序号为（    ） ①存在轴上的唯一点对，，使得为常数 ②存在轴上的无数个点对，，使得为常数 ③存在直线（）上的唯一点对，，使得为常数 ④存在直线（）上的无数个点对，，使得为常数 A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 3．（22-23高二上·安徽淮南）已知圆与轴交于两点，点的坐标为．圆过三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则此定直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·安徽合肥一六八）已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，.则下列说法正确的是（    ） A．最短为 B．最短时，弦所在直线方程为 C．存在点，使得 D．直线过定点为 5．（21-22高二上·安徽合肥·期中）已知圆，过动点分别作直线、与圆相切，切点为、，设经过、两点的直线为，则动直线恒过的定点坐标为 ． 专题09数形结合应用 1．（·安徽滁州·期末）过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：（）作切线，切点分别为，，若的最小值为58，则（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高二上安徽皖西南联盟·期末）已知为直线：上一个定点，，为圆：上两个不同的动点.若的最大值为，则点的横坐标为（     ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽·）设过定点A的直线和过定点B的直线交于点P，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 4．（22-23高二上·安徽芜湖师大附中）实数满足，则取值可能是（    ）. A． B．1 C． D．3 5．（22-23高二上·安徽滁州·期末）已知实数，，，满足，，，则的最大值是 ． 题型10直线与圆压轴第19题 1．（安徽六安金安区一中）已知椭圆的方程为，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于、两点，且，如图1. （1）求圆的方程； （2）如图1，过点的直线与椭圆相交于、两点，求证：射线平分； （3）如图2所示，点、是椭圆的两个顶点，且第三象限的动点在椭圆上，若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试问：四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由. 2．（22-23高二上·安徽马鞍山·）在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为圆心的圆与线段相切． (1)求圆O的方程； (2)若直线与圆O相交于M，N两点，且，求c的值； (3)在直线上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由． 3．（安徽卓越县中联盟·期末）在平面直角坐标系中，已知为三个不同的定点，且A，B，C不共线，.以原点为圆心的圆与线段都相切. （Ⅰ）求圆的方程及的值； （Ⅱ）若直线与圆相交于两点，且，求的值； （Ⅲ）在直线上是否存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有为常数？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 4．若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上. (1)求圆的标准方程. (2)若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为. （i）求的方程. （ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 5．（2024·安徽铜陵）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)圆：是直线族的包络曲线，求，满足的关系式； (2)若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程； (3)在（1）（2）的条件下，过曲线上动点向圆做两条切线，，交曲线于点，，求面积的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$