精品解析：湖南省株洲市南方中学2024-2025学年高三上学期11月月考数学试卷数学

株洲市南方中学2025届高三11月月考试卷 数学 命题人：蒋 帅 审题人：李 强 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合 （ 是虚数单位）， ，则 等于 （　　 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由已知得，故，故选C． 考点：1、复数的概念；2、集合的运算． 2. 已知一组数据，，，，的平均数为2，方差为，则另一组数据，，，，的平均数、标准差分别为（ ） A. 2， B. 2，1 C. 4， D. 4， 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、方差的性质计算可得. 【详解】因为一组数据，，，，的平均数为2，方差为， 所以另一组数据，，，，的平均数为，方差为, 即平均数、标准差分别为． 故选：C． 3. 已知奇函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由即可求解. 【详解】， 是奇函数，， ，，． 故选:A． 4. 若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（ ） A. 24 B. 32 C. 96 D. 128 【答案】C 【解析】 【分析】根据正四棱锥及球的特征求出锥体的底边边长和侧棱长，然后结合勾股定理利用侧面积公式计算即可. 【详解】 如图所示，设P在底面的投影为G，易知正四棱锥的外接球球心在上， 由题意球O的半径， 所以，，则， 故中，边AB的高为， 所以该正四棱锥的侧面积为. 故选：C 5. 图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面ABCD与平面ATBS的夹角为45°，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二面角平面角可得为，再在中利用余弦定理可求得结果. 【详解】 连接AC、BD相交于点O，连接SO，因四棱锥为正棱锥， 所以平面ABCD，取AB的中点E，连接SE、OE， 因为，所以， 所以即为平面ABCD与平面ATBS的夹角，即, 设，则， 所以，， 在中，由余弦定理， 故选：A． 6. 在中，角A为，角A的平分线AD交BC于点D，已知，且，则（ ） A. 1 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用共线定理的推论求得，然后以A为原点，以AB为x轴建立平面直角坐标系，根据坐标运算求得，然后由数量积的坐标表示可得. 【详解】由可得：， 因为B，C，D三点共线，故，即， 所以， 以A为原点，以AB为x轴建立平面直角坐标系如图所示， 因为，，则， 因为，故设， 则 由得， 解得，故，， 所以. 故选：C， 7. 设椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线l过点.若点关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知结合椭圆的定义可推得，.然后根据，可推得.最后根据余弦定理，即可得到关于的齐次方程，即可得出离心率. 【详解】 设， 由已知可得，， 根据椭圆的定义有. 又， 所以. 在中，由余弦定理可得， ， 即， 整理可得， 等式两边同时除以可得，， 解得，或（舍去）， 所以. 故选：C. 8. 在锐角中，，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在锐角中，每个角都是锐角确定的范围，利用正弦定理以及三倍角的正弦公式，化简表达式，求出范围即可. 【详解】在锐角中， 可得， ， 所以由正弦定理可知 ，故选D. 【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，三倍角的正弦公式，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质判断AB；根据期望和方差的性质判断CD. 【详解】由题意可知：，且， 可得，故A正确； 且， 即，所以，故B正确； 根据期望和方差的性质可知：，，故C错误，D正确； 故选：ABD. 10. 已知当时，，并且满足，则下列关于函数说法正确的是（ ） A. B. 周期 C. 的图象关于对称 D. 的图象关于对称 【答案】AD 【解析】 【分析】根据所给函数的性质，利用替换的方法可求出函数周期判断B，再由函数关于对称，判断C，求出判断A，由周期及关于对称判断D. 【详解】由于时，，并且满足， 则函数的图象关于对称. 由于，所以， 故， 故， 故函数的最小正周期为， 根据，知函数的图象关于对称. 由于时，， ，故A正确， 由于函数的最小正周期为，故B错误； 由函数的图象关于对称，易知的图象不关于对称，故C错误； 根据函数图象关于对称，且函数图象关于对称，知函数图象关于对称，又函数的最小正周期为，则函数图象一定关于对称，故D正确. 故选：AD. 11. 在等比数列 中，公比为 ，其前 项积为 ，并且满足 ， ， ，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 的值是 中最大的 D. 使 成立的最大自然数 等于198 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等比数列的性质公式，结合已知条件，逐个计算判定即可. 【详解】因为 ，所以 ，所以 .因为 ，所以 ， 又 ，所以 ， .分析选项知， ，故A中结论正确； ，故B中结论正确； ，故C中结论错误； ， ，故D中结论正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理中的二项展开式通项公式即可求解 【详解】的展开式通项是：， 依题意得，，即，所以， 故答案为： 13. 若直线被圆所截得的弦长为，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知直线过圆心，则，利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取值条件. 【详解】由，则圆心为，半径为2， 由直线被圆所截得的弦长为，故直线过圆心， 所以且， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 14. 已知函数，若函数的最小值恰好为0，则实数的最小值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】换元构造新函数，再利用导数求得函数单调性与最值，从而求得的最值. 【详解】令，则，所以， 令，则， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故当时，取得最小值， 故当，即时，函数的最小值恰好为0， 令，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解参数范围问题.关键点是通过换元，将转化为，并利用导数研究的单调性与最值，得到，再利用导数求解的单调性，即可求得的最值. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 16. 人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为（）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得分.若该答题机器人答对每道题的概率均为，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为，当时，答题结束，机器人挑战成功，当时，答题也结束，机器人挑战失败. （1）当时，求机器人第一轮答题后累计得分的分布列与数学期望； （2）当时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率. 【答案】（1）的分布列为： 4 3 2 ， （2） 【解析】 【分析】（1）利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可； （2）根据超几何分布分类讨论计算即可. 【小问1详解】 当时，第一轮答题后累计得分所有取值为4，3，2， 根据题意可知：，，， 所以第一轮答题后累计得分的分布列为： 4 3 2 所以. 