特训15 函数的零点 函数的实际应用 阶段复习（十大题型）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第一册，浙江专用）

特训15 函数的零点 函数的实际应用 阶段复习（十大题型） 目录： 题型1：二分法 题型2：求函数的零点 题型3：零点存在定理 零点所在的区间 题型4：二次函数的零点分布 题型5：零点的个数、求和 题型6：根据零点的情况求参数范围 题型7：有解、交点、公共点等问题 题型8：比较零点的大小 题型9：函数模型的实际应用 题型10：解答题 题型1：二分法 1．用二分法求方程在区间内的根，取区间的中点为，那么下一个有根的区间是 ． 2．若在区间内的零点通过二分法逐次计算，参考数据如表 那么方程的一个近似根为（精度为0.1）（   ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 题型2：求函数的零点 3．函数的零点是（    ） A． B．1，2 C． D． 4．函数的零点为 . 5．已知函数，则函数的零点为（    ） A．1 B．0 C．e D． 题型3：零点存在定理 零点所在的区间 6．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 7．若为函数的零点，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 8．“”是“函数在区间内存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．若是方程的根，则属于区间（    ） A． B． C． D． 题型4：二次函数的零点分布 10．已知函数在区间有零点，则的取值范围是 ． 11．关于x的一元二次方程有两个不同的负实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．二次函数在时有零点，则实数的取值范围是 . 13．已知函数的一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则的值可能是（    ） A． B．1 C． D． 题型5：零点的个数、求和 14．函数在区间内的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 15．设，则函数的所有零点之和为 ． 16．函数的零点个数为 . 17．定义在R上的函数满足，若当时，，则函数在区间上的零点个数为（    ） A．506 B．507 C．1010 D．1011 18．已知函数，则方程的解的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 19．已知函数和的零点分别为，则 . 题型6：根据零点的情况求参数范围 20．若函数有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．若函数恰有两个零点，则实数的范围是 ． 题型7：有解、交点、公共点等问题 23．已知函数，若在上有解，则m的取值范围是 ． 24．设函数，，若当时，曲线与恰有一个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．若关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围 . 26．已知函数的图象与直线恰有2个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（    ） A． B．28 C． D．14 题型8：比较零点的大小 28．设函数 的零点分别为a,b,c, 则（    ） A． B． C． D． 29．设，，均为实数，且，，，则（   ） A． B． C． D． 30．三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 31．已知正实数满足，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型9：函数模型的实际应用 32．某厂因技术改革，今年上半年两个季度生产总值持续增加.第一季度的增长率为，第二季度的增长率为，则该厂这两个季度生产总值的平均增长率为（   ） A． B． C． D． 33．已知国内某人工智能机器人制造厂在年机器人产量为万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到万台（参考数据：，）（   ） A．年 B．年 C．年 D．年 34．已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），、分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（    ）（，）． A．4 B．5 C．6 D．7 35．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，g及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他大约经过 小时才能驾驶.（结果精确到0.1，参考数据：） 36．某市出租车收费标准如下：2公里以内（包含2公里）收费6元，不到2公里按2公里算；超过2公里但不超过8公里的部分，每公里收费2元，不到1公里按1公里计算；超过8公里的部分，每公里收费3元，不到1公里按1公里计算.已知某人某次乘坐出租车从该市的A地到该市的B地，共付车费33元，则该出租车从A地到B地行驶的最大距离是 里. 37．我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，那么从现在起至少经过 分钟才能达到排放标准.（参考数据：，结果取整数） 题型10：解答题 38．已知二次函数满足，且，为偶函数，且当时，．    (1)求的解析式； (2)在给定的坐标系内画出的图象； (3)讨论函数（）的零点个数． 39．已知函数，且点在函数的图象上. (1)求函数的解析式； (2)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 40．某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，该地卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为55万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大? 41．专家研究高一学生上课注意力集中的情况，发现注意力指数与听课时间（单位：）之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象（其对称轴为）的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分．专家认为，当注意力指数大于或等于80时定义为听课效果最佳． (1)试求的函数关系式． (2)若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节．请问应在哪一个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节？并说明理由． 42．已知函数． (1)当时，求的零点； (2)设，若，，，，求的取值范围． 43．已知函数且. (1)求的解析式; (2)已知的定义域为. （ⅰ）求的定义域； （ⅱ）若方程有唯一实根，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训15 函数的零点 函数的实际应用 阶段复习（十大题型） 目录： 题型1：二分法 题型2：求函数的零点 题型3：零点存在定理 零点所在的区间 题型4：二次函数的零点分布 题型5：零点的个数、求和 题型6：根据零点的情况求参数范围 题型7：有解、交点、公共点等问题 题型8：比较零点的大小 题型9：函数模型的实际应用 题型10：解答题 题型1：二分法 1．用二分法求方程在区间内的根，取区间的中点为，那么下一个有根的区间是 ． 【答案】 【分析】根据题意，设，分别求得，，，根据零点存在性定理可得出零点所在区间为，从而得出结果. 【解析】解：设，，，， 则零点所在的区间为， ∴方程的下一个有根的区间是. 故答案为：. 2．若在区间内的零点通过二分法逐次计算，参考数据如表 那么方程的一个近似根为（精度为0.1）（   ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】C 【分析】由根的存在性定理判断根的较小区间，从而求近似解． 【解析】由上表知，方程的一个根在之间， 那么方程的一个近似根为（精度为0.1）1.4； 则其近似根为1.4． 故选C． 【点睛】本题考查了二分法求近似解的方法，属于基础题． 题型2：求函数的零点 3．函数的零点是（    ） A． B．1，2 C． D． 【答案】D 【分析】利用零点定义解方程可得结论. 【解析】令，解得， 由零点定义可得函数的零点是. 故选：D 4．函数的零点为 . 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，通过解方程，再检验可得出答案. 【解析】由定义域为 由，即，可得 解得或 又时，不满足方程 时满足条件. 故答案为： 题型3：零点存在定理 零点所在的区间 5．已知函数，则函数的零点为（    ） A．1 B．0 C．e D． 【答案】C 【分析】先根据函数解析式，求出的解析式，再由函数的零点定义，解对数方程即得. 【解析】由可得， 由可得，，解得. 故选：C. 6．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用零点的存在性定理判断即可. 【解析】对于，则为上的增函数， 而，，，，，由于， 根据零点存在性定理，知道函数的零点所在区间为. 故选：C. 题型4：二次函数的零点分布 7．若为函数的零点，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用对数函数与一次函数的单调性判断的单调性，再利用零点存在定理即可得解. 【解析】由于在上均单调递增， 故在上单调递增， 又， 故在上有唯一零点，即. 故选：B. 8．“”是“函数在区间内存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由零点存在性定理确定的范围，再结合集合间包含关系即可判断. 【解析】由函数在区间内存在零点得，解得或 所以“”是“函数在区间内存在零点”的充分不必要条件， 故选：A 9．若是方程的根，则属于区间（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，设，结合选项和函数零点的存在性定理计算即可求解. 【解析】由，得，设， 因为函数在R上单调递减， 所以函数在R上单调递减，且函数的图象是一条连续不断的曲线， 易知， 所以， 故函数的零点所在的区间为， 即方程的根属于区间． 故选：C 题型5：零点的个数、求和 10．已知函数在区间有零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合零点定义，参变分离后利用对勾函数的单调性计算即可得. 【解析】由题意可得在上有解， 由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 故当时，， 故的取值范围是. 故答案为：. 11．关于x的一元二次方程有两个不同的负实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由判别式及韦达定理即可判断. 【解析】由题意可得不等式组 解得：且， 所以实数k的取值范围是. 故选:C 12．二次函数在时有零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数零点的概念可得零点，再根据零点范围可得不等式，解不等式即可. 【解析】由函数为二次函数，则，即， 令，解得，， 又函数在时有零点， 所以， 解得，即， 故答案为：. 13．已知函数的一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则的值可能是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】令，根据零点的范围得到满足的条件，解不等式组可得结果. 【解析】令， 由题意，得，即，解得， 故的取值范围是.四个选项中在内的只有. 故选：D. 题型5：零点的个数、求和 14．函数在区间内的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据解析式直接判断单调性，利用零点存在性定理判断零点是否存在. 【解析】由在上单调递增，且， 所以函数在区间内的零点个数是1. 故选：B 15．设，则函数的所有零点之和为 ． 【答案】 【分析】画出函数图象。利用对称性即可求解. 【解析】由一元二次函数的图象和性质可知函数的图象如图所示， 根据图象可知共有个零点，且个零点关于对称， 所以零点之和为， 故答案为： 16．函数的零点个数为 . 【答案】 【分析】根据函数零点个数与其对应方程的根、函数图象的交点个数之间的关系，结合函数和的图象，利用数形结合的思想即可求解. 【解析】函数的定义域为，由得， 函数的零点即方程的根， 作出函数和的图象，如图， 由图可知在上有个交点，故函数在上有个零点． 故答案为：. 17．定义在R上的函数满足，若当时，，则函数在区间上的零点个数为（    ） A．506 B．507 C．1010 D．1011 【答案】B 【分析】根据函数的单调性，结合函数零点的定义进行求解即可. 【解析】由， 因此函数的周期为， 当时，令，显然可得或， 当时，函数的函数值由增加到，增加到， 而函数的函数值由增加到，增加到， 而我们知道函数与函数的增长速度不一样，且当自变量越大时，函数增的速度远大于函数的速度， 因此当时，函数只有两个零点， 且,, 由， 当时，由， 因为当时，， 所以此时，因此此时函数没有零点， 又，因此在上函数有个零点， 当时，有两个零点2和4， 当时，无零点，由函数的周期性可知：当时，有一个零点， 因此有上，有个零点． 故选：B 18．已知函数，则方程的解的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理分段求解即可. 【解析】当时，，即，令函数， 函数与都是减函数，因此函数在上单调递减， 而，则函数在上有唯一零点； 当时，，即，令函数， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 而，则函数在上有唯一零点， 所以方程的解的个数是2. 故选：C 19．已知函数和的零点分别为，则 . 【答案】2 【分析】由反函数的性质、函数零点与方程的关系即可求解. 【解析】令， 则函数和的图象与函数交点的横坐标分别为，又易得和的图象关于对称， 设和与的交点坐标分别为， 可知交点坐标也关于直线对称，所以，即. 故答案为：2. 题型6：根据零点的情况求参数范围 20．若函数有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将题目转化为函数与的图象有交点，再作出函数图象即可得到实数的范围. 【解析】函数有零点，即函数与的图象有交点， 作出与的大致图象如图所示， 由图可知，故实数的取值范围是. 故选：A. 21．已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为与有3个交点，利用数形结合，即可求解. 【解析】由题意可知，有3个实数根，即和有3个交点， 画出函数的图象，    若与有3个交点，则. 故选：C 22．若函数恰有两个零点，则实数的范围是 ． 【答案】 【分析】在上没有零点，故将问题转化为有两个零点，即可求出的范围． 【解析】时，，故在上没有零点， 故 在上有两个不同零点， 而函数的零点为或，所以，且， 所以， 综上所述的取值范围是． 故答案为： 题型7：有解、交点、公共点等问题 23．已知函数，若在上有解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由可得． 【解析】由题意，解得， 故答案为：． 24．设函数，，若当时，曲线与恰有一个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数与指数函数的单调性，数形结合计算即可. 【解析】由题意可知在上单调递减，而是R上增函数， 要满足题意需，即， 解之得. 故选：B 25．若关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】依题意在上有解，利用函数的单调性可求的取值范围. 【解析】因为关于的方程在实数范围内有解， 即在上有解， 又可得在上为增函数， 所以， 所以实数的取值范围. 故答案为： 26．已知函数的图象与直线恰有2个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原问题等价转换为令，有两个零点，注意到或，从而对分类讨论即可求解. 【解析】令，则，由题意有两个零点， 或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，或， 当时，，或， 当时，，或， 当时，，或， 综上所述，满足题意的的取值范围为 . 故选：A. 27．已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（    ） A． B．28 C． D．14 【答案】A 【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可. 【解析】先作出的大致图象，如下    令，则， 根据的图象可知：要满足题意必须有两个不等根， 且有两个整数根，有三个整数根， 结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数相切时符合题意， 因为，当且仅当时取得等号， 又，易知其定义域内单调递减， 即，此时有两个整数根或， 而要满足有三个整数根，结合图象知必有一根小于2， 显然只有符合题意，当时有，则， 解方程得的另一个正根为， 又， 此时五个整数根依次是， 显然最大的根和最小的根和为. 故选：A 题型8：比较零点的大小 28．设函数 的零点分别为a,b,c, 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知与的交点横坐标分别为a,b,c,结合图象分析判断大小. 【解析】令， 可得， 可知与的交点横坐标分别为a,b,c, 在同一坐标系内作出，的图象， 根据图象可知：与有2个交点，但均有， 所以. 故选：A. 29．设，，均为实数，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数与对数函数的图象与性质画出图象，即可得出结论. 【解析】由题意得，分别是函数与，，图象的交点横坐标． 在同一坐标系内作出函数，，，的图象， 如图所示，由图可得．      故选：A. 30．三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断各函数的单调性，再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案. 【解析】因为函数，，，都是增函数， 所以函数，，均为增函数， 因为， 所以函数的零点在上，即， 因为， 所以函数的零点在上，即， 因为， 所以函数的零点在上，即， 综上，． 故选：B． 31．已知正实数满足，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，，，令，，则问题转化为判断函数与对应函数的交点的横坐标的大小关系，数形结合即可判断. 【解析】因为，，为正实数，且满足，，， 则，，， 所以，，， 则，，， 令，， 由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且， 满足的即为与的交点的横坐标， 满足的即为与的交点的横坐标， 满足的即为与的交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中画出、、、的图象如下所示： 由图可知. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为函数与相应的指数型函数的交点的横坐标的大小关系问题，准确画出函数图象是关键. 题型9：函数模型的实际应用 32．某厂因技术改革，今年上半年两个季度生产总值持续增加.第一季度的增长率为，第二季度的增长率为，则该厂这两个季度生产总值的平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设该厂这两个季度生产总值的平均增长率为，由题意列方程求解即可； 【解析】设该厂这两个季度生产总值的平均增长率为， 则，解得或（舍去）， 所以该厂这两个季度生产总值的平均增长率为， 故选：D. 33．已知国内某人工智能机器人制造厂在年机器人产量为万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到万台（参考数据：，）（   ） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】A 【分析】由题意列式，根据指数式和对数式的互化，以及利用对数的运算，即可求得答案. 【解析】设该工厂经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 由题意可得， 所以，所以． 经过年，人工智能机器人的产量才能达到万辆， 即到年，人工智能机器人的产量才能达到万辆． 故选：A． 34．已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），、分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（    ）（，）． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意，得到和，结合对数的运算性质，即可求解. 【解析】由题意知，火箭在时刻的速度为，质量为，满足， 因为经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克， 可得，火箭耗尽燃料时速度为， 两式相除得. 故选：C． 35．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，g及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他大约经过 小时才能驾驶.（结果精确到0.1，参考数据：） 【答案】 【分析】以时间为自变量，建立指数型函数，解即可. 【解析】解：设小时后此驾驶员的血液中酒精含量为， 则，即. 依题意当，即时才能驾驶， 解，得， 因为， 所以大约经过小时才能驾驶. 故答案为： 36．某市出租车收费标准如下：2公里以内（包含2公里）收费6元，不到2公里按2公里算；超过2公里但不超过8公里的部分，每公里收费2元，不到1公里按1公里计算；超过8公里的部分，每公里收费3元，不到1公里按1公里计算.已知某人某次乘坐出租车从该市的A地到该市的B地，共付车费33元，则该出租车从A地到B地行驶的最大距离是 里. 【答案】13 【分析】先判断出租车行驶的距离超过8公里，设出租车行驶的距离为公里，乘客所付费用由求解. 【解析】解：出租车行驶的距离为8公里时，乘客所付费用元， 因为乘客共付车费33元， 设出租车行驶的距离为公里， 则乘客所付费用元， 解得. 故答案为：13 37．我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，那么从现在起至少经过 分钟才能达到排放标准.（参考数据：，结果取整数） 【答案】16 【分析】由题意得到不等式，两边取对数，得到，代入，求出答案. 【解析】由题意得， 即， 故， 因为， 所以， 故， 所以从现在起至少经过16分钟，才能达到排放标准. 故答案为：16 题型10：解答题 38．已知二次函数满足，且，为偶函数，且当时，．    (1)求的解析式； (2)在给定的坐标系内画出的图象； (3)讨论函数（）的零点个数． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）设出解析式，根据题目条件得到方程组，求出，得到解析式； （2）根据函数的奇偶性得到的解析式，从而画出函数图象； （3）在（2）的基础上，得到函数零点个数 【解析】（1）设，则 因为， 故， 所以，解得， 因此； （2）当时，， 当时，，则， 为偶函数，故， 故， 综上，， 画出函数图象如下：    （3）由图可知，，， 当时，函数没有零点， 当时，函数只有两个零点， 当时，函数有四个零点， 当时，函数有三个零点， 当时，函数有两个零点 39．已知函数，且点在函数的图象上. (1)求函数的解析式； (2)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据点在函数图象上，代入求参数a，即可得解析式. （2）问题化为与的图象有两个公共点，数形结合求参数范围. 【解析】（1）因为点在的图象上，所以，解得，即. （2）将化为， 因为方程有两个不相等的实数根， 所以与的图象有两个公共点， 在同一坐标系中作出直线与函数的图象（如图所示）. 由图象，得，即，即的取值范围是. 40．某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，该地卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为55万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大? 【答案】(1) (2)90万件 【分析】（1）根据已知条件求得年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式. （2）利用二次函数的性质和基本不等式来求得最值. 【解析】（1）当时， ， 当时，． 故. （2）时，， ∴当时，取得最大值， 当时，， 当且仅当，即时取到等号， 由，得时，取得最大值. 答：年产量为90万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大. 41．专家研究高一学生上课注意力集中的情况，发现注意力指数与听课时间（单位：）之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象（其对称轴为）的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分．专家认为，当注意力指数大于或等于80时定义为听课效果最佳． (1)试求的函数关系式． (2)若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节．请问应在哪一个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节？并说明理由． 【答案】(1) (2)和这两个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节，理由见解析 【分析】（1）根据题目信息和图象，分和两种情况，代入点，求出解析式； （2）分和两种情况，得到不等式，解不等式求出解集，得到结论. 【解析】（1）当时，设，将代入得， ，解得， 故， 将代入得， 解得， 故， 综上， （2）时，令， 解得， 时，，解得， 故和这两个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节. 42．已知函数． (1)当时，求的零点； (2)设，若，，，，求的取值范围． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）利用解出即可得答案； （2）根据函数单调性求出的最值，化简，再根据二次函数的单调性可得的取值范围. 【解析】（1）当时，由，得，即， ，解得，即的零点为5． （2），． 因为函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以在上单调递减， 则， 所以， 即对任意的恒成立． 设函数，因为，所以在上单调递增， 则， 解得，故的取值范围为． 43．已知函数且. (1)求的解析式; (2)已知的定义域为. （ⅰ）求的定义域； （ⅱ）若方程有唯一实根，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ），或. 【分析】（1）利用换元法以及，即可求解的解析式； （2）（ⅰ）解不等式，即可得出的定义域； （ⅱ）结合函数的解析式将方程化为，利用换元法得出，讨论的值，结合二次函数的性质即可得出实数的取值范围. 【解析】（1）令，则，所以， 因为，所以， 所以； （2）（ⅰ）因为的定义域为， 所以，解得， 所以的定义域为. （ⅱ）因为，所以， 化简得， 令，则在有唯一实数根， 令， 当时，令，则，所以，得符合题意，所以； 当时，，所以只需，解得，因为，所以此时无解； 当时，，即，或 ，，符合题意， ，，故不符合题意， ，解得，或，只需满足，解得，故不符合题意， 综上，，或. 【点睛】方法点睛：本题考查了利用换元法求函数解析式以及根据函数的零点确定参数的范围，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$