【小问2详解】 当时，设“第六轮答题后，答题结束且挑战成功”为事件A， 此时情况有2种，分别为： 情况①：前5轮答题中，得1分的有3轮，得0分的有2轮，第6轮得1分； 情况②：前4轮答题中，得1分的有3轮，得分的有1轮，第5.6轮都得1分； 所以. 17. 正数数列满足，且成等差数列，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）求证：． 【答案】（1）；. （2）证明： 当时，； 当时，； 当时， . 综上所述，对一切正整数，有. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由等差中项与等比中项的性质列出方程，结合递推关系可得数列是以为首项，为公差的等差数列，再由数列的通项公式可得数列的通项公式； （2）根据题意，由裂项相消法分，与分别证明，即可得到结果. 【小问1详解】 成等差数列，成等比数列， ，， 数列为正数数列，， 当时，，， ，且，则， ，，，， ， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，， 当时，满足上式，， 当时，， 当时，满足上式，. 【小问2详解】 略 18. 已知双曲线的右顶点，它的一条渐近线的倾斜角为． （1）过点（作直线交双曲线于两点（不与点重合），求证：； （2）若过双曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，且分别在第一象限和第四象限，若，求面积的取值范围． 【答案】（1） 易知，，，， 故双曲线的方程为． 直线的方程为， 联立， 其中，且时， 则，，， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的性质得到双曲线的方程，然后设直线的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理和向量证明； （2）根据和双曲线的方程得到，然后联立直线和渐近线方程得到和，再利用三角形面积公式得到，最后利用函数性质求范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知，若直线有斜率则斜率不为0， 故设直线方程为：， 设， ，， 点在双曲线上，， ， ③， 又， ，④， 联立， ， ⑤，⑥， 分别在第一象限和第四象限，， 由④式得：， ⑦， 将⑤⑥代入⑦得：， ， ， 令 由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增， ，. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线求最值或范围问题： （1）几何的思路：通过几何的知识取求最值或范围； （2）代数思路：将要求的用代数表示出来，然后通过函数或不等式的思路求最值或范围. 19. 已知函数. （1）判断函数在区间上极值点的个数并证明； （2）函数在区间上的极值点从小到大分别为，设为数列的前 项和. ①证明：； ②问是否存在使得？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）函数在区间内恰有两个极值点，证明： ，设，又， 当时，在上单调递减， ，在上无零点； 当时，在上单调递增， ，在上有唯一零点； 当时，在上单调递减， ，在上有唯一零点. 综上，函数在区间上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变， 故函数在区间内恰有两个极值点. （2）①证明：由（1）知在无极值点；在有极小值点，即为； 在有极大值点，即为， 同理可得，在有极小值点，在有极值点， 由得，， ， ， 由函数在单调递增得， ， 由在单调递减得， . ②不存在，理由： 同理， ， 由在上单调递减得， ，且， 当 为偶数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值， 即，结论成立； 当 为奇数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值， 即，结论也成立， 综上，对一切成立，故不存在使得. 【解析】 【分析】（1）求函数在给定区间上的导数，以分子整式构造函数，再次求导，研究该导数在给定区间上与零的大小关系，以判断构造函数的单调性和变号零点的性质，根据极值的定义，可得答案； （2）①根据（1）可得所在区间，根据极值点的必要条件，进一步缩小其所在区间，根据三角函数的诱导公式，将变为，使其在同一个单调区间，根据函数的单调性，可得与大小关系，可得答案； ②由①可得相邻两个极值之和与零的大小关系，进而得到当 为偶数时，和与零大小关系，再根据三角函数的性质，得到奇数时极值与零的大小关系，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市南方中学2025届高三11月月考试卷 数学 命题人：蒋 帅 审题人：李 强 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合 （ 是虚数单位）， ，则 等于 （　　 ） A. B. C. D. 2. 已知一组数据，，，，的平均数为2，方差为，则另一组数据，，，，的平均数、标准差分别为（ ） A. 2， B. 2，1 C. 4， D. 4， 3. 已知奇函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4. 若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（ ） A. 24 B. 32 C. 96 D. 128 5. 图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面ABCD与平面ATBS的夹角为45°，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角A为，角A的平分线AD交BC于点D，已知，且，则（ ） A. 1 B. C. 9 D. 7. 设椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线l过点.若点关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量，记，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知当时，，并且满足，则下列关于函数说法正确的是（ ） A. B. 周期 C. 的图象关于对称 D. 的图象关于对称 11. 在等比数列 中，公比为 ，其前 项积为 ，并且满足 ， ， ，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 的值是 中最大的 D. 使 成立的最大自然数 等于198 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________. 13. 若直线被圆所截得的弦长为，则的最小值为_______． 14. 已知函数，若函数的最小值恰好为0，则实数的最小值是___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 16. 人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为（）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得分.若该答题机器人答对每道题的概率均为，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为，当时，答题结束，机器人挑战成功，当时，答题也结束，机器人挑战失败. （1）当时，求机器人第一轮答题后累计得分的分布列与数学期望； （2）当时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率. 17. 正数数列满足，且成等差数列，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）求证：． 18. 已知双曲线的右顶点，它的一条渐近线的倾斜角为． （1）过点（作直线交双曲线于两点（不与点重合），求证：； （2）若过双曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，且分别在第一象限和第四象限，若，求面积的取值范围． 19. 已知函数. （1）判断函数在区间上极值点的个数并证明； （2）函数在区间上的极值点从小到大分别为，设为数列的前 项和. ①证明：； ②问是否存在使得？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $